Chapter-04 Complex Numbers and Quadratic Equations

Mathematics is the Queen of Sciences and Arithmetic is the Queen of Mathematics. - GAUSS

4.1 Introduction

In earlier classes, we have studied linear equations in one and two variables and quadratic equations in one variable. We have seen that the equation $x^{2}+1=0$ has no real solution as $x^{2}+1=0$ gives $x^{2}=-1$ and square of every real number is non-negative. So, we need to extend the real number system to a larger system so that we can find the solution of the equation $x^{2}=-1$. In fact, the main objective is to solve the equation $a x^{2}+b x+c=0$, where $D=b^{2}-4 a c<0$, which is not possible in the system of real numbers.

W. R. Hamilton (1805-1865 A.D.)

4.2 Complex Numbers

Let us denote $\sqrt{-1}$ by the symbol $i$. Then, we have $i^{2}=-1$. This means that $i$ is a solution of the equation $x^{2}+1=0$.

A number of the form $a+i b$, where $a$ and $b$ are real numbers, is defined to be a complex number. For example, $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i(\frac{-1}{11})$ are complex numbers.

For the complex number $z=a+i b, a$ is called the real part, denoted by $Re z$ and $b$ is called the imaginary part denoted by $Im z$ of the complex number $z$. For example, if $z=2+i 5$, then $Re z=2$ and $Im z=5$.

Two complex numbers $z_1=a+i b$ and $z_2=c+i d$ are equal if $a=c$ and $b=d$.

Example 1 If $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$, where $x$ and $y$ are real numbers, then find the values of $x$ and $y$.

Solution We have

$$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} $$

Equating the real and the imaginary parts of (1), we get

$$ 4 x=3,3 x-y=-6, $$

which, on solving simultaneously, give $x=\frac{3}{4}$ and $y=\frac{33}{4}$.

4.3 Algebra of Complex Numbers

In this Section, we shall develop the algebra of complex numbers.

4.3.1 Addition of two complex numbers

Let $z_1=a+i b$ and $z_2=c+i d$ be any two complex numbers. Then, the sum $z_1+z_2$ is defined as follows:

$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$, which is again a complex number.

For example, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

The addition of complex numbers satisfy the following properties:

(i) The closure law The sum of two complex numbers is a complex number, i.e., $z_1+z_2$ is a complex number for all complex numbers $z_1$ and $z_2$.

(ii) The commutative law For any two complex numbers $z_1$ and $z_2$, $z_1+z_2=z_2+z_1$

(iii) The associative law For any three complex numbers $z_1, z_2, z_3$, $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$.

(iv) The existence of additive identity There exists the complex number $0+i 0$ (denoted as 0 ), called the additive identity or the zero complex number, such that, for every complex number $z, z+0=z$.

(v) The existence of additive inverse To every complex number $z=a+i b$, we have the complex number $-a+i(-b)$ (denoted as $-z$ ), called the additive inverse or negative of $z$. We observe that $z+(-z)=0$ (the additive identity).

4.3.2 Difference of two complex numbers

Given any two complex numbers $z_1$ and $z_2$, the difference $z_1-z_2$ is defined as follows:

For example,

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

and

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

4.3.3 Multiplication of two complex number

Let $z_1=a+i b$ and $z_2=c+i d$ be any two complex numbers. Then, the product $z_1 z_2$ is defined as follows:

$$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

For example, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

The multiplication of complex numbers possesses the following properties, which we state without proofs.

(i) The closure law The product of two complex numbers is a complex number, the product $z_1 z_2$ is a complex number for all complex numbers $z_1$ and $z_2$.

(ii) The commutative law For any two complex numbers $z_1$ and $z_2$,

$$ z_1 z_2=z_2 z_1 $$

(iii) The associative law For any three complex numbers $z_1, z_2, z_3$,

$$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $$

(iv) The existence of multiplicative identity There exists the complex number $1+i 0$ (denoted as 1 ), called the multiplicative identity such that $z .1=z$, for every complex number $z$.

(v) The existence of multiplicative inverse For every non-zero complex number $z=a+i b$ or $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$, we have the complex number $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}(.$ denoted by $\frac{1}{z}$ or $.z^{-1})$, called the multiplicative inverse of $z$ such that

$z \cdot \frac{1}{z}=1$ (the multiplicative identity).

(vi) The distributive law For any three complex numbers $z_1, z_2, z_3$,

(a) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$

(b) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

4.3.4 Division of two complex numbers

Given any two complex numbers $z_1$ and $z_2$, where $z_2 \neq 0$, the quotient $\frac{z_1}{z_2}$ is defined by

$ \frac{z_1}{z_2}=z_1 \frac{1}{z_2} $

For example, let $\quad z_1=6+3 i$ and $z_2=2-i$

Then

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

4.3.5 Power of $i$

We know that

$ \begin{bmatrix} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 \\ i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ etc. } \end{bmatrix} $

Also, we have $\quad i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$,

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

In general, for any integer $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$

4.3.6 The square roots of a negative real number

Note that $i^{2}=-1$ and $(-i)^{2}=i^{2}=-1$

Therefore, the square roots of -1 are $i,-i$. However, by the symbol $\sqrt{-1}$, we would mean $i$ only.

Now, we can see that $i$ and $-i$ both are the solutions of the equation $x^{2}+1=0$ or $x^{2}=-1$.

Similarly $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ (-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

Therefore, the square roots of -3 are $\sqrt{3} i$ and $-\sqrt{3} i$.

Again, the symbol $\sqrt{-3}$ is meant to represent $\sqrt{3} i$ only, i.e., $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$.

Generally, if $a$ is a positive real number, $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,

We already know that $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ for all positive real number $a$ and $b$. This result also holds true when either $a>0, b<0$ or $a<0, b>0$. What if $a<0, b<0$ ? Let us examine.

Note that

$ \begin{aligned} i^{2} & =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)} \text{ (by assuming } \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b} \text{ for all real numbers) } \\ & =\sqrt{1}=1 \text{, which is a contradiction to the fact that } i^{2}=-1 \end{aligned} $

Therefore, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$ if both $a$ and $b$ are negative real numbers.

Further, if any of $a$ and $b$ is zero, then, clearly, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$.

4.3.7 Identities

We prove the following identity

$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{, for all complex numbers } z_1 \text{ and } z_2 \text{. } $

Proof We have, $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$,

$$ \begin{aligned} =(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Commutative law of multiplication) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $$

Similarly, we can prove the following identities:

(i) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$

(ii) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$

(iii) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$

(iv) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$

In fact, many other identities which are true for all real numbers, can be proved to be true for all complex numbers.

Example 2 Express the following in the form of $a+b i$ :

(i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}$

Solution (i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\frac{1}{256} i$.

Example 3 Express $(5-3 i)^{3}$ in the form $a+i b$.

Solution We have, $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $$

Example 4 Express $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ in the form of $a+i b$

Solution We have, $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$

$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $

4.4 The Modulus and the Conjugate of a Complex Number

Let $z=a+i b$ be a complex number. Then, the modulus of $z$, denoted by $|z|$, is defined to be the non-negative real number $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, i.e., $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ and the conjugate of $z$, denoted as $\bar{z}$, is the complex number $a-i b$, i.e., $\bar{z}=a-i b$.

For example, $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,

and

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

Observe that the multiplicative inverse of the non-zero complex number $z$ is given by

$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \\ & \text{ or } z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $

Furthermore, the following results can easily be derived.

For any two compex numbers $z_1$ and $z_2$, we have

(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

(ii) $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ provided $|z_2| \neq 0$

(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$

(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $

(v) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}provied z_2\neq0 $.

Example 5 Find the multiplicative inverse of $2-3 i$.

Solution Let $z=2-3 i$

Then $\quad \bar{z}=2+3 i$ and $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

Therefore, the multiplicative inverse of $2-3 i$ is given by

$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i $

The above working can be reproduced in the following manner also,

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

Example 6 Express the following in the form $a+i b$

(i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(ii) $i^{-35}$

Solution (i) We have, $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(ii) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{(i^{2})^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

EXERCISE 4.1

Express each of the complex number given in the Exercises 1 to 10 in the form $a+i b$.

1. $(5 i)(-\dfrac{3}{5} i)$

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Answer :

$ \begin{matrix} (5 i)(\dfrac{-3}{5} i) & =-5 \times \dfrac{3}{5} \times i \times i & \\ & =-3 i^{2} \\ & =-3(-1) & {[i^{2}=-1]} \\ & =3 & \end{matrix} $

2. $i^{9}+i^{19}$

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Answer :

$ \begin{aligned} i^{9}+i^{19} & =i^{4 \times 2+1}+i^{4 \times 4+3} \\ & =(i^{4})^{2} \cdot i+(i^{4})^{4} \cdot i^{3} \\ & =1 \times i+1 \times(-i) \quad[i^{4}=1, i^{3}=-i] \\ & =i+(-i) \\ & =0 \end{aligned} $

3. $i^{-39}$

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Answer :

$ \begin{matrix} i^{-39} & =i^{-4 \times 9-3}=(i^{4})^{-9} \cdot i^{-3} \\ & =(1)^{-9} \cdot i^{-3} & {[i^{4}=1]} \\ & =\dfrac{1}{i^{3}}=\dfrac{1}{-i} & {[i^{3}=-i]} \\ & =\dfrac{-1}{i} \times \dfrac{i}{i} & \\ & =\dfrac{-i}{i^{2}}=\dfrac{-i}{-1}=i & & {[i^{2}=-1]} \end{matrix} $

4. $3(7+i 7)+i(7+i 7)$

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Answer :

$ \begin{matrix} 3(7+i 7)+i(7+i 7) & =21+21 i+7 i+7 i^{2} & \\ & =21+28 i+7 \times(-1) & \\ & =14+28 i & \end{matrix} $

5. $(\dfrac{1}{5}+i \dfrac{2}{5})-(4+i \dfrac{5}{2})$

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Answer :

$ \begin{aligned} & (\dfrac{1}{5}+i \dfrac{2}{5})-(4+i \dfrac{5}{2}) \\ & =\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5} i-4-\dfrac{5}{2} i \\ & =(\dfrac{1}{5}-4)+i(\dfrac{2}{5}-\dfrac{5}{2}) \\ & =\dfrac{-19}{5}+i(\dfrac{-21}{10}) \\ & =\dfrac{-19}{5}-\dfrac{21}{10} i \end{aligned} $

6. $(1-i)^{4}$

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Answer :

$ \begin{aligned} (1-i)^{4} & =[(1-i)^{2}]^{2} \\ & =[1^{2}+i^{2}-2 i]^{2} \\ & =[1-1-2 i]^{2} \\ & =(-2 i)^{2} \\ & =(-2 i) \times(-2 i) \\ & =4 i^{2}=-4 \quad[i^{2}=-1] \end{aligned} $

7. $(1-i)-(-1+i 6)$

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Answer :

$ \begin{aligned} (1-i)-(-1+i 6) & =1-i+1-6 i \\ & =2-7 i \end{aligned} $

8. $[(\dfrac{1}{3}+i \dfrac{7}{3})+(4+i \dfrac{1}{3})]-(-\dfrac{4}{3}+i)$

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Answer :

$[(\dfrac{1}{3}+i \dfrac{7}{3})+(4+i \dfrac{1}{3})]-(\dfrac{-4}{3}+i)$

$=\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{3} i+4+\dfrac{1}{3} i+\dfrac{4}{3}-i$

$=(\dfrac{1}{3}+4+\dfrac{4}{3})+i(\dfrac{7}{3}+\dfrac{1}{3}-1)$

$=\dfrac{17}{3}+i \dfrac{5}{3}$

9. $(\dfrac{1}{3}+3 i)^{3}$

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Answer :

$ \begin{matrix} (\dfrac{1}{3}+3 i)^{3} & =(\dfrac{1}{3})^{3}+(3 i)^{3}+3(\dfrac{1}{3})(3 i)(\dfrac{1}{3}+3 i) \\ & =\dfrac{1}{27}+27 i^{3}+3 i(\dfrac{1}{3}+3 i) & \\ & =\dfrac{1}{27}+27(-i)+i+9 i^{2} & {[i^{3}=-i]} \\ & =\dfrac{1}{27}-27 i+i-9 & \\ & =(\dfrac{1}{27}-9)+i(-27+1) & \\ & =\dfrac{-242}{27}-26 i & \end{matrix} $

10. $(-2-\dfrac{1}{3} i)^{3}$

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Answer :

$ \begin{matrix} (-2-\dfrac{1}{3} i)^{3} & =(-1)^{3}(2+\dfrac{1}{3} i)^{3} & \\ & =-[2^{3}+(\dfrac{i}{3})^{3}+3(2)(\dfrac{i}{3})(2+\dfrac{i}{3})] \\ & =-[8+\dfrac{i^{3}}{27}+2 i(2+\dfrac{i}{3})] & {[i^{3}=-i]} \\ & =-[8-\dfrac{i}{27}+4 i+\dfrac{2 i^{2}}{3}] & {[i^{2}=-1]} \\ & =-[8-\dfrac{i}{27}+4 i-\dfrac{2}{3}] & \\ & =-[\dfrac{22}{3}+\dfrac{107 i}{27}] & \end{matrix} $

Find the multiplicative inverse of each of the complex numbers given in the Exercises 11 to 13.

11. $4-3 i$

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Answer :

Let $z=4 -{3 i}$

Then, $\bar{{}z}=4+3 i$ and $|z|^{2}=4^{2}+(-3)^{2}=16+9=25$

Therefore, the multiplicative inverse of $4- 3 i$ is given by

$ z^{-1}=\dfrac{\bar{{}z}}{|z|^{2}}=\dfrac{4+3 i}{25}=\dfrac{4}{25}+\dfrac{3}{25} i $

12. $\sqrt{5}+3 i$

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Answer :

Let $z=\sqrt{5}+3 i$

Then, $\bar{{}z}=\sqrt{5}-3 i$ and $|z|^{2}=(\sqrt{5})^{2}+3^{2}=5+9=14$

Therefore, the multiplicative inverse of $\sqrt{5}+3 i$ is given by

$z^{-1}=\dfrac{\bar{{}z}}{|z|^{2}}=\dfrac{\sqrt{5}-3 i}{14}=\dfrac{\sqrt{5}}{14}-\dfrac{3 i}{14}$

13. $-i$

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Answer :

Let $z=- i$

Then, $\bar{{}z}=i$ and $|z|^{2}=1^{2}=1$

Therefore, the multiplicative inverse of $- i$ is given by

$z^{-1}=\dfrac{\bar{{}z}}{|z|^{2}}=\dfrac{i}{1}=i$

14. Express the following expression in the form of $a+i b$:

$\dfrac{(3+i \sqrt{5})(3-i \sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2} i)-(\sqrt{3}-i \sqrt{2})}$

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Answer :

$ \dfrac{(3+i \sqrt{5})(3-i \sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2} i)-(\sqrt{3}-i \sqrt{2})} $

$=\dfrac{(3)^{2}-(i \sqrt{5})^{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2} i-\sqrt{3}+\sqrt{2} i} \quad[(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}]$

$=\dfrac{9-5 i^{2}}{2 \sqrt{2} i}$

$=\dfrac{9-5(-1)}{2 \sqrt{2} i} \quad[i^{2}=-1]$

$=\dfrac{9+5}{2 \sqrt{2} i} \times \dfrac{i}{i}$

$=\dfrac{14 i}{2 \sqrt{2} i^{2}}$

$=\dfrac{14 i}{2 \sqrt{2}(-1)}$

$=\dfrac{-7 i}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$=\dfrac{-7 \sqrt{2} i}{2}$

4.5 Argand Plane and Polar Representation

We already know that corresponding to each ordered pair of real numbers $(x, y)$, we get a unique point in the XYplane and vice-versa with reference to a set of mutually perpendicular lines known as the $x$-axis and the $y$-axis. The complex number $x+i y$ which corresponds to the ordered pair $(x, y)$ can be represented geometrically as the unique point $P(x, y)$ in the XY-plane and vice-versa.

Some complex numbers such as $2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ and $1-2 i$ which correspond to the ordered pairs $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$, and $(1,-2)$, respectively, have been represented geometrically by the points $A, B, C, D, E$, and $F$, respectively in the Fig 4.1.

Fig 4.1

The plane having a complex number assigned to each of its point is called the complex plane or the Argand plane.

Obviously, in the Argand plane, the modulus of the complex number $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ is the distance between the point $P(x, y)$ and the origin $O(0,0)$ (Fig 4.2). The points on the $x$-axis corresponds to the complex numbers of the form $a+i 0$ and the points on the $y$-axis corresponds to the complex numbers of the form $0+i b$. The $x$-axis and $y$-axis in the Argand plane are called, respectively, the real axis and the imaginary axis.

Fig 4.2

The representation of a complex number $z=x+i y$ and its conjugate $z=x-i y$ in the Argand plane are, respectively, the points $P(x, y)$ and $Q(x,-y)$. Geometrically, the point $(x,-y)$ is the mirror image of the point $(x, y)$ on the real axis (Fig 4.3).

Fig 4.2

Miscellaneous Examples

Example 7 Find the conjugate of $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$.

Solution We have, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}=\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i \end{aligned} $

Therefore, conjugate of $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ is $\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i$.

Example 8 If $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$, prove that $x^{2}+y^{2}=1$.

Solution We have,

$ x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i $

So that, $x-i y=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$

Therefore,

$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y) & =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1 \end{aligned} $

Miscellaneous Exercise on Chapter 4

1. Evaluate: $[i^{18}+(\dfrac{1}{i})^{25}]^{3}$.

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Answer :

$[i^{18}+(\dfrac{1}{i})^{25}]^{3}$

$=[i^{4 \times 4+2}+\dfrac{1}{i^{4 \times 6+1}}]^{3}$

$=[(i^{4})^{4} \cdot i^{2}+\dfrac{1}{(i^{4})^{6} \cdot i}]^{3}$

$=[i^{2}+\dfrac{1}{i}]^{3} \quad[i^{4}=1]$

$=[-1+\dfrac{1}{i} \times \dfrac{i}{i}]^{3} \quad[i^{2}=-1]$

$=[-1+\dfrac{i}{i^{2}}]^{3}$

$=[-1-i]^{3}$

$=(-1)^{3}[1+i]^{3}$

$=-[1^{3}+i^{3}+3 \cdot 1 \cdot i(1+i)]$

$=-[1+i^{3}+3 i+3 i^{2}]$

$=-[1-i+3 i-3]$

$=-[-2+2 i]$

$=2-2 i$

2. For any two complex numbers $z_1$ and $z_2$, prove that $Re(z_1 z_2)=Re z_1 Re z_2-Im z_1 Im z_2$

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Answer :

Let $z_1=x_1+i y_1$ and $z_2=x_2+i y_2$

$\therefore z_1 z_2=(x_1+i y_1)(x_2+i y_2)$

$=x_1(x_2+i y_2)+i y_1(x_2+i y_2)$

$=x_1 x_2+i x_1 y_2+i y_1 x_2+i^{2} y_1 y_2$

$=x_1 x_2+i x_1 y_2+i y_1 x_2-y_1 y_2 \quad[i^{2}=-1]$

$=(x_1 x_2-y_1 y_2)+i(x_1 y_2+y_1 x_2)$

$\Rightarrow Re(z_1 z_2)=x_1 x_2-y_1 y_2$

$\Rightarrow Re(z_1 z_2)=Re z_1 Re z_2-Im z_1 Im z_2$

Hence, proved.

3. Reduce $(\dfrac{1}{1-4 i}-\dfrac{2}{1+i})(\dfrac{3-4 i}{5+i})$ to the standard form .

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Answer :

$(\dfrac{1}{1-4 i}-\dfrac{2}{1+i})(\dfrac{3-4 i}{5+i})=[\dfrac{(1+i)-2(1-4 i)}{(1-4 i)(1+i)}][\dfrac{3-4 i}{5+i}]$

$=[\dfrac{1+i-2+8 i}{1+i-4 i-4 i^{2}}][\dfrac{3-4 i}{5+i}]=[\dfrac{-1+9 i}{5-3 i}][\dfrac{3-4 i}{5+i}]$

$=[\dfrac{-3+4 i+27 i-36 i^{2}}{25+5 i-15 i-3 i^{2}}]=\dfrac{33+31 i}{28-10 i}=\dfrac{33+31 i}{2(14-5 i)}$

$=\dfrac{(33+31 i)}{2(14-5 i)} \times \dfrac{(14+5 i)}{(14+5 i)} \quad$ [On multiplying numerator and denominator by $(14+5 i)$ ]

$=\dfrac{462+165 i+434 i+155 i^{2}}{2[(14)^{2}-(5 i)^{2}]}=\dfrac{307+599 i}{2(196-25 i^{2})}$

$=\dfrac{307+599 i}{2(221)}=\dfrac{307+599 i}{442}=\dfrac{307}{442}+\dfrac{599 i}{442}$

This is the required standard form.

4. If $x-i y=\sqrt{\dfrac{a-i b}{c-i d}}$ prove that $(x^{2}+y^{2})^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}$.

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Answer :

$x-i y=\sqrt{\dfrac{a-i b}{c-i d}}$

$=\sqrt{\dfrac{a-ib}{c-id} \times \dfrac{c+id}{c+id}}[$ On multiplying numerator and deno min ator by $(c+id)]$

$=\sqrt{\dfrac{(ac+bd)+i(ad-bc)}{c^{2}+d^{2}}}$

$\therefore(x-i y)^{2}=\dfrac{(a c+b d)+i(a d-b c)}{c^{2}+d^{2}}$

$\Rightarrow x^{2}-y^{2}-2 ixy=\dfrac{(ac+bd)+i(ad-bc)}{c^{2}+d^{2}}$

On comparing real and imaginary parts, we obtain

$x^{2}-y^{2}=\dfrac{a c+b d}{c^{2}+d^{2}},-2 x y=\dfrac{a d-b c}{c^{2}+d^{2}}$

$(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}+4 x^{2} y^{2}$

$=(\dfrac{a c+b d}{c^{2}+d^{2}})^{2}+(\dfrac{a d-b c}{c^{2}+d^{2}})^{2} \quad[U sing(1)]$

$=\dfrac{a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+2 a c b d+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}-2 a d b c}{(c^{2}+d^{2})^{2}}$

$=\dfrac{a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}}{(c^{2}+d^{2})^{2}}$

$=\dfrac{a^{2}(c^{2}+d^{2})+b^{2}(c^{2}+d^{2})}{(c^{2}+d^{2})^{2}}$

$=\dfrac{(c^{2}+d^{2})(a^{2}+b^{2})}{(c^{2}+d^{2})^{2}}$

$=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}$

Hence, proved.

5. If $z_1=2-i, z_2=1+i$, find $|\dfrac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+1}|$.

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Answer :

$ \begin{aligned} & z_1=2-i, z_2=1+i \\ & \therefore|\dfrac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+1}|=|\dfrac{(2-i)+(1+i)+1}{(2-i)-(1+i)+1}| \\ & =|\dfrac{4}{2-2 i}|=|\dfrac{4}{2(1-i)}| \\ & =|\dfrac{2}{1-i} \times \dfrac{1+i}{1+i}|=|\dfrac{2(1+i)}{1^{2}-i^{2}}| \\ & =|\dfrac{2(1+i)}{1+1}| \quad[i^{2}=-1] \\ & =|\dfrac{2(1+i)}{2}| \\ & =|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \end{aligned} $

Thus, the value of $|\dfrac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+1}|$ is $\sqrt{2}$.

6. If $a+i b=\dfrac{(x+i)^{2}}{2 x^{2}+1}$, prove that $a^{2}+b^{2}=\dfrac{(x^{2}+1)^{2}}{(2 x^{2}+1)^{2}}$.

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Answer :

$ \begin{aligned} a+i b & =\dfrac{(x+i)^2}{2 x^2+1} \\ & =\dfrac{x^2+i^2+2 x i}{2 x^2+1} \\ & =\dfrac{x^2-1+i 2 x}{2 x^2+1} \\ & =\dfrac{x^2-1}{2 x^2+1}+i(\dfrac{2 x}{2 x^2+1}) \end{aligned} $

On comparing real and imaginary parts, we obtain

$ \begin{aligned} & a=\dfrac{x^{2}-1}{2 x^{2}+1} \text{ and } b=\dfrac{2 x}{2 x^{2}+1} \\ & \begin{aligned} \therefore a^{2}+b^{2} & =(\dfrac{x^{2}-1}{2 x^{2}+1})^{2}+(\dfrac{2 x}{2 x^{2}+1})^{2} \\ = & \dfrac{x^{4}+1-2 x^{2}+4 x^{2}}{(2 x+1)^{2}} \\ & =\dfrac{x^{4}+1+2 x^{2}}{(2 x^{2}+1)^{2}} \\ & =\dfrac{(x^{2}+1)^{2}}{(2 x^{2}+1)^{2}} \\ \therefore a^{2}+b^{2} & =\dfrac{(x^{2}+1)^{2}}{(2 x^{2}+1)^{2}} \end{aligned} \end{aligned} $

Hence, proved.

7. Let $z_1=2-i, z_2=-2+i$. Find

(i) $ Re(\dfrac{z _1 z _2}{\bar z _1}) $,

(ii) $ Im(\dfrac{1}{z _1 \bar z _1}) $.

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Answer :

$z_1=2-i, z_2=-2+i$

(i) $z_1 z_2=(2-i)(-2+i)=-4+2 i+2 i-i^{2}=-4+4 i-(-1)=-3+4 i$

$ \overline{z}_1=2+i $

$\therefore \dfrac{z_1 z_2}{\overline{z}_1}=\dfrac{-3+4 i}{2+i}$

On multiplying numerator and denominator by $( 2 - i)$, we obtain

$ \begin{aligned} \dfrac{z_1 z_2}{\bar{z}_1} & =\dfrac{(-3+4 i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\dfrac{-6+3 i+8 i-4 i^{2}}{2^{2}+1^{2}}=\dfrac{-6+11 i-4(-1)}{2^{2}+1^{2}} \\ & =\dfrac{-2+11 i}{5}=\dfrac{-2}{5}+\dfrac{11}{5} i \end{aligned} $

On comparing real parts, we obtain

$Re(\dfrac{z_1 z_2}{\bar{z}_1})=\dfrac{-2}{5}$

(ii)

$ \dfrac{1}{z_1 \bar{z}_1}=\dfrac{1}{(2-i)(2+i)}=\dfrac{1}{(2)^{2}+(1)^{2}}=\dfrac{1}{5} $

On comparing imaginary parts, we obtain

$Im(\dfrac{1}{z_1 \bar{z}_1})=0$

8. Find the real numbers $x$ and $y$ if $(x-i y)(3+5 i)$ is the conjugate of $-6-24 i$.

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Answer :

Let $z=(x-i y)(3+5 i)$

$z=3 x+5 x i-3 y i-5 y i^{2}=3 x+5 x i-3 y i+5 y=(3 x+5 y)+i(5 x-3 y)$

$\therefore \bar{{}z}=(3 x+5 y)-i(5 x-3 y)$

It is given that, $\bar{{}z}=-6-24 i$

$\therefore(3 x+5 y)-i(5 x-3 y)=-6-24 i$

Equating real and imaginary parts, we obtain

$3 x+5 y=-6$ $5 x-3 y=24$

Multiplying equation (i) by 3 and equation (ii) by 5 and then adding them, we obtain

$ \begin{aligned} 9x + 15y &= -18 \\ 25x - 15y &= 120 \\ \hline 34x &= 102 \\ \therefore x &= \dfrac{102}{34} = 3 \end{aligned} $

Putting the value of $x$ in equation (i), we obtain

$ \begin{aligned} & 3(3)+5 y=-6 \\ & \Rightarrow 5 y=-6-9=-15 \\ & \Rightarrow y=-3 \end{aligned} $

Thus, the values of $x$ and $y$ are 3 and - 3 respectively.

9. Find the modulus of $\dfrac{1+i}{1-i}-\dfrac{1-i}{1+i}$.

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Answer :

$ \begin{aligned} \dfrac{1+i}{1-i}-\dfrac{1-i}{1+i} & =\dfrac{(1+i)^{2}-(1-i)^{2}}{(1-i)(1+i)} \\ & =\dfrac{1+i^{2}+2 i-1-i^{2}+2 i}{1^{2}+1^{2}} \\ & =\dfrac{4 i}{2}=2 i \\ \therefore|\dfrac{1+i}{1-i}-\dfrac{1-i}{1+i}| & =|2 i|=\sqrt{2^{2}}=2 \end{aligned} $

10. If $(x+i y)^{3}=u+i v$, then show that $\dfrac{u}{x}+\dfrac{v}{y}=4(x^{2}-y^{2})$.

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Answer :

$ \begin{aligned} & (x+i y)^{3}=u+i v \\ & \Rightarrow x^{3}+(i y)^{3}+3 \cdot x \cdot i y(x+i y)=u+i v \\ & \Rightarrow x^{3}+i^{3} y^{3}+3 x^{2} y i+3 x y^{2} i^{2}=u+i v \\ & \Rightarrow x^{3}-i y^{3}+3 x^{2} y i-3 x y^{2}=u+i v \\ & \Rightarrow(x^{3}-3 x y^{2})+i(3 x^{2} y-y^{3})=u+i v \end{aligned} $

On equating real and imaginary parts, we obtain

$ \begin{aligned} & u=x^{3}-3 x y^{2}, v=3 x^{2} y-y^{3} \\ & \therefore \dfrac{u}{x}+\dfrac{v}{y}=\dfrac{x^{3}-3 x y^{2}}{x}+\dfrac{3 x^{2} y-y^{3}}{y} \\ & =\dfrac{x(x^{2}-3 y^{2})}{x}+\dfrac{y(3 x^{2}-y^{2})}{y} \\ & =x^{2}-3 y^{2}+3 x^{2}-y^{2} \\ & =4 x^{2}-4 y^{2} \\ & =4(x^{2}-y^{2}) \\ & \therefore \dfrac{u}{x}+\dfrac{v}{y}=4(x^{2}-y^{2}) \end{aligned} $

Hence, proved.

11. If $\alpha$ and $\beta$ are different complex numbers with $|\beta|=1$, then find $|\dfrac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta}|$.

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Answer :

Let $\alpha=a+i b $ and $ \beta=x+i y $

It is given that, $|\beta|=1$

$\therefore \sqrt{x^{2}+y^{2}}=1$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}=1$

$ \begin{aligned} &|\dfrac{\beta-\alpha}{1-\bar{{}\alpha} \beta}|=|\dfrac{(x+i y)-(a+i b)}{1-(a-i b)(x+i y)}| \\ &=|\dfrac{(x-a)+i(y-b)}{1-(a x+a i y-i b x+b y)}| \\ &=|\dfrac{(x-a)+i(y-b)}{(1-a x-b y)+i(b x-a y)}| \\ &=\dfrac{|(x-a)+i(y-b)|}{(1-a x-b y)+i(b x-a y) \mid} \quad[|\dfrac{z_1}{z_2}|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}] \\ &=\dfrac{\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}{\sqrt{(1-a x-b y)^{2}+(b x-a y)^{2}}} \\ &=\dfrac{\sqrt{x^{2}+a^{2}-2 a x+y^{2}+b^{2}-2 b y}}{\sqrt{1+a^{2} x^{2}+b^{2} y^{2}-2 a x+2 a b x y-2 b y+b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}-2 a b x y}} \\ &=\dfrac{\sqrt{(x^{2}+y^{2})+a^{2}+b^{2}-2 a x-2 b y}}{\sqrt{1+a^{2}(x^{2}+y^{2})+b^{2}(y^{2}+x^{2})-2 a x-2 b y}} \\ &=\dfrac{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}-2 a x-2 b y}}{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}-2 a x-2 b y}} \\ &=1 \\ & \therefore|\dfrac{\beta-\alpha}{1-\bar{{}\alpha} \beta}|=1 \end{aligned} $

12. Find the number of non-zero integral solutions of the equation $|1-i|^{x}=2^{x}$.

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Answer :

$ \begin{aligned} & |1-i|^{x}=2^{x} \\ & \Rightarrow(\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}})^{x}=2^{x} \\ & \Rightarrow(\sqrt{2})^{x}=2^{x} \\ & \Rightarrow 2^{\dfrac{x}{2}}=2^{x} \\ & \Rightarrow \dfrac{x}{2}=x \\ & \Rightarrow x=2 x \\ & \Rightarrow 2 x-x=0 \\ & \Rightarrow x=0 \end{aligned} $

Thus, 0 is the only integral solution of the given equation. Therefore, the number of non-zero integral solutions of the given equation is 0 .

13. If $(a+i b)(c+i d)(e+i f)(g+i h)=A+i B$, then show that $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})(e^{2}+f^{2})(g^{2}+h^{2})=A^{2}+B^{2}$

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Answer :

$(a+i b)(c+i d)(e+i f)(g+i h)=A+i B$

$\therefore|(a+i b)(c+i d)(e+i f)(g+i h)|=|A+i B|$

$\Rightarrow|(a+i b)| \times(c+i d)|\times|(e+i f)|\times|(g+i h)|=| A+i B \mid \quad[|z_1 z_2|=|z_1||z_2|]$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}} \times \sqrt{c^{2}+d^{2}} \times \sqrt{e^{2}+f^{2}} \times \sqrt{g^{2}+h^{2}}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}$

On squaring both sides, we obtain

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})(e^{2}+f^{2})(g^{2}+h^{2})=A^{2}+B^{2}$

Hence, proved.

14. If $(\dfrac{1+i}{1-i})^{m}=1$, then find the least positive integral value of $m$.

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Answer :

$ \begin{aligned} & (\dfrac{1+i}{1-i})^{m}=1 \\ & \Rightarrow(\dfrac{1+i}{1-i} \times \dfrac{1+i}{1+i})^{m}=1 \\ & \Rightarrow(\dfrac{(1+i)^{2}}{1^{2}+1^{2}})^{m}=1 \\ & \Rightarrow(\dfrac{1^{2}+i^{2}+2 i}{2})^{m}=1 \\ & \Rightarrow(\dfrac{1-1+2 i}{2})^{m}=1 \\ & \Rightarrow(\dfrac{2 i}{2})^{m}=1 \\ & \Rightarrow i^{m}=1 \end{aligned} $

$\therefore m=4 k$, where $k$ is some integer.

Therefore, the least positive integer is 1.

Thus, the least positive integral value of $m$ is $4(=4 \times 1)$.

Summary

A number of the form $a+i b$, where $a$ and $b$ are real numbers, is called a complex number, $a$ is called the real part and $b$ is called the imaginary part of the complex number.

Let $z_1=a+i b$ and $z_2=c+i d$. Then

(i) $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$

(ii) $z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)$

For any non-zero complex number $z=a+i b(a \neq 0, b \neq 0)$, there exists the complex number $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}$, denoted by $\frac{1}{z}$ or $z^{-1}$, called the multiplicative inverse of $z$ such that $(a+i b) \frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=1+i 0$ $=1$

For any integer $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$

The conjugate of the complex number $z=a+i b$, denoted by $\bar{z}$, is given by $\bar{z}=a-i b$.

Historical Note

The fact that square root of a negative number does not exist in the real number system was recognised by the Greeks. But the credit goes to the Indian mathematician Mahavira (850) who first stated this difficulty clearly. “He mentions in his work ‘Ganitasara Sangraha’ as in the nature of things a negative (quantity) is not a square (quantity)’, it has, therefore, no square root”. Bhaskara, another Indian mathematician, also writes in his work Bijaganita, written in 1150. “There is no square root of a negative quantity, for it is not a square.” Cardan (1545) considered the problem of solving

$ x+y=10, x y=40 . $

He obtained $x=5+\sqrt{-15}$ and $y=5-\sqrt{-15}$ as the solution of it, which was discarded by him by saying that these numbers are ‘useless’. Albert Girard (about 1625) accepted square root of negative numbers and said that this will enable us to get as many roots as the degree of the polynomial equation. Euler was the first to introduce the symbol $i$ for $\sqrt{-1}$ and W.R. Hamilton (about 1830) regarded the complex number $a+i b$ as an ordered pair of real numbers $(a, b)$ thus giving it a purely mathematical definition and avoiding use of the so called ‘imaginary numbers’.

Mathematics is the Queen of Sciences and Arithmetic is the Queen of Mathematics. - GAUSS

4.1 भूमिका (Introduction)

पिछली कक्षाओं में हमने एक और दो चर की एक घातीय समीकरणों का तथा एक चर की द्विघातीय समीकरणों का अध्ययन किया है। हमने देखा है कि समीकरण $x^{2}+1=0$ का कोई वास्तविक हल नहीं है क्योंकि $x^{2}+1=0$ से हमें $x^{2}=-1$ प्राप्त होता है और प्रत्येक वास्तविक संख्या का वर्ग श्रेणेतर होता है इसलिए वास्तविक संख्या प्रणाली को बृहद प्रणाली के रूप में बढ़ाने की आवश्यकता है जिससे कि हम समीकरण $x^{2}=-1$ का हल प्राप्त कर सकें। वास्तव में, मुख्य उद्देश्य समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ का हल प्राप्त करना है, जहाँ $\mathrm{D}=b^{2}-4 a c<0$ है, जोकि वास्तविक संख्याओं की प्रणाली में संभव नहीं है।

W. R. Hamilton (1805-1865 A.D.)

4.2 सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers)

हम कल्पना करें कि $\sqrt{-1}$ संकेतन $i$ से निरूपित है। तब हमें $i^{2}=-1$ प्राप्त होता है। इसका तात्पर्य है कि $i$, समीकरण $x^{2}+1=0$ का एक हल है।

$a+i b$ के प्रारूप की एक संख्या जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, एक सम्मिश्र संख्या परिभाषित करती है। उदाहरण के लिए, $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i\left(\frac{-1}{11}\right)$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं।

सम्मिश्र संख्या $z=a+i b$ के लिए, $a$ वास्तविक भाग कहलाता है तथा $\operatorname{Re} z$ द्वारा निरूपित किया जाता है और $b$ काल्पनिक भाग कहलाता है तथा $\operatorname{Im} z$ द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $z=2+i 5$, तब $\operatorname{Re} z=2$ और $\operatorname{Im} z=5$

दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_{1}=a+i b$ तथा $z_{2}=$ $c+i d$ समान होंगी यदि $a=c$ और $b=d$.

उदाहरण 1 यदि $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$, जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तब $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।

हल हमें दिया है

$$ \begin{equation*} 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} \end{equation*} $$

दोनों ओर के वास्तविक तथा काल्पनिक भागों को समान लेते हुए, हमें प्राप्त होता है,

$$ 4 x=3,3 x-y=-6 \text {, } $$

जिन्हें युगपत् हल करने पर, $x=\frac{3}{4}$ और $y=\frac{33}{4}$

4.3 सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित (Algebra of Complex Numbers)

इस भाग में, हम सम्मिश्र संख्याओं के बीजगणित का विकास करेंगे।

4.3.1 दो सम्मिश्र, संख्याओं का योग (Addition of two complex numbers) यदि

$z_{1}=a+i b$ और $z_{2}=c+i d$ कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तब $z_{1}+z_{2}$ के योग को निम्नलिखित रूप से परिभाषित किया जाता है:

$z_{1}+z_{2}=(a+c)+i(b+d)$, जो कि पुन: एक सम्मिश्र संख्या है।

उदाहरण के लिए, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

सम्मिश्र संख्याओं के योग निम्नलिखित प्रगुणों को संतुष्ट करते हैं।

(i) संवरक नियम दो सम्मिश्र संख्याओं का योगफल एक सम्मिश्र संख्या होती है, अर्थात सारी सम्मिश्र सख्याओं $z_{1}$ तथा $z_{2}$ के लिए, $z_{1}+z_{2}$ एक सम्मिश्र संख्या है।

(ii) क्रम विनिमय नियम किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ तथा $z_{2}$ के लिए $ z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1} $

(iii) साहचर्य नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}, z_{2}$ तथा $z_{3}$ के लिए $ \left(z_{1}+z_{2}\right)+z_{3}=z_{1}+\left(z_{2}+z_{3}\right) . $

(iv) योगात्मक तत्समक का अस्तित्व सम्मिश्र संख्या $0+i 0$ ( 0 के द्वारा दर्शाया जाता है), योगात्मक तत्समक अथवा शून्य सम्मिश्र संख्या कहलाता है जिससे कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z, z+0=z$.

(v) योगात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z=a+i b$, के लिए हमें सम्मिश्र संख्या $-a+i(-b)(-z$ के द्वारा दर्शाया जाता है) प्राप्त होती है, जोकि योगात्मक प्रतिलोम अथवा $z$ का ॠण कहलाता है। हम प्रेक्षित करते हैं कि $z+(-z)=0$ (योगात्मक तत्समक)।

4.3.2 दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर (Difference of two complex numbers)

किन्हीं दी गई सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ का अंतर $z_{1}-z_{2}$ निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है:

उदाहरण के लिए

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

और

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

4.3.3 सम्मिश्र संख्याओं का गुणन (Multiplication of two complex numbers)

मान लीजिए $z_{1}=a+i b$ तथा $z_{2}=c+i d$ कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तब गुणनफल $z_{1} \cdot z_{2}$ निम्नलिखित रूप से परिभाषित किया जाता है:

$$ z_{1} z_{2}=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

उदाहरण के लिए, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

सम्मिश्र संख्याओं के गुणन की संक्रिया में निम्नलिखित प्रगुण होते हैं:

(i) संवरक नियम दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल, एक सम्मिश्र संख्या होती है, सारी सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ तथा $z_{2}$ के लिए, गुणनफल $z_{1}, z_{2}$ एक सम्मिश्र संख्या होती है।

(ii) क्रम विनिमय नियम किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ तथा $z_{2}$ के लिए,

$$ z_{1} z_{2}=z_{2} z_{1} $$

(iii) साहचर्य नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}, z_{2}$ तथा $z_{3}$ के लिए

$$ \left(z_{1} z_{2}\right) z_{3}=z_{1}\left(z_{2} z_{3}\right) $$

(iv) गुणात्मक तत्समक का आस्तित्व सम्मिश्र संख्या $1+i 0$ ( 1 के द्वारा दर्शाया जाता है), गुणात्मक तत्समक अथवा एकल सम्मिश्र संख्या कहलाता है जिससे कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए $z .1=z$

(v) गुणात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व प्रत्येक शून्येत्तर सम्मिश्र संख्या $z=a+i b$ $(a \neq 0, b \neq 0)$ के लिए, हमें सम्मिश्र संख्या $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\left(\frac{1}{z}\right.$ अथवा $z^{-1}$ के द्वारा दर्शाया जाता है) प्राप्त होती है, $z$ की गुणात्मक प्रतिलोम कहलाती है जिससे कि

$\quad z \cdot \frac{1}{z}=1$ (गुणात्मक तत्समक)

(vi) बंटन नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ के लिए

(a) $z_{1}\left(z_{2}+z_{3}\right)=z_{1} z_{2}+z_{1} z_{3}$

(b) $\left(z_{1}+z_{2}\right) z_{3}=z_{1} z_{3}+z_{2} z_{3}$

4.3.4 दो सम्मिश्र संख्याओं का भागफल (Division of two complex numbers)

किन्हीं दो दी हुई सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ तथा $z_{2}$ के लिए, जहाँ $z_{2} \neq 0$, भागफल $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया जाता है

$\frac{z_{1}}{z_{2}}=z_{1} \frac{1}{z_{2}}$

उदाहरण के लिए, मान लिया $z_{1}=6+3 i$ और $z_{2}=2-i$

तब

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

4.3.5 $i$ की घात (Power of $i$ )

हमें ज्ञात हैं :

$$ \begin{array}{ll} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=\left(i^{2}\right)^{2}=(-1)^{2}=1\\ i^{5}=\left(i^{2}\right)^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=\left(i^{2}\right)^{3}=(-1)^{3}=-1 \text { इत्यादि, } \end{array} $$

इसी प्रकार हम और भी प्राप्त करते हैं: $i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$,

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

सामान्य रूप से, किसी पूर्णांक $k$ के लिए, $i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$

4.3.6 एक ॠण वास्तविक संख्या के वर्गमूल (The square roots of a negative real number)

ज्ञात है: $i^{2}=-1$ और $(-i)^{2}=i^{2}=-1$. इसलिए -1 के वर्गमूल $i$ और $-i$ हैं।

यद्यपि चिह्न $\sqrt{-1}$, का अर्थ हमारे लिए केवल $i$ होगा।

अब हम देख सकते हैं कि $i$ और $-i$ दोनों समीकरण $x^{2}+1=0$ अथवा $x^{2}=-1$ के हल हैं।

इसी प्रकार, $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ \text { और } \quad(-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

इसलिए - -3 के वर्गमूल $\sqrt{3} i$ और $-\sqrt{3} i$ हैं।

फिर से केवल $\sqrt{3} i$ को दर्शाने के लिए ही प्रतीक $\sqrt{-3}$ का प्रयोग किया जाता है, अर्थात् $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$.

सामान्यतया यदि $a$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, तब $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,

हम जानते हैं कि सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ यह परिणाम तब भी सत्य होगा, जब $a>0, b<0$ या $a<0, b>0$. क्या होगा ? यदि $a<0, b<0$, हम इसकी जाँच करते हैं

नोट कीजिए कि

$i^{2}=\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1$ जोकि इस बात का विरोधाभास है कि $i^{2}=-1$

इसलिए, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$ यदि $a$ और $b$ दोनों ऋण वास्तविक संख्याएँ हैं।

आगे यदि $a$ और $b$ दोनों में से कोई भी शून्य है, तब स्पष्ट रूप से $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$

4.3.7 तत्समक (Identities)

हम निम्नलिखित तत्समक को सिद्ध करते हैं:

किन्हीं सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए $$ \left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+2 z_{1} z_{2} $$

उपपत्ति हमें प्राप्त होता है, $\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(z_{1}+z_{2}\right)$

$$ \begin{aligned} & =\left(z_{1}+z_{2}\right) z_{1}+\left(z_{1}+z_{2}\right) z_{2} \text { (बंटन नियम) }\\ & =z_{1}^{2}+z_{2} z_{1}+z_{1} z_{2}+z_{2}^{2} \quad \text { (बंटन नियम) }\\ & =z_{1}^{2}+z_{1} z_{2}+z_{1} z_{2}+z_{2}^{2} \text { (गुणन का क्रम विनिमय नियम) }\\ & =z_{1}^{2}+2 z_{1} z_{2}+z_{2}^{2} \end{aligned} $$

इसी भाँति हम निम्नलिखित तत्समकों को सिद्ध कर सकते हैं:

(i) $\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}=z_{1}^{2}-2 z_{1} z_{2}+z_{2}^{2}$

(ii) $\left(z_{1}+z_{2}\right)^{3}=z_{1}^{3}+3 z_{1}^{2} z_{2}+3 z_{1} z_{2}^{2}+z_{2}^{3}$

(iii) $\left(z_{1}-z_{2}\right)^{3}=z_{1}^{3}-3 z_{1}^{2} z_{2}+3 z_{1} z_{2}^{2}-z_{2}^{3}$

(iv) $z_{1}^{2}-z_{2}^{2}=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(z_{1}-z_{2}\right)$

वास्तव में बहुत से दूसरे तत्समकों को जोकि सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य हैं, सभी सम्मिश्र संख्याओं की सत्यता के लिए सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण 2 निम्नलिखित को $a+i b$ के रूप में व्यक्त करें:

(i) $(-5 i)\left(\frac{1}{8} i\right)$

(ii) $(-i)(2 i)\left(-\frac{1}{8} i\right)^{3}$

हल (i) $(-5 i)\left(\frac{1}{8} i\right)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(ii) $(-i)(2 i)\left(-\frac{1}{8} i\right)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}\left(i^{2}\right)^{2} i=\frac{1}{256} i$

उदाहरण $3(5-3 i)^{3}$ को $a+b i$ के रूप में व्यक्त करें:

हल हमें प्राप्त है, $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i $$

उदाहरण $4(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ को $a+i b$ के रूप में व्यक्त करें।

हल हमें प्राप्त है $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$

$$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $$

4.4 सम्मिश्र संख्या का मापांक और संयुग्मी (The Modulus and the Conjugate of a Complex Number)

मान लीजिए $z=a+i b$ एक सम्मिश्र संख्या है। तब $z$ का मापांक, जो $|z|$ द्वारा दर्शाया जाता है, को ॠणेत्तर वास्तविक संख्या $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है अर्थात् $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ और $z$ का संयुग्मी, जो $\bar{z}$ द्वारा दर्शाया जाता है, सम्मिश्र संख्या $a-i b$ होता है, अर्थात् $\bar{z}=a-i b$

उदाहरण के लिए, $|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,

और

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

हम प्रेक्षित करते हैं कि ऋणेत्तर सम्मिश्र संख्या $z=a+i b$ का गुणात्मक प्रतिलोम

$ z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \text {, होता है } $ अर्थात् $ z \bar{z}=|z|^{2} $

अग्रतः किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ एवं $z_{2}$ के लिए

निम्नलिखित निष्कर्षो को सुगमता से व्युत्पन्न किया जा सकता है:

(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

(ii) $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ provided $|z_2| \neq 0$

(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$

(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $

(v) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}provied z_2\neq0 $.

उदाहरण 5 $2-3 i$ का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

हल मान लिया $z=2-3 i$

तब $\bar{z}=2+3 i$ और $|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

इसलिए, $2-3 i$ का गुणात्मक प्रतिलोम

$$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \text { प्राप्त होता है। } $$

ऊपर दिया गया सारा हल निम्नलिखित ढंग से भी दिखाया जा सकता है:

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

उदाहरण 6 निम्नलिखित को $a+i b$ के रूप में व्यक्त करें।

(i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(ii) $i^{-35}$

हल (i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(ii) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{\left(i^{2}\right)^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

प्रश्नावली 4.1

प्रश्न 1 से 10 तक की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को $a+i b$ के रूप में व्यक्त कीजिए।

1. $(5 i)(-\frac{3}{5} i)$

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2. $i^{9}+i^{19}$

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3. $i^{-39}$

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4. $3(7+i 7)+i(7+i 7)$

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5. $(\frac{1}{5}+i \frac{2}{5})-(4+i \frac{5}{2})$

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6. $(1-i)^{4}$

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7. $(1-i)-(-1+i 6)$

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8. $[(\frac{1}{3}+i \frac{7}{3})+(4+i \frac{1}{3})]-(-\frac{4}{3}+i)$

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9. $(\frac{1}{3}+3 i)^{3}$

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10. $(-2-\frac{1}{3} i)^{3}$

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11. $4-3 i$

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12. $\sqrt{5}+3 i$

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13. $-i$

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14. Express the following expression in the form of $a+i b$ :

$ \frac{(3+i \sqrt{5})(3-i \sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2} i)-(\sqrt{3}-i \sqrt{2})} $

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4.5 आर्गड तल और ध्रुवीय निरूपण (Argand Plane and Polar Representation)

जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं कि वास्तविक संख्याओं $(x, y)$ के प्रत्येक क्रमित युग्म के संगत, हमें $\mathrm{XY}$ तल में दो पारस्परिक लंब रेखाओं के संदर्भ में जिन्हें $x$-अक्ष $y$-अक्ष द्वारा जाना जाता है, एक अद्वितीय बिंदु प्राप्त होता है। अर्थात् सम्मिश्र संख्या $x+i y$ का जो क्रमित युग्म $(x, y)$ के संगत है, तल में एक अद्वितीय बिंदु $(x, y)$ के रूप में ज्यामितीय निरूपण किया जा सकता है। यह कथन विलोमतः सत्य है।

कुछ सम्मिश्र संख्याओं जैसे $2+4 i$, $-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ और $1-2 i$ को जोकि क्रमित युग्मों $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0)$, $(-5,-2)$ और $(1,-2)$ वे संगत हैं, आकृति 4.1 में बिंदुओं $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ और $\mathrm{F}$ द्वारा ज्यामितीय निरूपण किया गया है।

आकृति 4.1

तल, जिसमें प्रत्येक बिंदु को एक सम्मिश्र संख्या द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, सम्मिश्र तल या आर्गड तल कहलाता है।

आर्गड तल में सम्मिश्र संख्या $(x+i y)$ का मापांक बिंदु $\mathrm{P}(x, y)$ से मूल बिंदु $\mathrm{O}(0,0)$ के बीच की दूरी द्वारा प्रॉप्त होता है (आकृति 4.2)। $x$-अक्ष पर बिंदु, सम्मिश्र संख्याओं $a+i 0$ रूप के संगत होते हैं और $y$-अक्ष पर बिंदु, सम्मिश्र संख्याओं $0+i b$ रूप के संगत होते हैं। आर्गड तल में $x$-अक्ष और $y$-अक्ष क्रमश: वास्तविक अक्ष और काल्पनिक अक्ष कहलाते हैं।

आकृति 4.2

आर्गड तल में सम्मिश्र संख्या $z=x+i y$ और इसकी संयुग्मी $\bar{z}=x-i y$ को बिंदुओं $\mathrm{P}(x, y)$ और $\mathrm{Q}(x,-y)$ के द्वारा निरूपित किया गया है। ज्यामितीय भाषा से, बिंदु $(x,-y)$ वास्तविक अक्ष के सापेक्ष बिंदु $(x, y)$ का दर्पण प्रतिबिंब कहलाता है (आकृति 4.3)।

आकृति 4.3

विविध उदाहरण

उदाहरण 7 $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ का संयुग्मी ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}=\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i \end{aligned} $

इसलिए $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ का संयुग्मी, $\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i$ है।

उदाहरण 8 यदि $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$ है तो, सिद्ध कीजिए कि $x^{2}+y^{2}=1$

हल हमें प्राप्त है,

$x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$

इसलिए, $x-i y=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$

इस प्रकार

$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y) & =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1 \end{aligned} $

अध्याय 4 पर विविध प्रश्नावली

1. $[i^{18}+(\frac{1}{i})^{25}]^{3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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2. किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ and $z_2$ के लिए, सिद्ध कीजिए $Re(z_1 z_2)=Re z_1 Re z_2-Im z_1 Im z_2$

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3. $(\frac{1}{1-4 i}-\frac{2}{1+i})(\frac{3-4 i}{5+i})$ को मानक रूप में परिवर्तित कीजिए।

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4. यदि $x-i y=\sqrt{\frac{a-i b}{c-i d}}$ तो सिद्ध कीजिए कि $(x^{2}+y^{2})^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}$.

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5. यदि $z_1=2-i, z_2=1+i$, $|\frac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+1}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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6. यदि $a+i b=\frac{(x+i)^{2}}{2 x^{2}+1}$, सिद्ध कीजिए कि, $a^{2}+b^{2}=\frac{(x^{2}+1)^{2}}{(2 x^{2}+1)^{2}}$.

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7. माना $z_1=2-i, z_2=-2+i$.निम्न का मान निकालिए।

(i) $ Re(\frac{z _1 z _2}{\bar z _1}) $,

(ii) $ Im(\frac{1}{z _1 \bar z _1}) $.

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8. ज्ञात कीजिए $x$ and $y$ यदि $(x-i y)(3+5 i)$ की संयुग्मी है $-6-24 i$.

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9. $\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}$ का मापांक ज्ञात कीजिए।

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10. यदि $(x+i y)^{3}=u+i v$, तो दशाईए कि $\frac{u}{x}+\frac{v}{y}=4(x^{2}-y^{2})$.

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11. यदि $\alpha$ और $\beta$ भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं जहाँ $|\beta|=1$, तब $|\frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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12. समीकरण $|1-i|^{x}=2^{x}$ के शून्येत्तर पूर्णांक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

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13. यदि $(a+i b)(c+i d)(e+i f)(g+i h)=A+i B$ है, तो दर्शाइए कि $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})(e^{2}+f^{2})(g^{2}+h^{2})=A^{2}+B^{2}$

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14. यदि $(\frac{1+i}{1-i})^{m}=1$,तो $m$ का न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

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सारांश

$a+i b$ के प्रारूप की एक संख्या, जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, एक सम्मिश्र संख्या कहलाती है, $a$ सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग और $b$ इसका काल्पनिक भाग कहलाता है।

माना $z_{1}=a+i b$ और $z_{2}=c+i d$, तब

(i) $\quad z_{1}+z_{2}=(a+c)+i(b+d)$

(ii) $\quad z_{1} z_{2}=(a c-b d)+i(a d+b c)$

किसी शून्येत्तर सम्मिश्र संख्या $z=a+i b(a \neq 0, b \neq 0)$ के लिए, एक सम्मिश्र संख्या $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}$, का अस्तित्व होता है, इसे $\frac{1}{z}$ या $z^{-1}$ द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है और $z$ का गुणात्मक प्रतिलोम कहलाता है जिससे कि $(a+i b)\left(\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\right)$ $=1+i 0=1$ प्राप्त होता है।

किसी पूर्णांक $k$ के लिए, $i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$

सम्मिश्र संख्या $z=a+i b$ का संयुग्मी $\bar{z}$ द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है और $\bar{z}=a-i b$ द्वारा दर्शाया जाता है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

यूनानियों ने इस तथ्य को पहचाना था कि एक ऋण संख्या के वर्गमूल का वास्तविक संख्या पद्धति में कोई अस्तित्व नहीं है परंतु इसका श्रेय भारतीय गणितज्ञ Mahavira ( 850 ई०) को जाता है जिन्होंने सर्वप्रथम इस कठिनाई का स्पष्टतः उल्लेख किया। “उन्होंने अपनी कृति ‘गणित सार संग्रह’ में बताया कि ऋण (राशि) एक पूर्णवर्ग (राशि) नहीं है, अतः इसका वर्गमूल नहीं होता है।” एक दूसरे भारतीय गणितज्ञ Bhaskara ने 1150 ई० में अपनी कृति ‘बीजगणित’ में भी लिखा है, “ऋण राशि का कोई वर्गमूल नहीं होता है क्योंकि यह एक वर्ग नहीं है।" Cardan (1545 इ०) ने

$x+y=10, x y=40$

को हल करने में उत्पन्न समस्या पर ध्यान दिया। उन्होंने $x=5+\sqrt{-15}$ तथा $y=5-\sqrt{-15}$ इसके हल के रूप में ज्ञात किया जिसे उन्होंने स्वयं अमान्यकर दिया कि ये संख्याएँ व्यर्थ (useless) हैं। Albert Girard (लगभग 1625 ई०) ने ऋण संख्याओं के वर्गमूल को स्वीकार किया और कहा कि, इससे हम बहुपदीय समीकरण की जितनी घात होगी, उतने मूल प्राप्त कराने में सक्षम होंगे। Euler ने सर्वप्रथम $\sqrt{-1}$ को $i$ संकेतन प्रदान किया तथा W.R. Hamilton (लगभग 1830 ई०) ने एक शुद्ध गणितीय परिभाषा देकर और तथाकथित ‘काल्पनिक संख्या’ के प्रयोग को छोड़ते हुए सम्मिश्र संख्या $a+i b$ को वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्म $(a, b)$ के रूप में प्रस्तुत किया।



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