Application of Derivatives 2 Question 4

4. Let f:[0,2]→R be a twice differentiable function such that f′′(x)>0, for all x∈(0,2). If φ(x)=f(x)+f(2−x), then φ is

(2019 Main, 8 April I)

(a) increasing on (0,1) and decreasing on (1,2)

(b) decreasing on (0,2)

(c) decreasing on (0,1) and increasing on (1,2)

(d) increasing on (0,2)

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Solution:

  1. Given, φ(x)=f(x)+f(2−x),∀x∈(0,2)

⇒φ′(x)=f′(x)−f′(2−x)

Also, we have f′′(x)>0∀x∈(0,2)

⇒f′(x) is a strictly increasing function

∀x∈(0,2). Now, for φ(x) to be increasing,

φ′(x)≥0⇒f′(x)−f′(2−x)≥0 [using Eq. (i)] ⇒f′(x)≥f′(2−x)⇒x>2−x⇒[∵f′ is a strictly increasing function] 2x>2⇒

Thus, φ(x) is increasing on (1,2).

Similarly, for φ(x) to be decreasing,

⇒f′(x)−f′(2−x)≤0

[using Eq. (i)]

⇒ f′(x)≤f′(2−x)
⇒ x<2−x[∵f′ is a strictly increasing
function ]
⇒ 2x<2
⇒ x<1
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