SATHEE: atoms Question 33

परमाणु

Question: Q. 3. (i) Using Bohr’s postulates, derive the expression for the total energy of the electron in the stationary states of the hydrogen atom.

U] [Foreign, OD Comptt. I, II, III 2014;

Delhi I, II, III 2013]

(ii) Using Rydberg formula, calculate the wavelengths of the spectral lines of the first member of the Lyman series and of the Balmer series.

[Foreign 2014]

$$ \text {

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Solution:

Ans. (i) } \quad $\begin{aligned} m v r & = \frac{n h}{2 π} \frac{m v^{2}}{r} & = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}} r & = \frac{e^{2}}{4 π ε_{0} m v^{2}} r & = \frac{Z e^{2}}{4 π ε_{0} m {(\frac{n h}{2 π m r})}^{2}} \Rightarrow r & = \frac{ε_{0} n^{2} h^{2}}{π m e^{2}} \end{aligned}$ $$

$\begin{aligned} Potential energy, U = - \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{r} & = - \frac{m e^{4}}{4 ε_{0} n^{2} h^{2}} & K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m {(\frac{n h}{2 π m r})}^{2} 1 / 2 & = \frac{n^{2} h^{2} π^{2} m^{2} e^{4}}{8 π^{2} m e_{0}^{2} n^{4} h^{4}} & K.E. = \frac{m e^{4}}{8 ε_{0}^{2} n^{2} h^{2}} & T.E. = K.E. + P.E. & = - \frac{m e^{4}}{8 ε_{0}^{2} n^{2} h^{2}} \end{aligned}$

(ii) Rydberg formula : For first member of Lyman series

$\begin{aligned} \frac{1}{λ} & = R (\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}}) λ & = \frac{4}{3 R} = \frac{4}{3} \times 912 \AA & = 1216 \AA \end{aligned}$

For first member of Balmer Series

$\begin{aligned} \frac{1}{λ} & = R (\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}}) λ & = \frac{36}{5 R} & = \frac{36}{5} \times 912 \AA & = 6566 \cdot 4 \AA \end{aligned}$

[CBSE Marking Scheme 2014]

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