सम्मिश्र संख्या
1. सम्मिश्र संख्या प्रणाली
$z=a+i b$, तब $a-i b$ का संगुगेट कहा जाता है $z$ और द्वारा दर्शाया गया है $\bar{z}$.
2. सम्मिश्र संख्या में समानता: $z_{1}=z_{2} \Rightarrow \operatorname{Re}\left(z_{1}\right)=\operatorname{Re}\left(z_{2}\right)$ और $I_{m}\left(z_{1}\right)=I_{m}\left(z_{2}\right)$.
3. एक सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व:
4. तर्कों के गुण
(मैं) $\arg \left(z_{1} z_{2}\right)=\arg \left(z_{1}\right)+\arg \left(z_{2}\right)+2 m \pi$ कुछ पूर्णांक के लिए $m$.
(ii) $\arg \left(z_{1} / z_{2}\right)=\arg \left(z_{1}\right)-\arg \left(z_{2}\right)+2 m \pi$ कुछ पूर्णांक के लिए $m$.
(iii) $\arg \left(z^{2}\right)=2 \arg (z)+2 m \pi$ कुछ पूर्णांक के लिए $m$.
(iv) $\arg (\mathrm{z})=0 \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{z}$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है
(वी) $\arg (\mathrm{z})= \pm \pi / 2 \Leftrightarrow \quad \mathrm{z}$ पूर्णतया काल्पनिक है और $\mathrm{z} \neq 0$
5. संयुग्म के गुण
(मैं)$|z|=|\bar{z}|$
(ii)$z \bar{z}=|z|^{2}$
(iii)$\overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_1 + \bar{z}_2$
(iv) $\overline{z_{1}-z_{2}}=\bar{z}_1 + \bar{z}_2$
(वी) $\overline{z_{1} z_{2}}=\bar{z}_1 \bar{z}_2$
(vi) $(\overline{\frac{z_1}{z_2}}) = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2} \quad (z_2 \neq 0)$
(vii)$|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2) \overline{(z_1 + z_2) } = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1 \bar{z}_2 + \bar{z}_1 z_2 $
(viii) $\overline{\left(\bar{z}_{1}\right)}=z$
(ix) यदि $w=f(z)$, तब $\bar{w}=f(\bar{z})$
(एक्स) $ \arg (\mathrm{z})+\arg (\overline{\mathrm{z}})$
6. घूर्णन प्रमेय
अगर $P\left(z_{1}\right), Q\left(z_{2}\right)$ और $R\left(z_{3}\right)$ तीन सम्मिश्र संख्याएँ हैं और $\angle P Q R=\theta$, तब
$\left(\frac{z_{3}-z_{2}}{z_{1}-z_{2}}\right)=\left|\frac{z_{3}-z_{2}}{z_{1}-z_{2}}\right| e^{i \theta}$
7. डेमोइवर का प्रमेय :
मामला $I$ : अगर $\mathrm{n}$ तो क्या कोई पूर्णांक है?
$(i)\hspace{1mm} (\cos \theta+i \sin \theta)^{\mathrm{n}}=\cos n \theta+i \sin n \theta$
$(ii)\hspace{1mm} (\cos \theta_{1} + i\sin \theta_{1})(\cos \theta_{2}+ i\sin \theta_{2})(\cos \theta_{3}+i \sin \theta_{2})(\cos \theta_{3}+i \sin \theta_{3}) \ldots .(\cos \theta_{n}+i \sin \theta_{n}) $
$= \cos (\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}+\ldots \ldots . . \theta_{n})+i \sin (\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}+\ldots \ldots .+\theta_{n})$
केस II: यदि $p, q \in Z$ और $q \neq 0$ तब $(\cos \theta+i \sin \theta)^{p / q}=\cos \left(\frac{2 k \pi+p \theta}{q}\right)+i \sin \left(\frac{2 k \pi+p \theta}{q}\right)$ कहाँ $\mathrm{k}=0,1,2,3, \ldots \ldots, \mathrm{q}-1$
8. एकता का घनमूल :
(i) एकता के घनमूल हैं $1, \frac{-1+i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i \sqrt{3}}{2}$
(ii) यदि $\omega$ तब एकता की काल्पनिक घन जड़ों में से एक है $1+\omega+\omega^{2}=0$. सामान्य रूप में $1+\omega^{r}+\omega^{2 r}=0$; कहाँ $r \in I$ लेकिन 3 का गुणज नहीं है.
9. एक जटिल मात्रा का लघुगणक :
$ (i)\hspace{1mm} \log _{e}(\alpha+i \beta)=\frac{1}{2} \log _{e}\left(\alpha^{2}+\beta^ {2}\right)+i\left(2 n \pi+\tan ^{-1} \frac{\beta}{\alpha}\right) \text {where } n \in I . $
10. ज्यामितीय गुण:
दूरी सूत्र: $\left|z_{1}-z_{2}\right|$.
अनुभाग सूत्र : $z=\frac{m z_{2}+n z_{1}}{m+n}$ (आंतरिक विभाजन), $z=\frac{m z_{2}-n z_{1}}{m-n}$ (बाह्य प्रभाग)
(1) $\operatorname{amp}(z)=\theta$ मूल बिन्दु से निकलने वाली किरण एक कोण पर झुकी हुई है $\theta$ तक $x-$ एक्सिस
(2) $|z-a|=|z-b|$ a से जुड़ने वाली रेखा का लम्ब समद्विभाजक है $b$.
(3) जुड़ने वाली रेखा का समीकरण $z_{1}$ & $z_{2}$ द्वारा दिया गया है, $z=z_{1}+t\left(z_{1}-z_{2}\right)$ कहाँ $t$ एक वास्तविक पैरामीटर है.
(4) केंद्र वाले वृत्त का समीकरण $z_{0}$ और त्रिज्या $\rho$ है:
$\left|z-z_{0}\right|=\rho $ या $ z \bar{z} - z_0 \bar{z} - \bar{z}_0 z + \bar{z}_0 z_0 - \rho^{2} = 0 $ जो स्वरूप का है
$\mathrm{z} \overline{\mathrm{z}}+\bar{\alpha} \mathrm{z}+\alpha \overline{\mathrm{z}}+\mathrm{k}=0, \mathrm{k}$ यह सचमुच का है। केंद्र है $-\alpha$ & त्रिज्या $= \sqrt{\alpha \bar{\alpha}- k}$
वृत्त वास्तविक होगा यदि $\alpha \bar{\alpha}-\mathrm{k} \geq 0$..
(5) यदि $\left|z_{1}-z_{1}\right|+\left|z-z_{2}\right|=K>\left|z_{1}-z_{2}\right|$ फिर का ठिकाना $z$ एक दीर्घवृत्त है जिसकी नाभियाँ हैं $z_{1}$ & $z_{2}$
(6) यदि $\left|\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right|=k \neq 1,0$, फिर का ठिकाना $z$ वृत्त है.
(7) यदि ||$z-z_{1}|-| z-z_{2}||=K<\left|z_{1}-z_{2}\right|$ फिर का ठिकाना $z$ एक अतिपरवलय है, जिसकी नाभियाँ हैं $z_{1}$ & $z_{2}$
