मैट्रिक्स और निर्धारक विषय
मैट्रिक्स और डिटर्मिनेंट के लिए याद रखने वाले अवधारणाएं
मैट्रिक्स:
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मैट्रिक्स की परिभाषा: मैट्रिक्स एक आयताकार तालिका होती है जिसमें नंबर या चरों की एक सहित पंक्तियों की रेखाओं की गठरी होती है। इसे एक बड़े अक्षर से प्रदर्शित किया जाता है, जैसे कि ए और उसके तत्वों को उपस्कर द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।
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मैट्रिक्स के प्रकार: विभिन्न प्रकार की मैट्रिक्सेस होती हैं, जिनमें शामिल हैं:
- वर्गीय मैट्रिक्स: एक वर्गीय मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होती है।
- आयताकार मैट्रिक्स: एक आयताकार मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की अलग-अलग संख्या होती है।
- सममित मैट्रिक्स: सममित मैट्रिक्स एक ऐसी वर्गीय मैट्रिक्स होती है जिसमें डायगनल से ऊपर तत्व डायगनल से नीचे तत्व के बराबर होते हैं।
- त्रिकोणीय मैट्रिक्स: त्रिकोणीय मैट्रिक्स एक ऐसी वर्गीय मैट्रिक्स होती है जिसमें डायगनल के नीचे (या ऊपर) के सभी तत्व शून्य होते हैं।
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मैट्रिक्स का जोड़ और घटाव: मैट्रिक्स का जोड़ और घटाव तत्व-वार किया जाता है। अर्थात, दो मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों को जोड़ा या घटाया जाता है ताकि एक नई मैट्रिक्स उत्पन्न हो।
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मैट्रिक्स के गुणा का आदान प्रदान: मैट्रिक्स के गुणा का आदान प्रदान पहली मैट्रिक्स के पंक्ति के तत्वों को दूसरी मैट्रिक्स के स्तंभ के संबंधित तत्वों से गुणा करके उत्पन्न होता है और फिर उत्पन्न उत्पादों को जोड़ा जाता है। परिणाम एक नई मैट्रिक्स होती है जिसे मूल मैट्रिक्सों के आयाम द्वारा निर्धारित किया जाता है।
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मैट्रिक्स का स्थापना: मैट्रिक्स का स्थापना मूल मैट्रिक्स के पंक्तियों और स्तंभों को परिवर्तित करके बनाई जाने वाली एक नई मैट्रिक्स होती है।
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मैट्रिक्स का उलट: मैट्रिक्स का उलट एक ऐसी नई मैट्रिक्स होती है जो मूल मैट्रिक्स के साथ गुणा करने पर पहचान मैट्रिक्स उत्पन्न करती है। सभी मैट्रिक्स का उलट नहीं होता है। केवल वर्गीय मैट्रिक्स जो अस्तित्वशून्य (या उलटने योग्य) होती हैं, का उलट होता है।
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मूल पंक्ति के आपरेशन: मूल पंक्ति आपरेशन मूल मैट्रिक्स पर संयुक्त रूप से द्विपंक्ति समस्या का हल बदलाव किए जाने के बिना की जा सकने वाली आपरेशन होती हैं। इन आपरेशनों में शामिल हैं:
- पंक्ति जोड़: एक पंक्ति में किसी पंक्ति के एक संख्या के एक कईप्ल को जोड़ना
- पंक्ति घटाव: एक पंक्ति से किसी पंक्ति के एक कईप्ल को घटाना
- पंक्ति गुणा: एक पंक्ति को एक ग़ेर शून्य संख्या से गुणा करना
- पंक्ति परिवर्तन: दो पंक्तियों को एक दूसरे के साथ परिवर्तित करना
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पंक्ति इकाई रूप और संक्षिप्त पंक्ति इकाई रूप: पंक्ति इकाई रूप मैट्रिक्स है जिसमें सभी अग्रवादी संख्याओं (प्रति पंक्ति का सबसे बाएं संख्यात्मक तत्व) को 1 माने जाते हैं और अग्रवादी संख्यात्मक तत्व के ऊपर और नीचे सभी तत्व भी शून्य होते हैं। संक्षिप्त पंक्ति इकाई रूप एक पंक्ति इकाई रूप है जिसमें अग्रवादी संख्यात्मक तत्व के ऊपर और नीचे सभी तत्व भी शून्य होते हैं।
डिटर्मिनेंट:
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डिटर्मिनेंट की परिभाषा: वर्गीय मैट्रिक्स का डिटर्मिनेंट एक वैध्यरेखा मान होता है जो मैट्रिक्स के तत्वों से गणना की जाती है। इसे वर्गीय बार द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है, जैसे कि |ए|।
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डिटर्मिनेंट की गुणधर्मों: डिटर्मिनेंट्स के कई गुणधर्म होते हैं, जिनमें:
यहां है विषय: * पंक्तिपद: एक मैट्रिक्स का निर्धारक प्रत्येक पंक्तिः एवं स्तंभ में रैंखिक है। यह यह अर्थ है कि यदि एक पंक्ति (या स्तंभ) का कोई भी गुणक में एक अन्य पंक्ति (या स्तंभ) जोड़ी जाती है, तो निर्धारक उसी गुणक के द्वारा बदल जाता है। * गुणांक नियम: दो मैट्रिक्सों के गुणांकों का गुणनफल व्यक्तिगत मैट्रिक्सों के निर्धारकों का गुणांक होता है।
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माइनर और कोफेक्टर: माइनर और कोफेक्टर मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं। माइनर मूल मैट्रिक्स का निर्धारक है। कोफेक्टर उस मूल का गुणांक है जिसे ((-1)^{i+j}) से गुणित किया जाता है, यहाँ आई और जे मूल मैट्रिक्स में तत्व कोरस्प्राच करते हैं।
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लैपलेस विस्तार: लैपलेस विस्तार वह विधि है जिससे मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना पंक्ति या स्तंभ के साथ विस्तार करके की जाती है।
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क्रेमर का नियम: क्रेमर का नियम एक विधि है जिसका उपयोग एक रैखिक समीकरण प्रणाली को हल करने के लिए होता है जिसमें समीकरणों की संख्या वेरियबल की संख्या के बराबर होती है। यह निर्धारकों का उपयोग समीकरणों की प्रणाली के हल के लिए करता है।
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एकछत और अएकछत मैट्रिक्सेस: एकछत मैट्रिक्स एक वर्गीकरण मैट्रिक्स है जिसका निर्धारक शून्य होता है। एक अएकछत मैट्रिक्स एक वर्गीकरण मैट्रिक्स है जिसका निर्धारक अशून्य नहीं होता है।
मैट्रिक्स और निर्धारकों के अनुप्रयोग:
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रैखिक समीकरणों की समस्याओं का हल: मैट्रिक्स और निर्धारकों का उपयोग रैखिक समीकरणों की समस्याओं का हल करने के लिए किया जा सकता है। इसके लिए सिस्टम के वृद्धि मैट्रिक्स को पंक्ति ईकोलॉन रूप में छोटा या कम किए जाते हैं और फिर परिणामी मैट्रिक्स का उपयोग समीकरणों के समाधान के लिए किया जाता है।
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अल्पता और आपचयनवेत्ताओं की खोज: अल्पता और आपचयनवेत्ता लैनियर परिवर्तनों के व्यवहार का अध्ययन करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं। वे एक मैट्रिक्स के वैशिष्ट्यिकी वर्णन सिद्ध करने के लिए माइनर और कोफेवक्ताओं के द्वारा पाए जा सकते हैं।
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मैट्रिक्स परिवर्तन: मैट्रिक्स परिवर्तनों को प्रतिष्ठित करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है। यह कंप्यूटर ग्राफिक्स, भौतिकी, और इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों में उपयोगी है।
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कंप्यूटर ग्राफिक्स: मैट्रिक्स कंप्यूटर ग्राफिक्स में तीन आयामों में वस्तुओं को प्रतिष्ठित करने और परिवर्तित करने के लिए उपयोग होते हैं।
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गुप्तिसंदेश क्रांतिशास्त्र: मैट्रिक्स को गुप्तिसंदेश को एन्क्रिप्ट और डिक्रिप्ट करने के लिए उपयोग किया जाता है।
