SATHEE: Binomial Theorem 2 Question 12

Binomial Theorem 2 Question 12

15. Prove that $\frac{3!}{2 (n + 3)} = \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} \frac{^{n} C_{r}}{^{r + 3} C_{r}}$

$(2002, 1 M)$ maximum when $m$ is equal to

(d) 20

(a) 5

(b) 10

(c) 15

is equal to

(2000, 2M)

(a) $\begin{aligned} n + 1 & r - 1 \end{aligned}$

(b) $2 \begin{aligned} n + 1 & r + 1 \end{aligned}$

(c) $2 \overset{n + 2}{r}$

(d) $\begin{matrix} n + 2 r \end{matrix}$

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Solution:

$\sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} \frac{^{n} C_{r}}{^{r + 3} C_{r}}$

$= \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} \frac{n! \cdot 3!}{(n - r)! (r + 3)!} = 3! \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} \frac{n!}{(n - r)! (r + 3)!}$

$= \frac{3!}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)} \sum_{r = 0}^{n} \frac{(- 1)^{r} \cdot (n + 3)!}{(n - r)! (r + 3)!}$

$= \frac{3!}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)} \cdot \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} \cdot^{n + 3} C_{r + 3}$

$= \frac{3! (- 1)^{3}}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)} \sum_{s = 3}^{n + 3} (- 1)^{s} \cdot^{n + 3} C_{3}$

$= \frac{- 3!}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)} \sum_{s ≐ 0}^{n + 3} (- 1)^{s}^{n + 3} C_{s}$

$\begin{aligned} = \frac{-^{n + 3} C_{0} +^{n + 3} C_{1} -^{n + 3} C_{2}}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)} 0 - 1 + (n + 3) - \frac{(n + 3) (n + 2)}{2!} \\ = \frac{- 3!}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)} \cdot \frac{(n + 2) (2 - n - 3)}{2} = \frac{3!}{2 (n + 3)} \end{aligned}$

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