SATHEE: Binomial Theorem 2 Question 14

Binomial Theorem 2 Question 14

17. Prove that $C_{0} - 2^{2} \cdot C_{1} + 3^{2} \cdot C_{2} - \dots + (- 1)^{n} (n + 1)^{2} \cdot C_{n}$ $= 0, n > 2$ , where $C_{r} =^{n} C_{r}$ .

$(1989, 5 M)$

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Solution:

$C_{0} - 2^{2} \cdot C_{1} + 3^{2} \cdot C_{2} - \dots + (- 1)^{n} (n + 1)^{2} \cdot C_{n}$

$= \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} (r + 1)^{2}^{n} C_{r} = \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} {(r^{2} + 2 r + 1)}^{n} C_{r}$

$\begin{aligned} = \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} r^{2} \cdot^{n} C_{r} + 2 \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} r \cdot^{n} C_{r} + \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} \cdot^{n} C_{r} \\ = \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} \cdot r (r - 1) \cdot^{n} C_{r} + 3 \cdot \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} \cdot r \cdot^{n} C_{r}_{n} \end{aligned}$

$+ \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r}^{n} C_{r}$

$= \sum_{r = 2}^{n} (- 1)^{r} n (n - 1)^{n - 2} C_{r - 2} + 3 \sum_{r = 1}^{n} (- 1)^{r} n \cdot^{n - 1} C_{r - 1}$ $+ \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r}^{n} C_{r}$

$= n (n - 1)^{n - 2} C_{0} -^{n - 2} C_{1} +^{n - 2} C_{2} - \dots + (- 1)^{n}^{n - 2} C_{n - 2}$

$+ 3 n -^{n - 1} C_{0} +^{n - 1} C_{1} -^{n - 1} C_{2} + \dots + (- 1)^{n}^{n - 1} C_{n - 1}$

$+^{n} C_{0} -^{n} C_{1} +^{n} C_{2} + \dots + (- 1)^{n}^{n} C_{n}$

$= n (n - 1) \cdot 0 + 3 n \cdot 0 + 0, \forall n > 2 = 0, \forall n > 2$

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