क्वाड्रेटिक समीकरण पर समस्या के लिए याद रखने योग्य अवधारणाएं

1. क्वाड्रेटिक समीकरण की जड़ की प्रकृति:

• विभाजक, (Δ = b^2 - 4ac) जड़ की प्रकृति तय करता है।
  • (Δ > 0): दो अलग अविकल जड़ें
  • (Δ = 0): दो बराबर अविकल जड़ें (दोहरे जड़ें)
  • (Δ < 0): कोई वास्तविक जड़ें नहीं (संयुक्त जड़ें)

2. बराबर जड़ों के लिए शर्तें (दोहरे जड़ें):

• विभाजक, (Δ = b^2 - 4ac = 0)
• जड़ें होती हैं: (x = \frac{-b \pm \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-b}{2a})

3. क्वाड्रेटिक समीकरण की जड़ों और समीकरण के संकेतकों के बीच संबंध:

• जड़ों का गुणन: (p = \frac{c}{a})
• जड़ों का योग: (q = \frac{-b}{a})

4. क्वाड्रेटिक समीकरण की जड़ों का योग और गुणांक:

• जड़ों का योग: (x_1 + x_2 = q = \frac{-b}{a})
• जड़ों का गुणांक: (x_1 x_2 = p = \frac{c}{a})

5. क्वाड्रेटिक समीकरण में घटनों का स्थायीकरण करना संभव आकारों के बराबरी करने वाले समीकरण:

• ऐसे समीकरण जो उपयुक्त स्थायीकरणों द्वारा क्वाड्रेटिक समीकरण (ax^2 + bx + c = 0) के मानक आकार में परिवर्तित किया जा सकता है।

6. क्वाड्रेटिक समीकरणों का हल करना:

• फैक्टराइज़ेशन: क्वाड्रेटिक अभिव्यक्ति को रैखिक गुणकों के गुणों का उत्पाद में विभाजित करना।
• पूर्ण वर्ग करना: समीकरण को एक समापूर्ण वर्ग रूप में परिवर्तित करना।
• क्वाड्रेटिक सूत्र: (x = \frac{-b \pm \sqrt{Δ}}{2a}) वास्तविक और संयुक्त जड़ों के लिए हल प्रदान करता है।

7. क्वाड्रेटिक समीकरणों के अनुप्रयोग:

• ज्यामिति, भौतिकी, कसरती गति और अन्य लागू गणित के क्षेत्रों में विभिन्न वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करना।

8. क्वाड्रेटिक समीकरणों का ग्राफिक प्रतिनिधित्व:

• उनके शीर्षबिंदु रूप का अवधारणा करके पाराबोला की रेखाचित्रण करना और उनकी गुणों को जैसे न्यूनतम, अधिकतम और सममाय की समझ।

9. जड़ के प्रकारों की निर्धारण में विभाजक की अवधारणा:

• विभाजक, (Δ = b^2 - 4ac) जड़ों को वास्तविक और अविकल जड़ों में वर्गीकृत करता है।

10. Vieta फ़ॉर्मूला का उपयोग करके क्वाड्रेटिक समीकरण का हल करना:

• जब संकेतक (ax^2 + bx + c = 0) रूप संख्याएं हों।
  • जड़ों का योग: (x_1 + x_2 = -\frac{b}{a})
  • जड़ों का गुणांक: (x_1 x_2 = \frac{c}{a})