अतिपरवलय
1. मानक समीकरण:
हाइपरबोला का मानक समीकरण है $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, कहाँ $b^{2}=a^{2}\left(e^{2}-1\right)$.
Focii : $S \equiv( \pm a e, 0)$ दिशानिर्देश : $x= \pm \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{e}}$
शीर्ष: $A \equiv( \pm a, 0)$
लैटस $\operatorname{Rectum}(\ell): \ell=\frac{2 \mathrm{~b}^{2}}{\mathrm{a}}=2 \mathrm{a}\left(\mathrm{e}^{2}-1\right)$.
2. संयुग्मित अतिपरवलय : $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ & $-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ प्रत्येक के संयुग्मी अतिपरवलय हैं।
3. सहायक मंडल: $x^{2}+y^{2}=a^{2}$.
4. पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व:
$x=a \sec \theta$ & $y=b \tan \theta$
5. हाइपरबोला के संदर्भ में ए बिंदु ‘पी’ की स्थिति:
$S_{1} \equiv \frac{x_{1}{ }^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{1}{ }^{2}}{b^{2}}-1>,=$ या $<0$ बिंदु के अनुसार $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ वक्र के अंदर, ऊपर या बाहर स्थित है।
6. स्पर्शरेखाएँ :
(i) ढलान प्रपत्र: $y=m x \pm \sqrt{a^{2} m^{2}-b^{2}}$
(ii) बिन्दु रूप : बिन्दु पर $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ है $\frac{x_{x_{1}}}{a^{2}}-\frac{y_{1}}{b^{2}}=1$
(iii) पैरामीट्रिक फॉर्म: $\frac{\mathrm{x} \sec \theta}{\mathrm{a}}-\frac{\mathrm{y} \tan \theta}{\mathrm{b}}=1$.
7. सामान्य :
(ए) बिंदु पर $P\left(x_{1}, y_{1}\right)$ है:
$\frac{a^{2} x}{x_{1}}+\frac{b^{2} y}{y_{1}}=a^{2}+b^{2}=a^{2} e^{2}$.
(बी) बिंदु पर $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ है:
$\frac{a x}{\sec \theta}+\frac{b y}{\tan \theta}=a^{2}+b^{2}=a^{2} e^{2}$.
(सी) इसकी ढलान के संदर्भ में सामान्य का समीकरण ’ $m$ ’ हैं $y=m x \pm \frac{\left(a^{2}+b^{2}\right) m}{\sqrt{a^{2}-b^{2} m^{2}}}$.
8. स्पर्शोन्मुख: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0$ और $\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0$.
स्पर्शोन्मुख की जोड़ी: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0$.
9. आयताकार या समबाहु अतिपरवलय: $x y=c^{2}$, विलक्षणता है $\sqrt{2}$.
शीर्ष: $( \pm c, \pm c)$;
Focii : $( \pm \sqrt{2} c, \pm \sqrt{2} c)$.
दिशानिर्देश : $x+y= \pm \sqrt{2} c$
लैटस रेक्टम $(I): \ell=2 \sqrt{2} \mathrm{c}=$ प्रादेशिक सेना $=$ सीए
पैरामीट्रिक समीकरण $x=c t, y=c / t, t \in $ आर - {0}.
स्पर्शरेखा का समीकरण $P\left(x_{1} y_{1}\right)$ है $\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1}=2 $ & पर $\hspace{1mm} P(t)$ है $\hspace{1mm}$ $\frac{x}{t}+t y=2 c$.
सामान्य का समीकरण $P(t)$ है $x^{3}-y t=c\left(t^{4}-1\right)$.
दिए गए मध्य बिंदु के साथ राग $(h, k)$ है $k x+h y=2 h k$.
