SATHEE: Circle 1 Question 21

Circle 1 Question 21

21. The abscissae of the two points $A$ and $B$ are the roots of the equation $x^{2} + 2 a x - b^{2} = 0$ and their ordinates are the roots of the equation $y^{2} + 2 p y - q^{2} = 0$ . Find the equation and the radius of the circle with $A B$ as diameter.

$(1984, 4$ M)

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Solution:

Let $(x_{1}, y_{1})$ and $(x_{2}, y_{2})$ be the coordinates of points $A$ and $B$ , respectively.

It is given that $x_{1}, x_{2}$ are the roots of $x^{2} + 2 a x - b^{2} = 0$ $\Rightarrow x_{1} + x_{2} = - 2 a$ and $x_{1} x_{2} = - b^{2}$

Also, $y_{1}$ and $y_{2}$ are the roots of $y^{2} + 2 p y - q^{2} = 0$

$\Rightarrow y_{1} + y_{2} = - 2 p$ and $y_{1} y_{2} = - q^{2}$

$∴$ The equation of circle with $A B$ as diameter is,

$(x - x_{1}) (x - x_{2}) + (y - y_{1}) (y - y_{2}) = 0$

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} - (x_{1} + x_{2}) x - (y_{1} + y_{2}) y + (x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}) = 0$

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 p y - (b^{2} + q^{2}) = 0$

and radius $= \sqrt{a^{2} + p^{2} + b^{2} + q^{2}}$

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