SATHEE: Binomial Theorem 1 Question 32

Binomial Theorem 1 Question 32

34. Find the sum of the series

$\sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r}^{n} C_{r} \frac{1}{2^{r}} + \frac{3^{r}}{2^{2 r}} + \frac{7^{r}}{2^{3 r}} + \frac{15^{r}}{2^{4 r}} \dots upto m terms$

$(1985, 5 M)$

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Solution:

$\sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r}^{n} C_{r} \frac{1}{2^{r}} + \frac{3^{r}}{2^{2 r}} + \frac{7^{r}}{2^{3 r}} + \frac{15^{r}}{2^{4 r}} + \dots$ upto $m$ terms

$\begin{aligned} = \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r n} C_{r} {\frac{1}{2}}^{r} + \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r n} C_{r} {\frac{3}{4}}^{r} + \\ \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r}^{n} C_{r} {\frac{7}{8}}^{r} + \dots upto m terms \end{aligned}$

$= 1 - {\frac{1}{2}}^{n} + 1 - {\frac{3}{4}}^{n} + 1 - {\frac{7}{8}}^{n} + \dots$ upto $m$ terms

using $\sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r}^{n} C_{r} x^{r} = (1 - x)^{n}$

$= {\frac{1}{2}}^{n} + {\frac{1}{4}}^{n} + {\frac{1}{8}}^{n} + \dots$ upto $m$ terms

$= \frac{1}{2} \frac{n}{\frac{1 - {\frac{1}{2^{n}}}^{m}}{1 - \frac{1}{2^{n}}}} = \frac{2^{m n} - 1}{2^{m n} (2^{n} - 1)}$

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