Chapter-07 Binomial Theorem
Mathematics is a most exact science and its conclusions are capable of absolute proofs. - C.P. STEINMETZ
7.1 Introduction
In earlier classes, we have learnt how to find the squares and cubes of binomials like $a+b$ and $a-b$. Using them, we could evaluate the numerical values of numbers like $(98)^{2}=(100-2)^{2},(999)^{3}=(1000-1)^{3}$, etc. However, for higher powers like $(98)^{5},(101)^{6}$, etc., the calculations become difficult by using repeated multiplication. This difficulty was overcome by a theorem known as binomial theorem. It gives an easier way to expand $(a+b)^{n}$, where $n$ is an integer or a rational number. In this Chapter, we study binomial theorem for positive integral indices only.
Blaise Pascal (1623-1662 A.D.)
7.2 Binomial Theorem for Positive Integral Indices
Let us have a look at the following identities done earlier:
$$ \begin{aligned} & (a+b)^{0}=1 ; a+b \neq 0 \\ & (a+b)^{1}=a+b \\ & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\ & (a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned} $$
In these expansions, we observe that
(i) The total number of terms in the expansion is one more than the index. For example, in the expansion of $(a+b)^{2}$, number of terms is 3 whereas the index of $(a+b)^{2}$ is 2 .
(ii) Powers of the first quantity ’ $a$ ’ go on decreasing by 1 whereas the powers of the second quantity ’ $b$ ’ increase by 1 , in the successive terms.
(iii) In each term of the expansion, the sum of the indices of $a$ and $b$ is the same and is equal to the index of $a+b$.
We now arrange the coefficients in these expansions as follows (Fig 7.1):
Fig 7.1
Do we observe any pattern in this table that will help us to write the next row? Yes we do. It can be seen that the addition of 1’s in the row for index 1 gives rise to 2 in the row for index 2. The addition of 1,2 and 2, 1 in the row for index 2, gives rise to 3 and 3 in the row for index 3 and so on. Also, 1 is present at the beginning and at the end of each row. This can be continued till any index of our interest.
We can extend the pattern given in Fig 7.2 by writing a few more rows.
Pascal’s Triangle
The structure given in Fig 7.2 looks like a triangle with 1 at the top vertex and running down the two slanting sides. This array of numbers is known as Pascal’s triangle, after the name of French mathematician Blaise Pascal. It is also known as Meru Prastara by Pingla.
Expansions for the higher powers of a binomial are also possible by using Pascal’s triangle. Let us expand $(2 x+3 y)^{5}$ by using Pascal’s triangle. The row for index 5 is
$$ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} $$
Using this row and our observations (i), (ii) and (iii), we get
$ \begin{aligned} (2 x+3 y)^{5} & =(2 x)^{5}+5(2 x)^{4}(3 y)+10(2 x)^{3}(3 y)^{2}+10(2 x)^{2}(3 y)^{3}+5(2 x)(3 y)^{4}+(3 y)^{5} \\ & =32 x^{5}+240 x^{4} y+720 x^{3} y^{2}+1080 x^{2} y^{3}+810 x y^{4}+243 y^{5} \end{aligned} $
Now, if we want to find the expansion of $(2 x+3 y)^{12}$, we are first required to get the row for index 12. This can be done by writing all the rows of the Pascal’s triangle till index 12. This is a slightly lengthy process. The process, as you observe, will become more difficult, if we need the expansions involving still larger powers.
We thus try to find a rule that will help us to find the expansion of the binomial for any power without writing all the rows of the Pascal’s triangle, that come before the row of the desired index.
For this, we make use of the concept of combinations studied earlier to rewrite the numbers in the Pascal’s triangle. We know that ${ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ and $n$ is a non-negative integer. Also, ${ }^{n} C_0=1={ }^{n} C_n$ The Pascal’s triangle can now be rewritten as (Fig 7.3)
Fig 7.3 Pascal’s Triangle
Observing this pattern, we can now write the row of the Pascal’s triangle for any index without writing the earlier rows. For example, for the index 7 the row would be
$$ { }^{7} C_0 \quad{ }^{7} C_1 \quad{ }^{7} C_2 \quad{ }^{7} C_3 \quad{ }^{7} C_4 \quad{ }^{7} C_5 \quad{ }^{7} C_6 \quad{ }^{7} C_7 $$
Thus, using this row and the observations (i), (ii) and (iii), we have
$(a+b)^{7}={ }^{7} C_0 a^{7}+7 C_1 a^{6} b+{ }^{7} C_2 a^{5} b^{2}+{ }^{7} C_3 a^{4} b^{3}+7 C_4 a^{3} b^{4}+{ }^{7} C_5 a^{2} b^{5}+{ }^{7} C_6 a b^{6}+{ }^{7} C_7 b^{7}$
An expansion of a binomial to any positive integral index say $n$ can now be visualised using these observations. We are now in a position to write the expansion of a binomial to any positive integral index.
7.2.1 Binomial theorem for any positive integer $n$,
$ (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $
Proof The proof is obtained by applying principle of mathematical induction.
Let the given statement be
$ P(n):(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $
For $n=1$, we have
$ P(1):(a+b)^{1}={ }^{1} C_0 a^{1}+{ }^{1} C_1 b^{1}=a+b $
Thus, $P(1)$ is true.
Suppose $P(k)$ is true for some positive integer $k$, i.e.
$ (a+b)^{k}={ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_k b^{k} $
We shall prove that $P(k+1)$ is also true, i.e.,
$ (a+b)^{k+1}={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_{k+1} b^{k+1} $
Now, $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$ $ =(a+b)({ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_{k-1} a b^{k-1}+{ }^{k} C_k b^{k}) [\text{from}(1)] $ $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+{ }^{k} C_1 a^{k} b+{ }^{k} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a^{2} b^{k-1}+{ }^{k} C_k a b^{k}+{ }^{k} C_0 a^{k} b$ $+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b^{2}+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{3}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1}$ [by actual multiplication] $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+({ }^{k} C_1+{ }^{k} C_0) a^{k} b+({ }^{k} C_2+{ }^{k} C_1) a^{k-1} b^{2}+\ldots$ $+({ }^{k} C_k+{ }^{k} C _{k-1}) a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1} \quad$ [grouping like terms] $={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_k a b^{k}+{ }^{k+1} C _{k+1} b^{k+1}$ (by using ${ }^{k+1} C_0=1,{ }^{k} C_r+{ }^{k} C _{r-1}={ }^{k+1} C_r \quad$ and $\quad{ }^{k} C_k=1={ }^{k+1} C _{k+1}$ )
Thus, it has been proved that $P(k+1)$ is true whenever $P(k)$ is true. Therefore, by principle of mathematical induction, $P(n)$ is true for every positive integer $n$.
We illustrate this theorem by expanding $(x+2)^{6}$ :
$ \begin{aligned} (x+2)^{6} & ={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5} \cdot 2+{ }^{6} C_2 x^{4} 2^{2}+{ }^{6} C_3 x^{3} \cdot 2^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2} \cdot 2^{4}+{ }^{6} C_5 x \cdot 2^{5}+{ }^{6} C_6 \cdot 2^{6} . \\ & =x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64 \end{aligned} $
Thus $(x+2)^{6}=x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64$.
Observations
1. The notation $\sum_{k=0}^{n}{ }^{n} C_k a^{n-k} b^{k}$ stands for
${ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n-n} b^{n}$, where $b^{0}=1=a^{n-n}$.
Hence the theorem can also be stated as
$$ (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} $$
2. The coefficients ${ }^{n} C_r$ occuring in the binomial theorem are known as binomial coefficients.
3. There are $(n+1)$ terms in the expansion of $(a+b)^{n}$, i.e., one more than the index.
4. In the successive terms of the expansion the index of $a$ goes on decreasing by unity. It is $n$ in the first term, $(n-1)$ in the second term, and so on ending with zero in the last term. At the same time the index of $b$ increases by unity, starting with zero in the first term, 1 in the second and so on ending with $n$ in the last term.
5. In the expansion of $(a+b)^{n}$, the sum of the indices of $a$ and $b$ is $n+0=n$ in the first term, $(n-1)+1=n$ in the second term and so on $0+n=n$ in the last term. Thus, it can be seen that the sum of the indices of $a$ and $b$ is $n$ in every term of the expansion.
7.2.2 Some special cases
In the expansion of $(a+b)^{n}$,
(i) Taking $a=x$ and $b=-y$, we obtain
$ \begin{aligned} (x-y)^{n} & =[x+(-y)]^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}+{ }^{n} C_1 x^{n-1}(-y)+{ }^{n} C_2 x^{n-2}(-y)^{2}+{ }^{n} C_3 x^{n-3}(-y)^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n(-y)^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}-{ }^{n} C_3 x^{n-3} y^{3}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n} \end{aligned} $
Thus $(x-y)^{n}={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n}$
Using this, we have $\quad(x-2 y)^{5}={ }^{5} C_0 x^{5}-{ }^{5} C_1 x^{4}(2 y)+{ }^{5} C_2 x^{3}(2 y)^{2}-{ }^{5} C_3 x^{2}(2 y)^{3}+$
$ \begin{aligned} & { }^{5} C_4 x(2 y)^{4}-{ }^{5} C_5(2 y)^{5} \\ = & x^{5}-10 x^{4} y+40 x^{3} y^{2}-80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}-32 y^{5} . \end{aligned} $
(ii) Taking $a=1, b=x$, we obtain
$ \begin{gathered} (1+x)^{n}={ }^{n} C_0(1)^{n}+{ }^{n} C_1(1)^{n-1} x+{ }^{n} C_2(1)^{n-2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \\ ={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \end{gathered} $
Thus $\quad(1+x)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n}$
In particular, for $x=1$, we have
$ 2^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_n $
(iii) Taking $a=1, b=-x$, we obtain
$ (1-x)^{n}={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n x^{n} $
In particular, for $x=1$, we get
$ 0={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n $
Example 1 Expand $(x^{2}+\frac{3}{x})^{4}, x \neq 0$
Solution By using binomial theorem, we have
$ \begin{aligned} x^{2}+\frac{3}{x} & ={ }^{4} C_0(x^{2})^{4}+{ }^{4} C_1(x^{2})^{3}(\frac{3}{x})+{ }^{4} C_2(x^{2})^{2}(\frac{3}{x})^{2}+{ }^{4} C_3(x^{2})(\frac{3}{x})^{3}+{ }^{4} C_4(\frac{3}{x})^{4} \\ & =x^{8}+4 \cdot x^{6} \cdot \frac{3}{x}+6 \cdot x^{4} \cdot \frac{9}{x^{2}}+4 \cdot x^{2} \cdot \frac{27}{x^{3}}+\frac{81}{x^{4}} \\ & =x^{8}+12 x^{5}+54 x^{2}+\frac{108}{x}+\frac{81}{x^{4}} . \end{aligned} $
Example 2 Compute $(98)^{5}$.
Solution We express 98 as the sum or difference of two numbers whose powers are easier to calculate, and then use Binomial Theorem.
Write $98=100-2$
Therefore, $(98)^{5}=(100-2)^{5}$ $ \begin{aligned} = & { }^{5} C_0(100)^{5}-{ }^{5} C_1(100)^{4} .2+{ }^{5} C_2(100)^{3} 2^{2} \\ & -{ }^{5} C_3(100)^{2}(2)^{3}+{ }^{5} C_4(100)(2)^{4}-{ }^{5} C_5(2)^{5} \\ = & 10000000000-5 \times 100000000 \times 2+10 \times 1000000 \times 4-10 \times 10000 \\ & \times 8+5 \times 100 \times 16-32 \\ = & 10040008000-1000800032=9039207968 . \end{aligned} $
Example 3 Which is larger (1.01) ${ }^{1000000}$ or 10,000 ?
Solution Splitting 1.01 and using binomial theorem to write the first few terms we have
$ \begin{aligned} (1.01)^{1000000} & =(1+0.01)^{1000000} \\ & ={ }^{1000000} C_0+{ }^{1000000} C_1(0.01)+\text{ other positive terms } \\ & =1+1000000 \times 0.01+\text{ other positive terms } \\ & =1+10000+\text{ other positive terms } \\ & >10000 \end{aligned} $
Hence $\quad(1.01)^{1000000}>10000$
Example 4 Using binomial theorem, prove that $6^{n}-5 n$ always leaves remainder 1 when divided by 25 .
Solution For two numbers $a$ and $b$ if we can find numbers $q$ and $r$ such that $a=b q+r$, then we say that $b$ divides $a$ with $q$ as quotient and $r$ as remainder. Thus, in order to show that $6^{n}-5 n$ leaves remainder 1 when divided by 25 , we prove that $6^{n}-5 n=25 k+1$, where $k$ is some natural number.
We have
$ (1+a)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 a+{ }^{n} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n} $
For $a=5$, we get
$$ (1+5)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 5+{ }^{n} C_2 5^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n 5^{n} $$
i.e. $$ \quad (6)^{n}=1+5 n+5^{2} \cdot{ }^{n} C_2+5^{3} \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n} $$
i.e. $$\quad 6^{n}-5 n=1+5^{2}({ }^{n} C_2+{ }^{n} C_3 5+\ldots+5^{n-2})$$
or $$\quad 6^{n}-5 n=1+25({ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2})$$
or $$ \quad 6^{n}-5 n=25 k+1 \quad \text{ where } k={ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2} $$
This shows that when divided by $25,6^{n}-5 n$ leaves remainder 1 .
EXERCISE 7.1
Expand each of the expressions in Exercises 1 to 5.
1. $(1-2 x)^{5}$
Show Answer
Answer :
By using Binomial Theorem, the expression $(1- 2 x)^{5}$ can be expanded as
$(1-2 x)^{5}$
$={ }^{5} C_0(1)^{5}-{ }^{5} C_1(1)^{4}(2 x)+{ }^{5} C_2(1)^{3}(2 x)^{2}-{ }^{5} C_3(1)^{2}(2 x)^{3}+{ }^{5} C_4(1)^{1}(2 x)^{4}-{ }^{5} C_5(2 x)^{5}$
$=1-5(2 x)+10(4 x^{2})-10(8 x^{3})+5(16 x^{4})-(32 x^{5})$
$=1-10 x+40 x^{2}-80 x^{3}+80 x^{4}-32 x^{5}$
2. $(\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{2})^{5}$
Show Answer
Answer :
By using Binomial Theorem, the expression $(\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{2})^{5}$ can be expanded as
$ \begin{aligned} (\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{2})^{5}= & { }^{5} C_0(\dfrac{2}{x})^{5}-{ }^{5} C_1(\dfrac{2}{x})^{4}(\dfrac{x}{2})+{ }^{5} C_2(\dfrac{2}{x})^{3}(\dfrac{x}{2})^{2} \\ & -{ }^{5} C_3(\dfrac{2}{x})^{2}(\dfrac{x}{2})^{3}+{ }^{5} C_4(\dfrac{2}{x})(\dfrac{x}{2})^{4}-{ }^{5} C_5(\dfrac{x}{2})^{5} \\ = & \dfrac{32}{x^{5}}-5(\dfrac{16}{x^{4}})(\dfrac{x}{2})+10(\dfrac{8}{x^{3}})(\dfrac{x^{2}}{4})-10(\dfrac{4}{x^{2}})(\dfrac{x^{3}}{8})+5(\dfrac{2}{x})(\dfrac{x^{4}}{16})-\dfrac{x^{5}}{32} \\ = & \dfrac{32}{x^{5}}-\dfrac{40}{x^{3}}+\dfrac{20}{x}-5 x+\dfrac{5}{8} x^{3}-\dfrac{x^{5}}{32} \end{aligned} $
3. $(2 x-3)^{6}$
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Answer :
By using Binomial Theorem, the expression (2x- 3$)^{6}$ can be expanded as
$ \begin{aligned} (2 x-3)^{6}= & { }^{6} C_0(2 x)^{6}-{ }^{6} C_1(2 x)^{5}(3)+{ }^{6} C_2(2 x)^{4}(3)^{2}-{ }^{6} C_3(2 x)^{3}(3)^{3} \\ & +{ }^{6} C_4(2 x)^{2}(3)^{4}-{ }^{6} C_5(2 x)(3)^{5}+{ }^{6} C_6(3)^{6} \\ = & 64 x^{6}-6(32 x^{5})(3)+15(16 x^{4})(9)-20(8 x^{3})(27) \\ & +15(4 x^{2})(81)-6(2 x)(243)+729 \\ = & 64 x^{6}-576 x^{5}+2160 x^{4}-4320 x^{3}+4860 x^{2}-2916 x+729 \end{aligned} $
4. $(\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{x})^{5}$
Show Answer
Answer :
By using Binomial Theorem, the expression $(\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{x})^{5}$ can be expanded as
$ \begin{aligned} (\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{x})^{5}= & { }^{5} C_0(\dfrac{x}{3})^{5}+{ }^{5} C_1(\dfrac{x}{3})^{4}(\dfrac{1}{x})+{ }^{5} C_2(\dfrac{x}{3})^{3}(\dfrac{1}{x})^{2} \\ & +{ }^{5} C_3(\dfrac{x}{3})^{2}(\dfrac{1}{x})^{3}+{ }^{5} C_4(\dfrac{x}{3})(\dfrac{1}{x})^{4}+{ }^{5} C_5(\dfrac{1}{x})^{5} \\ = & \dfrac{x^{5}}{243}+5(\dfrac{x^{4}}{81})(\dfrac{1}{x})+10(\dfrac{x^{3}}{27})(\dfrac{1}{x^{2}})+10(\dfrac{x^{2}}{9})(\dfrac{1}{x^{3}})+5(\dfrac{x}{3})(\dfrac{1}{x^{4}})+\dfrac{1}{x^{5}} \\ = & \dfrac{x^{5}}{243}+\dfrac{5 x^{3}}{81}+\dfrac{10 x}{27}+\dfrac{10}{9 x}+\dfrac{5}{3 x^{3}}+\dfrac{1}{x^{5}} \end{aligned} $
5. $(x+\dfrac{1}{x})^{6}$
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Answer :
By using Binomial Theorem, the expression $(x+\dfrac{1}{x})^{6}$ can be expanded as
$ \begin{aligned} (x+\dfrac{1}{x})^{6}= & { }^{6} C_0(x)^{6}+{ }^{6} C_1(x)^{5}(\dfrac{1}{x})+{ }^{6} C_2(x)^{4}(\dfrac{1}{x})^{2} \\ & +{ }^{6} C_3(x)^{3}(\dfrac{1}{x})^{3}+{ }^{6} C_4(x)^{2}(\dfrac{1}{x})^{4}+{ }^{6} C_5(x)(\dfrac{1}{x})^{5}+{ }^{6} C_6(\dfrac{1}{x})^{6} \\ = & x^{6}+6(x)^{5}(\dfrac{1}{x})+15(x)^{4}(\dfrac{1}{x^{2}})+20(x)^{3}(\dfrac{1}{x^{3}})+15(x)^{2}(\dfrac{1}{x^{4}})+6(x)(\dfrac{1}{x^{5}})+\dfrac{1}{x^{6}} \\ = & x^{6}+6 x^{4}+15 x^{2}+20+\dfrac{15}{x^{2}}+\dfrac{6}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{6}} \end{aligned} $
Using binomial theorem, evaluate each of the following:
6. $(96)^{3}$
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Answer :
96 can be expressed as the sum or difference of two numbers whose powers are easier to calculate and then, binomial theorem can be applied.
It can be written that, $96=100$- 4
$ \begin{aligned} \therefore(96)^{3} & =(100-4)^{3} \\ & ={ }^{3} C_0(100)^{3}-{ }^{3} C_1(100)^{2}(4)+{ }^{3} C_2(100)(4)^{2}-{ }^{3} C_3(4)^{3} \\ & =(100)^{3}-3(100)^{2}(4)+3(100)(4)^{2}-(4)^{3} \\ & =1000000-120000+4800-64 \\ & =884736 \end{aligned} $
7. $(102)^{5}$
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Answer :
102 can be expressed as the sum or difference of two numbers whose powers are easier to calculate and then, Binomial Theorem can be applied.
It can be written that, $102=100+2$
$ \begin{aligned} \therefore(102)^{5}= & (100+2)^{5} \\ = & { }^{5} C_0(100)^{5}+{ }^{5} C_1(100)^{4}(2)+{ }^{5} C_2(100)^{3}(2)^{2}+{ }^{5} C_3(100)^{2}(2)^{3} \\ & +{ }^{5} C_4(100)(2)^{4}+{ }^{5} C_5(2)^{5} \\ = & (100)^{5}+5(100)^{4}(2)+10(100)^{3}(2)^{2}+10(100)^{2}(2)^{3}+5(100)(2)^{4}+(2)^{5} \\ = & 10000000000+1000000000+40000000+800000+8000+32 \\ = & 11040808032 \end{aligned} $
8. $(101)^{4}$
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Answer :
101 can be expressed as the sum or difference of two numbers whose powers are easier to calculate and then, Binomial Theorem can be applied.
It can be written that, $101=100+1$
$ \begin{aligned} \therefore(101)^{4} & =(100+1)^{4} \\ & ={ }^{4} C_0(100)^{4}+{ }^{4} C_1(100)^{3}(1)+{ }^{4} C_2(100)^{2}(1)^{2}+{ }^{4} C_3(100)(1)^{3}+{ }^{4} C_4(1)^{4} \\ & =(100)^{4}+4(100)^{3}+6(100)^{2}+4(100)+(1)^{4} \\ & =100000000+4000000+60000+400+1 \\ & =104060401 \end{aligned} $
9. $(99)^{5}$
Show Answer
Answer :
99 can be written as the sum or difference of two numbers whose powers are easier to calculate and then, Binomial Theorem can be applied.
It can be written that, $99=100$- 1
$ \begin{aligned} \therefore(99)^{5}= & (100-1)^{5} \\ = & { }^{5} C_0(100)^{5}-{ }^{5} C_1(100)^{4}(1)+{ }^{5} C_2(100)^{3}(1)^{2}-{ }^{5} C_3(100)^{2}(1)^{3} \\ & +{ }^{5} C_4(100)(1)^{4}-{ }^{5} C_5(1)^{5} \\ = & (100)^{5}-5(100)^{4}+10(100)^{3}-10(100)^{2}+5(100)-1 \\ = & 10000000000-500000000+10000000-100000+500-1 \\ = & 10010000500-500100001 \\ = & 9509900499 \end{aligned} $
10. Using Binomial Theorem, indicate which number is larger $(1.1)^{10000}$ or 1000 .
Show Answer
Answer :
By splitting 1.1 and then applying Binomial Theorem, the first few terms of $(1.1)^{10000}$ can be obtained as
$ \begin{aligned} (1.1)^{10000} & =(1+0.1)^{10000} \\ & ={ }^{10000} C_0+{ }^{10000} C_1(1.1)+\text{ Other positive terms } \\ & =1+10000 \times 1.1+\text{ Other positive terms } \\ & =1+11000+\text{ Other positive terms } \\ & >1000 \end{aligned} $
Hence, $(1.1)^{10000}>1000$
11. Find $(a+b)^{4}-(a-b)^{4}$. Hence, evaluate $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{4}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{4}$.
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Answer :
Using Binomial Theorem, the expressions, $(a+b)^{4}$ and $(a-b)^{4}$, can be expanded as
$ \begin{aligned} & (a+b)^{4}={ }^{4} C_0 a^{4}+{ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_2 a^{2} b^{2}+{ }^{4} C_3 ab^{3}+{ }^{4} C_4 b^{4} \\ & (a-b)^{4}={ }^{4} C_0 a^{4}-{ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_2 a^{2} b^{2}-{ }^{4} C_3 a b^{3}+{ }^{4} C_4 b^{4} \\ & \begin{aligned} \therefore(a+b)^{4}-(a-b)^{4}= & { }^{4} C_0 a^{4}+{ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_2 a^{2} b^{2}+{ }^{4} C_3 a b^{3}+{ }^{4} C_4 b^{4} \\ & -[{ }^{4} C_0 a^{4}-{ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_2 a^{2} b^{2}-{ }^{4} C_3 a b^{3}+{ }^{4} C_4 b^{4}] \\ = & 2({ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_3 a b^{3})=2(4 a^{3} b+4 a b^{3}) \\ = & 8 ab(a^{2}+b^{2}) \end{aligned} \end{aligned} $
By putting $a=\sqrt{3}$ and $b=\sqrt{2}$, we obtain
$ \begin{aligned} (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{4}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{4} & =8(\sqrt{3})(\sqrt{2})\{(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{2})^{2}\} \\ & =8(\sqrt{6})\{3+2\}=40 \sqrt{6} \end{aligned} $
12. Find $(x+1)^{6}+(x-1)^{6}$. Hence or otherwise evaluate $(\sqrt{2}+1)^{6}+(\sqrt{2}-1)^{6}$.
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Answer :
Using Binomial Theorem, the expressions, $(x+1)^{6}$ and $(x - 1)^{6}$, can be expanded as
$ \begin{gathered} (x+1)^{6}={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{3}+{ }^{6} C_2 x^{4}+{ }^{6} C_3 x^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2}+{ }^{6} C_5 x+{ }^{6} C_6 \\ (x-1)^{6}={ }^{6} C_0 x^{6}-{ }^{6} C_1 x^{5}+{ }^{6} C_2 x^{4}-{ }^{6} C_3 x^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2}-{ }^{6} C_5 x+{ }^{6} C_6 \\ \therefore(x+1)^{6}+(x-1)^{6}=2[{ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_2 x^{4}+{ }^{6} C_4 x^{2}+{ }^{6} C_6] \\ =2[x^{6}+15 x^{4}+15 x^{2}+1] \end{gathered} $
By putting $x=\sqrt{2}$, we obtain
$ \begin{aligned} (\sqrt{2}+1)^{6}+(\sqrt{2}-1)^{6} & =2[(\sqrt{2})^{6}+15(\sqrt{2})^{4}+15(\sqrt{2})^{2}+1] \\ & =2(8+15 \times 4+15 \times 2+1) \\ & =2(8+60+30+1) \\ & =2(99)=198 \end{aligned} $
13. Show that $9^{n+1}-8 n-9$ is divisible by 64 , whenever $n$ is a positive integer.
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Answer :
In order to show that $9^{n+1}-8 n-9$ is divisible by 64 , it has to be proved that,
$9^{n+1}-8 n-9=64 k$, where $k$ is some natural number
By Binomial Theorem,
$(1+a)^{m}={ }^{m} C_0+{ }^{m} C_1 a+{ }^{m} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{m} C_m a^{m}$
For $a=8$ and $m=n+1$, we obtain
$(1+8)^{n+1}={ }^{n+1} C_0+{ }^{n+1} C_1(8)+{ }^{n+1} C_2(8)^{2}+\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}(8)^{n+1}$
$\Rightarrow 9^{n+1}=1+(n+1)(8)+8^{2}[{ }^{n+1} C_2+{ }^{n+1} C_3 \times 8+\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}(8)^{n-1}]$
$\Rightarrow 9^{n+1}=9+8 n+64[{ }^{n+1} C_2+{ }^{n+1} C_3 \times 8+\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}(8)^{n-1}]$
$\Rightarrow 9^{n+1}-8 n-9=64 k$, where $k={ }^{n+1} C_2+{ }^{n+1} C_3 \times 8+\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}(8)^{n-1}$ is a natural number
Thus, $9^{n+1}-8 n-9$ is divisible by 64 , whenever nis a positive integer.
14. Prove that $\sum _{r=0}^{n} 3^{r}{ }^{n} C_r=4^{n}$.
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Answer : By Binomial Theorem,
$ \sum _{r=0}^{n}{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}=(a+b)^{n} $
By putting $b=3$ and $a=1$ in the above equation, we obtain
$ \begin{aligned} & \sum _{r=0}^{n}{ }^{n} C_r(1)^{n-r}(3)^{r}=(1+3)^{n} \\ & \Rightarrow \sum _{r=0}^{n} 3^{r}{ }^{n} C_r=4^{n} \end{aligned} $
Hence, proved.
Miscellaneous Exercise on Chapter 7
1. If $a$ and $b$ are distinct integers, prove that $a-b$ is a factor of $a^{n}-b^{n}$, whenever $n$ is a positive integer.
[Hint write $a^{n}=(a-b+b)^{n}$ and expand]
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Answer :
In order to prove that (a-$b$ ) is a factor of $(a^{n} - b^{n})$, it has to be proved that $a^{n} - b^{n}=k(a - b)$,
where $k$ is some natural number It can be written that, $a=a - b+b$
$ \begin{aligned} \therefore a^{n} & =(a-b+b)^{n}=[(a-b)+b]^{n} \\ & ={ }^{n} C_0(a-b)^{n}+{ }^{n} C_1(a-b)^{n-1} b+\ldots+{ }^{n} C _{n-1}(a-b) b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} \\ & =(a-b)^{n}+{ }^{n} C_1(a-b)^{n-1} b+\ldots+{ }^{n} C _{n-1}(a-b) b^{n-1}+b^{n} \\ \Rightarrow & a^{n}-b^{n}=(a-b)[(a-b)^{n-1}+{ }^{n} C_1(a-b)^{n-2} b+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} b^{n-1}] \\ \Rightarrow & a^{n}-b^{n}=k(a-b) \end{aligned} $
where, $k=[(a-b)^{n-1}+{ }^{n} C_1(a-b)^{n-2} b+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} b^{n-1}]$ is a natural number
This shows that (a-$b$ ) is a factor of $(a^{n} - b^{n})$, where $n$ is a positive integer.
2. Evaluate $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{6}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{6}$
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Answer :
Firstly, the expression $(a+b)^{6} -(a - b)^{6}$ is simplified by using Binomial Theorem.
This can be done as
$ \begin{aligned} &(a+b)^{6}={ }^{6} C_0 a^{6}+{ }^{6} C_1 a^{5} b+{ }^{6} C_2 a^{4} b^{2}+{ }^{6} C_3 a^{3} b^{3}+{ }^{6} C_4 a^{2} b^{4}+{ }^{6} C_5 a^{1} b^{5}+{ }^{6} C_6 b^{6} \\ &=a^{6}+6 a^{5} b+15 a^{4} b^{2}+20 a^{3} b^{3}+15 a^{2} b^{4}+6 a b^{5}+b^{6} \\ &(a-b)^{6}={ }^{6} C_0 a^{6}-{ }^{6} C_1 a^{5} b+{ }^{6} C_2 a^{4} b^{2}-{ }^{6} C_3 a^{3} b^{3}+{ }^{6} C_4 a^{2} b^{4}-{ }^{6} C_5 a^{1} b^{5}+{ }^{6} C_6 b^{6} \\ &=a^{6}-6 a^{5} b+15 a^{4} b^{2}-20 a^{3} b^{3}+15 a^{2} b^{4}-6 a b^{5}+b^{6} \\ & \therefore(a+b)^{6}-(a-b)^{6}=2[6 a^{5} b+20 a^{3} b^{3}+6 a b^{5}] \end{aligned} $
Putting $a=\sqrt{3}$ and $b=\sqrt{2}$, we obtain
$ \begin{aligned} (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{6}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{6} & =2[6(\sqrt{3})^{5}(\sqrt{2})+20(\sqrt{3})^{3}(\sqrt{2})^{3}+6(\sqrt{3})(\sqrt{2})^{5}] \\ & =2[54 \sqrt{6}+120 \sqrt{6}+24 \sqrt{6}] \\ & =2 \times 198 \sqrt{6} \\ & =396 \sqrt{6} \end{aligned} $
3. Find the value of $(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1})^{4}+(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1})^{4}$.
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Answer :
Firstly, the expression $(x+y)^{4}+(x - y)^{4}$ is simplified by using Binomial Theorem.
This can be done as
$ \begin{aligned} &(x+y)^{4}={ }^{4} C_0 x^{4}+{ }^{4} C_1 x^{3} y+{ }^{4} C_2 x^{2} y^{2}+{ }^{4} C_3 x^{3}+{ }^{4} C_4 y^{4} \\ &=x^{4}+4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}+4 x y^{3}+y^{4} \\ &(x-y)^{4}={ }^{4} C_0 x^{4}-{ }^{4} C_1 x^{3} y+{ }^{4} C_2 x^{2} y^{2}-{ }^{4} C_3 x^{3}+{ }^{4} C_4 y^{4} \\ &=x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4} \\ & \therefore(x+y)^{4}+(x-y)^{4}=2(x^{4}+6 x^{2} y^{2}+y^{4}) \end{aligned} $
Putting $x=a^{2}$ and $y=\sqrt{a^{2}-1}$, we obtain
$ \begin{aligned} (a^{2}+\sqrt{a^{2}-1})^{4}+(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1})^{4} & =2[(a^{2})^{4}+6(a^{2})^{2}(\sqrt{a^{2}-1})^{2}+(\sqrt{a^{2}-1})^{4}] \\ & =2[a^{8}+6 a^{4}(a^{2}-1)+(a^{2}-1)^{2}] \\ & =2[a^{8}+6 a^{6}-6 a^{4}+a^{4}-2 a^{2}+1] \\ & =2[a^{8}+6 a^{6}-5 a^{4}-2 a^{2}+1] \\ & =2 a^{8}+12 a^{6}-10 a^{4}-4 a^{2}+2 \end{aligned} $
4. Find an approximation of $(0.99)^{5}$ using the first three terms of its expansion.
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Answer :
$0.99=1$-0.01
$ \begin{aligned} \therefore(0.99)^{5} & =(1-0.01)^{5} \\ & ={ }^{5} C_0(1)^{5}-{ }^{5} C_1(1)^{4}(0.01)+{ }^{5} C_2(1)^{3}(0.01)^{2} \\ & =1-5(0.01)+10(0.01)^{2} \\ & =1-0.05+0.001 \\ & =1.001-0.05 \\ & =0.951 \end{aligned} $
(Approximately)
Thus, the value of $(0.99)^{5}$ is approximately 0.951 .
5. Expand using Binomial Theorem $(1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x})^{4}, x \neq 0$.
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Answer :
Using Binomial Theorem, the given expression $(1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x})^{4}$ can be expanded as
$$ \begin{align*} & {[(1+\dfrac{x}{2})-\dfrac{2}{x}]^{4}} \\ & ={ }^{4} C_0(1+\dfrac{x}{2})^{4}-{ }^{4} C_1(1+\dfrac{x}{2})^{3}(\dfrac{2}{x})+{ }^{4} C_2(1+\dfrac{x}{2})^{2}(\dfrac{2}{x})^{2}-{ }^{4} C_3(1+\dfrac{x}{2})(\dfrac{2}{x})^{3}+{ }^{4} C_4(\dfrac{2}{x})^{4} \\ & =(1+\dfrac{x}{2})^{4}-4(1+\dfrac{x}{2})^{3}(\dfrac{2}{x})+6(1+x+\dfrac{x^{2}}{4})(\dfrac{4}{x^{2}})-4(1+\dfrac{x}{2})(\dfrac{8}{x^{3}})+\dfrac{16}{x^{4}} \\ & =(1+\dfrac{x}{2})^{4}-\dfrac{8}{x}(1+\dfrac{x}{2})^{3}+\dfrac{24}{x^{2}}+\dfrac{24}{x}+6-\dfrac{32}{x^{3}}-\dfrac{16}{x^{2}}+\dfrac{16}{x^{4}} \\ & =(1+\dfrac{x}{2})^{4}-\dfrac{8}{x}(1+\dfrac{x}{2})^{3}+\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{24}{x}+6-\dfrac{32}{x^{3}}+\dfrac{16}{x^{4}} \tag{1} \end{align*} $$
Again by using Binomial Theorem, we obtain
$$ \begin{align*} (1+\dfrac{x}{2})^{4} & ={ }^{4} C_0(1)^{4}+{ }^{4} C_1(1)^{3}(\dfrac{x}{2})+{ }^{4} C_2(1)^{2}(\dfrac{x}{2})^{2}+{ }^{4} C_3(1)^{1}(\dfrac{x}{2})^{3}+{ }^{4} C_4(\dfrac{x}{2})^{4} \\ & =1+4 \times \dfrac{x}{2}+6 \times \dfrac{x^{2}}{4}+4 \times \dfrac{x^{3}}{8}+\dfrac{x^{4}}{16} \\ & =1+2 x+\dfrac{3 x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{16} \tag{2}\\ (1+\dfrac{x}{2})^{3} & ={ }^{3} C_0(1)^{3}+{ }^{3} C_1(1)^{2}(\dfrac{x}{2})+{ }^{3} C_2(1)(\dfrac{x}{2})^{2}+{ }^{3} C_3(\dfrac{x}{2})^{3} \\ & =1+\dfrac{3 x}{2}+\dfrac{3 x^{2}}{4}+\dfrac{x^{3}}{8} \tag{3} \end{align*} $$
From(1), (2), and (3), we obtain
$ \begin{aligned} & {[(1+\dfrac{x}{2})-\dfrac{2}{x}]^{4}} \\ & =1+2 x+\dfrac{3 x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{16}-\dfrac{8}{x}(1+\dfrac{3 x}{2}+\dfrac{3 x^{2}}{4}+\dfrac{x^{3}}{8})+\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{24}{x}+6-\dfrac{32}{x^{3}}+\dfrac{16}{x^{4}} \\ & =1+2 x+\dfrac{3}{2} x^{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{16}-\dfrac{8}{x}-12-6 x-x^{2}+\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{24}{x}+6-\dfrac{32}{x^{3}}+\dfrac{16}{x^{4}} \\ & =\dfrac{16}{x}+\dfrac{8}{x^{2}}-\dfrac{32}{x^{3}}+\dfrac{16}{x^{4}}-4 x+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{16}-5 \end{aligned} $
6. Find the expansion of $(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2})^{3}$ using binomial theorem.
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Answer :
Using Binomial Theorem, the given expression $(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2})^{3}$ can be expanded as
$[(3 x^{2}-2 ax)+3 a^{2}]^{3}$
$={ }^{3} C_0(3 x^{2}-2 ax)^{3}+{ }^{3} C_1(3 x^{2}-2 ax)^{2}(3 a^{2})+{ }^{3} C_2(3 x^{2}-2 ax)(3 a^{2})^{2}+{ }^{3} C_3(3 a^{2})^{3}$
$=(3 x^{2}-2 ax)^{3}+3(9 x^{4}-12 ax^{3}+4 a^{2} x^{2})(3 a^{2})+3(3 x^{2}-2 ax)(9 a^{4})+27 a^{6}$
$=(3 x^{2}-2 ax)^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+36 a^{4} x^{2}+81 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$
$=(3 x^{2}-2 ax)^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$
Again by using Binomial Theorem, we obtain
$$ \begin{align*} & (3 x^{2}-2 a x)^{3} \\ & ={ }^{3} C_0(3 x^{2})^{3}-{ }^{3} C_1(3 x^{2})^{2}(2 a x)+{ }^{3} C_2(3 x^{2})(2 a x)^{2}-{ }^{3} C_3(2 a x)^{3} \\ & =27 x^{6}-3(9 x^{4})(2 a x)+3(3 x^{2})(4 a^{2} x^{2})-8 a^{3} x^{3} \\ & =27 x^{6}-54 a x^{5}+36 a^{2} x^{4}-8 a^{3} x^{3} \tag{2} \end{align*} $$
From (1) and (2), we obtain
$$ \begin{aligned} & (3 x^{2}-2 a x+3 a^{2})^{3} \\ & =27 x^{6}-54 a x^{5}+36 a^{2} x^{4}-8 a^{3} x^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6} \\ & =27 x^{6}-54 a x^{5}+117 a^{2} x^{4}-116 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6} \end{aligned} $$
Summary
-
The expansion of a binomial for any positive integral $n$ is given by Binomial Theorem, which is $(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+$ ${ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n}$
-
The coefficients of the expansions are arranged in an array. This array is called Pascal’s triangle.
Historical Note
The ancient Indian mathematicians knew about the coefficients in the expansions of $(x+y)^{n}, 0 \leq n \leq 7$. The arrangement of these coefficients was in the form of a diagram called Meru-Prastara, provided by Pingla in his book Chhanda shastra (200B.C.). This triangular arrangement is also found in the work of Chinese mathematician Chu-shi-kie in 1303. The term binomial coefficients was first introduced by the German mathematician, Michael Stipel (1486-1567) in approximately 1544. Bombelli (1572) also gave the coefficients in the expansion of $(a+b)^{n}$, for $n=1,2 \ldots, 7$ and Oughtred (1631) gave them for $n=1,2, \ldots, 10$. The arithmetic triangle, popularly known as Pascal’s triangle and similar to the MeruPrastara of Pingla was constructed by the French mathematician Blaise Pascal (1623-1662) in 1665.
The present form of the binomial theorem for integral values of $n$ appeared in Trate du triange arithmetic, written by Pascal and published posthumously in 1665.
Mathematics is a most exact science and its conclusions are capable of absolute proofs. - C.P. STEINMETZ
7.1 भूमिका (Introduction)
पिछली कक्षाओं में हमने सीखा है कि किस प्रकार $a+b$ तथा $a-b$ जैसे द्विपदों का वर्ग व घन ज्ञात करते हैं। इनके सूत्रों का प्रयोग करके हम संख्याओं के वर्गों व घनों का मान ज्ञात कर सकते हैं जैसे $(98)^{2}=[(100-2)]^{2},(999)^{3}=\left[(1000-1)^{3}\right]$, इत्यादि। फिर भी, अधिक घात वाली संख्याओं जैसे $(98)^{5},(101)^{6}$ इत्यादि की गणना, क्रमिक गुणनफल द्वारा अधिक जटिल हो जाती है। इस जटिलता को द्विपद प्रमेय द्वारा दूर किया गया। इससे हमें $(a+b)^{n}$ के प्रसार की आसान विधि प्राप्त होती है जहाँ घातांक $n$ एक पूर्णांक या परिमेय संख्या है। इस अध्याय में हम केवल धन पूर्णांकों के लिए द्विपद प्रमेय का अध्ययन करेंगें।
Blaise Pascal (1623-1662 A.D.)
7.2 धन पूर्णांकों के लिए द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem for Positive Integral Indices)
आइए पूर्व में की गई निम्नलिखित सर्वसमिकाओं पर हम विचार करें:
$$ \begin{aligned} & (a+b)^{0}=1 ; a+b \neq 0 \\ & (a+b)^{1}=a+b \\ & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\ & (a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned} $$
इन प्रसारों में हम देखते हैं कि
(i) प्रसार में पदों की कुल संख्या, घातांक से 1 अधिक है। उदाहरणतः $(a+b)^{2}$ के प्रसार में $(a+b)^{2}$ का घात 2 है जबकि प्रसार में कुल पदों की संख्या 3 है।
(ii) प्रसार के उत्तरोत्तर पदों में प्रथम $a$ की घातें एक के क्रम से घट रही हैं जबकि द्वितीय राशि $b$ की घातें एक के क्रम से बढ़ रही हैं।
(iii) प्रसार के प्रत्येक पद में $a$ तथा $b$ की घातों का योग समान है और $a+b$ की घात के बराबर है।
अब हम $a+b$ के उपरोक्त विस्तारों में विभिन्न पदों के गुणांकों को निम्न प्रकार व्यवस्थित करते हैं ( आकृति 7.1)
आकृति 7.1
क्या हम इस सारणी में अगली पंक्ति लिखने के लिए किसी प्रतिरूप का अवलोकन करते हैं? हाँ। यह देखा जा सकता है कि घात 1 की पंक्ति में लिखे 1 और 1 का योग घात 2 की पंक्ति के लिए 2 देता है। घात 2 की पंक्ति में लिखे 1 और 2 तथा 2 और 1 का योग घात 3 की पंक्ति के लिए 3 और 3 देता है और आगे भी इसी प्रकार 1 पुनः प्रत्येक पंक्ति के प्रारंभ व अंत में स्थित है। इस प्रक्रिया को किसी भी इच्छित घात तक के लिए लिखा जा सकता है।
हम आकृति 7.2 में दिए गए प्रतिरूप को कुछ और पंक्तियाँ लिखकर आगे बढ़ा सकते हैं।
पास्कल त्रिभुज
आकृति 7.2 में दी गई सारणी को अपनी रूचि के अनुसार किसी भी घात तक बढ़ा सकते हैं। यह संरचना एक ऐसे त्रिभुज की तरह लगती है जिसके शीर्ष पर 1 लिखा है और दो तिरछी भुजाएं नीचे की ओर जा रही हैं। संख्याओं का व्यूह फ्रांसीसी गणितज्ञ Blaise Pascal के नाम पर पास्कल त्रिभुज के नाम से प्रसिद्ध है। इसे पिंगल के मेरुप्रस्त्र के नाम से भी जाना जाता है।
एक द्विपद की उच्च घातों का प्रसार भी पास्कल के त्रिभुज के प्रयोग द्वारा संभव है। आइए हम पास्कल त्रिभुज का प्रयोग कर के $(2 x+3 y)^{5}$ का विस्तार करें। घात 5 की पंक्ति है:
$$ \begin{array}{llllll} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{array} $$
इस पंक्ति का, और हमारे परीक्षणों (i), (ii), (iii), का प्रयोग करते हुए हम पाते हैं कि
$$ \begin{aligned} (2 x+3 y)^{5} & =(2 x)^{5}+5(2 x)^{4}(3 y)+10(2 x)^{3}(3 y)^{2}+10(2 x)^{2}(3 y)^{3}+5(2 x)(3 y)^{4}+(3 y)^{5} \\ & =32 x^{5}+240 x^{4} \mathrm{y}+720 x^{3} \mathrm{y}^{2}+1080 x^{2} y^{3}+810 x y^{4}+243 y^{5} \end{aligned} $$
अब यदि हम $(2 x+3 y)^{12}$, का प्रसार ज्ञात करना चाहें तो पहले हमें घात 12 की पंक्ति ज्ञात करनी होगी। इसे पास्कल त्रिभुज की पंक्तियों को घात 12 तक की सभी पंक्तियाँ लिख कर प्राप्त किया जा सकता है। यह थोड़ी सी लंबी विधि है। जैसा कि आप देखते हैं कि और भी उच्च घातों का विस्तार करने के लिए विधि और अधिक कठिन हो जाएगी।
अतः हम एक ऐसा नियम ढूँढने का प्रयत्न करते हैं जिससे पास्कल त्रिभुज की ऐच्छिक पंक्ति से पहले की सारी पंक्तियों को लिखे बिना ही, द्विपद के किसी भी घात का विस्तार ज्ञात कर सकें।
इसके लिए हम पहले पढ़ चुके ‘संचय’ के सूत्रों का प्रयोग करके, पास्कल त्रिभुज में लिखी संख्याओं को पुनः लिखते हैं। हम जानते हैं कि ${ }^{n} \mathrm{C} _{r}=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ जहाँ $n$ ॠणेतर पूर्णांक है। ${ }^{n} \mathrm{C} _{o}=1={ }^{n} \mathrm{C} _{n}$ अब पास्कल त्रिभुज को पुनः इस प्रकार लिख सकते हैं (आकृति 7.3)
आकृति 7.3 पास्कल त्रिभुज
उपरोक्त प्रतिरूप (pattern) को देखकर, पूर्व पंक्तियों को लिखे बिना हम पास्कल त्रिभुज की किसी भी घात के लिए पंक्ति को लिख सकते हैं। उदाहरणतः घात 7 के लिए पंक्ति होगी:
$$ { }^{7} C_0 \quad{ }^{7} C_1 \quad{ }^{7} C_2 \quad{ }^{7} C_3 \quad{ }^{7} C_4 \quad{ }^{7} C_5 \quad{ }^{7} C_6 \quad{ }^{7} C_7 $$
इस प्रकार, इस पंक्ति और प्रेक्षण (i), (ii) व (iii), का प्रयोग करके हम पाते हैं,
$(a+b)^{7}={ }^{7} \mathrm{C} _{0} a^{7}+{ }^{7} \mathrm{C} _{1} a^{6} b+{ }^{7} \mathrm{C} _{2} a^{5} b^{2}+{ }^{7} \mathrm{C} _{3} a^{4} b^{3}+7 \mathrm{C} _{4} a^{3} b^{4}+{ }^{7} \mathrm{C} _{5} a^{2} b^{5}+{ }^{7} \mathrm{C} _{6} a b^{6}+{ }^{7} \mathrm{C} _{7} b^{7}$
इन प्रेक्षणों का उपयोग करके एक द्विपद के किसी ऋणेतर पूर्णांक $n$ के लिए प्रसार दिखाया जा सकता है। अब हम एक द्विपद के किसी भी (ऋणेतर पूर्णांक) घात के प्रसार को लिखने की अवस्था में हैं।
7.2.1 द्विपद प्रमेय किसी धन पूर्णांक $n$ के लिए (Binomial theorem for any positive integer $n$ )
$ (a+b)^{n}={ }^{n} \mathrm{C} _{0} a^{n}+{ }^{n} \mathrm{C} _{1} a^{n-1} b+{ }^{n} \mathrm{C} _{2} a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} \mathrm{C} _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} \mathrm{C} _{n} b^{n} $
उपपत्ति इस प्रमेय की उपपत्ति गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा प्राप्त की जाती है।
मान लीजिए कथन $\mathrm{P}(n)$ निम्नलिखित है:
$$ P(n):(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $$
$n=1$ लेने पर
$\mathrm{P}(1):(a+b)^1={ }^1 \mathrm{C}_0 a^1+{ }^1 \mathrm{C} b^1=a+b$
अतः $\mathrm{P}(1)$ सत्य है।
मान लीजिए कि $\mathrm{P}(k)$, किसी धन पूर्णांक $k$ के लिए सत्य है, अर्थात्
$$ \begin{equation*} (a+b)^{k}={ }^{k} \mathrm{C} _{0} a^{k}+{ }^{k} \mathrm{C} _{1} a^{k-1} b+{ }^{k} \mathrm{C} _{2} a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} \mathrm{C} _{k} b^{k} \tag{1} \end{equation*} $$
हम सिद्ध करेंगें कि $\mathrm{P}(k+1)$ भी सत्य है अर्थात्,
$$ (a+b)^{k+1}={ }^{k+1} \mathrm{C} _{0} a^{k+1}+{ }^{k+1} \mathrm{C} _{1} a^{k} b+{ }^{k+1} \mathrm{C} _{2} a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} \mathrm{C} _{k+1} b^{k+1} $$
अब, $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$ $ =(a+b)({ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_{k-1} a b^{k-1}+{ }^{k} C_k b^{k}) [\text{से}(1)] $ $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+{ }^{k} C_1 a^{k} b+{ }^{k} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a^{2} b^{k-1}+{ }^{k} C_k a b^{k}+{ }^{k} C_0 a^{k} b$ $+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b^{2}+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{3}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1}$ [वास्तवक गुणा द्वारा] $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+({ }^{k} C_1+{ }^{k} C_0) a^{k} b+({ }^{k} C_2+{ }^{k} C_1) a^{k-1} b^{2}+\ldots$ $+({ }^{k} C_k+{ }^{k} C _{k-1}) a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1} \quad$ [समान पदों के समूह बनाकर] $={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_k a b^{k}+{ }^{k+1} C _{k+1} b^{k+1}$ (का प्रयोग करके ${ }^{k+1} C_0=1,{ }^{k} C_r+{ }^{k} C _{r-1}={ }^{k+1} C_r \quad$ और $\quad{ }^{k} C_k=1={ }^{k+1} C _{k+1}$ )
इससे सिद्ध होता है कि यदि $\mathrm{P}(k)$ भी सत्य है तो $\mathrm{P}(k+1)$ सत्य है। इसलिए, गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा, प्रत्येक धन पूर्णांक $n$ के लिए $\mathrm{P}(n)$ सत्य है।
हम इस प्रमेय को $(x+2)^{6}$ के प्रसार का उदाहरण लेकर समझते हैं।
$$ \begin{aligned} (x+2)^{6} & ={ }^{6} \mathrm{C} _{0} x^{6}+{ }^{6} \mathrm{C} _{1} x^{5} \cdot 2+{ }^{6} \mathrm{C} _{2} x^{4} 2^{2}+{ }^{6} \mathrm{C} _{3} x^{3} \cdot 2^{3}+{ }^{6} \mathrm{C} _{4} x^{2} \cdot 2^{4}+{ }^{6} \mathrm{C} _{5} x \cdot 2^{5}+{ }^{6} \mathrm{C} _{6} \cdot 2^{6} \\ & =x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64 \end{aligned} $$
इस प्रकार, $(x+2)^{6}=x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64$.
प्रेक्षण
1. ${ }^{n} \mathrm{C} _{0} a^{n} b^{0}+{ }^{n} \mathrm{C} _{1} a^{n-1} b^{1}+\ldots+{ }^{n} \mathrm{C} _{\mathrm{r}} a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} \mathrm{C} _{n} a^{n-n} b^{n}$, जहाँ $b^{0}=1=a^{n-n}$
का संकेतन $\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} \quad$ है।
अतः इस प्रमेय को इस प्रकार भी लिख सकते हैं।
$$ (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} $$
2. द्विपद प्रमेय में आने वाले गुणांक ${ }^{n} \mathrm{C} _{r}$ को द्विपद गुणांक कहते हैं।
3. $(a+b)^{n}$ के प्रसार में पदों की संख्या $(n+1)$ है अर्थात् घातांक से 1 अधिक है।
4. प्रसार के उत्तरोत्तर पदों में, $a$ की घातें एक के क्रम से घट रही हैं। यह पहले पद में $n$, दूसरे पद में $(n-1)$ और फिर इसी प्रकार अंतिम पद में शून्य है। ठीक उसी प्रकार $b$ की घातें एक के क्रम से बढ़ रही हैं, पहले पद में शून्य से शुरू होकर, दूसरे पद में 1 और फिर इसी प्रकार अंतिम पद में $n$ पर समाप्त होती हैं।
5. $(a+b)^{n}$, के प्रसार में, $a$ तथा $b$ की घातों का योग, पहले पद में $n+0=n$, दूसरे पद में $(n-1)+1=n$ और इसी प्रकार अंतिम पद में $0+n=n$ है। अतः यह देखा जा सकता है कि प्रसार के प्रत्येक पद में $a$ तथा $b$ की घातों का योग $n$ है।
7.2.2 $(a+b)^{n}$ के प्रसार की कुछ विशिष्ट स्थितियाँ (Some special cases)
$(a+b)^n$ के विस्तार में,
(i) $a=x$ तथा $b=-y$, लेकर हम पाते हैं;
$$ \begin{aligned} (x-y)^{n} & =[x+(-y)]^{n} \\ & ={ }^{n} \mathrm{C} _{0} x^{n}+{ }^{n} \mathrm{C} _{1} x^{n-1}(-y)+{ }^{n} \mathrm{C} _{2} x^{n-2}(-y)^{2}+{ }^{n} \mathrm{C} _{3} x^{n-3}(-y)^{3}+\ldots+{ }^{n} \mathrm{C} _{n}(-y)^{n} \\ & ={ }^{n} \mathrm{C} _{0} x^{n}-{ }^{n} \mathrm{C} _{1} x^{n-1} y+{ }^{n} \mathrm{C} _{2} x^{n-2} y^{2}-{ }^{n} \mathrm{C} _{3} x^{n-3} y^{3}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{n} y^{n} \end{aligned} $$
इस प्रकार $(x-y)^{n}={ }^{n} \mathrm{C} _{0} x^{n}-{ }^{n} \mathrm{C} _{1} x^{n-1} y+{ }^{n} \mathrm{C} _{2} x^{n-2} y^{2}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{n} y^{n}$
इसका प्रयोग करके हम पाते हैं,
$$ \begin{aligned} (x-2 y)^{5} & ={ }^{5} \mathrm{C} _{0} x^{5}-{ }^{5} \mathrm{C} _{1} x^{4}(2 y)+{ }^{5} \mathrm{C} _{2} x^{3}\left(2 y^{2}\right) \\ & -{ }^{5} \mathrm{C} _{3} x^{2}(2 y)^{3}+{ }^{5} \mathrm{C} _{4} x(2 y)^{4}-{ }^{5} \mathrm{C} _{5}(2 y)^{5} \\ & =x^{5}-10 x^{4} \mathrm{y}+40 x^{3} y^{2}-80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}-32 y^{5} \end{aligned} $$
(ii) $a=1$ तथा $b=x$, लेकर हम पाते हैं कि,
$$ \begin{aligned} (1+x)^{n} & ={ }^{n} \mathrm{C} _{0}(1)^{n}+{ }^{n} \mathrm{C} _{1}(1)^{n-1} x+{ }^{n} \mathrm{C} _{2}(1)^{n-2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} \mathrm{C} _{n} x^{n} \\ & ={ }^{n} \mathrm{C} _{0}+{ }^{n} \mathrm{C} _{1} x+{ }^{n} \mathrm{C} _{2} x^{2}+{ }^{n} \mathrm{C} _{3} x^{3}+\ldots+{ }^{n} \mathrm{C} _{n} x^{n} \end{aligned} $$
इस प्रकार, $(1+x)^{n}={ }^{n} \mathrm{C} _{0}+{ }^{n} \mathrm{C} _{1} x+{ }^{n} \mathrm{C} _{2} x^{2}+{ }^{n} \mathrm{C} _{3} x^{3}+\ldots+{ }^{n} \mathrm{C} _{n} x^{n}$
विशेषत $x=1$, के लिए हम पाते हैं,
$$ 2^{n}={ }^{n} \mathrm{C} _{0}+{ }^{n} \mathrm{C} _{1}+{ }^{n} \mathrm{C} _{2}+\ldots+{ }^{n} \mathrm{C} _{n} $$
(iii) $a=1$ तथा $b=-x$, लेकर हम पाते हैं,
$$ (1-x)^{n}={ }^{n} \mathrm{C} _{0}-{ }^{n} \mathrm{C} _{1} x+{ }^{n} \mathrm{C} _{2} x^{2}-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{n} x^{n} $$
विशेषत $x=1$, के लिए हम पाते हैं,
$$ 0={ }^{n} \mathrm{C} _{0}-{ }^{n} \mathrm{C} _{1}+{ }^{n} \mathrm{C} _{2}-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{n} $$
उदाहरण 1 $\left(x^{2}+\frac{3}{x}\right)^{4}, x \neq 0$ का प्रसार ज्ञात कीजिए:
हल द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके हमें प्राप्त होता है,
$$ \begin{aligned} \left(x^{2}+\frac{3}{x}\right)^{4} & ={ }^{4} \mathrm{C} _{0}\left(x^{2}\right)^{4}+{ }^{4} \mathrm{C} _{1}\left(x^{2}\right)^{3}\left(\frac{3}{x}\right)+{ }^{4} \mathrm{C} _{2}\left(x^{2}\right)^{2}\left(\frac{3}{x}\right)^{2}+{ }^{4} \mathrm{C} _{3}\left(x^{2}\right)\left(\frac{3}{x}\right)^{3}+{ }^{4} \mathrm{C} _{4}\left(\frac{3}{x}\right)^{4} \\ & =x^{8}+4 \cdot x^{6} \cdot \frac{3}{x}+6 \cdot x^{4} \cdot \frac{9}{x^{2}}+4 \cdot x^{2} \cdot \frac{27}{x^{3}}+\frac{81}{x^{4}} \\ & =x^{8}+12 x^{5}+54 x^{2}+\frac{108}{x}+\frac{81}{x^{4}} \end{aligned} $$
उदाहरण 2 $(98)^{5}$ की गणना कीजिए।
हल हम 98 को दो संख्याओं के योग या अंतर में व्यक्त करते हैं जिनकी घात ज्ञात करना सरल हो, फिर द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हैं।
98 को $100-2$ लिखने पर,
$$ \begin{aligned} (98)^{5}= & (100-2)^{5} \\ = & { }^{5} \mathrm{C} _{0}(100)^{5}-{ }^{5} \mathrm{C} _{1}(100)^{4} .2+{ }^{5} \mathrm{C} _{2}(100)^{3} 2^{2}-{ }^{5} \mathrm{C} _{3}(100)^{2}(2)^{3} \\ & +{ }^{5} \mathrm{C} _{4}(100)(2)^{4}-{ }^{5} \mathrm{C} _{5}(2)^{5} \\ = & 10000000000-5 \times 100000000 \times 2+10 \times 1000000 \times 4-10 \times 10000 \\ & \times 8+5 \times 100 \times 16-32 \\ = & 10040008000-1000800032 \\ = & 9039207968 \end{aligned} $$
उदाहरण $3(1.01)^{1000000}$ और 10,000 में से कौन सी संख्या बड़ी है?
हल 1.01 को दो पदों में व्यक्त करके द्विपद प्रमेय के पहले कुछ पदों को लिखकर हम पाते हैं
$$ \begin{aligned} (1.01)^{1000000} & =(1+0.01)^{1000000} \\ & ={ }^{1000000} \mathrm{C} _{0}+{ }^{1000000} \mathrm{C} _{1}(0.01)+\text { अन्य धनात्मक पद } \\ & =1+1000000 \times 0.01+\text { अन्य धनात्मक पद } \\ & =1+10000+\text { अन्य धनात्मक पद } \\ & >10000 \end{aligned} $$
अतः $ (1.01)^{1000000} > 10000 $
उदाहरण 4 द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि $6^{\mathrm{n}}-5 n$ को जब 25 से भाग दिया जाए तो सदैव 1 शेष बचता है।
हल दो सख्याओं $a$ तथा $b$ के लिए यदि हम संख्याएँ $q$ तथा $r$ प्राप्त कर सकें ताकि $a=b q+r$ तो हम कह सकते हैं कि $a$ को $b$ से भाग करने पर $q$ भजनफल तथा $r$ शेषफल प्राप्त होता है। इसी प्रकार यह दर्शाने के लिए कि $6^{n}-5 n$ को 25 से भाग करने पर 1 शेष बचता है, हमें सिद्ध करना है: $6^{n}-5 n=25 k+1$ जहाँ $k$ एक प्राकृत संख्या है।
हम जानते हैं:
$(1+a)^{n}={ }^{n} \mathrm{C} _{0}+{ }^{n} \mathrm{C} _{1} a+{ }^{n} \mathrm{C} _{2} a^{2}+\ldots+{ }^{n} \mathrm{C} _{n} a^{n}$
$a=5$, के लिए हमें प्राप्त होता है,
$$ (1+5)^{n}={ }^{n} \mathrm{C} _{0}+{ }^{n} \mathrm{C} _{1} 5+{ }^{n} \mathrm{C} _{2} 5^{2}+\ldots+{ }^{n} \mathrm{C} _{n} 5^{n} $$
$$ या, (6)^{n}=1+5 n+5^{2} \cdot{ }^{n} \mathrm{C} _{2}+5^{3} \cdot{ }^{n} \mathrm{C} _{3}+\ldots+5^{n} $$
$$ या , 6^{n}-5 n=1+5^{2}\left({ }^{n} \mathrm{C} _{2}+{ }^{n} \mathrm{C} _{3} 5+\ldots+5^{n-2}\right) $$
$$ 6^{n}-5 n=1+25\left({ }^{n} C _{2}+5 .{ }^{n} C _{3}+\ldots+5^{n-2}\right) $$
$$ या 6^{n}-5 n=25 k+1 \text { जहाँ } k={ }^{n} \mathrm{C} _{2}+5 .{ }^{n} \mathrm{C} _{3}+\ldots+5^{n-2} . $$
यह दर्शाता है कि जब $6^{n}-5 n$ को 25 से भाग किया जाता है तो शेष 1 बचता है।
प्रश्नावली 7.1
प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक व्यंजक का प्रसार कीजिए: 5 .
1. $(1-2 x)^{5}$
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/#missing
2. $(\frac{2}{x}-\frac{x}{2})^{5}$
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3. $(2 x-3)^{6}$
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/#missing
4. $\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)^{5}$
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/#missing
5. $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{6}$
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/#missing
6. $(96)^{3}$
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/#missing
7. $(102)^{5}$
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/#missing
8. $(101)^{4}$
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9. $(99)^{5}$
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10. द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है (1.1) 10000 या 1000.
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11. $(a+b)^{4}-(a-b)^{4}$ का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{4}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{4}$ का मान ज्ञात कीजिए।
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/#missing
12. $(x+1)^{6}+(x-1)^{6}$ का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा $(\sqrt{2}+1)^{6}+(\sqrt{2}-1)^{6}$ का मान ज्ञात कीजिए।
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/#missing
13. दिखाइए कि $9^{n+1}-8 n-9,64$ से विभाज्य है जहाँ $n$ एक धन पूर्णांक है।
\missing
14. सिद्ध कीजिए कि $\sum _{r=0}^{n} 3^{r}{ }^{n} \mathrm{C} _{r}=4^{n}$
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/#missing
अध्याय 7 पर विविध प्रश्नावली
1. यदि $a$ और $b$ भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि $\left(a^{n}-b^{n}\right)$ का एक गुणनखंड $(a-b)$ है, जबकि $n$ एक धन पूर्णांक है।
[ संकेत $a^{\mathrm{n}}=(a-b+b)^{n}$ लिखकर प्रसार कीजिए।]
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/#missing
2. $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{6}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{6}$ का मान ज्ञात कीजिए।
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/#missing
3. $\left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}$ का मान ज्ञात कीजिए।
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/#missing
4. $(0.99)^{5}$ के प्रसार के पहले तीन पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
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5. $1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x} \quad x \neq 0$ का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
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/#missing
6. $\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}$ का द्विपद प्रमेय से प्रसार ज्ञात कीजिए।
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Answer
/#missing
सारांश
-
एक द्विपद का किसी भी धन पूर्णांक $n$ के लिए प्रसार द्विपद प्रमेय द्वारा किया जाता है। इस प्रमेय के अनुसार $(a+b)^{n}={ }^{n} \mathrm{C} _{0} a^{n}+{ }^{n} \mathrm{C} _{1} a^{n-1} b+{ }^{n} \mathrm{C} _{2} a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} \mathrm{C} _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} \mathrm{C} _{n} b^{n}$
-
इस प्रमेय के अनुसार प्रसार के पदों के गुणांकों का व्यवस्थित क्रम पास्कल त्रिभुज कहलाता है।
ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
प्राचीन भारतीय गणितज्ञ $(x+y)^{n}, 0 \leq n \leq 7$, के प्रसार में गुणांकों को जानते थे। ईसा पूर्व दूसरी शताब्दी में पिंगल ने अपनी पुस्तक छंद शास्त्र ( 200 ई॰ पू॰) में इन गुणांकों को एक आकृति, जिसे मेरुप्रस्त्र कहते हैं, के रूप में दिया था। 1303 ई॰ में चीनी गणितज्ञ Chu-shi-kie के कार्य में भी यह त्रिभुजाकार विन्यास पाया गया। 1544 के लगभग जर्मन गणितज्ञ Michael Stipel (1486-1567 ई०) ने सर्वप्रथम ‘द्विपद गुणांक’ शब्द को प्रारंभ किया। Bombelli (1572 ई०) ने भी, $n=1,2, \ldots, 7$ के लिए तथा Oughtred (1631 ई॰) ने $n=1,2, \ldots, 10$ के लिए, $(a+b)^{n}$ के प्रसार में गुणांकों को बताया। पिंगल के मेरुप्रस्त्र के समान थोड़े परिवर्तन के साथ लिखा हुआ अंकगणितीय त्रिभुज जो पास्कल त्रिभुज के नाम से प्रचलित है, यद्यपि बहुत बाद में फ्रांसीसी मूल के गणितज्ञ Blaise Pascal (1623-1662 ई०) ने बनाया। उन्होंने द्विपद प्रसार के गुणांकों को निकालने के लिए त्रिभुज का प्रयोग किया।
$n$ के पूर्णांक मानों के लिए द्विपद प्रमेय का वर्तमान स्वरूप पास्कल द्वारा लिखित पुस्तक Trate du triange arithmetic में प्रस्तुत हुआ जो 1665 में उनकी मृत्यु के बाद प्रकाशित हुई।
