Chapter-04 Determinants

All Mathematical truths are relative and conditional - C.P. STEINMETZ

4.1 Introduction

In the previous chapter, we have studied about matrices and algebra of matrices. We have also learnt that a system of algebraic equations can be expressed in the form of matrices. This means, a system of linear equations like

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

can be represented as $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$. Now, this system of equations has a unique solution or not, is determined by the number $a_1 b_2-a_2 b_1$. (Recall that if $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ or, $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$, then the system of linear

P.S. Laplace $(1749-1827)$ equations has a unique solution). The number $a_1 b_2-a_2 b_1$ which determines uniqueness of solution is associated with the matrix $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ and is called the determinant of A or det A. Determinants have wide applications in Engineering, Science, Economics, Social Science, etc.

In this chapter, we shall study determinants up to order three only with real entries. Also, we will study various properties of determinants, minors, cofactors and applications of determinants in finding the area of a triangle, adjoint and inverse of a square matrix, consistency and inconsistency of system of linear equations and solution of linear equations in two or three variables using inverse of a matrix.

4.2 Determinant

To every square matrix $A=[a _{i j}]$ of order $n$, we can associate a number (real or complex) called determinant of the square matrix A, where $a _{i j}=(i, j)^{\text{th }}$ element of A.

This may be thought of as a function which associates each square matrix with a unique number (real or complex). If $M$ is the set of square matrices, $K$ is the set of numbers (real or complex) and $f: M \to K$ is defined by $f(A)=k$, where $A \in M$ and $k \in K$, then $f(A)$ is called the determinant of $A$. It is also denoted by $|A|$ or $det A$ or $\Delta$.

If $A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ , then determinant of A is written as $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=det(A) $

Remarks

(i) For matrix A, $|A|$ is read as determinant of $A$ and not modulus of $A$.

(ii) Only square matrices have determinants.

4.2.1 Determinant of a matrix of order one

Let $A=[a]$ be the matrix of order 1, then determinant of $A$ is defined to be equal to $a$

4.2.2 Determinant of a matrix of order two

$\text{Let}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ be a matrix of order } 2 \times 2, $

then the determinant of $A$ is defined as:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

Example 1 Evaluate $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$.

Solution We have $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$.

Example 2 Evaluate $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$

Solution We have

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

4.2.3 Determinant of a matrix of order $3 \times 3$

Determinant of a matrix of order three can be determined by expressing it in terms of second order determinants. This is known as expansion of a determinant along a row (or a column). There are six ways of expanding a determinant of order

3 corresponding to each of three rows $(R_1, R_2.$ and $.R_3)$ and three columns $(C_1, C_2.$ and $C_3)$ giving the same value as shown below.

Consider the determinant of square matrix $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$

$\text{i.e}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

Expansion along first Row $(\mathbf{R} _1)$

Step 1 Multiply first element $ a _ {11}$ of $\mathbf{R} _ {1}$ by $(-1)^{(1+1)}[(-1)^{.\text{sum of suffixes in } a _ {11}}.$ and with the second order determinant obtained by deleting the elements of first row $(R_1)$ and first column $(C _ {1})$ of $|A|$ as $a _ {11}$ lies in $ R _ {1} $ and $ C _ {1} $,

$\text{i.e.,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

Step 2 Multiply 2 nd element $a _{12}$ of $R_1$ by $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{12}}]$ and the second order determinant obtained by deleting elements of first row $(R_1)$ and 2 nd column $(C_2)$ of $|A|$ as $a _{12}$ lies in $R_1$ and $C_2$,

i.e., $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

Step 3 Multiply third element $a _{13}$ of $R_1$ by $(-1)^{1+3}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{13}}]$ and the second order determinant obtained by deleting elements of first row $(R_1)$ and third column $(C_3)$ of $|A|$ as $a _{13}$ lies in $R_1$ and $C_3$,

i.e., $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

Step 4 Now the expansion of determinant of A, that is, $|A|$ written as sum of all three terms obtained in steps 1,2 and 3 above is given by

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{or} \qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

Note We shall apply all four steps together.

Expansion along second row $(\mathbf{R} _2)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

Expanding along $R_2$, we get

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

Expansion along first Column $(C_1)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

By expanding along $C_1$, we get

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

Clearly, values of $|A|$ in (1), (2) and (3) are equal. It is left as an exercise to the reader to verify that the values of $|A|$ by expanding along $R_3, C_2$ and $C_3$ are equal to the value of $|A|$ obtained in (1), (2) or (3).

Hence, expanding a determinant along any row or column gives same value.

Remarks

(i) For easier calculations, we shall expand the determinant along that row or column which contains maximum number of zeros.

(ii) While expanding, instead of multiplying by $(-1)^{i+j}$, we can multiply by +1 or -1 according as $(i+j)$ is even or odd.

(iii) Let $A=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$ and $B=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix}$. Then, it is easy to verify that $A=2 B$. Also $|A|=0-8=-8$ and $|B|=0-2=-2$.

Observe that, $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ or $|A|=2^{n}|B|$, where $n=2$ is the order of square matrices $A$ and $B$.

In general, if $A=k B$ where $A$ and $B$ are square matrices of order $n$, then $|A|=k^{n}$ $|B|$, where $n=1,2,3$

Example 3 Evaluate the determinant $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$.

Solution Note that in the third column, two entries are zero. So expanding along third column $(C_3)$, we get

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

Example 4 Evaluate $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$

Solution Expanding along $R_1$, we get

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

Example 5 Find values of $x$ for which $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$.

Solution We have $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$

i.e. $\qquad 3-x^{2}=3-8$

$\text{i.e.}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

Hence $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$

EXERCISE 4.1

Evaluate the determinants in Exercises 1 and 2.

1. $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -5 & -1\end{vmatrix}$

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Solution

$ \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} =2(-1)-4(-5)=-2+20=18 $

2. (i) $\begin{vmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{vmatrix} \quad\quad $(ii) $\begin{vmatrix}x^{2}-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1\end{vmatrix}$

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Solution

(i) $ \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{vmatrix} =(\cos \theta)(\cos \theta)-(-\sin \theta)(\sin \theta)=\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$

(ii) $ \begin{vmatrix} x^{2}-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1\end{vmatrix} $

$=(x^{2}-x+1)(x+1)-(x-1)(x+1)$

$=x^{3}-x^{2}+x+x^{2}-x+1-(x^{2}-1)$

$=x^{3}+1-x^{2}+1$

$=x^{3}-x^{2}+2$

3. If $A=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 2\end{vmatrix}$, then show that $|2 A|=4|A|$

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Solution

The given matrix is $A= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} $.

$\therefore 2 A=2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 4 \end{vmatrix} $

$\therefore$ L.H.S. $=|2 A|= \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 4\end{vmatrix} =2 \times 4-4 \times 8=8-32=-24$

Now, $|A|= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2\end{vmatrix} =1 \times 2-2 \times 4=2-8=-6$

$\therefore$ R.H.S. $=4|A|=4 \times(-6)=-24$

$\therefore$ L.H.S. $=$ R.H.S.

4. If $A=\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{vmatrix}$, then show that $|3 A|=27|A|$

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Solution

The given matrix is $A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} $

It can be observed that in the first column, two entries are zero. Thus, we expand along the first column $(C_1.$ ) for easier calculation.

$$ \begin{align*} & |A|=1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} +0 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} =1(4-0)-0+0=4 \\ & \therefore 27|A|=27(4)=108 \tag{i}\\ & \text{ Now, } 3 A=3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix} \\ & \begin{align*} & \ldots A \mid=3 \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 0 & 12 \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 12 \end{vmatrix} +0 \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} \\ & \quad=3(36-0)=3(36)=108 \end{align*} \end{align*} $$

From equations (i) and (ii), we have:

$|3 A|=27|A|$

Hence, the given result is proved.

5. Evaluate the determinants

(i) $\begin{vmatrix}3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{vmatrix}\quad\quad \quad\quad$ (ii) $\begin{vmatrix}3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1\end{vmatrix}$

(iii) $\begin{vmatrix}0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0\end{vmatrix}\quad\quad \quad\quad$ (iv) $\begin{vmatrix}2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{vmatrix}$

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Solution

(i) Let $A= \begin{vmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{vmatrix} $.

It can be observed that in the second row, two entries are zero. Thus, we expand along the second row for easier calculation.

$|A|=-0 \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -5 & 0\end{vmatrix} +0 \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 3 & 0\end{vmatrix} -(-1) \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 3 & -5\end{vmatrix} =(-15+3)=-12$

(ii) Let $A= \begin{cases} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{cases} $.

By expanding along the first row, we have:

$ \begin{aligned} |A| & =3 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} +4 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} +5 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \\ & =3(1+6)+4(1+4)+5(3-2) \\ & =3(7)+4(5)+5(1) \\ & =21+20+5=46 \end{aligned} $

(iii) Let $A= \begin{cases} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{cases} $.

By expanding along the first row, we have:

$ \begin{aligned} |A| & =0 \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} +2 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} \\ & =0-1(0-6)+2(-3-0) \\ & =-1(-6)+2(-3) \\ & =6-6=0 \end{aligned} $

(iv) Let $A= \begin{cases} 2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{cases} $.

By expanding along the first column, we have:

$ \begin{aligned} |A| & =2 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 0 \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -5 & 0 \end{vmatrix} +3 \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \\ & =2(0-5)-0+3(1+4) \\ & =-10+15=5 \end{aligned} $

6. If $A=\begin{vmatrix}1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9\end{vmatrix}$, find $|A|$

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Solution

Let $A= \begin{cases} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9 \end{cases} $.

By expanding along the first row, we have:

$ \begin{aligned} |A| & =1 \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 4 & -9 \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -9 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} \\ & =1(-9+12)-1(-18+15)-2(8-5) \\ & =1(3)-1(-3)-2(3) \\ & =3+3-6 \\ & =6-6 \\ & =0 \end{aligned} $

7. Find values of $x$, if

(i) $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ 5 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 x & 4 \\ 6 & x\end{vmatrix}\quad\quad \quad\quad$ (ii) $\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 4 & 5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x & 3 \\ 2 x & 5\end{vmatrix}$

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Solution

(i) $ \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 x & 4 \\ 6 & x\end{vmatrix} $

$\Rightarrow 2 \times 1-5 \times 4=2 x \times x-6 \times 4$

$\Rightarrow 2-20=2 x^{2}-24$

$\Rightarrow 2 x^{2}=6$

$\Rightarrow x^{2}=3$

$\Rightarrow x= \pm \sqrt{3}$

(ii) $ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & 3 \\ 2 x & 5\end{vmatrix} $

$\Rightarrow 2 \times 5-3 \times 4=x \times 5-3 \times 2 x$

$\Rightarrow 10-12=5 x-6 x$

$\Rightarrow-2=-x$

$\Rightarrow x=2$

8. If $\begin{vmatrix}x & 2 \\ 18 & x\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6 & 2 \\ 18 & 6\end{vmatrix}$, then $x$ is equal to

(A) 6

(B) $\pm 6$

(C) -6

(D) 0

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Solution

$ \begin{vmatrix} x & 2 \\ 18 & x\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 18 & 6\end{vmatrix} $

$\Rightarrow x^{2}-36=36-36$

$\Rightarrow x^{2}-36=0$

$\Rightarrow x^{2}=36$

$\Rightarrow x= \pm 6$

Hence, the correct answer is B.

4.3 Area of a Triangle

In earlier classes, we have studied that the area of a triangle whose vertices are $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ and $(x_3, y_3)$, is given by the expression $\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+.$ $.x_3(y_1-y_2)]$. Now this expression can be written in the form of a determinant as

$$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \tag{1}\\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

Remarks

(i) Since area is a positive quantity, we always take the absolute value of the determinant in (1).

(ii) If area is given, use both positive and negative values of the determinant for calculation.

(iii) The area of the triangle formed by three collinear points is zero.

Example 6 Find the area of the triangle whose vertices are $(3,8),(-4,2)$ and $(5,1)$.

Solution The area of triangle is given by

$$ \begin{aligned} \Delta & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right|=\frac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \\ & =\frac{1}{2}(3+72-14)=\frac{61}{2} \end{aligned} $$

Example 7 Find the equation of the line joining $A(1,3)$ and $B(0,0)$ using determinants and find $k$ if $D(k, 0)$ is a point such that area of triangle ABD is 3sq units.

Solution Let $P(x, y)$ be any point on $AB$. Then, area of triangle ABP is zero (Why?).

$\text{so}\qquad \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right|=0 $

$\text{This gives}\qquad \frac{1}{2}(y-3 x)=0 \text { या } y=3 x $

which is the equation of required line $AB$.

Also, since the area of the triangle ABD is 3 sq. units, we have

$ \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{vmatrix}= \pm 3 $ This gives, $\frac{-3 k}{2}= \pm 3$, i.e., $k=\mp 2$.

EXERCISE 4.2

  1. Find area of the triangle with vertices at the point given in each of the following:

(i) (1,0), (6, 0), (4, 3)

(iii) (-2, -3), (3, 2), (-1, -8)

(ii) (2, 7), (1, 1), (10, 8)

Show Answer #missing
  1. Show that points A (a, b + c), B (b, c + a), C (c, a + b) are collinear.
Show Answer #missing
  1. Find values of k if area of triangle is 4 sq. units and vertices are

(i) (k, 0), (4, 0), (0, 2)

(ii) (-2, 0), (0, 4), (0, k)

Show Answer #missing
  1. (i) Find equation of line joining (1, 2) and (3, 6) using determinants.

(ii) Find equation of line joining (3, 1) and (9, 3) using determinants.

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  1. If area of triangle is 35 sq units with vertices (2,6), (5, 4) and (k, 4). Then k is

(A) 12

(B) -2

(C) -12,-2

(D) 12,-2

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4.4 Minors and Cofactors

In this section, we will learn to write the expansion of a determinant in compact form using minors and cofactors.

Definition 1 Minor of an element $a _{i j}$ of a determinant is the determinant obtained by deleting its $i$ th row and $j$ th column in which element $a _{i j}$ lies. Minor of an element $a _{i j}$ is denoted by $M _{i j}$.

Remark Minor of an element of a determinant of order $n(n \geq 2)$ is a determinant of order $n-1$.

Example 8 Find the minor of element 6 in the determinant $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}$

Solution Since 6 lies in the second row and third column, its minor $M _{23}$ is given by

$ M _{23}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}=8-14=-6 \text{ (obtained by deleting } R_2 \text{ and } C_3 \text{ in } \Delta \text{ ). } $

Definition 2 Cofactor of an element $a _{i j}$, denoted by $A _{i j}$ is defined by

$ A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j} \text{, where } M _{i j} \text{ is minor of } a _{i j} \text{. } $

Example 9 Find minors and cofactors of all the elements of the determinant $\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 4 & 3\end{vmatrix}$

Solution Minor of the element $a _{i j}$ is $M _{i j}$

Here $a _{11}=1$. So $M _{11}=$ Minor of $a _{11}=3$

$$ \begin{aligned} & \mathrm{M} _{12}=\text { Minor of the element } a _{12} =4 \\ & \mathrm{M} _{21}=\text { Minor of the element } a _{21} =-2 \\ & \mathrm{M} _{22}=\text { Minor of the element } a _{22} =1 \end{aligned} $$

Now, cofactor of $a _{i j}$ is $A _{i j}$. So

$$ \begin{aligned} & A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=(-1)^{2}(3)=3 \\ & A _{12}=(-1)^{1+2} \quad M _{12}=(-1)^{3}(4)=-4 \\ & A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)^{3}(-2)=2 \\ & A _{22}=(-1)^{2+2} \quad M _{22}=(-1)^{4}(1)=1 \end{aligned} $$

Example 10 Find minors and cofactors of the elements $a _{11}, a _{21}$ in the determinant $ \Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

Solution By definition of minors and cofactors, we have

Minor of $a _{11}=M _{11}=\begin{vmatrix}a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$
Cofactor of $a _{11}=A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$
Minor of $a _{21}=M _{21}=\begin{vmatrix}a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32}$
Cofactor of $a _{21}=A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})=-a _{12} a _{33}+a _{13} a _{32}$

Remark Expanding the determinant $\Delta$, in Example 21 , along $R_1$, we have

$ \begin{aligned} \Delta & =(-1)^{1+1} a _{11}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =a _{11} A _{11}+a _{12} A _{12}+a _{13} A _{13} \text{, where } A _{i j} \text{ is cofactor of } a _{i j} \\ & =\text{ sum of product of elements of } R_1 \text{ with their corresponding cofactors } \end{aligned} $

Similarly, $\Delta$ can be calculated by other five ways of expansion that is along $R_2, R_3$, $C_1, C_2$ and $C_3$.

Hence $\Delta$ = sum of the product of elements of any row (or column) with their corresponding cofactors.

Note If elements of a row (or column) are multiplied with cofactors of any other row (or column), then their sum is zero. For example,

$ \begin{aligned} \Delta & =a _{11} A _{21}+a _{12} A _{22}+a _{13} A _{23} \\ & =a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{13}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}=0 \text{ since } R_1 \text{ and } R_2 \text{ are identical } \end{aligned} $

Similarly, we can try for other rows and columns.

Example 11 Find minors and cofactors of the elements of the determinant

$ \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{vmatrix} \text{ and verify that } a _{11} A _{31}+a _{12} A _{32}+a _{13} A _{33}=0 $

Solution We have $M _{11}=\begin{vmatrix}0 & 4 \\ 5 & -7\end{vmatrix}=0-20=-20 ; A _{11}=(-1)^{1+1}(-20)=-20$

$M _{12}=\begin{vmatrix}6 & 4 \\ 1 & -7\end{vmatrix}=-42-4=-46 ; \quad A _{12}=(-1)^{1+2}(-46)=46$

$M _{13}=\begin{vmatrix}6 & 0 \\ 1 & 5\end{vmatrix}=30-0=30 ; \quad A _{13}=(-1)^{1+3}(30)=30$

$M _{21}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 5 & -7\end{vmatrix}=21-25=-4 ; \quad A _{21}=(-1)^{2+1}(-4)=4$

$M _{22}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 1 & -7\end{vmatrix}=-14-5=-19 ; \quad A _{22}=(-1)^{2+2}(-19)=-19$

$M _{23}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 1 & 5\end{vmatrix}=10+3=13 ; \quad A _{23}=(-1)^{2+3}(13)=-13$

$M _{31}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 0 & 4\end{vmatrix}=-12-0=-12 ; \quad A _{31}=(-1)^{3+1}(-12)=-12$

$M _{32}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 6 & 4\end{vmatrix}=8-30=-22 ; \quad A _{32}=(-1)^{3+2}(-22)=22$

and $\quad M _{33}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 6 & 0\end{vmatrix}=0+18=18 ; \quad A _{33}=(-1)^{3+3}(18)=18$

Now $\quad a _{11}=2, a _{12}=-3, a _{13}=5 ; A _{31}=-12, A _{32}=22, A _{33}=18$

So $\quad a _{11} A _{31}+a _{12} A _{32}+a _{13} A _{33}$

$=2(-12)+(-3)(22)+5(18)=-24-66+90=0$

EXERCISE 4.3

Write Minors and Cofactors of the elements of following determinants:

1. (i) $\begin{vmatrix}2 & -4 \\ 0 & 3\end{vmatrix}$ $\quad\quad\quad$

(ii) $\begin{vmatrix}a & c \\ b & d\end{vmatrix}$

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Solution

(i) The given determinants is $\begin{vmatrix}2 & -4 \\ 0 & 3\end{vmatrix}$

Minor of element $a_{ij}$ is $M_{ij}$

$\therefore M _{11}=$ minor of element $a _{11}=3$

$M _{12}=$ minor of element $a _{12}=0$

$M _{21}=$ minor of element $a _{21}=-4$

$M _{22}=$ minor of element $a _{22}=2$

Cofactor of $a _{i j}$ is $A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j}$.

$\therefore A _{11}=(-1)^{1+1} M _{11}=(-1)^{2}(3)=3$

$A _{12}=(-1)^{1+2} M _{12}=(-1)^{3}(0)=0$

$A _{21}=(-1)^{2+1} M _{21}=(-1)^{3}(-4)=4$

$A _{22}=(-1)^{2+2} M _{22}=(-1)^{4}(2)=2$

(ii) The given determinant is $ \begin{vmatrix} a & c \\ b & d\end{vmatrix} $. Minor of element $a _{i j}$ is $M _{i j}$. $\therefore M _{11}=$ minor of element $a _{11}=d$

$M _{12}=$ minor of element $a _{12}=b$

$M _{21}=$ minor of element $a _{21}=c$

$M _{22}=$ minor of element $a _{22}=a$

Cofactor of $a _{i j}$ is $A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j}$.

$ \therefore A _{11}=(-1)^{1+1} M _{11}=(-1)^{2}(d)=d $

$A _{12}=(-1)^{1+2} M _{12}=(-1)^{3}(b)=-b$

$A _{21}=(-1)^{2+1} M _{21}=(-1)^{3}(c)=-c$

$A _{22}=(-1)^{2+2} M _{22}=(-1)^{4}(a)=a$

2. (i) $\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}$ $\quad\quad\quad$

(ii) $\begin{vmatrix}1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2\end{vmatrix}$

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Solution

(i) The given determinant is $ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix} $.

By the definition of minors and cofactors, we have:

$M _{11}=$ minor of $a _{11}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} =1$

$M _{12}=$ minor of $a _{12}= \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} =0$

$ \begin{aligned} & M _{13}=\text{ minor of } a _{13}= \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} =0 \\ & M _{21}=\text{ minor of } a _{21}= \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =0 \\ & M _{22}=\text{ minor of } a _{22}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =1 \\ & M _{23}=\text{ minor of } a _{23}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} =0 \\ & M _{31}=\text{ minor of } a _{31}= \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} =0 \\ & M _{32}=\text{ minor of } a _{32}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} =0 \\ & M _{33}=\text{ minor of } a _{33}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =1 \\ & A _{11}=\text{ cofactor of } a _{11}=(-1)^{1+1} M _{11}=1 \\ & A _{12}=\text{ cofactor of } a _{12}=(-1)^{1+2} M _{12}=0 \\ & A _{13}=\text{ cofactor of } a _{13}=(-1)^{1+3} M _{13}=0 \\ & A _{21}=\text{ cofactor of } a _{21}=(-1)^{2+1} M _{21}=0 \\ & A _{22}=\text{ cofactor of } a _{22}=(-1)^{2+2} M _{22}=1 \\ & A _{23}=\text{ cofactor of } a _{23}=(-1)^{2+3} M _{23}=0 \\ & A _{31}=\text{ cofactor of } a _{31}=(-1)^{3+1} M _{31}=0 \\ & A _{32}=\text{ cofactor of } a _{32}=(-1)^{3+2} M _{32}=0 \\ & A _{33}=\text{ cofactor of } a _{33}=(-1)^{3+3} M _{33}=1 \\ & \text{ (ii) The given determinant is } \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \text{. } \end{aligned} $

By definition of minors and cofactors, we have:

$ M _{11}=\text{ minor of } a _{11}= \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} =10+1=11 $

$ \begin{aligned} & M _{12}=\text{ minor of } a _{12}= \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} =6-0=6 \\ & M _{13}=\text{ minor of } a _{13}= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =3-0=3 \\ & M _{21}=\text{ minor of } a _{21}= \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} =0-4=-4 \\ & M _{22}=\text{ minor of } a _{22}= \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} =2-0=2 \\ & M _{23}=\text{ minor of } a _{23}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =1-0=1 \\ & M _{31}=\text{ minor of } a _{31}= \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} =0-20=-20 \\ & M _{32}=\text{ minor of } a _{32}= \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} =-1-12=-13 \\ & A _{33}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} =5-0=5 \\ & A _{32}=\text{ cofactor of } a _{32}=(-1)^{3+2} M _{32}=13 \\ & A _{11}=\text{ cofactor of } a _{33}=(-1)^{3+3} M _{33}=5 \\ & A _{12}=\text{ cofactor of } a _{12}=(-1)^{1+2} M _{12}=-6 \\ & A _{13}=\text{ cofactor of } a _{13}=(-1)^{1+3} M _{13}=3 \\ & A _{21}=\text{ cofactor of } a _{21}=(-1)^{2+1} M _{21}=4 \\ & A _{22}=\text{ cofactor of } a _{22}=(-1)^{2+2} M _{22}=2 \\ & A _{23}=\text{ cofactor of } a _{23}=(-1)^{2+3} M _{23}=-1 \\ & M _{11}=11 \end{aligned} $

3. Using Cofactors of elements of second row, evaluate $\Delta=\left|\begin{array}{lll}5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$

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Solution

We have:

$M _{21}= \begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 3\end{vmatrix} =9-16=-7$

$\therefore A _{21}=$ cofactor of $a _{21}=(-1)^{2+1} M _{21}=7$

$M _{22}= \begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 1 & 3\end{vmatrix} =15-8=7$

$\therefore A _{22}=$ cofactor of $a _{22}=(-1)^{2+2} M _{22}=7$

$M _{23}= \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 2\end{vmatrix} =10-3=7$

$\therefore A _{23}=$ cofactor of $a _{23}=(-1)^{2+3} M _{23}=-7$

We know that $\Delta$ is equal to the sum of the product of the elements of the second row with their corresponding cofactors. $\therefore \Delta=a _{21} A _{21}+a _{22} A _{22}+a _{23} A _{23}=2(7)+0(7)+1(-7)=14-7=7$

4. Using Cofactors of elements of third column, evaluate $\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & x & y z \\ 1 & y & z x \\ 1 & z & x y\end{array}\right|$.

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Solution

The given determinant is $ \begin{vmatrix} 1 & x & y z \\ 1 & y & z x \\ 1 & z & x y\end{vmatrix} $.

We have:

$ \begin{aligned} & M _{13}= \begin{vmatrix} 1 & y \\ 1 & z \end{vmatrix} =z-y \\ & M _{23}= \begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & z \end{vmatrix} =z-x \\ & M _{33}= \begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & y \end{vmatrix} =y-x \\ & \therefore A _{13}=\text{ cofactor of } a _{13}=(-1)^{1+3} M _{13}=(z-y) \end{aligned} $

$A _{23}=$ cofactor of $a _{23}=(-1)^{2+3} M _{23}=-(z-x)=(x-z)$

$A _{33}=$ cofactor of $a _{33}=(-1)^{3+3} M _{33}=(y-x)$

We know that $\Delta$ is equal to the sum of the product of the elements of the second row with their corresponding cofactors.

$ \begin{aligned} \therefore \Delta & =a _{13} A _{13}+a _{23} A _{23}+a _{33} A _{33} \\ & =y z(z-y)+z x(x-z)+x y(y-x) \\ & =y z^{2}-y^{2} z+x^{2} z-x z^{2}+x y^{2}-x^{2} y \\ & =(x^{2} z-y^{2} z)+(y z^{2}-x z^{2})+(x y^{2}-x^{2} y) \\ & =z(x^{2}-y^{2})+z^{2}(y-x)+x y(y-x) \\ & =z(x-y)(x+y)+z^{2}(y-x)+x y(y-x) \\ & =(x-y)[z x+z y-z^{2}-x y] \\ & =(x-y)[z(x-z)+y(z-x)] \\ & =(x-y)(z-x)[-z+y] \\ & =(x-y)(y-z)(z-x) \end{aligned} $

Hence, $\Delta=(x-y)(y-z)(z-x)$.

5. If $\Delta=\begin{vmatrix}a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}$ and $A _{i j}$ is Cofactors of $a _{i j}$, then value of $\Delta$ is given by

(A) $a _{11} A _{31}+a _{12} A _{32}+a _{13} A _{33}$

(B) $a _{11} A _{11}+a _{12} A _{21}+a _{13} A _{31}$

(C) $a _{21} A _{11}+a _{22} A _{12}+a _{23} A _{13}$

(D) $a _{11} A _{11}+a _{21} A _{21}+a _{31} A _{31}$

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Solution

Given,

$\begin{aligned} & \Delta=\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| \\ & =a_{11}\left|\begin{array}{ll} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{ll} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{ll} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right| \\ & =a_{11}(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|+a_{12}(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|+a_{13}(-1)^{1+3} & \left|\begin{array}{ll} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right| \\ & =a_{11} A_{11}+a_{21} A_{21}+a_{31} A_{31} \end{aligned}$

So, the correct option is D.

4.5 Adjoint and Inverse of a Matrix

In the previous chapter, we have studied inverse of a matrix. In this section, we shall discuss the condition for existence of inverse of a matrix.

To find inverse of a matrix A, i.e., $A^{-1}$ we shall first define adjoint of a matrix.

4.5.1 Adjoint of a matrix

Definition 3 The adjoint of a square matrix $A=[a _{i j}] _{n \times n}$ is defined as the transpose of the matrix $[A _{i j}] _{n \times n}$, where $A _{i j}$ is the cofactor of the element $a _{i j}$. Adjoint of the matrix A is denoted by adj $A$.

Let $ A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

Then $\quad adj A=$ Transpose of $\begin{vmatrix}A _{11} & A _{12} & A _{13} \\ A _{21} & A _{22} & A _{23} \\ A _{31} & A _{32} & A _{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A _{11} & A _{21} & A _{31} \\ A _{12} & A _{22} & A _{32} \\ A _{13} & A _{23} & A _{33}\end{vmatrix}$

Example 12 Find $adj A$ for $A=\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & 4\end{vmatrix}$

Solution We have $A _{11}=4, A _{12}=-1, A _{21}=-3, A _{22}=2$

Hence $ adj A=\begin{vmatrix} A _{11} & A _{21} \\ A _{12} & A _{22} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} $

Remark For a square matrix of order 2, given by $ A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} $ The $a d j$ A can also be obtained by interchanging $a _{11}$ and $a _{22}$ and by changing signs of $a _{12}$ and $a _{21}$, i.e.,

Change sign Interchange We state the following theorem without proof.

Theorem 1 If $A$ be any given square matrix of order $n$, then $ A(adj A)=(adj A) A=|A| I, $

where I is the identity matrix of order $n$ Verification

Let $\quad A=\begin{vmatrix}a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}$, then $adj A=\begin{vmatrix}A _{11} & A _{21} & A _{31} \\ A _{12} & A _{22} & A _{32} \\ A _{13} & A _{23} & A _{33}\end{vmatrix}$

Since sum of product of elements of a row (or a column) with corresponding cofactors is equal to $|A|$ and otherwise zero,

we have $ A(adj A)=\begin{vmatrix} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{vmatrix}=|A\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=|A| I $

Similarly, we can show $(adj A) A=|A| I$

Hence $\qquad A(adj A)=(adj A) A=|A| I$

Definition 4 A square matrix $A$ is said to be singular if $|A|=0$.

For example, the determinant of matrix $A=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 8\end{vmatrix}$ is zero Hence $A$ is a singular matrix.

Definition 5 A square matrix $A$ is said to be non-singular if $|A| \neq 0$

Let $ A=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$ Then $|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=4-6=-2 \neq 0 $

Hence $\mathrm{A}$ is a nonsingular matrix

We state the following theorems without proof.

Theorem 2 If $A$ and $B$ are nonsingular matrices of the same order, then $AB$ and $BA$ are also nonsingular matrices of the same order.

Theorem 3 The determinant of the product of matrices is equal to product of their respective determinants, that is, $|AB|=|A||B|$, where $A$ and $B$ are square matrices of the same order

Remark We know that $ (\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{A}=|\mathrm{A}| \mathrm{I} = \begin{vmatrix}|A| & 0 & 0\\0 & |A| & 0\\ 0 & 0 & |A|\end{vmatrix}$

Writing determinants of matrices on both sides, we have

$$ |(\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{A}|=\begin{vmatrix} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{vmatrix} $$

$$ \qquad |(adj A)||A|=|A|^{3}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$

$$ |(\operatorname{adj} \mathrm{A})| \mathrm{A}|=|A|^{3} \tag{(1)} $$

$$ |(\operatorname{adj} \mathrm{A})|=|\mathrm{A}|^{2} $$

In general, if $A$ is $a$ square matrix of order $n$, then $|adj(A)|=|A|^{n-1}$.

Theorem 4 A square matrix $A$ is invertible if and only if $A$ is nonsingular matrix. Proof Let A be invertible matrix of order $n$ and I be the identity matrix of order $n$. Then, there exists a square matrix $B$ of order $n$ such that $AB=BA=I$ $ AB=I \text{. So }|AB|=|I| \text{ or }|A||B|=1 \quad \text{ (since }|I|=1,|AB|=|A||B| \text{ ) } $ This gives $\quad|A| \neq 0$. Hence $A$ is nonsingular.

Conversely, let A be nonsingular. Then $|A| \neq 0$

Now $\qquad A(adj A)=(adj A) A=|A| I$

or $$ A(\frac{1}{|A|} adj A)=(\frac{1}{|A|} adj A) A=I \text{(Theorem 1)} $$

or $\qquad AB=BA=I \text{, where } B=\frac{1}{|A|} adj A$

Thus $\qquad A$ is invertible and $A^{-1}=\frac{1}{|A|}$ adj $A$

Example 13 If $A=\begin{matrix}1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix}$, then verify that $A adj A=|A| I$. Also find $A^{-1}$.

Solution We have $|A|=1(16-9)-3(4-3)+3(3-4)=1 \neq 0$

Now $A _{11}=7, A _{12}=-1, A _{13}=-1, A _{21}=-3, A _{22}=1, A _{23}=0, A _{31}=-3, A _{32}=0$, $A _{33}=1$

$$\text{ Therefore } adj A=\begin{vmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$

$$\text{ Now }\qquad \begin{aligned} A(adj A) & =\begin{vmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \\ & =\begin{vmatrix} 7-3-3 & -3+3+0 & -3+0+3 \\ 7-4-3 & -3+4+0 & -3+0+3 \\ 7-3-4 & -3+3+0 & -3+0+4 \end{vmatrix} \\ & =\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=(1)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=|A| . I \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \text{ adj } A & =\frac{1}{1}\begin{vmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{aligned} $$

Example 14 If $A=\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & -4\end{vmatrix}$ and $B=\begin{vmatrix}1 & -2 \\ -1 & 3\end{vmatrix}$, then verify that $(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$.

Solution We have $A B=\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & -4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}1 & -2 \\ -1 & 3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1 & 5 \\ 5 & -14\end{vmatrix}$

Since, $|AB|=-11 \neq 0,(AB)^{-1}$ exists and is given by

$ (AB)^{-1}=\frac{1}{|AB|} adj(AB)=-\frac{1}{11}\begin{vmatrix} -14 & -5 \\ -5 & -1 \end{vmatrix}=\frac{1}{11}\begin{vmatrix} 14 & 5 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} $

Further, $|A|=-11 \neq 0$ and $|B|=1 \neq 0$. Therefore, $A^{-1}$ and $B^{-1}$ both exist and are given by

$$ A^{-1}=-\frac{1}{11} \begin{vmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}, B^{-1}=\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} $$

Therefore $ \mathrm{B}^{-1} \mathrm{~A}^{-1}=-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right|=-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cc} -14 & -5 \\ -5 & -1 \end{array}\right|=\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cc} 14 & 5 \\ 5 & 1 \end{array}\right| $

Hence $\qquad (AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$

Example 15 Show that the matrix $A=\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2\end{vmatrix}$ satisfies the equation $A^{2}-4 A+I=O$, where $I$ is $2 \times 2$ identity matrix and $O$ is $2 \times 2$ zero matrix. Using this equation, find $A^{-1}$.

Solution We have $A^{2}=A . A=\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}7 & 12 \\ 4 & 7\end{vmatrix}$

Hence $ A^{2}-4 A+I=\begin{vmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 8 & 12 \\ 4 & 8 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}=O $

Now $\qquad A^{2}-4 A+I=O$

Therefore $\qquad A A-4 A=-I$

or $\qquad A(A^{-1})-4 AA^{-1}=-IA^{-1}$ (Post multiplying by $A^{-1}$ because $|A| \neq 0$ )

$$A(A A^{-1})-4 I=-A^{-1}$$

or $\qquad AI-4 I=-A^{-1}$

or $\qquad A^{-1}=4 I-A=\begin{vmatrix}4 & 0 \\ 0 & 4\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$

$\text{ Hence }\qquad A^{-1}=\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} $

EXERCISE 4.4

Find adjoint of each of the matrices in Exercises 1 and 2.

1. $\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{vmatrix}$ $\quad\quad\quad$

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Solution

Let $A= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} $.

We have,

$A _{11}=4, A _{12}=-3, A _{21}=-2, A _{22}=1$

$\therefore adj A= \begin{vmatrix} A _{11} & A _{21} \\ A _{12} & A _{22}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} $

2. $\begin{vmatrix}1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5\\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$ Verify $A(adj A)=(adj A) A=|A| I$ in Exercises 3 and 4

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Solution

Let $A= \begin{cases} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ -2 & 0 & 1 \end{cases} $.

We have,

$A _{11}= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 1\end{vmatrix} =3-0=3$

$A _{12}=- \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -2 & 1\end{vmatrix} =-(2+10)=-12$

$A _{13}= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 0\end{vmatrix} =0+6=6$ $A _{21}=- \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{vmatrix} =-(-1-0)=1$

$A _{22}= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1\end{vmatrix} =1+4=5$

$A _{23}=- \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 0\end{vmatrix} =-(0-2)=2$

$A _{31}= \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 5\end{vmatrix} =-5-6=-11$

$A _{32}=- \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5\end{vmatrix} =-(5-4)=-1$

$A _{33}= \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3\end{vmatrix} =3+2=5$

Hence, adj $A= \begin{vmatrix} A _{11} & A _{21} & A _{31} \\ A _{12} & A _{22} & A _{32} \\ A _{13} & A _{23} & A _{33}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -11 \\ -12 & 5 & -1 \\ 6 & 2 & 5 \end{vmatrix} $.

3. $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{vmatrix} $

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Solution

$A= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{vmatrix} $

we have,

$|A|=-12-(-12)=-12+12=0$

$\therefore|A| I=0 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} $

Now,

$A _{11}=-6, A _{12}=4, A _{21}=-3, A _{22}=2$

$\therefore adj A= \begin{vmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} $

Now,

$ \begin{aligned} A(adj A) & = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} -12+12 & -6+6 \\ 24-24 & 12-12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $

Also, $(adj A) A= \begin{vmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 2\end{vmatrix} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{vmatrix} $

$ = \begin{bmatrix} -12+12 & -18+18 \\ 8-8 & 12-12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $

Hence, $A(adj A)=(adj A) A=|A| I$.

4. $ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2\\ 3 & 0 & -2 \\ 1& 0 & 3 \end{vmatrix} $

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Solution

$ \begin{aligned} & A= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \\ & |A|=1(0-0)+1(9+2)+2(0-0)=11 \\ & \therefore|A| I=11 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix} \end{aligned} $

Now,

$ \begin{aligned} & A _{11}=0, A _{12}=-(9+2)=-11, A _{13}=0 \\ & A _{21}=-(-3-0)=3, A _{22}=3-2=1, A _{23}=-(0+1)=-1 \\ & A _{31}=2-0=2, A _{32}=-(-2-6)=8, A _{33}=0+3=3 \end{aligned} $

$\therefore adj A= \begin{cases} 0 & 3 & 2 \\ -11 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 \end{cases} $

Now,

$ \begin{aligned} A(adj A) & = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -11 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0+11+0 & 3-1-2 & 2-8+6 \\ 0+0+0 & 9+0+2 & 6+0-6 \\ 0+0+0 & 3+0-3 & 2+0+9 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix} \end{aligned} $

Also,

$ \begin{aligned} (adj A) \cdot A & = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -11 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0+9+2 & 0+0+0 & 0-6+6 \\ -11+3+8 & 11+0+0 & -22-2+24 \\ 0-3+3 & 0+0+0 & 0+2+9 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix} \end{aligned} $

Hence, $A(adj A)=(adj A) A=|A| I$.

Find the inverse of each of the matrices (if it exists) given in Exercises 5 to 11.

5. $\begin{vmatrix}2 & -2 \\ 4 & 3\end{vmatrix}$

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Solution

$|A|=2 \times 3-4 \times-2=14$

Minors are $M_{11}=3 M_{12}=4 M_{21}=-2 M_{22}=2$

Cofactors are $C_{11}=3 C_{12}=-4 C_{21}=2 C_{22}=2$

Adj. $A=\left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ -4 & 2\end{array}\right]$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|} A d j . A=\frac{1}{14}\left[\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{array}\right]$

6. $\begin{vmatrix}-1 & 5 \\ -3 & 2\end{vmatrix}$

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Solution

Let $A= \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} $.

we have,

$|A|=-2+15=13$

Now,

$A _{11}=2, A _{12}=3, A _{21}=-5, A _{22}=-1$

$\therefore adj A= \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} $

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|} adj A=\frac{1}{13} \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} $

7. $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 2 & 4\\0 & 0 & 5 \end{vmatrix}$

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Solution

Let $A= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} $.

We have,

$|A|=1(10-0)-2(0-0)+3(0-0)=10$

Now,

$A _{11}=10-0=10, A _{12}=-(0-0)=0, A _{13}=0-0=0$

$A _{21}=-(10-0)=-10, A _{22}=5-0=5, A _{23}=-(0-0)=0$

$A _{31}=8-6=2, A _{32}=-(4-0)=-4, A _{33}=2-0=2$

$\therefore adj A= \begin{vmatrix} 10 & -10 & 2 \\ 0 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} $

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|} adj A=\frac{1}{10} \begin{vmatrix} 10 & -10 & 2 \\ 0 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} $

8. $\begin{vmatrix}1 & 0 & 0\\ 3 & 3 & 0\\ 5 & 2 & -1\end{vmatrix}$

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Solution

Let $A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{vmatrix} $.

We have,

$|A|=1(-3-0)-0+0=-3$

Now,

$A _{11}=-3-0=-3, A _{12}=-(-3-0)=3, A _{13}=6-15=-9$

$A _{21}=-(0-0)=0, A _{22}=-1-0=-1, A _{23}=-(2-0)=-2$

$A _{31}=0-0=0, A _{32}=-(0-0)=0, A _{33}=3-0=3$

$\therefore adj A= \begin{vmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{vmatrix} $

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|}$ adj $A=-\frac{1}{3} \begin{vmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{vmatrix} $

9. $\begin{vmatrix}2 & 1 & 3\\ 4 & -1 & 0\\ -7 & 2 & 1\end{vmatrix}$

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Solution

Let $A= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{vmatrix} $.

We have,

$ \begin{aligned} |A| & =2(-1-0)-1(4-0)+3(8-7) \\ & =2(-1)-1(4)+3(1) \\ & =-2-4+3 \\ & =-3 \end{aligned} $

Now,

$ \begin{aligned} & A _{11}=-1-0=-1, A _{12}=-(4-0)=-4, A _{13}=8-7=1 \\ & A _{21}=-(1-6)=5, A _{22}=2+21=23, A _{23}=-(4+7)=-11 \\ & A _{31}=0+3=3, A _{32}=-(0-12)=12, A _{33}=-2-4=-6 \\ & \therefore \text{ adj } A= \begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6 \end{bmatrix} \\ & \therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|} \text{ adjA }=-\frac{1}{3} \begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6 \end{bmatrix} \end{aligned} $

10. $\begin{vmatrix}1 & -1 & 2\\ 0 & 2 & -3\\ 3 & -2 & 4\end{vmatrix}$

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Solution

Let $A= \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} $.

By expanding along $C_1$, we have:

$|A|=1(8-6)-0+3(3-4)=2-3=-1$

Now,

$A _{11}=8-6=2, A _{12}=-(0+9)=-9, A _{13}=0-6=-6$

$A _{21}=-(-4+4)=0, A _{22}=4-6=-2, A _{23}=-(-2+3)=-1$

$A _{31}=3-4=-1, A _{32}=-(-3-0)=3, A _{33}=2-0=2$

$\therefore adj A= \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -9 & -2 & 3 \\ -6 & -1 & 2 \end{vmatrix} $

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|}$ adj $A=- \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -9 & -2 & 3 \\ -6 & -1 & 2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2 \end{vmatrix} $

11. $\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & -\cos \alpha\end{vmatrix}$

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Solution

Let $A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{vmatrix} $.

We have,

$|A|=1(-\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha)=-(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha)=-1$

Now,

$A _{11}=-\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=-1, A _{12}=0, A _{13}=0$

$A _{21}=0, A _{22}=-\cos \alpha, A _{23}=-\sin \alpha$

$A _{31}=0, A _{32}=-\sin \alpha, A _{33}=\cos \alpha$

$\therefore adj A= \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & -\sin \alpha & \cos \alpha \end{vmatrix} $

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot adj A=- \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & -\sin \alpha & \cos \alpha\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{vmatrix} $

12. Let $A=\begin{vmatrix}3 & 7 \\ 2 & 5\end{vmatrix}$ and $B=\begin{vmatrix}6 & 8 \\ 7 & 9\end{vmatrix}$. Verify that $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$.

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Solution

Let $A= \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} $.

We have,

$|A|=15-14=1$

Now,

$A _{11}=5, A _{12}=-2, A _{21}=-7, A _{22}=3$

$\therefore adj A= \begin{vmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} $

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot adj A= \begin{vmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} $

Now, let $B= \begin{vmatrix} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} $.

We have,

$|B|=54-56=-2$

$\therefore adj B= \begin{vmatrix} 9 & -8 \\ -7 & 6 \end{vmatrix} $

$\therefore B^{-1}=\frac{1}{|B|} adj B=-\frac{1}{2} \begin{vmatrix} 9 & -8 \\ -7 & 6\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -\frac{9}{2} & 4 \\ \frac{7}{2} & -3 \end{vmatrix} $

Now,

$$ \begin{align*} B^{-1} A^{-1} & = \begin{bmatrix} -\frac{9}{2} & 4 \\ \frac{7}{2} & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} -\frac{45}{2}-8 & \frac{63}{2}+12 \\ \frac{35}{2}+6 & -\frac{49}{2}-9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{61}{2} & \frac{87}{2} \\ \frac{47}{2} & -\frac{67}{2} \end{bmatrix} \tag{1} \end{align*} $$

Then,

$ \begin{aligned} A B & = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 18+49 & 24+63 \\ 12+35 & 16+45 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 67 & 87 \\ 47 & 61 \end{bmatrix} \end{aligned} $

Therefore, we have $|A B|=67 \times 61-87 \times 47=4087-4089=-2$.

Also,

$$ \begin{align*} & adj(A B)= \begin{bmatrix} 61 & -87 \\ -47 & 67 \end{bmatrix} \\ & \begin{align*} \therefore(A B)^{-1}=\frac{1}{|A B|} adj(A B) & =-\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 61 & -87 \\ -47 & 67 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} -\frac{61}{2} & \frac{87}{2} \\ \frac{47}{2} & -\frac{67}{2} \end{bmatrix} . \end{align*} \end{align*} $$

From (1) and (2), we have:

$(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$

Hence, the given result is proved.

13. If $A=\begin{vmatrix}3 & 1 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$, show that $A^{2}-5 A+7 I=O$. Hence find $A^{-1}$.

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Solution

$A= \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} $

$A^{2}=A \cdot A= \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2\end{vmatrix} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 9-1 & 3+2 \\ -3-2 & -1+4\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{vmatrix} $

$\therefore A^{2}-5 A+7 I$

$= \begin{vmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3\end{vmatrix} -5 \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2\end{vmatrix} +7 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} $

$= \begin{vmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3\end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} $

$= \begin{vmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} $

Hence, $A^{2}-5 A+7 I=O$.

$\therefore A \cdot A-5 A=-7 I$

$\Rightarrow A \cdot A(A^{-1})-5 A A^{-1}=-7 I A^{-1} \quad[.$ Post-multiplying by $A^{-1}$ as $.|A| \neq 0]$

$\Rightarrow A(A A^{-1})-5 I=-7 A^{-1}$

$\Rightarrow A I-5 I=-7 A^{-1}$

$\Rightarrow A^{-1}=-\frac{1}{7}(A-5 I)$

$\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{7}(5 I-A)$

$=\frac{1}{7}( \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5\end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2\end{vmatrix} )=\frac{1}{7} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} $

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{7} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} $

14. For the matrix $A=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 1 & 1\end{vmatrix}$, find the numbers $a$ and $b$ such that $A^{2}+a A+b I=O$.

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Solution

$A= \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} $

$\therefore A^{2}= \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1\end{vmatrix} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 9+2 & 6+2 \\ 3+1 & 2+1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 11 & 8 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} $

Now,

$A^{2}+a A+b I=O$

$\Rightarrow(A A) A^{-1}+a A A^{-1}+b I A^{-1}=O \quad \quad[$ Post-multiplying by $A^{-1}$ as $.|A| \neq 0]$

$\Rightarrow A(A A^{-1})+a I+b(I A^{-1})=O$

$\Rightarrow A I+a I+b A^{-1}=O$

$\Rightarrow A+a I=-b A^{-1}$

$\Rightarrow A^{-1}=-\frac{1}{b}(A+a I)$

Now,

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}$ adj $A=\frac{1}{1} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} $

We have:

$ \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3\end{vmatrix} =-\frac{1}{b}( \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & a\end{vmatrix} )=-\frac{1}{b} \begin{vmatrix} 3+a & 2 \\ 1 & 1+a\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-3-a}{b} & -\frac{2}{b} \\ -\frac{1}{b} & \frac{-1-a}{b} \end{vmatrix} $

Comparing the corresponding elements of the two matrices, we have:

$-\frac{1}{b}=-1 \Rightarrow b=1$

$\frac{-3-a}{b}=1 \Rightarrow-3-a=1 \Rightarrow a=-4$

Hence, -4 and 1 are the required values of $a$ and $b$ respectively.

15. For the matrix $A=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -3\\ 2 & -1 & 3\end{vmatrix}$

Show that $A^{3}-6 A^{2}+5 A+11 I=O$. Hence, find $A^{-1}$.

Show Answer

Solution

$ \begin{aligned} & A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \\ & A^{2}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$= \begin{bmatrix} 1+1+2 & 1+2-1 & 1-3+3 \\ 1+2-6 & 1+4+3 & 1-6-9 \\ 2-1+6 & 2-2-3 & 2+3+9 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix}$

$ \begin{aligned} & A^{3}=A^{2} \cdot A= \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 4+2+2 & 4+4-1 & 4-6+3 \\ -3+8-28 & -3+16+14 & -3-24-42 \\ 7-3+28 & 7-6-14 & 7+9+42 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 8 & 7 & 1 \\ -23 & 27 & -69 \\ 32 & -13 & 58 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$\therefore A^{3}-6 A^{2}+5 A+11 I$

$= \begin{bmatrix} 8 & 7 & 1 \\ -23 & 27 & -69 \\ 32 & -13 & 58\end{bmatrix} -6 \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14\end{bmatrix} +5 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3\end{bmatrix} +11 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

$= \begin{bmatrix} 8 & 7 & 1 \\ -23 & 27 & -69 \\ 32 & -13 & 58\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 24 & 12 & 6 \\ -18 & 48 & -84 \\ 42 & -18 & 84\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 5 & 5 \\ 5 & 10 & -15 \\ 10 & -5 & 15\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix} $

$= \begin{bmatrix} 24 & 12 & 6 \\ -18 & 48 & -84 \\ 42 & -18 & 84\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 24 & 12 & 6 \\ -18 & 48 & -84 \\ 42 & -18 & 84 \end{bmatrix} $

$= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} =O$

Thus, $A^{3}-6 A^{2}+5 A+11 I=O$.

Now,

$A^{3}-6 A^{2}+5 A+11 I=O$

$\Rightarrow(A A A) A^{-1}-6(A A) A^{-1}+5 A A^{-1}+11 I A^{-1}=0 \quad[.$ Post-multiplying by $A^{-1}$ as $|A| \neq 0$ ]

$\Rightarrow A A(A A^{-1})-6 A(A A^{-1})+5(A A^{-1})=-11(I A^{-1})$

$\Rightarrow A^{2}-6 A+5 I=-11 A^{-1}$

$\Rightarrow A^{-1}=-\frac{1}{11}(A^{2}-6 A+5 I)$

Now,

$ \begin{aligned} & A^{2}-6 A+5 I \\ & = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} -6 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} +5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 6 & 6 \\ 6 & 12 & -18 \\ 12 & -6 & 18 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 9 & 2 & 1 \\ -3 & 13 & -14 \\ 7 & -3 & 19 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 6 & 6 \\ 6 & 12 & -18 \\ 12 & -6 & 18 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -9 & 1 & 4 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} $

From equation (1), we have:

$ A^{-1}=-\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -9 & 1 & 4 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} =\frac{1}{11} \begin{bmatrix} -3 & 4 & 5 \\ 9 & -1 & -4 \\ 5 & -3 & -1 \end{bmatrix} $

16. If $A=\begin{vmatrix}2 & -1 & 1\\ -1 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 2\end{vmatrix}$

Verify that $A^{3}-6 A^{2}+9 A-4 I=O$ and hence find $A^{-1}$

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Solution

$$ \begin{aligned} & A= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & .A^{2}=\begin{bmatrix} { \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} .} & \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} & .\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 4+1+1 & -2-2-1 & 2+1+2 \\ -2-2-1 & 1+4+1 & -1-2-2 \\ 2+1+2 & -1-2-2 & 1+1+4 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6 \end{bmatrix} \\ & A^{3}=A^{2} A= \begin{bmatrix} 6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 12+5+5 & -6-10-5 & 6+5+10 \\ -10-6-5 & 5+12+5 & -5-6-10 \\ 10+5+6 & -5-10-6 & 5+5+12 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 22 & -21 & 21 \\ -21 & 22 & -21 \\ 21 & -21 & 22 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

Now,

$ \begin{aligned} & A^{3}-6 A^{2}+9 A-4 I \\ & = \begin{bmatrix} 22 & -21 & 21 \\ -21 & 22 & -21 \\ 21 & -21 & 22 \end{bmatrix} -6 \begin{bmatrix} 6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6 \end{bmatrix} +9 \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} -4 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 22 & -21 & 21 \\ -21 & 22 & -21 \\ 21 & -21 & 22 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 36 & -30 & 30 \\ -30 & 36 & -30 \\ 30 & -30 & 36 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 18 & -9 & 9 \\ -9 & 18 & -9 \\ 9 & -9 & 18 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 40 & -30 & 30 \\ -30 & 40 & -30 \\ 30 & -30 & 40 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 40 & -30 & 30 \\ -30 & 40 & -30 \\ 30 & -30 & 40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$\therefore A^{3}-6 A^{2}+9 A-4 I=O$

Now,

$$ \begin{align*} & A^{3}-6 A^{2}+9 A-4 I=O \\ & \Rightarrow(A A A) A^{-1}-6(A A) A^{-1}+9 A A^{-1}-4 I A^{-1}=O \\ & \Rightarrow A A(A A^{-1})-6 A(A A^{-1})+9(A A^{-1})=4(I A^{-1}) \\ & \Rightarrow A A I-6 A I+9 I=4 A^{-1} \\ & \Rightarrow A^{2}-6 A+9 I=4 A^{-1} \tag{1}\\ & \Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{4}(A^{2}-6 A+9 I) \end{align*} $$

$ \Rightarrow(A A A) A^{-1}-6(A A) A^{-1}+9 A A^{-1}-4 I A^{-1}=O \quad \quad[\text{ Post-multiplying by } A^{-1} \text{ as }|A| \neq 0] $

$A^{2}-6 A+9 I$

$= \begin{bmatrix} 6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6\end{bmatrix} -6 \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{bmatrix} +9 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $

$= \begin{bmatrix} 6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 12 & -6 & 6 \\ -6 & 12 & -6 \\ 6 & -6 & 12\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} $

$= \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{bmatrix} $

From equation (1), we have:

$ A^{-1}=\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{bmatrix} $

17. Let $A$ be a nonsingular square matrix of order $3 \times 3$. Then $|adj A|$ is equal to

(A) $|A|$

(B) $|A|^{2}$

(C) $|A|^{3}$

(D) $3|A|$

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Solution

We know that,

$(adj A) A=|A| I= \begin{bmatrix} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{bmatrix} $

$\Rightarrow|(adj A) A|= \begin{vmatrix} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A|\end{vmatrix} $

$\Rightarrow|adj A||A|=|A|^{3} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix} =|A|^{3}(I)$

$\therefore|adj A|=|A|^{2}$

Hence, the correct answer is B.

18. If $A$ is an invertible matrix of order 2 , then $det(A^{-1})$ is equal to

(A) $det(A)$

(B) $\frac{1}{det(A)}$

(C) 1

(D) 0

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Solution

Since $A$ is an invertible matrix, $A^{-1}$ exists and $A^{-1}=\frac{1}{|A|}$ adj $A$.

As matrix $A$ is of order 2, let $A= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} $.

Then, $|A|=a d-b c$ and $a d j A= \begin{vmatrix} d & -b \\ -c & a \end{vmatrix}$.

Now,

$ \begin{aligned} & A^{-1}=\frac{1}{|A|} \text{ adj } A= \begin{vmatrix} \frac{d}{|A|} & \frac{-b}{|A|} \\ \frac{-c}{|A|} & \frac{a}{|A|} \end{vmatrix} \\ & \therefore|A^{-1}|= \begin{vmatrix} \frac{d}{|A|} & \frac{-b}{|A|} \\ \frac{-c}{|A|} & \frac{a}{|A|} \end{vmatrix} =\frac{1}{|A|^{2}} \begin{vmatrix} d & -b \\ -c & a \end{vmatrix} =\frac{1}{|A|^{2}}(a d-b c)=\frac{1}{|A|^{2}} \cdot|A|=\frac{1}{|A|} \\ & \therefore det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)} \end{aligned} $

Hence, the correct answer is B.

4.6 Applications of Determinants and Matrices

In this section, we shall discuss application of determinants and matrices for solving the system of linear equations in two or three variables and for checking the consistency of the system of linear equations. Consistent system A system of equations is said to be consistent if its solution (one or more) exists. Inconsistent system A system of equations is said to be inconsistent if its solution does not exist.

Note In this chapter, we restrict ourselves to the system of linear equations having unique solutions only.

4.6.1 Solution of system of linear equations using inverse of a matrix

Let us express the system of linear equations as matrix equations and solve them using inverse of the coefficient matrix. Consider the system of equations

$$ \begin{aligned} & a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\ & a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\ & a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \end{aligned} $$

Let $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll}a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2} \\ a _{3} & b _{3} & c _{3}\end{array}\right|, \mathrm{X}=\left|\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right|$ And $\mathrm{B}=\left|\begin{array}{l}d _{1} \\ d _{2} \\ d _{3}\end{array}\right|$

Then, the system of equations can be written as, $AX=B$, i.e.,

$$ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x \\ y \\ z \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{vmatrix} $$

Case I If $A$ is a nonsingular matrix, then its inverse exists. Now $ A X=B $

$ \begin{aligned} \mathrm{A}^{-1}(\mathrm{AX}) & =\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B} \\ \text{ or }\qquad \left(\mathrm{~A}^{-1} \mathrm{~A}\right) \mathrm{X} & =\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B} \\ \text{ or }\qquad \mathrm{IX} & =\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B} \\ \mathrm{X} & =\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B} \end{aligned} $

This matrix equation provides unique solution for the given system of equations as inverse of a matrix is unique. This method of solving system of equations is known as Matrix Method.

Case II If $A$ is a singular matrix, then $|A|=0$.

In this case, we calculate $(adj A) B$.

If (adj A) B $\neq O$, ( $O$ being zero matrix), then solution does not exist and the system of equations is called inconsistent.

If $(adj A) B=O$, then system may be either consistent or inconsistent according as the system have either infinitely many solutions or no solution.

Example 16 Solve the system of equations

$$ \begin{aligned} & 2 x+5 y=1 \\ & 3 x+2 y=7 \end{aligned} $$

Solution The system of equations can be written in the form AX = B, where

$$ A=\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}, X=\begin{vmatrix} x \\ y \end{vmatrix} \text{ and } B=\begin{vmatrix} 1 \\ 7 \end{vmatrix} $$

Now, $|A|=-11 \neq 0$, Hence, $A$ is nonsingular matrix and so has a unique solution.

$$\text{ Note that }\qquad \begin{aligned}A^{-1} & =-\frac{1}{11} \begin{vmatrix} 2 & -5\\ -3 & 2 \end{vmatrix}\end{aligned}$$ $$ \text { Therefore } \quad\quad\begin{aligned} X & =A^{-1} B=-\frac{1}{11}\begin{vmatrix} 2 & -5 & \\ -3 & 2 \end{vmatrix} \end{aligned}\frac{1}{7} $$ $$ \text { i.e. } \quad\quad \begin{aligned} \begin{vmatrix} x \\ y \end{vmatrix}=-\frac{1}{11}\begin{vmatrix} -33 \\ 11 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3\\ 1 \end{vmatrix} \end{aligned} $$

Hence $\quad\quad$ x=3, y=-1

Example 17 Solve the following system of equations by matrix method.

$$ \mathrm{A}=\left|\begin{array}{r} 3 x-2 y+3 z=8 \\ 2 x+y-z=1 \\ 4 x-3 y+2 z=4 \end{array}\right| $$

Solution The system of equations can be written in the form $AX=B$, where

$$ A=\begin{vmatrix} 3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \end{vmatrix}, X=\begin{vmatrix} x \\ y \\ z \end{vmatrix} \text{ and } B=\begin{vmatrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{vmatrix} $$

We see that $\qquad |A|=3(2-3)+2(4+4)+3(-6-4)=-17 \neq 0$

Hence, $A$ is nonsingular and so its inverse exists. Now $A _{11}=-1$, $A _{12}=-8$, $A _{13}=-10$ $A _{21}=-5$ $A _{22}=-6$, $A _{23}=1$ $A _{31}=-1$, $A _{32}=9$, $A _{33}=7$

Therefore $\quad \mathrm{A}^{-1}=-\frac{1}{17}\left|\begin{array}{ccc}-1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7\end{array}\right|$

And $$ X=A^{-1} B=-\frac{1}{17}\left|\begin{array}{ccc} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{array}\right|\left|\begin{array}{l} 8 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right| $$

$$ \left|\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right|=-\frac{1}{17}\left|\begin{array}{l} -17 \\ -34 \\ -51 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right| $$

Hence $\qquad x=1, y=2 \text{ and } z=3 \text{. }$

Example 18 The sum of three numbers is 6 . If we multiply third number by 3 and add second number to it, we get 11 . By adding first and third numbers, we get double of the second number. Represent it algebraically and find the numbers using matrix method.

Solution Let first, second and third numbers be denoted by $x, y$ and $z$, respectively. Then, according to given conditions, we have

$$ \begin{aligned} x+y+z & =6 \\ y+3 z & =11 \\ x+z & =2 y \text{ or } x-2 y+z=0 \end{aligned} $$

This system can be written as $AX=B$, where

$$ \mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|, \mathrm{X}=\left|\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right| \text { And } \mathrm{B}=\left|\begin{array}{c} 6 \\ 11 \\ 0 \end{array}\right| \text { Is } $$

Here $|A|=1(1+6)-(0-3)+(0-1)=9 \neq 0$. Now we find $adj A$

$$ \begin{vmatrix} A _{11}=1(1+6)=7, & A _{12}=-(0-3)=3, & A _{13}=-1 \\ A _{21}=-(1+2)=-3, & A _{22}=0, & A _{23}=-(-2-1)=3 \\ A _{31}=(3-1)=2, & A _{32}=-(3-0)=-3, & A _{33}=(1-0)=1 \\ \end{vmatrix} $$

Hence $\operatorname{adj} \mathrm{A}=\left|\begin{array}{ccc}7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1\end{array}\right|$

Thus $ A^{-1}=\frac{1}{|A|} adj(A)=\frac{1}{9}\begin{vmatrix} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} $

$$ X=A^{-1} B $$

$$ X=\frac{1}{9}\begin{vmatrix} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix}{c} 6 \\ 11 \\ 0 \end{vmatrix} $$

$$ \left|\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right|=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{l} 42-33+0 \\ 18+0+0 \\ -6+33+0 \end{array}\right|=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{c} 9 \\ 18 \\ 27 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right| $$

$$ x=1, y=2, z=3 $$

EXERCISE 4.5

Examine the consistency of the system of equations in Exercises 1 to 6.

1. $x+2 y=2$

$\quad\quad$$2 x+3 y=3$

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Solution

The given system of equations is:

$x+2 y=2$

$2 x+3 y=3$

The given system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3\end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} $ and $B= \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} $.

Now,

$|A|=1(3)-2(2)=3-4=-1 \neq 0$

$\therefore A$ is non-singular.

Therefore, $A^{-1}$ exists.

Hence, the given system of equations is consistent.

2. $2 x-y=5$

$\quad\quad$$x+y=4$

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Solution

The given system of equations is:

$2 x-y=5$

$x+y=4$

The given system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$A= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1\end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ z\end{bmatrix} $ and $B= \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix} $.

Now,

$|A|=2(1)-(-1)(1)=2+1=3 \neq 0$

$\therefore A$ is non-singular.

Therefore, $A^{-1}$ exists.

Hence, the given system of equations is consistent.

3. $x+3 y=5$

$\quad\quad$$2 x+6 y=8$

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Solution

Answer

The given system of equations is:

$x+3 y=5$

$2 x+6 y=8$

The given system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$A= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6\end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} $ and $B= \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrixs} $.

Now,

$|A|=1(6)-3(2)=6-6=0$

$\therefore A$ is a singular matrix.

Now,

$(adj A)= \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} $

$(adj A) B= \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30-24 \\ -10+8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix} \neq O$

Thus, the solution of the given system of equations does not exist. Hence, the system of equations is inconsistent.

4. $x+y+z=1$

$\quad\quad$$2 x+3 y+2 z=2$

$\quad\quad$$a x+a y+2 a z=4$

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Solution

The given system of equations is:

$x+y+z=1$

$2 x+3 y+2 z=2$

$a x+a y+2 a z=4$

This system of equations can be written in the form $A X=B$, where

$ A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ a & a & 2 a \end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \text{ and } B= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix} \text{. } $

Now,

$ \begin{aligned} |A| & =1(6 a-2 a)-1(4 a-2 a)+1(2 a-3 a) \\ & =4 a-2 a-a=4 a-3 a=a \neq 0 \end{aligned} $

$\therefore A$ is non-singular.

Therefore, $A^{-1}$ exists.

Hence, the given system of equations is consistent.

5. $3 x-y-2 z=2$

$\quad\quad$$2 y-z=-1$

$\quad\quad$$3 x-5 y=3$

Show Answer

Solution

The given system of equations is:

$3 x-y-2 z=2$

$2 y-z=-1$

$3 x-5 y=3$

This system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$A= \begin{bmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} $ and $B= \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} $.

Now,

$|A|=3(0-5)-0+3(1+4)=-15+15=0$

$\therefore A$ is a singular matrix.

Now,

$(adj A)= \begin{bmatrix} -5 & 10 & 5 \\ -3 & 6 & 3 \\ -6 & 12 & 6 \end{bmatrix} $

$\therefore(adj A) B= \begin{bmatrix} -5 & 10 & 5 \\ -3 & 6 & 3 \\ -6 & 12 & 6\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10-10+15 \\ -6-6+9 \\ -12-12+18\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ -3 \\ -6 \end{bmatrix} \neq O$

Thus, the solution of the given system of equations does not exist. Hence, the system of equations is inconsistent.

6. $5 x-y+4 z=5$

$\quad\quad$$2 x+ 3y+5z=2$

$\quad\quad$$5 x-2 y+6 z=-1$

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Solution

The given system of equations is:

$5 x-y+4 z=5$

$2 x+3 y+5 z=2$

$5 x-2 y+6 z=-1$

This system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$A= \begin{bmatrix} 5 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 5 & -2 & 6\end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} $ and $B= \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} $.

Now,

$$ \begin{aligned} |A| & =5(18+10)+1(12-25)+4(-4-15) \\ & =5(28)+1(-13)+4(-19) \\ & =140-13-76 \\ & =51 \neq 0 \end{aligned} $$

$\therefore A$ is non-singular.

Therefore, $A^{-1}$ exists.

Hence, the given system of equations is consistent.

Solve system of linear equations, using matrix method, in Exercises 7 to 14.

7. $5 x+2 y=4$

$\quad\quad$$7 x+3 y=5$

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Solution

The given system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$A= \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3\end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} $ and $B= \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} $.

Now, $|A|=15-14=1 \neq 0$.

Thus, $A$ is non-singular. Therefore, its inverse exists.

Now,

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}(adj A)$

$\therefore A^{-1}= \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} $

$\therefore X=A^{-1} B= \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} $

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12-10 \\ -28+25\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} $

Hence, $x=2$ and $y=-3$.

8. $2 x-y=-2$

$\quad\quad$$3 x+4 y=3$

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Solution

The given system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$A= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4\end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} $ and $B= \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} $.

Now,

$|A|=8+3=11 \neq 0$

Thus, $A$ is non-singular. Therefore, its inverse exists.

Now,

$A^{-1}=\frac{1}{|A|} adj A=\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} $

$\therefore X=A^{-1} B=\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} $

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} =\frac{1}{11} \begin{bmatrix} -8+3 \\ 6+6\end{bmatrix} =\frac{1}{11} \begin{bmatrix} -5 \\ 12\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{5}{11} \\ \frac{12}{11} \end{bmatrix} $

Hence, $x=\frac{-5}{11}$ and $y=\frac{12}{11}$.

9. $4 x-3 y=3$

$\quad\quad$$3 x-5 y=7$

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Solution

The given system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$ A= \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -5 \end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \text{ and } B= \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix} \text{. } $

Now,

$|A|=-20+9=-11 \neq 0$

Thus, $A$ is non-singular. Therefore, its inverse exists.

Now,

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}(adj A)=-\frac{1}{11} \begin{bmatrix} -5 & 3 \\ -3 & 4\end{bmatrix} =\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} $

$\therefore X=A^{-1} B=\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 3 & -4\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix} $

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} =\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 3 & -4\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 7\end{bmatrix} =\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 15-21 \\ 9-28\end{bmatrix} =\frac{1}{11} \begin{bmatrix} -6 \\ -19\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{6}{11} \\ -\frac{19}{11} \end{bmatrix} $

Hence, $x=\frac{-6}{11}$ and $y=\frac{-19}{11}$.

10. $5 x+2 y=3$

$\quad\quad$$3 x+2 y=5$

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Solution

The given system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$A= \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 2\end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} $ and $B= \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} $.

Now,

$|A|=10-6=4 \neq 0$

Thus, $A$ is non-singular. Therefore, its inverse exists.

11. $2 x+y+z=1$

$\quad\quad$$x-2 y-z=\frac{3}{2}$

$\quad\quad$$3 y-5 z=9$

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Solution

The given system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$A= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & -5\end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $ and $B= \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{3}{2} \\ 9 \end{bmatrix} $.

Now,

$|A|=2(10+3)-1(-5-3)+0=2(13)-1(-8)=26+8=34 \neq 0$

Thus, $A$ is non-singular. Therefore, its inverse exists.

$\begin{aligned} & \operatorname{adj}(A)=\left[\begin{array}{lll}A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{array}\right]^{\top} \\ & =\left[\begin{array}{ccc}M_{11} & -M_{21} & M_{31} \\ -M_{12} & M_{22} & -M_{32} \\ M_{13} & -M_{23} & M_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \\ \end{array}\right]\end{aligned}$

$\begin{aligned} & A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \\ & =\frac{1}{34}\left[\begin{array}{ccc} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{array}\right] \end{aligned}$

Solve for the values of $x, y$ and $z$

$A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B$

$\begin{aligned} & \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\frac{1}{34}\left[\begin{array}{ccc} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 1 \\ \frac{3}{2} \\ 9 \end{array}\right] \\ & \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\frac{1}{34}\left[\begin{array}{c} 13(1)+8\left(\frac{3}{2}\right)+1(9) \\ 5(1)+(-10)\left(\frac{3}{2}\right)+3(9) \\ 3(1)+(-6)\left(\frac{3}{2}\right)+(-5)(9) \end{array}\right] \end{aligned}$

$\begin{aligned} & \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\frac{1}{34}\left[\begin{array}{c} 13+12+9 \\ 5-15+27 \\ 3-9-45 \end{array}\right] \\ & \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\frac{1}{34}\left[\begin{array}{c} 34 \\ 17 \\ -51 \end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 1 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{-3}{2} \end{array}\right] \end{aligned}$

Hence, $x=1, y=\frac{1}{2}$, and $z=-\frac{3}{2}$.

12. $x-y+z=4$

$\quad\quad$$2 x+y-3 z=0$

$\quad\quad$$x+y+z=2$

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Solution

The given system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$A= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} $ and $B= \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} $.

Now,

$|A|=1(1+3)+1(2+3)+1(2-1)=4+5+1=10 \neq 0$

Thus, $A$ is non-singular. Therefore, its inverse exists.

$ \begin{aligned} & \text{ Now, } A _{11}=4, A _{12}=-5, A _{13}=1 \\ & A _{21}=2, A _{22}=0, A _{23}=-2 \\ & A _{31}=2, A _{32}=5, A _{33}=3 \\ & \therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|}(adj A)=\frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \\ & \therefore X=A^{-1} B=\frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \\ & \Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\frac{1}{10} \begin{bmatrix} 16+0+4 \\ -20+0+10 \\ 4+0+6 \end{bmatrix} \\ & \quad=\frac{1}{10} \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} \\ & \quad= \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned} $

Hence, $x=2, y=-1$, and $z=1$.

13. $2 x+3 y+3 z=5$

$\quad\quad$$x-2 y+z=-4$

$\quad\quad$$3 x-y-2 z=3$

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Solution

The given system of equations can be written in the form $A X=B$, where

$A= \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & -2\end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} $ and $B= \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} $.

Now,

$|A|=2(4+1)-3(-2-3)+3(-1+6)=2(5)-3(-5)+3(5)=10+15+15=40 \neq 0$

Thus, $A$ is non-singular. Therefore, its inverse exists.

Now, $A _{11}=5, A _{12}=5, A _{13}=5$

$A _{21}=3, A _{22}=-13, A _{23}=11$

$A _{31}=9, A _{32}=1, A _{33}=-7$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|}(adj A)=\frac{1}{40} \begin{bmatrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{bmatrix} $

$\therefore X=A^{-1} B=\frac{1}{40} \begin{bmatrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} $

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} =\frac{1}{40} \begin{bmatrix} 25-12+27 \\ 25+52+3 \\ 25-44-21 \end{bmatrix} $

$=\frac{1}{40} \begin{bmatrix} 40 \\ 80 \\ -40 \end{bmatrix} $

$= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} $

Hence, $x=1, y=2$, and $z=-1$.

14. $x-y+2 z=7$

$\quad\quad$$3 x+4 y-5 z=-5$

$\quad\quad$$2 x-y+3 z=12$

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Solution

The given system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$ A= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -5 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \text{ and } B= \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 12 \end{bmatrix} \text{. } $

Now,

$|A|=1(12-5)+1(9+10)+2(-3-8)=7+19-22=4 \neq 0$

Thus, $A$ is non-singular. Therefore, its inverse exists.

$ \begin{aligned} & \text{ Now, } A _{11}=7, A _{12}=-19, A _{13}=-11 \\ & A _{21}=1, A _{22}=-1, A _{23}=-1 \\ & A _{31}=-3, A _{32}=11, A _{33}=7 \\ & \therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|}(\text{ adj } A)=\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{bmatrix} \\ & \therefore X=A^{-1} B=\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 12 \end{bmatrix} \\ & \Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 49-5-36 \\ -133+5+132 \\ -77+5+84 \end{bmatrix} \\ & \quad=\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 8 \\ 4 \\ 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \end{aligned} $

Hence, $x=2, y=1$, and $z=3$.

15. If $A=\begin{vmatrix}2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2\end{vmatrix}$, find $A^{-1}$. Using $A^{-1}$ solve the system of equations

$$ \begin{aligned}\quad\quad 2 x-3 y+5 z & =11 \\ 3 x+2 y-4 z & =-5 \\ x+y-2 z & =-3 \end{aligned} $$

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Solution

$ \begin{aligned} & A= \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix} \\ & \therefore|A|=2(-4+4)+3(-6+4)+5(3-2)=0-6+5=-1 \neq 0 \end{aligned} $

Now, $A _{11}=0, A _{12}=2, A _{13}=1$

$A _{21}=-1, A _{22}=-9, A _{23}=-5$

$A _{31}=2, A _{32}=23, A _{33}=13$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|}(adj A)=- \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13 \end{bmatrix} $

Now, the given system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$ A= \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \text{ and } B= \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix} \text{. } $

The solution of the system of equations is given by $X=A^{-1} B$.

$ \begin{aligned} & X=A^{-1} B \end{aligned} $

$\Rightarrow \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}11 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix}$

$ \begin{aligned} & = \begin{bmatrix} 0-5+6 \\ -22-45+69 \\ -11-25+39 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \end{aligned} $

Hence, $x=1, y=2$, and $z=3$.

16. The cost of $4 kg$ onion, $3 kg$ wheat and $2 kg$ rice is ₹ 60 . The cost of $2 kg$ onion, $4 kg$ wheat and $6 kg$ rice is ₹ 90 . The cost of $6 kg$ onion $2 kg$ wheat and $3 kg$ rice is ₹ 70. Find cost of each item per $kg$ by matrix method.

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Solution

Let the cost of onions, wheat, and rice per $kg$ be $Rs x, Rs y$, and $Rs z$ respectively.

Then, the given situation can be represented by a system of equations as:

$4 x+3 y+2 z=60$

$2 x+4 y+6 z=90$

$6 x+2 y+3 z=70$

This system of equations can be written in the form of $A X=B$, where

$ \begin{aligned} & A= \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \text{ and } B= \begin{bmatrix} 60 \\ 90 \\ 70 \end{bmatrix} \text{. } \\ & |A|=4(12-12)-3(6-36)+2(4-24)=0+90 \\ & \text{ Now, } \quad \begin{matrix} A _{11}=0, A _{12}=30, A _{13}=-20 \\ A _{21}=-5, A _{22}=0, A _{23}=10 \\ A _{31}=10, A _{32}=-20, A _{33}=10 \end{matrix} \end{aligned} $

$ |A|=4(12-12)-3(6-36)+2(4-24)=0+90-40=50 \neq 0 $

$ \begin{aligned} & \therefore adj A= \begin{bmatrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{bmatrix} \\ & \therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|} \text{ adj } A=\frac{1}{50} \begin{bmatrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{bmatrix} \end{aligned} $

Now,

$ \begin{aligned} & X=A^{-1} B \\ & \Rightarrow X=\frac{1}{50} \begin{bmatrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 60 \\ 90 \\ 70 \end{bmatrix} \\ & \Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\frac{1}{50} \begin{bmatrix} 0-450+700 \\ 1800+0-1400 \\ -1200+900+700 \end{bmatrix} \\ & =\frac{1}{50} \begin{bmatrix} 250 \\ 400 \\ 400 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 8 \end{bmatrix} \\ & \therefore x=5, y=8 \text{ and } z=8 . \end{aligned} $

Hence, the cost of onions is Rs 5 per kg, the cost of wheat is Rs 8 per kg, and the cost of rice is Rs 8 per kg.

Miscellaneous Example

Example 19 Use product $\begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 3 \\3 & 2 & 4 \end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix}-2 & 0 & 1\\ 9 & 2 & 3 \\6 & 1 & 2 \end{vmatrix}$ to solve the system of equations

$$ \begin{aligned} & x-y+2 z=1 \\ & 2 y-3 z=1 \\ & 3 x-2 y+4 z=2 \end{aligned} $$

Solution Consider the product $\begin{vmatrix}1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{vmatrix}$

$$ =\begin{vmatrix} -2-9+12 & 0-2+2 & 1+3-4 \\ 0+18-18 & 0+4-3 & 0-6+6 \\ -6-18+24 & 0-4+4 & 3+6-8 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$

Hence $ \begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 3 \\3 & 2 & 4 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix}-2 & 0 & 1\\ 9 & 2 & 3 \\6 & 1 & 2 \end{vmatrix} $

Now, given system of equations can be written, in matrix form, as follows

$$ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix}\begin{vmatrix}{l} x \\ y \\ z \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{vmatrix} $$

$$ \begin{aligned} & \begin{vmatrix} x \\ y \\ z \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} ^{-1}\begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & 3 \\ 6 & 1 & 2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{vmatrix} \\ & =\begin{vmatrix} -2+0+2 \\ 9+2-6 \\ 6+1-4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{vmatrix} \end{aligned} $$

Hence $ x=0, y=5 \text{ and } z=3 $

Miscellaneous Exercises on Chapter 4

1. Prove that the determinant $\begin{vmatrix}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{vmatrix}$ is independent of $\theta$.

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Solution

$ \begin{aligned} \Delta & = \begin{vmatrix} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{vmatrix} \\ & =x(x^{2}-1)-\sin \theta(-x \sin \theta-\cos \theta)+\cos \theta(-\sin \theta+x \cos \theta) \\ & =x^{3}-x+x \sin ^{2} \theta+\sin \theta \cos \theta-\sin \theta \cos \theta+x \cos ^{2} \theta \\ & =x^{3}-x+x(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta) \\ & =x^{3}-x+x \\ & =x^{3} \text{ (Independent of } \theta \text{ ) } \end{aligned} $

Hence, $\Delta$ is independent of $\theta$.

2. Evaluate $\begin{vmatrix}\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha\end{vmatrix}$.

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Solution

$ \Delta= \begin{vmatrix} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \end{vmatrix} $

Expanding along $C_3$, we have:

$ \begin{aligned} \Delta & =-\sin \alpha(-\sin \alpha \sin ^{2} \beta-\cos ^{2} \beta \sin \alpha)+\cos \alpha(\cos \alpha \cos ^{2} \beta+\cos \alpha \sin ^{2} \beta) \\ & =\sin ^{2} \alpha(\sin ^{2} \beta+\cos ^{2} \beta)+\cos ^{2} \alpha(\cos ^{2} \beta+\sin ^{2} \beta) \\ & =\sin ^{2} \alpha(1)+\cos ^{2} \alpha(1) \\ & =1 \end{aligned} $

3. If $A^{-1}=\begin{vmatrix}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{vmatrix}$ and $B=\begin{vmatrix}1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1\end{vmatrix}$, find $(A B)^{-1}$

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Solution

Given: $A^{-1}=\begin{vmatrix}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{vmatrix}$ and $B=\begin{vmatrix}1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1\end{vmatrix}$

We know that $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$

$\begin{aligned} & |B|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} \\ & \Rightarrow|B|=1(3-0)-2(-1-0)-2(2-0) \\ & \Rightarrow|B|=1(3)-2(-1)-2(2) \\ & \Rightarrow|B|=3+2-4=1 \end{aligned}$

Since, $|B| \neq 0$

Thus,$B^{-1}$ exists.

$\begin{aligned} & B=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} \\ & M_{11}=\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}=3(1)-(-2) 0=3 \\ & M_{12}=\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1(1)-(0) 0=-1 \\ & M_{13}=\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}=(-1)(-2)-O(3)=2 \\ & M_{21}=\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}=2(1)-(-2)(-2)=-2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} & M_{22}=\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1(1) O(-2)=1 \\ & M_{23}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}=1(-2)-0(2)=-2 \\ & M_{31}=\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}=2(0)-3(-2)=6 \\ & M_{32}=\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}=1(0)-(-1)(-2)=-2 \\ & M_{33}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}=1(3)-(-1) 2=5 \end{aligned}$

$\begin{aligned} & \therefore \operatorname{adj}(B)=\begin{vmatrix} M_{11} & -M_{21} & M_{31} \\ -M_{12} & M_{22} & -M_{31} \\ M_{13} & -M_{23} & M_{33} \end{vmatrix} \\ & \begin{vmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{vmatrix} \end{aligned}$

Now,

$B^{-1}=\frac{1}{|B|} \operatorname{adj}(B)$

$\Rightarrow B^{-1}=\frac{1}{1}\begin{vmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{vmatrix}$

$\begin{aligned} &\Rightarrow B^{-1}=\begin{vmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{vmatrix}\\ &B^{-1} A^{-1}=\begin{vmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{vmatrix}\\ &\Rightarrow \mathrm{B}^{-1} \mathrm{~A}^{-1}\\ &=\begin{vmatrix} 9-30+30 & -3+12-12 & 3-10+12 \\ 3-15+10 & -1+6-4 & 1-5+4 \\ 6-30+25 & -2+12-10 & 2-10+10 \end{vmatrix}\\ &B^{-1} A^{-1}=\begin{vmatrix} 9 & -3 & 5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{vmatrix} \end{aligned}$

So, $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}=\begin{vmatrix}9 & -3 & 5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{vmatrix}$

Therefore, $(A B)^{-1}=\begin{vmatrix}9 & -3 & 5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{vmatrix}$

4. Let $A= \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} $ verify that

(i) $[adj A]^{-1}=adj(A^{-1})$

(ii) $(A^{-1})^{-1}=A$

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Solution

$ \begin{aligned} & A= \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} \\ & \therefore|A|=1(15-1)+2(-10-1)+1(-2-3)=14-22-5=-13 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \text{ Now, } A _{11}=14, A _{12}=11, A _{13}=-5 \\ & A _{21}=11, A _{22}=4, A _{23}=-3 \\ & A _{31}=-5, A _{32}=-3, A _{13}=-1 \\ & \therefore \text{ adj } A= \begin{vmatrix} 14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1 \end{vmatrix} \\ & \therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|}(\text{ adj } A) \\ & \quad=-\frac{1}{13} \begin{vmatrix} 14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1 \end{vmatrix} =\frac{1}{13} \begin{vmatrix} -14 & -11 & 5 \\ -11 & -4 & 3 \\ 5 & 3 & 1 \end{vmatrix} \end{aligned} $

(i)

$ \begin{aligned} \text{ adj } A & =14(-4-9)-11(-11-15)-5(-33+20) \\ & =14(-13)-11(-26)-5(-13) \\ & =-182+286+65=169 \end{aligned} $

We have,

$ \begin{aligned} & adj(adj A)= \begin{vmatrix} -13 & 26 & -13 \\ 26 & -39 & -13 \\ -13 & -13 & -65 \end{vmatrix} \\ & \therefore[adj A]^{-1}=\frac{1}{|adj A|}(adj(adj A)) \\ & =\frac{1}{169} \begin{vmatrix} -13 & 26 & -13 \\ 26 & -39 & -13 \\ -13 & -13 & -65 \end{vmatrix} \\ & =\frac{1}{13} \begin{vmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & -1 & -5 \end{vmatrix} \\ & \text{ Now, } A^{-1}=\frac{1}{13} \begin{vmatrix} -14 & -11 & 5 \\ -11 & -4 & 3 \\ 5 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -\frac{14}{13} & -\frac{11}{13} & \frac{5}{13} \\ -\frac{11}{13} & -\frac{4}{13} & \frac{3}{13} \\ \frac{5}{13} & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} \end{vmatrix} \\ & \therefore adj(A^{-1})= \begin{vmatrix} -\frac{4}{169}-\frac{9}{169} & -(-\frac{11}{169}-\frac{15}{169}) & -\frac{33}{169}+\frac{20}{169} \\ -(-\frac{11}{169}-\frac{15}{169}) & -\frac{14}{169}-\frac{25}{169} & -(-\frac{42}{169}+\frac{55}{169}) \\ -\frac{33}{169}+\frac{20}{169} & -(-\frac{42}{169}+\frac{55}{169}) & \frac{56}{169}-\frac{121}{169} \end{vmatrix} \\ & =\frac{1}{169} \begin{vmatrix} -13 & 26 & -13 \\ 26 & -39 & -13 \\ -13 & -13 & -65 \end{vmatrix} =\frac{1}{13} \begin{vmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & -1 & -5 \end{vmatrix} \end{aligned} $

Hence, $[adj A]^{-1}=adj(A^{-1})$.

(ii)

We have shown that:

$A^{-1}=\frac{1}{13} \begin{vmatrix} -14 & -11 & 5 \\ -11 & -4 & 3 \\ 5 & 3 & 1 \end{vmatrix} $

And, $adj A^{-1}=\frac{1}{13} \begin{vmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & -1 & -5 \end{vmatrix} $

Now,

$|A^{-1}|=(\frac{1}{13})^{3}[-14 \times(-13)+11 \times(-26)+5 \times(-13)]=(\frac{1}{13})^{3} \times(-169)=-\frac{1}{13}$

$\therefore(A^{-1})^{-1}=\frac{\text{ adj } A^{-1}}{|A^{-1}|}=\frac{1}{(-\frac{1}{13})} \times \frac{1}{13} \begin{vmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & -1 & -5\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} =A$

$\therefore(A^{-1})^{-1}=A$

5. Evaluate $\begin{vmatrix}x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y\end{vmatrix}$

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Solution

$\Delta= \begin{vmatrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y\end{vmatrix} $

Applying $R_1 \to R_1+R_2+R_3$, we have:

$\Delta= \begin{vmatrix} 2(x+y) & 2(x+y) & 2(x+y) \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y\end{vmatrix} $

$=2(x+y) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y\end{vmatrix} $

Applying $C_2 \to C_2-C_1$ and $C_3 \to C_3-C_1$, we have:

$\Delta=2(x+y) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ y & x & x-y \\ x+y & -y & -x\end{vmatrix} $

Expanding along $R_1$, we have:

$ \begin{aligned} \Delta & =2(x+y)[-x^{2}+y(x-y)] \\ & =-2(x+y)(x^{2}+y^{2}-y x) \\ & =-2(x^{3}+y^{3}) \end{aligned} $

6. Evaluate $\begin{vmatrix}1 & x & y \\ 1 & x+y & y \\ 1 & x & x+y\end{vmatrix}$

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Solution

Applying $R_2 \to R_2-R_1$ and $R_3 \to R_3-R_1$, we have:

$\Delta= \begin{vmatrix} 1 & x & y \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & x\end{vmatrix} $

Expanding along $C_1$, we have:

$\Delta=1(x y-0)=x y$

Using properties of determinants in Exercises 11 to 15, prove that:

7. Solve the system of equations

$ \begin{aligned} & \frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{10}{z}=4 \\ & \frac{4}{x}-\frac{6}{y}+\frac{5}{z}=1 \\ & \frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{20}{z}=2 \end{aligned} $

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Solution

Let $\frac{1}{x}=p, \frac{1}{y}=q, \frac{1}{z}=r$.

Then the given system of equations is as follows:

$2 p+3 q+10 r=4$

$4 p-6 q+5 r=1$

$6 p+9 q-20 r=2$

This system can be written in the form of $A X=B$, where

$A= \begin{bmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 4 & -6 & 5 \\ 6 & 9 & -20\end{bmatrix} , X= \begin{bmatrix} p \\ q \\ r\end{bmatrix} $ and $B= \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} $.

Now,

$ \begin{aligned} |A| & =2(120-45)-3(-80-30)+10(36+36) \\ & =150+330+720 \\ & =1200 \end{aligned} $

Thus, $A$ is non-singular. Therefore, its inverse exists.

Now,

$A _{11}=75, A _{12}=110, A _{13}=72$

$A _{21}=150, A _{22}=-100, A _{23}=0$

$A _{31}=75, A _{32}=30, A _{33}=-24$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|}$ adj $A$

$ =\frac{1}{1200} \begin{bmatrix} 75 & 150 & 75 \\ 110 & -100 & 30 \\ 72 & 0 & -24 \end{bmatrix} $

Now,

$ \begin{aligned} & X=A^{-1} B \\ & \begin{aligned} \Rightarrow \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} & =\frac{1}{1200} \begin{bmatrix} 75 & 150 & 75 \\ 110 & -100 & 30 \\ 72 & 0 & -24 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \\ & =\frac{1}{1200} \begin{bmatrix} 300+150+150 \\ 440-100+60 \\ 288+0-48 \end{bmatrix} \\ & =\frac{1}{1200} \begin{bmatrix} 600 \\ 400 \\ 240 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} \end{bmatrix} \end{aligned} \\ & \therefore p=\frac{1}{2}, q=\frac{1}{3} \text{, and } r=\frac{1}{5} \end{aligned} $

Hence, $x=2, y=3$, and $z=5$.

Choose the correct answer in Exercise 8 to 9.

8. If $x, y, z$ are nonzero real numbers, then the inverse of matrix $A=\begin{vmatrix}x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{vmatrix}$ is

(A) $\begin{vmatrix}x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1}\end{vmatrix}$

(B) $x y z\begin{vmatrix}x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1}\end{vmatrix}$

(C) $\frac{1}{x y z}\begin{vmatrix}x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{vmatrix}$

(D) $\frac{1}{x y z}\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}$

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Solution

$A= \begin{vmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{vmatrix} $

$\therefore|A|=x(y z-0)=x y z \neq 0$

Now, $A _{11}=y z, A _{12}=0, A _{13}=0$

$A _{21}=0, A _{22}=x z, A _{23}=0$

$A _{31}=0, A _{32}=0, A _{33}=x y$

$\therefore adj A= \begin{vmatrix} y z & 0 & 0 \\ 0 & x z & 0 \\ 0 & 0 & x y \end{vmatrix} $

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|}$ adj $A$

$ \begin{aligned} &=\frac{1}{x y z} \begin{vmatrix} y z & 0 & 0 \\ 0 & x z & 0 \\ 0 & 0 & x y \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} \frac{y z}{x y z} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{x z}{x y z} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{x y}{x y z} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} \frac{1}{x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{z} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{vmatrix} \end{aligned} $

The correct answer is A.

9. Let $A=\begin{vmatrix}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{vmatrix}$, where $0 \leq \theta \leq 2 \pi$. Then

(A) $Det(A)=0$

(B) $Det(A) \in(2, \infty)$

(C) $Det(A) \in(2,4)$

(D) $Det(A) \in[2,4]$

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Solution

$ \begin{aligned} & A= \begin{vmatrix} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{vmatrix} \\ & \therefore|A|=1(1+\sin ^{2} \theta)-\sin \theta(-\sin \theta+\sin \theta)+1(\sin ^{2} \theta+1) \\ & \quad=1+\sin ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta+1 \\ & \quad=2+2 \sin ^{2} \theta \\ & \quad=2(1+\sin ^{2} \theta) \end{aligned} $

Now, $0 \leq \theta \leq 2 \pi$

$\Rightarrow 0 \leq \sin \theta \leq 1$

$\Rightarrow 0 \leq \sin ^{2} \theta \leq 1$

$\Rightarrow 1 \leq 1+\sin ^{2} \theta \leq 2$

$\Rightarrow 2 \leq 2(1+\sin ^{2} \theta) \leq 4$

$\therefore Det(A) \in[2,4]$

The correct answer is D.

Summary

  • $\Delta $ Determinant of a matrix $A=[a _{11}] _{1 \times 1}$ is given by $|a _{11}|=a _{11}$

  • $\Delta $ Determinant of a matrix $A=\begin{vmatrix}a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22}\end{vmatrix}$ is given by

  • $ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{12} a _{21} $

  • $ a_1 \quad b_1 \quad c_1 $

  • $\Delta $ Determinant of a matrix $A=a_2 \quad b_2 \quad c_2$ is given by (expanding along $R_1$ )

  • $ \begin{vmatrix} a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} $

  • $ |A|=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=a_1\begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}-b_1\begin{vmatrix} a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{vmatrix}+c_1\begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} $

  • For any square matrix $\mathbf{A}$, the $|\mathbf{A}|$ satisfy following properties.

  • Area of a triangle with vertices $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ and $(x_3, y_3)$ is given by

  • $ \Delta=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} $

  • Minor of an element $a _{i j}$ of the determinant of matrix A is the determinant obtained by deleting $i^{i^{h}}$ row and $j^{\text{th }}$ column and denoted by $M _{i j}$.

  • Cofactor of $a _{i j}$ of given by $A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j}$

  • Value of determinant of a matrix A is obtained by sum of product of elements of a row (or a column) with corresponding cofactors. For example,

  • $ |A|=a _{11} A _{11}+a _{12} A _{12}+a _{13} A _{13} . $

  • If elements of one row (or column) are multiplied with cofactors of elements of any other row (or column), then their sum is zero. For example, $a _{11} A _{21}+a _{12}$ $A _{22}+a _{13} A _{23}=0$

  • If $A=\begin{vmatrix}a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}$, then $adj A=\begin{vmatrix}A _{11} & A _{21} & A _{31} \\ A _{12} & A _{22} & A _{32} \\ A _{13} & A _{23} & A _{33}\end{vmatrix}$, where $A _{i j}$ is cofactor of $a _{i j}$

  • $A(adj A)=(adj A) A=|A| I$, where $A$ is square matrix of order $n$.

  • A square matrix A is said to be singular or non-singular according as $|A|=0$ or $|A| \neq 0$.

  • If $AB=BA=I$, where $B$ is square matrix, then $B$ is called inverse of $A$. Also $A^{-1}=B$ or $B^{-1}=A$ and hence $(A^{-1})^{-1}=A$.

  • A square matrix $A$ has inverse if and only if $A$ is non-singular.

  • $A^{-1}=\frac{1}{|A|}(adj A)$

  • $\checkmark$ If $a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1$

  • $ \begin{aligned} & a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\ & a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3, \end{aligned} $

  • then these equations can be written as $AX=B$, where

  • $ A=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, X=\begin{vmatrix}{l} x \\ y \\ z \end{vmatrix} \text{ and } B=\begin{vmatrix}{l} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{vmatrix} $

  • Unique solution of equation $A X=B$ is given by $X=A^{-1} B$, where $|A| \neq 0$.

  • A system of equation is consistent or inconsistent according as its solution exists or not.

  • For a square matrix $A$ in matrix equation $AX=B$

  • (i) $|A| \neq 0$, there exists unique solution

  • (ii) $|A|=0$ and $(adj A) B \neq 0$, then there exists no solution

  • (iii) $|A|=0$ and $(adj A) B=0$, then system may or may not be consistent.

Historical Note

The Chinese method of representing the coefficients of the unknowns of several linear equations by using rods on a calculating board naturally led to the discovery of simple method of elimination. The arrangement of rods was precisely that of the numbers in a determinant. The Chinese, therefore, early developed the idea of subtracting columns and rows as in simplification of a determinant Mikami, China, pp 30, 93.

Seki Kowa, the greatest of the Japanese Mathematicians of seventeenth century in his work ‘Kai Fukudai no Ho’ in 1683 showed that he had the idea of determinants and of their expansion. But he used this device only in eliminating a quantity from two equations and not directly in the solution of a set of simultaneous linear equations. T. Hayashi, “The Fakudoi and Determinants in Japanese Mathematics,” in the proc. of the Tokyo Math. Soc., V.

Vendermonde was the first to recognise determinants as independent functions. He may be called the formal founder. Laplace (1772), gave general method of expanding a determinant in terms of its complementary minors. In 1773 Lagrange treated determinants of the second and third orders and used them for purpose other than the solution of equations. In 1801, Gauss used determinants in his theory of numbers.

The next great contributor was Jacques - Philippe - Marie Binet, (1812) who stated the theorem relating to the product of two matrices of $m$-columns and $n$ rows, which for the special case of $m=n$ reduces to the multiplication theorem.

Also on the same day, Cauchy (1812) presented one on the same subject. He used the word ‘determinant’ in its present sense. He gave the proof of multiplication theorem more satisfactory than Binet’s.

The greatest contributor to the theory was Carl Gustav Jacob Jacobi, after this the word determinant received its final acceptance.

All Mathematical truths are relative and conditional - C.P. STEINMETZ

4.1 भूमिका (Introduction)

पिछले अध्याय में, हमने आव्यूह और आव्यूहों के बीजगणित के विषय में अध्ययन किया है। हमने बीजगणितीय समीकरणों के निकाय को आव्यूहों के रूप में व्यक्त करना भी सीखा है। इसके अनुसार रैखिक समीकरणों के निकाय

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

यदि $\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq \frac{b _{1}}{b _{2}}$ या $a _{1} b _{2}-a _{2} b _{1} \neq 0$, हो तो समीकरणों के निकाय का हल अद्वितीय होता है को $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अब इन समीकरणों के निकाय का अद्वितीय हल है अथवा नहीं, इसको $a _{1} b _{2}-a _{2} b _{1}$ संख्या द्वारा ज्ञात किया जाता है। (स्मरण कीजिए कि

P.S. Laplace (1749-1827) यह संख्या $a _{1} b _{2}-a _{2} b _{1}$ जो समीकरणों के निकाय के अद्वितीय हल ज्ञात करती है, वह आव्यूह $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ से संबंधित है और इसे $\mathrm{A}$ का सारणिक या $\operatorname{det} \mathrm{A}$ कहते हैं। सारणिकों का इंजीनियरिंग, विज्ञान, अर्थशास्त्र, सामाजिक विज्ञान इत्यादि में विस्तृत अनुप्रयोग हैं।

इस अध्याय में, हम केवल वास्तविक प्रविष्टियों के 3 कोटि तक के सारणिकों पर विचार करेंगे। इस अध्याय में सारणिकों के गुण धर्म, उपसारणिक, सह-खण्ड और त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में सारणिकों का अनुप्रयोग, एक वर्ग आव्यूह के सहखंडज और व्युत्क्रम, रैखिक समीकरण के निकायों की संगतता और असंगतता और एक आव्यूह के व्युत्क्रम का प्रयोग कर दो अथवा तीन चरांकों के रैखिक समीकरणों के हल का अध्ययन करेंगे।

4.2 सारणिक (Determinant)

हम $n$ कोटि के प्रत्येक वर्ग आव्यूह $\mathrm{A}=\left|a _{i j}\right|$ को एक संख्या (वास्तविक या सम्मिश्र) द्वारा संबंधित करा सकते हैं जिसे वर्ग आव्यूह का सारणिक कहते हैं। इसे एक फलन की तरह सोचा जा सकता है जो प्रत्येक आव्यूह को एक अद्वितीय संख्या (वास्तविक या सम्मिश्र) से संबंधित करता है।

यदि $\mathrm{M}$ वर्ग आव्यूहों का समुच्चय है, $k$ सभी संख्याओं (वास्तविक या सम्मिश्र) का समुच्चय है और $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{K}, f(\mathrm{~A})=k$, के द्वारा परिभाषित है जहाँ $\mathrm{A} \in \mathrm{M}$ और $k \in \mathrm{K}$ तब $f(\mathrm{~A}), \mathrm{A}$ का सारणिक कहलाता है। इसे $|\mathrm{A}|$ या $\operatorname{det}(\mathrm{A})$ या $\Delta$ के द्वारा भी निरूपित किया जाता है।

यदि $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|$, तो $\mathrm{A}$ के सारणिक को $|\mathrm{A}|=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=\operatorname{det}(\mathrm{A})$ द्वारा लिखा जाता है।

टिप्पणी

(i) आव्यूह $\mathrm{A}$ के लिए, $|\mathrm{A}|$ को $\mathrm{A}$ का सारणिक पढ़ते हैं।

(ii) केवल वर्ग आव्यूहों के सारणिक होते हैं।

4.2.1 एक कोटि के आव्यूह का सारणिक (Determinant of a matrix of order one)

माना एक कोटि का आव्यूह $\mathrm{A}=[a]$ हो तो $\mathrm{A}$ के सारणिक को $a$ के बराबर परिभाषित किया जाता है।

4.2.2 द्वितीय कोटि के आव्यूह का सारणिक (Determinant of a matrix of order two)

$\text{माना}\qquad 2 \times 2 \text { कोटि का आव्यूह } \mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{array}\right| \text { है। } $

तो $\mathrm{A}$ के सारणिक को इस प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है:

$$ \operatorname{det}(\mathrm{A})=|\mathrm{A}|=\Delta=\left|\begin{array}{lll} a _{11} & & a _{12} \\ \mathrm{~A} _{21} & & a _{22} \end{array}\right|=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $$

उदाहरण 1 $\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ -1 & 2\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल $\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ -1 & 2\end{array}\right|=2(2)-4(-1)=4+4=8$

उदाहरण $2\left|\begin{array}{cc}x & x+1 \\ x-1 & x\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल

$\left|\begin{array}{cc}x & x+1 \\ x-1 & x\end{array}\right|=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-x^{2}+1=1$

4.2.3 $3 \times 3$ कोटि के आव्यूह का सारणिक (Determinant of a matrix of order $3 \times 3$ )

तृतीय कोटि के आव्यूह के सारणिक को द्वितीय कोटि के सारणिकों में व्यक्त करके ज्ञात किया जाता है। यह एक सारणिक का एक पंक्ति (या एक स्तंभ) के अनुदिश प्रसरण कहलाता है।

तृतीय कोटि के सारणिक को छः प्रकार से प्रसारित किया जाता है तीनों पंक्तियों $\left(\mathrm{R} _{1}, \mathrm{R} _{2}\right.$ तथा $\left.\mathrm{R} _{3}\right)$ में से प्रत्येक के संगत और तीनों स्तंभ $\left(\mathrm{C} _{1}, \mathrm{C} _{2}\right.$ तथा $\left.\mathrm{C} _{3}\right)$ में से प्रत्येक के संगत दर्शाए गए प्रसरण समान परिणाम देते हैं जैसा कि निम्नलिखित स्थितियों में स्पष्ट किया गया है।

वर्ग आव्यूह $\mathrm{A}=\left|a _{i j}\right| _{3 \times 3}$, के सारणिक पर विचार करते हैं।

जहाँ $\left\lvert\quad \mathrm{A}|=| \begin{array}{lll}a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33}\end{array} \right \rvert$

प्रथम पंक्ति $\left(\mathbf{R} _{1}\right)$ के अनुदिश प्रसरण

चरण $1 \mathrm{R} _{1}$ के पहले अवयव $a _{11}$ को $(-1)^{(1+1)}\left|(-1)^{a _{11} \text { में अनुलनगों का योग }}\right|$ और सारणिक $|\mathrm{A}|$ की पहली पंक्ति $\left(\mathrm{R} _{1}\right)$ तथा पहला स्तंभ $\left(\mathrm{C} _{1}\right)$ के अवयवों को हटाने से प्राप्त द्वितीय कोटि के सारणिक से गुणा कीजिए क्योंकि $a _{11}, \mathrm{R} _{1}$ और $\mathrm{C} _{1}$ में स्थित है

$\text{अर्थात्}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

चरण 2 क्योंकि $a _{12}, \mathrm{R} _{1}$ तथा $\mathrm{C} _{2}$ में स्थित है इसलिए $\mathrm{R} _{1}$ के दूसरे अवयव $a _{12}$ को $(-1)^{1+2}$ $\left|(-1)^{a _{12} \text { में अनुलनों का योग }}\right|$ और सारणिक । $\mathrm{A} \mid$ की पहली पंक्ति $\left(\mathrm{R} _{1}\right)$ व दूसरे स्तंभ $\left(\mathrm{C} _{2}\right)$ को हटाने से प्राप्त द्वितीय क्रम के सारणिक से गुणा कीजिए

अर्थात् $ (-1)^{1+2} a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| $

चरण 3 क्योंकि $a _{13}, \mathrm{R} _{1}$ तथा $\mathrm{C} _{3}$ में स्थित है इसलिए $\mathrm{R} _{1}$ के तीसरे अवयव को $(-1)^{1+3}$ $\left|(-1)^{a _{13} \text { में अनुलन्नों का योग }}\right|$ और सारणिक $|\mathrm{A}|$ की पहली पंक्ति $\left(\mathrm{R} _{1}\right)$ व तीसरे स्तंभ $\left(\mathrm{C} _{3}\right)$ को हटाने से प्राप्त तृतीय कोटि के सारणिक से गुणा कीजिए

अर्थात् $ (-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| $

चरण 4 अब $\mathrm{A}$ का सारणिक अर्थात् |A| के व्यंजक को उपरोक्त चरण 1,2 व 3 से प्राप्त तीनों पदों का योग करके लिखिए अर्थात्

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{या} \qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

टिप्पणी हम चारों चरणों का एक साथ प्रयोग करेंगे।

द्वितीय पंक्ति $\left(\mathbf{R} _{2}\right)$ के अनुदिश प्रसरण

$$ |\mathrm{A}|=\left|\begin{array}{lll} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ \boldsymbol{a} _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $$

$\mathrm{R} _{2}$ के अनुदिश प्रसरण करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{align*} |\mathrm{A}|= & (-1)^{2+1} a _{21}\left|\begin{array}{ll} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{2+2} a _{22}\left|\begin{array}{ll} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\left|\begin{array}{ll} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \\ = & -a _{21}\left(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13}\right)+a _{22}\left(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}\right) \\ & -a _{23}\left(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}\right) \\ |\mathrm{A}|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{2} \end{align*} $$

पहले स्तंभ $\left(\mathbf{C} _{1}\right)$ के अनुदिश प्रसरण

$$ |\mathrm{A}|=\left|\begin{array}{lll} \boldsymbol{a} _{11} & a _{12} & a _{13} \\ \boldsymbol{a} _{21} & a _{22} & a _{23} \\ \boldsymbol{a} _{31} & a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $$

$\mathrm{C} _{1}$, के अनुदिश प्रसरण करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{align*} |\mathrm{A}|= & a _{11}(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+a _{21}(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{ll} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{ll} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{array}\right| \\ = & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}\right)-a _{21}\left(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32}\right)+a _{31}\left(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}\right) \\ |\mathrm{A}|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{3} \end{align*} $$

$(1),(2)$ और (3) से स्पष्ट है कि $|\mathrm{A}|$ का मान समान है। यह पाठकों के अभ्यास के लिए छोड़ दिया गया है कि वे यह सत्यापित करें कि $|\mathrm{A}|$ का $\mathrm{R} _{3}, \mathrm{C} _{2}$ और $\mathrm{C} _{3}$ के अनुदिश प्रसरण (1), (2) और (3) से प्राप्त परिणामों के समान है।

अतः एक सारणिक को किसी भी पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश प्रसरण करने पर समान मान प्राप्त होता है।

टिप्पणी

(i) गणना को सरल करने के लिए हम सारणिक का उस पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश प्रसरण करेंगे जिसमें शून्यों की संख्या अधिकतम होती है।

(ii) सारणिकों का प्रसरण करते समय $(-1)^{i+j}$ से गुणा करने के स्थान पर, हम $(i+j)$ के सम या विषम होने के अनुसार +1 या -1 से गुणा कर सकते हैं।

(iii) मान लीजिए $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 4 & 0\end{array}\right|$ और $\mathrm{B}=\left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right|$ तो यह सिद्ध करना सरल है कि $ \mathrm{A}=2 \mathrm{~B} \text {. किंतु }|\mathrm{A}|=0-8=-8 \text { और }|\mathrm{B}|=0-2=-2 \text { है। } $

अवलोकन कीजिए कि $|\mathrm{A}|=4(-2)=2^{2}|\mathrm{~B}|$ या $|\mathrm{A}|=2^{n}|\mathrm{~B}|$, जहाँ $n=2$, वर्ग आव्यूहों $\mathrm{A}$ व $\mathrm{B}$ की कोटि है।

व्यापक रूप में, यदि $\mathrm{A}=k \mathrm{~B}$, जहाँ $\mathrm{A}$ व $\mathrm{B}$ वर्ग आव्यूहों की कोटि $n$ है, तब $|\mathrm{A}|=k^{n}|\mathrm{~B}|$, जहाँ $n=1,2,3$ है।

उदाहरण 3 सारणिक $\Delta=\left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल ध्यान दीजिए कि तीसरे स्तंभ में दो प्रविष्टियाँ शून्य हैं। इसलिए तीसरे स्तंभ $\left(\mathrm{C} _{3}\right)$ के अनुदिश प्रसरण करने पर हमें प्राप्त होता है कि

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\left|\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{array}\right|+0\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array}\right| \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

उदाहरण 4 $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल $\mathrm{R} _{1}$ के अनुदिश प्रसरण करने पर हमें प्राप्त होता है कि

$$ \begin{aligned} \Delta & =0\left|\begin{array}{cc} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{array}\right|-\sin \alpha\left|\begin{array}{cc} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{array}\right|-\cos \alpha\left|\begin{array}{cc} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{array}\right| \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $$

उदाहरण 5 यदि $\left|\begin{array}{ll}3 & x \\ x & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right|$ तो $x$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल दिया है कि $\left|\begin{array}{ll}3 & x \\ x & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right|$

$\text{अर्थात्}\qquad \begin{aligned} 3-x^{2} & =3-8 \end{aligned} $

$\text{अर्थात्}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

$\text{अत:}\qquad \begin{aligned} x & = \pm 2 \sqrt{2} \end{aligned} $

प्रश्नावली 4.1

प्रश्न 1 से 2 तक में सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए

1. $\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ -5 & -1\end{array}\right|$

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2. (i) $\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right|$ (ii) $\left|\begin{array}{cc}x^{2}-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1\end{array}\right|$

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3. यदि $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 2\end{array}\right|$, तो दिखाइए $|2 \mathrm{~A}|=4|\mathrm{~A}|$

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4. यदि $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right|$ हो, तो दिखाइए $|3 \mathrm{~A}|=27|\mathrm{~A}|$

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5. निम्नलिखित सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए

(i) $\begin{vmatrix}3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{vmatrix}\quad\quad \quad\quad$ (ii) $\begin{vmatrix}3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1\end{vmatrix}$

(iii) $\begin{vmatrix}0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0\end{vmatrix}\quad\quad \quad\quad$ (iv) $\begin{vmatrix}2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{vmatrix}$

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6. यदि $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 4 & 9\end{array}\right|$, हो तो $|\mathrm{A}|$ ज्ञात कीजिए।

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7. $x$ के मान ज्ञात कीजिए यदि

(i) $\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 5 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}2 x & 4 \\ 6 & x\end{array}\right|$ (ii) $\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}x & 3 \\ 2 x & 5\end{array}\right|$

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8. यदि $\left|\begin{array}{cc}x & 2 \\ 18 & x\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}6 & 2 \\ 18 & 6\end{array}\right|$ हो तो $x$ बराबर है:

(A) 6

(B) $\pm 6$

(C) -6

(D) 0

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4.3 त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle)

हमने पिछली कक्षाओं में सीखा है कि एक त्रिभुज जिसके शीर्षबिंदु $\left(x _{1}, y _{1}\right),\left(x _{2}, y _{2}\right)$ तथा $\left(x _{3}, y _{3}\right)$, हों तो उसका क्षेत्रफल व्यंजक $\frac{1}{2}\left|x _{1}\left(y _{2}-y _{3}\right)+x _{2}\left(y _{3}-y _{1}\right)+x _{3}\left(y _{1}-y _{2}\right)\right|$ द्वारा व्यक्त किया जाता है। अब इस व्यंजक को सारणिक के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \tag{1}\\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

टिप्पणी

(i) क्योंकि क्षेत्रफल एक धनात्मक राशि होती है इसलिए हम सदैव (1) में सारणिक का निरपेक्ष मान लेते हैं।

(ii) यदि क्षेत्रफल दिया हो तो गणना के लिए सारणिक का धनात्मक और ॠणात्मक दोनों मानों का प्रयोग कीजिए।

(iii) तीन संरेख बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।

उदाहरण 6 एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(3,8),(-4,2)$ और $(5,1)$ हैं।

हल त्रिभुज का क्षेत्रफल:

$$ \begin{aligned} \Delta & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right|=\frac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \\ & =\frac{1}{2}(3+72-14)=\frac{61}{2} \end{aligned} $$

उदाहरण 7 सारणिकों का प्रयोग करके $\mathrm{A}(1,3)$ और $\mathrm{B}(0,0)$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए और $k$ का मान ज्ञात कीजिए यदि एक बिंदु $\mathrm{D}(k, 0)$ इस प्रकार है कि $\triangle \mathrm{ABD}$ का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है।

हल मान लीजिए $\mathrm{AB}$ पर कोई बिंदु $\mathrm{P}(x, y)$ है तब $\Delta \mathrm{ABP}$ का क्षेत्रफल $=0$ (क्यों?)

$\text{अर्थात्}\qquad \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right|=0 $

$\text{इससे प्राप्त है}\qquad \frac{1}{2}(y-3 x)=0 \text { या } y=3 x $

जो अभीष्ट रेखा $\mathrm{AB}$ का समीकरण है।

किंतु $\triangle \mathrm{ABD}$ का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई दिया है अत:

$$ \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{array}\right|= \pm 3 \text { हमें प्राप्त है } \frac{-3 k}{2}= \pm 3 \text {, i.e., } k=2 $$

प्रश्नावली 4.2

1. निम्नलिखित प्रत्येक में दिए गए शीर्ष बिंदुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(i) $(1,0),(6,0),(4,3)$

(ii) $(2,7),(1,1),(10,8)$

(iii) $(-2,-3),(3,2),(-1,-8)$

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2. दर्शाइए कि बिंदु $\mathrm{A}(a, b+c), \mathrm{B}(b, c+a)$ और $\mathrm{C}(c, a+b)$ संरेख हैं।

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3. प्रत्येक में $k$ का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है जहाँ शीर्षबिंदु निम्नलिखित हैं:

(i) $(k, 0),(4,0),(0,2)$

(ii) $(-2,0),(0,4),(0, k)$

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4. (i) सारणिकों का प्रयोग करके $(1,2)$ और $(3,6)$ को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

(ii) सारणिकों का प्रयोग करके $(3,1)$ और $(9,3)$ को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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5. यदि शीर्ष $(2,-6),(5,4)$ और $(k, 4)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई हो तो $k$ का मान है:

(A) 12

(B) -2

(C) $-12,-2$

(D) $12,-2$

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4.4 उपसारणिक और सहखंड (Minor and Co-factor)

इस अनुच्छेद में हम उपसारणिकों और सहखंडों का प्रयोग करके सारणिको के प्रसरण का विस्तृत रूप लिखना सीखेंगे।

परिभाषा 1 सारणिक के अवयव $a _{i j}$ का उपसारणिक एक सारणिक है जो $i$ वी पंक्ति और $j$ वाँ स्तंभ जिसमें अवयव $a _{i j}$ स्थित है, को हटाने से प्राप्त होता है। अवयव $a _{i j}$ के उपसारणिक को $\mathrm{M} _{i j}$ के द्वारा व्यक्त करते हैं।

टिप्पणी $n(n \geq 2)$ क्रम के सारणिक के अवयव का उपसारणिक $n-1$ क्रम का सारणिक होता है।

उदाहरण 8 सारणिक $\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right|$ में अवयव 6 का उपसारणिक ज्ञात कीजिए।

हल क्योंकि 6 दूसरी पंक्ति एवं तृतीय स्तंभ में स्थित है। इसलिए इसका उपसारिणक $=\mathrm{M} _{23}$ निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होता है।

$$ \mathrm{M} _{23}=\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array}\right|=8-14=-6\left(\Delta \text { से } \mathrm{R} _{2} \text { और } \mathrm{C} _{3}\right. \text { हटाने पर) } $$

परिभाषा 2 एक अवयव $a _{i j}$ का सहखंड जिसे $\mathrm{A} _{i j}$ द्वारा व्यक्त करते हैं, जहाँ

$ \mathrm{A} _{i j}=(-1)^{i+j} \mathbf{M} _{i j} $ के द्वारा परिभाषित करते हैं जहाँ $a _{i j}$ का उपसारणिक $\mathrm{M} _{i j}$ है।

उदाहरण 9 सारणिक $\left|\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 4 & 3\end{array}\right|$ के सभी अवयवों के उपसारणिक व सहखंड ज्ञात कीजिए।

हल अवयव $a _{i j}$ का उपसारणिक $\mathrm{M} _{i j}$ है।

यहाँ $a _{11}=1$, इसलिए $\mathrm{M} _{11}=a _{11}$ का उपसारणिक $=3$

$$ \begin{aligned} & \mathrm{M} _{12}=\text { अवयव } a _{12} \text { का उपसारणिक }=4 \\ & \mathrm{M} _{21}=\text { अवयव } a _{21} \text { का उपसारणिक }=-2 \\ & \mathrm{M} _{22}=\text { अवयव } a _{22} \text { का उपसारणिक }=1 \end{aligned} $$

अब $a _{i j}$ का सहखंड $\mathrm{A} _{i j}$ है। इसलिए

$$ \begin{aligned} & A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=(-1)^{2}(3)=3 \\ & A _{12}=(-1)^{1+2} \quad M _{12}=(-1)^{3}(4)=-4 \\ & A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)^{3}(-2)=2 \\ & A _{22}=(-1)^{2+2} \quad M _{22}=(-1)^{4}(1)=1 \end{aligned} $$

उदाहरण $10 \quad \Delta=\left|\begin{array}{lll}a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33}\end{array}\right|$ के अवयवों $a _{11}$ तथा $a _{21}$ के उपसारणिक और सहखंड ज्ञात कीजिए।

हल उपसारणिक और सहखंड की परिभाषा द्वारा हम पाते हैं:

$$ \begin{aligned} & a _{11} \text { का उपसारणिक }=\mathrm{M} _{11}=\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32} \\ & a _{11} \text { का सहखंड }=\mathrm{A} _{11}=(-1)^{1+1} \quad \mathrm{M} _{11}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32} \\ & a _{21} \text { का उपसारणिक }=\mathrm{M} _{21}=\left|\begin{array}{ll} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|=a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32} \\ & a _{21} \text { का सहखंड }=\mathrm{A} _{21}=(-1)^{2+1} \quad \mathrm{M} _{21}=(-1)\left(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32}\right)=-a _{12} a _{33}+a _{13} a _{32} \end{aligned} $$

टिप्पणी उदाहरण 21 में सारणिक $\Delta$ का $\mathrm{R} _{1}$ के सापेक्ष प्रसरण करने पर हम पाते हैं कि

$$ \begin{aligned} \Delta & =(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \\ & =a _{11} \mathrm{~A} _{11}+a _{12} \mathrm{~A} _{12}+a _{13} \mathrm{~A} _{13} \text {, जहाँ } a _{i j} \text { का सहखंड } \mathrm{A} _{i j} \text { हैं। } \\ & =\mathrm{R} _{1} \text { के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफल का योग। } \end{aligned} $$

इसी प्रकार $\Delta$ का $\mathrm{R} _{2}, \mathrm{R} _{3}, \mathrm{C} _{1}, \mathrm{C} _{2}$ और $\mathrm{C} _{3}$ के अनुदिश 5 प्रसरण अन्य प्रकार से हैं।

अतः सारणिक $\Delta$, किसी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफल का योग है।

टिप्पणी यदि एक पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों को अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के सहखंडों से गुणा किया जाए तो उनका योग शून्य होता है। उदाहरणतया, माना $\Delta=a _{11} \mathrm{~A} _{21}+a _{12} \mathrm{~A} _{22}$ $+a _{13} \mathrm{~A} _{23}$ तब:

$ \begin{aligned} \Delta & =a _{11}(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+a _{12}(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right|+a _{13}(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ll} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \\ & =\left|\begin{array}{lll} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{array}\right|=0\left(\text { क्योंकि } \mathrm{R} _{1} \text { और } \mathrm>{R} _{2} \text { समान हैं }\right) \end{aligned} $

इसी प्रकार हम अन्य पंक्तियों और स्तंभों के लिए प्रयत्न कर सकते हैं।

उदाहरण 11 सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7\end{array}\right|$ के अवयवों के उपसारणिक और सहखंड ज्ञात कीजिए और

सत्यापित कीजिए कि $a _{11} \mathrm{~A} _{31}+a _{12} \mathrm{~A} _{32}+a _{13} \mathrm{~A} _{33}=0$ है।

हल यहाँ $M _{11}=\begin{vmatrix}0 & 4 \\ 5 & -7\end{vmatrix}=0-20=-20 ; A _{11}=(-1)^{1+1}(-20)=-20$

$M _{12}=\begin{vmatrix}6 & 4 \\ 1 & -7\end{vmatrix}=-42-4=-46 ;$ $ A _{12}=(-1)^{1+2}(-46)=46$

$M _{13}=\begin{vmatrix}6 & 0 \\ 1 & 5\end{vmatrix}=30-0=30 ; $ $ A _{13}=(-1)^{1+3}(30)=30$

$M _{21}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 5 & -7\end{vmatrix}=21-25=-4 ;$ $ A _{21}=(-1)^{2+1}(-4)=4$

$M _{22}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 1 & -7\end{vmatrix}=-14-5=-19 ; $ $ A _{22}=(-1)^{2+2}(-19)=-19$

$M _{23}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 1 & 5\end{vmatrix}=10+3=13 ;$ $ A _{23}=(-1)^{2+3}(13)=-13$

$M _{31}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 0 & 4\end{vmatrix}=-12-0=-12 ; $ $ A _{31}=(-1)^{3+1}(-12)=-12$

$M _{32}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 6 & 4\end{vmatrix}=8-30=-22 ; $ $ A _{32}=(-1)^{3+2}(-22)=22$

और $\quad M _{33}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 6 & 0\end{vmatrix}=0+18=18 ; $ $ A _{33}=(-1)^{3+3}(18)=18$

अब $a _{11}=2, a _{12}=-3, a _{13}=5 \text {; तथा } \mathrm{A} _{31}=-12, \mathrm{~A} _{32}=22, \mathrm{~A} _{33}=18 \text { है। }$

$\quad a _{11} \mathrm{~A} _{31}+a _{12} \mathrm{~A} _{32}+a _{13} \mathrm{~A} _{33}$

$ =2(-12)+(-3)(22)+5(18)=-24-66+90=0 $

प्रश्नावली 4.3

निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखंड लिखिए।

1. (i) $\begin{vmatrix}2 & -4 \\ 0 & 3\end{vmatrix}$

(ii) $\begin{vmatrix}a & c \\ b & d\end{vmatrix}$

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2. (i) $\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}$

(ii) $\begin{vmatrix}1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2\end{vmatrix}$

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3. दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके $\Delta=\left|\begin{array}{lll}5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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4. तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके $\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & x & y z \\ 1 & y & z x \\ 1 & z & x y\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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5. यदि $\Delta=\left|\begin{array}{lll}a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33}\end{array}\right|$ और $a _{i j}$ का सहखंड $\mathrm{A} _{i j}$ हो तो $\Delta$ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:

(A) $a _{11} \mathrm{~A} _{31}+a _{12} \mathrm{~A} _{32}+a _{13} \mathrm{~A} _{33}$

(B) $a _{11} \mathrm{~A} _{11}+a _{12} \mathrm{~A} _{21}+a _{13} \mathrm{~A} _{31}$

(C) $a _{21} \mathrm{~A} _{11}+a _{22} \mathrm{~A} _{12}+a _{23} \mathrm{~A} _{13}$

(D) $a _{11} \mathrm{~A} _{11}+a _{21} \mathrm{~A} _{21}+a _{31} \mathrm{~A} _{31}$

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4.5 आव्यूह के सहखंडज और व्युत्क्रम (Adjoint and Inverse of a Matrix)

पिछले अध्याय में हमने एक आव्यूह के व्युत्क्रम का अध्ययन किया है। इस अनुच्छेद में हम एक आव्यूह के व्युत्क्रम के अस्तित्व के लिए शर्तों की भी व्याख्या करेंगे।

$\mathrm{A}^{-1}$ ज्ञात करने के लिए पहले हम एक आव्यूह का सहखंडज परिभाषित करेंगे।

4.5.1 आव्यूह का सहखंडज (Adjoint of a matrix)

परिभाषा 3 एक वर्ग आव्यूह $\mathrm{A}=\left|a _{i j}\right|$ का सहखंडज, आव्यूह $\left|\mathrm{A} _{i j}\right|$ के परिवर्त के रूप में परिभाषित है, जहाँ $\mathrm{A} _{i j}$, अवयव $a _{i j}$ का सहखंड है। आव्यूह $\mathrm{A}$ के सहखंडज को $\operatorname{adj} \mathrm{A}$ के द्वारा व्यक्त करते हैं।

मान लीजिए $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll}a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33}\end{array}\right|$ है।

तब का परिवर्त $\quad adj A=$ Transpose of $\begin{vmatrix}A _{11} & A _{12} & A _{13} \\ A _{21} & A _{22} & A _{23} \\ A _{31} & A _{32} & A _{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A _{11} & A _{21} & A _{31} \\ A _{12} & A _{22} & A _{32} \\ A _{13} & A _{23} & A _{33}\end{vmatrix}$

उदाहरण 12 आव्यूह $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 4\end{array}\right|$ का सहखंडज ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि $\mathrm{A} _{11}=4, \mathrm{~A} _{12}=-1, \mathrm{~A} _{21}=-3, \mathrm{~A} _{22}=2$

$\text{अत:}\qquad \operatorname{adj} \mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll} \mathrm{A} _{11} & \mathrm{~A} _{21} \\ \mathrm{~A} _{12} & \mathrm{~A} _{22} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right| $

टिप्पणी $2 \times 2$ कोटि के वर्ग आव्यूह $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll}a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22}\end{array}\right|$ का सहखंडज $\operatorname{adj} \mathrm{A}, a _{11}$ और $a _{22}$ को परस्पर बदलने एवं $a _{12}$ और $a _{21}$ के चिह्न परिवर्तित कर देने से भी प्राप्त किया जा सकता है जैसा नीचे दर्शाया गया है।

हम बिना उपपत्ति के निम्नलिखित प्रमेय निर्दिष्ट करते हैं।

प्रमेय 1 यदि $\mathrm{A}$ कोई $n$ कोटि का आव्यूह है तो, $\mathrm{A}(\operatorname{adj} \mathrm{A})=(\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{A}=|\mathrm{A}| \mathrm{I}$, जहाँ $\mathrm{I}, n$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।

सत्यापन: मान लीजिए

$$ \mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{array}\right|, \text { है तब } \operatorname{adj} \mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll} \mathrm{A} _{11} & \mathrm{~A} _{21} & \mathrm{~A} _{31} \\ \mathrm{~A} _{12} & \mathrm{~A} _{22} & \mathrm{~A} _{32} \\ \mathrm{~A} _{13} & \mathrm{~A} _{23} & \mathrm{~A} _{33} \end{array}\right| $$

क्योंकि एक पंक्ति या स्तंभ के अवयवों का संगत सहखंडों की गुणा का योग $|\mathrm{A}|$ के समान होता है अन्यथा शून्य होता है।

$\text{इस प्रकार}\qquad \mathrm{A}(\operatorname{adj} \mathrm{A})=\left|\begin{array}{ccc} |\mathrm{A}| & 0 & 0 \\ 0 & |\mathrm{~A}| & 0 \\ 0 & 0 & |\mathrm{~A}| \end{array}\right|=|\mathrm{A}|\left|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|=|\mathrm{A}| \mathrm{I} $

इसी प्रकार, हम दर्शा सकते हैं कि $(\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{A}=|\mathrm{A}| \mathrm{I}$

$$\text{अत:}\qquad \mathrm{A}(\operatorname{adj} \mathrm{A})=(\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{A}=|\mathrm{A}| \mathrm{I} \text { सत्यापित है। } $$

परिभाषा 4 एक वर्ग आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (singular) कहलाता है यदि $|A|=0$ है।

उदाहरण के लिए आव्यूह $A=\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 8\end{array}\right|$ का सारणिक शून्य है। अतः $A$ अव्युत्क्रमणीय है।

परिभाषा 5 एक वर्ग आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) कहलाता है यदि $|A| \neq 0$

मान लीजिए $ A=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$ हो तो $|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=4-6=-2 \neq 0 $ है।

अतः $\mathrm{A}$ व्युत्क्रमणीय है।

हम निम्नलिखित प्रमेय बिना उपपत्ति के निर्दिष्ट कर रहे हैं।

प्रमेय 2 यदि $A$ तथा $B$ दोनों एक ही कोटि के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हों तो $A B$ तथा $B A$ भी उसी कोटि के व्युत्क्रमणीय आव्यूह होते हैं।

प्रमेय 3 आव्यूहों के गुणनफल का सारणिक उनके क्रमशः सारणिकों के गुणनफल के समान होता है अर्थात् $|\mathrm{AB}|=|\mathrm{A}||\mathrm{B}|$, जहाँ $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{B}$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं।

टिप्पणी हम जानते हैं कि $ (\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{A}=|\mathrm{A}| \mathrm{I} = \begin{vmatrix}|A| & 0 & 0\\0 & |A| & 0\\ 0 & 0 & |A|\end{vmatrix}$

दोनों ओर आव्यूहों का सारणिक लेने पर,

$$ |(\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{A}|=\begin{vmatrix} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{vmatrix} $$

$$\left.|(\operatorname{adj} \mathrm{A})| \mathrm{A}|=| \mathrm{A}\right|^{3}\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$$

$$ \begin{equation*} \left.|(\operatorname{adj} \mathrm{A})| \mathrm{A}|=| \mathrm{A}\right|^{3} \tag{1} \end{equation*} $$

$$ |(\operatorname{adj} \mathrm{A})|=|\mathrm{A}|^{2} $$

व्यापक रुप से, यदि $n$ कोटि का एक वर्ग आव्यूह $\mathrm{A}$ हो तो $|\operatorname{adj} \mathrm{A}|=|\mathrm{A}|^{n-1}$ होगा।

प्रमेय 4 एक वर्ग आव्यूह $A$ के व्युत्क्रम का अस्तित्व है, यदि और केवल यदि $A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है। उपपत्ति मान लीजिए $n$ कोटि का व्युत्क्रमणीय आव्यूह $\mathrm{A}$ है और $n$ कोटि का तत्समक आव्यूह $\mathrm{I}$ है। तब $n$ कोटि के एक वर्ग आव्यूह $\mathrm{B}$ का अस्तित्व इस प्रकार हो ताकि $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}=\mathrm{I}$ अब $\mathrm{AB}=\mathrm{I}$ है तो $|\mathrm{AB}|=|\mathrm{I}|$ या $|\mathrm{A}||\mathrm{B}|=1$ (क्योंकि $|\mathrm{I}|=1,|\mathrm{AB}|=|\mathrm{A}||\mathrm{B}|$ ) इससे प्राप्त होता है $|A| \neq 0$. अतः $A$ व्युत्क्रमणीय है।

विलोमतः मान लीजिए $\mathrm{A}$ व्युत्क्रमणीय है। तब $|\mathrm{A}| \neq 0$

अब $\mathrm{A}(\operatorname{adj} \mathrm{A})=(\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{A}=|\mathrm{A}| \mathrm{I}$

$$\text{या}\qquad \mathrm{A}\left(\frac{1}{|\mathrm{~A}|} \operatorname{adj} \mathrm{A}\right)=\left(\frac{1}{|\mathrm{~A}|} \operatorname{adj} \mathrm{A}\right) \mathrm{A}=\mathrm{I} \text{(प्रमेय 1)} $$

$$\text{या}\qquad \mathrm{AB}=\mathrm{BA}=\mathrm{I} \text {, जहाँ } \mathrm{B}=\frac{1}{|\mathrm{~A}|} \text { adj } \mathrm{A} $$

अतः $\qquad \mathrm{A}$ के व्युत्क्रम का अस्तित्व है और $\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{~A}|} \operatorname{adj} \mathrm{A}$

उदाहरण 13 यदि $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll}1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4\end{array}\right|$ हो तो सत्यापित कीजिए कि $\mathrm{A} \cdot \operatorname{adj} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|$. I और $\mathrm{A}^{-1}$ ज्ञात कीजिए।

हल हम पाते हैं कि $|\mathrm{A}|=1(16-9)-3(4-3)+3(3-4)=1 \neq 0$

अब $\mathrm{A} _{11}=7, \mathrm{~A} _{12}=-1, \mathrm{~A} _{13}=-1, \mathrm{~A} _{21}=-3, \mathrm{~A} _{22}=1, \mathrm{~A} _{23}=0, \mathrm{~A} _{31}=-3, \mathrm{~A} _{32}=0, \mathrm{~A} _{33}=1$

$$\text{ इसलिए }\qquad \operatorname{adj} \mathrm{A}=\left|\begin{array}{ccc} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right| $$

$$\text{ अब }\qquad \begin{aligned} \text { A. }(\operatorname{adj} \mathrm{A}) & =\left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right| \\ & =\left|\begin{array}{ccc} 7-3-3 & -3+3+0 & -3+0+3 \\ 7-4-3 & -3+4+0 & -3+0+3 \\ 7-3-4 & -3+3+0 & -3+0+4 \end{array}\right| \\ & =\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|=(1)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|=|\mathrm{A}| . \mathrm{I} \\ \mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{~A}|} \cdot \operatorname{adj} \mathrm{A} & =\frac{1}{1}\left|\begin{array}{ccc} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right| \end{aligned} $$

उदाहरण 14 यदि $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & -4\end{array}\right|, \mathrm{B}=\left|\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right|$, तो सत्यापित कीजिए कि $(\mathrm{AB})^{-1}=\mathrm{B}^{-1} \mathrm{~A}^{-1}$ है।

हल हम जानते हैं कि $\mathrm{AB}=\left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & -4\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-1 & 5 \\ 5 & -14\end{array}\right|$

क्योंकि $|\mathrm{AB}|=-11 \neq 0,(\mathrm{AB})^{-1}$ का अस्तित्व है और इसे निम्नलिखित प्रकार से व्यक्त किया जाता है।

$$ (\mathrm{AB})^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{AB}|} \cdot \operatorname{adj}(\mathrm{AB})=-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cc} -14 & -5 \\ -5 & -1 \end{array}\right|=\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cc} 14 & 5 \\ 5 & 1 \end{array}\right| $$

और $|\mathrm{A}|=-11 \neq 0$ व $|\mathrm{B}|=1 \neq 0$. इसलिए $\mathrm{A}^{-1}$ और $\mathrm{B}^{-1}$ दोनों का अस्तित्व है और जिसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$$ \mathrm{A}^{-1}=-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cc} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right|, \mathrm{B}^{-1}=\left|\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right| $$

$\text{इसलिए}\qquad \mathrm{B}^{-1} \mathrm{~A}^{-1}=-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right|=-\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cc} -14 & -5 \\ -5 & -1 \end{array}\right|=\frac{1}{11}\left|\begin{array}{cc} 14 & 5 \\ 5 & 1 \end{array}\right| $

अत: $\qquad (\mathrm{AB})^{-1}=\mathrm{B}^{-1} \mathrm{~A}^{-1} \text { है। }$

उदाहरण 15 प्रदर्शित कीजिए कि आव्यूह $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right|$ समीकरण $\mathrm{A}^{2}-4 \mathrm{~A}+\mathrm{I}=\mathrm{O}$, जहाँ $\mathrm{I}$ $2 \times 2$ कोटि का एक तत्समक आव्यूह है और $\mathrm{O}, 2 \times 2$ कोटि का एक शून्य आव्यूह है। इसकी सहायता से $\mathrm{A}^{-1}$ ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि $\mathrm{A}^{2}=\mathrm{A} . \mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right|\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lc}7 & 12 \\ 4 & 7\end{array}\right|$

अतः $ \mathrm{A}^{2}-4 \mathrm{~A}+\mathrm{I}=\left|\begin{array}{cc} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc} 8 & 12 \\ 4 & 8 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right|=\mathrm{O} $

अब $\qquad \mathrm{A}^{2}-4 \mathrm{~A}+\mathrm{I}=\mathrm{O}$

इसलिए $\qquad A A-4 A=-I$

या $\qquad \mathrm{A} \mathrm{A}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)-4 \mathrm{AA}^{-1}=-\mathrm{IA}^{-1}$ (दोनों ओर $\mathrm{A}^{-1}$ से उत्तर गुणन द्वारा क्योंकि $|\mathrm{A}| \neq 0$ )

$$ \mathrm{A}\left(\mathrm{AA}^{-1}\right)-4 \mathrm{I}=-\mathrm{A}^{-1} $$

या $\qquad \mathrm{AI}-4 \mathrm{I}=-\mathrm{A}^{-1}$

$$\text{या}\qquad \mathrm{A}^{-1}=4 \mathrm{I}-\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right|-\left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right| $$

$\text{ अतः }\qquad A^{-1}=\left|\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right| $

प्रश्नावली 4.4

प्रश्न 1 और 2 में प्रत्येक आव्यूह का सहखंडज (adjoint) ज्ञात कीजिए

1. $\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right|$

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2. $\left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right|$ प्रश्न 3 और 4 में सत्यापित कीजिए कि $\mathrm{A}(\operatorname{adj} \mathrm{A})=(\operatorname{adj} \mathrm{A}) . \mathrm{A}=|\mathrm{A}| . \mathrm{I}$ है।

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3. $\left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -4 & -6\end{array}\right|$

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4. $\left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right|$

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प्रश्न 5 से 11 में दिए गए प्रत्येक आव्यूहों के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।

5. $\left|\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 4 & 3\end{array}\right|$

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6. $\left|\begin{array}{ll}-1 & 5 \\ -3 & 2\end{array}\right|$

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7. $\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right|$

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8. $\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\right|$

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9. $\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1\end{array}\right|$

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10. $\left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4\end{array}\right|$

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11. $\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & -\cos \alpha\end{array}\right|$

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12. यदि $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll}3 & 7 \\ 2 & 5\end{array}\right|$ और $\mathrm{B}=\left|\begin{array}{ll}6 & 8 \\ 7 & 9\end{array}\right|$ है तो सत्यापित कीजिए कि $(\mathrm{AB})^{-1}=\mathrm{B}^{-1} \mathrm{~A}^{-1}$ है।

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13. यदि $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{cc}3 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right|$ है तो दर्शाइए कि $\mathrm{A}^{2}-5 \mathrm{~A}+7 \mathrm{I}=\mathrm{O}$ है इसकी सहायता से $\mathrm{A}^{-1}$ ज्ञात कीजिए।

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14. आव्यूह $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right|$ के लिए $a$ और $b$ ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि $\mathrm{A}^{2}+a \mathrm{~A}+b \mathrm{I}=\mathrm{O}$ हो।

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15. आव्यूह $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right|$ के लिए दर्शाइए कि $\mathrm{A}^{3}-6 \mathrm{~A}^{2}+5 \mathrm{~A}+11 \mathrm{I}=\mathrm{O}$ है।

इसकी सहायता से $\mathrm{A}^{-1}$ ज्ञात कीजिए।

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16. यदि $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right|$, तो सत्यापित कीजिए कि

$\mathrm{A}^{3}-6 \mathrm{~A}^{2}+9 \mathrm{~A}-4 \mathrm{I}=\mathrm{O}$ है तथा इसकी सहायता से $\mathrm{A}^{-1}$ ज्ञात कीजिए।

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17. यदि $\mathrm{A}, 3 \times 3$ कोटि का वर्ग आव्यूह है तो $|\operatorname{adj} \mathrm{A}|$ का मान है:

(A) $|\mathrm{A}|$

(B) $|\mathrm{A}|^{2}$

(C) $|\mathrm{A}|^{3}$

(D) $3|\mathrm{~A}|$

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18. यदि $\mathrm{A}$ कोटि दो का व्युत्क्रमीय आव्यूह है तो $\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)$ बराबर:

(A) $\operatorname{det}(\mathrm{A})$

(B) $\frac{1}{\operatorname{det}(\mathrm{A})}$

(C) 1

(D) 0

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4.6 सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग ( Applications of Determinants and

Matrices)इस अनुच्छेद में हम दो या तीन अज्ञात राशियों के रैखिक समीकरण निकाय के हल और रैखिक समीकरणों के निकाय की संगतता की जाँच में सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोगों का वर्णन करेंगे। संगत निकायः निकाय संगत कहलाता है यदि इसके हलों (एक या अधिक) का अस्तित्व होता है। असंगत निकाय: निकाय असंगत कहलाता है यदि इसके किसी भी हल का अस्तित्व नहीं होता है।

टिप्पणी इस अध्याय में हम अद्वितीय हल के समीकरण निकाय तक सीमित रहेंगे।

4.6.1 आव्यूह के व्युत्क्रम द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय का हल (Solution of a system of linear equations using inverse of a matrix)

आइए हम रैखिक समीकरणों के निकाय को आव्यूह समीकरण के रूप में व्यक्त करते हैं और आव्यूह के व्युत्क्रम का प्रयोग करके उसे हल करते हैं। निम्नलिखित समीकरण निकाय पर विचार कीजिए

$$ \begin{aligned} & a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\ & a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\ & a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \end{aligned} $$

मान लीजिए $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll}a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2} \\ a _{3} & b _{3} & c _{3}\end{array}\right|, \mathrm{X}=\left|\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right|$ और $\mathrm{B}=\left|\begin{array}{l}d _{1} \\ d _{2} \\ d _{3}\end{array}\right|$

तब समीकरण निकाय $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ के रूप में निम्नलिखित प्रकार से व्यक्त की जा सकती है।

$$ \left|\begin{array}{lll} a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2} \\ a _{3} & b _{3} & c _{3} \end{array}\right|\left|\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right|=\left|\begin{array}{l} d _{1} \\ d _{2} \\ d _{3} \end{array}\right| $$

स्थिति 1 यदि $\mathrm{A}$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तब इसके व्युत्क्रम का अस्तित्व है। अतः $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ से हम पाते हैं कि

$ \begin{aligned} \mathrm{A}^{-1}(\mathrm{AX}) & =\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B} \\ \text{ या }\qquad \left(\mathrm{~A}^{-1} \mathrm{~A}\right) \mathrm{X} & =\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B} \\ \text{ या }\qquad \mathrm{IX} & =\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B} \\ \mathrm{X} & =\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B} \end{aligned} $

यह आव्यूह समीकरण दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल प्रदान करता है क्योंकि एक आव्यूह का व्युत्क्रम अद्वितीय होता है। समीकरणों के निकाय के हल करने की यह विधि आव्यूह विधि कहलाती है।

स्थिति 2 यदि $\mathrm{A}$ एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तब $|\mathrm{A}|=0$ होता है।

इस स्थिति में हम $(\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{B}$ ज्ञात करते हैं।

यदि $(\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{B} \neq \mathrm{O},(\mathrm{O}$ शून्य आव्यूह है), तब कोई हल नहीं होता है और समीकरण निकाय असंगत कहलाती है।

यदि $(\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{B}=\mathrm{O}$, तब निकाय संगत या असंगत होगी क्योंकि निकाय के अनंत हल होंगे या कोई भी हल नहीं होगा।

उदाहरण 16 निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए:

$$ \begin{aligned} & 2 x+5 y=1 \\ & 3 x+2 y=7 \end{aligned} $$

हल समीकरण निकाय $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ

$$ \mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 3 & 2 \end{array}\right|, \mathrm{X}=\left|\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right| \text { और } \mathrm{B}=\left|\begin{array}{l} 1 \\ 7 \end{array}\right| $$

अब, $|\mathrm{A}|=-11 \neq 0$, अतः $\mathrm{A}$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है इसलिए इसके व्युत्क्रम का अस्तित्व है। और इसका एक अद्वितीय हल है।

$$\text{ ध्यान दें कि }\qquad \begin{aligned}A^{-1} & =-\frac{1}{11} \begin{vmatrix} 2 & -5\\ -3 & 2 \end{vmatrix}\end{aligned}$$ $$ \text { इसलिए } \quad\quad\begin{aligned} X & =A^{-1} B=-\frac{1}{11}\begin{vmatrix} 2 & -5 & \\ -3 & 2 \end{vmatrix} \end{aligned}\frac{1}{7} $$ $$ \text { अर्थात। } \quad\quad \begin{aligned} \begin{vmatrix} x \\ y \end{vmatrix}=-\frac{1}{11}\begin{vmatrix} -33 \\ 11 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3\\ 1 \end{vmatrix} \end{aligned} $$

अत:$\quad\quad$ x=3, y=-1

उदाहरण 17 निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।

$$ \mathrm{A}=\left|\begin{array}{r} 3 x-2 y+3 z=8 \\ 2 x+y-z=1 \\ 4 x-3 y+2 z=4 \end{array}\right| $$

हल समीकरण निकाय को $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ

$$ \mathrm{A}=\left|\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \end{array}\right|, \mathrm{X}=\left|\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right| \text { और } \mathrm{B}=\left|\begin{array}{l} 8 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right| $$

हम देखते हैं कि $\qquad |A|=3(2-3)+2(4+4)+3(-6-4)=-17 \neq 0 \text { है। }$

अत: $\mathrm{A}$ व्युत्क्रमणीय है, और इसके व्युत्क्रम का अस्तित्व है। $\mathrm{A} _{11}=-1$, $\mathrm{A} _{12}=-8$, $A _{13}=-10$ $A _{21}=-5$, $A _{22}=-6$, $\mathrm{A} _{23}=1$ $A _{31}=-1$, $A _{32}=9$, $\mathrm{A} _{33}=7$

इसलिए $\quad \mathrm{A}^{-1}=-\frac{1}{17}\left|\begin{array}{ccc}-1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7\end{array}\right|$

और $$ X=A^{-1} B=-\frac{1}{17}\left|\begin{array}{ccc} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{array}\right|\left|\begin{array}{l} 8 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right| $$

$$ \left|\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right|=-\frac{1}{17}\left|\begin{array}{l} -17 \\ -34 \\ -51 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right| $$

अत: $ x=1, y=2 \text { व } z=3 $

उदाहरण 18 तीन संख्याओं का योग 6 है। यदि हम तीसरी संख्या को 3 से गुणा करके दूसरी संख्या में जोड़ दें तो हमें 11 प्राप्त होता है। पहली ओर तीसरी को जोड़ने से हमें दूसरी संख्या का दुगुना प्राप्त होता है। इसका बीजगणितीय निरूपण कीजिए और आव्यूह विधि से संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए पहली, दूसरी व तीसरी संख्या क्रमश: $x, y$ और $z$, द्वारा निरूपित है। तब दी गई शर्तों के अनुसार हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{aligned} x+y+z & =6 \\ y+3 z & =11 \\ x+z & =2 y \text{ या } x-2 y+z & =0 \end{aligned} $$

इस निकाय को $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ

$$ \mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|, \mathrm{X}=\left|\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right| \text { और } \mathrm{B}=\left|\begin{array}{c} 6 \\ 11 \\ 0 \end{array}\right| \text { है। } $$

यहाँ $|\mathrm{A}|=1(1+6)+0+1(3-1)=9 \neq 0$ है। अब हम $\operatorname{adj} \mathrm{A}$ ज्ञात करते हैं।

$$ \begin{array}{lll} A _{11}=1(1+6)=7, & A _{12}=-(0-3)=3, & A _{13}=-1 \\ A _{21}=-(1+2)=-3, & A _{22}=0, & A _{23}=-(-2-1)=3 \\ A _{31}=(3-1)=2, & A _{32}=-(3-0)=-3, & A _{33}=(1-0)=1 \end{array} $$

अतः $\operatorname{adj} \mathrm{A}=\left|\begin{array}{ccc}7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1\end{array}\right|$

$\text{इस प्रकार}\qquad \mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{~A}|} \operatorname{adj} .(\mathrm{A})=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{ccc} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{array}\right| $

$$ X=A^{-1} B $$

$$\mathrm{X}=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{ccc}7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}6 \\ 11 \\ 0\end{array}\right|$$

$$ \left|\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right|=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{l} 42-33+0 \\ 18+0+0 \\ -6+33+0 \end{array}\right|=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{c} 9 \\ 18 \\ 27 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right| $$

$$ x=1, y=2, z=3 $$

प्रश्नावली 4.5

निम्नलिखित प्रश्नों 1 से 6 तक दी गई समीकरण निकायों का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए

1. $x+2 y=2$

$2 x+3 y=3$

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2. $2 x-y=5$

$x+y=4$

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3. $x+3 y=5$

$2 x+6 y=8$

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4. $x+y+z=1$

$\quad\quad$$2 x+3 y+2 z=2$

$\quad\quad$$a x+a y+2 a z=4$

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5. $3 x-y-2 z=2$

$\quad\quad$$2 y-z=-1$

$\quad\quad$$3 x-5 y=3$

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6. $5 x-y+4 z=5$

$\quad\quad$$2 x+ 3y+5z=2$

$\quad\quad$$5 x-2 y+6 z=-1$

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निम्नलिखित प्रश्न 7 से 14 तक प्रत्येक समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।

7. $5 x+2 y=4$

$\quad\quad$$7 x+3 y=5$

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8. $2 x-y=-2$

$\quad\quad$$3 x+4 y=3$

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9. $4 x-3 y=3$

$\quad\quad$$3 x-5 y=7$

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10. $5 x+2 y=3$

$\quad\quad$$3 x+2 y=5$

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11. $2 x+y+z=1$

$\quad\quad$$x-2 y-z=\frac{3}{2}$

$\quad\quad$$3 y-5 z=9$

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12. $x-y+z=4$

$\quad\quad$$2 x+y-3 z=0$

$\quad\quad$$x+y+z=2$

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13. $2 x+3 y+3 z=5$

$\quad\quad$$x-2 y+z=-4$

$\quad\quad$$3 x-y-2 z=3$

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14. $x-y+2 z=7$

$\quad\quad$$3 x+4 y-5 z=-5$

$\quad\quad$$2 x-y+3 z=12$

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15. यदि $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right|$ है तो $\mathrm{A}^{-1}$ ज्ञात कीजिए। $\mathrm{A}^{-1}$ का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए।

$$ \begin{aligned} & 2 x-3 y+5 z=11 \\ & 3 x+2 y-4 z=-5 \\ & x+y-2 z=-3 \end{aligned} $$

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16. $4 \mathrm{~kg}$ प्याज, $3 \mathrm{~kg}$ गेहूँ और $2 \mathrm{~kg}$ चावल का मूल्य Rs 60 है। $2 \mathrm{~kg}$ प्याज, $4 \mathrm{~kg}$ गेहूँ और $6 \mathrm{~kg}$ चावल का मूल्य Rs 90 है। $6 \mathrm{~kg}$ प्याज, $2 \mathrm{~kg}$ और $3 \mathrm{~kg}$ चावल का मूल्य $\mathrm{Rs} 70$ है। आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति $\mathrm{kg}$ ज्ञात कीजिए।

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विविध उदाहरण

उदाहरण 19 आव्यूहों के गुणनफल $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & 3 \\ 6 & 1 & 2\end{array}\right|$ का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए:

$$ \begin{array}{r} x-y+2 z=1 \\ 2 y-3 z=1 \\ 3 x-2 y+4 z=2 \end{array} $$

$$ \text { हल दिया गया गुणनफल }\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2 \end{array}\right| $$

$$ =\left|\begin{array}{ccc} -2-9+12 & 0-2+2 & 1+3-4 \\ 0+18-18 & 0+4-3 & 0-6+6 \\ -6-18+24 & 0-4+4 & 3+6-8 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right| $$

$\text{अतः}\qquad \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right|^{1}=\left|\begin{array}{lll} 2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & 3 \\ 6 & 1 & 2 \end{array}\right| $

अब दिए गए समीकरण निकाय को आव्यूह के रूप निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है

$$ \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{array}\right|\left|\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right|=\left|\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right| $$

$$ \begin{aligned} {\left|\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right| } & =\left|\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{array}\right|^{-1}\left|\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll} 2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & 3 \\ 6 & 1 & 2 \end{array}\right|\left|\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right| \\ & =\left|\begin{array}{c} -2+0+2 \\ 9+2-6 \\ 6+1-4 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{l} 0 \\ 5 \\ 3 \end{array}\right| \end{aligned} $$

अत: $\quad x=0, y=5$ और $z=3$

अध्याय 4 पर विविध प्रश्नावली

1. सिद्ध कीजिए कि सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{array}\right|, \theta$ से स्वतंत्र है।

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2. $\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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3. यदि $\mathrm{A}^{-1}=\left|\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\ 15 & 6 & 5 \\ 5 & 2 & 2\end{array}\right|$ और $\mathrm{B}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right|$, हो तो $(\mathrm{AB})^{-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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4. मान लीजिए $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5\end{array}\right|$ हो तो सत्यापित कीजिए कि

(i) $|\operatorname{adj} \mathrm{A}|^{-1}=\operatorname{adj}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)$

(ii) $\left(\mathrm{A}^{-1}\right)^{-1}=\mathrm{A}$

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5. $\left|\begin{array}{ccc}x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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6. $\left|\begin{array}{ccc}1 & x & y \\ 1 & x+y & y \\ 1 & x & x+y\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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7. निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए

$$ \begin{aligned} & \frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{10}{z}=4 \\ & \frac{4}{x}-\frac{6}{y}+\frac{5}{z}=1 \\ & \frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{20}{z}=2 \end{aligned} $$

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निम्नलिखित प्रश्नों 8 से 9 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए।

8. यदि $x, y, z$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हों तो आव्यूह $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll}x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{array}\right|$ का व्युत्क्रम है:

(A) $\left|\begin{array}{ccc}x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1}\end{array}\right|$

(B) $x y z\left|\begin{array}{ccc}x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1}\end{array}\right|$

(C) $\frac{1}{x y z}\left|\begin{array}{lll}x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{array}\right|$

(D) $\frac{1}{x y z}\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$

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9. यदि $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ccc}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right|$, जहाँ $0 \leq \theta \leq 2 \pi$ हो तो:

(A) $\operatorname{det}(\mathrm{A})=0$

(B) $\operatorname{det}(\mathrm{A}) \in(2, \infty)$

(C) $\operatorname{det}(\mathrm{A}) \in(2,4)$

(D) $\operatorname{det}(\mathrm{A}) \in[2,4]$.

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सारांश

  • आव्यूह $\mathrm{A}=\left|a _{11}\right| _{1 \times 1}$ का सारणिक $\left|a _{11}\right| _{1 \times 1}=a _{11}$ के द्वारा दिया जाता है।

  • आव्यूह $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{ll}a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22}\end{array}\right|$ का सारणिक

  • $|\mathrm{A}|=\left|\begin{array}{ll}a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22}\end{array}\right|=a _{11} a _{22}-a _{12} a _{21}$ के द्वारा दिया जाता है।

  • आव्यूह $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll}a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2} \\ a _{3} & b _{3} & c _{3}\end{array}\right|$ के सारणिक का मान ( $\mathrm{R} _{1}$ के अनुदिश प्रसरण से) निम्नलिखित रूप द्वारा दिया जाता है।

  • $$ |\mathrm{A}|=\left|\begin{array}{lll} a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2} \\ a _{3} & b _{3} & c _{3} \end{array}\right|=a _{1}\left|\begin{array}{cc} b _{2} & c _{2} \\ b _{3} & c _{3} \end{array}\right|-b _{1}\left|\begin{array}{ll} a _{2} & c _{2} \\ a _{3} & c _{3} \end{array}\right|+c _{1}\left|\begin{array}{cc} a _{2} & b _{2} \\ a _{3} & b _{3} \end{array}\right| $$

  • $\left(x _{1}, y _{1}\right),\left(x _{2}, y _{2}\right)$ और $\left(x _{3}, y _{3}\right)$ शीर्षों वाली त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित रूप द्वारा दिया जाता है:

  • $$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

  • दिए गए आव्यूह $\mathrm{A}$ के सारणिक के एक अवयव $a _{i j}$ का उपसारणिक, $i$ वीं पंक्ति और $j$ वां स्तंभ हटाने से प्राप्त सारणिक होता है और इसे $\mathrm{M} _{i j}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।

  • $a _{i j}$ का सहखंड $\mathrm{A} _{i j}=(-1)^{i+j} \mathrm{M} _{i j}$ द्वारा दिया जाता है।

  • $\mathrm{A}$ के सारणिक का मान $|\mathrm{A}|=a _{11} \mathrm{~A} _{11}+a _{12} \mathrm{~A} _{12}+a _{13} \mathrm{~A} _{13}$ है और इसे एक पंक्ति या स्तंभ के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफल का योग करके प्राप्त किया जाता है।

  • यदि एक पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों और अन्य दूसरी पंक्ति (या स्तंभ) के सहखंडों की गुणा कर दी जाए तो उनका योग शून्य होता है उदाहरणतया

  • $a _{11} \mathrm{~A} _{21}+a _{12} \mathrm{~A} _{22}+a _{13} \mathrm{~A} _{23}=0$

  • यदि आव्यूह $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll}a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33}\end{array}\right|$, तो सहखंडज $\operatorname{adj} \mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll}\mathrm{A} _{11} & \mathrm{~A} _{21} & \mathrm{~A} _{31} \\ \mathrm{~A} _{12} & \mathrm{~A} _{22} & \mathrm{~A} _{32} \\ \mathrm{~A} _{13} & \mathrm{~A} _{23} & \mathrm{~A} _{33}\end{array}\right|$ होता है, जहाँ $a _{i j}$ का सहखंड $\mathrm{A} _{i j}$ है।

  • $\mathrm{A}(\operatorname{adj} \mathrm{A})=(\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{A}=|\mathrm{A}| \mathrm{I}$, जहाँ $\mathrm{A}, n$ कोटि का वर्ग आव्यूह है।

  • यदि कोई वर्ग आव्यूह क्रमशः अव्युत्क्रमणीय या व्युत्क्रमणीय कहलाता है यदि $|\mathrm{A}|=0$ या $|\mathrm{A}| \neq 0$

  • यदि $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}=\mathrm{I}$, जहाँ $\mathrm{B}$ एक वर्ग आव्यूह है तब $\mathrm{A}$ का व्युत्क्रम $\mathrm{B}$ होता है और $\mathrm{A}^{-1}=\mathrm{B}$ या $\mathrm{B}^{-1}=\mathrm{A}$ और इसलिए $\left(\mathrm{A}^{-1}\right)^{-1}=\mathrm{A}$

  • किसी वर्ग आव्यूह $\mathrm{A}$ का व्युत्क्रम है यदि और केवल यदि $\mathrm{A}$ व्युत्क्रमणीय है।

  • $\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{~A}|}(\operatorname{adj} \mathrm{A})$

  • यदि

  • $$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y+c _{1} z=d _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y+c _{2} z=d _{2} \\ & a _{3} x+b _{3} y+c _{3} z=d _{3} \end{aligned} $$

  • तब इन समीकरणों को $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

  • जहाँ $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{lll}a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2} \\ a _{3} & b _{3} & c _{3}\end{array}\right|, \mathrm{X}=\left|\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right|$ और $\mathrm{B}=\left|\begin{array}{l}d _{1} \\ d _{2} \\ d _{3}\end{array}\right|$

  • समीकरण $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ का अद्वितीय हल $\mathrm{X}=\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B}$ द्वारा दिया जाता है जहाँ $|\mathrm{A}| \neq 0$

  • समीकरणों का एक निकाय संगत या असंगत होता है यदि इसके हल का अस्तित्व है अथवा नहीं है।

  • आव्यूह समीकरण $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ में एक वर्ग आव्यूह $\mathrm{A}$ के लिए

  • (i) यदि $|\mathrm{A}| \neq 0$, तो अद्वितीय हल का अस्तित्व है।

  • (ii) यदि $|\mathrm{A}|=0$ और $(\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{B} \neq \mathrm{O}$, तो किसी हल का अस्तित्व नहीं है।

  • (iii) यदि $|\mathrm{A}|=0$ और $(\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{B}=\mathrm{O}$, तो निकाय संगत या असंगत होती है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

गणना बोर्ड पर छड़ों का प्रयोग करके कुछ रैखिक समीकरणों की अज्ञात राशियों के गुणांकों को निरूपित करने की चीनी विधि ने वास्तव में विलोपन की साधारण विधि की खोज करने में सहायता की है। छड़ों की व्यवस्था क्रम एक सारणिक में संख्याओं की उचित व्यवस्था क्रम जैसी थी। इसलिए एक सारणिक की सरलीकरण में स्तंभों या पंक्तियों के घटाने का विचार उत्पन्न करने में चीनी प्रथम विचारकों में थे (‘Mikami, China, pp 30, 93).

सत्रहवीं शताब्दी के महान जापानी गणितज्ञ Seki Kowa द्वारा 1683 में लिखित पुस्तक ‘Kai Fukudai no Ho’ से ज्ञात होता है कि उन्हें सारणिकों और उनके प्रसार का ज्ञान था। परंतु उन्होंने इस विधि का प्रयोग केवल दो समीकरणों से एक राशि के विलोपन में किया परंतु युगपत रैखिक समीकरणों के हल ज्ञात करने में इसका सीधा प्रयोग नहीं किया था। ‘T. Hayashi, “The Fakudoi and Determinants in Japanese Mathematics,” in the proc. of the Tokyo Math. Soc., V.

Vendermonde पहले व्यक्ति थे जिन्होनें सारणिकों को स्वतंत्र फलन की तरह से पहचाना इन्हें विधिवत इसका अन्वेषक (संस्थापक) कहा जा सकता है। Laplace (1772) ने सारणिकों को इसके पूरक उपसारणिकों के रूप में व्यक्त करके प्रसरण की व्यापक विधि दी। 1773 में Lagrange ने दूसरे व तीसरे क्रम के सारणिकों को व्यवहत किया और सारणिकों के हल के अतिरिक्त उनका अन्यत्र भी प्रयोग किया। 1801 में Gauss ने संख्या के सिद्धांतों में सारणिकों का प्रयोग किया।

अगले महान योगदान देने वाले Jacques - Philippe - Marie Binet, (1812) थे जिन्होंने $m$-स्तंभों और $n$-पंक्तियों के दो आव्यूहों के गुणनफल से संबंधित प्रमेय का उल्लेख किया जो विशेष स्थिति $m=n$ में गुणनफल प्रमेय में बदल जाती है।

उसी दिन Cauchy (1812) ने भी उसी विषय-वस्तु पर शोध प्रस्तुत किए। उन्होंने आज के व्यावहारिक सारणिक शब्द का प्रयोग किया। उन्होंने Binet से अधिक संतुष्ट करने वाली गुणनफल प्रमेय की उपपत्ति दी।

इन सिद्धांतों पर महानतम योगदान वाले Carl Gustav Jacob Jacobi थे। इसके पश्चात सारणिक शब्द को अंतिम स्वीकृति प्राप्त हुई।



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