SATHEE: Solid State - Result Question 3

Solid State - Result Question 3

####3. Consider the bcc unit cells of the solids 1 and 2 with the position of atoms as shown below. The radius of atom $B$ is twice that of atom $A$ . The unit cell edge length is $50$ more is solid 2 than in 1 . What is the approximate packing efficiency in solid 2?

(2019 Main, 8 April II)

Solid 1

Solid 2

(a) $65$

(b) $90$

(c) $75$

(d) $45$

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Answer:

Correct Answer: 3. (b)

Solution:

Key Idea Packing efficiency

$= \frac{Volume occupied by sphere}{Volume of cube} \times 100$

Given,

$\begin{matrix} r_{B} = 2 r_{A} a_{2} = a_{1} + \frac{50}{100} a_{1} = 1.5 a_{1} \end{matrix}$

For bcc lattice

$\begin{aligned} 4 r_{A} & = \sqrt{3} a_{1} r_{A} & = \frac{\sqrt{3} a_{1}}{4} a_{1} & = \frac{4 r_{A}}{\sqrt{3}} ∴ a_{2} & = 1.5 (\frac{4 r_{A}}{\sqrt{3}}) & = \frac{3}{2} (\frac{4 r_{A}}{\sqrt{3}}) \end{aligned}$

$a_{2} = 2 \sqrt{3} r_{A}$ Packing efficiency $= \frac{\frac{4}{3} π r_{A}^{3} \times z_{A} + \frac{4}{3} π r_{B}^{3} \times z_{B}}{a_{2}^{3}}$

[As the atoms $A$ are present at the edges only $z_{A} = \frac{1}{8} \times 8 = 1$ , atom $B$ is present only at the body centre $z_{B} = 1$ ]

$\begin{aligned} ∴ P E_{2} & = \frac{(\frac{4}{3} π r_{A}^{3} \times 1) + (\frac{4}{3} π r_{B}^{3} \times 1)}{a_{2}^{3}} & = \frac{\frac{4}{3} π r_{A}^{3} + \frac{4}{3} π {(2 r_{A})}^{3}}{{(2 \sqrt{3} r_{A})}^{3}} = \frac{\frac{4}{3} π r_{A}^{3} \times 9}{8 \times 3 \sqrt{3} r_{A}^{3}} = \frac{π}{2 \sqrt{3}} & = 90.72 \end{aligned}$

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