त्रिविमीय ज्यामिति विषय
जेईई और सीबीएसई बोर्ड परीक्षा के संकेत - त्रिआयामी ज्यामिति को कैसे याद रखें
रेखाएं और त्रिकोण
- प्रश्नों और त्रिकोणों के समीकरण:
- लाइन को प्रतिष्ठानती उत्पादन के लिए प्राथमिक समीकरण का उपयोग करें।
- प्लेन को प्रतिष्ठानती उत्पादन का वेक्टर समीकरण के उपयोग से प्रतिष्ठानती करें।
- दो रेखाओं और एक रेखा और प्लेन के बीच का कोण:
- दो वेक्टरों के डॉट उत्पाद का उपयोग करें ताकि उनके बीच का कोण पता चल सके।
- लाइन और प्लेन के बीच के कोण प्रतिष्ठानती से लाइन से प्लेन तक की सबसे छोटी दूरी पता चला सके।
- एक बिंदु से रेखा और एक बिंदु से प्लेन तक की दूरी:
- लाइन या प्लेन से बिंदु तक की दूरी प्राथमिक दूरी सूत्र का उपयोग करें।
गोलाकार
- गोलाकार का समीकरण:
- गोलाकार का मानक समीकरण का उपयोग करें: (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 + (z - l) ^ 2 = r ^ 2, जहां (h, k, l) गोलाकार का केंद्र है और r त्रिज्या है।
- गोलाकार का केंद्र और त्रिज्या:
- गोलाकार का केंद्र और त्रिज्या उसके समीकरण से पहचानें।
- लाइन और प्लेन के साथ एक गोलाकार के छेद और प्लेन के साथ छेद:
- गोलाकार के समीकरण में लाइन के प्राथमिक समीकरणों को बदलकर गोलाकार के समीकरण से छेद के बिंदु पता करें।
- गोलाकार के समीकरण में प्लेन के समीकरण को बदलकर गोलाकार के समीकरण से छेद के बिंदु पता करें।
- गोलाकार के समान्तर तालिकाओं:
- दिए गए बिंदु पर एक गोलाकार के समान्तर तालिका के समीकरण का उपयोग करके गोलाकार के समान्तर तालिका का समीकरण खोजें।
कोन और सिलिंडर
- कोन और सिलिंडर के समीकरण:
- कोन और सिलिंडर के मानक समीकरणों का उपयोग करें:
- कोन: (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = z ^ 2/a ^ 2
- सही वृत्ताकार कोन: x ^ 2 + y ^ 2 = (z - k) ^ 2 / a ^ 2
- सिलिंडर: x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2
- सही वृत्ताकार कोन और सिलिंडर:
- एक कोन या सिलिंडर को सही वृत्ताकार मानें यदि उसके पहिए उसके आधार के लिए लंबगार हों।
- कोन की समलंब ऊचाई और पृष्ठ क्षेत्र:
- कोन की समलंब ऊचाई वो है जो कोन के शिर्ष पृष्ठ तक की दूरी होती है।
- कोन का पृष्ठ क्षेत्र आधार और पक्षों के क्षेत्रों के को समान होता है।
- वक्र पृष्ठ क्षेत्र और सिलिंडर का आयतन:
- वक्र पृष्ठ क्षेत्र (कर्वीत पृष्ठ) सीढ़ी की प्राथमिक समीकरण पर 2πआर्ह के बराबर होता है, जहां आर आधार का त्रिज्या है और एच उचाई है।
- आयतन (गोलाकार) का आयतन πआर ^ 2एच के बराबर होता है।
वेक्टर
- दो वेक्टरों का डॉट और क्रॉस उत्पाद:
- दो वेक्टरों का डॉट उत्पाद एक स्केलर मात्रा है जो एक वेक्टर को दूसरे के ऊपर प्रक्षेपण का प्रतिनिधित्व करता है।
- दो वेक्टरों का क्रॉस उत्पाद एक वेक्टर होता है जो दोनों वेक्टरों के अल्पविरामी के प्रतिक ध्रुवीय है और आरे वेक्टर का विस्तार का माप के बराबर होता है।
- स्केलर त्रिपल उत्पाद:
- तीन वेक्टरों का स्केलर त्रिपल उत्पाद एक स्केलर मात्रा होता है जो तीन वेक्टरों द्वारा बनाए गए पैरालिपिपेड के आयतन का प्रतिनिधित्व करता है।
- लाइन और प्लेन के न्यूमेकिक समीकरण:
- त्रिआयामी स्थान में लाइन और प्लेन को प्रतिष्ठानता करने के लिए वेक्टर समीकरण का उपयोग करें।
तीन आयाम की संयोजन ज्यामिति
- दो बिंदुओं के बीच की दूरी:
- तीन-आयामी स्थान में दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालने के लिए दूरी के सूत्र का उपयोग करें।
- दिशा साइनों और दिशा अनुपात:
- एक वेक्टर के दिशा साइन ट्रिगोनोमेट्रीक त्रिकोणों हैं, जिनके द्वारा वेक्टर को सकारात्मक x-, y- और z-धुरों के साथ बनाए गए कोणों का कॉसाइन होता है।
- एक वेक्टर के दिशा अनुपात वेक्टर के घटकों के अनुपात को वेक्टर के मात्रानुपात के रूप में होते हैं।
- गोला, समतल और रेखा के समीकरण:
- तीन-आयामी स्थान में गोला, समतल और रेखाओं को प्रतिष्ठित समीकरणों का उपयोग करें।
- स्क्यू रेखाएं:
- यदि दो रेखाएं अपेक्षाकृत नहीं कटती और न ही परस्पर अवरोही होती हैं, तो वे स्क्यू होती हैं।
- को-समतल रेखाएं:
- यदि तीन या उससे अधिक रेखाएं एक ही समतल में स्थित होती हैं, तो वे को-समतल होती हैं।
तीन-आयामी ज्यामिति के अनुप्रयोग
- दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटी दूरी ढूंढ़ना:
- दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटी दूरी निकालने के लिए दूरी के सूत्र का उपयोग करें।
- एक ठोस बॉडी के आयतन का पता लगाना:
- एक ठोस बॉडी के आयतन का पता लगाने के लिए उचित सूत्र का प्रयोग करें, जैसे कि गोला, कोन, सिलिंडर या प्रिज्म के आयतन का पता लगाने के लिए।
- एक ठोस बॉडी के पृष्ठीय क्षेत्र का पता लगाना:
- एक ठोस बॉडी के पृष्ठीय क्षेत्र का पता लगाने के लिए उचित सूत्र का प्रयोग करें, जैसे कि गोला, कोन, सिलिंडर या प्रिज्म के पृष्ठीय क्षेत्र का पता लगाने के लिए।
- वेक्टरों से संबंधित समस्याओं को हल करना:
- बल, पल, और अन्य वेक्टर मात्राओं से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए वेक्टरों का उपयोग करें।
