SATHEE: Application of Derivatives 2 Question 6

Application of Derivatives 2 Question 6

6. Let $f (x) = \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^{2} + (d - x)^{2}}}, x \in R$ , where $a, b$ and $d$ are non-zero real constants. Then,

(2019 Main, 11 Jan II)

(a) $f$ is an increasing function of $x$

(b) $f^{'}$ is not a continuous function of $x$

(c) $f$ is a decreasing function of $x$

(d) $f$ is neither increasing nor decreasing function of $x$

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Solution:

We have,

$f (x) = \frac{x}{{(a^{2} + x^{2})}^{1 / 2}} - \frac{(d - x)}{{(b^{2} + (d - x)^{2})}^{1 / 2}}$

Differentiating above w.r.t. $x$ , we get

$f^{'} (x) = \frac{{(a^{2} + x^{2})}^{1 / 2} - x \frac{1}{2} \frac{2 x}{{(a^{2} + x^{2})}^{1 / 2}}}{(a^{2} + x^{2})}$

$- \frac{{(b^{2} + (d - x)^{2})}^{1 / 2} (- 1) - (d - x) \frac{2 (d - x) (- 1)}{2 {(b^{2} + (d - x)^{2})}^{1 / 2}}}{(b^{2} + (d - x)^{2})}$

[by using quotient rule of derivative]

$\begin{aligned} = & \frac{a^{2} + x^{2} - x^{2}}{{(a^{2} + x^{2})}^{3 / 2}} + \frac{b^{2} + (d - x)^{2} - (d - x)^{2}}{{(b^{2} + (d - x)^{2})}^{3 / 2}} \\ = & \frac{a^{2}}{{(a^{2} + x^{2})}^{3 / 2}} + \frac{b^{2}}{{(b^{2} + (d - x)^{2})}^{3 / 2}} > 0, \\ \forall x \in R \end{aligned}$

Hence, $f (x)$ is an increasing function of $x$ .

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