Chapter-04 Moving Charges and Magnetism

4.1 INTRODUCTION

Both Electricity and Magnetism have been known for more than 2000 years. However, it was only about 200 years ago, in 1820 , that it was realised that they were intimately related. During a lecture demonstration in the summer of 1820, Danish physicist Hans Christian Oersted noticed that a current in a straight wire caused a noticeable deflection in a nearby magnetic compass needle. He investigated this phenomenon. He found that the alignment of the needle is tangential to an imaginary circle which has the straight wire as its centre and has its plane perpendicular to the wire. This situation is depicted in Fig.4.1(a). It is noticeable when the current is large and the needle sufficiently close to the wire so that the earth’s magnetic field may be ignored. Reversing the direction of the current reverses the orientation of the needle [Fig. 4.1(b)]. The deflection increases on increasing the current or bringing the needle closer to the wire. Iron filings sprinkled around the wire arrange themselves in concentric circles with the wire as the centre [Fig. 4.1(c)]. Oersted concluded that moving charges or currents produced a magnetic field in the surrounding space.

Following this, there was intense experimentation. In 1864, the laws obeyed by electricity and magnetism were unified and formulated by James Maxwell who then realised that light was electromagnetic waves. Radio waves were discovered by Hertz, and produced by J.C.Bose and G. Marconi by the end of the $19^{\text {th }}$ century. A remarkable scientific and technological progress took place in the $20^{\text {th }}$ century. This was due to our increased understanding of electromagnetism and the invention of devices for production, amplification, transmission and detection of electromagnetic waves.

FIGURE 4.1 The magnetic field due to a straight long current-carrying wire. The wire is perpendicular to the plane of the paper. A ring of compass needles surrounds the wire. The orientation of the needles is shown when (a) the current emerges out of the plane of the paper, (b) the current moves into the plane of the paper. (c) The arrangement of iron filings around the wire. The darkened ends of the needle represent north poles. The effect of the earth’s magnetic field is neglected.

Hans Christian Oersted (1777–1851) Danish physicist and chemist, professor at Copenhagen. He observed that a compass needle suffers a deflection when placed near a wire carrying an electric current. This discovery gave the first empirical evidence of a connection between electric and magnetic phenomena.

In this chapter, we will see how magnetic field exerts forces on moving charged particles, like electrons, protons, and current-carrying wires. We shall also learn how currents produce magnetic fields. We shall see how particles can be accelerated to very high energies in a cyclotron. We shall study how currents and voltages are detected by a galvanometer.

In this and subsequent Chapter on magnetism, we adopt the following convention: A current or a field (electric or magnetic) emerging out of the plane of the paper is depicted by a dot $(\odot)$. A current or a field going into the plane of the paper is depicted by a cross $(\otimes)^{*}$. Figures. 4.1(a) and 4.1(b) correspond to these two situations, respectively.

4.2 Magnetic Force

4.2.1 Sources and fields

Hendrik Antoon Lorentz(1853 – 1928) Dutchtheoretical physicist,professor at Leiden. Heinvestigated therelationship betweenelectricity, magnetism, andmechanics. In order toexplain the observed effectof magnetic fields onemitters of light (Zeemaneffect), he postulated theexistence of electric chargesin the atom, for which hewas awarded the Nobel Prizein 1902. He derived a set oftransformation equations(known after him, asLorentz transformationequations) by some tangledmathematical arguments,but he was not aware thatthese equations hinge on anew concept of space andtime.

Before we introduce the concept of a magnetic field $\mathbf{B}$, we shall recapitulate what we have learnt in Chapter 1 about the electric field $\mathbf{E}$. We have seen that the interaction between two charges can be considered in two stages. The charge $\mathrm{Q}$, the source of the field, produces an electric field $\mathbf{E}$, where

  • A dot appears like the tip of an arrow pointed at you, a cross is like the feathered tail of an arrow moving away from you.

$$ \begin{equation*} \mathbf{E}=\mathrm{Q} \hat{\mathbf{r}} /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) r^{2} \tag{4.1} \end{equation*} $$

where $\hat{\mathbf{r}}$ is unit vector along $\mathbf{r}$, and the field $\mathbf{E}$ is a vector field. A charge $q$ interacts with this field and experiences a force $\mathbf{F}$ given by

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}=q \mathbf{E}=q Q \hat{\mathbf{r}} /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) r^{2} \tag{4.2} \end{equation*} $$

As pointed out in the Chapter 1, the field $\mathbf{E}$ is not just an artefact but has a physical role. It can convey energy and momentum and is not established instantaneously but takes finite time to propagate. The concept of a field was specially stressed by Faraday and was incorporated by Maxwell in his unification of electricity and magnetism. In addition to depending on each point in space, it can also vary with time, i.e., be a function of time. In our discussions in this chapter, we will assume that the fields do not change with time.

The field at a particular point can be due to one or more charges. If there are more charges the fields add vectorially. You have already learnt in Chapter 1 that this is called the principle of superposition. Once the field is known, the force on a test charge is given by Eq. (4.2).

Just as static charges produce an electric field, the currents or moving charges produce (in addition) a magnetic field, denoted by $\mathbf{B}(\mathbf{r})$, again a vector field. It has several basic properties identical to the electric field. It is defined at each point in space (and can in addition depend on time). Experimentally, it is found to obey the principle of superposition: the magnetic field of several sources is the vector addition of magnetic field of each individual source.

4.2.2 Magnetic Field, Lorentz Force

Let us suppose that there is a point charge $q$ (moving with a velocity $\mathbf{v}$ and, located at $\mathbf{r}$ at a given time $t$ ) in presence of both the electric field $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ and the magnetic field $\mathbf{B}(\mathbf{r})$. The force on an electric charge $q$ due to both of them can be written as

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}=q[\mathbf{E}(\mathbf{r})+\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r})] \equiv \mathbf{F_\text {electric }}+\mathbf{F_\text {magnetic }} \tag{4.3} \end{equation*} $$

This force was given first by H.A. Lorentz based on the extensive experiments of Ampere and others. It is called the Lorentz force. You have already studied in detail the force due to the electric field. If we look at the interaction with the magnetic field, we find the following features.

(i) It depends on $q, \mathbf{v}$ and $\mathbf{B}$ (charge of the particle, the velocity and the magnetic field). Force on a negative charge is opposite to that on a positive charge.

(ii) The magnetic force $q[\mathbf{v} \times \mathbf{B}]$ includes a vector product of velocity and magnetic field. The vector product makes the force due to magnetic field vanish (become zero) if velocity and magnetic field are parallel or anti-parallel. The force acts in a (sideways) direction perpendicular to both the velocity and the magnetic field. Its direction is given by the screw rule or right hand rule for vector (or cross) product as illustrated in Fig. 4.2.

FIGURE 4.2 The direction of the magnetic force acting on a charged particle. (a) The force on a positively charged particle with velocity $\mathbf{v}$ and making an angle $\theta$ with the magnetic field $\mathbf{B}$ is given by the right-hand rule. (b) A moving charged particle $q$ is deflected in an opposite sense to $-q$ in the presence of magnetic field.

(iii) The magnetic force is zero if charge is not moving (as then $|\mathbf{v}|=0$ ). Only a moving charge feels the magnetic force.

The expression for the magnetic force helps us to define the unit of the magnetic field, if one takes $q, \mathbf{F}$ and $\mathbf{v}$, all to be unity in the force equation $\mathbf{F}=q[\mathbf{v} \times \mathbf{B}]=q v B \sin \theta \hat{\mathbf{n}}$, where $\theta$ is the angle between $\mathbf{v}$ and $\mathbf{B}$ [see Fig. 4.2 (a)]. The magnitude of magnetic field $B$ is 1 SI unit, when the force acting on a unit charge $(1 \mathrm{C})$, moving perpendicular to $\mathbf{B}$ with a speed $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, is one newton.

Dimensionally, we have $[B]=[F / q v]$ and the unit of $\mathbf{B}$ are Newton second / (coulomb metre). This unit is called tesla (T) named after Nikola Tesla (1856 - 1943). Tesla is a rather large unit. A smaller unit (non-SI) called gauss $\left(=10^{-4}\right.$ tesla) is also often used. The earth’s magnetic field is about $3.6 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$.

4.2.3 Magnetic force on a current-carrying conductor

We can extend the analysis for force due to magnetic field on a single moving charge to a straight rod carrying current. Consider a rod of a uniform cross-sectional area $A$ and length $l$. We shall assume one kind of mobile carriers as in a conductor (here electrons). Let the number density of these mobile charge carriers in it be $n$. Then the total number of mobile charge carriers in it is $n l A$. For a steady current $I$ in this conducting rod, we may assume that each mobile carrier has an average drift velocity $\mathbf{v_d}$ (see Chapter 3). In the presence of an external magnetic field $\mathbf{B}$, the force on these carriers is:

$$ \mathbf{F}=(n l A) q \mathbf{v_d} \times \mathbf{B} $$

where $q$ is the value of the charge on a carrier. Now $n q \mathbf{v_\mathrm{d}}$ is the current density $\mathbf{j}$ and $\left|\left(n q \mathbf{v_\mathrm{d}}\right)\right| A$ is the current $I$ (see Chapter 3 for the discussion of current and current density). Thus,

$$ \begin{align*} \mathbf{F} & =\left[\left(n q \mathbf{v_d}\right) l A\right] \times \mathbf{B}=[\mathbf{j} A l] \times \mathbf{B} \\ & =I l \times \mathbf{B} \tag{4.4} \end{align*} $$

where $l$ is a vector of magnitude $l$, the length of the rod, and with a direction identical to the current $I$. Note that the current $I$ is not a vector. In the last step leading to Eq. (4.4), we have transferred the vector sign from $\mathbf{j}$ to $\boldsymbol{l}$.

Equation (4.4) holds for a straight rod. In this equation, B is the external magnetic field. It is not the field produced by the current-carrying rod. If the wire has an arbitrary shape we can calculate the Lorentz force on it by considering it as a collection of linear strips $\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{\mathrm{j}}$ and summing

$$ \mathbf{F}=\sum_{\mathrm{j}} \operatorname{Id} \boldsymbol{l}_{\mathrm{j}} \times \mathbf{B} $$

This summation can be converted to an integral in most cases.

Example 4.1 A straight wire of mass $200 \mathrm{~g}$ and length $1.5 \mathrm{~m}$ carries a current of $2 \mathrm{~A}$. It is suspended in mid-air by a uniform horizontal magnetic field B (Fig. 4.3). What is the magnitude of the magnetic field?

FIGURE 4.3

Solution From Eq. (4.4), we find that there is an upward force F , of magnitude $I l B$,. For mid-air suspension, this must be balanced by the force due to gravity:

$$ \begin{aligned} m g & =I l B \\ B & =\frac{m g}{I l} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =\frac{0.2 \times 9.81}{2 \times 1.5}=0.65 \mathrm{~T} \end{aligned} $$

Note that it would have been sufficient to specify $\mathrm{m} / l$, the mass per unit length of the wire. The earth’s magnetic field is approximately $4 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$ and we have ignored it.

Example 4.2 If the magnetic field is parallel to the positive $y$-axis and the charged particle is moving along the positive $x$-axis (Fig. 4.4), which way would the Lorentz force be for (a) an electron (negative charge), (b) a proton (positive charge).

FIGURE 4.4

Solution The velocity $\mathbf{v}$ of particle is along the $x$-axis, while $\mathbf{B}$, the magnetic field is along the $y$-axis, so $\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ is along the $z$-axis (screw rule or right-hand thumb rule). So, (a) for electron it will be along $-Z$ axis. (b) for a positive charge (proton) the force is along $+z$ axis.

4.3 Motion in a Magnetic Field

We will now consider, in greater detail, the motion of a charge moving in a magnetic field. We have learnt in Mechanics (see Class XI book, Chapter 5) that a force on a particle does work if the force has a component along (or opposed to) the direction of motion of the particle. In the case of motion of a charge in a magnetic field, the magnetic force is perpendicular to the velocity of the particle. So no work is done and no change in the magnitude of the velocity is produced (though the direction of momentum may be changed). [Notice that this is unlike the force due to an electric field, qE, which can have a component parallel (or antiparallel) to motion and thus can transfer energy in addition to momentum.]

FIGURE 4.5 Circular motion

We shall consider motion of a charged particle in a uniform magnetic field. First consider the case of perpendicular to. The perpendicular force, , acts as a centripetal force and produces a circular motion perpendicular to the magnetic field. The particle will describe a circle if and are perpendicular to each other (Fig. 4.5)

If velocity has a component along $\mathbf{B}$, this component remains unchanged as the motion along the magnetic field will not be affected by the magnetic field. The motion in a plane perpendicular to $\mathbf{B}$ is as before a circular one, thereby producing a helical motion (Fig. 4.6).

You have already learnt in earlier classes (See Class XI, Chapter 3) that if r is the radius of the circular path of a particle, then a force of m v2 / r acts perpendicular to the path towards the centre of the circle, and is called the centripetal force. If the velocity v is perpendicular to the magnetic field B, the magnetic force is perpendicular to both v and B and acts like a centripetal force. It has a magnitude q v B. Equating the two expressions for centripetal force,

FIGURE 4.6 Helical motion

$$ \begin{align*} & m v^{2} / r=q v B, \text { which gives } \\ & r=m v / q B \tag{4.5} \end{align*} $$

for the radius of the circle described by the charged particle. The larger the momentum, the larger is the radius and bigger the circle described. If $\omega$ is the angular frequency, then $v$ $=\omega r$. So,

$$ \begin{equation*} \omega=2 \pi v=q B / m \tag{4.6 a} \end{equation*} $$

which is independent of the velocity or energy . Here $v$ is the frequency of rotation. The independence of $v$ from energy has important application in the design of a cyclotron (see Section 4.4.2).

The time taken for one revolution is $T=2 \pi / \omega$ $\equiv 1 / v$. If there is a component of the velocity parallel to the magnetic field (denoted by $v_{| \mid}$), it will make the particle move along the field and the path of the particle would be a helical one (Fig. 4.6). The distance moved along the magnetic field in one rotation is called pitch $p$. Using Eq. [4.6 (a)], we have

$$ \begin{equation*} p=v _{|} T=2 \pi m v _{|} / q B \tag{ 4.6 b} \end{equation*} $$

The radius of the circular component of motion is called the radius of the helix.

Example 4.3 What is the radius of the path of an electron mass $9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$ and charge $1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$ moving at a speed of $3 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ in a magnetic field of $6 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$ perpendicular to it? What is its frequency? Calculate its energy in $\mathrm{keV} .\left(1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right)$.

Solution Using Eq. (4.5) we find

$$ \begin{aligned} & r=m v /(q B)=9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \times 3 \times 10^{7} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} /\left(1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \times 6 \times 10^{-4} \mathrm{~T}\right) \\ & =28 \times 10^{-2} \mathrm{~m}=28 \mathrm{~cm} \\ & v=v /(2 \pi r)=17 \times 10^{6} \mathrm{~s}^{-1}=17 \times 10^{6} \mathrm{~Hz}=17 \mathrm{MHz} \\ & E=(1 / 2) m v^{2}=(1 / 2) 9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \times 9 \times 10^{14} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}^{2}=40.5 \times 10^{-17} \mathrm{~J} \\ & \approx 4 \times 10^{-16} \mathrm{~J}=2.5 \mathrm{keV} \end{aligned} $$

4.4 Magnetic Field due to a Current Element, Biot-SAVART LAW

All magnetic fields that we know are due to currents (or moving charges) and due to intrinsic magnetic moments of particles. Here, we shall study the relation between current and the magnetic field it produces. It is given by the Biot-Savart’s law. Fig. 4.7 shows a finite conductor XY carrying current I. Consider an infinitesimal element dl of the conductor. The magnetic field dB due to this element is to be determined at a point P which is at a distance r from it. Let θ be the angle between dl and the displacement vector r. According to Biot-Savart’s law, the magnitude of the magnetic field dB is proportional to the current I, the element length |dl|, and inversely proportional to the square of the distance r. Its direction* is perpendicular to the plane containing dl and r . Thus, in vector notation,

$$ \begin{align*} d \mathbf{B} & \propto \frac{I d \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \\ & =\frac{\mu _{0}}{4 \pi} \frac{I d \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \tag{4.7 a} \end{align*} $$

where $\mu_{0} / 4 \pi$ is a constant of proportionality. The above expression holds when the medium is vacuum.

FIGURE 4.7 Illustration of the Biot-Savart law. The current element $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$ produces a field $d \mathbf{B}$ at a distance $r$. The $\otimes$ sign indicates that the field is perpendicular to the plane of this page and directed into it.

  • The sense of $\mathrm{d} l \times \mathbf{r}$ is also given by the Right Hand Screw rule: Look at the plane containing vectors $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ and $\mathbf{r}$. Imagine moving from the first vector towards second vector. If the movement is anticlockwise, the resultant is towards you. If it is clockwise, the resultant is away from you.

The magnitude of this field is,

$$ \begin{equation*} |\mathrm{d} \mathbf{B}|=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l \sin \theta}{r^{2}} \tag{4.7 b} \end{equation*} $$

where we have used the property of cross-product. Equation [4.7 (a)] constitutes our basic equation for the magnetic field. The proportionality constant in SI units has the exact value,

$$ \begin{equation*} \frac{\mu _{0}}{4 \pi}=10^{-7} \mathrm{Tm} / \mathrm{A} \tag{4.7 c} \end{equation*} $$

We call $\mu_{0}$ the permeability of free space (or vacuum).

The Biot-Savart law for the magnetic field has certain similarities, as well as, differences with the Coulomb’s law for the electrostatic field. Some of these are:

(i) Both are long range, since both depend inversely on the square of distance from the source to the point of interest. The principle of superposition applies to both fields. [In this connection, note that the magnetic field is linear in the source $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$ just as the electrostatic field is linear in its source: the electric charge.]

(ii) The electrostatic field is produced by a scalar source, namely, the electric charge. The magnetic field is produced by a vector source $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$.

(iii) The electrostatic field is along the displacement vector joining the source and the field point. The magnetic field is perpendicular to the plane containing the displacement vector $\mathbf{r}$ and the current element $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$.

(iv) There is an angle dependence in the Biot-Savart law which is not present in the electrostatic case. In Fig. 4.7, the magnetic field at any point in the direction of dl (the dashed line) is zero. Along this line, θ = 0, sin θ = 0 and from Eq. [4.7(a)], |dB| = 0

There is an interesting relation between $\varepsilon_{0}$, the permittivity of free space; $\mu_{0}$, the permeability of free space; and $c$, the speed of light in vacuum:

$$ \varepsilon_{0} \mu_{0}=\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) \frac{\mu_{0}}{4 \pi}=\frac{1}{9 \times 10^{9}}\left(10^{-7}\right)=\frac{1}{\left(3 \times 10^{8}\right)^{2}}=\frac{1}{c^{2}} $$

We will discuss this connection further in Chapter 8 on the electromagnetic waves. Since the speed of light in vacuum is constant, the product $\mu_{0} \varepsilon_{0}$ is fixed in magnitude. Choosing the value of either $\varepsilon_{0}$ or $\mu_{0}$, fixes the value of the other. In SI units, $\mu_{0}$ is fixed to be equal to $4 \pi \times 10^{-7}$ in magnitude.

Example 4.4 An element $\Delta \boldsymbol{l}=\Delta x \hat{\mathbf{i}}$ is placed at the origin and carries a large current $I=10$ A (Fig. 4.8). What is the magnetic field on the $y$ axis at a distance of $0.5 \mathrm{~m} . \Delta x=1 \mathrm{~cm}$.

FIGURE 4.8

Solution

$|\mathrm{d} \mathbf{B}|=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l \sin \theta}{r^{2}}$ [using Eq. (4.7)]

$\mathrm{d} l=\Delta x=10^{-2} \mathrm{~m}, I=10 \mathrm{~A}, \quad r=0.5 \mathrm{~m}=y, \mu_{0} / 4 \pi=10^{-7} \frac{\mathrm{Tm}}{\mathrm{A}}$

$\theta=90^{\circ} ; \sin \theta=1$

$|\mathrm{d} \mathbf{B}|=\frac{10^{-7} \times 10 \times 10^{-2}}{25 \times 10^{-2}}=4 \times 10^{-8} \mathrm{~T}$

The direction of the field is in the $+z$-direction. This is so since,

$$ \mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}=\Delta x \hat{\mathbf{i}} \times y \hat{\mathbf{j}}=y \Delta x(\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}})=y \Delta x \hat{\mathbf{k}} $$

We remind you of the following cyclic property of cross-products,

$\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} ; \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}} ; \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}$

Note that the field is small in magnitude.

In the next section, we shall use the Biot-Savart law to calculate the magnetic field due to a circular loop.

4.5 Magnetic Field on the Axis of a Circular Current Loop

In this section, we shall evaluate the magnetic field due to a circular coil along its axis. The evaluation entails summing up the effect of infinitesimal current elements (I dl) mentioned in the previous section. We assume that the current I is steady and that the evaluation is carried out in free space (i.e., vacuum). Fig. 4.9 depicts a circular loop carrying a steady current I. The loop is placed in the plane with its centre at the origin O and has a radius R. The x-axis is the axis of the loop. We wish to calculate the magnetic field at the point P on this axis. Let x be the distance of P from the centre O of the loop. Consider a conducting element dl of the loop. This is shown in Fig. 4.9. The magnitude dB of the magnetic field due to dl is given by the Biot-Savart law [Eq. 4.7(a)],

FIGURE 4.9 Magnetic field on the axis of a current carrying circular loop of radius $R$. Shown are the magnetic field $d \mathbf{B}$ (due to a line element $d \boldsymbol{l}$ ) and its components along and perpendicular to the axis.

$$ \begin{equation*} d B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I|d \mathbf{l} \times \mathbf{r}|}{r^{3}} \tag{4.8} \end{equation*} $$

Now $r^{2}=x^{2}+R^{2}$. Further, any element of the loop will be perpendicular to the displacement vector from the element to the axial point. For example, the element d $\boldsymbol{l}$ in Fig. 4.9 is in the $y-z$ plane, whereas, the displacement vector $\mathbf{r}$ from $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ to the axial point $\mathrm{P}$ is in the $x-y$ plane. Hence $|d \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}|=r d l$. Thus,

$$ \begin{equation*} \mathrm{d} B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l}{\left(x^{2}+R^{2}\right)} \tag{4.9} \end{equation*} $$

The direction of $\mathrm{dB}$ is shown in Fig. 4.9. It is perpendicular to the plane formed by $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ and $\mathbf{r}$. It has an $x$-component $\mathrm{d} \mathbf{B_x}$ and a component perpendicular to $x$-axis, $\mathrm{d} \mathbf{B_\perp}$. When the components perpendicular to the $x$-axis are summed over, they cancel out and we obtain a null result. For example, the $\mathrm{d} \mathbf{B_\perp}$ component due to $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ is cancelled by the contribution due to the diametrically opposite d $\boldsymbol{l}$ element, shown in Fig. 4.9. Thus, only the $x$-component survives. The net contribution along $x$-direction can be obtained by integrating $\mathrm{d} B_{x}=\mathrm{d} B \cos \theta$ over the loop. For Fig. 4.9,

$$ \begin{equation*} \cos \theta=\frac{R}{\left(x^{2}+R^{2}\right)^{1 / 2}} \tag{4.10} \end{equation*} $$

From Eqs. (4.9) and (4.10),

$$ \mathrm{d} B_{x}=\frac{\mu_{0} \mathrm{I} l}{4 \pi} \frac{R}{\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}} $$

The summation of elements $\mathrm{d} l$ over the loop yields $2 \pi R$, the circumference of the loop. Thus, the magnetic field at $\mathrm{P}$ due to entire circular loop is

$$ \begin{equation*} \mathbf{B}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{2\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{\mathbf{i}} \tag{4.11} \end{equation*} $$

As a special case of the above result, we may obtain the field at the centre of the loop. Here $x=0$, and we obtain,

$$ \begin{equation*} \mathbf{B_0}=\frac{\mu_{0} I}{2 R} \hat{\mathbf{i}} \tag{4.12} \end{equation*} $$

The magnetic field lines due to a circular wire form closed loops and are shown in Fig. 4.10. The direction of the magnetic field is given by (another) right-hand thumb rule stated below:

Curl the palm of your right hand around the circular wire with the fingers pointing in the direction of the current. The right-hand thumb gives the direction of the magnetic field.

FIGURE 4.10 The magnetic field lines for a current loop. The direction of the field is given by the right-hand thumb rule described in the text. The upper side of the loop may be thought of as the north pole and the lower side as the south pole of a magnet.

Example 4.5 A straight wire carrying a current of $12 \mathrm{~A}$ is bent into a semi-circular arc of radius $2.0 \mathrm{~cm}$ as shown in Fig. 4.11(a). Consider the magnetic field $\mathbf{B}$ at the centre of the arc.

(a) What is the magnetic field due to the straight segments?

(b) In what way the contribution to $\mathbf{B}$ from the semicircle differs from that of a circular loop and in what way does it resemble?

(c) Would your answer be different if the wire were bent into a semi-circular arc of the same radius but in the opposite way as shown in Fig. 4.11(b)?

FIGURE 4.11

Solution (a) $\mathrm{d} \mathbf{l}$ and $\mathbf{r}$ for each element of the straight segments are parallel. Therefore, $\mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}=0$. Straight segments do not contribute to $\mid$ B $\mid$.

(b) For all segments of the semicircular arc, $\mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}$ are all parallel to each other (into the plane of the paper). All such contributions add up in magnitude. Hence direction of $\mathbf{B}$ for a semicircular arc is given by the right-hand rule and magnitude is half that of a circular loop. Thus B is $1.9 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$ normal to the plane of the paper going into it.

(c) Same magnitude of $\mathbf{B}$ but opposite in direction to that in (b).

Example 4.6 Consider a tightly wound 100 turn coil of radius $10 \mathrm{~cm}$, carrying a current of $1 \mathrm{~A}$. What is the magnitude of the magnetic field at the centre of the coil?

Solution Since the coil is tightly wound, we may take each circular element to have the same radius $R=10 \mathrm{~cm}=0.1 \mathrm{~m}$. The number of turns $N=100$. The magnitude of the magnetic field is,

$B=\frac{\mu_{0} N I}{2 R}=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10^{2} \times 1}{2 \times 10^{-1}}=2 \pi \times 10^{-4}=6.28 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$

4.6 Ampere’s Circuital Law

There is an alternative and appealing way in which the Biot-Savart law may be expressed. Ampere’s circuital law considers an open surface with a boundary (Fig. 4.12). The surface has current passing through it. We consider the boundary to be made up of a number of small line elements. Consider one such element of length dl. We take the value of the tangential component of the magnetic field, Bt , at this element and multiply it by the length of that element dl [Note: $\mathrm{B} _{t} \mathrm{~d} l=\mathbf{B} \cdot \mathrm{d} l$]. All such products are added together.

FIGURE 4.12

We consider the limit as the lengths of elements get smaller and their number gets larger. The sum then tends to an integral. Ampere’s law states that this integral is equal to µ0 times the total current passing through the surface, i.e.,

$$ \begin{equation*} \oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=\mu_{0} I \tag{4.13 a} \end{equation*} $$

where $I$ is the total current through the surface. The integral is taken over the closed loop coinciding with the boundary $\mathrm{C}$ of the surface. The relation above involves a sign-convention, given by the right-hand rule. Let the fingers of the right-hand be curled in the sense the boundary is traversed in the loop integral $\oint \mathbf{B} \cdot d \boldsymbol{l}$. Then the direction of the thumb gives the sense in which the current $I$ is regarded as positive.

Andre Ampere (1775 – 1836) Andre Marie Ampere was a French physicist, mathematician and chemist who founded the science of electrodynamics. Ampere was a child prodigy who mastered advanced mathematics by the age of 12. Ampere grasped the significance of Oersted’s discovery. He carried out a large series of experiments to explore the relationship between current electricity and magnetism. These investigations culminated in 1827 with the publication of the ‘Mathematical Theory of Electrodynamic Pheno- mena Deduced Solely from Experiments’. He hypo- thesised that all magnetic phenomena are due to circulating electric currents. Ampere was humble and absent- minded. He once forgot an invitation to dine with the Emperor Napoleon. He died of pneumonia at the age of 61. His gravestone bears the epitaph: Tandem Felix (Happy at last).

For several applications, a much simplified version of Eq. [4.13(a)] proves sufficient. We shall assume that, in such cases, it is possible to choose the loop (called an amperian loop) such that at each point of the loop, either

(i) $\mathbf{B}$ is tangential to the loop and is a non-zero constant $\mathrm{B}$, or

(ii) $\mathbf{B}$ is normal to the loop, or

(iii) $\mathbf{B}$ vanishes.

Now, let L be the length (part) of the loop for which B is tangential. Let I e be the current enclosed by the loop. Then, Eq. (4.13) reduces to,

$$ \begin{equation*} B L=\mu_{0} I_{e} \tag{ 4.13 b} \end{equation*} $$

When there is a system with a symmetry such as for a straight infinite current-carrying wire in Fig. 4.13, the Ampere’s law enables an easy evaluation of the magnetic field, much the same way Gauss’ law helps in determination of the electric field. This is exhibited in the Example 4.8 below. The boundary of the loop chosen is a circle and magnetic field is tangential to the circumference of the circle. The law gives, for the left hand side of Eq. [4.13 (b)], B. 2πr. We find that the magnetic field at a distance r outside the wire is tangential and given by

$$ \begin{align*} & B \times 2 \pi r=\mu_{0} I, \\ & B=\mu_{0} I /(2 \pi r) \tag{4.14} \end{align*} $$

The above result for the infinite wire is interesting from several points of view.

(i) It implies that the field at every point on a circle of radius $r$, (with the wire along the axis), is same in magnitude. In other words, the magnetic field possesses what is called a cylindrical symmetry. The field that normally can depend on three coordinates depends only on one: $r$. Whenever there is symmetry, the solutions simplify.

(ii) The field direction at any point on this circle is tangential to it. Thus, the lines of constant magnitude of magnetic field form concentric circles. Notice now, in Fig. 4.1(c), the iron filings form concentric circles. These lines called magnetic field lines form closed loops. This is unlike the electrostatic field lines which originate from positive charges and end at negative charges. The expression for the magnetic field of a straight wire provides a theoretical justification to Oersted’s experiments.

(iii) Another interesting point to note is that even though the wire is infinite, the field due to it at a non-zero distance is not infinite. It tends to blow up only when we come very close to the wire. The field is directly proportional to the current and inversely proportional to the distance from the (infinitely long) current source.

(iv) There exists a simple rule to determine the direction of the magnetic field due to a long wire. This rule, called the right-hand rule*, is:

Grasp the wire in your right hand with your extended thumb pointing in the direction of the current. Your fingers will curl around in the direction of the magnetic field.

Ampere’s circuital law is not new in content from Biot-Savart law. Both relate the magnetic field and the current, and both express the same physical consequences of a steady electrical current. Ampere’s law is to Biot-Savart law, what Gauss’s law is to Coulomb’s law. Both, Ampere’s and Gauss’s law relate a physical quantity on the periphery or boundary (magnetic or electric field) to another physical quantity, namely, the source, in the interior (current or charge). We also note that Ampere’s circuital law holds for steady currents which do not fluctuate with time. The following example will help us understand what is meant by the term enclosed current.

  • Note that there are two distinct right-hand rules: One which gives the direction of B on the axis of current-loop and the other which gives direction of B for a straight conducting wire. Fingers and thumb play different roles in the two

Example 4.7 Figure 4.13 shows a long straight wire of a circular cross-section (radius a) carrying steady current $I$. The current $I$ is uniformly distributed across this cross-section. Calculate the magnetic field in the region $r<a$ and $r>a$.

FIGURE 4.13

Solution (a) Consider the case $r>a$. The Amperian loop, labelled 2, is a circle concentric with the cross-section. For this loop,

$L=2 \pi r$

$I_{e}=$ Current enclosed by the loop $=I$

The result is the familiar expression for a long straight wire

$B(2 \pi r)=\mu_{0} I$

$$ \begin{aligned} & B=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} \quad[4.15(a)] \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & B \propto \frac{1}{r} \quad(r>a) \end{aligned} $$

Now the current enclosed $I_{e}$ is not $I$, but is less than this value. Since the current distribution is uniform, the current enclosed is,

$I_{e}=I \frac{\pi r^{2}}{\pi a^{2}}=\frac{I r^{2}}{a^{2}}$

Using Ampere’s law, $B(2 \pi r)=\mu_{0} \frac{I r^{2}}{a^{2}}$

$B=\left(\frac{\mu _{0} I}{2 \pi a^{2}}\right) r$ [4.15 (b)]

$B \propto r \quad(r<a)$

FIGURE 4.14

Figure (4.14) shows a plot of the magnitude of $\mathbf{B}$ with distance $r$ from the centre of the wire. The direction of the field is tangential to the respective circular loop ( 1 or 2 ) and given by the right-hand rule described earlier in this section. This example possesses the required symmetry so that Ampere’s law can be applied readily.

It should be noted that while Ampere’s circuital law holds for any loop, it may not always facilitate an evaluation of the magnetic field in every case. For example, for the case of the circular loop discussed in Section 4.5, it cannot be applied to extract the simple expression B = µ0 I/2R [Eq. (4.12)] for the field at the centre of the loop. However, there exists a large number of situations of high symmetry where the law can be conveniently applied. We shall use it in the next section to calculate the magnetic field produced by two commonly used and very useful magnetic systems: the solenoid and the toroid.

4.7 The Solenoid

We shall discuss a long solenoid. By long solenoid we mean that the solenoid’s length is large compared to its radius. It consists of a long wire wound in the form of a helix where the neighbouring turns are closely spaced. So each turn can be regarded as a circular loop. The net magnetic field is the vector sum of the fields due to all the turns. Enamelled wires are used for winding so that turns are insulated from each other.

FIGURE 4.15 (a) The magnetic field due to a section of the solenoid which has been stretched out for clarity. Only the exterior semi-circular part is shown. Notice how the circular loops between neighbouring turns tend to cancel. (b) The magnetic field of a finite solenoid.

Figure 4.15 displays the magnetic field lines for a finite solenoid. We show a section of this solenoid in an enlarged manner in Fig. 4.15(a). Figure 4.15(b) shows the entire finite solenoid with its magnetic field. In Fig. 4.15(a), it is clear from the circular loops that the field between two neighbouring turns vanishes. In Fig. 4.15(b), we see that the field at the interior mid-point $\mathrm{P}$ is uniform, strong and along the axis of the solenoid. The field at the exterior mid-point $\mathrm{Q}$ is weak and moreover is along the axis of the solenoid with no perpendicular or normal component. As the solenoid is made longer it appears like a long cylindrical metal sheet. Figure 4.16 represents this idealised picture. The field outside the solenoid approaches zero. We shall assume that the field outside is zero. The field inside becomes everywhere parallel to the axis.

FIGURE 4.16 The magnetic field of a very long solenoid. We consider a rectangular Amperian loop abcd to determine the field.

Consider a rectangular Amperian loop abcd. Along cd the field is zero as argued above. Along transverse sections bc and ad, the field component is zero. Thus, these two sections make no contribution. Let the field along ab be $B$. Thus, the relevant length of the Amperian loop is, $L=h$.

Let $n$ be the number of turns per unit length, then the total number of turns is $n h$. The enclosed current is, $I_{e}=I(n h)$, where $I$ is the current in the solenoid. From Ampere’s circuital law [Eq. 4.13(b)]

$$ \begin{align*} & B L=\mu _{0} I _{e}, \quad B h=\mu _{0} I(n h) \\ & B=\mu _{0} n I \tag{4.16} \end{align*} $$

The direction of the field is given by the right-hand rule. The solenoid is commonly used to obtain a uniform magnetic field. We shall see in the next chapter that a large field is possible by inserting a soft iron core inside the solenoid.

Example 4.8 A solenoid of length $0.5 \mathrm{~m}$ has a radius of $1 \mathrm{~cm}$ and is made up of 500 turns. It carries a current of $5 \mathrm{~A}$. What is the magnitude of the magnetic field inside the solenoid?

Solution The number of turns per unit length is,

$n=\frac{500}{0.5}=1000$ turns $/ \mathrm{m}$

The length $l=0.5 \mathrm{~m}$ and radius $r=0.01 \mathrm{~m}$. Thus, $l / a=50$ i.e., $l»a$. Hence, we can use the long solenoid formula, namely, Eq. (4.20)

$ \begin{aligned} B & =\mu _{0} n I \\ & =4 \pi \times 10^{-7} \times 10^{3} \times 5 \\ & =6.28 \times 10^{-3} \mathrm{~T} \end{aligned} $

4.8 Force between Two Parallel

Currents, the AmpereWe have learnt that there exists a magnetic field due to a conductor carrying a current which obeys the Biot-Savart law. Further, we have learnt that an external magnetic field will exert a force on a current-carrying conductor. This follows from the Lorentz force formula. Thus, it is logical to expect that two current-carrying conductors placed near each other will exert (magnetic) forces on each other. In the period 1820-25, Ampere studied the nature of this magnetic force and its dependence on the magnitude of the current, on the shape and size of the conductors, as well as, the distances between the conductors. In this section, we shall take the simple example of two parallel current- carrying conductors, which will perhaps help us to appreciate Ampere’s painstaking work.

Figure 4.17 shows two long parallel conductors a and $\mathrm{b}$ separated by a distance $d$ and carrying (parallel) currents $I_{\mathrm{a}}$ and $I_{\mathrm{b}}$, respectively. The conductor ’ $a$ ’ produces, the same magnetic field $\mathbf{B_\mathrm{a}}$ at all points along the conductor ’ $\mathrm{b}$ ‘. The right-hand rule tells us that the direction of this field is downwards (when the conductors are placed horizontally). Its magnitude is given by Eq. [4.15 (a)] or from Ampere’s circuital law,

FIGURE 4.17 Two long straight parallel conductors carrying steady currents $I_{a}$ and $I_{b}$ and separated by a distance d. $\mathbf{B_\mathrm{a}}$ is the magnetic field set up by conductor ’ $a$ ’ at conductor ‘b’.

$$ B_{a}=\frac{\mu_{0} I_{a}}{2 \pi d} $$

The conductor ‘b’ carrying a current $I_{\mathrm{b}}$ will experience a sideways force due to the field $\mathbf{B_\mathrm{a}}$. The direction of this force is towards the conductor ‘a’ (Verify this). We label this force as $\mathbf{F}_{\mathrm{ba}}$, the force on a segment $L$ of ’ $b$ ’ due to ’ $a$ ‘. The magnitude of this force is given by Eq. (4.4),

$$ \begin{align*} F _{b a} & =I _{b} L B _{a} \\ & =\frac{\mu _{0} I _{a} I _{b}}{2 \pi d} L \tag{4.17} \end{align*} $$

It is of course possible to compute the force on ‘a’ due to ‘b’. From considerations similar to above we can find the force $\mathbf{F_\mathrm{ab}}$, on a segment of length $L$ of ‘a’ due to the current in ‘b’. It is equal in magnitude to $F_{\mathrm{ba}}$ ’ and directed towards ’ $\mathrm{b}$ ‘. Thus,

$$ \begin{equation*} \mathbf{F} _{\mathrm{ba}}=-\mathbf{F} _{\mathrm{ab}} \tag{4.18} \end{equation*} $$

Note that this is consistent with Newton’s third Law. Thus, at least for parallel conductors and steady currents, we have shown that the Biot-Savart law and the Lorentz force yield results in accordance with Newton’s third Law*.

We have seen from above that currents flowing in the same direction attract each other. One can show that oppositely directed currents repel each other. Thus,

Parallel currents attract, and antiparallel currents repel.

This rule is the opposite of what we find in electrostatics. Like (same sign) charges repel each other, but like (parallel) currents attract each other.

Let $f_{\mathrm{ba}}$ represent the magnitude of the force $\mathbf{F}_{\mathrm{ba}}$ per unit length. Then, from Eq. (4.17),

$$ \begin{equation*} f_{b a}=\frac{\mu_{0} I_{a} I_{b}}{2 \pi d} \tag{4.19} \end{equation*} $$

The above expression is used to define the ampere (A), which is one of the seven SI base units.

The ampere is the value of that steady current which, when maintained in each of the two very long, straight, parallel conductors of negligible cross-section, and placed one metre apart in vacuum, would produce on each of these conductors a force equal to $2 \times 10^{-7}$ newtons per metre of length.

This definition of the ampere was adopted in 1946. It is a theoretical definition. In practice, one must eliminate the effect of the earth’s magnetic field and substitute very long wires by multiturn coils of appropriate geometries. An instrument called the current balance is used to measure this mechanical force.

The SI unit of charge, namely, the coulomb, can now be defined in terms of the ampere.

When a steady current of $1 \mathrm{~A}$ is set up in a conductor, the quantity of charge that flows through its cross-section in $1 \mathrm{~s}$ is one coulomb (1C).

  • It turns out that when we have time-dependent currents and/or charges in motion, Newton’s third law may not hold for forces between charges and/or conductors. An essential consequence of the Newton’s third law in mechanics is conservation of momentum of an isolated system. This, however, holds even for the case of time-dependent situations with electromagnetic fields, provided the momentum carried by fields is also taken into account.

Example 4.9 The horizontal component of the earth’s magnetic field at a certain place is $3.0 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$ and the direction of the field is from the geographic south to the geographic north. A very long straight conductor is carrying a steady current of $1 \mathrm{~A}$. What is the force per unit length on it when it is placed on a horizontal table and the direction of the current is (a) east to west; (b) south to north?

Solution $F=I l \times B$

$F=I l B \sin \theta$

The force per unit length is

$f=F / l=I B \sin \theta$

(a) When the current is flowing from east to west,

$ \theta=90^{\circ} $

Hence,

$ f=I \mathrm{~B} $

$=1 \times 3 \times 10^{-5}=3 \times 10^{-5} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}$

This is larger than the value $2 \times 10^{-7} \mathrm{Nm}^{-1}$ quoted in the definition of the ampere. Hence it is important to eliminate the effect of the earth’s magnetic field and other stray fields while standardising the ampere.

The direction of the force is downwards. This direction may be obtained by the directional property of cross product of vectors.

(b) When the current is flowing from south to north,

$\theta=0^{\circ}$

$f=0$

Hence there is no force on the conductor.

4.9 Torgue on Current Loop, Magnetic Dipole

4.9.1 Torque on a rectangular current loop in a uniform magnetic field

We now show that a rectangular loop carrying a steady current I and placed in a uniform magnetic field experiences a torque. It does not experience a net force. This behaviour is analogous to that of electric dipole in a uniform electric field (Section 1.11).

We first consider the simple case when the rectangular loop is placed such that the uniform magnetic field $\mathbf{B}$ is in the plane of the loop. This is illustrated in Fig. 4.18(a).

FIGURE 4.18 (a) A rectangular current-carrying coil in uniform magnetic field. The magnetic moment $\mathrm{m}$ points downwards. The torque $\tau$ is along the axis and tends to rotate the coil anticlockwise. (b) The couple acting on the coll.

The field exerts no force on the two arms $\mathrm{AD}$ and $\mathrm{BC}$ of the loop. It is perpendicular to the arm $\mathrm{AB}$ of the loop and exerts a force $\mathbf{F_1}$ on it which is directed into the plane of the loop. Its magnitude is,

$$ F_{1}=I b B $$

Similarly, it exerts a force $\mathbf{F_2}$ on the arm CD and $\mathbf{F_2}$ is directed out of the plane of the paper.

$$ F_{2}=I b B=F_{1} $$

Thus, the net force on the loop is zero. There is a torque on the loop due to the pair of forces $\mathbf{F_1}$ and $\mathbf{F_2}$. Figure 4.18(b) shows a view of the loop from the AD end. It shows that the torque on the loop tends to rotate it anticlockwise. This torque is (in magnitude),

$$ \begin{equation*} \tau= F_{1} \frac{a}{2}+F_{2} \frac{a}{2} \\ \end{equation*} $$

$$$ \begin{align*} & =I b B \frac{a}{2}+I b B \frac{a}{2}=I(a b) B \\ & =I A B \tag{4.20} \\ \end{align*} $$

where $A=a b$ is the area of the rectangle.

We next consider the case when the plane of the loop, is not along the magnetic field, but makes an angle with it. We take the angle between the field and the normal to the coil to be angle $\theta$ (The previous case corresponds to $\theta=\pi / 2$ ). Figure 4.19 illustrates this general case.

The forces on the arms BC and DA are equal, opposite, and act along the axis of the coil, which connects the centres of mass of BC and DA. Being collinear along the axis they cancel each other, resulting in no net force or torque. The forces on arms $\mathrm{AB}$ and $\mathrm{CD}$ are $\mathbf{F_\mathbf{1}}$ and $\mathbf{F_2}$. They too are equal and opposite, with magnitude,

$$ F_{1}=F_{2}=I b B $$

But they are not collinear! This results in a couple as before. The torque is, however, less than the earlier case when plane of loop was along the magnetic field. This is because the perpendicular distance between the forces of the couple has decreased. Figure 4.19(b) is a view of the arrangement from the $\mathrm{AD}$ end and it illustrates these two forces constituting a couple. The magnitude of the torque on the loop is,

$$ \begin{align*} \tau & =F _{1} \frac{a}{2} \sin \theta+F _{2} \frac{a}{2} \sin \theta \\ & =I a b B \sin \theta \\ & =I A B \sin \theta \tag{4.21} \end{align*} $$

FIGURE 4.19 (a) The area vector of the loop $\mathrm{ABCD}$ makes an arbitrary angle $\theta$ with the magnetic field. (b) Top view of the loop. The forces $\mathbf{F_1}$ and $\mathbf{F_2}$ acting on the arms $\mathrm{AB}$ and $\mathrm{CD}$ are indicated.

As $\theta \rightarrow 0$, the perpendicular distance between the forces of the couple also approaches zero. This makes the forces collinear and the net force and torque zero. The torques in Eqs. (4.20) and (4.21) can be expressed as vector product of the magnetic moment of the coil and the magnetic field. We define the magnetic moment of the current loop as

$$ \begin{equation*} \mathbf{m}=I \mathbf{A} \tag{4.22} \end{equation*} $$

where the direction of the area vector A is given by the right-hand thumb rule and is directed into the plane of the paper in Fig. 4.18. Then as the angle between m and B is θ , Eqs. (4.20) and (4.21) can be expressed by one expression

$$ \begin{equation*} \boldsymbol{\tau}=\mathbf{m} \times \mathbf{B} \tag{4.23} \end{equation*} $$

This is analogous to the electrostatic case (Electric dipole of dipole moment $\mathbf{p}_{\mathrm{e}}$ in an electric field $\mathbf{E}$ ).

$$ \boldsymbol{\tau}=\mathbf{p}_{\mathrm{e}} \times \mathbf{E} $$

As is clear from Eq. (4.22), the dimensions of the magnetic moment are $[\mathrm{A}]\left[\mathrm{L}^{2}\right]$ and its unit is $\mathrm{Am}^{2}$.

From Eq. (4.23), we see that the torque $\tau$ vanishes when $\mathbf{m}$ is either parallel or antiparallel to the magnetic field $\mathbf{B}$. This indicates a state of equilibrium as there is no torque on the coil (this also applies to any object with a magnetic moment $\mathbf{m}$). When $\mathbf{m}$ and $\mathbf{B}$ are parallel the equilibrium is a stable one. Any small rotation of the coil produces a torque which brings it back to its original position. When they are antiparallel, the equilibrium is unstable as any rotation produces a torque which increases with the amount of rotation. The presence of this torque is also the reason why a small magnet or any magnetic dipole aligns itself with the external magnetic field.

If the loop has $N$ closely wound turns, the expression for torque, Eq. (4.23), still holds, with

$$ \begin{equation*} \mathbf{m}=N I \mathbf{A} \tag{4.24} \end{equation*} $$

Example 4.10 A 100 turn closely wound circular coil of radius $10 \mathrm{~cm}$ carries a current of 3.2 A. (a) What is the field at the centre of the coil?

(b) What is the magnetic moment of this coil? The coil is placed in a vertical plane and is free to rotate about a horizontal axis which coincides with its diameter. A uniform magnetic field of $2 \mathrm{~T}$ in the horizontal direction exists such that initially the axis of the coil is in the direction of the field. The coil rotates through an angle of $90^{\circ}$ under the influence of the magnetic field.

(c) What are the magnitudes of the torques on the coil in the initial and final position?

(d) What is the angular speed acquired by the coil when it has rotated by $90^{\circ}$ ? The moment of inertia of the coil is $0.1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}$.

Solution

(a) From Eq. (4.12)

$$ B=\frac{\mu_{0} N I}{2 R} $$

Here, $N=100 ; I=3.2 \mathrm{~A}$, and $R=0.1 \mathrm{~m}$. Hence,

$$ \begin{aligned} B & =\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3.2}{2 \times 10^{-1}}=\frac{4 \times 10^{-5} \times 10}{2 \times 10^{-1}} \quad (\text { using } \pi \times 3.2=10 ) \\ & =2 \times 10^{-3} \mathrm{~T} \end{aligned} $$

The direction is given by the right-hand thumb rule.

(b) The magnetic moment is given by Eq. (4.24),

$m=N I A=N I \pi r^{2}=100 \times 3.2 \times 3.14 \times 10^{-2}=10 \mathrm{~A} \mathrm{~m}^{2}$

The direction is once again given by the right-hand thumb rule.

(c) $\tau=|\mathbf{m} \times \mathbf{B}|$ [from Eq. (4.23)]

$=m B \sin \theta$

Initially, $\theta=0$. Thus, initial torque $\tau_{i}=0$. Finally, $\theta=\pi / 2$ (or $90^{\circ}$ ). Thus, final torque $\tau_{f}=m B=10 \times 2=20 \mathrm{~N} \mathrm{~m}$.

(d) From Newton’s second law,

$g \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=m B \sin \theta$

where $\mathscr{g}$ is the moment of inertia of the coil. From chain rule,

$$ \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} \theta} \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} \theta} \omega $$

Using this,

g $\omega \mathrm{d} \omega=m B \sin \theta \mathrm{d} \theta$

Integrating from $\theta=0$ to $\theta=\pi / 2$,

$g \int_{0}^{\omega f} \omega \mathrm{d} \omega=m B \int_{0}^{\pi / 2} \sin \theta \mathrm{d} \theta$

$g \frac{\omega_{f}^{2}}{2}=-m B \cos \theta _{0} ^{\pi / 2}=m B$

$\omega_{f}=\left(\frac{2 m B}{g}\right)^{1 / 2}=\left(\frac{2 \times 20}{10^{-1}}\right)^{1 / 2}=20 \mathrm{~s}^{-1}$

Example 4.11

(a) A current-carrying circular loop lies on a smooth horizontal plane. Can a uniform magnetic field be set up in such a manner that the loop turns around itself (i.e., turns about the vertical axis).

(b) A current-carrying circular loop is located in a uniform external magnetic field. If the loop is free to turn, what is its orientation of stable equilibrium? Show that in this orientation, the flux of the total field (external field + field produced by the loop) is maximum.

(c) A loop of irregular shape carrying current is located in an external magnetic field. If the wire is flexible, why does it change to a circular shape?

Solution

(a) No, because that would require $\tau$ to be in the vertical direction. But $\tau=I \mathbf{A} \times \mathbf{B}$, and since $\mathbf{A}$ of the horizontal loop is in the vertical direction, $\tau$ would be in the plane of the loop for any $\mathbf{B}$.

(b) Orientation of stable equilibrium is one where the area vector $\mathbf{A}$ of the loop is in the direction of external magnetic field. In this orientation, the magnetic field produced by the loop is in the same direction as external field, both normal to the plane of the loop, thus giving rise to maximum flux of the total field.

(c) It assumes circular shape with its plane normal to the field to maximise flux, since for a given perimeter, a circle encloses greater area than any other shape.

4.9.2 Circular current loop as a magnetic dipole

In this section, we shall consider the elementary magnetic element: the current loop. We shall show that the magnetic field (at large distances) due to current in a circular current loop is very similar in behaviour to the electric field of an electric dipole. In Section 4.5, we have evaluated the magnetic field on the axis of a circular loop, of a radius R, carrying a steady current I. The magnitude of this field is [Eq. (4.11)],

$$ B=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{2\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}} $$

and its direction is along the axis and given by the right-hand thumb rule (Fig. 4.12). Here, $x$ is the distance along the axis from the centre of the loop. For $x > >$, we may drop the $R^{2}$ term in the denominator. Thus,

$$ B=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{2 x^{3}} $$

Note that the area of the loop $A=\pi R^{2}$. Thus,

$$ B=\frac{\mu_{0} I A}{2 \pi x^{3}} $$

As earlier, we define the magnetic moment $\mathbf{m}$ to have a magnitude $I A$, $\boldsymbol{m}=I \mathbf{A}$. Hence,

$$ \begin{align*} \mathrm{B} & \simeq \frac{\mu_{0} m}{2 \pi x^{3}} \\ & =\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 \mathbf{m}}{x^{3}} \tag{4.25 a} \end{align*} $$

The expression of Eq. [4.25 (a)] is very similar to an expression obtained earlier for the electric field of a dipole. The similarity may be seen if we substitute,

$$ \begin{aligned} \mathbf{m} & \rightarrow \mathbf{p}_{\mathrm{e}} \text { (electrostatic dipole) } \\ \mathbf{B} & \rightarrow \mathbf{E} \quad \text { (electrostatic field) } \end{aligned} $$

We then obtain,

$$ \mathbf{E}=\frac{2 \mathbf{p_e}}{4 \pi \varepsilon_{0} x^{3}} $$

which is precisely the field for an electric dipole at a point on its axis. considered in Chapter 1, Section 1.9 [Eq. (1.20)].

It can be shown that the above analogy can be carried further. We had found in Chapter 1 that the electric field on the perpendicular bisector of the dipole is given by [See Eq.(1.21)],

$$ E \simeq \frac{\mathbf{p_e}}{4 \pi \varepsilon_{0} x^{3}} $$

where $x$ is the distance from the dipole. If we replace $\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{m}$ and $\mu_{0} \rightarrow 1 / \varepsilon_{0}$ in the above expression, we obtain the result for $\mathbf{B}$ for a point in the plane of the loop at a distance $x$ from the centre. For $x > > R$,

$$ \begin{equation*} \mathbf{B} \approx \frac{\mu _{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{m}}{x^{3}} ; \quad x > >R \tag{4.25 b} \end{equation*} $$

The results given by Eqs. [4.25(a)] and [4.25(b)] become exact for a point magnetic dipole.

The results obtained above can be shown to apply to any planar loop: a planar current loop is equivalent to a magnetic dipole of dipole moment m = I A, which is the analogue of electric dipole moment p. Note, however, a fundamental difference: an electric dipole is built up of two elementary units — the charges (or electric monopoles). In magnetism, a magnetic dipole (or a current loop) is the most elementary element. The equivalent of electric charges, i.e., magnetic monopoles, are not known to exist.

We have shown that a current loop (i) produces a magnetic field (see Fig. 4.10) and behaves like a magnetic dipole at large distances, and (ii) is subject to torque like a magnetic needle. This led Ampere to suggest that all magnetism is due to circulating currents. This seems to be partly true and no magnetic monopoles have been seen so far. However, elementary particles such as an electron or a proton also carry an intrinsic magnetic moment, not accounted by circulating currents.

4.10 The Moving Coil Galvanometer

FIGURE 4.20 The moving coil galvanometer. Its elements are described in the text. Depending on the requirement, this device can be used as a current detector or for measuring the value of the current (ammeter) or voltage (voltmeter).

Currents and voltages in circuits have been discussed extensively in Chapters 3. But how do we measure them? How do we claim that current in a circuit is 1.5 A or the voltage drop across a resistor is 1.2 V? Figure 4.20 exhibits a very useful instrument for this purpose: the moving coil galvanometer (MCG). It is a device whose principle can be understood on the basis of our discussion in Section 4.9.

The galvanometer consists of a coil, with many turns, free to rotate about a fixed axis (Fig. 4.20), in a uniform radial magnetic field. There is a cylindrical soft iron core which not only makes the field radial but also increases the strength of the magnetic field. When a current flows through the coil, a torque acts on it. This torque is given by Eq. (4.20) to be

$$ \begin{equation*} \tau=N I A B \end{equation*} $$

where the symbols have their usual meaning. Since the field is radial by design, we have taken $\sin \theta=1$ in the above expression for the torque. The magnetic torque NIAB tends to rotate the coil. A spring $\mathrm{S}_{\mathrm{p}}$ provides a counter torque $k \phi$ that balances the magnetic torque $N I A B$; resulting in a steady angular deflection $\phi$. In equilibrium

$$ k \phi=N I A B $$

where $k$ is the torsional constant of the spring; i.e. the restoring torque per unit twist. The deflection $\phi$ is indicated on the scale by a pointer attached to the spring. We have

$$ \begin{equation*} \phi=\left(\frac{N A B}{k}\right) I \tag{4.26} \end{equation*} $$

The quantity in brackets is a constant for a given galvanometer. The galvanometer can be used in a number of ways. It can be used as a detector to check if a current is flowing in the circuit. We have come across this usage in the Wheatstone’s bridge arrangement. In this usage the neutral position of the pointer (when no current is flowing through the galvanometer) is in the middle of the scale and not at the left end as shown in Fig.4.20. Depending on the direction of the current, the pointer’s deflection is either to the right or the left.

FIGURE 4.21 Conversion of a galvanometer (G) to an ammeter by the introduction of a shunt resistance rs of very small value in parallel.

FIGURE 4.22 Conversion of a galvanometer (G) to a voltmeter by the introduction of a resistance R of large value in series.

The galvanometer cannot as such be used as an ammeter to measure the value of the current in a given circuit. This is for two reasons: (i) Galvanometer is a very sensitive device, it gives a fullscale deflection for a current of the order of $\mu \mathrm{A}$. (ii) For measuring currents, the galvanometer has to be connected in series, and as it has a large resistance, this will change the value of the current in the circuit. To overcome these difficulties, one attaches a small resistance $r_{s}$, called shunt resistance, in parallel with the galvanometer coil; so that most of the current passes through the shunt. The resistance of this arrangement is,

$$ R_{G} r_{s} /\left(R_{G}+r_{s}\right) \simeq r_{s} \quad \text { if } \quad R_{G} > > r_{s} $$

If $r_{s}$ has small value, in relation to the resistance of the rest of the circuit $R_{c}$, the effect of introducing the measuring instrument is also small and negligible. This arrangement is schematically shown in Fig. 4.21. The scale of this ammeter is calibrated and then graduated to read off the current value with ease. We define the current sensitivity of the galvanometer as the deflection per unit current. From Eq. (4.26) this current sensitivity is,

$$ \begin{equation*} \frac{\phi}{I}=\frac{N A B}{k} \tag{4.27} \end{equation*} $$

A convenient way for the manufacturer to increase the sensitivity is to increase the number of turns $N$. We choose galvanometers having sensitivities of value, required by our experiment.

The galvanometer can also be used as a voltmeter to measure the voltage across a given section of the circuit. For this it must be connected in parallel with that section of the circuit. Further, it must draw a very small current, otherwise the voltage measurement will disturb the original set up by an amount which is very large. Usually we like to keep the disturbance due to the measuring device below one per cent. To ensure this, a large resistance $R$ is connected in series with the galvanometer. This arrangement is schematically depicted in Fig.4.22. Note that the resistance of the voltmeter is now,

$$ R_{G}+R \simeq R \text { : large } $$

The scale of the voltmeter is calibrated to read off the voltage value with ease. We define the voltage sensitivity as the deflection per unit voltage. From Eq. (4.26),

$$ \begin{equation*} \frac{\phi}{V}=\left(\frac{N A B}{k}\right) \frac{I}{V}=\left(\frac{N A B}{k}\right) \frac{1}{R} \tag{4.28} \end{equation*} $$

An interesting point to note is that increasing the current sensitivity may not necessarily increase the voltage sensitivity. Let us take Eq. (4.27) which provides a measure of current sensitivity. If $N \rightarrow 2 N$, i.e., we double the number of turns, then

$$ \frac{\phi}{I} \rightarrow 2 \frac{\phi}{I} $$

Thus, the current sensitivity doubles. However, the resistance of the galvanometer is also likely to double, since it is proportional to the length of the wire. In Eq. (4.40), $N \rightarrow 2 N$, and $R \rightarrow 2 R$, thus the voltage sensitivity,

$$ \frac{\phi}{V} \rightarrow \frac{\phi}{V} $$

remains unchanged. So in general, the modification needed for conversion of a galvanometer to an ammeter will be different from what is needed for converting it into a voltmeter.

Example 4.12 In the circuit (Fig. 4.23) the current is to be measured. What is the value of the current if the ammeter shown (a) is a galvanometer with a resistance $R_{G}=60.00 \Omega$; (b) is a galvanometer described in (a) but converted to an ammeter by a shunt resistance $r_{s}=0.02 \Omega$; (c) is an ideal ammeter with zero resistance?

FIGURE 4.23

Solution

(a) Total resistance in the circuit is,

$$ R_{G}+3=63 \Omega \text {. Hence, } I=3 / 63=0.048 \text { A. } $$

(b) Resistance of the galvanometer converted to an ammeter is,

$$ \frac{R_{G} r_{s}}{R_{G}+r_{s}}=\frac{60 \Omega \times 0.02 \Omega}{(60+0.02) \Omega} \simeq 0.02 \Omega $$

Total resistance in the circuit is,

$$ 0.02 \Omega+3 \Omega=3.02 \Omega \text {. Hence, } I=3 / 3.02=0.99 \mathrm{~A} \text {. } $$

(c) For the ideal ammeter with zero resistance,

$$ I=3 / 3=1.00 \mathrm{~A} $$

SUMMARY

1. The total force on a charge $q$ moving with velocity $\mathbf{v}$ in the presence of magnetic and electric fields $\mathbf{B}$ and $\mathbf{E}$, respectively is called the Lorentz force. It is given by the expression:

$\mathbf{F}=q(\mathbf{v} \times \mathbf{B}+\mathbf{E})$

The magnetic force $q(\mathbf{v} \times \mathbf{B})$ is normal to $\mathbf{v}$ and work done by it is zero.

2. A straight conductor of length $l$ and carrying a steady current $I$ experiences a force $\mathbf{F}$ in a uniform external magnetic field $\mathbf{B}$,

$\mathbf{F}=I \mathbf{1} \times \mathbf{B}$

where $|\mathbf{1}|=l$ and the direction of $\mathbf{1}$ is given by the direction of the current.

3. In a uniform magnetic field $\mathbf{B}$, a charge $q$ executes a circular orbit in a plane normal to $\mathbf{B}$. Its frequency of uniform circular motion is called the cyclotron frequency and is given by:

$$ v_{c}=\frac{q B}{2 \pi m} $$

This frequency is independent of the particle’s speed and radius. This fact is exploited in a machine, the cyclotron, which is used to accelerate charged particles.

4. The Biot-Savart law asserts that the magnetic field $d \mathbf{B}$ due to an element dl carrying a steady current $I$ at a point $\mathrm{P}$ at a distance $r$ from the current element is:

$$\mathrm{d} \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I \frac{\mathrm{d} \mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^{3}}$$

To obtain the total field at $\mathrm{P}$, we must integrate this vector expression over the entire length of the conductor.

5. The magnitude of the magnetic field due to a circular coil of radius $R$ carrying a current $I$ at an axial distance $x$ from the centre is

$$ B=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{2\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}} $$

At the centre this reduces to

$$ B=\frac{\mu_{0} I}{2 R} $$

6. Ampere’s Circuital Law: Let an open surface $\mathrm{S}$ be bounded by a loop C. Then the Ampere’s law states that $\oint_{C} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=\mu_{0} I$ where $I$ refers to the current passing through $\mathrm{S}$. The sign of $I$ is determined from the right-hand rule. We have discussed a simplified form of this law. If $\mathbf{B}$ is directed along the tangent to every point on the perimeter $L$ of a closed curve and is constant in magnitude along perimeter then,

$B L=\mu_{0} I_{e}$

where $I_{e}$ is the net current enclosed by the closed circuit.

7. The magnitude of the magnetic field at a distance $R$ from a long, straight wire carrying a current $I$ is given by: $B=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$

The field lines are circles concentric with the wire.

8. The magnitude of the field $B$ inside a long solenoid carrying a current $I$ is

$B=\mu_{0} n I$

where $n$ is the number of turns per unit length. where $N$ is the total number of turns and $r$ is the average radius.

9. Parallel currents attract and anti-parallel currents repel.

10. A planar loop carrying a current $I$, having $N$ closely wound turns, and an area $A$ possesses a magnetic moment $\mathbf{m}$ where,

$\mathbf{m}=\mathrm{N} I \mathbf{A}$

and the direction of $\mathbf{m}$ is given by the right-hand thumb rule : curl the palm of your right hand along the loop with the fingers pointing in the direction of the current. The thumb sticking out gives the direction of $\mathbf{m}$ (and $\mathbf{A}$ ) When this loop is placed in a uniform magnetic field $\mathbf{B}$, the force $\mathbf{F}$ on it is: $F=0$

And the torque on it is,

$\tau=\mathbf{m} \times \mathbf{B}$

In a moving coil galvanometer, this torque is balanced by a countertorque due to a spring, yielding

$k \phi=N I A B$

where $\phi$ is the equilibrium deflection and $k$ the torsion constant of the spring.

11. A moving coil galvanometer can be converted into a ammeter by introducing a shunt resistance $r_{s}$, of small value in parallel. It can be converted into a voltmeter by introducing a resistance of a large value in series.

Physical Quantity Symbol Nature Dimensions Units Remarks
Permeability of free
space
$\mu_{0}$ Scalar $\left[\mathrm{MLT}^{-2} \mathrm{~A}^{-2}\right]$ $\mathrm{T} \mathrm{m} \mathrm{A}^{-1}$ $4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1}$
Magnetic Field $\mathbf{B}$ Vector $\left[\mathrm{M} \mathrm{T}^{-2} \mathrm{~A}^{-1}\right]$ $\mathrm{T}$ (telsa)
Magnetic Moment $\mathbf{m}$ Vector $\left[\mathrm{L}^{2} \mathrm{~A}\right]$ $\mathrm{A} \mathrm{m}^{2}$ or J/T
Torsion Constant $k$ Scalar $\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ $\mathrm{N} \mathrm{m} \mathrm{rad}^{-1}$ Appears in $\mathrm{MCG}$

POINTS TO PONDER

1. Electrostatic field lines originate at a positive charge and terminate at a negative charge or fade at infinity. Magnetic field lines always form closed loops.

2. The discussion in this Chapter holds only for steady currents which do not vary with time.

When currents vary with time Newton’s third law is valid only if momentum carried by the electromagnetic field is taken into account.

3. Recall the expression for the Lorentz force,

$\mathbf{F}=q(\mathbf{v} \times \mathbf{B}+\mathbf{E})$

This velocity dependent force has occupied the attention of some of the greatest scientific thinkers. If one switches to a frame with instantaneous velocity $\mathbf{v}$, the magnetic part of the force vanishes. The motion of the charged particle is then explained by arguing that there exists an appropriate electric field in the new frame. We shall not discuss the details of this mechanism. However, we stress that the resolution of this paradox implies that electricity and magnetism are linked phenomena (electromagnetism) and that the Lorentz force expression does not imply a universal preferred frame of reference in nature.

4. Ampere’s Circuital law is not independent of the Biot-Savart law. It can be derived from the Biot-Savart law. Its relationship to the Biot-Savart law is similar to the relationship between Gauss’s law and Coulomb’s law.

Exercises

4.1 A circular coil of wire consisting of 100 turns, each of radius $8.0 \mathrm{~cm}$ carries a current of $0.40 \mathrm{~A}$. What is the magnitude of the magnetic field $\mathbf{B}$ at the centre of the coil?

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Number of turns on the circular coil, $n=100$

Radius of each turn, $r=8.0 \mathrm{~cm}=0.08 \mathrm{~m}$

Current flowing in the coil, $I=0.4 \mathrm{~A}$

Magnitude of the magnetic field at the centre of the coil is given by the relation,

$$ |\mathbf{B}|=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 \pi n I}{r} $$

Where,

$$ \mu_{0}=\text { Permeability of free space } $$

$$ =4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1} $$

$$ \begin{aligned} |\mathbf{B}| & =\frac{4 \pi \times 10^{-7}}{4 \pi} \times \frac{2 \pi \times 100 \times 0.4}{0.08} \\ & =3.14 \times 10^{-4} \mathrm{~T} \end{aligned} $$

Hence, the magnitude of the magnetic field is $3.14 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$.

4.2 A long straight wire carries a current of $35 \mathrm{~A}$. What is the magnitude of the field $\mathbf{B}$ at a point $20 \mathrm{~cm}$ from the wire?

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Answer

Current in the wire, $I=35 \mathrm{~A}$

Distance of a point from the wire, $r=20 \mathrm{~cm}=0.2 \mathrm{~m}$

Magnitude of the magnetic field at this point is given as:

$$ B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 I}{r} $$

Where,

$$ \begin{aligned} \mu_{0} & =\text { Permeability of free space }=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1} \\ B & =\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times 35}{4 \pi \times 0.2} \\ & =3.5 \times 10^{-5} \mathrm{~T} \end{aligned} $$

Hence, the magnitude of the magnetic field at a point $20 \mathrm{~cm}$ from the wire is $3.5 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$.

4.3 A long straight wire in the horizontal plane carries a current of $50 \mathrm{~A}$ in north to south direction. Give the magnitude and direction of $\mathbf{B}$ at a point $2.5 \mathrm{~m}$ east of the wire.

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Answer

Current in the wire, $I=50 \mathrm{~A}$

A point is $2.5 \mathrm{~m}$ away from the East of the wire.

$\therefore$ Magnitude of the distance of the point from the wire, $r=2.5 \mathrm{~m}$.

Magnitude of the magnetic field at that point is given by the relation, $B=\frac{\mu_{0} 2 I}{4 \pi r}$

Where,

$$ \begin{aligned} \mu_{0} & =\text { Permeability of free space }=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1} \\ B & =\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times 50}{4 \pi \times 2.5} \\ & =4 \times 10^{-6} \mathrm{~T} \end{aligned} $$

The point is located normal to the wire length at a distance of $2.5 \mathrm{~m}$. The direction of the current in the wire is vertically downward. Hence, according to the Maxwell’s right hand thumb rule, the direction of the magnetic field at the given point is vertically upward.

4.4 A horizontal overhead power line carries a current of $90 \mathrm{~A}$ in east to west direction. What is the magnitude and direction of the magnetic field due to the current $1.5 \mathrm{~m}$ below the line?

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Answer

Current in the power line, $I=90 \mathrm{~A}$

Point is located below the power line at distance, $r=1.5 \mathrm{~m}$

Hence, magnetic field at that point is given by the relation,

$$ B=\frac{\mu_{0} 2 I}{4 \pi r} $$

Where,

$\mu_{0}=$ Permeability of free space $=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1}$

$B=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times 90}{4 \pi \times 1.5}=1.2 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$

The current is flowing from East to West. The point is below the power line. Hence, according to Maxwell’s right hand thumb rule, the direction of the magnetic field is towards the South.

4.5 What is the magnitude of magnetic force per unit length on a wire carrying a current of $8 \mathrm{~A}$ and making an angle of $30^{\circ}$ with the direction of a uniform magnetic field of $0.15 \mathrm{~T}$ ?

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Current in the wire, $I=8 \mathrm{~A}$

Magnitude of the uniform magnetic field, $B=0.15 \mathrm{~T}$

Angle between the wire and magnetic field, $\theta=30^{\circ}$.

Magnetic force per unit length on the wire is given as:

$f=B I \sin \theta$

$=0.15 \times 8 \times 1 \times \sin 30^{\circ}$

$=0.6 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}$

Hence, the magnetic force per unit length on the wire is $0.6 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}$.

4.6 A $3.0 \mathrm{~cm}$ wire carrying a current of $10 \mathrm{~A}$ is placed inside a solenoid perpendicular to its axis. The magnetic field inside the solenoid is given to be $0.27 \mathrm{~T}$. What is the magnetic force on the wire?

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Length of the wire, $l=3 \mathrm{~cm}=0.03 \mathrm{~m}$

Current flowing in the wire, $I=10 \mathrm{~A}$

Magnetic field, $B=0.27 \mathrm{~T}$

Angle between the current and magnetic field, $\theta=90^{\circ}$

Magnetic force exerted on the wire is given as:

$F=B I l \sin \theta$

$=0.27 \times 10 \times 0.03 \sin 90^{\circ}$

$=8.1 \times 10^{-2} \mathrm{~N}$

Hence, the magnetic force on the wire is $8.1 \times 10^{-2} \mathrm{~N}$. The direction of the force can be obtained from Fleming’s left hand rule.

4.7 Two long and parallel straight wires A and B carrying currents of 8.0 A and 5.0 A in the same direction are separated by a distance of $4.0 \mathrm{~cm}$. Estimate the force on a $10 \mathrm{~cm}$ section of wire A.

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Answer

Current flowing in wire $\mathrm{A}, I_{\mathrm{A}}=8.0 \mathrm{~A}$

Current flowing in wire B, $I_{\mathrm{B}}=5.0 \mathrm{~A}$

Distance between the two wires, $r=4.0 \mathrm{~cm}=0.04 \mathrm{~m}$

Length of a section of wire A, $l=10 \mathrm{~cm}=0.1 \mathrm{~m}$

Force exerted on length $l$ due to the magnetic field is given as:

$$ B=\frac{\mu_{0} 2 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} l}{4 \pi r} $$

Where,

$\mu_{0}=$ Permeability of free space $=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1}$

$$ \begin{aligned} B & =\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times 8 \times 5 \times 0.1}{4 \pi \times 0.04} \\ & =2 \times 10^{-5} \mathrm{~N} \end{aligned} $$

The magnitude of force is $2 \times 10^{-5} \mathrm{~N}$. This is an attractive force normal to A towards B because the direction of the currents in the wires is the same.

4.8 A closely wound solenoid $80 \mathrm{~cm}$ long has 5 layers of windings of 400 turns each. The diameter of the solenoid is $1.8 \mathrm{~cm}$. If the current carried is $8.0 \mathrm{~A}$, estimate the magnitude of $\mathbf{B}$ inside the solenoid near its centre.

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Length of the solenoid, $l=80 \mathrm{~cm}=0.8 \mathrm{~m}$

There are five layers of windings of 400 turns each on the solenoid.

$\therefore$ Total number of turns on the solenoid, $N=5 \times 400=2000$

Diameter of the solenoid, $D=1.8 \mathrm{~cm}=0.018 \mathrm{~m}$

Current carried by the solenoid, $I=8.0 \mathrm{~A}$

Magnitude of the magnetic field inside the solenoid near its centre is given by the relation,

$$ B=\frac{\mu_{0} N I}{l} $$

Where,

$$ \begin{aligned} \mu_{0} & =\text { Permeability of free space }=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1} \\ B & =\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 8}{0.8} \\ & =8 \pi \times 10^{-3}=2.512 \times 10^{-2} \mathrm{~T} \end{aligned} $$

Hence, the magnitude of the magnetic field inside the solenoid near its centre is $2.512 \times$ $10^{-2} \mathrm{~T}$.

4.9 A square coil of side $10 \mathrm{~cm}$ consists of 20 turns and carries a current of $12 \mathrm{~A}$. The coil is suspended vertically and the normal to the plane of the coil makes an angle of $30^{\circ}$ with the direction of a uniform horizontal magnetic field of magnitude $0.80 \mathrm{~T}$. What is the magnitude of torque experienced by the coil?

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Length of a side of the square coil, $l=10 \mathrm{~cm}=0.1 \mathrm{~m}$

Current flowing in the coil, $I=12 \mathrm{~A}$

Number of turns on the coil, $n=20$

Angle made by the plane of the coil with magnetic field, $\theta=30^{\circ}$

Strength of magnetic field, $B=0.80 \mathrm{~T}$

Magnitude of the magnetic torque experienced by the coil in the magnetic field is given by the relation,

$\tau=n B I A \sin \theta$

Where,

$A=$ Area of the square coil

$\Rightarrow l \times l=0.1 \times 0.1=0.01 \mathrm{~m}^{2}$

$\therefore \tau=20 \times 0.8 \times 12 \times 0.01 \times \sin 30^{\circ}$

$=0.96 \mathrm{~N} \mathrm{~m}$

Hence, the magnitude of the torque experienced by the coil is $0.96 \mathrm{~N} \mathrm{~m}$.

4.10 Two moving coil meters, $M_{1}$ and $M_{2}$ have the following particulars:

$R_{1}=10 \Omega, N_{1}=30$,

$A_{1}=3.6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}, B_{1}=0.25 \mathrm{~T}$

$R_{2}=14 \Omega, \quad N_{2}=42$,

$A_{2}=1.8 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}, B_{2}=0.50 \mathrm{~T}$

(The spring constants are identical for the two meters).

Determine the ratio of (a) current sensitivity and (b) voltage sensitivity of $M_{2}$ and $M_{1}$.

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For moving coil meter $\mathrm{M}_{1}$ :

Resistance, $R_{1}=10 \Omega$

Number of turns, $N_{1}=30$

Area of cross-section, $A_{1}=3.6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$

Magnetic field strength, $B_{1}=0.25 \mathrm{~T}$

Spring constant $K_{1}=K$

For moving coil meter $\mathrm{M}_{2}$ :

Resistance, $R_{2}=14 \Omega$

Number of turns, $N_{2}=42$

Area of cross-section, $A_{2}=1.8 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$

Magnetic field strength, $B_{2}=0.50 \mathrm{~T}$

Spring constant, $K_{2}=K$

Current sensitivity of $M_{1}$ is given as:

$$ I_{\mathrm{s} 1}=\frac{N_{1} B_{1} A_{1}}{K_{1}} $$

And, current sensitivity of $M_{2}$ is given as:

$$ \begin{aligned} & I_{52}=\frac{N_{2} B_{2} A_{2}}{K_{2}} \\ & \therefore \text { Ratio } \frac{I_{\mathrm{s} 2}}{I_{\mathrm{sl}}}=\frac{N_{2} B_{2} A_{2} K_{1}}{K_{2} N_{1} B_{1} A_{1}} \\ & =\frac{42 \times 0.5 \times 1.8 \times 10^{-3} \times K}{K \times 30 \times 0.25 \times 3.6 \times 10^{-3}}=1.4 \end{aligned} $$

Hence, the ratio of current sensitivity of $\mathrm{M} _{2}$ to $\mathrm{M} _{1}$ is 1.4 .

Voltage sensitivity for $\mathrm{M}_{2}$ is given as:

$$ V_{\mathrm{s} 2}=\frac{N_{2} B_{2} A_{2}}{K_{2} R_{2}} $$

And, voltage sensitivity for $\mathrm{M} _{1}$ is given as:

$$ V_{\mathrm{sl}}=\frac{N_{1} B_{1} A_{1}}{K_{1}} $$

$\therefore$ Ratio $\frac{V_{\mathrm{s} 2}}{V_{\mathrm{s} 1}}=\frac{N_{2} B_{2} A_{2} K_{1} R_{1}}{K_{2} R_{2} N_{1} B_{1} A_{1}}$

$=\frac{42 \times 0.5 \times 1.8 \times 10^{-3} \times 10 \times K}{K \times 14 \times 30 \times 0.25 \times 3.6 \times 10^{-3}}=1$

Hence, the ratio of voltage sensitivity of $M_{2}$ to $M_{1}$ is 1 .

4.11 In a chamber, a uniform magnetic field of $6.5 \mathrm{G}\left(1 \mathrm{G}=10^{-4} \mathrm{~T}\right)$ is maintained. An electron is shot into the field with a speed of $4.8 \times 10^{6} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ normal to the field. Explain why the path of the electron is a circle. Determine the radius of the circular orbit.

$\left(e=1.5 \times 10^{-19} \mathrm{C}, m_{e}=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}\right)$

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Magnetic field strength, $B=6.5 \mathrm{G}=6.5 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$

Speed of the electron, $v=4.8 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

Charge on the electron, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

Mass of the electron, $m_{e}=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

Angle between the shot electron and magnetic field, $\theta=90^{\circ}$

Magnetic force exerted on the electron in the magnetic field is given as:

$F=e v B \sin \theta$

This force provides centripetal force to the moving electron. Hence, the electron starts moving in a circular path of radius $r$.

Hence, centripetal force exerted on the electron,

$$ F_{\mathrm{c}}=\frac{m v^{2}}{r} $$

In equilibrium, the centripetal force exerted on the electron is equal to the magnetic force i.e.,

$$ \begin{aligned} & F_{\mathrm{c}}=F \\ & \frac{m v^{2}}{r}=e v B \sin \theta \\ & r=\frac{m v}{B e \sin \theta} \\ & \quad=\frac{9.1 \times 10^{-31} \times 4.8 \times 10^{6}}{6.5 \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-19} \times \sin 90^{\circ}} \\ & =4.2 \times 10^{-2} \mathrm{~m}=4.2 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

Hence, the radius of the circular orbit of the electron is $4.2 \mathrm{~cm}$.

4.12 In Exercise 4.11 obtain the frequency of revolution of the electron in its circular orbit. Does the answer depend on the speed of the electron? Explain.

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Answer

Magnetic field strength, $B=6.5 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$

Charge of the electron, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

Mass of the electron, $m_{e}=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

Velocity of the electron, $v=4.8 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

Radius of the orbit, $r=4.2 \mathrm{~cm}=0.042 \mathrm{~m}$

Frequency of revolution of the electron $=v$

Angular frequency of the electron $=\omega=2 \pi v$

Velocity of the electron is related to the angular frequency as:

$v=r \omega$

In the circular orbit, the magnetic force on the electron is balanced by the centripetal force. Hence, we can write:

$$ \begin{aligned} & e v B=\frac{m v^{2}}{r} \\ & e B=\frac{m}{r}(r \omega)=\frac{m}{r}(r 2 \pi v) \\ & v=\frac{B e}{2 \pi m} \end{aligned} $$

This expression for frequency is independent of the speed of the electron.

On substituting the known values in this expression, we get the frequency as:

$$ \begin{aligned} v & =\frac{6.5 \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}} \\ & =18.2 \times 10^{6} \mathrm{~Hz} \\ & \approx 18 \mathrm{MHz} \end{aligned} $$

Hence, the frequency of the electron is around $18 \mathrm{MHz}$ and is independent of the speed of the electron.

4.13 (a) A circular coil of 30 turns and radius $8.0 \mathrm{~cm}$ carrying a current of $6.0 \mathrm{~A}$ is suspended vertically in a uniform horizontal magnetic field of magnitude $1.0 \mathrm{~T}$. The field lines make an angle of $60^{\circ}$ with the normal of the coil. Calculate the magnitude of the counter torque that must be applied to prevent the coil from turning.

(b) Would your answer change, if the circular coil in (a) were replaced by a planar coil of some irregular shape that encloses the same area? (All other particulars are also unaltered.)

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Answer

Number of turns on the circular coil, $n=30$

Radius of the coil, $r=8.0 \mathrm{~cm}=0.08 \mathrm{~m}$

Area of the coil $=\pi r^{2}=\pi(0.08)^{2}=0.0201 \mathrm{~m}^{2}$

Current flowing in the coil, $I=6.0 \mathrm{~A}$

Magnetic field strength, $B=1 \mathrm{~T}$

Angle between the field lines and normal with the coil surface,

$\theta=60^{\circ}$

The coil experiences a torque in the magnetic field. Hence, it turns. The counter torque applied to prevent the coil from turning is given by the relation,

$\tau=n I B A \sin \theta$.

$=30 \times 6 \times 1 \times 0.0201 \times \sin 60^{\circ}$

$=3.133 \mathrm{~N} \mathrm{~m}$

It can be inferred from relation (i) that the magnitude of the applied torque is not dependent on the shape of the coil. It depends on the area of the coil. Hence, the answer would not change if the circular coil in the above case is replaced by a planar coil of some irregular shape that encloses the same area.

4.1 भूमिका

2000 वर्ष से भी पहले विद्युत तथा चुंबकत्व दोनों ही के बारे में लोगों को ज्ञान था। फिर भी लगभग 200 वर्ष पूर्व, 1820 में यह स्पष्ट अनुभव किया गया कि इन दोनों में अटूट संबंध है। 1820 की ग्रीष्म ऋतु में, डच भौतिकविज्ञानी हैंस क्रिश्चियन ऑर्स्टेड ने, अपने एक भाषण के दौरान प्रयोग प्रदर्शित करते हुए देखा कि एक सीधे तार में विद्युत धारा प्रवाहित करने पर पास रखी हुई चुंबकीय सुई में सुस्पष्ट विक्षेप प्राप्त होता है। उन्होंने इस परिघटना पर शोध आरंभ किया। उन्होंने पाया कि चुंबकीय सुई तार के अभिलंबवत तल में तार की स्थिति के केंद्रतः वृत्त की स्पर्श रेखा के समांतर संरेखित होती है। इस स्थिति को चित्र 4.1(a) में दर्शाया गया है। पर यह देखने के लिए तार में पर्याप्त धारा प्रवाहित होनी चाहिए और चुंबकीय सुई तार के काफी निकट रखी होनी चाहिए ताकि पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र की उपेक्षा की जा सके। यदि तार में धारा की दिशा विपरीत कर दी जाए तो चुंबकीय सुई भी घूम कर विपरीत दिशा में संरेखित हो जाती है [चित्र 4.1(b) देखिए]। तार में धारा का परिमाण बढ़ाने या सुई को तार के निकट लाने से चुंबकीय सुई का विक्षेप बढ़ जाता है। तार के चारों ओर यदि लौह चूर्ण छिड़कें तो इसके कण तार के चारों ओर संकेंद्री वृत्तों में व्यवस्थित हो जाते हैं [चित्र 4.1(c) देखिए]। इस परिघटना से ऑर्स्टेड ने निष्कर्ष निकाला कि गतिमान आवेश (धारा) अपने चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।

इसके पश्चात प्रयोगों की गति तीव्र हो गई। सन 1864 में विद्युत तथा चुंबकत्व के सर्वमान्य नियमों को जेम्स मैक्सवेल ने एकीकृत करके नए नियम बनाए और यह स्पष्ट अनुभव किया कि प्रकाश वास्तव में विद्युत चुंबकीय तरंगें हैं। हर्ट्ज़ ने रेडियो तरंगों की खोज की तथा 19 वीं शताब्दी के अंत तक सर जे.सी. बोस तथा मार्कोनी ने इन तरंगों को उत्पन्न किया। 20 वीं शताब्दी में विज्ञान तथा प्रौद्योगिकी में आश्चर्यजनक प्रगति हुई है। यह प्रगति विद्युत चुंबकत्व के हमारे बढ़ते ज्ञान तथा विद्युत चुंबकीय तरंगों को उत्पन्न, प्रबर्धित, प्रेषित तथा संसूचित करने वाली युक्तियों की खोज के कारण हुई है।

चित्र 4.1 एक सीधे लंबे धारावाही तार के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र। तार, कागज़ के तल पर अभिलंबवत है। तार के चारों ओर चुंबकीय सुइयों की एक मुद्रिका बनाई गई है। चुंबकीय सुइयों का अभिविन्यास- (a) जब धारा कागज़ के तल से बाहर की ओर प्रवाहित होती है। (b) जब धारा कागज़ के तल से अंदर की ओर प्रवाहित होती है। (c) लौह चूर्ण कणों का तार के चारों ओर अभिविन्यास। सुइयों के काले सिरे उत्तरी ध्रुव प्रदर्शित करते हैं। यहाँ भू-चुंबकत्व के प्रभाव की उपेक्षा की गई है।

हैंस क्रिश्चियन ऑर्स्टेड (1777-1851) डेनमार्क के भौतिकविज्ञानी एवं रसायनज्ञ, कॉपेनहेगन में प्रोफ़ेसर थे। उन्होंने यह देखा कि किसी चुंबकीय सुई को जब एक ऐसे तार के पास रखा जाता है जिसमें विद्युत धारा प्रवाहित हो रही हो तो उसमें विक्षेप होता है। इस खोज ने वैद्युत एवं चुंबकीय प्रक्रमों के बीच संबंध का पहला आनुभविक प्रमाण प्रस्तुत किया।

इस अध्याय में हम यह देखेंगे कि चुंबकीय क्षेत्र किस प्रकार आवेशित कणों; जैसे-इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन तथा विद्युत धारावाही तारों पर बल आरोपित करते हैं। हम यह भी सीखेंगे कि विद्युत धाराएँ किस प्रकार चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं। हम यह देखेंगे कि साइक्लोट्रॉन में किस प्रकार कणों को अति उच्च ऊर्जाओं तक त्वरित किया जा सकता है। हम गैल्वेनोमीटर द्वारा विद्युतधाराओं एवं वोल्टताओं के संसूचन के विषय में भी अध्ययन करेंगे।

इस अध्याय तथा आगे आने वाले चुंबकत्व के अध्यायों में हम निम्नलिखित परिपाटी को अपनाएँगे। कागज़ के तल से बाहर की ओर निर्गत विद्युत धारा अथवा क्षेत्र (विद्युत अथवा चुंबकीय) को एक बिंदु $(\odot)$ द्वारा व्यक्त किया जाता है। कागज़ के तल में भीतर की ओर जाती विद्युत धारा अथवा विद्युत क्षेत्र को एक क्रॉस $(\otimes)^{*}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है। चित्र 4.1(a) तथा 4.1(b) क्रमशः इन दो स्थितियों के तदनुरूपी हैं।

4.2 चुंबकीय बल

4.2.1 स्रोत और क्षेत्र

हेंड्रिक ऐंटून लोरेंज़ (1853 1928) लोरेंज़ डेनमार्क के सैद्धांतिक भौतिकविज्ञानी, लिडेन में प्रोफ़ेसर थे। उन्होंने विद्युत, चुंबकत्व तथा यांत्रिकी में संबंध की खोज की। प्रकाश उत्सर्जकों पर चुंबकीय क्षेत्र के प्रेक्षित प्रभावों (जीमान प्रभाव) की व्याख्या करने के लिए इन्होंने परमाणु में वैद्युत आवेशों के अस्तित्व होने को अभिगृहीत किया। इसके लिए इन्हें 1902 में नोबेल पुरस्कार प्रदान किया गया। इन्होंने कुछ जटिल उलझन भरे गणितीय तर्कों के आधार पर कुछ रूपांतरण समीकरणों का एक समुच्चय व्युत्पन्न किया जिसे उनके सम्मान में लोरेंज़ रूपांतरण समीकरण कहते हैं। समीकरणों को व्युत्पन्न करते समय इन्हें इस तथ्य के बारे में यह ज्ञात नहीं था कि ये समीकरण काल तथा दिक्स्थान की नयी अभिधारणा पर अवलंबित हैं।

किसी चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ की अभिधारणा को प्रस्तावित करने से पहले हम संक्षेप में यह दोहराएँगे कि हमने अध्याय 1 के अंतर्गत विद्युत क्षेत्र $\mathbf{E}$ के विषय में क्या सीखा है। हमने यह देखा है कि दो आवेशों के बीच अन्योन्य क्रिया पर दो चरणों में विचार किया जा सकता है। आवेश $Q$ जोकि विद्युत क्षेत्र का स्रोत है, एक विद्युत क्षेत्र $\mathbf{E}$ उत्पन्न करता है-

  • कोई डाट (बिंदु) आपकी ओर संकेत करते तीर की नोंक जैसा प्रतीत होता है तथा क्रॉस किसी तीर की पंखयुक्त पूँछ जैसा प्रतीत होता है।

$$ \begin{equation*} \mathbf{E}=\mathrm{Q} \hat{\mathbf{r}} /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) r^{2} \tag{4.1} \end{equation*} $$

यहाँ $\hat{\mathbf{r}}, \mathbf{r}$ के अनुदिश एकांक सदिश है तथा क्षेत्र $\mathbf{E}$ एक सदिश क्षेत्र है। कोई आवेश $q$ इस क्षेत्र से अन्योन्य क्रिया करके एक बल $\mathbf{F}$ का अनुभव करता है

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}=q \mathbf{E}=q Q \hat{\mathbf{r}} /\left(4 \pi \varepsilon _{0}\right) r^{2} \tag{4.2} \end{equation*} $$

जैसा कि अध्याय 1 में निर्दिष्ट किया जा चुका है कि विद्युत क्षेत्र $\mathbf{E}$ मात्र शिल्प तथ्य ही नहीं है, परंतु इसकी भौतिक भूमिका भी है। यह ऊर्जा तथा संवेग संप्रेषित कर सकता है तथा यह तत्क्षण ही स्थापित नहीं हो जाता वरन इसके फैलने में परिमित समय लगता है। क्षेत्र की अभिधारणा को फैराडे द्वारा विशेष महत्त्व दिया गया तथा मैक्सवेल ने विद्युत तथा चुंबकत्व को एकीकृत करने में इस अभिधारणा को समावेशित किया। दिक्स्थान में प्रत्येक बिंदु पर निर्भर होने के साथ-साथ यह समय के साथ भी परिवर्तित हो सकता है, अर्थात यह समय का फलन है। इस अध्याय में हम अपनी चर्चा में, यह मानेंगे कि समय के साथ क्षेत्र में परिवर्तन नहीं होता।

किसी विशेष बिंदु पर विद्युत क्षेत्र एक अथवा अधिक आवेशों के कारण हो सकता है। यदि एक से अधिक आवेश हैं तो उनके कारण उत्पन्न क्षेत्र सदिश रूप से संयोजित हो जाते हैं। आप पहले अध्याय में यह सीख ही चुके हैं कि इसे अध्यारोपण का सिद्धांत कहते हैं। एक बार यदि क्षेत्र ज्ञात है तो परीक्षण आवेश पर बल को समीकरण (4.2) द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।

जिस प्रकार स्थिर आवेश विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं, विद्युत धाराएँ अथवा गतिमान आवेश (विद्युत क्षेत्र के साथ-साथ) चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं जिसे $B(r)$ द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है तथा यह भी एक सदिश क्षेत्र है। इसके विद्युत क्षेत्र के समरूप बहुत से मूल गुण हैं। इसे दिक्स्थान के हर बिंदु पर परिभाषित किया जाता है (और साथ ही समय पर निर्भर कर सकता है)। प्रयोगों द्वारा यह पाया गया है कि यह अध्यारोपण के सिद्धांत का पालन करता है। अध्यारोपण का सिद्धांत इस प्रकार है-बहुत से स्रोतों का चुंबकीय क्षेत्र प्रत्येक व्यष्टिगत स्रोत के चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग होता है।

4.2.2 चुंबकीय क्षेत्र, लोरेंज बल

मान लीजिए विद्युत क्षेत्र $E(r)$ तथा चुंबकीय क्षेत्र $B(r)$ दोनों की उपस्थिति में कोई बिंदु आवेश $q$ (वेग $\mathbf{v}$ से गतिमान तथा किसी दिए गए समय $t$ पर $\mathbf{r}$ पर स्थित) विद्यमान है। किसी आवेश $q$ पर इन दोनों क्षेत्रों द्वारा आरोपित बल को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है-

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}=q[\mathbf{E}(\mathbf{r})+\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r})]=\mathbf{F} _{\text {विद्युत }}+\mathbf{F} _{\text {चुंबकीय }} \tag{4.3} \end{equation*} $$

इस बल को सर्वप्रथम एच.ए. लोरेंज ने ऐम्पियर तथा अन्य वैज्ञानिकों द्वारा विस्तृत पैमाने पर किए गए प्रयोगों के आधार पर व्यक्त किया था। इस बल को अब लोरेंज बल कहते हैं। विद्युत क्षेत्र के कारण लगने वाले बल के बारे में तो आप विस्तार से अध्ययन कर ही चुके हैं। यदि हम चुंबकीय क्षेत्र के साथ अन्योन्य क्रिया पर ध्यान दें तो हमें निम्नलिखित विशेषताएँ मिलती हैं-

(i) यह $q, \mathbf{v}$ तथा $\mathbf{B}$ (कण के आवेश, वेग तथा चुंबकीय क्षेत्र) पर निर्भर करता है। ऋणावेश पर लगने वाला बल धनावेश पर लगने वाले बल के विपरीत होता है।

(ii) चुंबकीय बल $q[\mathbf{v} \times \mathbf{B}]$ वेग तथा चुंबकीय क्षेत्र का एक सदिश गुणनफल होता है। सदिश गुणनफल चुंबकीय क्षेत्र के कारण बल को समाप्त (शून्य) कर देता है। यह तब होता है जब बल, वेग तथा चुंबकीय क्षेत्र दोनों के लंबवत होता है (किसी दिशा में)। जब वेग तथा चुंबकीय प्राप्त होती है। (b) चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में गतिशील आवेशित कण के विक्षेप $q$ की दिशा $-q$ के विक्षेप की दिशा के विपरीत होती है। क्षेत्र की दिशा एक दूसरे के समांतर या प्रतिसमांतर होती है। इसकी दिशा सदिश गुणनफल (क्रास गुणनफल) के लिए चित्र 4.2 में दर्शाए अनुसार पेंच नियम अथवा दक्षिण हस्त नियम द्वारा प्राप्त होती है।

चित्र 4.2 आवेशित कण पर लगे बल की दिशा (a) चुंबकीय क्षेत्र $\mathrm{B}$ से $\theta$ कोण बनाते हुए $\mathrm{V}$ वेग से गतिमान कोई धनावेशित कण बल का अनुभव करता है जिसकी दिशा दक्षिण हस्त नियम द्वारा प्राप्त होती है। (b) चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में गतिशील आवेशित कण के विक्षेप $q$ की दिशा $-q$ के विक्षेप की दिशा के विपरीत होती है।

(iii) यदि आवेश गतिमान नहीं है (तब $|\mathbf{v}|=0$ ) तो चुंबकीय बल शून्य होता है। केवल गतिमान आवेश ही बल का अनुभव करता है।

चुंबकीय क्षेत्र के लिए व्यंजक चुंबकीय क्षेत्र के मात्रक की परिभाषा देने में हमारी सहायता करता है। यदि बल के समीकरण में हल $\mathbf{q}, \mathbf{F}$ तथा $\mathbf{v}$ सभी का मान एकांक मानें तो $\mathbf{F}=q$ $[\mathbf{v} \times \mathbf{B}]=q v B \sin \theta \hat{\mathbf{n}}$, यहाँ $\theta$ वेग $\mathbf{v}$ तथा चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ के बीच का कोण है [चित्र 4.2 (a) देखिए]। चुंबकीय क्षेत्र $B$ का परिमाण $1 \mathrm{SI}$ मात्रक होता है, जबकि किसी एकांक आवेश $(1 \mathrm{C})$, जो कि $\mathbf{B}$ के लंबवत $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ वेग $\mathbf{v}$ से गतिमान है, पर लगा बल 1 न्यूटन हो।

विमीय रीति से हम जानते हैं कि $[B]=[F / q v]$ तथा $\mathbf{B}$ का मात्रक न्यूटन सेकंड/कूलॉम मीटर है। इस मात्रक को टेस्ला $(\mathrm{T})$ कहते हैं जिसे निकोला टेस्ला (1856-1943) के नाम पर रखा गया है। टेस्ला एक बड़ा मात्रक है। अतः एक अपेक्षाकृत छोटे मात्रक गाउस $\left(=10^{-4}\right.$ टेस्ला) का प्राय: उपयोग किया जाता है।

4.2.3 विद्युत धारावाही चालक पर चुंबकीय बल

हम किसी एकल गतिमान आवेश पर चुंबकीय क्षेत्र द्वारा आरोपित बल के विश्लेषण का विस्तार विद्युत धारावाही सीधी छड़ के लिए कर सकते हैं। लंबाई $l$ तथा एकसमान अनुप्रस्थ काट $A$ की किसी छड़ पर विचार करते हैं। हम किसी चालक (जिसमें इलेक्ट्रॉन गतिशील वाहक हैं) की भाँति एक ही प्रकार के गतिशील वाहक मानेंगे। मान लीजिए इन गतिशील आवेश वाहकों का संख्या घनत्व $n$ है तब चालक में कुल गतिशील आवेश वाहकों की संख्या $n l A$ हुई। इस चालक छड़ में अपरिवर्ती विद्युत धारा $I$ के लिए हम यह मान सकते हैं कि प्रत्येक गतिशील वाहक का अपवाह वेग $\mathbf{v} _{d}$ है (अध्याय 3 देखिए)। किसी बाह्य चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ की उपस्थिति में इन वाहकों पर बल

$$ \mathbf{F}=(n l A) q \mathbf{v} _{d} \times \mathbf{B} $$

यहाँ $q$ किसी वाहक के आवेश का मान है। अब यहाँ $n q \mathbf{v} _{\mathrm{d}}$ विद्युत धारा घनत्व $\mathbf{j}$ तथा $\mid\left(n q \mathbf{v} _{\mathrm{d}}\right.$ ) $\mid A$ विद्युत धारा $I$ है (विद्युत धारा तथा विद्युत धारा घनत्व पर चर्चा के लिए अध्याय 3 देखिए।) इस प्रकार

$$ \begin{align*} \mathbf{F} & =\left[\left(n q \mathbf{v} _{d}\right) l A\right] \times \mathbf{B}=[\mathbf{j} l A] \times \mathbf{B} \\ & =I l \times \mathbf{B} \tag{4.4} \end{align*} $$

यहाँ $l$ एक सदिश है जिसका परिमाण $l$ है जो कि छड़ की लंबाई है, तथा इसकी दिशा विद्युत धारा $I$ के सर्वसम है। ध्यान दीजिए विद्युत धारा सदिश नहीं है। समीकरण (4.4) के अंतिम चरण में हमने सदिश चिह्न को $\mathbf{j}$ से $l$ पर स्थानांतरित कर दिया है।

समीकरण (4.4) सीधी छड़ पर लागू होती है। इस समीकरण में $\mathbf{B}$ बाह्य चुंबकीय क्षेत्र है। यह विद्युत धारावाही छड़ द्वारा उत्पन्न क्षेत्र नहीं है। यदि तार की यादृच्छिक आकृति है, तो हम इस पर लॉरंज बल का परिकलन, इसे रेखिक पट्टियों $\mathrm{d} l _{\mathrm{j}}$ का समूह मानकर तथा संकलन द्वारा कर सकते हैं

$$ \mathbf{F}=\sum _{j} \operatorname{Id} \boldsymbol{l} _{j} \times \mathbf{B} $$

अधिकांश प्रकरणों में संकलन को समाकलन में परिवर्तित कर लेते हैं।

उदाहरण 4.1 $200 \mathrm{~g}$ द्रव्यमान तथा $1.5 \mathrm{~m}$ लंबाई के किसी सीधे तार से $2 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। यह किसी एकसमान क्षैतिज $\mathbf{B}$ चुंबकीय क्षेत्र द्वारा वायु के बीच में निलंबित है (चित्र 4.3)। चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण ज्ञात कीजिए।

चित्र 4.3

हल समीकरण (4.4) के अनुसार, तार बीच-वायु में निलंबित है इसके निलंबित रहने के लिए इस पर एक उपरिमुखी बल $\mathbf{F}$ जिसका परिमाण $I l B$ लगना चाहिए जो इसके भार $m g$ को संतुलित कर सके। अत:

$$ \begin{aligned} m g & =I l B \\ B & =\frac{m g}{I l} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =\frac{0.2 \times 9.81}{2 \times 1.5}=0.65 \mathrm{~T} \end{aligned} $$

ध्यान दीजिए, यहाँ पर $\mathrm{m} / l$ अर्थात तार का प्रति एकांक लंबाई द्रव्यमान बताना पर्याप्त है। पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का मान लगभग $4 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$ है जिसकी हमने यहाँ उपेक्षा की है।

उदाहरण 4.2 यदि चुंबकीय क्षेत्र धनात्मक $y$-अक्ष के समान्तर है तथा आवेशित कण धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश गतिमान है (चित्र 4.4 देखिए), तो लोरेंज बल किस ओर लगेगा जबकि गतिमान कण (a) इलेक्ट्रॉन (ऋण आवेश) (b) प्रोटॉन (धन आवेश) है।

चित्र 4.4

हल कण के वेग $\mathbf{v}$ की दिशा $x$-अक्ष के अनुदिश है जबकि चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ की दिशा $y$-अक्ष के अनुदिश है, अतः लोरेंज बल $\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ की दिशा $z$-अक्ष के अनुदिश (पेंच नियम अथवा दक्षिण हस्त अंगुष्ठ नियम) है। अतः (a) इलेक्ट्रॉन के लिए यह बल $-Z$ अक्ष के अनुदिश तथा (b) धनावेश (प्रोटॉन) के लिए यह $+Z$ अक्ष के अनुदिश है।

4.3 चुंबकीय क्षेत्र में गति

अब हम और अधिक विस्तार से चुंबकीय क्षेत्र में गतिशील आवेश के विषय में अध्ययन करेंगे। हमने यांत्रिकी (कक्षा 11 की पाठ्यपुस्तक का अध्याय 5 देखिए) में यह सीखा है कि यदि किसी बल का कण की गति की दिशा में (अथवा उसके विपरीत) कोई अवयव है तो वह बल उस कण पर कार्य करता है। चुंबकीय क्षेत्र में आवेश की गति के प्रकरण में, चुंबकीय बल कण के वेग की दिशा के लंबवत होता है। अतः कोई कार्य नहीं होता तथा वेग के परिमाण में भी कोई परिवर्तन नहीं होता (यद्यपि संवेग की दिशा में परिवर्तन हो सकता है। [ध्यान दीजिए, यह विद्युत क्षेत्र के कारण बल, $q \mathbf{E}$, से भिन्न है, जिसका गति के समांतर (अथवा प्रतिसमांतर) अवयव हो सकता है और इस प्रकार संवेग के साथ-साथ ऊर्जा को भी स्थानांतरित कर सकता है।]

चित्र 4.5 वर्तुल गति

हम किसी एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण की गति पर विचार करेंगे। पहले उस स्थिति पर विचार कीजिए जिसमें वेग $\mathbf{v}$ चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ के लंबवत है। लंबवत बल $q \mathbf{v} \times \mathbf{B}$ अभिकेंद्र बल की भाँति कार्य करता है तथा चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत वर्तुल गति उत्पन्न करता है। यदि $\mathbf{v}$ तथा $\mathbf{B}$ एक दूसरे के लंबवत हैं, तो कण (अर्थात किसी वृत्त के अनुदिश) वर्तुल गति करेगा (चित्र 4.5)।

यदि वेग $\mathbf{v}$ का कोई अवयव है, $\mathbf{B}$ के अनुदिश तो यह अवयव अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र के अनुदिश गति को चुंबकीय क्षेत्र प्रभावित नहीं करेगा। $\mathbf{B}$ के लंबवत किसी तल में गति, पहले की भाँति, वर्तुल गति ही है जिससे यह अवयव कुंडलिनी गति उत्पन्न करता है (चित्र 4.6)।

आपने पिछली कक्षाओं में यह सीख लिया है (देखिए अध्याय 3 कक्षा 11) कि यदि किसी कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ है तो उस कण पर एक बल $m v^{2} / r$ वृत्त के केंद्र की ओर तथा पथ के लंबवत कार्य करता है जिसे अभिकेंद्र बल कहते हैं। यदि वेग $\mathbf{v}$ चुंबकीय क्षेत्र $\mathrm{B}$ के लंबवत है, तो चुंबकीय बल वेग $\mathbf{v}$ तथा चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत होता है तथा अभिकेंद्र बल की भाँति इसका परिमाण $q v B$ होता है। दोनों अभिकेंद्र बल के व्यंजकों को समीकरण के रूप में लिखने पर

चित्र 4.6 कुंडलिनी गति

$$ \begin{align*} & m v^{2} / r=q v B \\ & r=m v / q B \tag{4.5} \end{align*} $$

जितना अधिक संवेग होगा उतनी ही अधिक निर्मित वृत्त की त्रिज्या होगी तथा निर्मित वृत्त भी बड़ा होगा। यदि कोणीय आवृत्ति $\omega$ है तो $v=\omega r$ अतः

$$ \begin{equation*} \omega=2 \pi v=q B / m \tag{4.6 a} \end{equation*} $$

कोणीय आवृत्ति $\omega$ वेग अथवा ऊर्जा पर निर्भर नहीं करती। यहाँ $v$ घूर्णन की आवृत्ति है। $v$ के ऊर्जा पर निर्भर न करने का साइक्लोट्रॉन के डिज़ाइन में एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।

एक परिक्रमा पूरी करने में लगा समय $T=2 \pi / \omega \equiv 1 / V$, यदि चुंबकीय क्षेत्र के समांतर वेग का कोई अवयव ( $v _{|}$द्वारा निर्दिष्ट) है, कण का पथ कुंडलिनी (सर्पिलाकार) जैसा होगा। एक घूर्णन में कण द्वारा चुंबकीय क्षेत्र के अनुदिश चली गई दूरी को पिच या चूड़ी अंतराल कहते हैं। समीकरण [4.6 (a)] का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है।

$$ \begin{equation*} p=v _{|} T=2 \pi m v _{|} / q B \tag{ 4.6 b} \end{equation*} $$

गति के वृत्तीय अवयव की त्रिज्या को कुंडलिनी की त्रिज्या कहते हैं।

उदाहरण 4.3 $6 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$ के चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत $3 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ की चाल से गतिमान किसी इलेक्ट्रॉन (द्रव्यमान $9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$ तथा आवेश $1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$ ) के पथ की त्रिज्या क्या है? इसकी क्या आवृत्ति होगी? इसकी ऊर्जा $\mathrm{KeV}$ में परिकलित कीजिए। $\left(1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right)$ हल समीकरण (4.5) का उपयोग करने पर हम पाते हैं

हल समीकरण (4.5) का उपयोग करने पर हम पाते हैं

$$ \begin{aligned} & r=m v /(q B)=9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \times 3 \times 10^{7} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} /\left(1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \times 6 \times 10^{-4} \mathrm{~T}\right) \\ & =28 \times 10^{-2} \mathrm{~m}=28 \mathrm{~cm} \\ & v=v /(2 \pi r)=17 \times 10^{6} \mathrm{~s}^{-1}=17 \times 10^{6} \mathrm{~Hz}=17 \mathrm{MHz} \\ & E=(1 / 2) m v^{2}=(1 / 2) 9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \times 9 \times 10^{14} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}^{2}=40.5 \times 10^{-17} \mathrm{~J} \\ & \approx 4 \times 10^{-16} \mathrm{~J}=2.5 \mathrm{KeV} \end{aligned} $$

4.4 विद्युत धारा अवयव के कारण चुंबकीय क्षेत्र, बायो-सावर्ट नियम

जितने चुंबकीय क्षेत्र हमें ज्ञात हैं वे सभी विद्युत धाराओं (अथवा गतिशील आवेशों) तथा कणों के नैज चुंबकीय आघूर्णों के कारण उत्पन्न हुए हैं। यहाँ अब हम विद्युत धारा तथा उसके द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के बीच संबंध के बारे में अध्ययन करेंगे। यह संबंध बायो सावर्ट नियम द्वारा प्राप्त होता है। चित्र 4.7 में एक परिमित विद्युत धारा चालक $\mathrm{XY}$ दर्शाया गया है, जिसमें विद्युत धारा $I$ प्रवाहित हो रही है। चालक के अतिअल्प अवयव $\mathrm{d} l$ पर विचार कीजिए। मान लीजिए हमें इस अवयव द्वारा इससे $\mathbf{r}$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु $\mathrm{P}$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\mathrm{d} \mathbf{B}$ का मान निर्धारित करना है। मान लीजिए विस्थापन सदिश $\mathbf{r}$ तथा $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ के बीच $\theta$ कोण बनता है। तब बायो-सावर्ट नियम के अनुसार चुंबकीय क्षेत्र $\mathrm{d} \mathbf{B}$ का परिमाण विद्युत धारा $I$, लंबाई अवयव $|\mathrm{d} l|$ के अनुक्रमानुपाती तथा दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है। इस क्षेत्र की दिशा* $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ तथा $\mathbf{r}$ के तलों के लंबवत होगी। अतः सदिश संकेत पद्धति में

$$ \begin{align*} d \mathbf{B} & \propto \frac{I d \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \\ & =\frac{\mu _{0}}{4 \pi} \frac{I d \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \tag{4.7 a} \end{align*} $$

यहाँ $\mu _{0} / 4 \pi$ अनुक्रमानुपातिक नियतांक है। उपरोक्त समीकरण तब लागू होता है जबकि माध्यम निर्वात होता है।

चित्र 4.7 बायो-सावर्ट नियम का निदर्श चित्र। विद्युतधारा-अवयव $I \mathrm{~d} l, r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर क्षेत्र $\mathrm{d} \mathbf{B}$ उत्पन्न करता है। $\otimes$ चिह्न यह इंगित करता है कि क्षेत्र कागज़ के तल के अभिलंबवत नीचे की ओर प्रभावी है।

  • $\mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}$ की दिशा दक्षिण हस्त पेंच नियम द्वारा भी प्राप्त होती है। $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ तथा $\mathbf{r}$ के तलों को देखिए। कल्पना कीजिए कि आप पहले सदिश से दूसरे सदिश की ओर गमन कर रहे हैं। यदि गति वामावर्त है तो परिणामी आपकी ओर संकेत करेगा। यदि यह दक्षिणावर्त है तो परिणामी आपसे दूर की ओर होगा।

इस क्षेत्र का परिमाण

$$ \begin{equation*} |\mathrm{d} \mathbf{B}|=\frac{\mu _{0}}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l \sin \theta}{r^{2}} \tag{4.7 b} \end{equation*} $$

यहाँ हमने सदिश-गुणनफल के गुणधर्म $|\mathrm{d} l \times \mathbf{r}|=\mathrm{d} l r \sin \theta$ का उपयोग किया है। चुंबकीय क्षेत्र के लिए समीकरण [4.7(a)] मूल समीकरण है। अनुक्रमानुपाती नियतांक $\frac{\mu _{0}}{4 \pi}$ का यथार्थ मान है-

$$ \begin{equation*} \frac{\mu _{0}}{4 \pi}=10^{-7} \mathrm{Tm} / \mathrm{A} \tag{4.7 c} \end{equation*} $$

राशि $\mu _{0}$ को मुक्त आकाश (या निर्वात) की चुंबकशीलता नियतांक कहते हैं।

चुंबकीय क्षेत्र के बायो-सावर्ट नियम और स्थिरवैद्युतिकी के कूलॉम नियम में कुछ समानताएँ हैं तथा कुछ असमानताएँ। इसमें से कुछ निम्न प्रकार हैं-

(i) दोनों दीर्घ-परासी हैं, क्योंकि दोनों ही स्रोत से परीक्षण बिंदु तक की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। दोनों ही क्षेत्रों पर अध्यारोपण सिद्धांत लागू होता है [इस संबंध में यह ध्यान दीजिए कि स्रोत $I d l$ में चुंबकीय क्षेत्र रैखिक है जैसे कि अपने स्रोत, विद्युत आवेश में स्थिर वैद्युत क्षेत्र रैखिक है।]

(ii) स्थिरवैद्युत क्षेत्र आदिश स्रोत, जैसे वैद्युत आवेश, द्वारा उत्पन्न होता है जबकि चुंबकीय क्षेत्र एक सदिश स्रोत जैसे, $I \mathrm{~d} l$ द्वारा उत्पन्न होता है।

(iii) स्थिरवैद्युत क्षेत्र स्रोत को क्षेत्र के बिंदु से मिलाने वाले विस्थापन सदिश के अनुदिश होता है जबकि चुंबकीय क्षेत्र विस्थापन सदिश $\mathbf{r}$ तथा विद्युत धारा अवयव $I \mathrm{~d} \boldsymbol{l}$ दोनों के तलों के लंबवत होता है।

(iv) बायो-सावर्ट नियम में कोण पर निर्भरता है जो स्थिर वैद्युत क्षेत्र में नहीं होती। चित्र 4.9 में, दिशा $\mathrm{d} l$ (डैश युक्त रेखा में किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है। इस दिशा के अनुदिश $\theta=0, \sin \theta=0$ तथा समीकरण [4.7(a)], $|\mathrm{d} \mathbf{B}|=0$

मुक्त दिक्स्थान की विद्युतशीलता, मुक्त दिक्स्थान की चुंबकशीलता तथा निर्वात में प्रकाश के वेग में एक रोचक संबंध है।

$$ \varepsilon _{0} \mu _{0}=\left(4 \pi \varepsilon _{0}\right)\left(\frac{\mu _{0}}{4 \pi}\right)=\left(\frac{1}{9 \times 10^{9}}\right)\left(10^{-7}\right)=\frac{1}{\left(3 \times 10^{8}\right)^{2}}=\frac{1}{c^{2}} $$

इस संबंध के विषय में हम विद्युत चुंबकीय तरंगों के अध्याय 8 में चर्चा करेंगे। चूँकि निर्वात में प्रकाश का वेग नियत है, गुणनफल $\mu _{0} \varepsilon _{0}$ परिमाण में निश्चित है। $\varepsilon _{0}$ तथा $\mu _{0}$ में से किसी भी एक मान का चयन करने पर अन्य का मान स्वतः निश्चित हो जाता है। SI मात्रकों में $\mu _{0}$ का एक निश्चित परिमाण $4 \pi \times 10^{-7}$ है।

उदाहरण 4.4 कोई विद्युत धारा अवयव $\Delta \boldsymbol{l}=\Delta x \hat{\mathbf{i}}$ जिससे एक उच्च धारा $I=10 \mathrm{~A}$ प्रवाहित हो रही है, मूल बिंदु पर स्थित है (चित्र 4.8), $y$-अक्ष पर $0.5 \mathrm{~m}$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर इसके कारण चुंबकीय क्षेत्र का क्या मान है। $\Delta x=1 \mathrm{~cm}$

चित्र 4.8

हल

$|\mathrm{d} \mathbf{B}|=\frac{\mu _{0}}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l \sin \theta}{r^{2}}$ [समीकरण (4.7द्वारा)]

$\mathrm{d} l=\Delta x=10^{-2} \mathrm{~m}, I=10 \mathrm{~A}, r=0.5 \mathrm{~m}=y, \mu _{0} / 4 \pi=10^{-7} \frac{\mathrm{Tm}}{\mathrm{A}}$

$\theta=90^{\circ} ; \sin \theta=1$

$|\mathrm{dB}|=\frac{10^{-7} \times 10 \times 10^{-2}}{25 \times 10^{-2}}=4 \times 10^{-8} \mathrm{~T}$

इस चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $+Z$ दिशा में है। इसका कारण यह है कि

$\mathrm{d} \mathbf{l} \times \mathbf{r}=\Delta x \hat{\mathbf{i}} \times y \hat{\mathbf{j}}=y \Delta x(\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}})=y \Delta x \hat{\mathbf{k}}$

यहाँ हम आपको सदिश गुणनफलों के निम्नलिखित चक्रीय गुणों को याद कराते हैं

$\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} ; \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}} ; \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}$

ध्यान दीजिए इस क्षेत्र का परिमाण लघु है।

अगले अनुभाग में हम वृत्ताकार पाश के कारण चुंबकीय क्षेत्र परिकलित करने के लिए बायो-सावर्ट नियम का उपयोग करेंगे।

4.5 विद्युत धारावाही वृत्ताकार पाश के अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र

इस अनुभाग में हम विद्युत धारावाही वृत्ताकार पाश के कारण उसके अक्ष के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र का मूल्यांकन करेंगे। इस मूल्यांकन में पिछले अनुभाग में वर्णित अत्यल्प विद्युत धारा अवयवों $(I \mathrm{~d} l)$ के प्रभाव को संयोजित किया जाएगा। हम यह मानते हैं कि प्रवाहित विद्युत धारा अपरिवर्ती है तथा मूल्यांकन मुक्त दिक्स्थान (निर्वात) में किया गया है। चित्र 4.9 में वृत्ताकार पाश में स्थायी विद्युत धारा $I$ प्रवाहित होते हुए दर्शाई गई है। पाश को मूल बिंदु पर $x y$ तल में स्थित दर्शाया गया है तथा पाश का त्रिज्या $R$ है। $x$-अक्ष ही लूप का अक्ष है। हमें इसी अक्ष के बिंदु $\mathrm{P}$ पर चुंबकीय क्षेत्र परिकलित करना है, मान लीजिए बिंदु $\mathrm{P}$ पाश के केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित है।पाश के चालक अवयव $\mathrm{d} l$ पर विचार कीजिए, इसे चित्र 4.9 में दर्शायी गई है। $\mathrm{d} l$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण बायो-सावर्ट नियम [समीकरण 4.7(a)] के अनुसार

चित्र 4.9 त्रिज्या $R$ विद्युत धारावाही वृत्ताकार पाश के अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र। इस चित्र में रेखा अवयव $d l$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $d \mathbf{B}$ तथा अक्ष के लंबवत कार्यरत इसके अवयवों को दर्शाया गया है।

$$ \begin{equation*} d B=\frac{\mu _{0}}{4 \pi} \frac{I|d \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}|}{r^{3}} \tag{4.8} \end{equation*} $$

अब $r^{2}=x^{2}+R^{2}$ । साथ ही, पाश का कोई भी अवयव, इस अवयव से अक्षीय बिंदु के विस्थापन सदिश के लंबवत होगा। उदाहरण के लिए, चित्र 4.9 में अवयव $\mathrm{d} \boldsymbol{l} y-z$ दिशा में है जबकि विस्थापन सदिश $\mathbf{r}$ अवयव $\mathrm{d} l$ से अक्षीय बिंदु $\mathrm{P}$ तक $x-y$ तल में है। अतः $|d l \mathbf{l} \mathbf{r}|=r$ $d l$, इस प्रकार

$$ \begin{equation*} \mathrm{d} B=\frac{\mu _{0}}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l}{\left(x^{2}+R^{2}\right)} \tag{4.9} \end{equation*} $$

$\mathrm{d} \mathbf{B}$ की दिशा चित्र 4.9 में दर्शायी गई है। यह $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ तथा $\mathbf{r}$ द्वारा बने तल के लंबवत है। इसका एक $x$ - अवयव $\mathrm{d} _{\mathbf{B} _{x}}$ तथा $x$ - अक्ष के लंबवत अवयव $\mathrm{d} \mathbf{B} _{\perp}$ है। जब $x$-अक्ष के लंबवत अवयवों को संयोजित करते हैं तो वे निरस्त हो जाते हैं तथा हमें शून्य परिणाम प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, चित्र 4.9 में दर्शाए अनुसार $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ के कारण अवयव $\mathrm{dB} _{\perp}$ इसके त्रिज्यतः विपरीत $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ अवयव के कारण योगदान द्वारा निरसित हो जाता है। इस प्रकार केवल $x$-अवयव ही बच पाता है। $x$-दिशा के अनुदिश नेट योगदान पाश के ऊपर $\mathrm{d} B _{x}=\mathrm{d} B \cos \theta$ को समाकलित करके प्राप्त किया जा सकता है। चित्र 4.9 के लिए

$$ \begin{equation*} \cos \theta=\frac{R}{\left(x^{2}+R^{2}\right)^{1 / 2}} \tag{4.10} \end{equation*} $$

समीकरणों (4.9) और (4.10),

$$ \mathrm{d} B _{x}=\frac{\mu _{0} I \mathrm{~d} l}{4 \pi} \frac{R}{\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}} $$

समस्त पाश पर $\mathrm{d} l$ अवयवों का संकलन, $2 \pi R$, प्राप्त होता है जो पाश की परिधि है। इस प्रकार

$$ \begin{equation*} \mathbf{B}=B _{x} \hat{\mathbf{i}}=\frac{\mu _{0} I R^{2}}{2\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{\mathbf{i}} \tag{4.11} \end{equation*} $$

उपरोक्त परिणाम की एक विशेष स्थिति के रूप में हम पाश के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार यहाँ $x=0$, तथा हमें प्राप्त होता है,

$$ \begin{equation*} \mathbf{B} _{0}=\frac{\mu _{0} I}{2 R} \hat{\mathbf{i}} \tag{4.12} \end{equation*} $$

वृत्ताकार तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ बंद वृत्ताकार पाश बनाती हैं जिन्हें चित्र 4.10 में दर्शाया गया है। चुंबकीय क्षेत्र की दिशा (एक अन्य) दक्षिण हस्त अंगुष्ठ नियम द्वारा होती है। यह नियम नीचे दिया गया है,

वृत्ताकार तार के चारों ओर अपने दाएँ हाथ की हथेली को इस प्रकार मोड़िए कि उँगलियाँ विद्युत धारा की दिशा की ओर संकेत करें, तब इस हाथ का फैला हुआ अँगूठा चुंबकीय क्षेत्र की दिशा बताता है।

चित्र 4.10 किसी विद्युतवाही पाश का चुंबकीय क्षेत्र। पाठ की विषय वस्तु में वर्णित दक्षिण हस्त अंगुष्ठ नियम द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र की दिशा निर्धारित होती है। पाश के ऊपरी पार्श्व को उत्तर ध्रुव तथा निचले पार्श्व को दक्षिण ध्रुव माना जा सकता है।

उदाहरण 4.5 चित्र 4.11 में दर्शाए अनुसार किसी सीधे तार जिसमें $12 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, को $2.0 \mathrm{~cm}$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप में मोड़ा गया है। इस चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ को मानें।

(a) सीधे खंडों के कारण चुंबकीय क्षेत्र कितना है?

(b) किस रूप में अर्धवृत्त द्वारा $\mathbf{B}$ को दिया गया योगदान वृत्ताकार पाश के योगदान से भिन्न है और किस रूप में ये एक दूसरे के समान हैं।

(c) क्या आपके उत्तर में कोई परिवर्तन होगा यदि तार को उसी त्रिज्या के अर्धवृत्त में पहले की तुलना में चित्र 4.11 (b) में दर्शाए अनुसार उलटी दिशा में मोड़ दें।

चित्र 4.11

हल (a) सीधे खंडों के प्रत्येक अवयव के लिए $\mathrm{d} \boldsymbol{l}$ तथा $r$ समांतर हैं। अत: $\mathrm{d} l \times \mathbf{r}=0$ । इस प्रकार सीधे खंड $|\mathrm{B}|$ को कोई योगदान नहीं देते।

(b) अर्धवृत्ताकार चाप के सभी खंडों के लिए, $\mathrm{d} l \times \mathbf{r}$ सभी एक दूसरे के समांतर हैं (कागज़ के तल में भीतर को जाते हुए)। इस प्रकार के सभी योगदान परिमाण में संयोजित हो जाते हैं। अतः अर्धवृत्ताकार चाप के लिए $\mathbf{B}$ की दिशा दक्षिण हस्त नियम द्वारा प्राप्त होती है। इसका परिमाण वृत्ताकार पाश के लिए $\mathbf{B}$ का आधा होता है। इस प्रकार $\mathbf{B}$ का मान $1.9 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$ है तथा दिशा कागज़ के तल के अभिलंबवत उसके भीतर जाते हुए है।

(c) $\mathbf{B}$ का परिमाण तो वही है जो (b) में है पर दिशा विपरीत है।

उदाहरण 4.6 $10 \mathrm{~cm}$ त्रिज्या की 100 कसकर लपेटे गए फेरों की किसी ऐसी कुंडली पर विचार कीजिए जिससे $1 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण क्या है?

हल चूँकि कुंडली कसकर लपेटी गई है अतः हम प्रत्येक वृत्ताकार अवयव की त्रिज्या $R=10 \mathrm{~cm}$ $=0.1 \mathrm{~m}$ मान सकते हैं। फेरों की संख्या $N=100$ है, अतः चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण

$B=\frac{\mu _{0} N I}{2 R}=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10^{2} \times 1}{2 \times 10^{-1}}=2 \pi \times 10^{-4} \mathrm{~T}=6.28 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$.

4.6 ऐम्पियर का परिपथीय नियम

बायो-सावर्ट नियम को अभिव्यक्त करने का एक अन्य वैकल्पिक तथा रुचिकर उपाय भी है। ऐम्पियर के परिपथीय नियम में किसी खुले पृष्ठ जिसकी कोई सीमा हो, पर विचार किया जाता है। इस पृष्ठ से विद्युत धारा प्रवाहित होती है। हम यह विचार करते हैं कि सीमा रेखा बहुत से अल्प रेखा अवयवों से मिलकर बनी है। ऐसे ही एक रेखा अवयव $\mathrm{d} l$ पर विचार कीजिए। हम इस अवयव पर चुंबकीय क्षेत्र के स्पर्शरेखीय घटक $\mathbf{B} _{t}$ का मान लेंगे तथा इसे अवयव $\mathrm{d} l$ की लंबाई से गुणा करेंगे। [ध्यान दीजिए $\mathrm{B} _{t} \mathrm{~d} l=\mathbf{B} \cdot \mathrm{d} l$ ]। इस प्रकार के सभी गुणनफल एक दूसरे के साथ संयोजित किए जाते हैं।

चित्र 4.12

हम सीमा पर विचार करते हैं क्योंकि जैसे-जैसे अवयवों की लंबाई घटती है इनकी संख्या बढ़ती है। तब इनका योग एक समाकलन बन जाता है। ऐम्पियर का नियम यह कहता है कि यह समाकलन पृष्ठ से प्रवाहित होने वाली कुल विद्युत धारा का $\mu _{0}$ गुना होता है, अर्थात

$$ \begin{equation*} \int \mathbf{B} d \mathbf{l}=\mu _{0} I \tag{4.13 a} \end{equation*} $$

यहाँ $I$ पृष्ठ से गुज़रने वाली कुल विद्युत धारा है। इस समाकलन को पृष्ठ की सीमारेखा $\mathrm{C}$ के संपाती बंद के ऊपर लिया गया है। उपरोक्त संबंध में दिशा सम्मिलित है जो दक्षिण हस्त नियम से प्राप्त होती है। अपने दाएँ हाथ की उँगलियों को उस दिशा में मोड़िए जिस दिशा में पाश समाकल $\oint \mathbf{B} \cdot d l$ में सीमा रेखा मुड़ी है। तब अँगूठे की दिशा उस दिशा को बताती है जिसमें विद्युत धारा को धनात्मक माना गया है।

आंद्रे ऐम्पियर (1775-1836) आंद्रे मैरी ऐम्पियर एक फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ एवं रसायनज्ञ थे जिन्होंने विद्युतगतिकी विज्ञान की आधारशिला रखी। ऐम्पियर एक बाल प्रतिभा थे जिसने 12 वर्ष की आयु में उच्च गणित में महारत हासिल कर ली थी। ऐम्पियर ने ऑर्स्टेड की खोज का महत्त्व समझा और धारा विद्युत एवं चुंबकत्व में संबंध खोजने के लिए प्रयोगों की एक लंबी शृंखला पार की। इन खोजों की परिणति 1827 में, Mathematical theory of Electrodynamic Phenomena Deduced Solely from Experiments नामक पुस्तक के प्रकाशन के रूप में हुई। उन्होंने परिकल्पना की कि सभी चुंबकीय प्रक्रम, वृत्तवाही विद्युत धाराओं के कारण होते हैं। ऐम्पियर स्वभाव से बहुत विनम्र और भुलक्कड़ थे। एक बार वह सम्राट नेपोलियन का रात्रिभोज का निमंत्रण भी भूल गए थे। 61 वर्ष की उम्र में न्यूमोनिया से उनकी मृत्यु हो गई। उनकी कब्र के पत्थर पर यह समाधि लेख उत्कीर्णित है - Tandem felix (अंत में प्रसन्न)।

बहुत से अनुप्रयोगों के लिए समीकरण [4.13 (a)] का कहीं अधिक सरलीकृत रूप पर्याप्त सिद्ध होता है। हम यह मानेंगे कि, इस प्रकार के प्रकरणों में ऐसे पाश (जिसे ऐम्पियरीय पाश कहते हैं।) का चयन संभव है जो इस प्रकार का है कि पाश के प्रत्येक बिंदु पर या तो

(i) $\mathbf{B}$ पाश के स्पर्रेखीय है तथा शून्येतर नियतांक $\mathrm{B}$ है, अथवा

(ii) $\mathbf{B}$ पाश के अभिलंबवत है, अथवा

(iii) $\mathbf{B}$ नष्ट हो जाता है।

अब मान लीजिए $L$ पाश की वह लंबाई (भाग) है जिसके लिए $\mathbf{B}$ स्पर्शरेखीय है। मान लीजिए पाश में परिवद्ध विद्युत धारा $I _{e}$ है। तब समीकरण [4.13(a)] को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं

$$ \begin{equation*} B L=\mu _{0} I _{e} \tag{4.13 b} \end{equation*} $$

जब किसी निकाय में इस प्रकार की सममिति हो जैसे कि चित्र 4.13 में सीधे विद्युत धारावाही अनंत तार के लिए है, तब ऐम्पियर का नियम हमें चुंबकीय क्षेत्र का एक सरल मूल्यांकन करने योग्य बनाता है जो ठीक उसी प्रकार है जैसे कि गाउस नियम विद्युत क्षेत्र को निर्धारित करने में हमारी सहायता करता है। इसे नीचे दिए गए उदाहरण 4.8 में दर्शाया गया है। पाश की सीमा रेखा का चयन एक वृत्त है तथा चुंबकीय क्षेत्र वृत्त की परिधि के स्पर्शरेखीय है। समीकरण [4.13(b)] के वाम पक्ष के लिए इस नियम से प्राप्त मान B. $2 \pi r$ है। हम यह पाते हैं कि तार के बाहर $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र स्पर्शरेखीय है तथा इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।

$$ B \times 2 \pi r=\mu _{0} I \text {, } $$ $$ \begin{equation*} B=\mu _{0} I /(2 \pi r) \tag{4.14} \end{equation*} $$

रोचक है- उपरोक्त परिणाम अनंत लंबाई के तार के लिए है जो कई दृष्टिकोणों से

(i) इसमें यह अंतर्निहित है कि $r$ त्रिज्या के वृत्त के प्रत्येक बिंदु पर (तार को अक्ष के अनुदिश रखते हुए) क्षेत्र का परिमाण समान है। दूसरे शब्दों में चुंबकीय क्षेत्र में बेलनाकार सममिति है जो क्षेत्र सामान्यतः तीन निर्देशांकों पर निर्भर कर सकता है केवल एक ही निर्देशांक $r$ पर निर्भर है। जहाँ कहीं भी सममिति होती है समस्याओं के हल सरल हो जाते हैं।

(ii) इस वृत्त के किसी भी बिंदु पर क्षेत्र की दिशा इसके स्पर्शरेखीय है। इस प्रकार चुंबकीय क्षेत्र की नियत परिमाण की रेखाएँ संकेंद्री वृत्त बनाती हैं। अब चित्र 4.1(c) पर ध्यान दीजिए, लौह चूर्ण वृत्त संकेंद्री में व्यवस्थित हुआ है। ये रेखाएँ जिन्हें हम चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ कहते है, बंद पाश बनाती हैं। यह स्थिरवैद्युत क्षेत्र रेखाओं से भिन्न हैं। स्थिरवैद्युत क्षेत्र रेखाएँ धन आवेशों से आरंभ तथा ऋण आवेशों पर समाप्त होती हैं। सीधे विद्युत धारावाही चालक के चुंबकीय क्षेत्र के लिए व्यंजक ओर्स्टेड प्रयोग का सैद्धांतिक स्पष्टीकरण करता है।

(iii) एक अन्य ध्यान देने योग्य रोचक बात यह है कि यद्यपि तार अनंत लंबाई का है, तथापि शून्येतर दूरी पर इसके कारण चुंबकीय क्षेत्र अनंत नहीं है। यह केवल तार के अत्यधिक पास आने पर विस्फुटित होता है। यह क्षेत्र विद्युत धारा के अनुक्रमानुपाती है तथा विद्युत धारा स्रोत (अनंत लंबाई के) से दूरी के व्युत्क्रमानुपाती है।

(iv) लंबे तार के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र की दिशा को निर्धारित करने का एक सरल नियम है। इस नियम को दक्षिण हस्त नियम* कहते हैं। यह इस प्रकार है

तार को अपने दाएँ हाथ में इस प्रकार पकड़िए कि आपका तना हुआ अँगूठा विद्युत धारा की दिशा की ओर संकेत करे। तब आपकी अँगुलियों के मुड़ने की दिशा चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में होगी।

ऐम्पियर का परिपथीय नियम बायो-सावर्ट नियम से भिन्न नहीं है। दोनों ही नियम विद्युत धारा तथा चुंबकीय क्षेत्र में संबंध व्यक्त करते हैं तथा दोनों ही स्थायी विद्युत धारा के समान भौतिक परिणामों को व्यक्त करते हैं। जो संबंध ऐम्पियर के नियम तथा बायो-सावर्ट नियम के बीच है ठीक वही संबंध गाउस नियम तथा कूलॉम नियम के बीच में है। ऐम्पियर का नियम तथा गाउस का नियम दोनों ही परिरेखा अथवा परिपृष्ठ पर किसी भौतिक राशि (चुंबकीय अथवा विद्युत क्षेत्र) का संबंध किसी अन्य भौतिक राशि जैसे अन्तः क्षेत्र में उपस्थित स्रोत (विद्युत धारा अथवा आवेश) के बीच संबंध व्यक्त करते हैं। यहाँ ध्यान देने योग्य बात यह भी है कि ऐम्पियर का परिपथीय नियम केवल उन स्थायी विद्युत धाराओं पर लागू होता है जो समय के साथ परिवर्तित नहीं होतीं। निम्नलिखित उदाहरण हमें परिबद्ध विद्युत धारा का अर्थ समझने में सहायता करेगा।

  • कृपया ध्यान दीजिए-दो सुस्पष्ट (पृथक) नियम हैं जिन्हें दक्षिण हस्त नियम कहते हैं। इनमें से एक नियम विद्युत धारा पाश के अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ की दिशा देता है तथा दूसरा सीधे विद्युत धारावाही चालक तार के लिए $\mathbf{B}$ की दिशा है। इन नियमों में अँगूठे तथा अँगुलियों की भिन्न भूमिका है।

उदाहरण 4.7 चित्र 4.13 में एक लंबा सीधा वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट का (जिसकी त्रिज्या $a$ है) विद्युत धारावाही तार जिससे स्थायी विद्युत धारा $I$ प्रवाहित हो रही हो, दर्शाया गया है। स्थायी विद्युत धारा इस अनुप्रस्थ काट पर एकसमान रूप से वितरित है। क्षेत्रों $r<a$ तथा $r>a$ में चुंबकीय क्षेत्र परिकलित कीजिए

चित्र 4.13

हल (a) प्रकरण $r>a$ पर विचार कीजिए। जिस पाश पर 2 अंकित है वह अनुप्रस्थ काट के साथ संकेंद्री वृत्त के रूप में ऐम्पियर पाश है। इस पाश के लिए

$L=2 \pi r$

$I _{e}=$ पाश द्वारा परिबद्ध विद्युत धारा $=I$

यह परिणाम किसी सीधे लंबे तार के लिए सुपरिचित व्यंजक है।

$B(2 \pi r)=\mu_{0} I$

$$ \begin{aligned} & B=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} \quad[4.15(a)] \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & B \propto \frac{1}{r} \quad(r>a) \end{aligned} $$

(b) प्रकरण $r<a$ पर विचार कीजिए। इसके लिए ऐम्पियर पाश वह वृत्त है जिस पर 1 अंकित है। इस पाश के लिए वृत्त की त्रिज्या $r$ लेने पर, $ L=2 \pi r $ अब यहाँ परिबद्ध विद्युत धारा $I _{e}$ का मान $I$ नहीं है परंतु यह इस मान से कम है। चूँकि विद्युत धारा का विवरण एकसमान है, परिबद्ध विद्युत धारा के अंश का मान

$I _{e}=I\left(\frac{\pi r^{2}}{\pi a^{2}}\right)=\frac{I r^{2}}{a^{2}}$

ऐम्पियर के नियम का उपयोग करने पर $B(2 \pi r)=\mu _{0} \frac{I r^{2}}{a^{2}}$

$B=\left(\frac{\mu _{0} I}{2 \pi a^{2}}\right) r$ [4.15 (b)]

$B \propto r \quad(r<a)$

चित्र 4.14

चित्र (4.14) में $\mathbf{B}$ के परिमाण तथा तार के केंद्र से दूरी $r$ के बीच ग्राफ दर्शाया गया है। चुंबकीय क्षेत्र की दिशा अपने-अपने वृत्ताकार पाशों ( 1 अथवा 2 ) के स्पर्शरेखीय है तथा यह इसी अनुभाग में पहले वर्णन किए जा चुके दक्षिण हस्त नियम से निर्धारित की गई है। इस उदाहरण में आवश्यक सममिति विद्यमान है इसलिए इसी पर ऐम्पियर का नियम आसानी से लागू किया जा सकता है।

यहाँ ध्यान देने योग्य बात यह है कि जबकि ऐम्पियर के परिपथीय नियम को किसी भी पाश पर लागू किया जा सकता है परंतु यह हर प्रकरण में चुंबकीय क्षेत्र का मूल्यांकन सदैव ही आसान नहीं बनाता। उदाहरण के लिए, अनुभाग 4.5 में वर्णन किए गए वृत्ताकार पाश के प्रकरण में, इसे सरल व्यंजक $B=\mu _{0} I / 2 R$ [समीकरण (4.12)] को, जोकि पाश के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र के लिए है, प्राप्त करने के लिए लागू नहीं किया जा सकता। तथापि ऐसी बहुत सी परिस्थितियाँ हैं जिनमें उच्च सममिति होती है तथा इस नियम को सुविधापूर्वक लागू किया जा सकता है। अगले अनुभाग में हम इसका उपयोग दो सामान्यतः उपयोग होने वाले अत्यंत उपयोगी चुंबकीय निकायों-परिनालिका एवं टोरॉइड द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों को परिकलित करने में करेंगे।

4.7 परिनालिका

हम यहाँ एक लंबी परिनालिका के विषय में चर्चा करेंगे। लंबी परिनालिका से हमारा तात्पर्य यह है कि परिनालिका की लंबाई उसकी त्रिज्या की तुलना में अधिक है। परिनालिका में एक लंबा तार सर्पिल के आकार में लिपटा होता है जिसमें प्रत्येक फेरा अपने निकट के फेरे के साथ काफ़ी सटा होता है। इस प्रकार फेरे को एक वृत्ताकार पाश माना जा सकता है। किसी परिनालिका के सभी फेरों के कारण उत्पन्न कुल चुंबकीय क्षेत्र प्रत्येक फेरे के चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग होता है। परिनालिका पर लपेटने के लिए इनैमलित तारों का उपयोग किया जाता है ताकि फेरे एक दूसरे से विद्युतरोधी रहें।

चित्र 4.15 (a) परिनालिका के किसी भाग जिसे स्पष्टता की दृष्टि से बाहर खींचा दर्शाया गया है, के कारण चुंबकीय क्षेत्र। केवल बाह्य अर्धवृत्ताकार भाग दर्शाया गया है। ध्यान से देखिए, किस प्रकार पास-पास स्थित फेरों के बीच चुंबकीय क्षेत्र एक दूसरे को निरसित कर देते हैं। (b) किसी परिमित परिनालिका का चुंबकीय क्षेत्र।

चित्र 4.15 में किसी परिमित परिनालिका का चुंबकीय क्षेत्र दर्शाया गया है। चित्र 4.15 (a) में हमने इस परिनालिका के एक खंड को विस्तारित करके दिखाया है। चित्र 4.15 (b) में वृत्ताकार पाश से यह स्पष्ट है कि दो पास-पास के फेरों के बीच चुंबकीय क्षेत्र नष्ट हो जाता है। चित्र 4.15 (b) में हम यह देखते हैं कि अन्तःभाग के मध्य बिंदु $\mathrm{P}$ पर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान, प्रबल तथा परिनालिका के अक्ष के अनुदिश है। बाह्य भाग के मध्य बिंदु $\mathrm{Q}$ पर चुंबकीय क्षेत्र दुर्बल है और साथ ही यह परिनालिका के अक्ष के अनुदिश है तथा इसका लंबवत अथवा अभिलंबवत कोई घटक भी नहीं है। जैसे-जैसे परिनालिका की लंबाई में वृद्धि होती है वह लंबी बेलनाकार धातु के पटल जैसी दिखाई देने लगती है। चित्र 4.16 में यह आदर्शीकृत चित्रण निरूपित किया गया है। परिनालिका के बाहर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने लगता है। परिनालिका के भीतर हर बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र अक्ष के समांतर होता है।

चित्र 4.16 अत्यधिक लंबी परिनालिका का चुंबकीय क्षेत्र। चुंबकीय क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए हम एक आयताकार ऐम्पियर-पाश $a, b, c, d$ पर विचार करते हैं।

किसी आयताकार ऐम्पियर-पाश abcd पर विचार करिए। जैसा कि ऊपर तर्क दिया जा चुका है $\mathrm{cd}$ के अनुदिश क्षेत्र शून्य है। अनुप्रस्थ खंडों $\mathrm{bc}$ तथा $\mathrm{ad}$ के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र का घटक शून्य है। इस प्रकार ये दोनों खंड चुंबकीय क्षेत्र में कोई योगदान नहीं देते। मान लीजिए $a b$ के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र $B$ है, इस प्रकार, ऐम्पियर-पाश की प्रासंगिक लंबाई $L=h$ ।

मान लीजिए प्रति एकांक लंबाई फेरों की संख्या $n$ है, तब फेरों की कुल संख्या $n h$ है। इस प्रकार परिबद्ध विद्युत धारा है $I _{e}=I(n h)$, यहाँ $I$ परिनालिका में प्रवाहित विद्युत धारा है। ऐम्पियर के परिपथीय नियम के अनुसार [समीकरण 4.13 (b) से]

$$ \begin{align*} & B L=\mu _{0} I _{e}, \quad B h=\mu _{0} I(n h) \\ & B=\mu _{0} n I \tag{4.16} \end{align*} $$

क्षेत्र की दिशा दक्षिण हस्त नियम से प्राप्त होती है। परिनालिका का सामान्यतः उपयोग एकसमान चुंबकीय क्षेत्र प्राप्त करने के लिए किया जाता है। अगले अध्याय में हम यह देखेंगे कि परिनालिका में भीतर नर्म लौह क्रोड रखकर विशाल चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करना संभव है।

उदाहरण 4.8 कोई परिनालिका जिसकी लंबाई $0.5 \mathrm{~m}$ तथा त्रिज्या $1 \mathrm{~cm}$ है, में 500 फेरे हैं। इसमें $5 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण क्या है?

हल प्रति एकांक लंबाई फेरों की संख्या

$n=\frac{500}{0.5}=1000$ फेरे प्रति मीटर

लंबाई $l=0.5 \mathrm{~m}$ तथा त्रिज्या $r=0.01 \mathrm{~m}$ । इस प्रकार, $l / a=50$ अर्थात $l>a$ अतः हम लंबी परिनालिका का सूत्र [समीकरण (4.20)] का उपयोग कर सकते हैं

$ \begin{aligned} B & =\mu _{0} n I \\ & =4 \pi \times 10^{-7} \times 10^{3} \times 5 \\ & =6.28 \times 10^{-3} \mathrm{~T} \end{aligned} $

4.8 दो समांतर विद्युत धाराओं के बीच बल-ऐम्पियर

हम यह सीख चुके हैं कि किसी विद्युत धारावाही चालक के कारण चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता है तो बायो-सावर्ट नियम का पालन करता है। साथ ही हमने यह भी सीखा है कि विद्युत धारावाही चालक पर बाह्य चुंबकीय क्षेत्र बल आरोपित करता है। यह लोरेंज बल सूत्र का अनुगमन करता है। अतः यह आशा करना तर्कसंगत है कि एक-दूसरे के पास स्थित दो विद्युत धारावाही चालक एक दूसरे पर (चुंबकीय) बल आरोपित करेंगे। सन् 1820-25 की अवधि में ऐम्पियर ने इस चुंबकीय बल की प्रकृति, इसकी विद्युत धारा के परिमाण, चालक की आकृति तथा आमाप पर निर्भरता के साथ इन चालकों के बीच की दूरी पर निर्भरता का अध्ययन किया। इस अनुभाग में हम दो समांतर विद्युत धारावाही चालकों के सरल उदाहरण पर ही चर्चा करेंगे जो कदाचित ऐम्पियर के श्रम साध्य कार्यों के प्रति आभार प्रकट करने में हमारी सहायता करेंगे।

चित्र 4.17 में दो लंबे समांतर चालक $a$ तथा $b$ दर्शाए गए हैं जिनके बीच पृथकन $d$ है तथा जिनसे (समांतर) क्रमशः $I _{\mathrm{a}}$ तथा $I _{\mathrm{b}}$ विद्युत धाराएँ प्रवाहित हो रही हैं। चालक ’ $a$ ’ चालक ’ $b$ ’ के अनुदिश प्रत्येक बिंदु पर समान चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B} _{\mathrm{a}}$ लगा रहा है। तब दक्षिण हस्त नियम के अनुसार इस चित्र 4.17 दो लंबे सीधे, समांतर चालक जिनमें अपरिवर्ती धारा $i _{a}$ एवं $i _{b}$ प्रवाहित हो रही है और जो एक-दूसरे से $d$ दूरी पर रखे हैं। चालक ’ $a$ ’ के कारण चालक ’ $b$ ’ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B} _{a}$ है। चुंबकीय क्षेत्र की दिशा अधोमुखी (जब चालक क्षैतिजतः रखे होते हैं) है। ऐम्पियर के परिपथीय नियम अथवा [समीकरण [4.15 (a)] के अनुसार इस चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण

FIGURE 4.17 Two long straight parallel conductors carrying steady currents $I_{a}$ and $I_{b}$ and separated by a distance d. $\mathbf{B_\mathrm{a}}$ is the magnetic field set up by conductor ’ $a$ ’ at conductor ‘b’.

$$ B _{a}=\frac{\mu _{0} I _{a}}{2 \pi d} $$

चालक ’ $\mathrm{b}$ ’ जिससे विद्युत धारा $I _{\mathrm{b}}$ प्रवाहित हो रही है $\mathbf{B} _{\mathrm{a}}$ के कारण पार्श्वतः एक बल का अनुमान करता है। इस बल की दिशा चालक ’ $a$ ’ की ओर होती है। (आप इसकी पुष्टि स्वयं कर सकते हैं) हम इस बल को $\mathbf{F} _{\mathrm{ba}}$ द्वारा नामांकित करते हैं, जोकि ’ $a$ ’ के कारण ’ $\mathrm{b}$ ’ के खंड $\mathbf{L}$ पर लगा बल है। समीकरण (4.4) से इस बल का परिमाण

$$ \begin{align*} F _{b a} & =I _{b} L B _{a} \\ & =\frac{\mu _{0} I _{a} I _{b}}{2 \pi d} L \tag{4.17} \end{align*} $$

वास्तव में ’ $b$ ’ के कारण ’ $a$ ’ पर बल को परिकलित करना संभव है। जिस प्रकार हमने ऊपर विचार किया था उसी प्रकार के विचारों के द्वारा हम ’ $\mathrm{b}$ ’ में प्रवाहित विद्युत धारा के कारण ’ $\mathrm{a}$ ’ के खंड $L$ पर बल $\mathbf{F} _{\mathrm{ab}}$ के बराबर तथा ‘b’ की ओर निर्दिष्ट ज्ञात कर सकते हैं। यह परिमाण में $\mathbf{F} _{\mathrm{ba}}$ के बराबर तथा ’ $b$ ’ की ओर निर्दिष्ट होता है। इस प्रकार

$$ \begin{equation*} \mathbf{F} _{\mathrm{ba}}=-\mathbf{F} _{\mathrm{ab}} \tag{4.18} \end{equation*} $$

ध्यान दीजिए, यह न्यूटन के तीसरे गति के नियम के अनुरूप है। इस प्रकार हमने समांतर चालकों तथा अपरिवर्ती विद्युत धाराओं के लिए यह तो दर्शा ही दिया है कि बायो-सावर्ट नियम तथा लोरेंज बल द्वारा प्राप्त परिणाम न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुरूप है।*

हमने ऊपर प्राप्त परिणामों से यह पाया कि समान दिशा में प्रवाहित होने वाली विद्युत धाराएँ एक दूसरे को आकर्षित करती हैं। हम यह भी दर्शा सकते हैं कि विपरीत दिशाओं में प्रवाहित होने वाली विद्युत धाराएँ एक दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं। इस प्रकार

समांतर धाराएँ आकर्षित तथा प्रतिसमांतर धाराएँ प्रतिकर्षित करती हैं।

यह नियम उस नियम के विपरीत है जिसका हमने स्थिरवैद्युतिकी में अध्ययन किया था"सजातीय आवेशों में प्रतिकर्षण तथा विजातीय आवेशों में आकर्षण होता है।" परंतु सजातीय (समांतर) धाराएँ एक दूसरे को आकर्षित करती हैं।

मान लीजिए $f _{\mathrm{ba}}$ बल $\mathbf{F} _{\mathrm{ba}}$ के प्रति एकांक लंबाई पर आरोपित बल के परिमाण को निरूपित करता है। तब समीकरण (4.17) से,

$$ \begin{equation*} f _{b a}=\frac{\mu _{0} I _{a} I _{b}}{2 \pi d} \tag{4.19} \end{equation*} $$

उपरोक्त व्यंजक का उपयोग विद्युत धारा के मात्रक ऐम्पियर (A) की परिभाषा को प्राप्त करने में किया जा सकता है। यह सात SI मूल मात्रकों में से एक है।

एक ऐम्पियर वह अपरिवर्ती विद्युत धारा है जो दो लंबे, सीधे उपेक्षणीय अनुप्रस्थ काट के निर्वात में एक दूसरे से $1 \mathrm{~m}$ दूरी पर स्थित समांतर चालकों में प्रवाहित हो, तो इनमें से प्रत्येक चालक की प्रति मीटर लंबाई पर $2 \times 10^{-7} \mathrm{~N}$ का बल उत्पन्न होता है।

‘ऐम्पियर’ की यह परिभाषा सन् 1946 में अपनायी गई थी। यह एक सैद्धांतिक परिभाषा है। व्यवहार में हमें पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव को विलुप्त करना चाहिए तथा बहुत लंबे तारों के स्थान पर उचित ज्यामिति की बहुफेरों की कुंडलियाँ लेनी चाहिए। एक उपकरण, जिसे ‘धारा तुला’ कहते हैं, का उपयोग इस यांत्रिक बल की माप के लिए किया जाता है।

आवेश के SI मात्रक, अर्थात कूलॉम को अब हम ऐम्पियर के पदों में परिभाषित कर सकते हैं।

जब किसी चालक में $1 \mathrm{~A}$ की अपरिवर्ती विद्युत धारा प्रवाहित होती है तो उसकी अनुप्रस्थ काट से एक सेकंड में प्रवाहित आवेश की मात्रा एक कूलॉम $(1 \mathrm{C})$ होती है।

  • इससे यह अर्थ निकलता है कि जब हमारे पास समय निर्भर विद्युत धाराएँ/अथवा गतिशील आवेश होती हैं तब आवेशों/चालकों के बीच बलों के लिए न्यूटन का तीसरा नियम लागू नहीं होता। न्यूटन के तीसरे नियम का आवश्यक परिणाम यांत्रिकी में किसी वियुक्त निकाय के संवेग का संरक्षण है। तथापि यह विद्युत चुंबकीय क्षेत्रों के साथ समय निर्भर स्थितियों के प्रकरण पर लागू होती है, परंतु इस शर्त के साथ कि क्षेत्रों द्वारा वहन संवेग को भी सम्मिलित किया जाए।

उदाहरण 4.9 किसी निर्धारित स्थान पर पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $3.0 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$ है, तथा इस क्षेत्र की दिशा भौगोलिक दक्षिण से भौगोलिक उत्तर की ओर है। किसी अत्यधिक लंबे सीधे चालक से $1 \mathrm{~A}$ की अपरिवर्ती धारा प्रवाहित हो रही है। जब यह तार किसी क्षैतिज मेज़ पर रखा है तथा विद्युत धारा के प्रवाह की दिशाएँ (a) पूर्व से पश्चिम की ओर; (b) दक्षिण से उत्तर की ओर हैं तो तार की प्रत्येक एकांक लंबाई पर बल कितना है?

हल $F=I l \times B$

$F=I l B \sin \theta$

प्रति एकांक लंबाई पर बल

$ f=F / l=I B \sin \theta $

(a) जब विद्युत धारा पूर्व से पश्चिम की ओर प्रवाहित होती है, तब

$\theta=90^{\circ}$

अत:

$f=I \mathrm{~B}$

$=1 \times 3 \times 10^{-5}=3 \times 10^{-5} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}$

यह ऐम्पियर की परिभाषा में वर्णित बल के मान $2 \times 10^{-7} \mathrm{Nm}^{-1}$ से बड़ा है। अतः ऐम्पियर का मानकीकरण करने के लिए पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र तथा अन्य भूले-भटके क्षेत्रों के प्रभावों को समाप्त करना महत्वपूर्ण है।

बल की दिशा अधोमुखी है। इस दिशा को ‘सदिशों के सदिश गुणनफल’ के दैशिक गुण के द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

(b) जब विद्युत धारा के प्रवाह की दिशा दक्षिण से उत्तर की ओर है, तो

$\theta=0^{\circ}$

$f=0$

अतः चालक पर कोई बल कार्य नहीं करता।

4.9 विद्युत धारा पाश पर बल आघूर्ण, चुंबकीय द्विध्रुव

4.9.1 एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में आयताकार विद्युत धारा पाश पर बल आघूर्ण

अब हम आपको यह दिखाएँगे कि एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में स्थित कोई आयताकार पाश जिससे अपरिवर्ती विद्युत धारा $I$ प्रवाहित हो रही है, एक बल आघूर्ण का अनुभव करता है। इस पर कोई नेट बल आरोपित नहीं होता। यह व्यवहार उस द्विध्रुव के व्यवहार के समरूपी है जो यह एकसमान विद्युत क्षेत्र में दर्शाता है (अनुभाग 1.11 देखिए)।

पहले हम उस सरल प्रकरण पर विचार करते हैं जिसमें आयताकार पाश इस प्रकार स्थित है कि एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ पाश के तल में है। इसे चित्र 4.18 (a) में दर्शाया गया है।

चित्र 4.18 (a) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में स्थित कोई विद्युत धारावाही आयताकार कुंडली। चुंबकीय आघूर्ण $m$ अधोमुखी संकेत करता है। बल आघूर्ण $\tau$ अक्ष के अनुदिश है तथा इसकी प्रवृत्ति कुंडली को वामावर्त घूर्णन कराने की है। (b) कुंडली पर बल

चुंबकीय क्षेत्र पाश की दो भुजाओं $\mathrm{AD}$ तथा $\mathrm{BC}$ पर कोई बल आरोपित नहीं करता। यह पाश की भुजा $\mathrm{AB}$ के लंबवत है तथा इस पर बल $\mathbf{F} _{1}$ आरोपित करता है जिसकी दिशा पाश के तल में भीतर की ओर है। इस बल का परिमाण है :

$$ F _{1}=I b B $$

इसी प्रकार, चुंबकीय क्षेत्र भुजा $\mathrm{CD}$ पर एक बल $\mathbf{F} _{2}$ आरोपित करता है जो पाश के तल के बाहर की ओर है। इस बल का परिमाण है :

$$ F _{2}=I b B=F _{1} $$

इसी प्रकार पाश पर आरोपित नेट बल शून्य है। बलों $\mathbf{F} _{1}$ तथा $\mathbf{F} _{2}$ के युगल के कारण पाश पर एक बल आघूर्ण कार्य करता है। चित्र 4.18 (b) में $\mathrm{AD}$ सिरे से पाश का एक दृश्य दिखाया गया है। यह स्पष्ट करता है कि यह बल आघूर्ण पाश में वामावर्त घूर्णन की प्रवृत्ति उत्पन्न करता है। इस बल आघूर्ण का परिमाण है : युग्म कार्य करते हुए।

$$ \begin{equation*} \tau= F_{1} \frac{a}{2}+F_{2} \frac{a}{2} \\ \end{equation*} $$

$$ \begin{align*} & =I b B \frac{a}{2}+I b B \frac{a}{2}=I(a b) B \\ & =I A B \tag{4.20} \\ \end{align*} $$

यहाँ $A=a b$ आयत का क्षेत्रफल है।

अब हम आगे उस प्रकरण पर विचार करेंगे जिसमें पाश का तल चुंबकीय क्षेत्र के अनुदिश नहीं है, परंतु इनके बीच कोई कोण बनता है। हम चुंबकीय क्षेत्र $\mathrm{B}$ तथा कुंडली पर अभिलंब के बीच

भुजाओं $\mathrm{BC}$ तथा $\mathrm{DA}$ पर कार्यरत बल परिमाण में समान दिशा में विपरीत तथा कुंडली के अक्ष के अनुदिश कार्य करते हैं। ये बल $\mathrm{BC}$ तथा $\mathrm{DA}$ के संहति केंद्रों को संयोजित करते हैं। अक्ष के अनुदिश संरेखित होने के कारण ये एक दूसरे को निरस्त करते हैं, परिणामस्वरूप कोई नेट बल अथवा बल आघूर्ण नहीं है। भुजाओं $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{CD}$ पर कार्यरत बल $\mathbf{F} _{1}$ तथा $\mathbf{F} _{2}$ हैं। ये भी परिमाण सहित समान एवं विपरीत हैं।

$$ F _{1}=F _{2}=I b B $$

परंतु ये संरेख नहीं हैं। इसके परिणामस्वरूप पहले की तरह एक बल युग्म उत्पन्न होता है। तथापि, पिछले प्रकरण जिसमें पाश का तल चुंबकीय क्षेत्र के अनुदिश था, की तुलना में बल आघूर्ण का परिमाण अब कम है। इसका कारण यह है कि बलयुग्म बनाने वाले बलों के बीच की लंबवत दूरी कम हो गई है। चित्र 4.19(b) में सिरे $\mathrm{AD}$ से इस व्यवस्था का दृश्य दिखाया गया है। इसमें यह दर्शाया गया है कि ये दो बल एक बलयुग्म बनाते हैं। पाश पर बल आघूर्ण का परिमाण है :

$$ \begin{align*} \tau & =F _{1} \frac{a}{2} \sin \theta+F _{2} \frac{a}{2} \sin \theta \\ & =I a b B \sin \theta \\ & =I A B \sin \theta \tag{4.21} \end{align*} $$

चित्र 4.19 (a) पाश $\mathrm{ABCD}$ का क्षेत्र सदिश चुंबकीय क्षेत्र से कोई यादृच्छिक कोण $\theta$ बनाता है। (b) पाश का ऊपरी दृश्य। भुजाओं $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{CD}$ पर कार्यरत बल $\mathbf{F} _{1}$ तथा $\mathbf{F} _{2}$ दर्शाए गए हैं। का कोण $\theta$ लेते हैं (पहला प्रकरण $\theta=\pi / 2$ के तदनुरूपी है)। चित्र 4.19 में यह व्यापक प्रकरण दर्शाया गया है।

जैसे-जैसे $\theta \rightarrow 0$, बलयुग्म के बलों के बीच लंबवत दूरी भी शून्य की ओर बढ़ती है। इससे बल संरेख बन जाते हैं तथा नेट बल तथा बल आघूर्ण शून्य हो जाते हैं। समीकरणों (4.20) तथा (4.21) के बल आघूर्णों को कुंडली के चुंबकीय आघूर्ण तथा चुंबकीय क्षेत्र के सदिश गुणनफल के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। विद्युत धारा पाश के चुंबकीय आघूर्ण को हम इस प्रकार परिभाषित करते हैं

$$ \begin{equation*} \mathbf{m}=I \mathbf{A} \tag{4.22} \end{equation*} $$

यहाँ क्षेत्र सदिश $\mathbf{A}$ की दिशा दक्षिण हस्त अंगुष्ठ नियम के अनुसार कागज़ के तल के भीतर की ओर निर्दिष्ट है (चित्र 4.18 देखिए) चूँकि $\mathbf{m}$ तथा $\mathbf{B}$ के बीच का कोण $\theta$ है, समीकरणों (4.20) तथा (4.21) को केवल एक व्यंजक द्वारा व्यक्त किया जा सकता है

$$ \begin{equation*} \boldsymbol{\tau}=\mathbf{m} \times \mathbf{B} \tag{4.23} \end{equation*} $$

यह स्थिरवैद्युतिकी के प्रकरण के सदृश है। [विद्युत क्षेत्र $\mathbf{E}$ में द्विध्रुव आघूर्ण $\mathbf{p} _{\mathrm{e}}$ का वैद्युत

$$ \boldsymbol{\tau}=\mathbf{p} _{\mathrm{e}} \times \mathbf{E} $$

जैसा कि समीकरण (4.22) से स्पष्ट है, चुंबकीय क्षेत्र की विमाएँ $\left[\mathrm{AL}^{2}\right]$ हैं तथा इसका मात्रक $\mathrm{Am}^{2}$ है।

समीकरण (4.23) से स्पष्ट है कि जब $\mathbf{m}$ चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ के समांतर अथवा प्रतिसमांतर होता है तो बल आघूर्ण $\tau$ विलुप्त हो जाता है। जब कुंडली पर बल आघूर्ण नहीं होता तो यह साम्यावस्था की ओर इंगित करता है (यह चुंबकीय आघूर्ण $\mathbf{m}$ की किसी वस्तु पर भी लागू होता है)। जब $\mathbf{m}$ तथा $\mathbf{B}$ समांतर होते हैं तो साम्यावस्था स्थायी होती है। कुंडली में कोई भी घूर्णन होने पर बल आघूर्ण उत्पन्न होता है जो कुंडली को वापस उसकी मूल स्थिति में ला देता है। जब ये प्रतिसमांतर होते हैं तो साम्यावस्था अस्थायी होती है क्योंकि कुंडली में कोई घूर्णन होने पर एक बल आघूर्ण उत्पन्न होता है जो इस घूर्णन में वृद्धि कर देता है। इस बल आघूर्ण की उपस्थिति के कारण ही लघु चुंबक अथवा कोई चुंबकीय द्विध्रुव बाह्य चुंबकीय क्षेत्र के साथ स्वयं को संरेखित कर लेता है।

यदि पाश में पास-पास सटे हुए $N$ फेरे हैं तो बल आघूर्ण के लिए व्यंजक, समीकरण (4.23) अब भी लागू होता है। तब यह व्यंजक इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

$$ \begin{equation*} \mathbf{m}=N I \mathbf{A} \tag{4.24} \end{equation*} $$

उदाहरण 4.10 $10 \mathrm{~cm}$ त्रिज्या की किसी कुंडली जिसमें पास-पास सटे 100 फेरे हैं, में $3.2 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। (a) कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र कितना है?

(b) इस कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण क्या है? यह कुंडली ऊर्ध्वाधर तल में रखी है तथा किसी क्षैतिज अक्ष जो उसके व्यास से संरेखित है, के परितः घूर्णन करने के लिए स्वतंत्र है। एक $2 \mathrm{~T}$ का एकसमान चुंबकीय क्षेत्र क्षैतिज दिशा में है जो इस प्रकार है कि आरंभ में कुंडली का अक्ष चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में है। चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में कुंडली $90^{\circ}$ के कोण पर घूर्णन कर जाती है।

(c) आरंभिक तथा अंतिम स्थिति में कुंडली पर बल आघूर्ण के परिमाण क्या हैं?

(d) $90^{\circ}$ पर घूर्णन करने के पश्चात कुंडली द्वारा अर्जित कोणीय चाल कितनी है? कुंडली का जड़त्व आघूर्ण $0.1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}$ है।

हल

(a) समीकरण (4.12) से

$$ B=\frac{\mu _{0} N I}{2 R} $$

यहाँ, $N=100 ; I=3.2 \mathrm{~A}$, तथा $R=0.1 \mathrm{~m}$ इसलिए

$B=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10^{2} \times 3.2}{2 \times 10^{-1}}=\frac{4 \times 10^{-5} \times 10}{2 \times 10^{-1}}(\pi \times 3.2=10$ का उपयोग करने पर $)$ $=2 \times 10^{-3} \mathrm{~T}$

$\mathrm{B}$ की दिशा दक्षिण हस्त अंगुष्ठ नियम द्वारा प्राप्त होती है।

(b) समीकरण (4.24) से चुंबकीय आघूर्ण

$m=N I A=N I \pi r^{2}=100 \times 3.2 \times 3.14 \times 10^{-2}=10 \mathrm{~A} \mathrm{~m}^{2}$

इस बार फिर दिशा दक्षिण हस्त अंगुष्ठ नियम द्वारा प्राप्त होती है।

(c) $\tau=|\mathbf{m} \times \mathbf{B}|$ [समीकरण (4.23) से]

$=m B \sin \theta$

आरंभ में $\theta=0$, इस प्रकार आरंभिक बल आघूर्ण $\tau _{i}=0$, अंत में $\theta=\pi / 2$ (अथवा 90ㅇ) इस प्रकार अंतिम बल आघूर्ण $\tau _{f}=m B=10 \times 2=20 \mathrm{~N} \mathrm{~m}$

(d) न्यूटन के द्वितीय नियम से

$g \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=m \sin \theta$

यहाँ $g$ कुंडली का जड़त्व आघूर्ण है। श्रृंखला नियम के अनुसार

$$ \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} \theta} \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} \omega $$

इसका उपयोग करने पर,

g $\omega \mathrm{d} \omega=m B \sin \theta \mathrm{d} \theta$

$\theta=0$ से $\theta=\pi / 2$ तक समाकलन करने पर,

$g \int _{0}^{\omega _{f}} \omega \mathrm{d} \omega=m B \int _{0}^{\pi / 2} \sin \theta \mathrm{d} \theta$

$g \frac{\omega _{f}^{2}}{2}=-\left.m B \cos \theta\right| _{0} ^{\pi / 2}=m B$

$\omega _{f}=\left(\frac{2 m B}{g}\right)^{1 / 2}=\left(\frac{2 \times 20}{10^{-1}}\right)^{1 / 2}=20 \mathrm{~s}^{-1}$

उदाहरण 4.11

(a) किसी चिकने क्षैतिज तल पर कोई विद्युत धारावाही वृत्ताकार पाश रखा है। क्या इस पाश के चारों ओर ऐसा चुंबकीय क्षेत्र स्थापित किया जा सकता है कि यह पाश अपने अक्ष के चारों ओर स्वयं चक्कर लगाए (अर्थात ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर)।

(b) कोई विद्युत वाही वृत्ताकार पाश किसी एकसमान बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में स्थित है। यदि यह पाश घूमने के लिए स्वतंत्र है, तो इसके स्थायी संतुलन का दिक्विन्यास क्या होगा। यह दर्शाइए कि इसमें कुल क्षेत्र (बाह्य क्षेत्र + पाश द्वारा उत्पन्न क्षेत्र) का फ्लक्स अधिकतम होगा।

(c) अनियमित आकृति का कोई विद्युत धारावाही पाश किसी बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में स्थित है। यदि तार लचीला है तो यह वृत्ताकार आकृति क्यों ग्रहण कर लेता है?

हल

(a) नहीं, क्योंकि इसके लिए ऊर्ध्वाधर दिशा में बल आघूर्ण $\tau$ की आवश्यकता होगी। परंतु $\tau=I \mathbf{A} \times \mathbf{B}$, और चूँकि क्षैतिज पाश का क्षेत्रफल सदिश $\mathbf{A}$ ऊर्ध्वाधर दिशा में है, $\tau$ को $\mathbf{B}$ के किसी मान के लिए पाश के तल में होना चाहिए।

(b) स्थायी संतुलन वाला दिक्विन्यास वह है जिसमें पाश का क्षेत्रफल सदिश $\mathbf{A}$ बाह्य चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में होता है। इस दिक्विन्यास में पाश द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र बाह्य क्षेत्र की दिशा में ही है। इस प्रकार, दोनों क्षेत्र पाश के तल के लंबवत होने के कारण कुल क्षेत्र का अधिकतम फ्लक्स प्रदान करते हैं।

(c) यह क्षेत्र के लंबवत तल में वृत्ताकार पाश का रूप इसलिए ग्रहण कर लेता है ताकि इससे होकर अधिकतम फ्लक्स प्रवाहित हो सके। क्योंकि किसी दी गई परिमिति के लिए वृत्त का क्षेत्रफल किसी भी अन्य आकृति की तुलना में अधिकतम होता है।

4.9.2 वृत्ताकार विद्युत धारा पाश चुंबकीय द्विध्रुव

इस अनुभाग में हम मौलिक चुंबकीय तत्व के रूप में किसी विद्युत धारा पाश के विषय में विचार करेंगे। हम यह दर्शाएँगे कि वृत्ताकार विद्युत धारा पाश के कारण चुंबकीय क्षेत्र (अधिक दूरियों पर) व्यवहार में वैद्युत द्विध्रुव के विद्युत क्षेत्र से बहुत कुछ समान होता है। अनुभाग 4.5 में हमने $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पाश जिससे अपरिवर्ती विद्युत धारा $I$ प्रवाहित हो रही है, के कारण पाश के अक्ष चुंबकीय क्षेत्र का मूल्यांकन किया था। इस चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण [समीकरण (4.11)],

$$ B=\frac{\mu _{0} I R^{2}}{2\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}} $$

तथा इसकी दिशा अक्ष के अनुदिश थी जिसे दक्षिण हस्त अंगुष्ठ नियम द्वारा प्राप्त किया गया था (चित्र 4.10)। यहाँ पर $x$ पाश के केंद्र से उसके अक्ष के अनुदिश दूरी है। यदि $x> >R$ है, तो हम उपरोक्त व्यंजक के हर से $R^{2}$ की उपेक्षा कर सकते हैं। इस प्रकार

$$ B=\frac{\mu _{0} I R^{2}}{2 x^{3}} $$

ध्यान दीजिए, पाश का क्षेत्रफल $A=\pi R^{2}$, इस प्रकार

$$ B=\frac{\mu _{0} I A}{2 \pi x^{3}} $$

जैसा कि पहले हमने चुंबकीय आघूर्ण $\mathbf{m}$ के परिमाण की परिभाषा $\mathrm{m}=I \mathrm{~A}$ के रूप में की थी

$$ \begin{align*} \mathrm{B} & \simeq \frac{\mu_{0} m}{2 \pi x^{3}} \\ & =\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 \mathbf{m}}{x^{3}} \tag{4.25 a} \end{align*} $$

समीकरण [4.25 (a)] का यह व्यंजक किसी स्थिरवैद्युत द्विध्रुव के विद्युत क्षेत्र के लिए पहले प्राप्त किए जा चुके व्यंजक से काफ़ी मेल खाता है। इस समानता को देखने के लिए हम प्रतिस्थापित करते हैं

$$\mu _{0} \rightarrow 1 / \varepsilon _{0}$$ $$\mathbf{m} \rightarrow \mathbf{p} _{\mathrm{e}} (स्थिरवैद्युत द्विध्रुव)$$ $$\mathbf{B} \rightarrow \mathbf{E} (स्थिरवैद्युतीय क्षेत्र)$$

तब हमें प्राप्त होता है,

$$ \mathbf{E}=\frac{2 \mathbf{p} _{e}}{4 \pi \varepsilon _{0} x^{3}} $$

जो कि यथार्थ रूप से किसी वैद्युत द्विध्रुव का उसके अक्ष पर विद्युत क्षेत्र है। इसके विषय में हमने अध्याय 1 अनुभाग 1.9 [समीकरण (1.20)] में अध्ययन किया था।

यह दर्शाया जा सकता है कि उपरोक्त सदृशता को आगे भी ले जाया जा सकता है। हमने यह पाया था कि द्विध्रुव के लंबवत द्विविभाजक पर विद्युत क्षेत्र [समीकरण (1.21) देखिए]

$$ E \simeq \frac{\mathbf{p_e}}{4 \pi \varepsilon_{0} x^{3}} $$

यहाँ $x$ द्विध्रुव से दूरी है। यदि हम उपरोक्त संबंध में $\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{m}$ तथा $\mu _{0} \rightarrow 1 / \varepsilon _{0}$ से प्रतिस्थापित करें, तो हमें पाश के तल में किसी बिंदु जिसकी केंद्र से दूरी $x$ है, के लिए $\mathbf{B}$ के परिणाम प्राप्त हो सकते हैं। $x > > R$ के लिए

$$ \begin{equation*} \mathbf{B} \approx \frac{\mu _{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{m}}{x^{3}} ; \quad x > >R \tag{4.25 b} \end{equation*} $$

किसी बिंदु चुंबकीय द्विध्रुव के लिए समीकरणों [4.25(a)] तथा [4.25(b)] द्वारा दिए गए परिणाम यथार्थ बन जाते हैं।

उपरोक्त परिणाम किसी भी समतल पाश पर लागू होते दर्शाए जा सकते हैं। समतल विद्युत धारा पाश किसी अक्ष चुंबकीय द्विध्रुव के तुल्य होता है जिसका चुंबकीय आघूर्ण $\mathbf{m}=I \mathbf{A}$ है जो कि वैद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\mathbf{p}$ के सदृश है। ध्यान दीजिए, इतना होते हुए भी एक मूल अंतर यह है कि कोई वैद्युत द्विध्रुव दो मूल इकाइयों - आवेशों (अथवा विद्युत एकध्रुवों) से मिलकर बनता है। जबकि चुंबकत्व में कोई चुंबकीय द्विध्रुव (अथवा विद्युत धारा पाश) एक अत्यंत मूल तत्व है। चुंबकत्व में विद्युत आवेशों के समतुल्य अर्थात चुंबकीय एकध्रुवों, का अस्तित्व अब तक अज्ञात है।

हमने यह दर्शाया कि कोई विद्युत धारा पाश (i) चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है (चित्र 4.10 देखिए) तथा अधिक दूरियों पर एक चुंबकीय द्विध्रुव की तरह व्यवहार करता है तथा (ii) पर एक बल आघूर्ण कार्य करता है जैसे चुंबकीय सुई। इसके आधार पर ऐम्पियर ने यह सुझाव दिया था कि समस्त चुंबकत्व प्रवाहित विद्युत धाराओं के कारण है। यह आंशिक रूप से सत्य प्रतीत होता है तथा अब तक कोई भी चुंबकीय एकध्रुव नहीं देखा जा सका है। तथापि मूल कण जैसे इलेक्ट्रॉन अथवा प्रोटॉन के भी नैज चुंबकीय आघूर्ण हैं जो प्रवाहित विद्युत धाराओं के कारण नहीं हैं।

4.10 चल कुंडली गैल्वेनोमीटर

चित्र 4.20 चल कुंडली गैल्वेनोमीटर। इसके अवयवों का वर्णन पाठ में किया गया है। आवश्यकतानुसार इस उपकरण का उपयोग हम धारा का पता लगाने या धारा (ऐमीटर), या फिर वोल्टता (वोल्टमीटर) का मान ज्ञात करने के लिए करते हैं।

अध्याय 3 के अंतर्गत विद्युत परिपथों में प्रवाहित धाराओं तथा वोल्टताओं के विषय में विस्तार से चर्चा की जा चुकी है। परंतु हम इन्हें किस प्रकार मापते हैं। हम यह कैसे कहते हैं कि किसी परिपथ में $1.5 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है अथवा किसी प्रतिरोधक के सिरों के बीच $1.2 \mathrm{~V}$ विभवांतर है। चित्र 4.20 में इसी उद्देश्य के उपयोग से किया जाने वाला उपयोगी उपकरण दर्शाया गया है जिसे चल कुंडली गैल्वेनोमीटर (moving coll galvanometer-MCG) कहते हैं। यह एक ऐसी युक्ति है जिसके सिद्धांत को हमारे द्वारा अनुभाग में 4.9 में की गई चर्चा के आधार पर समझा जा सकता है।

चल कुंडली गैल्वेनोमीटर में किसी एकसमान त्रिज्य (अरीय) चुंबकीय क्षेत्र में किसी अक्ष पर घूर्णन करने के लिए अनेक फेरों वाली एक कुंडली होती है (चित्र 4.20)। इस कुंडली के भीतर एक बेलनाकार नर्म लोह क्रोड जो केवल चुंबकीय क्षेत्र को त्रिज्य ही नहीं बनाता वरन चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता में भी वृद्धि कर देता है। जब इस कुंडली से कोई विद्युत धारा प्रवाहित की जाती है तो इस पर एक बल आघूर्ण कार्य करता है। समीकरण (4.20) के अनुसार इस बल आघूर्ण $\tau$ का मान होता है

$$ \begin{equation*} \tau=N I A B \end{equation*} $$

यहाँ, भौतिक राशियों के प्रतीकों के अपने सामान्य अर्थ हैं। चूँकि डिज़ाइन के अनुसार चुंबकीय क्षेत्र त्रिज्य है, हमने बल आघूर्ण के लिए दिए गए उपरोक्त व्यंजक में $\sin \theta=1$ लिया है। यह चुंबकीय बल आघूर्ण NIAB कुंडली में घूर्णन की प्रवृत्ति उत्पन्न करता है जिसके फलस्वरूप कुंडली अपने अक्ष पर घूर्णन करती है। कुंडली से जुड़ी कमानी $\mathrm{S} _{\mathrm{p}}$ में कुंडली के घूर्णन के विरोध में बल आघूर्ण $k \phi$ उत्पन्न हो जाता है जो कुंडली के बल आघूर्ण NIAB को संतुलित करता है; फलस्वरूप कुंडली में $\phi$ कोण का स्थायी कोणीय विक्षेप आ जाता है। साम्यावस्था में

$$ k \phi=N I A B $$

यहाँ $k$ कमानी का ऐंठन नियतांक है, अर्थात प्रति एकांक ऐंठन प्रत्यानयन बल आघूर्ण है। विक्षेप $\phi$ का पाठ्यांक कमानी के साथ जुड़े संकेतक द्वारा पैमाने पर लिया जा सकता है। उपरोक्त व्यंजक के अनुसार $\phi$ का मान है

$$ \begin{equation*} \phi=\left(\frac{N A B}{k}\right) I \tag{4.26} \end{equation*} $$

कोष्ठक की राशि का मान किसी दिए गए गैल्वेनोमीटर के लिए एक नियतांक है। गैल्वेनोमीटर का उपयोग कई प्रकार से किया जा सकता है। इसका उपयोग एक संसूचक के रूप में यह ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है कि परिपथ में कोई विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है अथवा नहीं। इस प्रकार का उपयोग हमने व्हीटस्टोन सेतु व्यवस्था में किया था। जब गैल्वेनोमीटर का उपयोग संसूचक के रूप में करते हैं तो इसका संकेतक साम्यावस्था (शून्य विक्षेप स्थिति अर्थात जब कुंडली में कोई विद्युत धारा प्रवाहित नहीं होती) पैमाने के मध्य में होता है न कि बाईं ओर जैसा कि चित्र 4.20 में दर्शाया गया है। प्रवाहित विद्युत धारा के अनुसार गैल्वेनोमीटर का संकेतक विद्युत धारा की दिशा के अनुरूप बाएँ अथवा दाएँ विक्षेपित हो जाता है।

चित्र 4.21 एक अत्यल्प मान का शंट प्रतिरोध $r_s$ पार्श्वक्रम में लगाकर किसी गैल्वेनोमीटर (G) को ऐमीटर (A) में रूपांतरित करना।

चित्र 4.22 श्रेणीक्रम में एक बड़ा प्रतिरोध $R$ लगाकर गैल्वेनोमीटर (G) को वोल्टमीटर $(\mathrm{V})$ में परिवर्तित करना।

गैल्वेनोमीटर का उपयोग इसी रूप में किसी परिपथ में प्रवाहित विद्युत धारा को मापने के लिए ऐमीटर की भाँति नहीं किया जा सकता। इसके दो कारण हैं (i) गैल्वेनोमीटर एक अत्यंत सुग्राही युक्ति है, यह $\mu \mathrm{A}$ कोटि की विद्युत धारा के लिए पूर्ण पैमाना विक्षेप देती है। (ii) विद्युत धारा को मापने के लिए गैल्वेनोमीटर को परिपथ में श्रेणीक्रम में जोड़ना होता है। क्योंकि इसका प्रतिरोध अधिक होता है जो परिपथ में प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा के मान को परिवर्तित कर देता है। इस परेशानी को दूर करने के लिए एक अल्प-मान वाला प्रतिरोध $r _{s}$ जिसे शंट कहते हैं, गैल्वेनोमीटर की कुंडली के पार्श्वक्रम में संयोजित किया जाता है जिससे अधिकांश विद्युत धारा इस शंट से प्रवाहित हो जाती है। इस प्रकार इस व्यवस्था का प्रतिरोध हो जाता है-

$$ R _{G} r _{s} /\left(R _{G}+r _{s}\right) \sim r _{s} \quad \text { यदि } R _{G} > > r _{s} $$

यदि परिपथ के प्रतिरोध $R _{e}$ की तुलना में $r _{s}$ का मान कम है तो मापक यंत्र को परिपथ में जोड़ने का प्रभाव भी कम होगा जिसकी उपेक्षा की जा सकती है। इस व्यवस्था का एक योजना आरेख चित्र 4.21 में दिखाया गया है। इस प्रकार बने ऐमीटर के पैमाने का अंशांकन कर दिया जाता है ताकि आसानी से धारा का मान पढ़ा जा सके। ऐमीटर की सुग्राहिता की परिभाषा हम विक्षेप प्रति इकाई धारा के रूप में करते हैं। समीकरण (4.26) के अनुसार धारा सुग्राहिता है,

$$ \begin{equation*} \frac{\phi}{I}=\frac{N A B}{k} \tag{4.27} \end{equation*} $$

किसी भी उत्पादक के लिए गैल्वेनोमीटर की सुग्राहिता में वृद्धि करने का सरल उपाय यह है कि वह कुंडली में फेरों की संख्या $N$ में वृद्धि कर दे। हम अपने प्रयोग की आवश्यकता के अनुसार गैल्वेनोमीटर का चयन करते हैं।

धारामापी का उपयोग परिपथ के किसी अंश के सिरों के बीच विभवांतर ज्ञात करने के लिए वोल्टतामापी के रूप में भी हो सकता है। इस उद्देश्य के लिए इसको परिपथ के उस अंश के पार्श्वक्रम में लगाना होगा। और फिर, इसमें से अत्यल्प धारा प्रवाहित होनी चाहिए, अन्यथा, वोल्टता की माप मूल व्यवस्था को अत्यधिक विक्षुब्ध कर देगी। प्रायः हम मापक यंत्रों द्वारा उत्पन्न विक्षोभ को एक प्रतिशत से कम रखते हैं। माप की परिशुद्धता बनाए रखने के लिए, गैल्वेनोमीटर के श्रेणीक्रम में एक बड़ा प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाता है। इस व्यवस्था का योजना आरेख चित्र 4.22 में दर्शाया गया है। ध्यान दीजिए कि अब वोल्टमीटर का कुल प्रतिरोध,

$$ R _{G}+R \quad R: \text { अर्थात प्रतिरोध बहुत अधिक है। } $$

वोल्टमीटर के पैमाने को अंशांकित कर दिया जाता है ताकि आसानी से वोल्टता का मान पढ़ा जा सके। किसी वोल्टमापी की वोल्टता सुग्राहिता की परिभाषा हम विक्षेप प्रति एकांक वोल्टता से करते हैं। समीकरण (4.26) से

$$ \begin{equation*} \frac{\phi}{V}=\left(\frac{N A B}{k}\right) \frac{I}{V}=\left(\frac{N A B}{k}\right) \frac{1}{R} \tag{4.28} \end{equation*} $$

यहाँ एक रोचक तथ्य ध्यान देने योग्य यह है कि धारा सुग्राहिता में वृद्धि करने पर यह आवश्यक नहीं है कि वोल्टता सुग्राहिता में भी वृद्धि हो जाएगी। आइए समीकरण (4.27) पर विचार करें जो धारा सुग्राहिता का माप बताती है। यदि $N \rightarrow 2 N$ अर्थात यदि फेरों की संख्या दोगुनी कर दी जाए, तो

$$ \frac{\phi}{I} \rightarrow 2 \frac{\phi}{I} $$

अर्थात धारा सुग्राहिता भी दोगुनी हो जाती है। किंतु, गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध भी दो गुना हो जाने की संभावना है क्योंकि यह तार की लंबाई के अनुक्रमानुपाती है। समीकरण (4.28) में $N \rightarrow 2 N$ एवं $R \rightarrow 2 R$, अतः वोल्टता सुग्राहिता,

$$ \frac{\phi}{V} \rightarrow \frac{\phi}{V} $$

अपरिवर्तित रहती है। अतः व्यापक रूप से गैल्वेनोमीटर से ऐमीटर में रूपांतरित करने के लिए जो संशोधन किए जाते हैं गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में परिवर्तित करने के लिए इनसे भिन्न संशोधन किए जाने चाहिए।

उदाहरण 4.12 नीचे दिखाए गए परिपथ में धारा का मान क्या है यदि दिखाया गया ऐमीटर, (a) $R _{G}=60.00 \Omega$ प्रतिरोध का गैल्वेनोमीटर है। (b) भाग (a) में बताया गया गैल्वेनोमीटर ही है परंतु इसको $r _{s}=0.02 \Omega$ का शंट प्रतिरोध लगाकर ऐमीटर में परिवर्तित किया गया है। (c) शून्य प्रतिरोध का एक आदर्श ऐमीटर है।

चित्र 4.23

हल

(a) परिपथ में कुल प्रतिरोध है

$$ R _{G}+3=63 \Omega \text { इसलिए } I=3 / 63=0.048 \mathrm{~A} $$

(b) ऐमीटर में रूपांतरित गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध

$$ \frac{R _{G} r _{s}}{R _{G}+r _{s}}=\frac{60 \Omega \times 0.02 \Omega}{(60+0.02) \Omega}-0.02 \Omega $$

परिपथ में कुल प्रतिरोध

$$ 0.02 \Omega+3 \Omega=3.02 \Omega \text { अत: } I=3 / 3.02=0.99 \mathrm{~A} $$

(c) शून्य प्रतिरोध के आदर्श ऐमीटर के लिए

$$ I=3 / 3=1.00 \mathrm{~A} $$

सारांश

1. चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ पर विद्युत क्षेत्र $\mathbf{E}$ की उपस्थिति में $\mathbf{v}$ वेग से गतिमान किसी आवेश $q$ पर लगने वाले कुल बल को लोरेंज बल कहते हैं। इसे नीचे दिए गए व्यंजक द्वारा व्यक्त किया जाता है।

$\mathbf{F}=q(\mathbf{v} \times \mathbf{B}+\mathbf{E})$

चुंबकीय क्षेत्र $q(\mathbf{v} \times \mathbf{B}), \mathbf{v}$ के अभिलंबवत है तथा किया गया कार्य शून्य है।

2. $l$ लंबाई के किसी सीधे चालक जिससे स्थायी विद्युत धारा $I$ प्रवाहित हो रही है, किसी एकसमान बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में बल $\mathbf{F}$ का अनुभव करता है,

$\mathbf{F}=I \mathbf{1} \times \mathbf{B}$

यहाँ $|\mathbf{1}|=l$ तथा $\mathbf{1}$ की दिशा विद्युत धारा की दिशा द्वारा प्रदान की जाती है।

3. किसी एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में, कोई आवेश $q, \mathbf{B}$ के अभिलंबवत तल में वृत्ताकार कक्षा में गतिमान है। इसकी एकसमान वर्तुल गति की आवृत्ति को साइक्लोट्रॉन आवृत्ति कहते हैं जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है-

$$ v_{c}=\frac{q B}{2 \pi m} $$

यह आवृत्ति कण की चाल तथा त्रिज्या पर निर्भर नहीं करती। इस तथ्य का उपयोग साइक्लोट्रॉन नामक मशीन में किया जाता है जो आवेशित कणों को त्वरित करने में उपयोगी होता है।

4. बायो-सावर्ट नियम के अनुसार $\mathrm{d} \mathbf{1}$ लंबाई के किसी अवयव जिससे अपरिवर्ती विद्युत धारा $I$ प्रवाहित हो रही है, के कारण $\mathbf{r}$ सदिश दूरी पर स्थित किसी बिंदु $\mathrm{P}$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\mathrm{d} \mathbf{B}$ इस प्रकार व्यक्त किया जाता है-

$$\mathrm{d} \mathbf{B}=\frac{\mu _{o}}{4 \pi} I \frac{\mathrm{d} \mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^{3}}$$

$\mathrm{P}$ पर कुल क्षेत्र प्राप्त करने के लिए हमें इस सदिश व्यंजक को चालक की समस्त लंबाई के लिए समाकलित करना चाहिए।

5. त्रिज्या $R$ की वृत्ताकार कुंडली जिससे $I$ धारा प्रवाहित हो रही है, के कारण केंद्र से अक्षीय दूरी $x$ पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण

$$ B=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{2\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}} $$

कुंडली के केंद्र पर इस क्षेत्र का परिमाण

$$ B=\frac{\mu _{0} I}{2 R} $$

6. ऐम्पियर का परिपथीय नियम : मान लीजिए कोई खुला पृष्ठ $\mathrm{S}$ किसी पाश $\mathrm{C}$ द्वारा परिबद्ध है। तब ऐम्पियर के नियम के अनुसार $\oint _{C} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=\mu _{0} I$ यहाँ $I$ पृष्ठ $\mathrm{S}$ से प्रवाहित विद्युत धारा है। $I$ का चिह्न दक्षिण हस्त नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है। हमने यहाँ इस नियम के सरलीकृत रूप पर चर्चा की है। यदि $\mathbf{B}$ बंद वक्र की परिधि $L$ के हर बिंदु पर स्पर्शी के अनुदिश निर्दिष्ट है तथा परिधि के अनुदिश इसका परिमाण नियत है तो

$B L=\mu _{0} I _{e}$

यहाँ $I _{e}$ बंद परिपथ द्वारा परिबद्ध नेट विद्युत धारा है।

7. किसी लंबे सीधे तार जिससे $I$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, से $R$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B=\frac{\mu _{0} I}{2 \pi R}$

क्षेत्र रेखाएँ तार के साथ संकेंद्री वृत्त होती हैं।

8. किसी लंबी परिनालिका जिससे $I$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $\mathrm{B}$ का परिमाण

$B=\mu _{0} n I$

यहाँ $n$ परिनालिका की प्रति एकांक लंबाई में फेरों की संख्या है।

9. समांतर विद्युत धाराएँ आकर्षित तथा प्रतिसमांतर विद्युत धाराएँ प्रतिकर्षित करती हैं।

10. बहुत पास लिपटे $N$ फेरों तथा $A$ क्षेत्रफल के समतलीय पाश जिससे विद्युत धारा $I$ में प्रवाहित हो रही है, का एक चुंबकीय आघूर्ण $\mathbf{m}$ होता है

$\mathbf{m}=\mathrm{N} I \mathbf{A}$

तथा $\mathbf{m}$ की दिशा दक्षिण हस्त अंगुष्ठ नियम से निर्धारित होती है। इस नियम के अनुसार, “अपने दाएँ हाथ की हथेली को इस प्रकार पाश के अनुदिश मोड़िए कि उँगलियाँ विद्युत धारा की दिशा में संकेत करें तो, बाहर की ओर खिंचा अँगूठा $\mathbf{m}$ (और $\mathbf{A}$ ) की दिशा बताता है। जब यह पाश किसी एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ में रखा जाता है तो इस पर आरोपित बल $F=0$

तथा इस पर बल आघूर्ण

$\tau=\mathbf{m} \times \mathbf{B}$

किसी चल कुंडली गैल्वेनोमीटर में इस बल आघूर्ण को कमानी द्वारा लगाया प्रति बल आघूर्ण संतुलित कर लेता है और तब हमें प्राप्त होता है

$k \phi=N I A B$

यहाँ $\phi$ संतुलन विक्षेप है तथा $k$ कमानी का ऐंठन नियतांक है।

11. किसी चल कुंडली गैल्वेनोमीटर को उसकी कुंडली के पार्श्वक्रम में कोई अल्प परिमाण का शंट प्रतिरोध $r _{s}$ संबद्ध करके ऐमीटर में रूपांतरित किया जा सकता है। गैल्वेनोमीटर की कुंडली के साथ श्रेणीक्रम में अधिक परिमाण का प्रतिरोध संबद्ध करके उसे वोल्टमीटर में रूपांतरित किया जा सकता है।

भौतिक राशि प्रतीक प्रकृति विमाएँ मात्रक टिप्पणी
मुक्त आकाश की चुंबक $\mu_0$ अदिश $\left[\mathrm{MLT}^{-2} \mathbf{A}^{-2}\right]$ $\mathrm{T} \mathrm{m} \mathrm{A}^{-1}$ $4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1}$
चुंबकीय क्षेत्र B सदिश $\left[\mathrm{M} \mathrm{T}^{-2} \mathrm{~A}^{-1}\right]$ $\mathrm{T}$ (टेस्ला)
चुंबकीय आघूर्ण $\mathbf{m}$ सदिश $\left[\mathrm{L}^2 \mathrm{~A}\right]$ $\mathrm{A} \mathrm{m}^2$ अथवा $\mathrm{J} / \mathrm{T}$
ऐंठन नियतांक $k$ अदिश $\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right]$ $\mathrm{N} \mathrm{m} \mathrm{rad}^{-1}$ गैल्वेनोमीटर में दृष्टिगोचर

विचारणीय विषय

1. स्थिरवैद्युत क्षेत्र रेखाएँ धनावेश से आरंभ होकर ऋणावेश पर समाप्त हो जाती हैं अथवा अनंत पर लुप्त या विलीन हो जाती हैं। चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ सदैव बंद पाश बनाती हैं।

2. इस अध्याय में वर्णित विचार केवल अपरिवर्ती विद्युत धाराओं (जो समय के साथ परिवर्तित नहीं होती)के लिए ही लागू है।

समय के साथ परिवर्तित होने वाली विद्युत धाराओं के लिए न्यूटन का तीसरा नियम वैद्युतचुंबकीय क्षेत्र के संवेग का संज्ञान करने पर ही वैध होता है।

3. लोरेंज बल के समीकरण का स्मरण कीजिए,

$\mathbf{F}=q(\mathbf{v} \times \mathbf{B}+\mathbf{E})$

वेग निर्भर इस बल ने कुछ महानतम वैज्ञानिक विचारकों का ध्यान आकर्षित किया। यदि कोई प्रेक्षक एक ऐसे फ्रेम में पहुँच जाए जहाँ उसका क्षणिक वेग $\mathbf{v}$ हो तो बल का चुंबकीय भाग शून्य हो जाता है। तब आवेशित कण की गति यह मानकर समझाई जा सकती है कि इस नए फ्रेम में एक उचित विद्युत क्षेत्र विद्यमान है। इस यांत्रिकी के विस्तार में हम नहीं जाएँगे। इसके विषय में आप आगे की कक्षाओं में पढ़ेंगे। लेकिन इस बात पर हम ज़ोर देना चाहेंगे कि इस विरोधाभास का समाधान इस तथ्य में निहित है कि विद्युत और चुंबकत्व एक-दूसरे से जुड़े हुए प्रक्रम हैं (विद्युतचुंबकत्व) और लोरेंज बल का व्यंजक, प्रकृति में किसी सार्वभौम वरीय संदर्भ फ्रेम में अंतर्निहित नहीं है।

4. ऐम्पियर का परिपथीय नियम, बायो-सावर्ट नियम से अलग नहीं है। यह बायो-सावर्ट नियम से व्युत्पन्न किया जा सकता है। इसका बायो-सावर्ट नियम से वैसा ही संबंध है जैसा कि गाउस नियम का कूलाम नियम से।

अभ्यास

4.1 तार की एक वृत्ताकार कुंडली में 100 फेरे हैं, प्रत्येक की त्रिज्या $8.0 \mathrm{~cm}$ है और इनमें $0.40 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण क्या है?

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4.2 एक लंबे, सीधे तार में $35 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। तार से $20 \mathrm{~cm}$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण क्या है?

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4.3 क्षैतिज तल में रखे एक लंबे सीधे तार में $50 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा उत्तर से दक्षिण की ओर प्रवाहित हो रही है। तार के पूर्व में $2.5 \mathrm{~m}$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ का परिमाण और उसकी दिशा ज्ञात कीजिए।

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4.4 व्योमस्थ खिंचे क्षैतिज बिजली के तार में $90 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा पूर्व से पश्चिम की ओर प्रवाहित हो रही है। तार के $1.5 \mathrm{~m}$ नीचे विद्युत धारा के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण और दिशा क्या है?

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4.5 एक तार जिसमें $8 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, $0.15 \mathrm{~T}$ के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में, क्षेत्र से $30^{\circ}$ का कोण बनाते हुए रखा है। इसकी एकांक लंबाई पर लगने वाले बल का परिमाण और इसकी दिशा क्या है?

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4.6 एक $3.0 \mathrm{~cm}$ लंबा तार जिसमें $10 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, एक परिनालिका के भीतर उसके अक्ष के लंबवत रखा है। परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र का मान $0.27 \mathrm{~T}$ है। तार पर लगने वाला चुंबकीय बल क्या है।

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4.7 एक-दूसरे से $4.0 \mathrm{~cm}$ की दूरी पर रखे दो लंबे, सीधे, समांतर तारों $\mathrm{A}$ एवं $\mathrm{B}$ से क्रमशः $8.0 \mathrm{~A}$ एवं $5.0 \mathrm{~A}$ की विद्युत धाराएँ एक ही दिशा में प्रवाहित हो रही हैं। तार $\mathrm{A}$ के $10 \mathrm{~cm}$ खंड पर बल का आकलन कीजिए।

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4.8 पास-पास फेरों वाली एक परिनालिका $80 \mathrm{~cm}$ लंबी है और इसमें 5 परतें हैं जिनमें से प्रत्येक में 400 फेरे हैं। परिनालिका का व्यास $1.8 \mathrm{~cm}$ है। यदि इसमें $8.0 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है तो परिनालिका के भीतर केंद्र के पास चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ के परिमाण परिकलित कीजिए।

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4.9 एक वर्गाकार कुंडली जिसकी प्रत्येक भुजा $10 \mathrm{~cm}$ है, में 20 फेरे हैं और उसमें $12 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली ऊर्ध्वाधरतः लटकी हुई है और इसके तल पर खींचा गया अभिलंब $0.80 \mathrm{~T}$ के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र की दिशा से $30^{\circ}$ का एक कोण बनाता है। कुंडली पर लगने वाले बलयुग्म आघूर्ण का परिमाण क्या है?

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4.10 दो चल कुंडली गैल्वेनोमीटर मीटरों $\mathrm{M} _{1}$ एवं $\mathrm{M} _{2}$ के विवरण नीचे दिए गए हैं :

$R_{1}=10 \Omega, N_{1}=30$,

$A_{1}=3.6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}, B_{1}=0.25 \mathrm{~T}$

$R_{2}=14 \Omega, \quad N_{2}=42$,

$A_{2}=1.8 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}, B_{2}=0.50 \mathrm{~T}$

(दोनों मीटरों के लिए स्प्रिग नियतांक समान हैं)। }

(a) $M _{2}$ एवं $M _{1}$ की धारा-सुग्राहिताओं, (b) $M _{2}$ एवं $M _{1}$ की वोल्टता-सुग्राहिताओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।

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4.11 एक प्रकोष्ठ में $6.5 \mathrm{G}\left(1 \mathrm{G}=10^{-4} \mathrm{~T}\right)$ का एकसमान चुंबकीय क्षेत्र बनाए रखा गया है। इस चुंबकीय क्षेत्र में एक इलेक्ट्रॉन $4.8 \times 10^{6} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के वेग से क्षेत्र के लंबवत भेजा गया है। व्याख्या कीजिए कि इस इलेक्ट्रॉन का पथ वृत्ताकार क्यों होगा? वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

$\left(e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}, m _{e}=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}\right)$

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4.12 प्रश्न 4.11 में, वृत्ताकार कक्षा में इलेक्ट्रॉन की परिक्रमण आवृत्ति प्राप्त कीजिए। क्या यह उत्तर इलेक्ट्रॉन के वेग पर निर्भर करता है? व्याख्या कीजिए।

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4.13 (a) 30 फेरों वाली एक वृत्ताकार कुंडली जिसकी त्रिज्या $8.0 \mathrm{~cm}$ है और जिसमें $6.0 \mathrm{~A}$ विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, $1.0 \mathrm{~T}$ के एकसमान क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र में ऊर्ध्वाधरतः लटकी है। क्षेत्र रेखाएँ कुंडली के अभिलंब से $60^{\circ}$ का कोण बनाती हैं। कुंडली को घूमने से रोकने के लिए जो प्रतिआघूर्ण लगाया जाना चाहिए उसके परिमाण परिकलित कीजिए।

(b) यदि (a) में बतायी गई वृत्ताकार कुंडली को उसी क्षेत्रफल की अनियमित आकृति की समतलीय कुंडली से प्रतिस्थापित कर दिया जाए (शेष सभी विवरण अपरिवर्तित रहें) तो क्या आपका उत्तर परिवर्तित हो जाएगा?

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