SATHEE: Circle 2 Question 12

Circle 2 Question 12

13. The angle between a pair of tangents drawn from a point $P$ to the circle

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 9 \sin^{2} α + 13 \cos^{2} α = 0$

is $2 α$ . The equation of the locus of the point $P$ is

(1996, 1M)

(a) $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 4 = 0$

(b) $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 9 = 0$

(c) $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 4 = 0$

(d) $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 9 = 0$

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Answer:

Correct Answer: 13. (a)

Solution:

Centre of the circle

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 9 \sin^{2} α + 13 \cos^{2} α = 0$

is $C (- 2, 3)$ and its radius is

$\begin{aligned} \sqrt{(- 2)^{2} + (3)^{2} - 9 \sin^{2} α - 13 \cos^{2} α} \\ = \sqrt{13 - 13 \cos^{2} α - 9 \sin^{2} α} \\ = \sqrt{13 \sin^{2} α - 9 \sin^{2} α} = \sqrt{4 \sin^{2} α} = 2 \sin α \end{aligned}$

Let $(h, k)$ be any point $P$ and

$∠ A P C = α, ∠ P A C = π / 2$

That is, triangle $A P C$ is a right angled triangle.

$\begin{array}{lc} ∴ & \sin α = \frac{A C}{P C} = \frac{2 \sin α}{\sqrt{(h + 2)^{2} + (k - 3)^{2}}} \\ \Rightarrow & (h + 2)^{2} + (k - 3)^{2} = 4 \\ \Rightarrow & h^{2} + 4 + 4 h + k^{2} + 9 - 6 k = 4 \\ \Rightarrow & h^{2} + k^{2} + 4 h - 6 k + 9 = 0 \end{array}$

Thus, required equation of the locus is

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 9 = 0$

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