SATHEE: Application of Derivatives 4 Question 14

Application of Derivatives 4 Question 14

15. The least value of $α \in R$ for which $4 α x^{2} + \frac{1}{x} \geq 1$ , for all $x > 0$ , is

(a) $\frac{1}{64}$

(b) $\frac{1}{32}$

(d) $\frac{1}{25}$

(2016 Adv.)

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Answer:

Correct Answer: 15. (c)

Solution:

Here, to find the least value of $α \in R$ , for which $4 α x^{2} + \frac{1}{x} \geq 1$ , for all $x > 0$ .

i.e. to find the minimum value of $α$ when $y = 4 α x^{2} + \frac{1}{x}; x > 0$ attains minimum value of $α$ .

$∴ \frac{d y}{d x} = 8 α x - \frac{1}{x^{2}}$

Now,

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 8 α + \frac{2}{x^{3}}$

When

At $x = {\frac{1}{8 α}}^{1 / 3}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 8 α + 16 α = 24 α$ , Thus, $y$ attains minimum when $x = {\frac{1}{8 α}}^{1 / 3}; α > 0$ .

$∴ y$ attains minimum when $x = {\frac{1}{8 α}}^{1 / 3}$ .

$\begin{aligned} i.e. 4 α {\frac{1}{8 α}}^{2 / 3} + (8 α)^{1 / 3} \geq 1 \\ \Rightarrow α^{1 / 3} + 2 α^{1 / 3} \geq 1 \\ \Rightarrow 3 α^{1 / 3} \geq 1 \Rightarrow α \geq \frac{1}{27} \end{aligned}$

Hence, the least value of $α$ is $\frac{1}{27}$ .

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Application of Derivatives 4 Question 14

15. The least value of $α \in R$ for which $4 α x^{2} + \frac{1}{x} \geq 1$ , for all $x > 0$ , is

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15. The least value of α∈R for which 4αx2+1x≥1, for all x>0, is

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15. The least value of $α \in R$ for which $4 α x^{2} + \frac{1}{x} \geq 1$ , for all $x > 0$ , is