Chapter-03 Trigonometric Functions
A mathematician knows how to solve a problem, he can not solve it. - MILNE
3.1 Introduction
The word ’trigonometry’ is derived from the Greek words ’trigon’ and ‘metron’ and it means ‘measuring the sides of a triangle’. The subject was originally developed to solve geometric problems involving triangles. It was studied by sea captains for navigation, surveyor to map out the new lands, by engineers and others. Currently, trigonometry is used in many areas such as the science of seismology, designing electric circuits, describing the state of an atom, predicting the heights of tides in the ocean, analysing a musical tone and in many other areas.
Arya Bhatt (476-550 B.C.)
In earlier classes, we have studied the trigonometric ratios of acute angles as the ratio of the sides of a right angled triangle. We have also studied the trigonometric identities and application of trigonometric ratios in solving the problems related to heights and distances. In this Chapter, we will generalise the concept of trigonometric ratios to trigonometric functions and study their properties.
3.2 Angles
Fig 3.1
Angle is a measure of rotation of a given ray about its initial point. The original ray is called the initial side and the final position of the ray after rotation is called the terminal side of the angle. The point of rotation is called the vertex. If the direction of rotation is anticlockwise, the angle is said to be positive and if the direction of rotation is clockwise, then the angle is* negative* (Fig 3.1).
The measure of an angle is the amount of rotation performed to get the terminal side from the initial side. There are several units for measuring angles. The definition of an angle
Fig 3.2
Fig 3.2 suggests a unit, viz. one complete revolution from the position of the initial side as indicated in Fig 3.2.
This is often convenient for large angles. For example, we can say that a rapidly spinning wheel is making an angle of say 15 revolution per second. We shall describe two other units of measurement of an angle which are most commonly used, viz. degree measure and radian measure.
3.2.1 Degree measure
If a rotation from the initial side to terminal side is $(\frac{1}{360})^{\text{th }}$ of a revolution, the angle is said to have a measure of one degree, written as $1^{\circ}$. A degree is divided into 60 minutes, and a minute is divided into 60 seconds. One sixtieth of a degree is called a minute, written as $1^{\prime}$, and one sixtieth of a minute is called a second, written as $1^{\prime \prime}$. Thus, $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$
Some of the angles whose measures are $360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ are shown in Fig 3.3.
Fig 3.3
3.2.2 Radian measure
There is another unit for measurement of an angle, called the radian measure. Angle subtended at the centre by an arc of length 1 unit in a unit circle (circle of radius 1 unit) is said to have a measure of 1 radian. In the Fig 3.4(i) to (iv), $OA$ is the initial side and $OB$ is the terminal side. The figures show the angles whose measures are 1 radian, -1 radian, $1 \frac{1}{2}$ radian and $-1 \frac{1}{2}$ radian.
Fig 3.4 (i) - (iv)
We know that the circumference of a circle of radius 1 unit is $2 \pi$. Thus, one complete revolution of the initial side subtends an angle of $2 \pi$ radian.
More generally, in a circle of radius $r$, an arc of length $r$ will subtend an angle of 1 radian. It is well-known that equal arcs of a circle subtend equal angle at the centre. Since in a circle of radius $r$, an arc of length $r$ subtends an angle whose measure is 1 radian, an arc of length $l$ will subtend an angle whose measure is $\frac{l}{r}$ radian. Thus, if in a circle of radius $r$, an arc of length $l$ subtends an angle $\theta$ radian at the centre, we have $\theta=\frac{l}{r}$ or $l=r \theta$.
3.2.3 Relation between radian and real numbers
Consider the unit circle with centre $O$. Let $A$ be any point on the circle. Consider OA as initial side of an angle. Then the length of an arc of the circle will give the radian measure of the angle which the arc will subtend at the centre of the circle. Consider the line PAQ which is tangent to the circle at A. Let the point A represent the real number zero, AP represents positive real number and AQ represents negative real numbers (Fig 3.5). If we rope the line $AP$ in the anticlockwise direction along the circle, and $AQ$ in the clockwise direction, then every real number will correspond to a radian measure and conversely. Thus, radian measures and real numbers can be considered as one and the same.
Fig 3.5
3.2.4 Relation between degree and radian Since a circle subtends at the centre
an angle whose radian measure is $2 \pi$ and its degree measure is $360^{\circ}$, it follows that$ 2 \pi \text{ radian }=360^{\circ} \quad \text{ or } \quad \pi \text{ radian }=180^{\circ} $
The above relation enables us to express a radian measure in terms of degree measure and a degree measure in terms of radian measure. Using approximate value of $\pi$ as $\frac{22}{7}$, we have
$ 1 \text{ radian }=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ approximately. } $
Also $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ radian $=0.01746$ radian approximately.
The relation between degree measures and radian measure of some common angles are given in the following table:
| Degree | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ | $180^{\circ}$ | $270^{\circ}$ | $360^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radian | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3 \pi}{2}$ | $2 \pi$ |
Notational Convention
Since angles are measured either in degrees or in radians, we adopt the convention that whenever we write angle $\theta^{\circ}$, we mean the angle whose degree measure is $\theta$ and whenever we write angle $\beta$, we mean the angle whose radian measure is $\beta$.
Note that when an angle is expressed in radians, the word ‘radian’ is frequently omitted. Thus, $\pi=180^{\circ}$ and $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ are written with the understanding that $\pi$ and $\frac{\pi}{4}$ are radian measures. Thus, we can say that
$ \begin{aligned} & \text{ Radian measure }=\frac{\pi}{180} \times \text{ Degree measure } \\ & \text{ Degree measure }=\frac{180}{\pi} \times \text{ Radian measure } \end{aligned} $
Example 1 Convert $40^{\circ} 20^{\prime}$ into radian measure.
Solution We know that $180^{\circ}=\pi$ radian.
Hence $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ degree $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ radian $=\frac{121 \pi}{540}$ radian.
Therefore
$ 40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540} \text{ radian. } $
Example 2 Convert 6 radians into degree measure.
Solution We know that $\pi$ radian $=180^{\circ}$.
Hence
$ \begin{aligned} 6 \text{ radians } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ degree }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ degree } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ degree }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ approximately. } \end{aligned} $
Hence $\quad 6$ radians $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ approximately.
Example 3 Find the radius of the circle in which a central angle of $60^{\circ}$ intercepts an arc of length $37.4 cm$ (use $\pi=\frac{22}{7}$ ).
Solution Here $l=37.4 cm$ and $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ radian $=\frac{\pi}{3}$
Hence, $\quad$ by $r=\frac{l}{\theta}$, we have
$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 cm $
Example 4 The minute hand of a watch is $1.5 cm$ long. How far does its tip move in 40 minutes? (Use $\pi=3.14$ ).
Solution In 60 minutes, the minute hand of a watch completes one revolution. Therefore, in 40 minutes, the minute hand turns through $\frac{2}{3}$ of a revolution. Therefore, $\theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ}$ or $\frac{4 \pi}{3}$ radian. Hence, the required distance travelled is given by
$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $
Example 5 If the arcs of the same lengths in two circles subtend angles $65^{\circ}$ and $110^{\circ}$ at the centre, find the ratio of their radii.
Solution Let $r_1$ and $r_2$ be the radii of the two circles. Given that
$ \theta_1=65^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 65=\frac{13 \pi}{36} \text{ radian } $
and
$ \theta_2=110^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 110=\frac{22 \pi}{36} \text{ radian } $
Let $l$ be the length of each of the arc. Then $l=r_1 \theta_1=r_2 \theta_2$, which gives
$ \frac{13 \pi}{36} \times r_1=\frac{22 \pi}{36} \times r_2 \text{, i.e., } \frac{r_1}{r_2}=\frac{22}{13} $
Hence $\quad r_1: r_2=22: 13$.
EXERCISE 3.1
1. Find the radian measures corresponding to the following degree measures:
(i) $25^{\circ}$
(ii) $-47^{\circ} 30^{\prime}$
(iii) $240^{\circ}$
(iv) $520^{\circ}$
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Answer :
(i) $25^{\circ}$
We know that $180^{\circ}=\pi$ radian
$\therefore 25^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \times 25$ radian $=\dfrac{5 \pi}{36}$ radian
(ii) -$47^{\circ} 30^{\prime}$
$- 47^{\circ} 30^{\prime}={ }^{-47 \dfrac{1}{2}}$ degree $[1^{\circ}=60^{\prime}]$
$=\dfrac{-95}{2}$ degree
Since $180^{\circ}=\pi$ radian
$\dfrac{-95}{2}$ deg ree $=\dfrac{\pi}{180} \times(\dfrac{-95}{2})$ radian $=(\dfrac{-19}{36 \times 2}) \pi$ radian $=\dfrac{-19}{72} \pi$ radian
$\therefore-47^{\circ} 30^{\prime}=\dfrac{-19}{72} \pi$ radian
(iii) $240^{\circ}$
We know that $180^{\circ}=\pi$ radian
$\therefore 240^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \times 240$ radian $=\dfrac{4}{3} \pi$ radian
(iv) $520^{\circ}$
We know that $180^{\circ}=\pi$ radian
$\therefore 520^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \times 520$ radian $=\dfrac{26 \pi}{9}$ radian
2. Find the degree measures corresponding to the following radian measures (Use $\pi=\dfrac{22}{7}$ ).
(i) $\dfrac{11}{16}$
(ii) -4
(iii) $\dfrac{5 \pi}{3}$
(iv) $\dfrac{7 \pi}{6}$
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Answer :
(i) $\dfrac{11}{16}$
We know that $\pi$ radian $=180^{\circ}$
$\therefore \dfrac{11}{16}$ radain $=\dfrac{180}{\pi} \times \dfrac{11}{16}$ deg ree $=\dfrac{45 \times 11}{\pi \times 4}$ deg ree
$=\dfrac{45 \times 11 \times 7}{22 \times 4}$ deg ree $=\dfrac{315}{8}$ deg ree
$=39 \dfrac{3}{8}$ deg ree
$=39^{\circ}+\dfrac{3 \times 60}{8}$ min utes $\quad[1^{\circ}=60^{\prime}]$
$=39^{\circ}+22^{\prime}+\dfrac{1}{2}$ min utes
$=39^{\circ} 22^{\prime} 30^{\prime \prime} \quad[1^{\prime}=60^{\prime \prime}]$
(ii) -4
We know that $\pi$ radian $=180^{\circ}$
$ \begin{aligned} -4 \text{ radian } & =\dfrac{180}{\pi} \times(-4) \text{ deg ree }=\dfrac{180 \times 7(-4)}{22} \text{ deg ree } \\ & =\dfrac{-2520}{11} \text{ deg ree }=-229 \dfrac{1}{11} \text{ deg ree } \\ & =-229^{\circ}+\dfrac{1 \times 60}{11} \text{ min utes } \quad[1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =-229^{\circ}+5^{\prime}+\dfrac{5}{11} \text{ min utes } \\ & =-229^{\circ} 5^{\prime} 27^{\prime \prime} \quad[1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \end{aligned} $
(iii) $\dfrac{5 \pi}{3}$
We know that $\pi$ radian $=180^{\circ}$ $\therefore \dfrac{5 \pi}{3}$ radian $=\dfrac{180}{\pi} \times \dfrac{5 \pi}{3}$ deg ree $=300^{\circ}$
(iv) $\dfrac{7 \pi}{6}$
We know that $\pi$ radian $=180^{\circ}$
$\therefore \dfrac{7 \pi}{6}$ radian $=\dfrac{180}{\pi} \times \dfrac{7 \pi}{6}=210^{\circ}$
3. A wheel makes 360 revolutions in one minute. Through how many radians does it turn in one second?
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Answer :
Number of revolutions made by the wheel in 1 minute $=360$
$\therefore$ Number of revolutions made by the wheel in 1 second $=\dfrac{360}{60}=6$
In one complete revolution, the wheel turns an angle of $2 \pi$ radian.
Hence, in 6 complete revolutions, it will turn an angle of $6 \times 2 \pi$ radian, i.e.,
$12 \pi$ radian
Thus, in one second, the wheel turns an angle of $12 \pi$ radian.
4. Find the degree measure of the angle subtended at the centre of a circle of radius $100 cm$ by an arc of length $22 cm$ (Use $\pi=\dfrac{22}{7}$ ).
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Answer :
We know that in a circle of radius $r$ unit, if an arc of length / unit subtends an angle $\theta$ radian at the centre, then
$\theta=\dfrac{1}{r}$
Therefore, r $=100 cm, I=22 cm$, we have
$\theta=\dfrac{22}{100}$ radian $=\dfrac{180}{\pi} \times \dfrac{22}{100}$ deg ree $=\dfrac{180 \times 7 \times 22}{22 \times 100}$ degree
$=\dfrac{126}{10}$ degree $=12 \dfrac{3}{5}$ degree $=12^{\circ} 36^{\prime} \quad[1^{\circ}=60^{\prime}]$
Thus, the required angle is $12^{\circ} 36^{’}$
5. In a circle of diameter $40 cm$, the length of a chord is $20 cm$. Find the length of minor arc of the chord.
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Answer :
Diameter of the circle $=40 cm$
$\therefore$ Radius $(r)$ of the circle $=\dfrac{40}{2} cm=20 cm$
Let $A B$ be a chord (length $=20 cm$ ) of the circle.
In $\triangle OAB, OA=OB=$ Radius of circle $=20 cm$
Also, $A B=20 cm$
Thus, $\triangle OAB$ is an equilateral triangle.
$\therefore \theta=60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}$ radian
We know that in a circle of radius $r$ unit, if an arc of length / unit subtends an angle $\theta$ radian at the centre, then
$\theta=\dfrac{l}{r}$
$\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\overline{AB}}{20} \rightarrow \overline{AB}=\dfrac{20 \pi}{3} cm$
6. If in two circles, arcs of the same length subtend angles $60^{\circ}$ and $75^{\circ}$ at the centre, find the ratio of their radii.
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Answer :
Let the radii of the two circles be ${ }^{r_1}$ and ${ }^{r_2}$. Let an arc of length / subtend an angle of $60^{\circ}$ at the centre of the circle of radius $r_1$, while let an arc of length / subtend an angle of $75^{\circ}$ at the centre of the circle of radius $r_2$.
Now, $60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}$ radian and $75^{\circ}=\dfrac{5 \pi}{12}$ radian
We know that in a circle of radius $r$ unit, if an arc of length / unit subtends an angle $\theta$ radian at the centre, then
$\theta=\dfrac{l}{r}$ or $l=r \theta$
$\therefore l=\dfrac{r_1 \pi}{3}$ and $l=\dfrac{r_2 5 \pi}{12}$
$\Rightarrow \dfrac{r_1 \pi}{3}=\dfrac{r_2 5 \pi}{12}$
$\Rightarrow r_1=\dfrac{r_2 5}{4}$
$\Rightarrow \dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{5}{4}$
Thus, the ratio of the radii is 5:4.
7. Find the angle in radian through which a pendulum swings if its length is $75 cm$ and the tip describes an arc of length
(i) $10 cm$
(ii) $15 cm$
(iii) $21 cm$
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Answer :
We know that in a circle of radius $r$ unit, if an arc of length / unit subtends an angle $\theta$ radian at the centre, then $\theta=\dfrac{l}{r}$
It is given that $r=75 cm$
(i) Here, $I=10 cm$
$\theta=\dfrac{10}{75}$ radian $=\dfrac{2}{15}$ radian
(ii) Here, $I=15 cm$
$\theta=\dfrac{15}{75}$ radian $=\dfrac{1}{5}$ radian
(iii) Here, $I=21 cm$
$\theta=\dfrac{21}{75}$ radian $=\dfrac{7}{25}$ radian
3.3 Trigonometric Functions
In earlier classes, we have studied trigonometric ratios for acute angles as the ratio of sides of a right angled triangle. We will now extend the definition of trigonometric ratios to any angle in terms of radian measure and study them as trigonometric functions.
Consider a unit circle with centre at origin of the coordinate axes. Let $P(a, b)$ be any point on the circle with angle $AOP=x$ radian, i.e., length of arc $AP=x$ (Fig 3.6).
Fig 3.6
We define $\cos x=a$ and $\sin x=b$ Since $\triangle OMP$ is a right triangle, we have $OM^{2}+MP^{2}=OP^{2}$ or $a^{2}+b^{2}=1$ Thus, for every point on the unit circle, we have
$ a^{2}+b^{2}=1 \text{ or } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $
Since one complete revolution subtends an angle of $2 \pi$ radian at the centre of the circle,
$\angle AOB=\frac{\pi}{2}$, $\angle AOC=\pi$ and $\angle AOD=\frac{3 \pi}{2}$. All angles which are integral multiples of $\frac{\pi}{2}$ are called quadrantal angles. The coordinates of the points A, B, C and D are, respectively, $(1,0),(0,1),(-1,0)$ and $(0,-1)$. Therefore, for quadrantal angles, we have
$ \begin{aligned} & \cos 0^{\circ}=1 \quad \sin 0^{\circ}=0, \\ & \cos \frac{\pi}{2}=0 \quad \sin \frac{\pi}{2}=1 \\ & \cos \pi=-1 \quad \sin \pi=0 \\ & \cos \frac{3 \pi}{2}=0 \quad \sin \frac{3 \pi}{2}=-1 \\ & \cos 2 \pi=1 \quad \sin 2 \pi=0 \end{aligned} $
Now, if we take one complete revolution from the point $P$, we again come back to same point $P$. Thus, we also observe that if $x$ increases (or decreases) by any integral multiple of $2 \pi$, the values of sine and cosine functions do not change. Thus,
$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x, n \in \mathbf{Z}, \cos (2 n \pi+x)=\cos x, n \in \mathbf{Z} $
Further, $\sin x=0$, if $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \pm 3 \pi$, …, i.e., when $x$ is an integral multiple of $\pi$ and $\cos x=0$, if $x= \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \pm \frac{5 \pi}{2}, \ldots$ i.e., $\cos x$ vanishes when $x$ is an odd multiple of $\frac{\pi}{2}$. Thus
$ \begin{aligned} & \sin x=0 \text{ implies } x=n \pi, \text{ where } n \text{ is any integer } \\ & \cos x=0 \text{ implies } x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \text{, where } n \text{ is any integer. } \end{aligned} $
We now define other trigonometric functions in terms of sine and cosine functions:
$\text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}, x \neq n \pi$, where $n$ is any integer.
$\sec x=\frac{1}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, where $n$ is any integer.
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, where $n$ is any integer.
$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, x \neq n \pi$, where $n$ is any integer.
We have shown that for all real $x, \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$
It follows that
$$ \begin{aligned} & 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x \\ & 1+\cot ^{2} x=cosec^{2} x \end{aligned} $$
In earlier classes, we have discussed the values of trigonometric ratios for $0^{\circ}$, $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ and $90^{\circ}$. The values of trigonometric functions for these angles are same as that of trigonometric ratios studied in earlier classes. Thus, we have the following table:
| $0^{\circ}$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3 \pi}{2}$ | $2 \pi$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 | 0 | -1 | 0 |
| $\cos$ | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 | -1 | 0 | 1 |
| $\tan$ | 0 | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | defined | 0 | not defined |
0 |
The values of $cosec x, \sec x$ and $\cot x$ are the reciprocal of the values of $\sin x$, $\cos x$ and $\tan x$, respectively.
3.3.1 Sign of trigonometric functions
Let $P(a, b)$ be a point on the unit circle with centre at the origin such that $\angle AOP=x$. If $\angle AOQ=-x$, then the coordinates of the point $Q$ will be $(a,-b)$ (Fig 3.7).
Fig 3.7
Therefore
$ \cos (-x)=\cos x $
and $\quad$ $ \sin (-x)=-\sin x $
Since for every point $P(a, b)$ on the unit circle, $-1 \leq a \leq 1$ and
$-1 \leq b \leq 1$, we have $-1 \leq \cos x \leq 1$ and $-1 \leq \sin x \leq 1$ for all $x$. We have learnt in previous classes that in the first quadrant $(0<x<\frac{\pi}{2}) a$ and $b$ are both positive, in the second quadrant $(\frac{\pi}{2}<x<\pi) a$ is negative and $b$ is positive, in the third quadrant $(\pi<x<\frac{3 \pi}{2}) a$ and $b$ are both negative and in the fourth quadrant $(\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi) a$ is positive and $b$ is negative. Therefore, $\sin x$ is positive for $0<x<\pi$, and negative for $\pi<x<2 \pi$. Similarly, $\cos x$ is positive for $0<x<\frac{\pi}{2}$, negative for $\frac{\pi}{2}<x<\frac{3 \pi}{2}$ and also positive for $\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi$. Likewise, we can find the signs of other trigonometric functions in different quadrants. In fact, we have the following table.
| I | II | III | IV | |
|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | + | + | - | - |
| $\cos x$ | + | - | - | + |
| $\tan x$ | + | - | + | - |
| $cosec x$ | + | + | - | - |
| $\sec x$ | + | - | - | + |
| $\cot x$ | + | - | + | - |
3.3.2 Domain and range of trigonometric functions
From the definition of sine and cosine functions, we observe that they are defined for all real numbers. Further, we observe that for each real number $x$,
$$ -1 \leq \sin x \leq 1 \text{ and }-1 \leq \cos x \leq 1 $$
Thus, domain of $y=\sin x$ and $y=\cos x$ is the set of all real numbers and range is the interval $[-1,1]$, i.e., $-1 \leq y \leq 1$.
Since $ \text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}$, the domain of $y=cosec x$ is the set $\{x: x \in \mathbf{R}$ and $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ and range is the set $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ or $y \leq-1\}$. Similarly, the domain of $y=\sec x$ is the set $\{x: x \in \mathbf{R}.$ and $.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ and range is the set $\{y: y \in \mathbf{R}, y \leq-1$ or $y \geq 1\}$. The domain of $y=\tan x$ is the set $\{x: x \in \mathbf{R}$ and $.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ and range is the set of all real numbers. The domain of $y=\cot x$ is the set $\{x: x \in \mathbf{R}$ and $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ and the range is the set of all real numbers.
We further observe that in the first quadrant, as $x$ increases from 0 to $\frac{\pi}{2}, \sin x$ increases from 0 to 1 , as $x$ increases from $\frac{\pi}{2}$ to $\pi, \sin x$ decreases from 1 to 0 . In the third quadrant, as $x$ increases from $\pi$ to $\frac{3 \pi}{2}, \sin x$ decreases from 0 to -1 and finally, in the fourth quadrant, $\sin x$ increases from -1 to 0 as $x$ increases from $\frac{3 \pi}{2}$ to $2 \pi$. Similarly, we can discuss the behaviour of other trigonometric functions. In fact, we have the following table:
| I quadrant | II quadrant | III quadrant | IV quadrant | |
|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | increases from 0 to 1 | decreases from 1 to 0 | decreases from 0 to -1 | increases from -1 to 0 |
| $\cos$ | decreases from 1 to 0 | decreases from 0 to -1 | increases from -1 to 0 | increases from 0 to 1 |
| tan | increases from 0 to $\infty$ | increases from $-\infty$ to 0 | increases from 0 to $\infty$ | increases from $-\infty$ to 0 |
| $\cot$ | decreases from $\infty$ to 0 | decreases from 0 to- $-\infty$ | decreases from $\infty$ to 0 | decreases from 0 to $-\infty$ |
| sec | increases from 1 to $\infty$ | increases from $-\infty$ to -1 | decreases from -1 to- $-\infty$ | decreases from $\infty$ to 1 |
| $cosec$ | decreases from $\infty$ to 1 | increases from 1 to $\infty$ | increases from $-\infty$ to -1 | decreases from-1 to- $\infty$ |
Remark In the above table, the statement $\tan x$ increases from 0 to $\infty$ (infinity) for $0<x<\frac{\pi}{2}$ simply means that $\tan x$ increases as $x$ increases for $0<x<\frac{\pi}{2}$ and assumes arbitraily large positive values as $x$ approaches to $\frac{\pi}{2}$. Similarly, to say that $cosec x$ decreases from -1 to $-\infty$ (minus infinity) in the fourth quadrant means that $cosec x$ decreases for $x \in(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi)$ and assumes arbitrarily large negative values as $x$ approaches to $2 \pi$. The symbols $\infty$ and $-\infty$ simply specify certain types of behaviour of functions and variables.
We have already seen that values of $\sin x$ and $\cos x$ repeats after an interval of $2 \pi$. Hence, values of $cosec x$ and $\sec x$ will also repeat after an interval of $2 \pi$.
We shall see in the next section that $\tan (\pi+x)=\tan x$. Hence, values of $\tan x$ will repeat after an interval of $\pi$. Since $\cot x$ is reciprocal of $\tan x$, its values will also repeat after an interval of $\pi$. Using this knowledge and behaviour of trigonometic functions, we can sketch the graph of these functions. The graph of these functions are given below :
Example 6 If $\cos x=-\frac{3}{5}, x$ lies in the third quadrant, find the values of other five trigonometric functions.
Solution Since $\cos x=-\frac{3}{5}$, we have $\sec x=-\frac{5}{3}$
Now $\quad \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$, i.e., $\sin ^{2} x=1-\cos ^{2} x$
or
$ \sin ^{2} x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25} $
Hence $\quad \sin x= \pm \frac{4}{5}$
Since $x$ lies in third quadrant, $\sin x$ is negative. Therefore
$ \sin x=-\frac{4}{5} $
which also gives
$ cosec x=-\frac{5}{4} $
Further, we have
$ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{4}{3} \text{ and } \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{3}{4} $
Example 7 If $\cot x=-\frac{5}{12}, x$ lies in second quadrant, find the values of other five trigonometric functions.
Solution Since cot $x=-\frac{5}{12}$, we have $\tan x=-\frac{12}{5}$
Now $\quad \sec ^{2} x=1+\tan ^{2} x=1+\frac{144}{25}=\frac{169}{25}$
Hence
$ \sec x= \pm \frac{13}{5} $
Since $x$ lies in second quadrant, sec $x$ will be negative. Therefore
$ \sec x=-\frac{13}{5} $
which also gives
$ \cos x=-\frac{5}{13} $
Further, we have
$ \sin x=\tan x \cos x=(-\frac{12}{5}) \times(-\frac{5}{13})=\frac{12}{13} $
and $\quad \text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}=\frac{13}{12}$.
Example 8 Find the value of $\sin \frac{31 \pi}{3}$.
Solution We know that values of $\sin x$ repeats after an interval of $2 \pi$. Therefore
$ \sin \frac{31 \pi}{3}=\sin (10 \pi+\frac{\pi}{3})=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \text{. } $
Example 9 Find the value of $\cos (-1710^{\circ})$.
Solution We know that values of $\cos x$ repeats after an interval of $2 \pi$ or $360^{\circ}$. Therefore,
$\cos (-1710^{\circ})=\cos (-1710^{\circ}+5 \times 360^{\circ})\\ =\cos (-1710^{\circ}+1800^{\circ})=\cos 90^{\circ}=0 . $
EXERCISE 3.2
Find the values of other five trigonometric functions in Exercises 1 to 5.
1. $\cos x=-\dfrac{1}{2}, x$ lies in third quadrant.
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Answer :
$\cos x=-\dfrac{1}{2}$
$\therefore \sec x=\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{2})}=-2$
$\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$
$\Rightarrow \sin ^{2} x=1-\cos ^{2} x$
$\Rightarrow \sin ^{2} x=1-(-\dfrac{1}{2})^{2}$
$\Rightarrow \sin ^{2} x=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow \sin x= \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Since $x$ lies in the $3^{\text{rd }}$ quadrant, the value of $\sin x$ will be negative.
$\therefore \sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$cosec x=\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{1}{(-\dfrac{\sqrt{3}}{2})}=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{(-\dfrac{\sqrt{3}}{2})}{(-\dfrac{1}{2})}=\sqrt{3}$
$\cot x=\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
2. $\sin x=\dfrac{3}{5}, x$ lies in second quadrant.
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Answer :
$\sin x=\dfrac{3}{5}$
$cosec x=\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{1}{(\dfrac{3}{5})}=\dfrac{5}{3}$
$\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$
$\Rightarrow \cos ^{2} x=1-\sin ^{2} x$
$\Rightarrow \cos ^{2} x=1-(\dfrac{3}{5})^{2}$
$\Rightarrow \cos ^{2} x=1-\dfrac{9}{25}$
$\Rightarrow \cos ^{2} x=\dfrac{16}{25}$
$\Rightarrow \cos x= \pm \dfrac{4}{5}$
Since $x$ lies in the $2^{\text{nd }}$ quadrant, the value of $\cos x$ will be negative
$\therefore \cos x=-\dfrac{4}{5}$
$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{1}{(-\dfrac{4}{5})}=-\dfrac{5}{4}$
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{(\dfrac{3}{5})}{(-\dfrac{4}{5})}=-\dfrac{3}{4}$
$\cot x=\dfrac{1}{\tan x}=-\dfrac{4}{3}$
3. $\cot x=\dfrac{3}{4}, x$ lies in third quadrant.
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Answer :
$\cot x=\dfrac{3}{4}$
$\tan x=\dfrac{1}{\cot x}=\dfrac{1}{(\dfrac{3}{4})}=\dfrac{4}{3}$
$1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x$
$\Rightarrow 1+(\dfrac{4}{3})^{2}=\sec ^{2} x$
$\Rightarrow 1+\dfrac{16}{9}=\sec ^{2} x$
$\Rightarrow \dfrac{25}{9}=\sec ^{2} x$
$\Rightarrow \sec x= \pm \dfrac{5}{3}$
Since $x$ lies in the $3^{\text{rd }}$ quadrant, the value of $\sec x$ will be negative.
$\therefore \sec x=-\dfrac{5}{3}$
$\cos x=\dfrac{1}{\sec x}=\dfrac{1}{(-\dfrac{5}{3})}=-\dfrac{3}{5}$
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$
$\Rightarrow \dfrac{4}{3}=\dfrac{\sin x}{(\dfrac{-3}{5})}$
$\Rightarrow \sin x=(\dfrac{4}{3}) \times(\dfrac{-3}{5})=-\dfrac{4}{5}$
$cosec x=\dfrac{1}{\sin x}=-\dfrac{5}{4}$
4. $\sec x=\dfrac{13}{5}, x$ lies in fourth quadrant.
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Answer :
$\sec x=\dfrac{13}{5}$
$\cos x=\dfrac{1}{\sec x}=\dfrac{1}{(\dfrac{13}{5})}=\dfrac{5}{13}$
$\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$
$\Rightarrow \sin ^{2} x=1-\cos ^{2} x$
$\Rightarrow \sin ^{2} x=1-(\dfrac{5}{13})^{2}$
$\Rightarrow \sin ^{2} x=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}$
$\Rightarrow \sin x= \pm \dfrac{12}{13}$
Since $x$ lies in the $4^{\text{th }}$ quadrant, the value of $\sin x$ will be negative.
$\therefore \sin x=-\dfrac{12}{13}$
$cosec x=\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{1}{(-\dfrac{12}{13})}=-\dfrac{13}{12}$
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{(\dfrac{-12}{13})}{(\dfrac{5}{13})}=-\dfrac{12}{5}$
$\cot x=\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{1}{(-\dfrac{12}{5})}=-\dfrac{5}{12}$
5. $\tan x=-\dfrac{5}{12}, x$ lies in second quadrant.
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Answer :
$\tan x=-\dfrac{5}{12}$ $\cot x=\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{1}{(-\dfrac{5}{12})}=-\dfrac{12}{5}$
$1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x$
$\Rightarrow 1+(-\dfrac{5}{12})^{2}=\sec ^{2} x$
$\Rightarrow 1+\dfrac{25}{144}=\sec ^{2} x$
$\Rightarrow \dfrac{169}{144}=\sec ^{2} x$
$\Rightarrow \sec x= \pm \dfrac{13}{12}$
Since $x$ lies in the $2^{\text{nd }}$ quadrant, the value of $\sec x$ will be negative.
$\therefore \sec x=-\dfrac{13}{12}$
$\cos x=\dfrac{1}{\sec x}=\dfrac{1}{(-\dfrac{13}{12})}=-\dfrac{12}{13}$
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$
$\Rightarrow-\dfrac{5}{12}=\dfrac{\sin x}{(-\dfrac{12}{13})}$
$\Rightarrow \sin x=(-\dfrac{5}{12}) \times(-\dfrac{12}{13})=\dfrac{5}{13}$
$cosec x=\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{1}{(\dfrac{5}{13})}=\dfrac{13}{5}$
Find the values of the trigonometric functions in Exercises 6 to 10.
6. $\sin 765^{\circ}$
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Answer :
It is known that the values of $\sin x$ repeat after an interval of $2 \pi$ or $360^{\circ}$.
$\therefore \sin 765^{\circ}=\sin (2 \times 360^{\circ}+45^{\circ})=\sin 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
7. $\text{cosec}(-1410^{\circ})$
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Answer :
It is known that the values of $cosec x$ repeat after an interval of $2 \pi$ or $360^{\circ}$.
$\therefore cosec(-1410^{\circ})=cosec(-1410^{\circ}+4 \times 360^{\circ})$
$=cosec(-1410^{\circ}+1440^{\circ})$
$=cosec 30^{\circ}=2$
8. $\tan \dfrac{19 \pi}{3}$
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Answer :
It isknown that the values of $\tan x$ repeat after an interval of $\pi$ or $180^{\circ}$.
$\therefore \tan \dfrac{19 \pi}{3}=\tan 6 \dfrac{1}{3} \pi=\tan (6 \pi+\dfrac{\pi}{3})=\tan \dfrac{\pi}{3}=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$
9. $\sin (-\dfrac{11 \pi}{3})$
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Answer :
It is known that the values of $\sin x$ repeat after an interval of $2 \pi$ or $360^{\circ}$.
$\therefore \sin (-\dfrac{11 \pi}{3})=\sin (-\dfrac{11 \pi}{3}+2 \times 2 \pi)=\sin (\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
10. $\cot (-\dfrac{15 \pi}{4})$
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Answer :
It is known that the values of $\cot x$ repeat after an interval of $\pi$ or $180^{\circ}$.
$\therefore \cot (-\dfrac{15 \pi}{4})=\cot (-\dfrac{15 \pi}{4}+4 \pi)=\cot \dfrac{\pi}{4}=1$
3.4 Trigonometric Functions of Sum and Difference of Two Angles
In this Section, we shall derive expressions for trigonometric functions of the sum and difference of two numbers (angles) and related expressions. The basic results in this connection are called trigonometric identities. We have seen that
-
$\sin (-x)=-\sin x$
-
$\cos (-x)=\cos x$
We shall now prove some more results:
- $\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$
Consider the unit circle with centre at the origin. Let $x$ be the angle $P_4 OP_1$ and $y$ be the angle $P_1 OP_2$. Then $(x+y)$ is the angle $P_4 OP_2$. Also let $(-y)$ be the angle $P_4 OP_3$. Therefore, $P_1, P_2, P_3$ and $P_4$ will have the coordinates $P_1(\cos x, \sin x)$, $P_2[\cos (x+y), \sin (x+y)], P_3[\cos (-y), \sin (-y)]$ and $P_4(1,0)$ (Fig 3.14).
Fig 3.14
Consider the triangles $P_1 OP_3$ and $P_2 OP_4$. They are congruent (Why?). Therefore, $P_1 P_3$ and $P_2 P_4$ are equal. By using distance formula, we get
$$ \begin{aligned} P_1 P_3^{2} & =[\cos x-\cos (-y)]^{2}+[\sin x-\sin (-y]^{2}. \\ & =(\cos x-\cos y)^{2}+(\sin x+\sin y)^{2} \\ & =\cos ^{2} x+\cos ^{2} y-2 \cos x \cos y+\sin ^{2} x+\sin ^{2} y+2 \sin x \sin y \\ & =2-2(\cos x \cos y-\sin x \sin y) \quad(\text{ Why?) } \end{aligned} $$
Also, $\quad P_2 P_4{ }^{2}=[1-\cos (x+y)]^{2}+[0-\sin (x+y)]^{2}$
$ \begin{aligned} & =1-2 \cos (x+y)+\cos ^{2}(x+y)+\sin ^{2}(x+y) \\ & =2-2 \cos (x+y) \end{aligned} $
Since $P_1 P_3=P_2 P_4$, we have $P_1 P_3^{2}=P_2 P_4{ }^{2}$.
Therefore, $2-2(\cos x \cos y-\sin x \sin y)=2-2 \cos (x+y)$.
Hence $\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$
4. $\cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y$
Replacing $y$ by $-y$ in identity 3 , we get
$ \begin{aligned} & \cos (x+(-y))=\cos x \cos (-y)-\sin x \sin (-y) \\ & \text{ or } \quad \cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y \end{aligned} $
5. $\cos (\frac{\pi}{2}-x)=\sin x$
If we replace $x$ by $\frac{\pi}{2}$ and $y$ by $x$ in Identity (4), we get
$ \cos (\frac{\pi}{2}-x)=\cos \frac{\pi}{2} \cos x+\sin \frac{\pi}{2} \sin x=\sin x $
6. $\sin (\frac{\pi}{2}-x)=\cos x$
Using the Identity 5, we have
$ \sin (\frac{\pi}{2}-x)=\cos [\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}-x)]=\cos x $
7. $\quad \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$
We know that
$ \begin{aligned} \sin (x+y) & =\cos (\frac{\pi}{2}-(x+y))=\cos ((\frac{\pi}{2}-x)-y) \\ & =\cos (\frac{\pi}{2}-x) \cos y+\sin (\frac{\pi}{2}-x) \sin y \\ & =\sin x \cos y+\cos x \sin y \end{aligned} $
8. $\begin{aligned} \quad \sin (x-y) & =\sin x \cos y-\cos x \sin y \end{aligned} $ If we replace $y$ by $-y$, in the Identity 7 , we get the result.
9. By taking suitable values of $x$ and $y$ in the identities $3,4,7$ and 8 , we get the following results:
$ \begin{aligned} \cos (\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x & \sin (\frac{\pi}{2}+x)=\cos x \\ \cos (\pi-x)=-\cos x & \sin (\pi-x)=\sin x \end{aligned} $
$ \begin{aligned} \cos (\pi+x)=-\cos x & \sin (\pi+x)=-\sin x \\ \cos (2 \pi-x)=\cos x & \sin (2 \pi-x)=-\sin x \end{aligned} $
Similar results for $\tan x, \cot x, \sec x$ and $cosec x$ can be obtained from the results of $\sin$ $x$ and $\cos x$.
10. If none of the angles $x, y$ and $(x+y)$ is an odd multiple of $\frac{\pi}{2}$, then
$ \tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y} $
Since none of the $x, y$ and $(x+y)$ is an odd multiple of $\frac{\pi}{2}$, it follows that $\cos x$, $\cos y$ and $\cos (x+y)$ are non-zero. Now
$ \tan (x+y)=\frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)}=\frac{\sin x \cos y+\cos x \sin y}{\cos x \cos y-\sin x \sin y} \text{. } $
Dividing numerator and denominator by $\cos x \cos y$, we have
$ \begin{aligned} \tan (x+y) & =\dfrac{\dfrac{\sin x \cos y}{\cos x \cos y}+\dfrac{\cos x \sin y}{\cos x \cos y}}{\dfrac{\cos x \cos y}{\cos x \cos y}-\dfrac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y}} \\ & =\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y} \end{aligned} $
11. $\tan (x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y}$
If we replace $y$ by $-y$ in Identity 10 , we get
$ \begin{aligned} \tan (x-y) & =\tan [x+(-y)] \\ & =\frac{\tan x+\tan (-y)}{1-\tan x \tan (-y)}=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y} \end{aligned} $
12. If none of the angles $x, y$ and $(x+y)$ is a multiple of $\pi$, then
$ \cot (x+y)=\frac{\cot x \cot y-1}{\cot y+\cot x} $
Since, none of the $x, y$ and $(x+y)$ is multiple of $\pi$, we find that $\sin x$ sin $y$ and $\sin (x+y)$ are non-zero. Now,
$ \cot (x+y)=\frac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=\frac{\cos x \cos y-\sin x \sin y}{\sin x \cos y+\cos x \sin y} $
Dividing numerator and denominator by $\sin x \sin y$, we have
$ \cot (x+y)=\frac{\cot x \cot y-1}{\cot y+\cot x} $
13. $\cot (\boldsymbol{{}x}-\boldsymbol{{}y})=\frac{\cot \boldsymbol{{}x} \cot \boldsymbol{{}y}+\mathbf{1}}{\cot \boldsymbol{{}y}-\cot \boldsymbol{{}x}}$ if none of angles $x, y$ and $x-y$ is a multiple of $\pi$
If we replace $y$ by $-y$ in identity 12 , we get the result
14. $\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=2 \cos ^{2} x-1=1-2 \sin ^{2} x=\frac{1-\tan ^{2} x}{1+\tan ^{2} x}$
We know that
$ \cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y $
Replacing $y$ by $x$, we get
$ \begin{aligned} \cos 2 x & =\cos ^{2} x-\sin ^{2} x \\ & =\cos ^{2} x-(1-\cos ^{2} x)=2 \cos ^{2} x-1 \end{aligned} $
Again, $\quad \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$
$ =1-\sin ^{2} x-\sin ^{2} x=1-2 \sin ^{2} x . $
We have
$ \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=\frac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x} $
Dividing numerator and denominator by $\cos ^{2} x$, we get
$ \cos 2 x=\frac{1-\tan ^{2} x}{1+\tan ^{2} x}, x \neq n \pi+\frac{\pi}{2} \text{, where } n \text{ is an integer } $
15. $\sin 2 x=2 \sin x \cos x=\frac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x} \quad x \neq n \pi+\frac{\pi}{2}$, where $n$ is an integer
We have
$ \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y $
Replacing $y$ by $x$, we get $\sin 2 x=2 \sin x \cos x$.
Again
$ \sin 2 x=\frac{2 \sin x \cos x}{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x} $
Dividing each term by $\cos ^{2} x$, we get
$ \sin 2 x=\frac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x} $
16. $\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$ if $2 x \neq n \pi+\frac{\pi}{2}$, where $n$ is an integer
We know that
$ \tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y} $
Replacing $y$ by $x$, we get $\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$
17. $\sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x$
We have,
$ \begin{aligned} \sin 3 x & =\sin (2 x+x) \\ & =\sin 2 x \cos x+\cos 2 x \sin x \\ & =2 \sin x \cos x \cos x+(1-2 \sin ^{2} x) \sin x \\ & =2 \sin x(1-\sin ^{2} x)+\sin x-2 \sin ^{3} x \\ & =2 \sin x-2 \sin ^{3} x+\sin x-2 \sin ^{3} x \\ & =3 \sin x-4 \sin ^{3} x \end{aligned} $
18. $\cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x$
We have,
$ \begin{aligned} \cos 3 x & =\cos (2 x+x) \\ & =\cos 2 x \cos x-\sin 2 x \sin x \\ & =(2 \cos ^{2} x-1) \cos x-2 \sin x \cos x \sin x \\ & =(2 \cos ^{2} x-1) \cos x-2 \cos x(1-\cos ^{2} x) \\ & =2 \cos ^{3} x-\cos x-2 \cos x+2 \cos ^{3} x \\ & =4 \cos ^{3} x-3 \cos x . \end{aligned} $
19. $\tan 3 x=\frac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x}$ if $3 x \neq n \pi+\frac{\pi}{2}$, where $n$ is an integer
We have $\tan 3 x=\tan (2 x+x)$
$ =\frac{\tan 2 x+\tan x}{1-\tan 2 x \tan x}=\frac{\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}+\tan x}{1-\frac{2 \tan x \cdot \tan x}{1-\tan ^{2} x}} $
$ =\frac{2 \tan x+\tan x-\tan ^{3} x}{1-\tan ^{2} x-2 \tan ^{2} x}=\frac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x} $
20.
$ \text{ (i) } \cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $
(ii) $\cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$
(iii) $\sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$
(iv) $\sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$
We know that
$\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$
and $\quad \cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$
Adding and subtracting (1) and (2), we get
$ \cos (x+y)+\cos (x-y)=2 \cos x \cos y \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $
and $\quad \cos (x+y)-\cos (x-y)=-2 \sin x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (4)$
Further $\sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (5)$
and $\quad \sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (6)$
Adding and subtracting (5) and (6), we get
$$ \begin{aligned} & \sin (x+y)+\sin (x-y)=2 \sin x \cos y \quad \quad \quad \quad \ldots (7) \\ & \sin (x+y)-\sin (x-y)=2 \cos x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (8) \end{aligned} $$
Let $x+y=\theta$ and $x-y=\phi$. Therefore
$ x=(\frac{\theta+\phi}{2}) \text{ and } y=(\frac{\theta-\phi}{2}) $
Substituting the values of $x$ and $y$ in (3), (4), (7) and (8), we get
$ \begin{aligned} & \cos \theta+\cos \phi=2 \cos (\frac{\theta+\phi}{2}) \cos (\frac{\theta-\phi}{2}) \\ & \cos \theta-\cos \phi=-2 \sin (\frac{\theta+\phi}{2}) \sin (\frac{\theta-\phi}{2}) \\ & \sin \theta+\sin \phi=2 \sin (\frac{\theta+\phi}{2}) \cos (\frac{\theta-\phi}{2}) \end{aligned} $
$ \sin \theta-\sin \phi=2 \cos (\frac{\theta+\phi}{2}) \sin (\frac{\theta-\phi}{2}) $
Since $\theta$ and $\phi$ can take any real values, we can replace $\theta$ by $x$ and $\phi$ by $y$.
Thus, we get
$ \begin{aligned} & \cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} ; \cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}, \\ & \sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} ; \sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} . \end{aligned} $
Remark As a part of identities given in 20, we can prove the following results:
21. (i) $2 \cos x \cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)$
(ii) $-2 \sin x \sin y=\cos (x+y)-\cos (x-y)$
(iii) $2 \sin x \cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)$
(iv) $2 \cos x \sin y=\sin (x+y)-\sin (x-y)$.
Example 10 Prove that
$ 3 \sin \frac{\pi}{6} \sec \frac{\pi}{3}-4 \sin \frac{5 \pi}{6} \cot \frac{\pi}{4}=1 $
Solution We have
$ \begin{aligned} \text{ L.H.S. } & =3 \sin \frac{\pi}{6} \sec \frac{\pi}{3}-4 \sin \frac{5 \pi}{6} \cot \frac{\pi}{4} \\ & =3 \times \frac{1}{2} \times 2-4 \sin (\pi-\frac{\pi}{6}) \times 1=3-4 \sin \frac{\pi}{6} \\ & =3-4 \times \frac{1}{2}=1=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
Example 11 Find the value of $\sin 15^{\circ}$.
Solution We have
$ \begin{aligned} \sin 15^{\circ} & =\sin (45^{\circ}-30^{\circ}) \\ & =\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} . \end{aligned} $
Example 12 Find the value of $\tan \frac{13 \pi}{12}$.
Solution We have
$ \begin{aligned} \tan \frac{13 \pi}{12} & =\tan (\pi+\frac{\pi}{12})=\tan \frac{\pi}{12}=\tan (\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}) \\ & =\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan \frac{\pi}{6}}{1+\tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{6}}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3} \end{aligned} $
Example 13 Prove that
$ \frac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\frac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y} . $
Solution We have
$ \text{ L.H.S. }=\frac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\frac{\sin x \cos y+\cos x \sin y}{\sin x \cos y-\cos x \sin y} $
Dividing the numerator and denominator by $\cos x \cos y$, we get
$ \text { L.H.S. }=\frac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\frac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y}=\text { R.H.S. } $
Example 14 Show that
$ \tan 3 x \tan 2 x \tan x=\tan 3 x-\tan 2 x-\tan x $
Solution We know that $3 x=2 x+x$
Therefore, $\tan 3 x=\tan (2 x+x)$
or $\quad \tan 3 x=\frac{\tan 2 x+\tan x}{1-\tan 2 x \tan x}$
or
$ \tan 3 x-\tan 3 x \tan 2 x \tan x=\tan 2 x+\tan x $
or
$ \tan 3 x-\tan 2 x-\tan x=\tan 3 x \tan 2 x \tan x $
or
$ \tan 3 x \tan 2 x \tan x=\tan 3 x-\tan 2 x-\tan x . $
Example 15 Prove that
$ \cos (\frac{\pi}{4}+x)+\cos (\frac{\pi}{4}-x)=\sqrt{2} \cos x $
Solution Using the Identity 20(i), we have
$ \begin{aligned} \text{ L.H.S. } & =\cos (\frac{\pi}{4}+x)+\cos (\frac{\pi}{4}-x) \\ & =2 \cos (\frac{\frac{\pi}{4}+x+\frac{\pi}{4}-x}{2}) \cos (\frac{\frac{\pi}{4}+x-(\frac{\pi}{4}-x)}{2}) \\ & =2 \cos \frac{\pi}{4} \cos x=2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x=\sqrt{2} \cos x=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
Example 16 Prove that $\frac{\cos 7 x+\cos 5 x}{\sin 7 x-\sin 5 x}=\cot x$
Solution Using the Identities 20 (i) and 20 (iv), we get
$ \text{ L.H.S. }=\frac{2 \cos \frac{7 x+5 x}{2} \cos \frac{7 x-5 x}{2}}{2 \cos \frac{7 x+5 x}{2} \sin \frac{7 x-5 x}{2}}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x=\text{ R.H.S. } $
Example 17 Prove that $=\frac{\sin 5 x-2 \sin 3 x+\sin x}{\cos 5 x-\cos x}=\tan x$
Solution We have
$ \begin{aligned} \text{ L.H.S. } & =\frac{\sin 5 x-2 \sin 3 x+\sin x}{\cos 5 x-\cos x}=\frac{\sin 5 x+\sin x-2 \sin 3 x}{\cos 5 x-\cos x} \\ & =\frac{2 \sin 3 x \cos 2 x-2 \sin 3 x}{-2 \sin 3 x \sin 2 x}=-\frac{\sin 3 x(\cos 2 x-1)}{\sin 3 x \sin 2 x} \\ & =\frac{1-\cos 2 x}{\sin 2 x}=\frac{2 \sin ^{2} x}{2 \sin x \cos x}=\tan x=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
EXERCISE 3.3
Prove that:
1. $\sin ^{2} \dfrac{\pi}{6}+\cos ^{2} \dfrac{\pi}{3}-\tan ^{2} \dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{1}{2}$
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Answer :
L.H.S. $=\sin ^{2} \dfrac{\pi}{6}+\cos ^{2} \dfrac{\pi}{3}-\tan ^{2} \dfrac{\pi}{4}$
$=(\dfrac{1}{2})^{2}+(\dfrac{1}{2})^{2}-(1)^{2}$
$=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-1=-\dfrac{1}{2}$
$=$ R.H.S.
2. $2 \sin ^{2} \dfrac{\pi}{6}+cosec^{2} \dfrac{7 \pi}{6} \cos ^{2} \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3}{2}$
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Answer :
L.H.S. $=2 \sin ^{2} \dfrac{\pi}{6}+cosec 2 \dfrac{7 \pi}{6} \cos ^{2} \dfrac{\pi}{3}$
$ \begin{aligned} & =2(\dfrac{1}{2})^{2}+cosec^{2}(\pi+\dfrac{\pi}{6})(\dfrac{1}{2})^{2} \\ & =2 \times \dfrac{1}{4}+(-cosec \dfrac{\pi}{6})^{2}(\dfrac{1}{4}) \\ & =\dfrac{1}{2}+(-2)^{2}(\dfrac{1}{4}) \\ & =\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{4}=\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2} \\ & =\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
3. $\cot ^{2} \dfrac{\pi}{6}+cosec \dfrac{5 \pi}{6}+3 \tan ^{2} \dfrac{\pi}{6}=6$
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Answer :
L.H.S. $=\cot ^{2} \dfrac{\pi}{6}+cosec \dfrac{5 \pi}{6}+3 \tan ^{2} \dfrac{\pi}{6}$
$=(\sqrt{3})^{2}+cosec(\pi-\dfrac{\pi}{6})+3(\dfrac{1}{\sqrt{3}})^{2}$
$=3+cosec \dfrac{\pi}{6}+3 \times \dfrac{1}{3}$
$=3+2+1=6$
$=$ R.H.S
4. $2 \sin ^{2} \dfrac{3 \pi}{4}+2 \cos ^{2} \dfrac{\pi}{4}+2 \sec ^{2} \dfrac{\pi}{3}=10$
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Answer :
L.H.S $=2 \sin ^{2} \dfrac{3 \pi}{4}+2 \cos ^{2} \dfrac{\pi}{4}+2 \sec ^{2} \dfrac{\pi}{3}$ $=2\{\sin (\pi-\dfrac{\pi}{4})\}^{2}+2(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^{2}+2(2)^{2}$
$=2\{\sin \dfrac{\pi}{4}\}^{2}+2 \times \dfrac{1}{2}+8$
$=2(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^{2}+1+8$
$=1+1+8$
$=10$
$=$ R.H.S
5. Find the value of:
(i) $\sin 75^{\circ}$
(ii) $\tan 15^{\circ}$
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Answer :
(i) $\sin 75^{\circ}=\sin (45^{\circ}+30^{\circ})$
$=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}$
$[\sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y]$
$=(\dfrac{1}{\sqrt{2}})(\dfrac{\sqrt{3}}{2})+(\dfrac{1}{\sqrt{2}})(\dfrac{1}{2})$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}+\dfrac{1}{2 \sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}$
(ii) $\tan 15^{\circ}=\tan (45^{\circ} \hat{a} \in^{\prime \prime} 30^{\circ})$
$ \begin{aligned} & =\dfrac{\tan 45^{\circ}-\tan 30^{\circ}}{1+\tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}} \quad[\tan (x-y)=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y}] \\ & =\dfrac{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+1(\dfrac{1}{\sqrt{3}})}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} \\ & =\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{3+1-2 \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}} \\ & =\dfrac{4-2 \sqrt{3}}{3-1}=2-\sqrt{3} \end{aligned} $
Prove the following:
6. $\cos (\dfrac{\pi}{4}-x) \cos (\dfrac{\pi}{4}-y)-\sin (\dfrac{\pi}{4}-x) \sin (\dfrac{\pi}{4}-y)=\sin (x+y)$
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Answer :
$ \begin{aligned} & \cos (\dfrac{\pi}{4}-x) \cos (\dfrac{\pi}{4}-y)-\sin (\dfrac{\pi}{4}-x) \sin (\dfrac{\pi}{4}-y) \\ &= \dfrac{1}{2}[2 \cos (\dfrac{\pi}{4}-x) \cos (\dfrac{\pi}{4}-y)]+\dfrac{1}{2}[-2 \sin (\dfrac{\pi}{4}-x) \sin (\dfrac{\pi}{4}-y)] \\ &= \dfrac{1}{2}[\cos \{(\dfrac{\pi}{4}-x)+(\dfrac{\pi}{4}-y)\}+\cos \{(\dfrac{\pi}{4}-x)-(\dfrac{\pi}{4}-y)\}] \\ &+\dfrac{1}{2}[\cos \{(\dfrac{\pi}{4}-x)+(\dfrac{\pi}{4}-y)\}-\cos \{(\dfrac{\pi}{4}-x)-(\dfrac{\pi}{4}-y)\}] \\ & {[\because 2 \cos A \cos B=\cos (A+B)+\cos (A-B)] } \\ &-2 \sin A \sin B=\cos (A+B)-\cos (A-B)] \\ &= 2 \times \dfrac{1}{2}[\cos \{(\dfrac{\pi}{4}-x)+(\dfrac{\pi}{4}-y)\}] \\ &= \cos [\dfrac{\pi}{2}-(x+y)] \\ &= \sin (x+y) \\ &= \text{ R.H.S } \end{aligned} $
7. $\dfrac{\tan (\dfrac{\pi}{4}+x)}{\tan (\dfrac{\pi}{4}-x)}=(\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x})^{2} \quad$
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Answer :
It is known that
$ \tan (A+B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B} \text{ and } \tan (A-B)=\dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B} $
$ \dfrac{\tan (\dfrac{\pi}{4}+x)}{\tan (\dfrac{\pi}{4}-x)}=\dfrac{(\dfrac{\tan \dfrac{\pi}{4}+\tan x}{1-\tan \dfrac{\pi}{4} \tan x})}{(\dfrac{\tan \dfrac{\pi}{4}-\tan x}{1+\tan \dfrac{\pi}{4} \tan x})}=\dfrac{(\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x})}{(\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x})}=(\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x})^{2}=\text{ R.H.S. } $
8. $\dfrac{\cos (\pi+x) \cos (-x)}{\sin (\pi-x) \cos (\dfrac{\pi}{2}+x)}=\cot ^{2} x$
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Answer :
$ \begin{aligned} \text{ L.H.S. } & =\dfrac{\cos (\pi+x) \cos (-x)}{\sin (\pi-x) \cos (\dfrac{\pi}{2}+x)} \\ & =\dfrac{[-\cos x][\cos x]}{(\sin x)(-\sin x)} \\ & =\dfrac{-\cos ^{2} x}{-\sin ^{2} x} \\ & =\cot ^{2} x \\ & =\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
9. $\cos (\dfrac{3 \pi}{2}+x) \cos (2 \pi+x)[\cot (\dfrac{3 \pi}{2}-x)+\cot (2 \pi+x)]=1$
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Answer :
$ \begin{aligned} & \text{ L.H.S. }=\cos (\dfrac{3 \pi}{2}+x) \cos (2 \pi+x)[\cot (\dfrac{3 \pi}{2}-x)+\cot (2 \pi+x)] \\ & =\sin x \cos x[\tan x+\cot x] \\ & =\sin x \cos x(\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}) \\ & =(\sin x \cos x)[\dfrac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin x \cos x}] \\ & =1=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
10. $\sin (n+1) x \sin (n+2) x+\cos (n+1) x \cos (n+2) x=\cos x$
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Answer :
L.H.S. $=\sin (n+1) x \sin (n+2) x+\cos (n+1) x \cos (n+2) x$
$=\dfrac{1}{2}[2 \sin (n+1) x \sin (n+2) x+2 \cos (n+1) x \cos (n+2) x]$
$=\dfrac{1}{2} \begin{cases} \cos \{(n+1) x-(n+2) x\}-\cos \{(n+1) x+(n+2) x\} \\ +\cos \{(n+1) x+(n+2) x\}+\cos \{(n+1) x-(n+2) x\} \end{cases} $
$ \begin{cases} \because-2 \sin A \sin B=\cos (A+B)-\cos (A-B) \\ 2 \cos A \cos B=\cos (A+B)+\cos (A-B) \end{cases} $
$=\dfrac{1}{2} \times 2 \cos \{(n+1) x-(n+2) x\}$
$=\cos (-x)=\cos x=$ R.H.S.
11. $\cos (\dfrac{3 \pi}{4}+x)-\cos (\dfrac{3 \pi}{4}-x)=-\sqrt{2} \sin x$
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Answer :
It is known that
$ \cos A-\cos B=-2 \sin (\dfrac{A+B}{2}) \cdot \sin (\dfrac{A-B}{2}) $
$\therefore$ L.H.S. $=\cos (\dfrac{3 \pi}{4}+x)-\cos (\dfrac{3 \pi}{4}-x)$
$=-2 \sin \{\dfrac{(\dfrac{3 \pi}{4}+x)+(\dfrac{3 \pi}{4}-x)}{2}\} \cdot \sin \{\dfrac{(\dfrac{3 \pi}{4}+x)-(\dfrac{3 \pi}{4}-x)}{2}\}$
$=-2 \sin (\dfrac{3 \pi}{4}) \sin x$
$=-2 \sin (\pi-\dfrac{\pi}{4}) \sin x$
$=-2 \sin \dfrac{\pi}{4} \sin x$
$=-2 \times \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \sin x$
$=-\sqrt{2} \sin x$
$=$ R.H.S.
12. $\sin ^{2} 6 x-\sin ^{2} 4 x=\sin 2 x \sin 10 x \quad$
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Answer :
It is known
that $\sin A+\sin B=2 \sin (\dfrac{A+B}{2}) \cos (\dfrac{A-B}{2}), \sin A-\sin B=2 \cos (\dfrac{A+B}{2}) \sin (\dfrac{A-B}{2})$
$\therefore$ L.H.S. $=\sin ^{2} 6 x$ -$\sin ^{2} 4 x$
$=(\sin 6 x+\sin 4 x)(\sin 6 x$ -$\sin$
$4 x)$
$=[2 \sin (\dfrac{6 x+4 x}{2}) \cos (\dfrac{6 x-4 x}{2})][2 \cos (\dfrac{6 x+4 x}{2}) \cdot \sin (\dfrac{6 x-4 x}{2})]$
$ \begin{aligned} & =(2 \sin 5 x \cos x)(2 \cos 5 x \sin x) \\ & =(2 \sin 5 x \cos 5 x)(2 \sin x \cos x) \\ & =\sin 10 x \sin 2 x \\ & =\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
13. $\cos ^2 2 x-\cos ^2 6 x=\sin 4 x \sin 8 x$
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Answer :
L.H.S. $=\sin 2 x+2 \sin 4 x+\sin 6 x$
$=[\sin 2 x+\sin 6 x]+2 \sin 4 x$
$=[2 \sin (\dfrac{2 x+6 x}{2}) \cos (\dfrac{2 x-6 x}{2})]+2 \sin 4 x$
$[\because \sin A+\sin B=2 \sin (\dfrac{A+B}{2}) \cos (\dfrac{A-B}{2})]$
$=2 \sin 4 x \cos ( 2 x)+2 \sin 4 x$
$ \begin{aligned} & =2 \sin 4 x \cos 2 x+2 \sin 4 x \\ & =2 \sin 4 x(\cos 2 x+1) \\ & =2 \sin 4 x(2 \cos ^{2} x - 1+1) \\ & =2 \sin 4 x(2 \cos ^{2} x) \\ & =4 \cos ^{2} x \sin 4 x \\ & =\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
14. $\sin 2 x+2 \sin 4 x+\sin 6 x=4 \cos ^2 x \sin 4 x$
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Answer :
L.H.S $=\cot 4 x(\sin 5 x+\sin 3 x)$
$=\dfrac{\cos 4 x}{\sin 4 x}[2 \sin (\dfrac{5 x+3 x}{2}) \cos (\dfrac{5 x-3 x}{2})]$
$[\because \sin A+\sin B=2 \sin (\dfrac{A+B}{2}) \cos (\dfrac{A-B}{2})]$
$=(\dfrac{\cos 4 x}{\sin 4 x})[2 \sin 4 x \cos x]$
$=2 \cos 4 x \cos x$
R.H.S. $=\cot x(\sin 5 x$ - $\sin 3 x)$
$=\dfrac{\cos x}{\sin x}[2 \cos (\dfrac{5 x+3 x}{2}) \sin (\dfrac{5 x-3 x}{2})]$
$[\because \sin A-\sin B=2 \cos (\dfrac{A+B}{2}) \sin (\dfrac{A-B}{2})]$
$=\dfrac{\cos x}{\sin x}[2 \cos 4 x \sin x]$
$=2 \cos 4 x \cdot \cos x$
L.H.S. = R.H.S.
15. $\cot 4 x(\sin 5 x+\sin 3 x)=\cot x(\sin 5 x-\sin 3 x)$
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Answer :
It is known that
$ \begin{aligned} & \cos A-\cos B=-2 \sin (\dfrac{A+B}{2}) \sin (\dfrac{A-B}{2}), \sin A-\sin B=2 \cos (\dfrac{A+B}{2}) \sin (\dfrac{A-B}{2}) \\ & \therefore \text{ L.H.S }=\dfrac{\cos 9 x-\cos 5 x}{\sin 17 x-\sin 3 x} \\ & =\dfrac{-2 \sin (\dfrac{9 x+5 x}{2}) \cdot \sin (\dfrac{9 x-5 x}{2})}{2 \cos (\dfrac{17 x+3 x}{2}) \cdot \sin (\dfrac{17 x-3 x}{2})} \\ & =\dfrac{-2 \sin 7 x \cdot \sin 2 x}{2 \cos 10 x \cdot \sin 7 x} \\ & =-\dfrac{\sin 2 x}{\cos 10 x} \\ & =\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
16. $\dfrac{\cos 9 x-\cos 5 x}{\sin 17 x-\sin 3 x}=-\dfrac{\sin 2 x}{\cos 10 x}$
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Answer :
It is known that
$ \sin A+\sin B=2 \sin (\dfrac{A+B}{2}) \cos (\dfrac{A-B}{2}), \cos A+\cos B=2 \cos (\dfrac{A+B}{2}) \cos (\dfrac{A-B}{2}) $
$\therefore$ L.H.S. $=\dfrac{\sin 5 x+\sin 3 x}{\cos 5 x+\cos 3 x}$
$=\dfrac{2 \sin (\dfrac{5 x+3 x}{2}) \cdot \cos (\dfrac{5 x-3 x}{2})}{2 \cos (\dfrac{5 x+3 x}{2}) \cdot \cos (\dfrac{5 x-3 x}{2})}$
$=\dfrac{2 \sin 4 x \cdot \cos x}{2 \cos 4 x \cdot \cos x}$
$=\dfrac{\sin 4 x}{\cos 4 x}$
$=\tan 4 x=$ R.H.S.
17. $\dfrac{\sin 5 x+\sin 3 x}{\cos 5 x+\cos 3 x}=\tan 4 x$
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Answer :
It is known that
$\sin A-\sin B=2 \cos (\dfrac{A+B}{2}) \sin (\dfrac{A-B}{2}), \cos A+\cos B=2 \cos (\dfrac{A+B}{2}) \cos (\dfrac{A-B}{2})$
$\therefore$ L.H.S. $=\dfrac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}$
$=\dfrac{2 \cos (\dfrac{x+y}{2}) \cdot \sin (\dfrac{x-y}{2})}{2 \cos (\dfrac{x+y}{2}) \cdot \cos (\dfrac{x-y}{2})}$
$=\dfrac{\sin (\dfrac{x-y}{2})}{\cos (\dfrac{x-y}{2})}$
$=\tan (\dfrac{x-y}{2})=$ R.H.S.
18. $\dfrac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}=\tan \dfrac{x-y}{2}$
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Answer :
It is known that
$\sin A+\sin B=2 \sin (\dfrac{A+B}{2}) \cos (\dfrac{A-B}{2}), \cos A+\cos B=2 \cos (\dfrac{A+B}{2}) \cos (\dfrac{A-B}{2})$
$\therefore$ L.H.S. $=\dfrac{\sin x+\sin 3 x}{\cos x+\cos 3 x}$
$ \begin{aligned} & =\dfrac{2 \sin (\dfrac{x+3 x}{2}) \cos (\dfrac{x-3 x}{2})}{2 \cos (\dfrac{x+3 x}{2}) \cos (\dfrac{x-3 x}{2})} \\ & =\dfrac{\sin 2 x}{\cos 2 x} \\ & =\tan 2 x \\ & =\text{ R.H.S } \end{aligned} $
19. $\dfrac{\sin x+\sin 3 x}{\cos x+\cos 3 x}=\tan 2 x$
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Answer :
It is known that
$ \sin A-\sin B=2 \cos (\dfrac{A+B}{2}) \sin (\dfrac{A-B}{2}), \cos ^{2} A-\sin ^{2} A=\cos 2 A $
$\therefore$ L.H.S. $=\dfrac{\sin x-\sin 3 x}{\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}$
$=\dfrac{2 \cos (\dfrac{x+3 x}{2}) \sin (\dfrac{x-3 x}{2})}{-\cos 2 x}$
$=\dfrac{2 \cos 2 x \sin (-x)}{-\cos 2 x}$
$=-2 \times(-\sin x)$
$=2 \sin x=$ R.H.S.
20. $\dfrac{\sin x-\sin 3 x}{\sin ^2 x-\cos ^2 x}=2 \sin x$
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Answer :
L.H.S. $=\dfrac{\cos 4 x+\cos 3 x+\cos 2 x}{\sin 4 x+\sin 3 x+\sin 2 x}$
$ \begin{aligned} & =\dfrac{(\cos 4 x+\cos 2 x)+\cos 3 x}{(\sin 4 x+\sin 2 x)+\sin 3 x} \\ & =\dfrac{2 \cos (\dfrac{4 x+2 x}{2}) \cos (\dfrac{4 x-2 x}{2})+\cos 3 x}{2 \sin (\dfrac{4 x+2 x}{2}) \cos (\dfrac{4 x-2 x}{2})+\sin 3 x} \\ & {[\because \cos A+\cos B=2 \cos (\dfrac{A+B}{2}) \cos (\dfrac{A-B}{2}), \sin A+\sin B=2 \sin (\dfrac{A+B}{2}) \cos (\dfrac{A-B}{2})]} \\ & =\dfrac{2 \cos 3 x \cos x+\cos 3 x}{2 \sin 3 x \cos x+\sin 3 x} \\ & =\dfrac{\cos 3 x(2 \cos x+1)}{\sin 3 x(2 \cos x+1)} \\ & =\cot 3 x=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
21. $\dfrac{\cos 4 x+\cos 3 x+\cos 2 x}{\sin 4 x+\sin 3 x+\sin 2 x}=\cot 3 x$
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Answer :
L.H.S. $=\cot x \cot 2 x$ -$\cot 2 x \cot 3 x$ -$\cot 3 x \cot x$
$=\cot x \cot 2 x$ -$\cot 3 x(\cot 2 x+\cot x)$
$=\cot x \cot 2 x - \cot (2 x+x)(\cot 2 x+\cot x)$
$=\cot x \cot 2 x-[\dfrac{\cot 2 x \cot x-1}{\cot x+\cot 2 x}](\cot 2 x+\cot x)$
$[\because \cot (A+B)=\dfrac{\cot A \cot B-1}{\cot A+\cot B}]$
$=\cot x \cot 2 x$ -( $\cot 2 x \cot x$ -1$)$
$=1=$ R.H.S.
22. $\cot x \cot 2 x-\cot 2 x \cot 3 x-\cot 3 x \cot x=1$
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Answer :
$ \begin{aligned} & \text{ It is known that } \tan 2 A=\dfrac{2 \tan A}{1-\tan ^{2} A} \\ & \therefore \text{ L.H.S. }=\tan 4 x=\tan 2(2 x) \\ & =\dfrac{2 \tan 2 x}{1-\tan ^{2}(2 x)} \\ & =\dfrac{2(\dfrac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x})}{1-(\dfrac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x})^{2}} \\ & =\dfrac{(\dfrac{4 \tan x}{1-\tan ^{2} x})}{[1-\dfrac{4 \tan ^{2} x}{(1-\tan ^{2} x)^{2}}]} \\ & =\dfrac{(\dfrac{4 \tan x}{1-\tan ^{2} x})}{[\dfrac{(1-\tan ^{2} x)^{2}-4 \tan ^{2} x}{(1-\tan ^{2} x)^{2}}]} \\ & =\dfrac{4 \tan x(1-\tan ^{2} x)}{(1-\tan ^{2} x)^{2}-4 \tan ^{2} x} \\ & =\dfrac{4 \tan x(1-\tan ^{2} x)}{1+\tan ^{4} x-2 \tan ^{2} x-4 \tan ^{2} x} \\ & =\dfrac{4 \tan x(1-\tan ^{2} x)}{1-6 \tan ^{2} x+\tan ^{4} x}=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
23. $\tan 4 x=\dfrac{4 \tan x\left(1-\tan ^2 x\right)}{1-6 \tan ^2 x+\tan ^4 x}$
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Answer :
L.H.S. $=\cos 6 x$
$=\cos 3(2 x)$
$=4 \cos ^{3} 2 x-3 \cos 2 x[\cos 3 A=4 \cos ^{3} A-3 \cos A]$
$=4[(2 \cos ^{2} x-1)^{3}-3(2 \cos ^{2} x-1)[\cos 2 x=2 \cos ^{2} x-1].$
$=4[(2 \cos ^{2} x)^{3}-(1)^{3}-3(2 \cos ^{2} x)^{2}+3(2 \cos ^{2} x)]-6 \cos ^{2} x+3$
$=4[8 \cos ^{6} x-1-12 \cos ^{4} x+6 \cos ^{2} x]-6 \cos ^{2} x+3$
$=32 \cos ^{6} x-4-48 \cos ^{4} x+24 \cos ^{2} x-6 \cos ^{2} x+3$
$=32 \cos ^{6} x-48 \cos ^{4} x+18 \cos ^{2} x-1$
$=$ R.H.S.
- $\cos 4 x=1-8 \sin ^2 x \cos ^2 x$
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\missing- $\cos 6 x=32 \cos ^6 x-48 \cos ^4 x+18 \cos ^2 x-1$
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\missingMiscellaneous Examples
Example 18 If $\sin x=\frac{3}{5}, \cos y=-\frac{12}{13}$, where $x$ and $y$ both lie in second quadrant, find the value of $\sin (x+y)$.
Solution We know that
$ \begin{aligned} & \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \\ & \cos ^{2} x=1-\sin ^{2} x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25} \end{aligned} $
Therefore $\quad \cos x= \pm \frac{4}{5}$.
Since $x$ lies in second quadrant, $\cos x$ is negative.
Hence $\quad \cos x=-\frac{4}{5}$
Now $\quad \sin ^{2} y=1-\cos ^{2} y=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$
i.e. $\quad \sin y= \pm \frac{5}{13}$.
Since $y$ lies in second quadrant, hence $\sin y$ is positive. Therefore, $\sin y=\frac{5}{13}$. Substituting the values of $\sin x, \sin y, \cos x$ and $\cos y$ in (1), we get
$$ \sin (x+y)=\frac{3}{5} \times(-\frac{12}{13})+(-\frac{4}{5}) \times \frac{5}{13}=-\frac{36}{65}-\frac{20}{65}=-\frac{56}{65} $$
Example 19 Prove that $ \cos 2 x \cos \frac{x}{2}-\cos 3 x \cos \frac{9 x}{2}=\sin 5 x \sin \frac{5 x}{2} $
Solution We have
L.H.S. $=\frac{1}{2}[2 \cos 2 x \cos \frac{x}{2}-2 \cos \frac{9 x}{2} \cos 3 x]$ $ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}[\cos (2 x+\frac{x}{2})+\cos (2 x-\frac{x}{2})-\cos (\frac{9 x}{2}+3 x)-\cos (\frac{9 x}{2}-3 x)] \\ & =\frac{1}{2}[\cos \frac{5 x}{2}+\cos \frac{3 x}{2}-\cos \frac{15 x}{2}-\cos \frac{3 x}{2}]=\frac{1}{2}[\cos \frac{5 x}{2}-\cos \frac{15 x}{2}] \\ & =\frac{1}{2}[-2 \sin {\frac{\frac{5 x}{2}+\frac{15 x}{2}}{2}} \sin {\frac{\frac{5 x}{2}-\frac{15 x}{2}}{2}}] \\ & =-\sin 5 x \sin (-\frac{5 x}{2})=\sin 5 x \sin \frac{5 x}{2}=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
Example 20 Find the value of $\tan \frac{\pi}{8}$.
Solution Let $x=\frac{\pi}{8}$. Then $2 x=\frac{\pi}{4}$.
Now $\quad \tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$
or
$$ \tan \frac{\pi}{4}=\frac{2 \tan \frac{\pi}{8}}{1-\tan ^{2} \frac{\pi}{8}} $$
Let $y=\tan \frac{\pi}{8}$. Then $1=\frac{2 y}{1-y^{2}}$
or $\quad y^{2}+2 y-1=0$
Therefore
$ y=\frac{-2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}=-1 \pm \sqrt{2} $
Since $\frac{\pi}{8}$ lies in the first quadrant, $y=\tan \frac{\pi}{8}$ is positve. Hence
$$ \tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1 $$
Example 21 If $\tan x=\frac{3}{4}, \pi<x<\frac{3 \pi}{2}$, find the value of $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ and $\tan \frac{x}{2}$.
Solution Since $\pi<x<\frac{3 \pi}{2}, \cos x$ is negative.
Also $ \quad \frac{\pi}{2}<\frac{x}{2}<\frac{3 \pi}{4} $
Therefore, $\sin \frac{x}{2}$ is positive and $\cos \frac{x}{2}$ is negative.
Now
$$ \sec ^{2} x=1+\tan ^{2} x=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16} $$
Therefore
$$ \cos ^{2} x=\frac{16}{25} \quad \text{ or } \cos x=-\frac{4}{5} \quad \text{ (Why?) } $$
Now
$$ 2 \sin ^{2} \frac{x}{2}=1-\cos x=1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5} \text{. } $$
Therefore $ \quad \sin ^{2} \frac{x}{2}=\frac{9}{10} $
or $ \sin \frac{x}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}} \quad \text{ (Why?) } $
Again $ \quad 2 \cos ^{2} \frac{x}{2}=1+\cos x=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} $
Therefore
$\quad \cos ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1}{10}$ or $ \cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{\sqrt{10}}(\text{ Why? }) $
Hence
$$\quad \tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}} \times(\frac{-\sqrt{10}}{1})=-3$$.
Example 22 Prove that $\cos ^{2} x+\cos ^{2}(x+\frac{\pi}{3})+\cos ^{2}(x-\frac{\pi}{3})=\frac{3}{2}$.
Solution We have
$ \begin{aligned} \text{ L.H.S. } & =\frac{1+\cos 2 x}{2}+\frac{1+\cos (2 x+\frac{2 \pi}{3})}{2}+\frac{1+\cos (2 x-\frac{2 \pi}{3})}{2} . \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x+\cos (2 x+\frac{2 \pi}{3})+\cos (2 x-\frac{2 \pi}{3})] \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x+2 \cos 2 x \cos \frac{2 \pi}{3}] \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x+2 \cos 2 x \cos (\pi-\frac{\pi}{3})] \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x-2 \cos 2 x \cos \frac{\pi}{3}] \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x-\cos 2 x]=\frac{3}{2}=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
Miscellaneous Exercise on Chapter 3
Prove that:
1. $2 \cos \dfrac{\pi}{13} \cos \dfrac{9 \pi}{13}+\cos \dfrac{3 \pi}{13}+\cos \dfrac{5 \pi}{13}=0$
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Answer :
L.H.S.
$=2 \cos \dfrac{\pi}{13} \cos \dfrac{9 \pi}{13}+\cos \dfrac{3 \pi}{13}+\cos \dfrac{5 \pi}{13}$
$=2 \cos \dfrac{\pi}{13} \cos \dfrac{9 \pi}{13}+2 \cos (\dfrac{\dfrac{3 \pi}{13}+\dfrac{5 \pi}{13}}{2}) \cos (\dfrac{\dfrac{3 \pi}{13}-\dfrac{5 \pi}{13}}{2})[\cos x+\cos y=2 \cos (\dfrac{x+y}{2}) \cos (\dfrac{x-y}{2})]$
$=2 \cos \dfrac{\pi}{13} \cos \dfrac{9 \pi}{13}+2 \cos \dfrac{4 \pi}{13} \cos (\dfrac{-\pi}{13})$
$=2 \cos \dfrac{\pi}{13} \cos \dfrac{9 \pi}{13}+2 \cos \dfrac{4 \pi}{13} \cos \dfrac{\pi}{13}$
$=2 \cos \dfrac{\pi}{13}[\cos \dfrac{9 \pi}{13}+\cos \dfrac{4 \pi}{13}]$
$=2 \cos \dfrac{\pi}{13}[2 \cos (\dfrac{\dfrac{9 \pi}{13}+\dfrac{4 \pi}{13}}{2}) \cos (\dfrac{\dfrac{9 \pi}{13}-\dfrac{4 \pi}{13}}{2})]$
$=2 \cos \dfrac{\pi}{13}[2 \cos \dfrac{\pi}{2} \cos \dfrac{5 \pi}{26}]$
$=2 \cos \dfrac{\pi}{13} \times 2 \times 0 \times \cos \dfrac{5 \pi}{26}$
$=0=$ R.H.S
2. $(\sin 3 x+\sin x) \sin x+(\cos 3 x-\cos x) \cos x=0$
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Answer :
L.H.S.
$=(\sin 3 x+\sin x) \sin x+(\cos 3 x$ ấ" $\cos x) \cos x$
$=\sin 3 x \sin x+\sin ^{2} x+\cos 3 x \cos x-\cos ^{2} x$
$=\cos 3 x \cos x+\sin 3 x \sin x-(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x)$
$=\cos (3 x-x)-\cos 2 x \quad[\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B]$
$=\cos 2 x-\cos 2 x$
$=0$
$=$ RH.S.
3. $(\cos x+\cos y)^{2}+(\sin x-\sin y)^{2}=4 \cos ^{2} \dfrac{x+y}{2}$
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Answer :
L.H.S. $=(\cos x+\cos y)^{2}+(\sin x-\sin y)^{2}$
$=\cos ^{2} x+\cos ^{2} y+2 \cos x \cos y+\sin ^{2} x+\sin ^{2} y-2 \sin x \sin y$
$=(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x)+(\cos ^{2} y+\sin ^{2} y)+2(\cos x \cos y-\sin x \sin y)$
$=1+1+2 \cos (x+y) \quad[\cos (A+B)=(\cos A \cos B-\sin A \sin B)]$
$=2+2 \cos (x+y)$
$=2[1+\cos (x+y)]$
$=2[1+2 \cos ^{2}(\dfrac{x+y}{2})-1] \quad[\cos 2 A=2 \cos ^{2} A-1]$
$=4 \cos ^{2}(\dfrac{x+y}{2})=$ R.H.S.
4. $(\cos x-\cos y)^{2}+(\sin x-\sin y)^{2}=4 \sin ^{2} \dfrac{x-y}{2}$
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Answer :
L.H.S. $=(\cos x-\cos y)^{2}+(\sin x-\sin y)^{2}$
$ \begin{matrix} =\cos ^{2} x+\cos ^{2} y-2 \cos x \cos y+\sin ^{2} x+\sin ^{2} y-2 \sin x \sin y \\ =(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x)+(\cos ^{2} y+\sin ^{2} y)-2[\cos x \cos y+\sin x \sin y] \\ =1+1-2[\cos (x-y)] & \\ {[\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B]} \\ =2[1-\cos (x-y)] & \\ =2[1-\{1-2 \sin ^{2}(\dfrac{x-y}{2})\}] & \\ {[\cos 2 A=1-2 \sin ^{2} A]} \\ =4 \sin ^{2}(\dfrac{x-y}{2})=\text{ R.H.S. } \end{matrix} $
5. $\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x+\sin 7 x=4 \cos x \cos 2 x \sin 4 x$
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Answer :
It is known that
$ \sin A+\sin B=2 \sin (\dfrac{A+B}{2}) \cdot \cos (\dfrac{A-B}{2}) $
$\therefore$ L.H.S. $=\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x+\sin 7 x$
$=(\sin x+\sin 5 x)+(\sin 3 x+\sin 7 x)$
$=2 \sin (\dfrac{x+5 x}{2}) \cdot \cos (\dfrac{x-5 x}{2})+2 \sin (\dfrac{3 x+7 x}{2}) \cos (\dfrac{3 x-7 x}{2})$
$=2 \sin 3 x \cos (-2 x)+2 \sin 5 x \cos (-2 x)$
$=2 \sin 3 x \cos 2 x+2 \sin 5 x \cos 2 x$
$=2 \cos 2 x[\sin 3 x+\sin 5 x]$
$=2 \cos 2 x[2 \sin (\dfrac{3 x+5 x}{2}) \cdot \cos (\dfrac{3 x-5 x}{2})]$
$=2 \cos 2 x[2 \sin 4 x \cdot \cos (-x)]$
$=4 \cos 2 x \sin 4 x \cos x=$ R.H.S.
6. $\dfrac{(\sin 7 x+\sin 5 x)+(\sin 9 x+\sin 3 x)}{(\cos 7 x+\cos 5 x)+(\cos 9 x+\cos 3 x)}=\tan 6 x$
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Answer :
It is known that
$\sin A+\sin B=2 \sin (\dfrac{A+B}{2}) \cdot \cos (\dfrac{A-B}{2}), \cos A+\cos B=2 \cos (\dfrac{A+B}{2}) \cdot \cos (\dfrac{A-B}{2})$
$=\dfrac{(\sin 7 x+\sin 5 x)+(\sin 9 x+\sin 3 x)}{(\cos 7 x+\cos 5 x)+(\cos 9 x+\cos 3 x)}$
$=\dfrac{[2 \sin (\dfrac{7 x+5 x}{2}) \cdot \cos (\dfrac{7 x-5 x}{2})]+[2 \sin (\dfrac{9 x+3 x}{2}) \cdot \cos (\dfrac{9 x-3 x}{2})]}{[2 \cos (\dfrac{7 x+5 x}{2}) \cdot \cos (\dfrac{7 x-5 x}{2})]+[2 \cos (\dfrac{9 x+3 x}{2}) \cdot \cos (\dfrac{9 x-3 x}{2})]}$
$=\dfrac{[2 \sin 6 x \cdot \cos x]+[2 \sin 6 x \cdot \cos 3 x]}{[2 \cos 6 x \cdot \cos x]+[2 \cos 6 x \cdot \cos 3 x]}$
$=\dfrac{2 \sin 6 x[\cos x+\cos 3 x]}{2 \cos 6 x[\cos x+\cos 3 x]}$
$=\tan 6 x$
$=$ R.H.S.
7. $\sin 3 x+\sin 2 x-\sin x=4 \sin x \cos \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{3 x}{2}$
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Answer :
L.H.S. $=\sin 3 x+\sin 2 x-\sin x$
$ \begin{aligned} & =\sin 3 x+(\sin 2 x-\sin x) \\ & =\sin 3 x+[2 \cos (\dfrac{2 x+x}{2}) \sin (\dfrac{2 x-x}{2})] \quad[\sin A-\sin B=2 \cos (\dfrac{A+B}{2}) \sin (\dfrac{A-B}{2})] \\ & =\sin 3 x+[2 \cos (\dfrac{3 x}{2}) \sin (\dfrac{x}{2})] \\ & =\sin 3 x+2 \cos \dfrac{3 x}{2} \sin \dfrac{x}{2} \\ & =2 \sin \dfrac{3 x}{2} \cdot \cos \dfrac{3 x}{2}+2 \cos \dfrac{3 x}{2} \sin \dfrac{x}{2} \quad[\sin 2 A=2 \sin A \cdot \cos B] \\ & =2 \cos (\dfrac{3 x}{2})[\sin (\dfrac{3 x}{2})+\sin (\dfrac{x}{2})] \\ & =2 \cos (\dfrac{3 x}{2})[2 \sin \{\dfrac{(\dfrac{3 x}{2})+(\dfrac{x}{2})}{2}\} \cos \{\dfrac{(\dfrac{3 x}{2})-(\dfrac{x}{2})}{2}\}][\sin A+\sin B=2 \sin (\dfrac{A+B}{2}) \cos (\dfrac{A-B}{2})] \\ & .=2 \cos (\dfrac{3 x}{2}) \cdot 2 \sin x \cos (\dfrac{x}{2})] \cos (\dfrac{3 x}{2})=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $
Find $\sin \dfrac{x}{2}, \cos \dfrac{x}{2}$ and $\tan \dfrac{x}{2}$ in each of the following:
8. $\tan x=-\dfrac{4}{3}, x$ in quadrant II
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Answer :
Here, $x$ is in quadrant II.
i.e., $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$
$\Rightarrow \dfrac{\pi}{4}<\dfrac{x}{2}<\dfrac{\pi}{2}$
Therefore, $\sin \dfrac{x}{2}, \cos \dfrac{x}{2}$ and $\tan \dfrac{x}{2}$ are all positive.
It is given that $\tan x=-\dfrac{4}{3}$.
$\sec ^{2} x=1+\tan ^{2} x=1+(\dfrac{-4}{3})^{2}=1+\dfrac{16}{9}=\dfrac{25}{9}$
$\therefore \cos ^{2} x=\dfrac{9}{25}$
$\Rightarrow \cos x= \pm \dfrac{3}{5}$
As $x$ is in quadrant II, $\cos x$ is negative.
$ \therefore \quad \cos x=\dfrac{-3}{5} $
Now, $\cos x=2 \cos ^{2} \dfrac{x}{2}-1$
$\Rightarrow \dfrac{-3}{5}=2 \cos ^{2} \dfrac{x}{2}-1$
$\Rightarrow 2 \cos ^{2} \dfrac{x}{2}=1-\dfrac{3}{5}$
$\Rightarrow 2 \cos ^{2} \dfrac{x}{2}=\dfrac{2}{5}$
$\Rightarrow \cos ^{2} \dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{5}$
$\Rightarrow \cos \dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}} \quad[\because \cos \dfrac{x}{2}.$ is positive $]$
$\therefore \cos \dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
$\sin ^{2} \dfrac{x}{2}+\cos ^{2} \dfrac{x}{2}=1$
$\Rightarrow \sin ^{2} \dfrac{x}{2}+(\dfrac{1}{\sqrt{5}})^{2}=1$
$\Rightarrow \sin ^{2} \dfrac{x}{2}=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$
$\Rightarrow \sin \dfrac{x}{2}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
$[\because \sin \dfrac{x}{2}.$ is positive $]$
$\therefore \sin \dfrac{x}{2}=\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$ $\tan \dfrac{x}{2}=\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}}=\dfrac{(\dfrac{2}{\sqrt{5}})}{(\dfrac{1}{\sqrt{5}})}=2$
Thus, the respective values of $\sin \dfrac{x}{2}, \cos \dfrac{x}{2}$ and $\tan \dfrac{x}{2}$ are $\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}, \dfrac{\sqrt{5}}{5}$, and 2
9. 9. $\cos x=-\dfrac{1}{3}, x$ in quadrant III
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Answer :
Here, $x$ is in quadrant III.
i.e., $\pi<x<\dfrac{3 \pi}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{\pi}{2}<\dfrac{x}{2}<\dfrac{3 \pi}{4}$
Therefore, $\cos \dfrac{x}{2}$ and $\tan \dfrac{x}{2}$ are negative, whereas $\sin \dfrac{x}{2}$ is positive.
It is given that $\cos x=-\dfrac{1}{3}$.
$\cos x=1-2 \sin ^{2} \dfrac{x}{2}$
$\Rightarrow \sin ^{2} \dfrac{x}{2}=\dfrac{1-\cos x}{2}$
$\Rightarrow \sin ^{2} \dfrac{x}{2}=\dfrac{1-(-\dfrac{1}{3})}{2}=\dfrac{(1+\dfrac{1}{3})}{2}=\dfrac{\dfrac{4}{3}}{2}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow \sin \dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \quad[\because \sin \dfrac{x}{2}.$ is positive $]$
$\therefore \sin \dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
Now,
$\cos x=2 \cos ^{2} \dfrac{x}{2}-1$ $\Rightarrow \cos ^{2} \dfrac{x}{2}=\dfrac{1+\cos x}{2}=\dfrac{1+(-\dfrac{1}{3})}{2}=\dfrac{(\dfrac{3-1}{3})}{2}=\dfrac{(\dfrac{2}{3})}{2}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \cos \dfrac{x}{2}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \quad[\because \cos \dfrac{x}{2}.$ is negative $]$
$\therefore \cos \dfrac{x}{2}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{-\sqrt{3}}{3}$
$\tan \dfrac{x}{2}=\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}}=\dfrac{(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})}{(\dfrac{-1}{\sqrt{3}})}=-\sqrt{2}$
Thus, the respective values of $\sin \dfrac{x}{2}, \cos \dfrac{x}{2}$ and $\tan \dfrac{x}{2}$ are $\dfrac{\sqrt{6}}{3}, \dfrac{-\sqrt{3}}{3}$, and $-\sqrt{2}$
10. $\sin x=\dfrac{1}{4}, x$ in quadrant II
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Answer :
Here, $x$ is in quadrant II.
i.e., $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$
$\Rightarrow \dfrac{\pi}{4}<\dfrac{x}{2}<\dfrac{\pi}{2}$
Therefore, $\sin \dfrac{x}{2}, \cos \dfrac{x}{2}$, and $\tan \dfrac{x}{2}$ are all positive.
It is given that $\sin x=\dfrac{1}{4}$.
$\cos ^{2} x=1-\sin ^{2} x=1-(\dfrac{1}{4})^{2}=1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}$
$\Rightarrow \cos x=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
[cos $x$ is negative in quadrant II]
$ \begin{aligned} & \sin ^{2} \dfrac{x}{2}=\dfrac{1-\cos x}{2}=\dfrac{1-(-\dfrac{\sqrt{15}}{4})}{2}=\dfrac{4+\sqrt{15}}{8} \\ & \Rightarrow \sin \dfrac{x}{2}=\sqrt{\dfrac{4+\sqrt{15}}{8}} \quad[\because \sin \dfrac{x}{2} \text{ is positive }] \\ & =\sqrt{\dfrac{4+\sqrt{15}}{8} \times \dfrac{2}{2}} \\ & =\sqrt{\dfrac{8+2 \sqrt{15}}{16}} \\ & =\dfrac{\sqrt{8+2 \sqrt{15}}}{4} \\ & \cos ^{2} \dfrac{x}{2}=\dfrac{1+\cos x}{2}=\dfrac{1+(-\dfrac{\sqrt{15}}{4})}{2}=\dfrac{4-\sqrt{15}}{8} \\ & \Rightarrow \cos \dfrac{x}{2}=\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{15}}{8}} \quad[\because \cos \dfrac{x}{2} \text{ is positive }] \\ & =\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{15}}{8} \times \dfrac{2}{2}} \\ & =\sqrt{\dfrac{8-2 \sqrt{15}}{16}} \\ & =\dfrac{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}}{4} \\ & \tan \dfrac{x}{2}=\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}}=\dfrac{(\dfrac{\sqrt{8+2 \sqrt{15}}}{4})}{(\dfrac{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}}{4})}=\dfrac{\sqrt{8+2 \sqrt{15}}}{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}} \\ & =\sqrt{\dfrac{8+2 \sqrt{15}}{8-2 \sqrt{15}} \times \dfrac{8+2 \sqrt{15}}{8+2 \sqrt{15}}} \\ & =\sqrt{\dfrac{(8+2 \sqrt{15})^{2}}{64-60}}=\dfrac{8+2 \sqrt{15}}{2}=4+\sqrt{15} \end{aligned} $
Thus, the respective values of $\sin \dfrac{x}{2}, \cos \dfrac{x}{2}$ and $\tan \dfrac{x}{2}$ are $\dfrac{\sqrt{8+2 \sqrt{15}}}{4}, \dfrac{\sqrt{8-2 \sqrt{15}}}{4}$, and $4+\sqrt{15}$
Summary
If in a circle of radius $r$, an arc of length $l$ subtends an angle of $\theta$ radians, then $l=r \theta$
Radian measure $=\frac{\pi}{180} \times$ Degree measure
Degree measure $=\frac{180}{\pi} \times$ Radian measure
$\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1$
$1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x$
$1+\cot ^{2} x=cosec^{2} x$
$ \cos (2 n \pi+x)=\cos x$
$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x$
$ \sin (-x)=-\sin x$
$ \cos (-x)=\cos x$
-
$ \cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$
-
$\cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y$
$\cos (\frac{\pi}{2}-x)=\sin x$ $\sin (\frac{\pi}{2}-x)=\cos x$
$ \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$
$ \sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y$
$ \cos (\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x$
$ \sin (\frac{\pi}{2}+x)=\cos x$
$\cos (\pi-x)=-\cos x$
$ \sin (\pi-x)=\sin x$
$\cos (\pi+x)=-\cos x$
$\sin (\pi+x)=-\sin x$
$\cos (2 \pi-x)=\cos x$
$ \sin (2 \pi-x)=-\sin x$
If none of the angles $x, y$ and $(x \pm y)$ is an odd multiple of $\frac{\pi}{2}$, then
$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}$
$\tan (x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y}$
If none of the angles $x, y$ and $(x \pm y)$ is a multiple of $\pi$, then
$ \cot (x+y)=\frac{\cot x \cot y-1}{\cot y+\cot x}$
$\cot (x-y)=\frac{\cot x \cot y+1}{\cot y-\cot x}$
$ \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=2 \cos ^{2} x-1=1-2 \sin ^{2} x=\frac{1-\tan ^{2} x}{1+\tan ^{2} x}$
$ \sin 2 x=2 \sin x \cos x=\frac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x}$
$ \tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$
$ \sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x$
$ \cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x$
$ \tan 3 x=\frac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x}$
(i) $\cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$
(ii) $\cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$
(iii) $\sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$
(iv) $\sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$
(i) $2 \cos x \cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)$
(ii) $-2 \sin x \sin y=\cos (x+y)-\cos (x-y)$
(iii) $2 \sin x \cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)$
(iv) $2 \cos x \sin y=\sin (x+y)-\sin (x-y)$.
Historical Note
The study of trigonometry was first started in India. The ancient Indian Mathematicians, Aryabhatta (476), Brahmagupta (598), Bhaskara I (600) and Bhaskara II (1114) got important results. All this knowledge first went from India to middle-east and from there to Europe. The Greeks had also started the study of trigonometry but their approach was so clumsy that when the Indian approach became known, it was immediately adopted throughout the world.
In India, the predecessor of the modern trigonometric functions, known as the sine of an angle, and the introduction of the sine function represents the main contribution of the siddhantas (Sanskrit astronomical works) to the history of mathematics.
Bhaskara I (about 600) gave formulae to find the values of sine functions for angles more than $90^{\circ}$. A sixteenth century Malayalam work Yuktibhasa (period) contains a proof for the expansion of $\sin (A+B)$. Exact expression for sines or cosines of $18^{\circ}, 36^{\circ}, 54^{\circ}, 72^{\circ}$, etc., are given by Bhaskara II.
The symbols $\sin ^{-1} x, \cos ^{-1} x$, etc., for arc $\sin x$, arc $\cos x$, etc., were suggested by the astronomer Sir John F.W. Hersehel (1813) The names of Thales (about 600 B.C.) is invariably associated with height and distance problems. He is credited with the determination of the height of a great pyramid in Egypt by measuring shadows of the pyramid and an auxiliary staff (or gnomon) of known height, and comparing the ratios:
$$ \frac{H}{S}=\frac{h}{s}=\tan (\text{ sun’s altitude }) $$
Thales is also said to have calculated the distance of a ship at sea through the proportionality of sides of similar triangles. Problems on height and distance using the similarity property are also found in ancient Indian works.
एक गणितज्ञ जानता है कि किसी समस्या को कैसे हल किया जाए, वह इसका समाधान नहीं कर सकता। - मिल्ने
3.1 भूमिका (Introduction)
शब्द ‘ट्रिगोनोमेट्री’ की व्युत्पत्ति ग्रीक शब्दों ‘ट्रिगोन’ तथा ‘मेट्रोन’ से हुई है तथा इसका अर्थ ‘त्रिभुज की भुजाओं को मापना’ होता है। इस विषय का विकास मूलतः त्रिभुजों से संबंधित ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया गया था। इसका अध्ययन समुद्री यात्राओं के कप्तानों, सर्वेयरों, जिन्हें नए भू-भागों का चित्र तैयार करना होता था तथा अभियंताओं आदि के द्वारा किया गया। वर्तमान में इसका उपयोग बहुत सारे क्षेत्रों जैसे विज्ञान, भूकंप शास्त्र, विद्युत परिपथ (सर्किट) के डिजाइन तैयार करने, अणु की अवस्था का वर्णन करने, समुद्र में आनेवाले ज्वार की ऊँचाई के विषय में पूर्वानुमान लगाने में, सांगीतिक लय (टोन) का विश्लेषण करने तथा अन्य दूसरे क्षेत्रों में होता है।
Arya Bhatt (476-550 B.C.)
पिछली कक्षाओं में हमने न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात के विषय में अध्ययन किया है, जिसे समकोणीय त्रिभुजों की भुजाओं के अनुपात के रूप में बताया गया है। हमने त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं तथा उनके त्रिकोणमितीय अनुपातों के अनुप्रयोगों को ऊँचाई तथा दूरी के प्रश्नों को हल करने में किया है। इस अध्याय में, हम त्रिकोणमितीय अनुपातों के संबंधों का त्रिकोणमितीय फलनों के रूप में व्यापकीकरण करेंगे तथा उनके गुणधर्मों का अध्ययन करेंगे।
3.2 कोण (Angles)
आकृत्ति 3.1
एक कोण वह माप है जो एक किरण के उसके प्रारंभिक बिंदु के परितः घूमने पर बनता है। किरण के घूर्णन की मूल स्थिति को प्रारंभिक भुजा तथा घूर्णन के अंतिम स्थिति को कोण की अंतिम भुजा कहते हैं। घूर्णन बिंदु को शीर्ष कहते हैं। यदि घूर्णन वामावर्त्त है तो कोण धनात्मक तथा यदि घूर्णन दक्षिणावर्त्त है तो कोण ऋणात्मक कहलाता है (आकृत्ति 3.1)।
किसी कोण का माप, घूर्णन (घुमाव) की वह मात्रा है जो भुजा को प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक घुमाने पर प्राप्त होता है। कोण को मापने के लिए अनेक इकाइयाँ हैं। कोण की परिभाषा इसकी इकाई का संकेत देती है, उदाहरण के लिए प्रारंभिक रेखा की स्थिति से एक पूर्ण घुमाव को कोंण की
आकृत्ति 3.2
एक इकाई लिया जा सकता है जैसा, आकृति 3.2 में दर्शाया गया है।
यह सर्वदा बड़े कोणों के लिए सुविधाजनक है। उदाहरणतः एक घूमते हुए पहिये के घुमाव में बनाए गए कोण के विषय में कह सकते हैं कि यह 15 परिक्रमा प्रति सेकंड है। हम कोण के मापने की दो अन्य इकाइयों के विषय में बताएँगे जिनका सामान्यतः प्रयोग किया जाता है, ये डिग्री माप तथा रेडियन माप हैं।
3.2.1 डिग्री माप (Degree measure)
यदि प्रारंभिक भुजा से अंतिम भुजा का घुमाव एक पूर्ण परिक्रमण का $\left(\frac{1}{360}\right)$ वाँ भाग हो तो हम कोण का माप एक डिग्री कहते हैं, इसे $1^{\circ}$ से लिखते हैं। एक डिग्री को मिनट में तथा एक मिनट को सेकंड में विभाजित किया जाता है। एक डिग्री का साठवाँ भाग एक मिनट कहलाता है, इसे $1^{\prime}$ से लिखते हैं तथा एक मिनट का साठवाँ भाग एक सेकंड कहलाता है, इसे $1^{\prime \prime}$ से लिखते हैं। अर्थात् $1^{\circ}=60^{\prime}, 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$
कुछ कोण जिनका माप $360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ है उन्हें आकृति 3.3 में दर्शाया गया है।
आकृति 3.3
3.2.2 रेडियन माप (Radian measure)
कोण को मापने के लिए एक दूसरी इकाई भी है, जिसे रेडियन माप कहते हैं। इकाई वृत्त (वृत्त की त्रिज्या एक इकाई हो) के केंद्र पर एक इकाई लंबाई के चाप द्वारा बने कोण को एक रेडियन माप कहते हैं। आकृति 3.4 (i)-(iv) में, OA प्रारंभिक भुजा है तथा $\mathrm{OB}$ अंतिम भुजा है। आकृतियों में कोण दिखाए गए हैं जिनके माप 1 रेडियन, -1 रेडियन, $1 \frac{1}{2}$ रेडियन तथा $-1 \frac{1}{2}$ रेडियन हैं।
आकृति 3.4 (i) - (iv)
हम जानते हैं कि इकाई त्रिज्या के वृत्त की परिधि $2 \pi$ होती है। अतः प्रारंभिक भुजा की एक पूर्ण परिक्रमा केंद्र पर $2 \pi$ रेडियन का कोण अंतरित करती है।
यह सर्वविदित है कि $r$ त्रिज्या वाले एक वृत्त में, $r$ लंबाई का चाप केंद्र पर एक रेडियन का कोण अंतरित करता है। हम जानते हैं कि वृत्त के समान चाप केंद्र पर समान कोण अंतरित करते हैं। चूंकि $r$ त्रिज्या के वृत्त में $r$ लंबाई का चाप केंद्र पर एक रेडियन का कोण अंतरित करता है, इसलिए $l$ लंबाई का चाप केंद्र पर $\frac{l}{r}$ रेडियन का कोण अंतरित करेगा। अतः यदि एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या $r$ है, चाप की लंबाई $l$ तथा केंद्र पर अंतरित कोण $\theta$ रेडियन है, तो हम पाते हैं कि $\theta=\frac{l}{r}$ या $l=r \theta$.
3.2.3 रेडियन तथा वास्तविक संख्याओं के मध्य संबंध (Re- lation between radian and real numbers)
माना कि इकाई वृत्त का केंद्र, $O$ पर हैं तथा वृत्त पर कोई बिंदु $A$ है। माना कोण की प्रारंभिक भुजा $\mathrm{OA}$ है, तो वृत्त के चाप की लंबाई से वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण की माप रेडियन में प्राप्त होती है। मान लीजिए वृत्त के बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा PAQ है। माना बिंदु $A$ वास्तविक संख्या शून्य प्रदर्शित करता है, AP धनात्मक वास्तविक संख्या दर्शाता है तथा $\mathrm{AQ}$ ॠणात्मक वास्तविक संख्या दर्शाता है (आकृत्ति 3.5)। यदि हम वृत्त की ओर रेखा AP को घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाने पर तथा रेखा $\mathrm{AQ}$ को घड़ी की दिशा में घुमाएँ तो प्रत्येक वास्तविक संख्या के संगत रेडियन माप होगा तथा विलोमतः। इस प्रकार रेडियन माप तथा वास्तविक संख्याओं को एक तथा समान मान सकते हैं।
आकृत्ति 3.5
3.2.4 डिग्री तथा रेडियन के मध्य संबंध (Relation between degree and radian)
क्योंकि वृत्त, केंद्र पर एक कोण बनाता है जिसकी माप $2 \pi$ रेडियन है तथा यह $360^{\circ}$ डिग्री माप है, इसलिए $ 2 \pi \text { रेडियन }=360^{\circ} \text { या } \pi \text { रेडियन }=180^{\circ} $
उपर्युक्त संबंध हमें रेडियन माप को डिग्री माप तथा डिग्री माप को रेडियन माप में व्यक्त करते हैं। $\pi$ का निकटतम मान $\frac{22}{7}$ का उपयोग करके, हम पाते हैं कि
1 रेडियन $=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime}$ निकटतम
पुन: $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ रेडियन $=0.01746$ रेडियन (निकटतम)
कुछ सामान्य कोणों के डिग्री माप तथा रेडियन माप के संबंध निम्नलिखित सारणी में दिए गए हैं:
| डिग्री | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ | $180^{\circ}$ | $270^{\circ}$ | $360^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| रेडियन | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3 \pi}{2}$ | $2 \pi$ |
सांकेतिक प्रचलन
चूँकि कोणों की माप या तो डिग्री में या रेडियन में होती है, अतः प्रचलित परिपाटी के अनुसार जब हम कोण $\theta^{\circ}$ लिखते हैं, हम समझते हैं कि कोण का माप $\theta$ डिग्री है तथा जब हम कोण $\beta$ लिखते हैं, हम समझते हैं कि कोण का माप $\beta$ रेडियन है।
ध्यान दीजिए जब कोण को रेडियन माप में व्यक्त करते हैं, तो प्रायः रेडियन लिखना छोड़ देते हैं अर्थात् $\pi=180^{\circ}$ और $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ को इस विचार को ध्यान में रखकर लिखते हैं कि $\pi$ तथा $\frac{\pi}{4}$ की माप रेडियन है। अतः हम कह सकते हैं कि
$ \begin{aligned} & \text{रेडियन माप }=\frac{\pi}{180} \times \text{डिग्री माप } \\ & \text{ डिग्री माप }=\frac{180}{\pi} \times \text{ रेडियन माप } \end{aligned} $
उदाहरण 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$ को रेडियन माप में बदलिए।
हल हम जानते हैं कि $180^{\circ}=\pi$ रेडियन
इसलिए, $40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ डिग्री $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ रेडियन $=\frac{121 \pi}{540}$ रेडियन
इसलिए
$40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540}$ रेडियन
उदाहरण 2 6 रेडियन को डिग्री माप में बदलिए।
हल हम जानते हैं कि $\pi$ रेडियन $=180^{\circ}$
इसलिए
$ \begin{aligned} 6 \text{ रेडियन } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ डिग्री }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ डिग्री } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ डिग्री }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ मिनट } \quad[\text{ as } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ मिनट } \quad[\text{ क्योंकि } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ निकटतम } \end{aligned} $
इसलिए 6 रेडियन $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ निकटतम
उदाहरण 3 उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसमें $60^{\circ}$ का केंद्रीय कोण परिधि पर 37.4 सेमी लंबाई का चाप काटता है ( $\pi=\frac{22}{7}$ का प्रयोग करें)।
हल यहाँ $l=37.4$ सेमी तथा $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ रेडियन $=\frac{\pi}{3}$
अत: $r=\frac{l}{\theta}$, से हम पाते हैं
$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 \text { सेमी } $
उदाहरण 4 एक घड़ी में मिनट की सुई 1.5 सेमी लंबी है। इसकी नोक 40 मिनट में कितनी दूर जा सकती हैं ( $\pi=3.14$ का प्रयोग करें) ?
हल 60 मिनट में घड़ी की मिनट वाली सुई एक परिक्रमण पूर्ण करती है, अतः 40 मिनट में मिनट की सुई एक परिक्रमण का $\frac{2}{3}$ भाग पूरा करती है। इसलिए $ \theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ} \text { या } \frac{4 \pi}{3} \text { रेडियन } $ अतः तय की गई वांछित दूरी
$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} \text { सेमी }=2 \pi \text { सेमी }=2 \times 3.14 \text { सेमी }=6.28 \text { सेमी } $
उदाहरण 5 यदि दो वृत्तों के चापों की लंबाई समान हो और वे अपने केंद्र पर क्रमशः $65^{\circ}$ तथा $110^{\circ}$ का कोण बनाते हैं, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल माना दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_{1}$ तथा $r_{2}$ हैं तो
$ \theta_{1}=65^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 65=\frac{13 \pi}{36} \text { रेडियन } $
तथा
$ \theta_{2}=110^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 110=\frac{22 \pi}{36} \text { रेडियन } $
माना कि प्रत्येक चाप की लंबाई $l$ है, तो $l=r_{1} \theta_{1}=r_{2} \theta_{2}$, जिससे
$ \frac{13 \pi}{36} \times r_{1}=\frac{22 \pi}{36} \times r_{2}, \text { अर्थात्, } \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{22}{13} $
इसलिए $ \quad r_{1}: r_{2}=22: 13 . $
प्रश्नावली 3.1
1. निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए:
(i) $25^{\circ}$
(ii) $-47^{\circ} 30^{\prime}$
(iii) $240^{\circ}$
(iv) $520^{\circ}$
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\missing2. निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए ( $\pi=\frac{22}{7}$ का प्रयोग करें):
(i) $\frac{11}{16}$
(ii) -4
(iii) $\frac{5 \pi}{3}$
(iv) $\frac{7 \pi}{6}$
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\missing3. एक पहिया एक मिनट में $360^{\circ}$ परिक्रमण करता है तो एक सेकंड में कितने रेडियन माप का कोण बनाएगा?
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\missing4. एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या 100 सेमी है, की 22 सेमी लंबाई की चाप वृत्त के केंद्र पर कितने डिग्री माप का कोण बनाएगी ( $\pi=\frac{22}{7}$ का प्रयोग कीजिए)।
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\missing5. एक वृत्त, जिसका व्यास 40 सेमी है, की एक जीवा 20 सेमी लंबाई की है तो इसके संगत छोटे चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
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\missing6. यदि दो वृत्तों के समान लंबाई वाले चाप अपने केंद्रों पर क्रमशः $60^{\circ}$ तथा $75^{\circ}$ के कोण बनाते हों, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
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\missing7. 75 सेमी लंबाई वाले एक दोलायमान दोलक का एक सिरे से दूसरे सिरे तक दोलन करने से जो कोण बनता है, उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके नोक द्वारा बनाए गए चाप की लंबाई निम्नलिखित हैं:
(i) 10 सेमी
(ii) 15 सेमी
(iii) 21 सेमी
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\missing3.3 त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Function)
पूर्व कक्षाओं में, हमने न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों को समकोण त्रिभुज की भुजाओं के रूप में अध्ययन किया है। अब हम किसी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात की परिभाषा को रेडियन माप के पदों में तथा त्रिकोणमितीय फलन के रूप में अध्ययन करेंगे।
मान लीजिए कि एक इकाई वृत्त, जिसका केंद्र निर्देशांक अक्षों का मूल बिंदु हो। माना कि $\mathrm{P}(a, b)$ वृत्त पर कोई बिंदु है तथा कोण $\mathrm{AOP}=x$ रेडियन अर्थात् चाप की लंबाई $\mathrm{AP}=x($ आकृति 3.6) है।
आकृति 3.6
हम परिभाषित करते हैं: $ \cos x=a \text { तथा } \sin x=b $ चूँकि $\triangle \mathrm{OMP}$ समकोण त्रिभुज है, हम पाते हैं, $ \mathrm{OM}^{2}+\mathrm{MP}^{2}=\mathrm{OP}^{2} \text { या } a^{2}+b^{2}=1 $ इस प्रकार इकाई वृत्त पर प्रत्येक बिंदु के लिए, हम पाते हैं कि
$ a^{2}+b^{2}=1 \text { या } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $
क्योंकि एक पूर्ण परिक्रमा (घूर्णन) द्वारा वृत्त के केंद्र पर $2 \pi$ रेडियन का कोण अंतरित होता है,
इसलिए $\angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}, \angle \mathrm{AOC}=\pi$ तथा $\angle \mathrm{AOD}=\frac{3 \pi}{2}$ । $\frac{\pi}{2}$ के प्रांत गुणज वाले सभी कोणों को चतुर्थांशीय कोण या वृत्तपादीय कोण (quadrantal angles) कहते हैं। बिंदुओं A, B, C तथा D के निर्देशांक क्रमशः $(1,0),(0,1),(-1,0)$ तथा $(0,-1)$ हैं, इसलिए चतुर्थांशीय कोणों के लिए हम पाते हैं,
$ \begin{aligned} & \cos 0^{\circ}=1 \quad \sin 0^{\circ}=0\\ & \cos \frac{\pi}{2}=0 \quad \sin \frac{\pi}{2}=1\\ & \cos \pi=-1 \quad \sin \pi=0\\ & \cos \frac{3 \pi}{2}=0 \quad \sin \frac{3 \pi}{2}=-1\\ & \cos 2 \pi=1 \quad \sin 2 \pi=0 \end{aligned} $
अब, यदि हम बिंदु $\mathrm{P}$ से एक पूर्ण परिक्रमा लेते हैं, तो हम उसी बिंदु $\mathrm{P}$ पर पहुँचते हैं। इस प्रकार हम देखते हैं कि यदि $x, 2 \pi$ के पूर्णाक गुणज में बढ़ते (या घटते) हैं, तो त्रिकोणमितीय फलनों के मानों में कोई परिवर्तन नहीं होता है। इस प्रकार
$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x, n \in \mathbf{Z}, \cos (2 n \pi+x)=\cos x, n \in \mathbf{Z} $
पुनः $\sin x=0$, यदि $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \pm 3 \pi, \ldots$ अर्थात् $x, \pi$ का पूर्णाक गुणज है। तथा $\cos x=0$, यदि $x= \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \pm \frac{5 \pi}{2}, \ldots$ अर्थात् $\cos x=0$, जब $x, \frac{\pi}{2}$ का विषम गुणज है। इस प्रकार
$ \begin{aligned} & \sin x=0 \text { से प्राप्त होता है कि } x=n \pi \text {, जहाँ } n \text { कोई पूर्णांक है। }\\ & \cos x=0 \text { से प्राप्त होता है कि } x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \text {, जहाँ } n \text { कोई पूर्णांक है। } \end{aligned} $
अब हम अन्य त्रिकोणमितीय फलनों को sine तथा cosine के पदों में परिभाषित करते हैं:
$\text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}, x \neq n \pi$, जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है।.
$\sec x=\frac{1}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है.
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, जहाँ$n$ कोई पूर्णांक है.
$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, x \neq n \pi$, जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है.
हम सभी वास्तविक $x$ के लिए देखते हैं कि $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$
इस प्रकार
$ \begin{align*} & 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x \tag{क्यों?}\\ & 1+\cot ^{2} x=\operatorname{cosec}^{2} x \tag{क्यों?} \end{align*} $
पूर्व कक्षाओं में, हम $0^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ तथा $90^{\circ}$ के त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों की चर्चा कर चुके हैं। इन कोणों के त्रिकोणमितीय फलनों के मान वही हैं जो पिछली कक्षाओं में पढ़ चुके त्रिकोणमितीय अनुपातों के हैं। इस प्रकार, हम निम्नलिखित सारणी पाते हैं:
| $0^{\circ}$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3 \pi}{2}$ | $2 \pi$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 | 0 | -1 | 0 |
| $\cos$ | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 | -1 | 0 | 1 |
| $\tan$ | 0 | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | $0^{\Delta}$ | 0 | 0 |
$\operatorname{cosec} x, \sec x$ तथा $\cot x$ का मान क्रमशः $\sin x, \cos x$ तथा $\tan x$ के मान से उल्टा (विलोम) है।
3.3.1 त्रिकोणमितीय फलनों के चिह्न (Signs of trigonometric functions)
माना कि इकाई वृत्त पर $\mathrm{P}(a, b)$ कोई बिंदु हैं, जिसका केंद्र मूल बिंदु हैं, तथा $\angle \mathrm{AOP}=x$, यदि $\angle \mathrm{AOQ}=-x$, तो बिंदु $\mathrm{Q}$ के निर्देशांक $(a,-b)$ होंगे (आकृति 3.7)।
आकृति 3.7
इसलिए
$\cos (-x)=\cos x$
तथा $\quad$ $\sin (-x)=-\sin x$
चूँकि इकाई वृत्त के प्रत्येक बिंदु $\mathrm{P}(a, b)$ के लिए $-1 \leq a \leq 1$ तथा
$-1 \leq b$ $\leq 1$, अतः, हम $x$ के सभी मानों के लिए $-1 \leq \cos x \leq 1$ तथा $-1 \leq \sin x \leq 1$, पाते हैं। पिछली कक्षाओं से हमको ज्ञात है कि प्रथम चतुर्थांश $\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$ में $a$ तथा $b$ दोनों धनात्मक हैं, दूसरे चतुर्थांश $\left(\frac{\pi}{2}<x<\pi\right)$ में $a$ ॠणात्मक तथा $b$ धनात्मक हैं, तीसरे चतुर्थांश $\left(\pi<x<\frac{3 \pi}{2}\right)$ में $a$ तथा $b$ दोनों ऋणात्मक हैं, तथा चतुर्थ चतुर्थांश $\left(\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi\right)$ में $a$ धनात्मक तथा $b$ ॠणात्मक है। इसलिए $0<x<\pi$ के लिए $\sin x$ धनात्मक तथा $\pi<x<2 \pi$ के लिए ऋणात्मक होता है। इसी प्रकार, $0<x<\frac{\pi}{2}$ के लिए $\cos x$ धनात्मक, $\frac{\pi}{2}<x<\frac{3 \pi}{2}$ के लिए ऋणात्मक तथा $\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi$ के लिए धनात्मक होता है। इसी प्रकार, हम अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के चिह्न विभिन्न चतुर्थांशों में ज्ञात कर सकते हैं। इसके लिए हमारे पास निम्नलिखित सारणी है:
| I | II | III | IV | |
|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | + | + | - | - |
| $\cos x$ | + | - | - | + |
| $\tan x$ | + | - | + | - |
| $\operatorname{cosec} x$ | + | + | - | - |
| $\sec x$ | + | - | - | + |
| $\cot x$ | + | - | + | - |
3.3.2 त्रिकोणमितीय फलनों का प्रांत तथा परिसर (Domain and range of trigonometric
functions) sine तथा cosine फलनों की परिभाषा से, हम यह पाते हैं कि वे सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित हैं। पुनः, हम यह भी पाते हैं कि प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,
$$ -1 \leq \sin x \leq 1 \text { तथा }-1 \leq \cos x \leq 1 $$
अत: $y=\sin x$ तथा $y=\cos x$ का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा परिसर अंतराल $[-1,1]$, अर्थात्, $-1 \leq y \leq 1$ है।
चूँकि, $\operatorname{cosec} x=\frac{1}{\sin x}, y=\operatorname{cosec} x$ का प्रांत, समुच्चय $\{x: x \in \mathbf{R}$ तथा $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ तथा परिसर समुच्चय $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ या $y \leq-1\}$ है। इसी प्रकार, $y=\sec x$ का प्रांत, समुच्चय $\left\{x: x \in \mathbf{R}\right.$ तथा $\left.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\right\}$ तथा, परिसर, समुच्चय $\{y: y \in \mathbf{R}, y \leq-1$ या $y \geq 1\}$ है। $y=\tan x$ का प्रांत, समुच्चय $\{x: x \in \mathbf{R}$ तथा $\left.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\right\}$ तथा परिसर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $y=\cot x$ का प्रांत, समुच्चय $\{x: x \in \mathbf{R}$ तथा $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$, परिसर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
हम देखते हैं कि प्रथम चतुर्थांश में, जब $x, 0$ से $\frac{\pi}{2}$ की ओर बढ़ता है, तो $\sin x$ भी 0 से 1 की ओर बढ़ता है, दूसरे चतुर्थांश में जब $x, \frac{\pi}{2}$ से $\pi$ की ओर बढ़ता है तो $\sin x, 1$ से 0 की ओर घटता है। तीसरे चतुर्थांश में जब $x, \pi$ से $\frac{3 \pi}{2}$ की ओर बढ़ता है तो $\sin x, 0$ से -1 की ओर घटता है तथा अंत में कोण $\frac{3 \pi}{2}$ से $2 \pi$ की ओर बढ़ता है तो $\sin x,-1$ से 0 की ओर बढ़ता जाता है। इसी प्रकार हम अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के विषय में विचार कर सकते हैं। वस्तुतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी है:
| I चतुर्थांश | II चतुर्थांश | III चतुर्थांश | IV चतुर्थांश | |
|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | 0 से 1 की ओर बढ़ता है | 1 से 0 की ओर घटता है | 0 से -1 की ओर घटता है | -1 से 0 की ओर बढ़ता है |
| $\cos$ | 1 से 0 की ओर घटता है | 0 से -1 की ओर घटता है | -1 से 0 की ओर बढ़ता है | 0 से 1 की ओर बढ़ता है |
| $\tan$ | 0 से $\infty$ की ओर बढ़ता है | $-\infty$ से 0 की ओर बढ़ता है | 0 से $\infty$ की ओर बढ़ता है | $-\infty$ से 0 की ओर बढ़ता है |
| $\cot$ | $\infty$ से 0 की ओर घटता है | 0 से $-\infty$ की ओर घटता है | $\infty$ से 0 की ओर घटता है | 0 से $-\infty$ की ओर घटता है |
| $\sec$ | 1 से $\infty$ की ओर बढ़ता है | $-\infty$ से -1 की ओर बढ़ता है | -1 से $-\infty$ की ओर घटता है $\infty$ से 1 की ओर घटता है | |
| $\operatorname{cosec}$ | $\infty$ से 1 की ओर घटता है | 1 से $\infty$ की ओर बढ़ता है | $-\infty$ से -1 की ओर बढ़ता है | -1 से $-\infty$ की ओर घटता है |
टिप्पणी उपर्युक्त सारणी में, यह कथन कि अंतराल $0<x<\frac{\pi}{2}$ में $\tan x$ का मान 0 से $\infty$ (अनंत) तक बढ़ता है का अर्थ है कि जैसे-जैसे $x$ का मान $\frac{\pi}{2}$ की ओर बढ़ता है वैसे-वैसे $\tan x$ का मान बहुत अधिक हो जाता है। इसी प्रकार, जब हम यह कह सकते हैं कि चतुर्थ चतुर्थांश में $\operatorname{cosec} x$ का मान -1 से $-\infty$ (ऋणात्मक अनंत) तक में घटता है तो इसका अर्थ है कि जब $x \in\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$ तब जैसे-जैसे $x, 2 \pi$ की ओर अग्रसर होता है, $\operatorname{cosec} x$ बहुत अधिक ऋणात्मक मान लेता है। साधारणतः चिह्न $\infty$ तथा $-\infty$ फलनों तथा चरों के विशेष प्रकार के व्यवहार को बताते हैं।
हमने देखा कि $\sin x$ तथा $\cos x$ के मानों का अंतराल $2 \pi$ के पश्चात् पुनरावृत्ति होती है। जैसे, $\operatorname{cosec} x$ तथा $\sec x$ के मानों की भी अंतराल $2 \pi$ के बाद पुनरावृत्ति होती है।
हम अगले अनुच्छेद में $\tan (\pi+x)=\tan x$ देखते हैं। जैसे, $\tan x$ के मानों में अंतराल $\pi$ के पश्चात् पुनरावृत्ति होती है, क्योंकि $\cot x, \tan x$ का पूरक है, इसके मानो में भी अंतराल $\pi$ के पश्चात् पुनरावृत्ति होती है। त्रिकोणमितीय फलनों में इस ज्ञान (गुणधर्म) तथा व्यवहार का उपयोग करने पर, हम फलनों का आलेख खींच सकते हैं। इन फलनों का आलेख नीचे दिए गए हैं:
उदाहरण 6 यदि $\cos x=-\frac{3}{5}$ हो और $x$ तृतीय चतुर्थांश में स्थित है, तो अन्य पाँच त्रिकोणमितीय फलनों के मानों को ज्ञात कीजिए।
हल क्योंकि $\cos x=-\frac{3}{5}$, हम पाते हैं कि $\sec x=-\frac{5}{3}$
अब $ \quad \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1 \text { या } \sin ^{2} x=1-\cos ^{2} x $
या
$ \sin ^{2} x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25} $
अत: $\quad \sin x= \pm \frac{4}{5}$
चूँकि $x$ तृतीय चतुर्थांश में है, तो $\sin x$ का मान ऋणात्मक होगा। इसलिए
$ \sin x=-\frac{4}{5} $
इससे यह भी प्राप्त होता है कि
$ \operatorname{cosec} x=-\frac{5}{4} $
पुनः, हम पाते हैं
$ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{4}{3} \quad \text { तथा } \quad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{3}{4} $
उदाहरण 7 यदि $\cot x=-\frac{5}{12}$ हो और $x$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित हैं, तो अन्य पाँच त्रिकोणमितीय फलनों को ज्ञात कीजिए।
हल क्योंकि $\cot x=-\frac{5}{12}$, हम पाते हैं $\tan x=-\frac{12}{5}$
अब $ \quad \sec ^{2} x=1+\tan ^{2} x=1+\frac{144}{25}=\frac{169}{25} $
अत:
$\quad \sec x= \pm \frac{13}{5}$
चूँकि $x$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है, $\sec x$ का मान ऋणात्मक होगा। इसलिए
$ \sec x=-\frac{13}{5} $
इससे यह भी प्राप्त होता है कि
$ \cos x=-\frac{5}{13} $
पुन: हम पाते हैं
$ \sin x=\tan x \cos x=\left(-\frac{12}{5}\right) \times\left(-\frac{5}{13}\right)=\frac{12}{13} $
तथा $ \quad \operatorname{cosec} x=\frac{1}{\sin x}=\frac{13}{12} $
उदाहरण 8 $\sin \frac{31 \pi}{3}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल हम जानते हैं कि $\sin x$ के मानों में अंतराल $2 \pi$ के पश्चात् पुनरावृत्ति होती है। इसलिए
$ \sin \frac{31 \pi}{3}=\sin (10 \pi+\frac{\pi}{3})=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \text{. } $
उदाहरण 9 $\cos \left(-1710^{\circ}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल हम जानते हैं कि $\cos x$ के मानों में अंतराल $2 \pi$ या $360^{\circ}$ के पश्चात् पुनरावृत्ति होती है। इसलिए
$ \begin{aligned} \cos \left(-1710^{\circ}\right)= & \cos \left(-1710^{\circ}+5 \times 360^{\circ}\right)\\ & =\cos \left(-1710^{\circ}+1800^{\circ}\right)=\cos 90^{\circ}=0 \end{aligned} $
प्रश्नावली 3.2
निम्नलिखित प्रश्नों में पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए:
1. $\cos x=-\frac{1}{2}, x$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
Show Answer
\missing2. $\sin x=\frac{3}{5}, x$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
Show Answer
\missing3. $\cot x=\frac{3}{4}, x$ तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
Show Answer
\missing4. $\sec x=\frac{13}{5}, x$ चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
Show Answer
\missing5. $\tan x=-\frac{5}{12}, x$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
Show Answer
\missingप्रश्न संख्या 6 से 10 के मान ज्ञात कीजिए:
6. $\sin 765^{\circ}$
Show Answer
\missing7. $\operatorname{cosec}\left(-1410^{\circ}\right)$
Show Answer
\missing8. $\tan \frac{19 \pi}{3}$
Show Answer
\missing9. $\sin \left(-\frac{11 \pi}{3}\right)$
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\missing10. $\cot \left(-\frac{15 \pi}{4}\right)$
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\missing3.4 दो कोणों के योग और अंतर का त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions of Sum and Difference of two Angles)
इस भाग में हम दो संख्याओं (कोणों) के योग एवं अंतर के लिए त्रिकोणमितीय फलनों तथा उनसे संबंधित व्यंजकों को व्युत्पन्न करेंगे। इस संबंध में इन मूल परिणामों को हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कहेंगे। हम देखते हैं कि
-
$\sin (-x)=-\sin x$
-
$\cos (-x)=\cos x$
अब हम कुछ और परिणाम सिद्ध करेंगे:
- $\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$
इकाई वृत्त पर विचार कीजिए, जिसका केंद्र मूल बिंदु पर हो। माना कि कोण $\mathrm{P}_4 \mathrm{OP}_1, x$ तथा कोण $\mathrm{P}_1 \mathrm{OP}_2, y$ हैं तो कोण $\mathrm{P}_4 \mathrm{OP}_2,(x+y)$ होगा। पुन: माना कोण $\mathrm{P}_4 \mathrm{OP}_3,(-y)$ हैं। अतः $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2$,आकृति 3.14 $\mathrm{P}_3$ तथा $\mathrm{P}_4$ के निर्देशांक $\mathrm{P}_1(\cos x, \sin x), \mathrm{P}_2[\cos (x+y), \sin (x+y)], \mathrm{P}_3[\cos (-y), \sin$ $(-y)]$ और $\mathrm{P}_4(1,0)$ होंगे (आकृति 3.14)।
आकृति 3.14
त्रिभुजों $\mathrm{P} _{1} \mathrm{OP} _{3}$ तथा $\mathrm{P} _{2} \mathrm{OP} _{4}$ पर विचार कीजिए। वे सर्वांगासम हैं (क्यों)। इसलिए $\mathrm{P} _{1} \mathrm{P} _{3}$ और $\mathrm{P} _{2} \mathrm{P} _{4}$ बराबर हैं। दूरी सूत्र का उपयोग करने पर
$$ \begin{aligned} P_1 P_3^{2} & =[\cos x-\cos (-y)]^{2}+[\sin x-\sin (-y]^{2}. \\ & =(\cos x-\cos y)^{2}+(\sin x+\sin y)^{2} \\ & =\cos ^{2} x+\cos ^{2} y-2 \cos x \cos y+\sin ^{2} x+\sin ^{2} y+2 \sin x \sin y \\ & =2-2(\cos x \cos y-\sin x \sin y) \quad(\text{ क्यों? } \end{aligned} $$
पुन: $\quad P_2 P_4{ }^{2}=[1-\cos (x+y)]^{2}+[0-\sin (x+y)]^{2}$
$ \begin{aligned} & =1-2 \cos (x+y)+\cos ^{2}(x+y)+\sin ^{2}(x+y) \\ & =2-2 \cos (x+y) \end{aligned} $
क्योंकि $P_1 P_3=P_2 P_4$, हम पाते हैं; $P_1 P_3^{2}=P_2 P_4{ }^{2}$.
इसलिए, $2-2(\cos x \cos y-\sin x \sin y)=2-2 \cos (x+y)$
अतः $\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$
4. $\cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y$
सर्वसमिका 3 में $y$ के स्थान पर $-y$ रखने पर
$ \cos (x+(-y))=\cos x \cos (-y)-\sin x \sin (-y) $ या $ \cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y $
5. $\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$
सर्वसमिका 4 में $x$ के स्थान पर $\frac{\pi}{2}$ तथा $y$ के स्थान पर $x$ रखने पर हम पाते हैं
$ \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos \frac{\pi}{2} \cos x+\sin \frac{\pi}{2} \sin x=\sin x $
6. $\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$
सर्वसमिका 5 का उपयोग करने पर हम पाते हैं
$ \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}-x=\cos x . $
7. $\sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$
हम जानते हैं कि
$ \begin{aligned} \sin (x+y) & =\cos \frac{\pi}{2}-(x+y)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)-y\\ & =\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \cos y+\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \sin y\\ & =\sin x \cos y+\cos x \sin y \end{aligned} $
8. $\sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y$ यदि हम सर्वसमिका 7 में $y$ के स्थान पर $-\boldsymbol{y}$ रखें तो उपरोक्त परिणाम पाते हैं।
9. $x$ और $y$ के उपर्युक्त मानों को सर्वसमिकाओं $3,4,7$ और 8 में रखने पर हम निम्नलिखित परिणाम निकाल सकते हैं:
$ \begin{aligned} \cos (\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x & \sin (\frac{\pi}{2}+x)=\cos x \\ \cos (\pi-x)=-\cos x & \sin (\pi-x)=\sin x \end{aligned} $
$ \begin{aligned} \cos (\pi+x)=-\cos x & \sin (\pi+x)=-\sin x \\ \cos (2 \pi-x)=\cos x & \sin (2 \pi-x)=-\sin x \end{aligned} $
इसी प्रकार के संगत परिणाम $\tan x, \cot x, \sec x$ एवं $\operatorname{cosec} x$ के लिए $\sin x$ और $\cos x$ के फलनों के परिणामों से आसानी से निकाले जा सकते हैं।
10. यदि $x, y$ और $(x+y)$ में से कोई $\frac{\pi}{2}$ का विषम गुणांक नहीं हैं तो,
$ \tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y} $
क्योंकि $x, y$ तथा $(x+y)$ में से कोई $\frac{\pi}{2}$ का विषम गुणांक नहीं हैं, इसलिए $\cos x$, $\cos y$ तथा $\cos (x+y)$ शून्य नहीं हैं। अब
$ \tan (x+y)=\frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)}=\frac{\sin x \cos y+\cos x \sin y}{\cos x \cos y-\sin x \sin y} $
अंश और हर में $\cos x \cos y$, से विभाजित करने पर हम पाते हैं।
$ \begin{aligned} \tan (x+y) & =\dfrac{\dfrac{\sin x \cos y}{\cos x \cos y}+\dfrac{\cos x \sin y}{\cos x \cos y}}{\dfrac{\cos x \cos y}{\cos x \cos y}-\dfrac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y}} \\ & =\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y} \end{aligned} $
11. $\tan (x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y}$
यदि सर्वसमिका 10 में $y$ के स्थान पर $-y$ रखने पर, हम पाते हैं
$ \begin{aligned} \tan (x-y) & =\tan [x+(-y)]\\ & =\frac{\tan x+\tan (-y)}{1-\tan x \tan (-y)}=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y} \end{aligned} $
12. यदि $x, y$ तथा $(x+y)$ में से कोई भी कोण $\pi$, का गुणांक नहीं हैं, तो
$ \cot (x+y)=\frac{\cot x \cot y-1}{\cot y+\cot x} $
क्योंकि $x, y$ तथा $(x+y)$ कोणों में से कोई भी $\pi$, का गुणांक नहीं हैं, इसलिए $\sin x, \sin y$ तथा $\sin (x+y)$ शून्य नहीं हैं। अब
$\cot (x+y)=\frac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=\frac{\cos x \cos y-\sin x \sin y}{\sin x \cos y+\cos x \sin y}$
अंश और हर को $\sin x \sin y$, से विभाजित करने पर, हम पाते हैं
$\cot (x+y)=\frac{\cot x \cot y-1}{\cot y+\cot x}$
13. $\cot (x-y)=\frac{\cot x \boldsymbol{\operatorname { c o t }} \boldsymbol{y}+\mathbf{1}}{\boldsymbol{\operatorname { c o t }} \boldsymbol{y}-\boldsymbol{\operatorname { c o t } x}}$ जहाँ $x, y$ तथा $x-y ; \pi$ के गणांक नहीं हैं।
यदि सर्वसमिका 12 में $y$ के स्थान पर $-y$ रखते हैं तो हम उपरोक्त परिणाम पाते हैं।
14. $\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=2 \cos ^{2} x-1=1-2 \sin ^{2} x=\frac{1-\tan ^{2} x}{1+\tan ^{2} x}$
हम जानते हैं कि
$ \cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y $
$y$ के स्थान पर $x$, रखें तो, हम पाते हैं
$ \begin{aligned} \cos 2 x & =\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\\ & =\cos ^{2} x-\left(1-\cos ^{2} x\right)=2 \cos ^{2} x-1 \end{aligned} $
पुन: $\quad \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$
$ =1-\sin ^{2} x-\sin ^{2} x=1-2 \sin ^{2} x . $
अतः हम पाते हैं
$\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=\frac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}$
अंश और हर को $\cos ^{2} x$ से विभाजित करने पर, हम पाते हैं
$ \cos 2 x=\frac{1-\tan ^{2} x}{1+\tan ^{2} x} x \neq n \pi+\frac{\pi}{2} \text { जहाँ } n \text { पूर्णांक है। } $
15. $\sin 2 x=2 \sin x \cos x=\frac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x}$ $ x \neq n \pi+\frac{\pi}{2}$ जहाँ $n$ पूर्णांक है।
हम जानते हैं कि
$ \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y $
$y$ के स्थान पर $x$ रखने पर, हम पाते हैं: $\sin 2 x=2 \sin x \cos x$.
पुन:
$\quad \sin 2 x=\frac{2 \sin x \cos x}{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}$
प्रत्येक पद को $\cos ^{2} x$ से विभाजित करने पर, हम पाते हैं:
$ \sin 2 x=\frac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x} $
16. $\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}, 2 x \neq n \pi+\frac{\pi}{2}$ जहाँ $n$ पूर्णांक है।
हम जानते हैं कि
$ \tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y} $
$y$ के स्थान पर $x$ रखने पर, हम पाते हैं, $\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$
17. $\sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x$
हम पाते हैं,
$ \begin{aligned} \sin 3 x & =\sin (2 x+x)\\ & =\sin 2 x \cos x+\cos 2 x \sin x\\ & =2 \sin x \cos x \cos x+\left(1-2 \sin ^{2} x\right) \sin x\\ & =2 \sin x\left(1-\sin ^{2} x\right)+\sin x-2 \sin ^{3} x\\ & =2 \sin x-2 \sin ^{3} x+\sin x-2 \sin ^{3} x\\ & =3 \sin x-4 \sin ^{3} x \end{aligned} $
18. $\cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x$
हम पाते हैं,
$ \begin{aligned} \cos 3 x & =\cos (2 x+x)\\ & =\cos 2 x \cos x-\sin 2 x \sin x\\ & =\left(2 \cos ^{2} x-1\right) \cos x-2 \sin x \cos x \sin x\\ & =\left(2 \cos ^{2} x-1\right) \cos x-2 \cos x\left(1-\cos ^{2} x\right)\\ & =2 \cos ^{3} x-\cos x-2 \cos x+2 \cos ^{3} x\\ & =4 \cos ^{3} x-3 \cos x \end{aligned} $
19. $\tan 3 x=\frac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x} 3 x \neq n \pi+\frac{\pi}{2}$ जहाँ $n$ पूर्णांक है।
हम पाते हैं, $\tan 3 x=\tan (2 x+x)$
$ =\frac{\tan 2 x+\tan x}{1-\tan 2 x \tan x}=\frac{\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}+\tan x}{1-\frac{2 \tan x \cdot \tan x}{1-\tan ^{2} x}} $
$ =\frac{2 \tan x+\tan x-\tan ^{3} x}{1-\tan ^{2} x-2 \tan ^{2} x}=\frac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x} $
20.
(i) $\cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$
(ii) $\cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$
(iii) $\sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$
(iv) $\sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$
हम जानते हैं कि
$\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$
और $\quad \cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$
(1) और (2) को जोड़ने एवं घटाने पर, हम पाते हैं,
$ \cos (x+y)+\cos (x-y)=2 \cos x \cos y \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $
और $\quad \cos (x+y)-\cos (x-y)=-2 \sin x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (4)$
और भी $\sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (5)$
और $\quad \sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (6)$
(5) और (6) को जोड़ने एवं घटाने पर, हम पाते हैं,
$$ \begin{aligned} & \sin (x+y)+\sin (x-y)=2 \sin x \cos y \quad \quad \quad \quad \ldots (7) \\ & \sin (x+y)-\sin (x-y)=2 \cos x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (8) \end{aligned} $$
माना कि $x+y=\theta$ तथा $x-y=\phi$, इसलिए
$ x=(\frac{\theta+\phi}{2}) \text{ तथा } y=(\frac{\theta-\phi}{2}) $
$(3),(4),(7)$ तथा (8) में $x$ और $y$ के मान रखने पर, हम पाते हैं,
$ \begin{aligned} & \cos \theta+\cos \phi=2 \cos (\frac{\theta+\phi}{2}) \cos (\frac{\theta-\phi}{2}) \\ & \cos \theta-\cos \phi=-2 \sin (\frac{\theta+\phi}{2}) \sin (\frac{\theta-\phi}{2}) \\ & \sin \theta+\sin \phi=2 \sin (\frac{\theta+\phi}{2}) \cos (\frac{\theta-\phi}{2}) \end{aligned} $
$ \sin \theta-\sin \phi=2 \cos (\frac{\theta+\phi}{2}) \sin (\frac{\theta-\phi}{2}) $
क्योंकि $\theta$ तथा $\phi$ को कोई वास्तविक संख्या मान सकते हैं। हम $\theta$ के स्थान पर $x$ तथा $\phi$ के स्थान पर $y$ रखने पर,
हम पाते हैं:
$ \begin{aligned} & \cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} ; \cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}, \\ & \sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} ; \sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \end{aligned} $
टिप्पणी सर्वसमिका 20 से हम निम्न परिणाम पाते हैं:
21. (i) $2 \cos x \cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)$
(ii) $-2 \sin x \sin y=\cos (x+y)-\cos (x-y)$
(iii) $2 \sin x \cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)$
(iv) $2 \cos x \sin y=\sin (x+y)-\sin (x-y)$
उदाहरण 10 सिद्ध कीजिए:
$ 3 \sin \frac{\pi}{6} \sec \frac{\pi}{3}-4 \sin \frac{5 \pi}{6} \cot \frac{\pi}{4}=1 $
हल हम पाते हैं
$ \begin{aligned} \text{ बायाँ पक्ष } & =3 \sin \frac{\pi}{6} \sec \frac{\pi}{3}-4 \sin \frac{5 \pi}{6} \cot \frac{\pi}{4} \\ & =3 \times \frac{1}{2} \times 2-4 \sin (\pi-\frac{\pi}{6}) \times 1=3-4 \sin \frac{\pi}{6} \\ & =3-4 \times \frac{1}{2}=1=\text{ दायाँ पक्ष } \end{aligned} $
उदाहरण 11 $\sin 15^{\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल हम पाते हैं
$ \begin{aligned} \sin 15^{\circ} & =\sin (45^{\circ}-30^{\circ}) \\ & =\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} . \end{aligned} $
उदाहरण 12 $\tan \frac{13 \pi}{12}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल हम पाते हैं
$\tan \frac{13 \pi}{12}=\tan \left(\pi+\frac{\pi}{12}\right)=\tan \frac{\pi}{12}=\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)$ $ =\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan \frac{\pi}{6}}{1+\tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{6}}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3} $
उदाहरण 13 सिद्ध कीजिए:
$ \frac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\frac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y} . $
हल हम पाते हैं,
$ \text { बायाँ पक्ष }=\frac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\frac{\sin x \cos y+\cos x \sin y}{\sin x \cos y-\cos x \sin y} $
अंश और हर को $\cos x \cos y$ से विभाजित करने पर, हम पाते हैं,
$ \text { बायाँ पक्ष }=\frac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\frac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y}=\text { दायाँ पक्ष } $
उदाहरण 14 दिखाइए
$ \tan 3 x \tan 2 x \tan x=\tan 3 x-\tan 2 x-\tan x $
हल हम जानते हैं कि $3 x=2 x+x$
इसलिए $ \tan 3 x=\tan (2 x+x) $
या $ \quad \tan 3 x=\frac{\tan 2 x+\tan x}{1-\tan 2 x \tan x} $
या
$\tan 3 x-\tan 3 x \tan 2 x \tan x=\tan 2 x+\tan x$
या
$\tan 3 x-\tan 2 x-\tan x=\tan 3 x \tan 2 x \tan x$
या
$\tan 3 x \tan 2 x \tan x=\tan 3 x-\tan 2 x-\tan x$
उदाहरण 15 सिद्ध कीजिए:
$ \cos \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt{2} \cos x $
हल सर्वसमिका 20(i) का उपयोग करने पर, हम पाते हैं,
$ \begin{aligned} \text { बायाँ पक्ष } & =\cos \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \\ & =2 \cos \left(\frac{\left.\frac{\pi}{4}+x+\frac{\pi}{4}-x\right)}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{\pi}{4}+x-\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{2}\right) \\ & =2 \cos \frac{\pi}{4} \cos x=2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x=\sqrt{2} \cos x=\text { दायाँ पक्ष } \end{aligned} $
उदाहरण 16 सिद्ध कीजिए $\frac{\cos 7 x+\cos 5 x}{\sin 7 x-\sin 5 x}=\cot x$
हल सर्वसमिकाओं 20(i) तथा 20(iv) का उपयोग करने पर, हम पाते हैं,
$ \text { बायाँ पक्ष }=\frac{2 \cos \frac{7 x+5 x}{2} \cos \frac{7 x-5 x}{2}}{2 \cos \frac{7 x+5 x}{2} \sin \frac{7 x-5 x}{2}}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x=\text { दायाँ पक्ष } $
उदाहरण 17 सिद्ध कीजिए $\frac{\sin 5 x-2 \sin 3 x+\sin x}{\cos 5 x-\cos x}=\tan x$
हल हम पाते हैं,
$ \begin{aligned} \text{ बायाँ पक्ष } & =\frac{\sin 5 x-2 \sin 3 x+\sin x}{\cos 5 x-\cos x}=\frac{\sin 5 x+\sin x-2 \sin 3 x}{\cos 5 x-\cos x} \\ & =\frac{2 \sin 3 x \cos 2 x-2 \sin 3 x}{-2 \sin 3 x \sin 2 x}=-\frac{\sin 3 x(\cos 2 x-1)}{\sin 3 x \sin 2 x} \\ & =\frac{1-\cos 2 x}{\sin 2 x}=\frac{2 \sin ^{2} x}{2 \sin x \cos x}=\tan x=\text{ दायाँ पक्ष } \end{aligned} $
प्रश्नावली 3.3
सिद्ध कीजिए:
1. $\sin ^{2} \frac{\pi}{6}+\cos ^{2} \frac{\pi}{3}-\tan ^{2} \frac{\pi}{4}=-\frac{1}{2}$
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\missing2. $2 \sin ^2 \frac{\pi}{6}+\operatorname{cosec}^2 \frac{7 \pi}{6} \cos ^2 \frac{\pi}{3}=\frac{3}{2}$
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\missing3. $\cot ^2 \frac{\pi}{6}+\operatorname{cosec} \frac{5 \pi}{6}+3 \tan ^2 \frac{\pi}{6}=6$
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\missing4. $2 \sin ^2 \frac{3 \pi}{4}+2 \cos ^2 \frac{\pi}{4}+2 \sec ^2 \frac{\pi}{3}=10$
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\missing5. मान ज्ञात कीजिए:
(i) $\sin 75^{\circ}$
(ii) $\tan 15^{\circ}$
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\missing6. $\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{4}-y\right)-\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}-y\right)=\sin (x+y)$
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\missing7. $\frac{\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)}=\left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^2$
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\missing8. $\frac{\cos (\pi+x) \cos (-x)}{\sin (\pi-x) \cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)}=\cot ^2 x$
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\missing9. $\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+x\right) \cos (2 \pi+x)\left[\cot \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)+\cot (2 \pi+x)\right]=1$
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\missing10. $\sin (n+1) x \sin (n+2) x+\cos (n+1) x \cos (n+2) x=\cos x$
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\missing11. $\cos \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)=-\sqrt{2} \sin x$
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\missing12. $\sin ^2 6 x-\sin ^2 4 x=\sin 2 x \sin 10 x$
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\missing13. $\cos ^2 2 x-\cos ^2 6 x=\sin 4 x \sin 8 x$
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\missing14. $\sin 2 x+2 \sin 4 x+\sin 6 x=4 \cos ^2 x \sin 4 x$
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\missing15. $\cot 4 x(\sin 5 x+\sin 3 x)=\cot x(\sin 5 x-\sin 3 x)$
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\missing16. $\frac{\cos 9 x-\cos 5 x}{\sin 17 x-\sin 3 x}=-\frac{\sin 2 x}{\cos 10 x}$
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\missing17. $\frac{\sin 5 x+\sin 3 x}{\cos 5 x+\cos 3 x}=\tan 4 x$
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\missing18. $\frac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}=\tan \frac{x-y}{2}$
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\missing19. $\frac{\sin x+\sin 3 x}{\cos x+\cos 3 x}=\tan 2 x$
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\missing20. $\frac{\sin x-\sin 3 x}{\sin ^2 x-\cos ^2 x}=2 \sin x$
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\missing21. $\frac{\cos 4 x+\cos 3 x+\cos 2 x}{\sin 4 x+\sin 3 x+\sin 2 x}=\cot 3 x$
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\missing22. $\cot x \cot 2 x-\cot 2 x \cot 3 x-\cot 3 x \cot x=1$
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\missing23. $\tan 4 x=\frac{4 \tan x\left(1-\tan ^2 x\right)}{1-6 \tan ^2 x+\tan ^4 x}$
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\missing24. $\cos 4 x=1-8 \sin ^2 x \cos ^2 x$
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\missing25. $\cos 6 x=32 \cos ^6 x-48 \cos ^4 x+18 \cos ^2 x-1$
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\missingविविध उदाहरण
उदाहरण 18 यदि $\sin x=\frac{3}{5}, \cos y=-\frac{12}{13}$ है, जहाँ $x$ तथा $y$ दोनों द्वितीय चतुर्थांश में स्थित हों तो $\sin (x+y)$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल हम जानते हैं कि
$ \begin{aligned} & \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \\ & \cos ^{2} x=1-\sin ^{2} x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25} \end{aligned} $3
इसलिए $\quad \cos x= \pm \frac{4}{5}$
क्योंकि $x$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है, अतः $\cos x$ ॠणात्मक है।
अतः $\quad$ $ \cos x=-\frac{4}{5} $
अब $ \quad \sin ^{2} y=1-\cos ^{2} y=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169} $
अर्थात् $\quad \sin y= \pm \frac{5}{13}$
क्योंकि $y$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है, $\sin y$ धनात्मक है। इसलिए $\sin y=\frac{5}{13}$ है। $\sin x, \sin y$, $\cos x$ तथा $\cos y$ का मान समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं,
$$ \sin (x+y)=\frac{3}{5} \times\left(-\frac{12}{13}\right)+\left(-\frac{4}{5}\right) \times \frac{5}{13}=-\frac{36}{65}-\frac{20}{65}=-\frac{56}{65} $$
उदाहरण 19 सिद्ध कीजिए: $\cos 2 x \cos \frac{x}{2}-\cos 3 x \cos \frac{9 x}{2}=\sin 5 x \sin \frac{5 x}{2}$
हल हम पाते हैं,
बायाँ पक्ष $=\frac{1}{2}[2 \cos 2 x \cos \frac{x}{2}-2 \cos \frac{9 x}{2} \cos 3 x]$ $ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}[\cos (2 x+\frac{x}{2})+\cos (2 x-\frac{x}{2})-\cos (\frac{9 x}{2}+3 x)-\cos (\frac{9 x}{2}-3 x)] \\ & =\frac{1}{2}[\cos \frac{5 x}{2}+\cos \frac{3 x}{2}-\cos \frac{15 x}{2}-\cos \frac{3 x}{2}]=\frac{1}{2}[\cos \frac{5 x}{2}-\cos \frac{15 x}{2}] \\ & =\frac{1}{2}[-2 \sin {\frac{\frac{5 x}{2}+\frac{15 x}{2}}{2}} \sin {\frac{\frac{5 x}{2}-\frac{15 x}{2}}{2}}] \\ & =-\sin 5 x \sin (-\frac{5 x}{2})=\sin 5 x \sin \frac{5 x}{2}=\text{ दायाँ पक्ष } \end{aligned} $
उदाहरण 20 $\tan \frac{\pi}{8}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल मान लीजिए $x=\frac{\pi}{8}$ हो तो $2 x=\frac{\pi}{4}$
अब $\quad \tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$
या
$$ \tan \frac{\pi}{4}=\frac{2 \tan \frac{\pi}{8}}{1-\tan ^{2} \frac{\pi}{8}} $$
मान लीजिए $y=\tan \frac{\pi}{8}$ तो $1=\frac{2 y}{1-y^{2}}$
या $\quad y^{2}+2 y-1=0$
इसलिए
$\quad y=\frac{-2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}=-1 \pm \sqrt{2}$
क्योंकि $\frac{\pi}{8}$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है, $y=\tan \frac{\pi}{8}$ धनात्मक है। अतः
$$ \tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1 $$
उदाहरण 21 यदि $\tan x=\frac{3}{4}, \pi<x<\frac{3 \pi}{2}$, तो $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ तथा $\tan \frac{x}{2}$ के मान ज्ञात कीजिए।
हल क्योंकि $\pi<x<\frac{3 \pi}{2}$ है इसलिए $\cos x$ ॠणात्मक है।
पुन: $\quad \frac{\pi}{2}<\frac{x}{2}<\frac{3 \pi}{4}$.
इसलिए $\sin \frac{x}{2}$ धनात्मक होगा तथा $\cos \frac{x}{2}$ ॠणात्मक होगा।
अब
$$ \sec ^{2} x=1+\tan ^{2} x=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16} $$
इसलिए
$$ \cos ^{2} x=\frac{16}{25} \text { या } \cos x=-\frac{4}{5} \quad \text { (क्यों?) } $$
अब
$$ 2 \sin ^{2} \frac{x}{2}=1-\cos x=1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5} $$
इसलिए $\quad \sin ^{2} \frac{x}{2}=\frac{9}{10}$
या $\sin \frac{x}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}$ (क्यों?)
पुन: $\quad 2 \cos ^{2} \frac{x}{2}=1+\cos x=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$
इसलिए
$$ \cos ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1}{10} \quad \text { या } \quad \cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{\sqrt{10}} \quad \text { (क्यों?) } $$
अत:
$$ \tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}} \times\left(\frac{-\sqrt{10}}{1}\right)=-3 $$
उदाहरण 22 सिद्ध कीजिए: $\cos ^{2} x+\cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{2}$
हल हम पाते हैं,
$ \begin{aligned} \text{ बायाँ पक्ष } & =\frac{1+\cos 2 x}{2}+\frac{1+\cos (2 x+\frac{2 \pi}{3})}{2}+\frac{1+\cos (2 x-\frac{2 \pi}{3})}{2} . \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x+\cos (2 x+\frac{2 \pi}{3})+\cos (2 x-\frac{2 \pi}{3})] \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x+2 \cos 2 x \cos \frac{2 \pi}{3}] \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x+2 \cos 2 x \cos (\pi-\frac{\pi}{3})] \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x-2 \cos 2 x \cos \frac{\pi}{3}] \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x-\cos 2 x]=\frac{3}{2}=\text{ दायाँ पक्ष } \end{aligned} $
अध्याय 3 पर विविध प्रश्नावली
सिद्ध कीजिए:
1. $2 \cos \frac{\pi}{13} \cos \frac{9 \pi}{13}+\cos \frac{3 \pi}{13}+\cos \frac{5 \pi}{13}=0$
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2. $(\sin 3 x+\sin x) \sin x+(\cos 3 x-\cos x) \cos x=0$
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3. $(\cos x+\cos y)^{2}+(\sin x-\sin y)^{2}=4 \cos ^{2} \frac{x+y}{2}$
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4. $(\cos x-\cos y)^{2}+(\sin x-\sin y)^{2}=4 \sin ^{2} \frac{x-y}{2}$
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5. $\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x+\sin 7 x=4 \cos x \cos 2 x \sin 4 x$
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6. $\frac{(\sin 7 x+\sin 5 x)+(\sin 9 x+\sin 3 x)}{(\cos 7 x+\cos 5 x)+(\cos 9 x+\cos 3 x)}=\tan 6 x$
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7. $\sin 3 x+\sin 2 x-\sin x=4 \sin x \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3 x}{2}$
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निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ तथा $\tan \frac{x}{2}$ ज्ञात कीजिए:
8. $\tan x=-\frac{4}{3}, x$ द्वितीय चतुर्थांश में है।
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9. $\cos x=-\frac{1}{3}, x$ तृतीय चतुर्थांश में है।
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10. $\sin x=\frac{1}{4}, x$ द्वितीय चतुर्थांश में है।
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सारांश
यदि एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या $r$, चाप की लंबाई $l$ तथा केंद्र पर अंतरित कोण $\theta$ रेडियन हैं, तो $l=r \theta$
रेडियन माप $=\frac{\pi}{180} \times$ डिग्री माप
डिग्री माप $=\frac{180}{\pi} \times$ रेडियन माप
$\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1$
$1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x$
$1+\cot ^{2} x=\operatorname{cosec}^{2} x$
$\cos (2 n \pi+x)=\cos x$
$\sin (2 n \pi+x)=\sin x$
$\sin (-x)=-\sin x$
$\Delta \cos (-x)=\cos x$
- $\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$
- $\cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y$
$\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$ $\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$
$\sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$
$\sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y$
$\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$
$\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$
$\cos (\pi-x)=-\cos x$
$\sin (\pi-x)=\sin x$
$\cos (\pi+x)=-\cos x$
$\sin (\pi+x)=-\sin x$
$\cos (2 \pi-x)=\cos x$
$\sin (2 \pi-x)=-\sin x$
यदि $x, y$ और $(x \pm y)$ में से कोई कोण $\frac{\pi}{2}$ का विषम गुणांक नहीं हैं, तो
$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}$
$\tan (x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y}$
यदि $x, y$ और $(x \pm y)$ में से कोई कोण $\pi$ का विषम गुणांक नहीं हैं,
तो $\cot (x+y)=\frac{\cot x \cot y-1}{\cot y+\cot x}$
$\cot (x-y)=\frac{\cot x \cot y+1}{\cot y-\cot x}$
$\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=2 \cos ^{2} x-1=1-2 \sin ^{2} x=\frac{1-\tan ^{2} x}{1+\tan ^{2} x}$
$\sin 2 x=2 \sin x \cos x=\frac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x}$
$\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$
$\sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x$
$ \cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x$
$\tan 3 x=\frac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x}$
(i) $\cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$
(ii) $\cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$
(iii) $ \sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$
(iv) $\sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$
(i) $2 \cos x \cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)$
(ii) $-2 \sin x \sin y=\cos (x+y)-\cos (x-y)$
(iii) $2 \sin x \cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)$
(iv) $2 \cos x \sin y=\sin (x+y)-\sin (x-y)$
ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
ऐसा विश्वास किया जाता है कि त्रिकोणमिती का अध्ययन सर्वप्रथम भारत में आरंभ हुआ था। आर्यभट्ट्ट ( 476 ई.), ब्रह्मगुप्त (598 ई.) भास्कर प्रथम (600 ई.) तथा भास्कर द्वितीय ( 1114 ई.) ने प्रमुख परिणामों को प्राप्त किया था। यह संपूर्ण ज्ञान भारत से मध्यपूर्व और पुनः वहाँ से यूरोप गया। यूनानियों ने भी त्रिकोणमिति का अध्ययन आरंभ किया परंतु उनकी कार्य विधि इतनी अनुपयुक्त थी, कि भारतीय विधि के ज्ञात हो जाने पर यह संपूर्ण विश्व द्वारा अपनाई गई।
भारत में आधुनिक त्रिकोणमितीय फलन जैसे किसी कोण की ज्या (sine) और फलन के परिचय का पूर्व विवरण सिद्धांत (संस्कृत भाषा में लिखा गया ज्योतिषीय कार्य) में दिया गया है जिसका योगदान गणित के इतिहास में प्रमुख है।
भास्कर प्रथम ( 600 ई.) ने $90^{\circ}$ से अधिक, कोणों के sine के मान के लए सूत्र दिया था। सोलहवीं शताब्दी का मलयालम भाषा में कार्य युक्ति भाषा में $\sin (\mathrm{A}+\mathrm{B})$ के प्रसार की एक उपपत्ति है। $18^{\circ}, 36^{\circ}, 54^{\circ}, 72^{\circ}$, आदि के sine तथा cosine के विशुद्ध मान भास्कर द्वितीय द्वारा दिए गए हैं।
$\sin ^{-1} x, \cos ^{-1} x$, आदि को चाप $\sin x$, चाप $\cos x$, आदि के स्थान पर प्रयोग करने का सुझाव ज्योतिषविद Sir John F.W. Hersehel ( 1813 ई.) द्वारा दिए गए थे। ऊँचाई और दूरी संबंधित प्रश्नों के साथ Thales (600 ई. पूर्व) का नाम अपरिहाय रूप से जुड़ा हुआ है। उन्हें मिश्र के महान पिरामिड की ऊँचाई के मापन का श्रेय प्राप्त है। इसके लिए उन्होंने एक ज्ञात ऊँचाई के सहायक दंड तथा पिरामिड की परछाइयों को नापकर उनके अनुपातों की तुलना का प्रयोग किया था। ये अनुपात हैं
$$ \frac{\mathrm{H}}{\mathrm{S}}=\frac{h}{s}=\tan (\text { सूर्य का उन्नतांश }) $$
Thales को समुद्री जहाज़ की दूरी की गणना करने का भी श्रेय दिया जाता है। इसके लिए उन्होंने समरूप त्रिभुजों के अनुपात का प्रयोग किया था। ऊँचाई और दूरी संबधी प्रश्नों का हल समरूप त्रिभुजों की सहायता से प्राचीन भारतीय कार्यों में मिलते हैं।
