Chapter-13 Statistics

“Statistics may be rightly called the science of averages and their estimates.” - A.L.BOWLEY & A.L. BODDINGTON

Introduction

We know that statistics deals with data collected for specific purposes. We can make decisions about the data by analysing and interpreting it. In earlier classes, we have studied methods of representing data graphically and in tabular form. This representation reveals certain salient features or characteristics of the data. We have also studied the methods of finding a representative value for the given data. This value is called the measure of central tendency. Recall mean (arithmetic mean), median and mode are three measures of central tendency. A measure of central tendency gives us a rough idea where data points are centred. But, in order to make better interpretation from the

Karl Pearson (1857-1936 A.D.)

data, we should also have an idea how the data are scattered or how much they are bunched around a measure of central tendency.

Consider now the runs scored by two batsmen in their last ten matches as follows:

Batsman A : $30,91,0,64,42,80,30,5,117,71$

Batsman B : $53,46,48,50,53,53,58,60,57,52$

Clearly, the mean and median of the data are

Batsman A Batsman B
Mean 53 53
Median 53 53

Recall that, we calculate the mean of a data (denoted by $\bar{x}$ ) by dividing the sum of the observations by the number of observations, i.e.,

$ \bar{x}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i $

Also, the median is obtained by first arranging the data in ascending or descending order and applying the following rule.

If the number of observations is odd, then the median is $(\frac{n+1}{2})^{\text{th }}$ observation.

If the number of observations is even, then median is the mean of $(\frac{n}{2})^{\text{th }}$ and $(\frac{n}{2}+1)^{\text{th }}$ observations.

We find that the mean and median of the runs scored by both the batsmen $A$ and B are same i.e., 53. Can we say that the performance of two players is same? Clearly No, because the variability in the scores of batsman A is from 0 (minimum) to 117 (maximum). Whereas, the range of the runs scored by batsman B is from 46 to 60.

Let us now plot the above scores as dots on a number line. We find the following diagrams:

For batsman A

Fig 13.1

For batsman B

Fig 13.2

We can see that the dots corresponding to batsman B are close to each other and are clustering around the measure of central tendency (mean and median), while those corresponding to batsman A are scattered or more spread out.

Thus, the measures of central tendency are not sufficient to give complete information about a given data. Variability is another factor which is required to be studied under statistics. Like ‘measures of central tendency’ we want to have a single number to describe variability. This single number is called a ‘measure of dispersion’. In this Chapter, we shall learn some of the important measures of dispersion and their methods of calculation for ungrouped and grouped data.

13.2 Measures of Dispersion

The dispersion or scatter in a data is measured on the basis of the observations and the types of the measure of central tendency, used there. There are following measures of dispersion:

(i) Range, (ii) Quartile deviation, (iii) Mean deviation, (iv) Standard deviation.

In this Chapter, we shall study all of these measures of dispersion except the quartile deviation.

13.3 Range

Recall that, in the example of runs scored by two batsmen A and B, we had some idea of variability in the scores on the basis of minimum and maximum runs in each series. To obtain a single number for this, we find the difference of maximum and minimum values of each series. This difference is called the ‘Range’ of the data.

In case of batsman A, Range $=117-0=117$ and for batsman B, Range $=60-46=14$. Clearly, Range of A $>$ Range of $B$. Therefore, the scores are scattered or dispersed in case of A while for B these are close to each other.

Thus, Range of a series $=$ Maximum value - Minimum value .

The range of data gives us a rough idea of variability or scatter but does not tell about the dispersion of the data from a measure of central tendency. For this purpose, we need some other measure of variability. Clearly, such measure must depend upon the difference (or deviation) of the values from the central tendency.

The important measures of dispersion, which depend upon the deviations of the observations from a central tendency are mean deviation and standard deviation. Let us discuss them in detail.

13.4 Mean Deviation

Recall that the deviation of an observation $x$ from a fixed value ’ $a$ ’ is the difference $x-a$. In order to find the dispersion of values of $x$ from a central value ’ $a$ ‘, we find the deviations about $a$. An absolute measure of dispersion is the mean of these deviations. To find the mean, we must obtain the sum of the deviations. But, we know that a measure of central tendency lies between the maximum and the minimum values of the set of observations. Therefore, some of the deviations will be negative and some positive. Thus, the sum of deviations may vanish. Moreover, the sum of the deviations from mean $(\bar{x})$ is zero.

Also $\quad \quad \quad $ Mean of deviations $=\frac{\text{ Sum of deviations }}{\text{ Number of observations }}=\frac{0}{n}=0$

Thus, finding the mean of deviations about mean is not of any use for us, as far as the measure of dispersion is concerned.

Remember that, in finding a suitable measure of dispersion, we require the distance of each value from a central tendency or a fixed number ’ $a$ ‘. Recall, that the absolute value of the difference of two numbers gives the distance between the numbers when represented on a number line. Thus, to find the measure of dispersion from a fixed number ’ $a$ ’ we may take the mean of the absolute values of the deviations from the central value. This mean is called the ‘mean deviation’. Thus mean deviation about a central value ’ $a$ ’ is the mean of the absolute values of the deviations of the observations from ’ $a$ ‘. The mean deviation from ’ $a$ ’ is denoted as M.D. (a). Therefore,

$ \text{ M.D. }(a)=\frac{\text{ Sum of absolute values of deviations from ’ } a \text{ ’ }}{\text{ Number of observations }} . $

Remark Mean deviation may be obtained from any measure of central tendency. However, mean deviation from mean and median are commonly used in statistical studies.

13.4.1 Mean deviation for ungrouped data

Let $n$ observations be $x_1, x_2, x_3, \ldots ., x_n$. The following steps are involved in the calculation of mean deviation about mean or median:

Step 1 Calculate the measure of central tendency about which we are to find the mean deviation. Let it be ’ $a$ ‘.

Step 2 Find the deviation of each $x_i$ from $a$, i.e., $x_1-a, x_2-a, x_3-a, \ldots, x_n-a$

Step 3 Find the absolute values of the deviations, i.e., drop the minus sign (-), if it is there, i.e., $|x_1-a|,|x_2-a|,|x_3-a|, \ldots .,|x_n-a|$

Step 4 Find the mean of the absolute values of the deviations. This mean is the mean deviation about $a$, i.e.,

$ \text{ M.D. }(a)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-a|}{n} $

Thus $\quad\quad\quad$ M.D. $(\bar{x})=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-\bar{x}|$, where $\bar{x}=$ Mean

and $\quad\quad\quad$ M.D. $(M)=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-M|$, where $M=$ Median

Note - In this Chapter, we shall use the symbol M to denote median unless stated otherwise.Let us now illustrate the steps of the above method in following examples.

Example 1 Find the mean deviation about the mean for the following data:

$ 6,7,10,12,13,4,8,12 $

Solution We proceed step-wise and get the following:

Step 1 Mean of the given data is

$ \bar{x}=\frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}=\frac{72}{8}=9 $

Step 2 The deviations of the respective observations from the mean $\bar{x}$, i.e., $x_i-\bar{x}$ are

$\quad\quad\quad\quad 6-9,7-9,10-9,12-9,13-9,4-9,8-9,12-9$,

or $ \quad\quad\quad\quad -3,-2,1,3,4,-5,-1,3 $

Step 3 The absolute values of the deviations, i.e., $|x_i-\bar{x}|$ are

$ 3,2,1,3,4,5,1,3 $

Step 4 The required mean deviation about the mean is

$ \text{ M.D. } \begin{aligned} (\bar{x}) & =\frac{\sum\limits_{i=1}^{8}|x_i-\bar{x}|}{8} \\ & =\frac{3+2+1+3+4+5+1+3}{8}=\frac{22}{8}=2.75 \end{aligned} $

Note - Instead of carrying out the steps every time, we can carry on calculation, step-wise without referring to steps.

Example 2 Find the mean deviation about the mean for the following data :

$ 12,3,18,17,4,9,17,19,20,15,8,17,2,3,16,11,3,1,0,5 $

Solution We have to first find the mean $(\bar{x})$ of the given data

$ \bar{x}=\frac{1}{20} \sum\limits_{i=1}^{20} x_i=\frac{200}{20}=10 $

The respective absolute values of the deviations from mean, i.e., $|x_i-\bar{x}|$ are

$ 2,7,8,7,6,1,7,9,10,5,2,7,8,7,6,1,7,9,10,5 $

Therefore $\quad \sum\limits_{i=1}^{20}|x_i-\bar{x}|=124$

and $ \quad\quad\quad\quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{124}{20}=6.2 $

Example 3 Find the mean deviation about the median for the following data:

$ 3,9,5,3,12,10,18,4,7,19,21 \text{. } $

Solution Here the number of observations is 11 which is odd. Arranging the data into ascending order, we have $3,3,4,5,7,9,10,12,18,19,21$

Now

$ \text{ Median }=(\frac{11+1}{2})^{\text{th }} \text{ or } 6^{\text{th }} \text{ observation }=9 $

The absolute values of the respective deviations from the median, i.e., $|x_i-\mathbf{M}|$ are $6,6,5,4,2,0,1,3,9,10,12$

Therefore $ \quad\quad\quad\quad\quad \sum\limits_{i=1}^{11}|x_i-M|=58 $

and $ \quad\quad\quad\text{ M.D. }(M)=\frac{1}{11} \sum\limits_{i=1}^{11}|x_i-M|=\frac{1}{11} \times 58=5.27 $

13.4.2 Mean deviation for grouped data

We know that data can be grouped into two ways :

(a) Discrete frequency distribution,

(b) Continuous frequency distribution.

Let us discuss the method of finding mean deviation for both types of the data.

(a) Discrete frequency distribution Let the given data consist of $n$ distinct values $x_1, x_2, \ldots, x_n$ occurring with frequencies $f_1, f_2, \ldots, f_n$ respectively. This data can be represented in the tabular form as given below, and is called discrete frequency distribution:

$ \begin{matrix} x: x_1 & x_2 & x_3 \ldots x_n \\ f: f_1 & f_2 & f_3 \ldots f_n \end{matrix} $

(i) Mean deviation about mean

First of all we find the mean $\bar{x}$ of the given data by using the formula

$ \bar{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i $

where $\sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i$ denotes the sum of the products of observations $x_i$ with their respective frequencies $f_i$ and $N=\sum\limits_{i=1}^{n} f_i$ is the sum of the frequencies.

Then, we find the deviations of observations $x_i$ from the mean $\bar{x}$ and take their absolute values, i.e., $|x_i-\bar{x}|$ for all $i=1,2, \ldots, n$.

After this, find the mean of the absolute values of the deviations, which is the required mean deviation about the mean. Thus

$ \quad\quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-\bar{x}|}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-\bar{x}| $

(ii) Mean deviation about median To find mean deviation about median, we find the median of the given discrete frequency distribution. For this the observations are arranged in ascending order. After this the cumulative frequencies are obtained. Then, we identify the observation whose cumulative frequency is equal to or just greater than $\frac{N}{2}$, where $N$ is the sum of frequencies. This value of the observation lies in the middle of the data, therefore, it is the required median. After finding median, we obtain the mean of the absolute values of the deviations from median.Thus,

$ \text{ M.D.(M) }=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-M| $

Example 4 Find mean deviation about the mean for the following data :

$x_i$ 2 5 6 8 10 12
$f_i$ 2 8 10 7 8 5

Solution Let us make a Table 13.1 of the given data and append other columns after calculations.

Table 13.1

$x_i$ $f_i$ $f_i x_i$ $|x_i-\bar{x}|$ $f_i|x_i-\bar{x}|$
2 2 4 5.5 11
5 8 40 2.5 20
6 10 60 1.5 15
8 7 56 0.5 3.5
10 8 80 2.5 20
12 5 60 4.5 22.5
40 300 92

$ N=\sum\limits_{i=1}^{6} f_i=40, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i x_i=300, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=92 $

Therefore $ \quad \quad \quad\bar{x}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i x_i=\frac{1}{40} \times 300=7.5 $

and $\quad \quad \quad$ M. D. $(\bar{x})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{1}{40} \times 92=2.3$

Example 5 Find the mean deviation about the median for the following data:

$x_i$ 3 6 9 12 13 15 21 22
$f_i$ 3 4 5 2 4 5 4 3

Solution The given observations are already in ascending order. Adding a row corresponding to cumulative frequencies to the given data, we get (Table 13.2).

Table 13.2

$x_i$ 3 6 9 12 13 15 21 22
$f_i$ 3 4 5 2 4 5 4 3
$c . f$. 3 7 12 14 18 23 27 30

Now, $N=30$ which is even.

Median is the mean of the $15^{\text{th }}$ and $16^{\text{th }}$ observations. Both of these observations lie in the cumulative frequency 18 , for which the corresponding observation is 13 .

Therefore, Median $M=\frac{15^{\text{th }} \text{ observation }+16^{\text{th }} \text{ observation }}{2}=\frac{13+13}{2}=13$

Now, absolute values of the deviations from median, i.e., $|x_i-M|$ are shown in Table 13.3. We have

Table 13.3

$|x_i-M|$ 10 7 4 1 0 2 8 9
$f_i$ 3 4 5 2 4 5 4 3
$f_i|x_i-M|$ 30 28 20 2 0 10 32 27

$ \quad \quad \quad \sum\limits_{i=1}^{8} f_i=30 \text{ and } \sum\limits_{i=1}^{8} f_i|x_i-M|=149 $

Therefore

$ \begin{aligned} \text{ M. D. }(M) & =\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{8} f_i|x_i-M| \\ & =\frac{1}{30} \times 149=4.97 \end{aligned} $

(b) Continuous frequency distribution A continuous frequency distribution is a series in which the data are classified into different class-intervals without gaps alongwith their respective frequencies.

For example, marks obtained by 100 students are presented in a continuous frequency distribution as follows :

Marks obtained $0-10$ $10-20$ $20-30$ $30-40$ $40-50$ $50-60$
Number of Students 12 18 27 20 17 6

(i) Mean deviation about mean While calculating the mean of a continuous frequency distribution, we had made the assumption that the frequency in each class is centred at its mid-point. Here also, we write the mid-point of each given class and proceed further as for a discrete frequency distribution to find the mean deviation.

Let us take the following example.

Example 6 Find the mean deviation about the mean for the following data.

Marks obtained 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80
Number of students 2 3 8 14 8 3 2

Solution We make the following Table 13.4 from the given data :

Table 13.4

Marks
obtained
Number of
students
$f_i$
Mid-points
$x_i$
$f_i x_i$ $|x_i-\bar{x}|$ $f_i|x_i-\bar{x}|$
$10-20$ 2 15 30 30 60
$20-30$ 3 25 75 20 60
$30-40$ 8 35 280 10 80
$40-50$ 14 45 630 0 0
$50-60$ 8 55 440 10 80
$60-70$ 3 65 195 20 60
$70-80$ 2 75 150 30 60
40 1800 8 400

Here $ \quad \quad \quad N=\sum\limits_{i=1}^{7} f_i=40, \sum\limits_{i=1}^{7} f_i x_i=1800, \sum\limits_{i=1}^{7} f_i|x_i-\bar{x}|=400 $

Therefore $ \quad \quad \quad\bar{x}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i x_i=\frac{1800}{40}=45 $

and $ \quad \quad \quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{1}{40} \times 400=10 $

Shortcut method for calculating mean deviation about mean

We can avoid the tedious calculations of computing $\bar{x}$ by following step-deviation method. Recall that in this method, we take an assumed mean which is in the middle or just close to it in the data. Then deviations of the observations (or mid-points of classes) are taken from the assumed mean. This is nothing but the shifting of origin from zero to the assumed mean on the number line, as shown in Fig 13.3

Fig 13.3

If there is a common factor of all the deviations, we divide them by this common factor to further simplify the deviations. These are known as step-deviations. The process of taking step-deviations is the change of scale on the number line as shown in Fig 13.4

The deviations and step-deviations reduce the size of the observations, so that the computations viz. multiplication, etc., become simpler. Let, the new variable be denoted by $d_i=\frac{x_i-a}{h}$, where ’ $a$ ’ is the assumed mean and $h$ is the common factor. Then, the mean $\bar{x}$ by step-deviation method is given by

$ \bar{x}=a+\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i d_i}{N} \times h $

Let us take the data of Example 6 and find the mean deviation by using stepdeviation method.

Take the assumed mean $a=45$ and $h=10$, and form the following Table 13.5.

Table 13.5

Marks
obtained
Number of
students
Mid-points $d_i=\frac{x_i-45}{10}$ $f_i d_i$ $|x_i-\bar{x}|$ $f_i|x_i-\bar{x}|$
$f_i$ $x_i$
$10-20$ 2 15 -3 -6 30 60
$20-30$ 3 25 -2 -6 20 60
$30-40$ 8 35 -1 -8 10 80
$40-50$ 14 45 0 0 0 0
$50-60$ 8 55 1 8 10 80
$60-70$ 3 65 2 6 20 60
$70-80$ 2 75 3 6 30 60
40 0 400

Therefore

$ \begin{aligned} & \bar{x}=a+\frac{\sum\limits_{i=1}^{7} f_i d_i}{N} \times h \\ & =45+\frac{0}{40} \times 10=45 \end{aligned} $

and $ \quad \quad \quad \text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{400}{40}=10 $

Note - The step deviation method is applied to compute $\bar{x}$. Rest of the procedure is same.

(ii) Mean deviation about median The process of finding the mean deviation about median for a continuous frequency distribution is similar as we did for mean deviation about the mean. The only difference lies in the replacement of the mean by median while taking deviations.

Let us recall the process of finding median for a continuous frequency distribution.

The data is first arranged in ascending order. Then, the median of continuous frequency distribution is obtained by first identifying the class in which median lies (median class) and then applying the formula

$ \text{ Median }=l+\frac{\frac{N}{2}-C}{f} \times h $

where median class is the class interval whose cumulative frequency is just greater than or equal to $\frac{N}{2}, N$ is the sum of frequencies, $l, f, h$ and $C$ are, respectively the lower limit , the frequency, the width of the median class and $C$ the cumulative frequency of the class just preceding the median class. After finding the median, the absolute values of the deviations of mid-point $x_i$ of each class from the median i.e., $|x_i-M|$ are obtained.

Then $ \quad \quad \quad \text{ M.D. }(M)=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-M| $

The process is illustrated in the following example:

Example 7 Calculate the mean deviation about median for the following data :

Class $0-10$ $10-20$ $20-30$ $30-40$ $40-50$ $50-60$
Frequency 6 7 15 16 4 2

Solution Form the following Table 13.6 from the given data :

Table 13.6

Class Frequency Cumulative
frequency
Mid-points $\mid x_i-$ Med. $\mid$ $f_i \mid x_i-$ Med. $\mid$
$f_i$ $($ c.f. $)$ $x_i$
$0-10$ 6 6 5 23 138
$10-20$ 7 13 15 13 91
$20-30$ 15 28 25 3 45
$30-40$ 16 44 35 7 112
$40-50$ 4 48 45 17 68
$50-60$ 2 50 55 27 54
50 508

The class interval containing $\frac{N^{\text{th }}}{2}$ or $25^{\text{th }}$ item is $20-30$. Therefore, $20-30$ is the median class. We know that

$ \text{ Median }=l+\frac{\frac{N}{2}-C}{f} \times h $

Here $l=20, C=13, f=15, h=10$ and $N=50$

Therefore, $\quad$ Median $=20+\frac{25-13}{15} \times 10=20+8=28$

Thus, Mean deviation about median is given by

$ \text{ M.D. }(M)=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-M|=\frac{1}{50} \times 508=10.16 $

EXERCISE 13.1

Find the mean deviation about the mean for the data in Exercises 1 and 2.

1. $4,7,8,9,10,12,13,17$

Show Answer

Answer :

The given data is

$4,7,8,9,10,12,13,17$

Mean of the data,

$ \bar{{}x}=\dfrac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8}=\dfrac{80}{8}=10 $

The deviations of the respective observations from the mean $\bar{{}x}$, i.e. $x_i-\bar{{}x}$, are

-6, - 3, -2, -1, 0, 2, 3, 7

The absolute values of the deviations, i.e. $|x_i-\bar{{}x}|$, are

$6,3,2,1,0,2,3,7$

The required mean deviation about the mean is

M.D. $(\bar{{}x})=\dfrac{\sum _{i=1}^{8}|x_i-\bar{{}x}|}{8}=\dfrac{6+3+2+1+0+2+3+7}{8}=\dfrac{24}{8}=3$

2. $38,70,48,40,42,55,63,46,54,44$

Show Answer

Answer :

The given data is

$38,70,48,40,42,55,63,46,54,44$

Mean of the given data, $\bar{{}x}=\dfrac{38+70+48+40+42+55+63+46+54+44}{10}=\dfrac{500}{10}=50$

The deviations of the respective observations from the mean $\bar{{}x}$, i.e. $x_i-\bar{{}x}$, are

-12, 20, -2, -10, -8, 5, 13, -4, 4, -6

The absolute values of the deviations, i.e. $|x_i-\bar{{}x}|$, are

$12,20,2,10,8,5,13,4,4,6$

The required mean deviation about the mean is

$ \begin{aligned} \text{ M.D. }(\bar{{}x}) & =\dfrac{\sum _{i=1}^{10}|x_i-\bar{{}x}|}{10} \\ & =\dfrac{12+20+2+10+8+5+13+4+4+6}{10} \\ & =\dfrac{84}{10} \\ & =8.4 \end{aligned} $

Find the mean deviation about the median for the data in Exercises 3 and 4.

3. $13,17,16,14,11,13,10,16,11,18,12,17$

Show Answer

Answer :

The given data is

$13,17,16,14,11,13,10,16,11,18,12,17$

Here, the numbers of observations are 12 , which is even.

Arranging the data in ascending order, we obtain

$10,11,11,12,13,13,14,16,16,17,17,18$

Median, $M=\dfrac{(\dfrac{12}{2})^{t / h} \text{ observation }+(\dfrac{12}{2}+1)^{t / h} \text{ observation }}{2}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{6^{\text{th }} \text{ observation }+7^{\text{th }} \text{ observation }}{2} \\ & =\dfrac{13+14}{2}=\dfrac{27}{2}=13.5 \end{aligned} $

The deviations of the respective observations from the median, i.e. ${ }^{x_i-M}$, are -3.5, -2.5, -2.5, -1.5, -0.5, -0.5, 0.5, 2.5, 2.5, 3.5, 3.5, 4.5

The absolute values of the deviations, $|x_i-M|$, are

$3.5,2.5,2.5,1.5,0.5,0.5,0.5,2.5,2.5,3.5,3.5,4.5$

The required mean deviation about the median is

$ \begin{aligned} \text{ M.D. }(M) & =\dfrac{\sum _{i=1}^{12}|x_i-M|}{12} \\ & =\dfrac{3.5+2.5+2.5+1.5+0.5+0.5+0.5+2.5+2.5+3.5+3.5+4.5}{12} \\ & =\dfrac{28}{12}=2.33 \end{aligned} $

4. $36,72,46,42,60,45,53,46,51,49$

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Answer :

The given data is

$36,72,46,42,60,45,53,46,51,49$

Here, the number of observations is 10 , which is even.

Arranging the data in ascending order, we obtain

$36,42,45,46,46,49,51,53,60,72$

$ \begin{aligned} \text{ Median } M & =\dfrac{(\dfrac{10}{2})^{t h} \text{ observation }+(\dfrac{10}{2}+1)^{t / h} \text{ observation }}{2} \\ & =\dfrac{5^{\text{th }} \text{ observation }+6^{\text{th }} \text{ observation }}{2} \\ & =\dfrac{46+49}{2}=\dfrac{95}{2}=47.5 \end{aligned} $

The deviations of the respective observations from the median, i.e. $x_i-M$, are

-11.5, -5.5, -2.5, -1.5, -1.5, 1.5, 3.5, 5.5, 12.5, 24.5

The absolute values of the deviations, $|x_i-M|$, are

$11.5,5.5,2.5,1.5,1.5,1.5,3.5,5.5,12.5,24.5$

Thus, the required mean deviation about the median is

$ \begin{aligned} \text{ M.D. }(M) & =\dfrac{\sum _{i=1}^{10}|x_i-M|}{10}=\dfrac{11.5+5.5+2.5+1.5+1.5+1.5+3.5+5.5+12.5+24.5}{10} \\ & =\dfrac{70}{10}=7 \end{aligned} $

Find the mean deviation about the mean for the data in Exercises 5 and 6.

5. $\begin{array}{lllll} x_i {~5}& 10 & 15 & 20 & 25 \\ f_i {~7} & 4 & 6 & 3 & 5 \end{array}$

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Answer :

$\boldsymbol{{}x} _{\boldsymbol{{}i}}$ $\boldsymbol{{}f} _{\boldsymbol{{}i}}$ $\boldsymbol{{}f}_i \boldsymbol{{}x} _{\boldsymbol{{}i}}$ $|\mathbf{x} _i-\overline{\mathbf{x}}|$ $\mathbf{f} _{\mathbf{i}}|\mathbf{x} _{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{x}}|$
5 7 35 9 63
10 4 40 4 16
15 6 90 1 6
20 3 60 6 18
25 5 125 11 55
25 350 158

$N=\sum _{i=1}^{5} f_i=25$

$\sum _{i=1}^{5} f_i x_i=350$

$\therefore \overline{x}=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{5} f_i x_i=\dfrac{1}{25} \times 350=14$

$\therefore MD(\overline{x})=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{5} f_i|x_i-\overline{x}|=\dfrac{1}{25} \times 158=6.32$

6. $\begin{array}{lllll} x_i {~10}& 30 & 50 & 70 & 90 \\ f_i {~4} & 24 & 28 & 16 & 8 \end{array}$

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Answer :

$\boldsymbol{{}x} _{\boldsymbol{{}i}}$ $\boldsymbol{{}f} _{\boldsymbol{{}i}}$ $\boldsymbol{{}f} _{\boldsymbol{{}i}} \boldsymbol{{}x} _{\boldsymbol{{}i}}$ $|\mathbf{x} _{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{x}}|$ $\mathbf{f} _{\mathbf{i}}|\mathbf{x} _{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{x}}|$
10 4 40 40 160
30 24 720 20 480
50 28 1400 0 0
70 16 1120 20 320
90 8 720 40 320
80 4000 1280

$N=\sum _{i=1}^{5} f_i=80, \sum _{i=1}^{5} f_i x_i=4000$

$\therefore \overline{x}=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{5} f_i x_i=\dfrac{1}{80} \times 4000=50$

$MD(\overline{x}) \dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{5} f_i|x_i-\overline{x}|=\dfrac{1}{80} \times 1280=16$

Find the mean deviation about the median for the data in Exercises 7 and 8.

7. $\begin{array}{llllll} x_i {~5}& 7 & 9 & 10 & 12 & 15 \\ f_i {~8} & 6 & 2 & 2 & 2 & 6 \end{array}$

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Answer :

The given observations are already in ascending order.

Adding a column corresponding to cumulative frequencies of the given data, we obtain the following table.

$\boldsymbol{{}x}_i$ $\boldsymbol{{}f}_i$ $\boldsymbol{{}c}$. .
5 8 8
7 6 14
9 2 16
10 2 18
12 2 20
15 6 26

Here, $N=26$, which is even.

Median is the mean of $13^{\text{th }}$ and $14^{\text{th }}$ observations. Both of these observations lie in the cumulative frequency 14 , for which the corresponding observation is 7 .

$\therefore$ Median $=\dfrac{13^{\text{is }} \text{ observation }+14^{\text{th }} \text{ observation }}{2}=\dfrac{7+7}{2}=7$

The absolute values of the deviations from median, i.e. $|x_i-M|$, are

$|\boldsymbol{{}x} _{\boldsymbol{{}i}}- \boldsymbol{{}M}|$ 2 0 2 3 5 8
$\boldsymbol{{}f} _{\boldsymbol{{}i}}$ 8 6 2 2 2 6
16 0 4 6 10 48
$\boldsymbol{{}f} _{\boldsymbol{{}i}}|\boldsymbol{{}x} _{\boldsymbol{{}i}} -\mathbf{M}|$

$ \begin{aligned} & \sum _{i=1}^{6} f_i=26 \quad \sum _{i=1}^{6} f_i|x_i-M|=84 \\ & \text{ M.D.(M) }=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{6} f_i|x_i-M|=\dfrac{1}{26} \times 84=3.23 \end{aligned} $

8. $\begin{array}{lllll} x_i {~15}& 21 & 27 & 50 & 35 \\ f_i {~3} & 5 & 6 & 7 & 8 \end{array}$

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Answer :

The given observations are already in ascending order.

Adding a column corresponding to cumulative frequencies of the given data, we obtain the following table.

$\boldsymbol{{}x} _{\boldsymbol{{}i}}$ $\boldsymbol{{}f} _{\boldsymbol{{}i}}$ $\boldsymbol{{}c}$. .
15 3 3
21 5 8
27 6 14
30 7 21
35 8 29

Here, $N=29$, which is odd.

$\therefore$ Median $=(\dfrac{29+1}{2}) _{\text{observation }=15^{\text{th }} \text{ observation }}^{\text{th }}$ on

This observation lies in the cumulative frequency 21 , for which the corresponding observation is 30 .

$\therefore$ Median $=30$

The absolute values of the deviations from median, i.e. $|x_i-M|$, are

$|x_i - \mathbf{M}|$ 15 9 3 0 5
$\boldsymbol{{}f}_i$ 3 5 6 7 8
$f_i|x_i - \mathbf{M}|$ 45 45 18 0 40

$ \begin{aligned} & \sum _{i=1}^{5} f_i=29, \sum _{i=1}^{5} f_i|x_i-M|=148 \\ & \quad \text{ M.D. }(M)=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{5} f_i|x_i-M|=\dfrac{1}{29} \times 148=5.1 \end{aligned} $

Find the mean deviation about the mean for the data in Exercises 9 and 10.

9.

Income per
day in ₹
0-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-60 0 600-700 700-800
Number
of persons
4 8 9 10 7 5 4 3
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Answer :

The following table is formed.

Income per day Number of persons $f_i$ Mid-point $X_i$ $f_i x_i$ $|\mathbf{x} _{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{x}}|$ $\mathbf{f} _i \mid \mathbf{x} _i-\overline{\mathbf{x}}$
$0 - 100$ 4 50 200 308 1232
100 - 200 8 150 1200 208 1664
200- 300 9 250 2250 108 972
300 - 400 10 350 3500 8 80
400 - 500 7 450 3150 92 644
500 - 600 5 550 2750 192 960
600 - 700 4 650 2600 292 1168
700 - 800 3 750 2250 392 1176
50 17900 7896

Here, $\quad N=\sum _{i=1}^{8} f_i=50, \sum _{i=1}^{8} f_i x_i=17900$

$\therefore \overline{x}=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{8} f_i x_i=\dfrac{1}{50} \times 17900=358$

M.D. $(\overline{x})=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{8} f_i|x_i-\overline{x}|=\dfrac{1}{50} \times 7896=157.92$

10.

Height in cms 95-105 105-115 115-12 125 -135 135-145 145-155
Number of boys 9 13 26 30 12 10
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Answer :

The following table is formed.

Height in cms Number of boys $\boldsymbol{{}f}_i$ Mid-point $\boldsymbol{{}x}_i$ $\boldsymbol{{}f}_i \boldsymbol{{}x}_i$ $|\mathbf{x} _{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{x}}|$ $\mathbf{f} _{\mathbf{i}}|\mathbf{x} _{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{x}}|$
$95-105$ 9 100 900 25.3 227.7
$105-115$ 13 110 1430 15.3 198.9
$115-125$ 26 120 3120 5.3 137.8
$125-135$ 30 130 3900 4.7 141
$135-145$ 12 140 1680 14.7 176.4
$145-155$ 10 150 1500 24.7 247

Here, $\quad N=\sum _{i=1}^{6} f_i=100, \sum _{i=1}^{6} f_i x_i=12530$

$\therefore \overline{x}=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{6} f_i x_i=\dfrac{1}{100} \times 12530=125.3$

M.D. $(\overline{x})=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{6} f_i|x_i-\overline{x}|=\dfrac{1}{100} \times 1128.8=11.28$

11. Find the mean deviation about median for the following data :

Marks $0-10$ $10-20$ $20-30$ $30-40$ $40-50$ $50-60$
Number of
Girls
6 8 14 16 4 2
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Answer :

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text { Marks } & \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \text { Mid values } \\ x_i \end{array} & f_i & \text { e.f. } & \left|x_i-27.86\right| & f_i\left|x_i-27.86\right| \\ \hline 0-10 & 5 & 6 & 6 & 22.86 & 137.16 \\ 10-20 & 15 & 8 & 14 & 12.86 & 102.88 \\ 20-30 & 25 & 14 & 28 & 2.86 & 40.04 \\ 30-40 & 35 & 16 & 44 & 7.14 & 114.24 \\ 40-50 & 45 & 4 & 48 & 17.14 & 68.56 \\ 50-60 & 55 & 2 & 50 & 27.14 & 54.28 \\ \hline & & 50 & & & 517.16 \\ \hline \end{array} $

$ \dfrac{\mathrm{N}}{2}=\dfrac{5 \mathrm{O}}{2}=25 $

$\therefore$ Median class is 20-30 $\therefore$

Median $=20+\dfrac{25-14}{14} \times 10=20+7.86=27.86$

M.D. about median $=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^n f i\left|x_i-M\right|=\dfrac{1}{50} \times 517.16=10.34$

12. Calculate the mean deviation about median age for the age distribution of 100 persons given below:

Age
(in years)
$16-20$ $21-25$ $26-30$ $31-35$ $36-40$ $41-45$ $46-50$ $51-55$
Number 5 6 12 14 26 12 16 9

[Hint Convert the given data into continuous frequency distribution by subtracting 0.5 from the lower limit and adding 0.5 to the upper limit of each class interval]

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Answer :

The given data is not continuous. Therefore, it has to be converted into continuous frequency distribution by subtracting 0.5 from the lower limit and adding 0.5 to the upper limit of each class interval.

The table is formed as follows.

Age Number $\boldsymbol{{}f}_i$ Cumulative frequency (c.f.) Mid-point $\boldsymbol{{}x}_i$ $\mid \boldsymbol{{}x}_i $ Med. $\mid$ $\boldsymbol{{}f} _{\boldsymbol{{}i}} \mid \boldsymbol{{}x} _{\boldsymbol{{}i}} -$ Med. $\mid$
$15.5-20.5$ 5 5 18 20 100
$20.5-25.5$ 6 11 23 15 90
$25.5-30.5$ 12 23 28 10 120
$30.5-35.5$ 14 37 33 5 70
$35.5-40.5$ 26 63 38 0 0
$40.5-45.5$ 12 75 43 5 60
$45.5-50.5$ 16 91 48 10 160
$50.5-55.5$ 9 100 53 15 735
100

The class interval containing the $\dfrac{N^{t h}}{2}$ or $50^{\text{th }}$ item is $35.5 - 40.5$.

Therefore, 35.5 - 40.5 is the median class.

It is known that,

Median $=l+\dfrac{\dfrac{N}{2}-C}{f} \times h$

Here, $I=35.5, C=37, f=26, h=5$, and $N=100$

$\therefore$ Median $=35.5+\dfrac{50-37}{26} \times 5=35.5+\dfrac{13 \times 5}{26}=35.5+2.5=38$

Thus, mean deviation about the median is given by,

M.D.(M) $=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{8} f_i|x_i-M|=\dfrac{1}{100} \times 735=7.35$

13.4.3 Limitations of mean deviation

In a series, where the degree of variability is very high, the median is not a representative central tendency. Thus, the mean deviation about median calculated for such series can not be fully relied.The sum of the deviations from the mean (minus signs ignored) is more than the sum of the deviations from median. Therefore, the mean deviation about the mean is not very scientific.Thus, in many cases, mean deviation may give unsatisfactory results. Also mean deviation is calculated on the basis of absolute values of the deviations and therefore, cannot be subjected to further algebraic treatment. This implies that we must have some other measure of dispersion. Standard deviation is such a measure of dispersion.

13.5 Variance and Standard Deviation

Recall that while calculating mean deviation about mean or median, the absolute values of the deviations were taken. The absolute values were taken to give meaning to the mean deviation, otherwise the deviations may cancel among themselves.

Another way to overcome this difficulty which arose due to the signs of deviations, is to take squares of all the deviations. Obviously all these squares of deviations are non-negative.

Let $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ be $n$ observations and $\bar{x}$ be their mean. Then $ (x _ 1 - \bar {x}) ^ {2} + (x _ 2 - \bar {x} ) ^ {2} + \ldots \ldots . + (x _ {n} - \bar {x} ) ^ {2} = _ {i \neq 1} ^ {n}(x _ {i} - \bar{x})^{2} $

If this sum is zero, then each $(x_i-\bar{x})$ has to be zero. This implies that there is no dispersion at all as all observations are equal to the mean $\bar{x}$.

If $\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}$ is small, this indicates that the observations $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ are close to the mean $\bar{x}$ and therefore, there is a lower degree of dispersion. On the contrary, if this sum is large, there is a higher degree of dispersion of the observations from the mean $\bar{x}$. Can we thus say that the sum $\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}$ is a reasonable indicator of the degree of dispersion or scatter?

Let us take the set A of six observations 5, 15, 25, 35, 45, 55. The mean of the observations is $\bar{x}=30$. The sum of squares of deviations from $\bar{x}$ for this set is

$ \begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^{2} & =(5-30)^{2}+(15-30)^{2}+(25-30)^{2}+(35-30)^{2}+(45-30)^{2}+(55-30)^{2} \\ & =625+225+25+25+225+625=1750 \end{aligned} $

Let us now take another set $B$ of 31 observations $15,16,17,18,19,20,21,22,23$, $24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45$. The mean of these observations is $\bar{y}=30$

Note that both the sets A and B of observations have a mean of 30 .

Now, the sum of squares of deviations of observations for set $B$ from the mean $\bar{y}$ is given by

$ \begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^{31}(y_i-\bar{y})^{2} & =(15-30)^{2}+(16-30)^{2}+(17-30)^{2}+\ldots+(44-30)^{2}+(45-30)^{2} \\ & =(-15)^{2}+(-14)^{2}+\ldots+(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+14^{2}+15^{2} \\ & =2[15^{2}+14^{2}+\ldots+1^{2}] \\ & =2 \times \frac{15 \times(15+1)(30+1)}{6}=5 \times 16 \times 31=2480 \end{aligned} $

(Because sum of squares of first $n$ natural numbers $=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$. Here $.n=15$)

If $\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}$ is simply our measure of dispersion or scatter about mean, we will tend to say that the set A of six observations has a lesser dispersion about the mean than the set B of 31 observations, even though the observations in set A are more scattered from the mean (the range of deviations being from -25 to 25 ) than in the set $B$ (where the range of deviations is from -15 to 15 ).

This is also clear from the following diagrams.

For the set A, we have

fig 13.5

For the set $B$, we have

fig 13.6

Thus, we can say that the sum of squares of deviations from the mean is not a proper measure of dispersion. To overcome this difficulty we take the mean of the squares of the deviations, i.e., we take $\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}$. In case of the set $A$, we have Mean $=\frac{1}{6} \times 1750=291.67$ and in case of the set B, it is $\frac{1}{31} \times 2480=80$.

This indicates that the scatter or dispersion is more in set A than the scatter or dispersion in set $B$, which confirms with the geometrical representation of the two sets.

Thus, we can take $\frac{1}{n} \sum(x_i-\bar{x})^{2}$ as a quantity which leads to a proper measure of dispersion. This number, i.e., mean of the squares of the deviations from mean is called the variance and is denoted by $\sigma^{2}$ (read as sigma square). Therefore, the variance of $n$ observations $x_1, x_2, \ldots, x_n$ is given by

$ \sigma^{2}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2} $

13.5.1 Standard Deviation

In the calculation of variance, we find that the units of individual observations $x_i$ and the unit of their mean $\bar{x}$ are different from that of variance, since variance involves the sum of squares of $(x_i-\bar{x})$. For this reason, the proper measure of dispersion about the mean of a set of observations is expressed as positive square-root of the variance and is called standard deviation. Therefore, the standard deviation, usually denoted by $\sigma$, is given by

$$ \sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $$

Let us take the following example to illustrate the calculation of variance and hence, standard deviation of ungrouped data.

Example 8 Find the variance of the following data:

$$ 6,8,10,12,14,16,18,20,22,24 $$

Solution From the given data we can form the following Table 13.7. The mean is calculated by step-deviation method taking 14 as assumed mean. The number of observations is $n=10$

Table 13.7

$x_i$ $d_i=\frac{x_i-14}{2}$ Deviations from mean
$(x_i-\bar{x})$
$(x_i-\bar{x})$
6 -4 -9 81
8 -3 -7 49
10 -2 -5 25
12 -1 -3 9
14 0 -1 1
16 1 1 1
18 2 3 9
20 3 5 25
22 4 7 49
24 5 9 81
5 330

Therefore

$ \text{ Mean } \bar{x}=\text{ assumed mean }+\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} d_i}{n} \times h=14+\frac{5}{10} \times 2=15 $

and

$ \text{ Variance }(\sigma^{2})=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^{2}=\frac{1}{10} \times 330=33 $

Thus Standard deviation $(\sigma)=\sqrt{33}=5.74$

13.5.2 Standard deviation of a discrete frequency distribution

Let the given discrete frequency distribution be

$ \begin{matrix} x: & x_1, & x_2, \quad x_3, \ldots, x_n \\ \\ & f: & f_1, \quad f_2, \quad f_3, \ldots, f_n \end{matrix} $

In this case standard deviation $(\sigma)=\sqrt{\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i(x_i-\bar{x})^{2}} \quad \quad \quad \quad \ldots(2)$

where $N=\sum\limits_{i=1}^{n} f_i$.

Let us take up following example.

Example 9 Find the variance and standard deviation for the following data:

$x_i$ 4 8 11 17 20 24 32
$f_i$ 3 5 9 5 4 3 1

Solution Presenting the data in tabular form (Table 13.8), we get

Table 13.8

$x_i$ $f_i$ $f_i x_i$ $x_i-\bar{x}$ $(x_i-\bar{x})^{2}$ $f_i(x_i-\bar{x})^{2}$
4 3 12 -10 100 300
8 5 40 -6 36 180
11 9 99 -3 9 81
17 5 85 3 9 45
20 4 80 6 36 144
24 3 72 10 100 300
32 1 32 18 324 324
30 420 1374

$ \begin{gathered} N=30, \sum\limits_ {i=1}^{7} f _ {i} x _ {i}=420, \sum\limits_ {i=1}^{7} f _ {i}(x _ {i}-\bar{x})^{2}=1374 \\ \text{Therefore }\quad \quad \quad \quad \bar{x}=\frac{\sum\limits_ {i=1}^{7} f _ {i} x _ {i}}{N}=\frac{1}{30} \times 420=14 \\ \text{Hence }\quad \quad \quad \quad\text{ variance }(\sigma^{2})=\frac{1}{N} \sum\limits_ {i=1}^{7} f _ {i}(x _ {i}-\bar{x})^{2} \\ =\frac{1}{30} \times 1374=45.8 \end{gathered} $

$ \text{and }\quad \quad \quad \text{ Standard deviation }(\sigma)=\sqrt{45.8}=6.77 $

13.5.3 Standard deviation of a continuous frequency distribution

The given continuous frequency distribution can be represented as a discrete frequency distribution by replacing each class by its mid-point. Then, the standard deviation is calculated by the technique adopted in the case of a discrete frequency distribution.

If there is a frequency distribution of $n$ classes each class defined by its mid-point $x_i$ with frequency $f_i$, the standard deviation will be obtained by the formula

$ \sigma=\sqrt{\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i(x_i-\bar{x})^{2}} $

where $\bar{x}$ is the mean of the distribution and $N=\sum\limits_{i=1}^{n} f_i$.

Another formula for standard deviation We know that

Variance $ (\sigma^{2})=\frac{1}{N} \sum\limits_ {i=1}^{n} f _ {i}(x _ {i} - \bar{x}) ^ {2} = \frac{1}{N} \sum\limits_{i = 1} ^ {n} f _ {i}(x _ i ^ {2} + \bar x ^{2} - 2 \bar {x} x _ {i}) $

$ \begin{aligned} =\frac{1}{N}\begin{bmatrix} \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} x _ i ^ {2} + \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} \bar x ^{2} f_i-\sum\limits_{i=1}^{n} 2 \bar{x} f_i x_i\end{bmatrix}\end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{N}\begin{bmatrix}\sum\limits_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} x _ i ^ {2} + \bar x ^ {2} \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} - 2 \bar{x} \sum\limits_ {i=1}^{n} x _{i} f _ {i} \end{bmatrix} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =\frac {1}{N} \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} x _ i ^ {2} + \bar x ^ {2} N - 2 \bar{x} . N \bar{x} \quad[\text{ Here } \frac {1}{N} \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} f _ {i} = \bar{x} \text{ or } \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} f _ {i}= N \bar{x}] \\ & =\frac {1}{N} \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} x _ i ^ {2} + \bar x ^ {2} - 2 \bar x ^ {2}=\frac {1}{N} \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} x _ i ^ {2} - \bar x^{2} \end{aligned} $

or

$ \sigma^{2}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i^{2}-\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i}{N}\right)^{2}=\frac{1}{N^{2}}\left[N \sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i^{2}-(\sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i)^{2}\right] $

Thus, standard deviation $(\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{N \sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i{ }^{2}-(\sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i)^{2}}$

Example 10 Calculate the mean, variance and standard deviation for the following distribution :

Class $30-40$ $40-50$ $50-60$ $60-70$ $70-80$ $80-90$ $90-100$
Frequency 3 7 12 15 8 3 2

Solution From the given data, we construct the following Table 13.9.

Table 13.9

Class Frequency
$(f_i)$
Mid-point
$(x_i)$
$f_i x_i$ $(x_i-\bar{x})^{2}$ $f_i(x_i-\bar{x})^{2}$
$30-40$ 3 35 105 729 2187
$40-50$ 7 45 315 289 2023
$50-60$ 12 55 660 49 588
$60-70$ 15 65 975 9 135
$70-80$ 8 75 600 169 1352
$80-90$ 3 85 255 529 1587
$90-100$ 2 95 190 1089 2178
50 3100 10050

Thus $ \quad \quad \quad \quad \text{ Mean } \bar{x}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i x_i=\frac{3100}{50}=62 $

Variance $(\sigma^{2})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i(x_i-\bar{x})^{2}$

$ =\frac{1}{50} \times 10050=201 $

and $ \quad \quad \quad \quad \text{ Standard deviation }(\sigma)=\sqrt{201}=14.18 $

Example 11 Find the standard deviation for the following data :

$x_i$ 3 8 13 18 23
$f_i$ 7 10 15 10 6

Solution Let us form the following Table 13.10:

Table 13.10

$x_i$ $f_i$ $f_i x_i$ $x_i{ }^{2}$ $f_i x_i{ }^{2}$
3 7 21 9 63
8 10 80 64 640
13 15 195 169 2535
18 10 180 324 3240
23 6 138 529 3174
48 614 9652

Now, by formula (3), we have

$ \begin{aligned} \sigma & =\frac{1}{N} \sqrt{N \sum{f_i x_i}^{2}-\left(\sum{f_i x_i}\right)^{2}} \\ \\ & =\frac{1}{48} \sqrt{48 \times 9652-(614)^{2}} \\ \\ & =\frac{1}{48} \sqrt{463296-376996} \end{aligned} $

$ =\frac{1}{48} \times 293.77=6.12 $

Therefore, $\quad$ Standard deviation $(\sigma)=6.12$

13.5.4. Shortcut method to find variance and standard deviation

Sometimes the values of $x_i$ in a discrete distribution or the mid points $x_i$ of different classes in a continuous distribution are large and so the calculation of mean and variance becomes tedious and time consuming. By using step-deviation method, it is possible to simplify the procedure.

Let the assumed mean be ‘A’ and the scale be reduced to $\frac{1}{h}$ times ( $h$ being the width of class-intervals). Let the step-deviations or the new values be $y_i$.

i.e. $\quad y_i=\frac{x_i-A}{h}$ or $x_i=A+h y_i \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1)$

We know that $ \quad \quad \quad \bar{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i}{N} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(2) $

Replacing $x_i$ from (1) in (2), we get

$ \begin{aligned} \bar{x} & =\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i(A+h y_i)}{N} \\ & =\frac{1}{N}(\sum\limits_{i=1}^{n} f_i A+\sum\limits_{i=1}^{n} h f_i y_i)=\frac{1}{N}(A \sum\limits_{i=1}^{n} f_i+h \sum\limits_{i=1}^{n} f_i y_i) \\ & =A \cdot \frac{N}{N}+h \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i y_i}{N} \quad(\text{ because } \sum\limits_{i=1}^{n} f_i=N) \end{aligned} $

Thus $\quad \bar{x}=A+h \bar{y} \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(3)$

Now Variance of the variable $x, \sigma_x^{2}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i(x_i-\bar{x})^{2}$

$ =\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i(A+h y_i-A-h \bar{y})^{2} \quad \text{(Using(1) and (3)) } $

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i h^{2}(y_i-\bar{y})^{2} \\ & =\frac{h^{2}}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i(y_i-\bar{y})^{2}=h^{2} \times \text{ variance of the variable } y_i \end{aligned} $

i.e. $\quad \sigma_x^{2}=h^{2} \sigma_y^{2}$

or $\quad \sigma_x=h \sigma_y \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(4)$

From (3) and (4), we have

$ \sigma_x=\frac{h}{N} \sqrt{N \sum\limits_{i=1}^{n} f_i y_i^{2}-(\sum\limits_{i=1}^{n} f_i y_i)^{2}} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(5) $

Let us solve Example 11 by the short-cut method and using formula (5)

Example 12 Calculate mean, variance and standard deviation for the following distribution.

Classes $30-40$ $40-50$ $50-60$ $60-70$ $70-80$ $80-90$ $90-100$
Frequency 3 7 12 15 8 3 2

Solution Let the assumed mean A $=65$. Here $h=10$

We obtain the following Table 13.11 from the given data :

Table 13.11

Class Frequency Mid-point $y_i=\frac{x_i-65}{10}$ $y_i{ }^{2}$ $f_i y_i$ $f_i y_i{ }^{2}$
$f_i$ $x_i$
$30-40$ 3 35 -3 9 -9 27
$40-50$ 7 45 -2 4 -14 28
$50-60$ 12 55 -1 1 -12 12
$60-70$ 15 65 0 0 0 0
$70-80$ 8 75 1 1 8 8
$80-90$ 3 85 2 4 6 12
$90-100$ 2 95 3 9 6 18
$N=50$ -15 105

Therefore

$\quad \bar{x}=\mathrm{A}+\frac{\sum f _{i} y _{i}}{50} \times h=65-\frac{15}{50} \times 10=62$ $ \text { Variance } \sigma^{2}=\frac{h^{2}}{\mathrm{~N}^{2}}\left[\mathrm{~N} \sum f _{i} y _{i}^{2}-\left(\sum f _{i} y _{i}\right)^{2}\right] $ $ \begin{aligned} & =\frac{(10)^{2}}{(50)^{2}}\left[50 \times 105-(-15)^{2}\right] \\ & =\frac{1}{25}[5250-225]=201 \end{aligned} $

and standard deviation $(\sigma)=\sqrt{201}=14.18$

EXERCISE 13.2

Find the mean and variance for each of the data in Exercies 1 to 5.

1. $6,7,10,12,13,4,8,12$

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Answer :

$6,7,10,12,13,4,8,12$

Mean, $\overline{x}=\dfrac{\sum _{i=1}^{8} x_i}{n}=\dfrac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}=\dfrac{72}{8}=9$

The following table is obtained.

$X_i$ $(x_i-\bar{{}x})$ $(x_i-\overline{x})^{2}$
6 $- $3 9
7 $- 2$ 4
10 $- 1$ 1
12 3 9
13 4 16
4 -5 25
8 $- $1 1
12 3 9
74

Variance $(\sigma^{2})=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{8}(x_i-\bar{{}x})^{2}=\dfrac{1}{8} \times 74=9.25$

2. First $n$ natural numbers

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Answer :

The mean of first $n$ natural numbers is calculated as follows.

Mean $=\dfrac{\text{ Sum of all observations }}{\text{ Number of observations }}$ $\therefore$ Mean $=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n}=\dfrac{n+1}{2}$

Variance $(\sigma^{2})=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}(x_i-\bar{{}x})^{2}$

$=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}[x_i-(\dfrac{n+1}{2})]^{2}$

$=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} x_i{ }^{2}-\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} 2(\dfrac{n+1}{2}) x_i+\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}(\dfrac{n+1}{2})^{2}$

$=\dfrac{1}{n} \dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-(\dfrac{n+1}{n})[\dfrac{n(n+1)}{2}]+\dfrac{(n+1)^{2}}{4 n} \times n$

$=\dfrac{(n+1)(2 n+1)}{6}-\dfrac{(n+1)^{2}}{2}+\dfrac{(n+1)^{2}}{4}$

$=\dfrac{(n+1)(2 n+1)}{6}-\dfrac{(n+1)^{2}}{4}$

$=(n+1)[\dfrac{4 n+2-3 n-3}{12}]$

$=\dfrac{(n+1)(n-1)}{12}$

$=\dfrac{n^{2}-1}{12}$

3. First 10 multiples of 3

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Answer :

The first 10 multiples of 3 are

$3,6,9,12,15,18,21,24,27,30$

Here, number of observations, $n=10$

Mean, $\bar{{}x}=\dfrac{\sum _{i=1}^{10} x_i}{10}=\dfrac{165}{10}=16.5$

The following table is obtained.

$x_i$ $(x_i-\overline{x})$ $(x_i-\overline{x})^{2}$
3 $- 13.5$ 182.25
6 $- 10.5$ 110.25
9 $- $ 7.5 56.25
12 $- $ 4.5 20.25
15 $- $ 1.5 2.25
18 1.5 2.25
21 4.5 20.25
24 7.5 56.25
27 10.5 110.25
30 13.5 182.25
742.5

Variance $(\sigma^{2})=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})^{2}=\dfrac{1}{10} \times 742.5=74.25$

4.

$x_i$ 6 10 14 18 24 28 30
$f_i$ 2 4 7 12 8 4 3
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Answer :

The data is obtained in tabular form as follows.

$\boldsymbol{{}x} _{\boldsymbol{{}i}}$ $\boldsymbol{{}f} \boldsymbol{{}i}$ $\boldsymbol{{}f} _{\boldsymbol{{}i}} \boldsymbol{{}x} _{\boldsymbol{{}i}}$ $x_i-\overline{x}$ $(x_i-\overline{x})^{2}$ $f_i(x_i-\overline{x})^{2}$
6 2 12 $- 13$ 169 338
10 4 40 $- 9$ 81 324
14 7 98 $- $5 25 175
18 12 216 - 1 1 12
24 8 192 5 25 200
28 4 112 9 81 324
30 3 90 11 121 363
40 760 1736

Here, $N=40, \quad \sum _{i=1}^{7} f_i x_i=760$

$\therefore \overline{x}=\dfrac{\sum _{i=1}^{7} f_i x_i}{N}=\dfrac{760}{40}=19$

Variance $=(\sigma^{2})=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{7} f_i(x_i-\bar{{}x})^{2}=\dfrac{1}{40} \times 1736=43.4$

5.

$x_i$ 92 93 97 98 102 104 109
$f_i$ 3 2 3 2 6 3 3
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Answer :

The data is obtained in tabular form as follows.

$\boldsymbol{{}x} _{\boldsymbol{{}i}}$ $\boldsymbol{{}f} \boldsymbol{{}i}$ $\boldsymbol{{}f} _{\boldsymbol{{}i}} \boldsymbol{{}x} _{\boldsymbol{{}i}}$ $x_i-\overline{x}$ $(x_i-\overline{x})^{2}$ $f_i(x_i-\overline{x})^{2}$
92 3 276 $- 8$ 64 192
93 2 186 $- 7$ 49 98
97 3 291 $- 3$ 9 27
98 2 196 $- 2$ 4 8
102 6 612 2 4 24
104 3 312 4 16 48
109 3 327 9 81 243
22 2200 640

Here, $N=22$

$ \sum _{i=1}^{7} f_i x_i=2200 $

$\therefore \overline{x}=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{7} f_i x_i=\dfrac{1}{22} \times 2200=100$

$Variance(\sigma^{2})=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{7} f_i(x_i-\bar{{}x})^{2}=\dfrac{1}{22} \times 640=29.09$

6. Find the mean and standard deviation using short-cut method.

$x_i$ 60 61 62 63 64 65 66 67 68
$f_i$ 2 1 12 29 25 12 10 4 5
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Answer :

The data is obtained in tabular form as follows.

$\boldsymbol{{}X} _{\boldsymbol{{}i}}$ $f_i$ $f_i=\dfrac{x_i-64}{1}$ $y_i^{2}$ $f_i y_i$ $f_i y_i^{2}$
60 2 $ - 4$ 16 - 8 32
61 1 $ - 3$ 9 $- 3$ 9
62 12 $- 2$ 4 $- $ 24 48
63 29 $- 1$ 1 -29 29
64 25 0 0 0 0
65 12 1 1 12 12
66 10 2 4 20 40
67 4 3 9 12 36
68 5 4 16 20 80
100 220 0 286

$\overline{x}=A \dfrac{\sum _{i=1}^{9} f_i y_i}{N} \times h=64+\dfrac{0}{100} \times 1=64+0=64$

Variance, $\sigma^{2}=\dfrac{h^{2}}{N^{2}}[N \sum _{i=1}^{9} f_i y_i{ }^{2}-(\sum _{i=1}^{9} f_i y_i)^{2}]$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{100^{2}}[100 \times 286-0] \\ & =2.86 \end{aligned} $

$\therefore S \tan$ dard deviation $(\sigma)=\sqrt{2.86}=1.69$

Find the mean and variance for the following frequency distributions in Exercises 7 and 8.

Find the mean and variance for the following frequency distributions in Exercises 7 and 8.

7.

Classes $0-30$ $30-60$ $60-90$ $90-120$ $120-150$ $150-180$ $180-210$
Frequencies 2 3 5 10 3 5 2
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Answer :

Class Frequency $f_i$ Mid-point $x_i$ $y_i=\dfrac{x_i-105}{30}$ $y_i^{2}$ $f y_i$ $f y_i^{2}$
$0-30$ 2 15 $- $‘3 9 -6 18
$30-60$ 3 45 $- 2$ 4 $- $ 6 12
$60-90$ 5 75 $- 1$ 1 $- 5$ 5
$90-120$ 10 105 0 0 0 0
$120-150$ 3 135 1 1 3 3
$150-180$ 5 165 2 4 10 20
$180-210$ 2 195 3 9 6 18
30 2 76

Mean,

$ \begin{aligned} Variance(\sigma^{2}) & =\dfrac{h^{2}}{N^{2}}[N \sum _{i=1}^{7} f_i y_i^{2}-(\sum _{i=1}^{7} f_i y_i)^{2}] \\ & =\dfrac{(30)^{2}}{(30)^{2}}[30 \times 76-(2)^{2}] \\ & =2280-4 \\ & =2276 \end{aligned} $

8.

Classes $0-10$ $10-20$ $20-30$ $30-40$ $40-50$
Frequencies 5 8 15 16 6
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Answer :

Class Frequency
$\boldsymbol{{}f}_i$
Mid-point $\boldsymbol{{}x}_i$ $y_i=\dfrac{x_i-25}{10}$ $\boldsymbol{{}y}_i^{2}$ $\boldsymbol{{}f y} _{i}$ $\boldsymbol{{}f y} _{\mathbf{i}}{ }^{2}$
$0-10$ 5 5 $- 2$ 4 $- 10$ 20
$10-20$ 8 15 $- 1$ 1 $- 8$ 8
$20-30$ 15 25 0 0 0 0
$30-40$ 16 35 1 1 16 16
$40-50$ 6 45 2 4 12 24
50 10 68

$\overline{x}=A+\dfrac{\sum _{i=1}^{5} f_i y_i}{N} \times h=25+\dfrac{10}{50} \times 10=25+2=27$ $Variance(\sigma^{2})=\dfrac{h^{2}}{N^{2}}[N \sum _{i=1}^{5} f_i y_i{ }^{2}-(\sum _{i=1}^{5} f_i y_i)^{2}]$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{(10)^{2}}{(50)^{2}}[50 \times 68-(10)^{2}] \\ & =\dfrac{1}{25}[3400-100]=\dfrac{3300}{25} \\ & =132 \end{aligned} $

9. Find the mean, variance and standard deviation using short-cut method

Height
in cms
$70-75$ $75-80$ $80-85$ $85-90$ $90-95$ $95-100$ $100-105$ $105-110$ $110-115$
No. of
children
3 4 7 7 15 9 6 6 3
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Answer :

Class $x_i$ $f_i$ $d_4=\frac{\left(x_i-a\right)}{h}$ $d_i^2$ $f_i d_i$ $f_i d_i^2$
$70-75$ 72.5 3 -4 16 -12 48
$75-80$ 77.5 4 -3 9 -12 36
$30-85$ 82.5 7 -2 4 -14 28
$85-90$ 87.5 7 -1 1 -7 7
$90-95$ 92.5 15 0 0 0 0
$95-100$ 97.5 9 1 1 9 9
$100-105$ 102.5 6 2 4 12 24
$100-110$ 107.5 6 3 9 18 54
$110-115$ 112.5 3 4 16 12 48
60 6 254

$\begin{aligned} & \therefore \text { Mean }=a+\left(\frac{\sum f_i . d_i}{N}\right) \times h \\ & =92 \cdot 5+\left(\frac{6}{60}\right) \times 5 \\ & =92 \cdot 5+0 \cdot 5=93 \\ & \text { Variance }=h^2\left[\frac{1}{N} \sum f_i . d_i^2-\left(\frac{\sum f_i . d_i}{N}\right)^2\right] \\ & =(5)^2\left[\frac{254}{60}-\left(\frac{6}{60}\right)^2\right] \\ & =25\left[\frac{127}{30}-\frac{1}{100}\right]=105-58 \\ & \text { S.D. }=\sqrt{\text { Variance }} \\ & =\sqrt{105-58}=10.27\end{aligned}$

10. The diameters of circles (in $mm$ ) drawn in a design are given below:

Diameters $33-36$ $37-40$ $41-44$ $45-48$ $49-52$
No. of circles 15 17 21 22 25

Calculate the standard deviation and mean diameter of the circles.

[ Hint First make the data continuous by making the classes as 32.5-36.5, 36.5-40.5, $40.5-44.5,44.5$ - 48.5, 48.5 - 52.5 and then proceed.]

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Answer :

Class Interval Frequency $\boldsymbol{{}f}_i$ Mid-point $\boldsymbol{{}x}_i$ $y_i=\dfrac{x_i-42.5}{4}$ $\boldsymbol{{}f}_i$ $\boldsymbol{{}f} _{y_i}$ $\boldsymbol{{}f} _{y_i}$
$32.5-36.5$ 15 34.5 $- 2$ 4 $ - 30$ 60
$36.5-40.5$ 17 38.5 $- 1$ 1 $- 17$ 17
$40.5-44.5$ 21 42.5 0 0 0 0
$44.5-48.5$ 22 46.5 1 1 22 22
$48.5-52.5$ 25 50.5 2 4 50 100
100 25 199

Here, $N=100, h=4$

Let the assumed mean, $A$, be 42.5 .

$ \bar{{}x}=A+\dfrac{\sum _{i=1}^{5} f_i y_i}{N} \times h=42.5+\dfrac{25}{100} \times 4=43.5 $

$Variance(\sigma^{2})=\dfrac{h^{2}}{N^{2}}[N \sum _{i=1}^{5} f_i y_i{ }^{2}-(\sum _{i=1}^{5} f_i y_i)^{2}]$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{16}{10000}[100 \times 199-(25)^{2}] \\ & =\dfrac{16}{10000}[19900-625] \\ & =\dfrac{16}{10000} \times 19275 \\ & =30.84 \end{aligned} $

$\therefore S \tan$ dard deviation $(\sigma)=5.55$

Miscellaneous Examples

Example 13 The variance of 20 observations is 5 . If each observation is multiplied by 2 , find the new variance of the resulting observations.

Solution Let the observations be $x_1, x_2, \ldots, x _{20}$ and $\bar{x}$ be their mean. Given that variance $=5$ and $n=20$. We know that

$ \begin{aligned} & \text{ Variance }(\sigma^{2})=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x})^{2}, \text{ i.e., } 5=\frac{1}{20} \sum\limits_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x})^{2} \\ & \text{or}\quad \quad \quad \quad \sum\limits_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x})^{2}=100 \end{aligned} $

If each observation is multiplied by 2 , and the new resulting observations are $y_i$, then

$ y_i=2 x_i \text{ i.e., } x_i=\frac{1}{2} y_i \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $

Therefore $ \quad \quad \quad \quad\bar{y}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{20} y_i=\frac{1}{20} \sum\limits_{i=1}^{20} 2 x_i=2 \cdot \frac{1}{20} \sum\limits_{i=1}^{20} x_i $

i.e. $\quad \quad \quad \quad\bar{y}=2 \bar{x}$ or $\bar{x}=\frac{1}{2} \bar{y}$

Substituting the values of $x_i$ and $\bar{x}$ in (1), we get

$ \sum\limits_{i=1}^{20}(\frac{1}{2} y_i-\frac{1}{2} \bar{y})^{2}=100 \text{, i.e., } \sum\limits_{i=1}^{20}(y_i-\bar{y})^{2}=400 $

Thus the variance of new observations $=\frac{1}{20} \times 400=20=2^{2} \times 5$

Note - The reader may note that if each observation is multiplied by a constant $k$, the variance of the resulting observations becomes $k^{2}$ times the original variance.

Example 14 The mean of 5 observations is 4.4 and their variance is 8.24 . If three of the observations are 1,2 and 6 , find the other two observations.

Solution Let the other two observations be $x$ and $y$.

Therefore, the series is $1,2,6, x, y$.

Now $ \quad \quad \quad \quad\text{Mean} \bar{x}=4.4=\frac{1+2+6+x+y}{5} $

or $ \quad \quad \quad \quad 22=9+x+y $

Therefore $\quad x+y=13\quad \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(1)$

Also $\quad$ variance $=8.24=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^{2}$

i.e. $8.24=\frac{1}{5}\left[(3.4)^{2}+(2.4)^{2}+(1.6)^{2}+x^{2}+y^{2}-2 \times 4.4(x+y)+2 \times(4.4)^{2}\right]$

or $41.20=11.56+5.76+2.56+x^{2}+y^{2}-8.8 \times 13+38.72$

Therefore $\quad x^{2}+y^{2}=97\quad \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(2)$

But from (1), we have

$ x^{2}+y^{2}+2 x y=169 \quad \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(3) $

From (2) and (3), we have

$ 2 x y=72 \quad \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(4) $

Subtracting (4) from (2), we get

$ \begin{aligned} & x^{2}+y^{2}-2 x y=97-72 \quad \text{ i.e. } \quad (x-y)^{2}=25 \\ & \text{or} \quad \quad \quad x-y= \pm 5 \quad \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(5) \end{aligned} $

So, from (1) and (5), we get

$ x=9, y=4 \text{ when } x-y=5 $ or $\quad x=4, y=9$ when $x-y=-5$

Thus, the remaining observations are 4 and 9 .

Example 15 If each of the observation $x_1, x_2, \ldots, x_n$ is increased by ’ $a$ ‘, where $a$ is a negative or positive number, show that the variance remains unchanged.

Solution Let $\bar{x}$ be the mean of $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Then the variance is given by

$ \sigma_1^{2}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2} $

If ’ $a$ is added to each observation, the new observations will be

$ \begin{equation*} y _{i}=x _{i}+a \tag{1} \end{equation*} $

Let the mean of the new observations be $\bar{y}$. Then

$ \begin{aligned} \bar{y} & =\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} y_i=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}(x_i+a) \\ & =\frac{1}{n}[\sum\limits_{i=1}^{n} x_i+\sum\limits_{i=1}^{n} a]=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i+\frac{n a}{n}=\bar{x}+a \end{aligned} $

i.e. $ \quad \quad \quad \bar{y}=\bar{x}+a \quad \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(1) $

Thus, the variance of the new observations

$ \begin{aligned} \sigma_2^{2} & =\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^{2}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}(x_i+a-\bar{x}-a)^{2} \quad \text{ [Using (1) and (2)] } \\ & =\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=\sigma_1^{2} \end{aligned} $

Thus, the variance of the new observations is same as that of the original observations.

Note - We may note that adding (or subtracting) a positive number to (or from) each observation of a group does not affect the variance.

Example 16 The mean and standard deviation of 100 observations were calculated as 40 and 5.1, respectively by a student who took by mistake 50 instead of 40 for one observation. What are the correct mean and standard deviation?

Solution Given that number of observations $(n)=100$

Incorrect mean $(\bar{x})=40$,

Incorrect standard deviation $(\sigma)=5.1$

We know that $\bar{x}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i$

i.e. $ \quad \quad \quad 40=\frac{1}{100} \sum\limits_{i=1}^{100} x_i \quad \text{ or } \quad \sum\limits_{i=1}^{100} x_i=4000 $

i.e. $\quad$ Incorrect sum of observations $=4000$

Thus $\quad \quad \quad$ the correct sum of observations $=$ Incorrect sum $-50+40$

$ =4000-50+40=3990 $

Hence $\quad$ Correct mean $=\frac{\text{ correct sum }}{100}=\frac{3990}{100}=39.9$

Also $\quad$ Standard deviation $\sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^{2}-\frac{1}{n^{2}}(\sum\limits_{i=1}^{n} x_i)^{2}}$

$ =\sqrt{\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^{2}-(\bar{x})^{2}} $

i.e. $ \quad \quad \quad\quad \quad \quad 5.1=\sqrt{\frac{1}{100} \times Incorrect \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^{2}-(40)^{2}}$

or $ \quad \quad \quad\quad \quad \quad 26.01=\frac{1}{100} \times \text{ Incorrect } \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^{2}-1600 $

Therefore $\quad$ Incorrect $\sum\limits_{i=1}^{n} x_i{ }^{2}=100(26.01+1600)=162601$

Now $\quad \quad \quad\quad \quad \quad$ Correct $\sum\limits_{i=1}^{n} x_i^{2}=$ Incorrect $\sum\limits_{i=1}^{n} x_i{ }^{2}-(50)^{2}+(40)^{2}$

$ =162601-2500+1600=161701 $

Therefore Correct standard deviation

$ \begin{aligned} & =\sqrt{\frac{\text{ Correct } \sum x_i^{2}}{n}-(\text{ Correct mean })^{2}} \\ & =\sqrt{\frac{161701}{100}-(39.9)^{2}} \\ & =\sqrt{1617.01-1592.01}=\sqrt{25}=5 \\ \end{aligned} $

Miscellaneous Exercise On Chapter 13

1. The mean and variance of eight observations are 9 and 9.25 , respectively. If six of the observations are $6,7,10,12,12$ and 13 , find the remaining two observations.

Show Answer

Answer :

Let the remaining two observations be $x$ and $y$.

Therefore, the observations are $6,7,10,12,12,13, x, y$.

Mean, $\bar{{}x}=\dfrac{6+7+10+12+12+13+x+y}{8}=9$

$\Rightarrow 60+x+y=72$

$\Rightarrow x+y=12$

Variance $=9.25=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{8}(x_i-\bar{{}x})^{2}$

$9.25=\dfrac{1}{8}[(-3)^{2}+(-2)^{2}+(1)^{2}+(3)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}+x^{2}+y^{2}-2 \times 9(x+y)+2 \times(9)^{2}]$

$9.25=\dfrac{1}{8}[9+4+1+9+9+16+x^{2}+y^{2}-18(12)+162]$

[Using (1)]

$9.25=\dfrac{1}{8}[48+x^{2}+y^{2}-216+162]$

$9.25=\dfrac{1}{8}[x^{2}+y^{2}-6]$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}=80$

From (1), we obtain

$x^{2}+y^{2}+2 x y=144 -(3)$

From (2) and (3), we obtain

$2 x y=64-(4)$

Subtracting (4) from (2), we obtain

$x^{2}+y^{2} - 2 x y=80-64=16$

$\Rightarrow x- y=-(5)$

Therefore, from (1) and (5), we obtain

$x=8$ and $y=4$, when $x$ - $y=4$

$x=4$ and $y=8$, when $x$ - $y=a- 4$

Thus, the remaining observations are 4 and 8 .

2. The mean and variance of 7 observations are 8 and 16 , respectively. If five of the observations are 2, 4, 10, 12, 14. Find the remaining two observations.

Show Answer

Answer :

Let the remaining two observations be $x$ and $y$.

The observations are 2, 4, 10, 12, 14, $x, y$.

Mean, $\bar{{}x}=\dfrac{2+4+10+12+14+x+y}{7}=8$

$\Rightarrow 56=42+x+y$

$\Rightarrow x+y=14$

Variance $=16=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{7}(x_i-\bar{{}x})^{2}$

$16=\dfrac{1}{7}[(-6)^{2}+(-4)^{2}+(2)^{2}+(4)^{2}+(6)^{2}+x^{2}+y^{2}-2 \times 8(x+y)+2 \times(8)^{2}]$

$16=\dfrac{1}{7}[36+16+4+16+36+x^{2}+y^{2}-16(14)+2(64)]$

…[Using (1)]

$16=\dfrac{1}{7}[108+x^{2}+y^{2}-224+128]$

$16=\dfrac{1}{7}[12+x^{2}+y^{2}]$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}=112-12=100$

$x^{2}+y^{2}=100$

From (1), we obtain

$x^{2}+y^{2}+2 x y=196 -(3)$

From (2) and (3), we obtain

$2 x y=196$ - 100

$\Rightarrow 2 x y=96 - (4)$

Subtracting (4) from (2), we obtain

$x^{2}+y^{2} - 2 x y=100$ - 96

$\Rightarrow(x - y)^{2}=4$

$\Rightarrow x - y=- (5)$

Therefore, from (1) and (5), we obtain

$x=8$ and $y=6$ when $x- y=2$

$x=6$ and $y=8$ when $x- y=- {2}$

Thus, the remaining observations are 6 and 8 .

3. The mean and standard deviation of six observations are 8 and 4 , respectively. If each observation is multiplied by 3 , find the new mean and new standard deviation of the resulting observations.

Show Answer

Answer :

Let the observations be $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, and $x_6$.

It is given that mean is 8 and standard deviation is 4 .

Mean, $\bar{{}x}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6}=8$

If each observation is multiplied by 3 and the resulting observations are $y_i$, then

$y_i=3 x _{\text{, i.e. }} x_i=\dfrac{1}{3} y_i$, for $i=1$ to 6

$\therefore$ New mean, $\bar{{}y}=\dfrac{y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6}{6}$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{3(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6)}{6} \\ & =3 \times 8 \\ & =24 \end{aligned} $$

Standard deviation, $\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{6}(x_i-\bar{{}x})^{2}}$

$$ \begin{align*} \therefore & (4)^{2}=\dfrac{1}{6} \sum _{j=1}^{6}(x_j-\bar{{}x})^{2} \\ & \sum _{i=1}^{6}(x_i-\bar{{}x})^{2}=96 \tag{2} \end{align*} $$

From (1) and (2), it can be observed that,

$$ \begin{aligned} & \bar{{}y}=3 \bar{{}x} \\ & \bar{{}x}=\dfrac{1}{3} \bar{{}y} \end{aligned} $$

Substituting the values of $x_i$ and $\bar{x}^{-}$in (2), we obtain

$$ \begin{aligned} & \sum _{i=1}^{6}(\dfrac{1}{3} y_i-\dfrac{1}{3} \bar{{}y})^{2}=96 \\ & \Rightarrow \sum _{i=1}^{6}(y_i-\bar{{}y})^{2}=864 \end{aligned} $$

Therefore, variance of new observations $=(\dfrac{1}{6} \times 864)=144$

Hence, the standard deviation of new observations is $\sqrt{144}=12$

4. Given that $\bar{x}$ is the mean and $\sigma^{2}$ is the variance of $n$ observations $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Prove that the mean and variance of the observations $a x_1, a x_2, a x_3, \ldots ., a x_n$ are $a \bar{x}$ and $a^{2} \sigma^{2}$, respectively, $(a \neq 0)$.

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Answer :

The given $n$ observations are $x_1, x_2 - x_n$.

Mean $=\bar{{}x}$

Variance $= σ^{2}$

$\therefore \sigma^{2}=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} y_i(x_i-\bar{{}x})^{2}$

If each observation is multiplied by $a$ and the new observations are $y_i$, then

$ \begin{aligned} & y_i=a x_i \text{ i.e., } x_i=\dfrac{1}{a} y_i \\ & \therefore \bar{{}y}=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} y_j=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} a x_i=\dfrac{a}{n} \sum _{i=1}^{n} x_i=a \bar{{}x} \quad(\bar{{}x}=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} x_i) \end{aligned} $

Therefore, mean of the observations, $a x_1, a x_2 … a x_n$, is $a \bar{{}x}$.

Substituting the values of $x$ and $\bar{{}x}$ in (1), we obtain

$ \begin{aligned} & \sigma^{2}=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}(\dfrac{1}{a} y_i-\dfrac{1}{a} \bar{{}y})^{2} \\ & \Rightarrow a^{2} \sigma^{2}=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}(y_i-\bar{{}y})^{2} \end{aligned} $

Thus, the variance of the observations, $a x_1, a x_2 … ax_n$, is $a^{2} σ^{2}$.

5. The mean and standard deviation of 20 observations are found to be 10 and 2 , respectively. On rechecking, it was found that an observation 8 was incorrect. Calculate the correct mean and standard deviation in each of the following cases:

(i) If wrong item is omitted.

(ii) If it is replaced by 12 .

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Answer :

(i) Number of observations $(n)=20$

Incorrect mean $=10$

Incorrect standard deviation $=2$

$\bar{{}x}=\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{20} x_i$

$10=\dfrac{1}{20} \sum _{i=1}^{20} x_i$

$\Rightarrow \sum _{i=1}^{20} x_i=200$

That is, incorrect sum of observations $=200$

Correct sum of observations $=200$ - 8 = 192

$\therefore$ Correct mean $=\dfrac{\text{ Correct sum }}{19}=\dfrac{192}{19}=10.1$

Standard deviation $\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} x_i^{2}-\dfrac{1}{n^{2}}(\sum _{i=1}^{n} x_i)^{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} x_i^{2}-(\bar{{}x})^{2}}$

$\Rightarrow 2=\sqrt{\dfrac{1}{20} \text{ Incorrect } \sum _{i=1}^{n} x_i^{2}-(10)^{2}}$

$\Rightarrow 4=\dfrac{1}{20} Incorrect \sum _{i=1}^{n} x_i^{2}-100$

$\Rightarrow$ Incorrect $\sum _{i=1}^{n} x_i^{2}=2080$

$\therefore$ Correct $\sum _{j=1}^{n} x_i^{2}=Incorrect \sum _{i=1}^{n} x_i^{2}-(8)^{2}$

$ =2080-64 $

$ =2016 $

$\therefore$ Correct standard deviation $=\sqrt{\dfrac{\text{ Correct } \sum x_i^{2}}{n}-(\text{ Correct mean })^{2}}$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{\dfrac{2016}{19}-(10.1)^{2}} \\ & =\sqrt{106.1-102.01} \\ & =\sqrt{4.09} \\ & =2.02 \end{aligned} $

(ii) When 8 is replaced by 12 ,

Incorrect sum of observations $=200$

$\therefore$ Correct sum of observations $=200$ - $8+12=204$ $\therefore$ Correct mean $=\dfrac{\text{ Correct sum }}{20}=\dfrac{204}{20}=10.2$

Standard deviation $\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} x_i{ }^{2}-\dfrac{1}{n^{2}}(\sum _{i=1}^{n} x_i)^{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} x_i{ }^{2}-(\bar{{}x})^{2}}$

$\Rightarrow 2=\sqrt{\dfrac{1}{20} \text{ Incorrect } \sum _{i=1}^{n} x_i^{2}-(10)^{2}}$

$\Rightarrow 4=\dfrac{1}{20}$ Incorrect $\sum _{i=1}^{n} x_i^{2}-100$

$\Rightarrow$ Incorrect $\sum _{i=1}^{n} x_i^{2}=2080$

$\therefore$ Correct $\sum _{i=1}^{n} x_i^{2}=$ Incorrect $\sum _{i=1}^{n} x_i^{2}-(8)^{2}+(12)^{2}$

$ \begin{aligned} & =2080-64+144 \\ & =2160 \end{aligned} $

$\therefore$ Correct standard deviation $=\sqrt{\dfrac{\text{ Correct } \sum x_i{ }^{2}}{n}-(\text{ Correct mean })^{2}}$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{\dfrac{2160}{20}-(10.2)^{2}} \\ & =\sqrt{108-104.04} \\ & =\sqrt{3.96} \\ & =1.98 \end{aligned} $

6. The mean and standard deviation of a group of 100 observations were found to be 20 and 3, respectively. Later on it was found that three observations were incorrect, which were recorded as 21,21 and 18. Find the mean and standard deviation if the incorrect observations are omitted.

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Answer :

Number of observations $(n)=100$

Incorrect mean $(\bar{{}x})=20$

Incorrect standard deviation $(\sigma)=3$

$\Rightarrow 20=\dfrac{1}{100} \sum _{i=1}^{100} x_i$

$\Rightarrow \sum _{i=1}^{100} x_i=20 \times 100=2000$

$\therefore$ Incorrect sum of observations $=2000$

$\Rightarrow$ Correct sum of observations $=2000$ - 21 - 21 - $18=2000$ - $60=1940$ $\therefore$ Correct mean $=\dfrac{\text{ Correct sum }}{100-3}=\dfrac{1940}{97}=20$

Standard deviation $(\sigma)=\sqrt{\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} x_i-\dfrac{1}{n^{2}}(\sum _{i=1}^{n} x_i)^{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} x_i^{2}-(\bar{{}x})^{2}}$

$\Rightarrow 3=\sqrt{\dfrac{1}{100} \times \text{ Incorrect } \sum x_i^{2}-(20)^{2}}$

$\Rightarrow$ Incorrect $\sum x_i^{2}=100(9+400)=40900$

Correct $\sum _{i=1}^{n} x_i^{2}=Incorrect \sum _{i=1}^{n} x_i^{2}-(21)^{2}-(21)^{2}-(18)^{2}$

$ =40900-441-441-324 $

$ =39694 $

$\therefore$ Correct standard deviation $=\sqrt{\dfrac{\text{ Correct } \sum x_j^{2}}{n}-(\text{ Correct mean })^{2}}$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{\dfrac{39694}{97}-(20)^{2}} \\ & =\sqrt{409.216-400} \\ & =\sqrt{9.216} \\ & =3.036 \end{aligned} $

Summary

Measures of dispersion Range, Quartile deviation, mean deviation, variance, standard deviation are measures of dispersion.

Range $=$ Maximum Value - Minimum Value

Mean deviation for ungrouped data

M.D. $(\bar{x})=\frac{\sum|x_i-\bar{x}|}{n}, \quad$ M.D. $(M)=\frac{\sum|x_i-M|}{n}$

Mean deviation for grouped data

M.D. $(\bar{x})=\frac{\sum f_i|x_i \quad \bar{x}|}{N}, \quad$ M.D. (M) $=\frac{\sum f_i \mid x_i}{N}$ M , where $N=\sum f_i$

Variance and standard deviation for ungrouped data

$\sigma^{2}=\frac{1}{n} \sum(x_i-\bar{x})^{2}, \quad \sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \sum(x_i-\bar{x})^{2}}$

Variance and standard deviation of a discrete frequency distribution

$ \sigma^{2}=\frac{1}{N} \sum f_i(x_i-\bar{x})^{2}, \quad \sigma=\sqrt{\frac{1}{N} \sum f_i(x_i-\bar{x})^{2}} $

Variance and standard deviation of a continuous frequency distribution

$ \sigma^{2}=\frac{1}{N} \sum f_i(x_i-\bar{x})^{2}, \quad \sigma=\frac{1}{N} \sqrt{N \sum f_i x_i^{2}-(\sum f_i x_i)^{2}} $

Shortcut method to find variance and standard deviation.

$ \begin{aligned} & \sigma^{2}=\frac{h^{2}}{N^{2}}[N \sum f_i y_i^{2}-(\sum f_i y_i)^{2}], \sigma=\frac{h}{N} \sqrt{N \sum f_i y_i^{2}-(\sum f_i y_i)^{2}}, \\ \\ & \text{ where } y_i=\frac{x_i-A}{h} \end{aligned} $

Historical Note

‘Statistics’ is derived from the Latin word ‘status’ which means a political state. This suggests that statistics is as old as human civilisation. In the year 3050 B.C., perhaps the first census was held in Egypt. In India also, about 2000 years ago, we had an efficient system of collecting administrative statistics, particularly, during the regime of Chandra Gupta Maurya (324-300 B.C.). The system of collecting data related to births and deaths is mentioned in Kautilya’s Arthshastra (around 300 B.C.) A detailed account of administrative surveys conducted during Akbar’s regime is given in Ain-I-Akbari written by Abul Fazl.

Captain John Graunt of London (1620-1674) is known as father of vital statistics due to his studies on statistics of births and deaths. Jacob Bernoulli (1654-1705) stated the Law of Large numbers in his book “Ars Conjectandi’, published in 1713.

The theoretical development of statistics came during the mid seventeenth century and continued after that with the introduction of theory of games and chance (i.e., probability). Francis Galton (1822-1921), an Englishman, pioneered the use of statistical methods, in the field of Biometry. Karl Pearson (1857-1936) contributed a lot to the development of statistical studies with his discovery of Chi square test and foundation of statistical laboratory in England (1911). Sir Ronald A. Fisher (1890-1962), known as the Father of modern statistics, applied it to various diversified fields such as Genetics, Biometry, Education, Agriculture, etc.

सांख्यिकी को औसत और उनके अनुमानों का विज्ञान कहा जा सकता है – ए.एल.बॉली और ए.एल. बोडिंगटन

13.1 भूमिका (Introduction)

हम जानते हैं कि सांख्यिकी का सरोकार किसी विशेष उद्देश्य के लिए एकत्रित आँकड़ों से होता है। हम आँकड़ों का विश्लेषण एवं व्याख्या कर उनके बारे में निर्णय लेते हैं। हमने पिछली कक्षाओं में आँकड़ों को आलेखिक एवं सारणीबद्ध रूप में व्यक्त करने की विधियों का अध्ययन किया है। यह निरूपण आँकड़ों के महत्वपूर्ण गुणों एवं विशेषताओं को दर्शाता है। हमने दिए गए आँकड़ों का एक प्रतिनिधिक मान ज्ञात करने की विधियों के बारे में भी अध्ययन किया है। इस मूल्य को केंद्रीय प्रवृत्ति की माप कहते हैं। स्मरण कीजिए कि माध्य (समांतर माध्य), माध्यिका और बहुलक केंद्रीय प्रवृत्ति की तीन माप हैं। केंद्रीय प्रवृत्ति के माप हमें इस बात का आभास दिलाते

Karl Pearson (1857-1936 A.D.)

हैं कि आँकड़े किस स्थान पर केंद्रित हैं किंतु आँकड़ों के समुचित अर्थ विवेचन के लिए हमें यह भी पता होना चाहिए कि आँकड़ों में कितना बिखराव है या वे केंद्रीय प्रवृत्ति की माप के चारों ओर किस प्रकार एकत्रित हैं।

दो बल्लेबाजों द्वारा पिछले दस मैचों में बनाए गए रनों पर विचार करें:

बल्लेबाज $\mathrm{A}: 30,91,0,64,42,80,30,5,117,71$

बल्लेबाज $\mathrm{B}: 53,46,48,50,53,53,58,60,57,52$

स्पष्टतया आँकड़ों का माध्य व माध्यिका निम्नलिखित हैं:

बल्लेबाज A बल्लेबाज B
Mean 53 53
Median 53 53

स्मरण कीजिए कि हम प्रेक्षणों का माध्य ( $\bar{x}$ द्वारा निरूपित) उनके योग को उनकी संख्या से भाग देकर ज्ञात करते हैं, अर्थात्

$ \bar{x}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i $

माध्यिका की गणना के लिए आँकड़ों को पहले आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है और फिर निम्नलिखित नियम लगाया जाता है:

यदि प्रेक्षणों की संख्या विषम है तो माध्यिका $\left(\frac{n+1}{2}\right)$ वाँ प्रेक्षण होती है।

यदि प्रेक्षणों की संख्या सम है तो माध्यिका $\left(\frac{n}{2}\right)$ वें और $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ वें प्रेक्षणों का माध्य होती है।

हम पाते हैं कि दोनों बल्लेबाजों $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{B}$ द्वारा बनाए गए रनों का माध्य व माध्यिका बराबर है अर्थात् 53 है। क्या हम कह सकते हैं कि दोनों बल्लेबाजों का प्रदर्शन समान है? स्पष्टता नहीं। क्योंकि $\mathrm{A}$ के रनों में परिवर्तनशीलता 0 (न्यूनतम) से 117 (अधिकतम) तक है। जबकि $\mathrm{B}$ के रनों का विस्तार 46 (न्यूनतम) से 60 (अधिकतम) तक है।

आइए अब उपर्युक्त स्कोरों को एक संख्या रेखा पर अंकित करें। हमें नीचे दर्शाई गई आकृतियाँ प्राप्त होती हैं (आकृति 13.1 और 13.2 )।

बल्लेबाज $A$ के लिए

आकृति 13.1

बल्लेबाज $\mathrm{B}$ के लिए

आकृति 13.2

हम देख सकते हैं कि बल्लेबाज $\mathrm{B}$ के संगत बिंदु एक दूसरे के पास-पास हैं और केंद्रीय प्रवृत्ति की माप (माध्य व माध्यिका) के इर्द गिर्द गुच्छित हैं जबकि बल्लेबाज $\mathrm{A}$ के संगत बिंदुओं में अधिक बिखराव है या वे अधिक फैले हुए हैं।

अतः दिए गए आँकड़ों के बारे में संपूर्ण सूचना देने के लिए केंद्रीय प्रवृत्ति की माप पर्याप्त नहीं हैं। परिवर्तनशीलता एक अन्य घटक है जिसका अध्ययन सांख्यिकी के अंतर्गत किया जाना चाहिए। केंद्रीय प्रवृत्ति की माप की तरह ही हमें परिवर्तनशीलता के वर्णन के लिए एकल संख्या चाहिए। इस संख्या को ‘प्रकीर्णन की माप (Measure of dispersion)’ कहा जाता है। इस अध्याय में हम प्रकीर्णन की माप के महत्व व उनकी वर्गीकृत एवं अवर्गीकृत आँकड़ों के लिए गणना की विधियों के बारे में पढ़ेंगे।

13.2 प्रकीर्णन की माप (Measures of dispersion)

आँकड़ों में प्रकीर्णन या विक्षेपण का माप प्रेक्षणों व वहाँ प्रयुक्त केंद्रीय प्रवृत्ति की माप के आधार पर किया जाता है। प्रकीर्णन के निम्नलिखित माप हैं:

(i) परिसर (Range) (ii) चतुर्थक विचलन (Quartile deviation) (iii) माध्य विचलन (Mean deviation) (iv) मानक विचलन (Standard deviation).

इस अध्याय में हम, चतुर्थक विचलन के अतिरिक्त अन्य सभी मापों का अध्ययन करेंगे।

13.3 परिसर (Range)

स्मरण कीजिए कि दो बल्लेबाजों $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{B}$ द्वारा बनाए गए रनों के उदाहरण में हमने स्कोरों में बिखराव, प्रत्येक श्रृंखला के अधिकतम एवं न्यूनतम रनों के आधार पर विचार किया था। इसमें एकल संख्या ज्ञात करने के लिए हम प्रत्येक शृंखला के अधिकतम व न्यूनतम मूल्यों में अंतर प्राप्त करते हैं। इस अंतर को परिसर कहा जाता है।

बल्लेबाज $\mathrm{A}$ के लिए परिसर $=117-0=117$ और बल्लेबाज $\mathrm{B}$, के लिए परिसर $=60-46=14$ स्पष्टतया परिसर $\mathrm{A}>$ परिसर $\mathrm{B}$, इसलिए $\mathrm{A}$ के स्कोरों में प्रकीर्णन या बिखराव अधिक है जबकि $\mathrm{B}$ के स्कोर एक दूसरे के अधिक पास हैं।

अतः एक शृंखला का परिसर = अधिकतम मान न्यूनतम मान

आँकड़ों का परिसर हमें बिखराव या प्रकीर्णन का मोटा-मोटा (rough) ज्ञान देता है, किंतु केंद्रीय प्रवृत्ति की माप, विचरण के बारे में कुछ नहीं बताता है। इस उद्देश्य के लिए हमें प्रकीर्णन के अन्य माप की आवश्यकता है। स्पष्टतया इस प्रकार की माप प्रेक्षणों की केंद्रीय प्रवृत्ति से अंतर (या विचलन) पर आधारित होनी चाहिए।

केंद्रीय प्रवृत्ति से प्रेक्षणों के अंतर के आधार पर ज्ञात की जाने वाली प्रकीर्णन की महत्वपूर्ण माप माध्य विचलन व मानक विचलन हैं। आइए इन पर विस्तार से चर्चा करें।

13.4 माध्य विचलन (Mean deviation)

याद कीजिए कि प्रेक्षण $x$ का स्थिर मान $a$ से अंतर $(x-a)$ प्रेक्षण $x$ का $a$ से विचलन कहलाता है। प्रेक्षण $x$ का केंद्रीय मूल्य ’ $a$ ’ से प्रकीर्णन ज्ञात करने के लिए हम $a$ से विचलन प्राप्त करते हैं। इन विचलनों का माध्य प्रकीर्णन की निरपेक्ष माप होता है। माध्य ज्ञात करने के लिए हमें विचलनों का योग प्राप्त करना चाहिए, किंतु हम जानते हैं कि केंद्रीय प्रवृत्ति की माप प्रेक्षणों के समुच्चय की अधिकतम तथा न्यूनतम मूल्यों के मध्य स्थित होता है। इसलिए कुछ विचलन ऋणात्मक तथा कुछ धनात्मक होंगे। अतः विचलनों का योग शून्य हो सकता है। इसके अतिरिक्त माध्य $\bar{x}$ से विचलनों का योग शून्य होता है।

साथ ही $\quad \quad \quad $ विचलनों का माध्य $=\frac{\text{ विचलनों का योग }}{\text{ प्रेक्षणों की संख्या }}=\frac{0}{n}=0$

अतः माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करने का कोई औचित्य नहीं है।

स्मरण कीजिए कि प्रकीर्णन की उपर्युक्त माप ज्ञात करने के लिए हमें प्रत्येक मान की केंद्रीय प्रवृत्ति की माप या किसी स्थिर संख्या ’ $a$ ’ से दूरी ज्ञात करनी होती है। याद कीजिए कि किन्हीं दो संख्याओं के अंतर का निरपेक्ष मान उन संख्याओं द्वारा संख्या रेखा पर व्यक्त बिंदुओं के बीच की दूरी को दर्शाता है। अतः स्थिर संख्या ’ $a$ ’ से विचलनों के निरपेक्ष मानों का माध्य ज्ञात करते हैं। इस माध्य को ‘माध्य विचलन’ कहते हैं। अतः केंद्रीय प्रवृत्ति ’ $a$ ’ के सापेक्ष माध्य विचलन प्रेक्षणों का ’ $a$ ’ से विचलनों के निरपेक्ष मानों का माध्य होता है। ’ $a$ ’ के सापेक्ष माध्य विचलन को M.D. (a) द्वारा प्रकट किया जाता है।

$ \text { M.D. }(a)=\frac{{ }^{\prime} a \text { ’ से विचलनों के निरपेक्ष मान का योग }}{\text { प्रेक्षणों की संख्या }} $

टिप्पणी माध्य विचलन केंद्रीय प्रवृत्ति की किसी भी माप से ज्ञात किया जा सकता है। किंतु सांख्यिकीय अध्ययन में सामान्यतः माध्य और माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन का उपयोग किया जाता है।

13.4.1 अवर्गीकृत आँकडों के लिए माध्य विचलन (Mean deviation for ungrouped

data) मान लीजिए कि $n$ प्रेक्षणों के आँकड़े $x _{1}, x _{2}, x _{3}, \ldots, x _{n}$ दिए गए हैं। माध्य या माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना में निम्नलिखित चरण प्रयुक्त होते हैं:

चरण-1 उस केंद्रीय प्रवृत्ति की माप को ज्ञात कीजिए जिससे हमें माध्य विचलन प्राप्त करना है। मान लीजिए यह ’ $a$ ’ है।

चरण-2 प्रत्येक प्रेक्षण $x _{i}$ का $a$ से विचलन अर्थात् $x _{1}-a, x _{2}-a, x _{3}-a, \ldots, x _{n}-a$ ज्ञात करें।

चरण-3 विचलनों का निरपेक्ष मान ज्ञात करें अर्थात् यदि विचलनों में ऋण चिह्न लगा है तो उसे हटा $ \text { दें अर्थात् }\left|x _{1}-a\right|,\left|x _{2}-a\right|,\left|x _{3}-a\right|, \ldots,\left|x _{n}-a\right| \text { ज्ञात करें। } $

चरण-4 विचलनों के निरपेक्ष मानों का माध्य ज्ञात करें। यही माध्य ’ $a$ ’ के सापेक्ष माध्य विचलन है।

$ \text{ M.D. }(a)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-a|}{n} $

अर्थात् $\quad\quad\quad$ M.D. $(\bar{x})=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-\bar{x}|$,जहाँ $\bar{x}=$ माध्य

तथा $\quad\quad\quad$ $ \text { M.D. }(\mathrm{M})=\frac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}\left|x _{i}-\mathrm{M}\right| \text {, जहाँ } \mathrm{M}=\text { माध्यिका } $

टिप्पणी इस अध्याय में माध्यिका को चिह्न $M$ द्वारा निरूपित किया गया है जब तक कि अन्यथा नहीं कहा गया हो। आइए अब उपर्युक्त चरणों को समझने के लिए निम्नलिखित उदाहरण लें:

उदाहरण-1 निम्नलिखित आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:

$ 6,7,10,12,13,4,8,12 $

हल हम क्रमबद्ध आगे बढ़ते हुए निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

चरण 1 दिए गए आँकड़ों का माध्य

$ \bar{x}=\frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}=\frac{72}{8}=9 \text { है। } $

चरण 2 प्रेक्षणों के माध्य $\bar{x}$ से क्रमशः विचलन $x _{\mathrm{i}}-\bar{x}$ अर्थात्

$\quad\quad\quad\quad 6-9,7-9,10-9,12-9,13-9,4-9,8-9,12-9$ हैं।

या $ \quad\quad\quad\quad -3,-2,1,3,4,-5,-1,3 \text { हैं। } $

चरण 3 विचलनों के निरपेक्ष मान $\left|x _{i}-\bar{x}\right|$

$ 3,2,1,3,4,5,1,3 \text { हैं। } $

चरण 4 माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन निम्नलिखित है:

$ \begin{aligned} \text { M.D. }(\bar{x}) & =\frac{\sum _{i=1}^{8}\left|x _{i}-\bar{x}\right|}{8} \\ & =\frac{3+2+1+3+4+5+1+3}{8}=\frac{22}{8}=2.75 \end{aligned} $

टिप्पणी प्रत्येक बार चरणों को लिखने के स्थान पर हम, चरणों का वर्णन किए बिना ही क्रमानुसार परिकलन कर सकते हैं।

उदाहरण 2 निम्नलिखित आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:

$ 12,3,18,17,4,9,17,19,20,15,8,17,2,3,16,11,3,1,0,5 $

हल हमें दिए गए आँकड़ों का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करना होगा।

$ \bar{x}=\frac{1}{20} \sum _{i=1}^{20} x _{i}=\frac{200}{20}=10 $

माध्य से विचलनों के निरपेक्ष मान अर्थात् $\left|x _{i}-\bar{x}\right|$ इस प्रकार हैं:

$ 2,7,8,7,6,1,7,9,10,5,2,7,8,7,6,1,7,9,10,5 $

इसलिए $\quad \sum _{i=1}^{20}\left|x _{i}-\bar{x}\right|=124$

और $ \quad\quad\quad\quad\text { M.D. }(\bar{x})=\frac{124}{20}=6.2 $

उदाहरण 3 निम्नलिखित आँकड़ों से माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:

$ 3,9,5,3,12,10,18,4,7,19,21 $

हल यहाँ प्रक्षेणों की संख्या 11 है जो विषम है। आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर हमें $3,3,4$, $5,7,9,10,12,18,19,21$ प्राप्त होता है।

अब

माध्यिका $=\left(\frac{11+1}{2}\right)$ वाँ या 6 वाँ प्रेक्षण $=9$ है।

विचलनों का क्रमशः निरपेक्ष मान $\left|x _{i}-\mathrm{M}\right|$ इस प्रकार से है। $ 6,6,5,4,2,0,1,3,9,10,12 $

इसलिए $\quad\quad\quad\quad\quad \sum _{i=1}^{11}\left|x _{i}-\mathrm{M}\right|=58$

तथा $ \quad\quad\quad\quad\text { M.D. }(\mathrm{M})=\frac{1}{11} \sum _{i=1}^{11}\left|x _{i}-\mathrm{M}\right|=\frac{1}{11} \times 58=5.27 $

13.4.2 वर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्य विचलन (Mean deviation for grouped data)

हम जानते हैं कि आँकड़ों को दो प्रकार से वर्गीकृत किया जाता है।

(a) असतत बारंबारता बंटन (Discrete frequency distribution)

(b) सतत बारंबारता बंटन (Continuous frequency distribution)

आइए इन दोनों प्रकार के आँकड़ों के लिए माध्य विचलन ज्ञात करने की विधियों पर चर्चा करें।

(a) असतत बारंबारता बंटन मान लीजिए कि दिए गए आँकड़ों में $n$ भिन्न प्रेक्षण $x _{1}, x _{2}, \ldots, x _{n}$ हैं जिनकी बारंबारताएँ क्रमशः $f _{1}, f _{2}, \ldots, f _{n}$ हैं। इन आँकड़ों को सारणीबद्ध रूप में निम्नलिखित प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है जिसे असतत बारंबारता बंटन कहते हैं:

$ \begin{matrix} x: x_1 & x_2 & x_3 \ldots x_n \\ f: f_1 & f_2 & f_3 \ldots f_n \end{matrix} $

(i) माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन

सर्वप्रथम हम दिए गए आँकड़ों का निम्नलिखित सूत्र द्वारा माध्य $\bar{x}$ ज्ञात करते हैं:

$ \bar{x}=\frac{\sum _{i=1}^{n} x _{i} f _{i}}{\sum _{i=1}^{n} f _{i}}=\frac{1}{\mathrm{~N}} \sum _{i=1}^{n} x _{i} f _{i} $

जहाँ $\sum _{i=1}^{n} x _{i} f _{i}$ प्रेक्षणों $x _{i}$ का उनकी क्रमशः बारंबारता $f _{i}$ से गुणनफलों का योग प्रकट करता है। तथा $\mathrm{N}=\sum _{i=1}^{n} f _{i}$ बारंबारताओं का योग है।

तब हम प्रेक्षणों $x _{i}$ का माध्य $\bar{x}$ से विचलन ज्ञात करते हैं और उनका निरपेक्ष मान लेते हैं अर्थात सभी $i=1,2, \ldots, n$ के लिए $\left|x _{i}-\bar{x}\right|$ ज्ञात करते हैं।

इसके पश्चात् विचलनों के निरपेक्ष मान का माध्य ज्ञात करते हैं, जोकि माध्य के सापेक्ष वांछित माध्य विचलन है। अत:

$\quad$ M.D. $(\bar{x})=\frac{\sum _{i=1}^{n} f _{i}\left|x _{i}-\bar{x}\right|}{\sum f _{i}}=\frac{1}{\mathrm{~N}} \sum _{i=1}^{n} f _{i}\left|x _{i}-\bar{x}\right|$

(ii) माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करने के लिए हम दिए गए असतत बारंबारता बंटन की माध्यिका ज्ञात करते हैं। इसके लिए प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं। इसके पश्चात् संचयी बांरबारताएँ ज्ञात की जाती हैं। तब उस प्रेक्षण का निर्धारण करते हैं जिसकी संचयी बांरबारता $\frac{\mathrm{N}}{2}$, के समान या इससे थोड़ी अधिक है। यहाँ बारंबारताओं का योग $\mathrm{N}$ से दर्शाया गया है। प्रेक्षणों का यह मान आँकड़ों के मध्य स्थित होता है इसलिए यह अपेक्षित माध्यिका है। माध्यिका ज्ञात करने के बाद हम माध्यिका से विचलनों के निरपेक्ष मानों का माध्य ज्ञात करते हैं। इस प्रकार

$ \text { M.D.(M) }=\frac{1}{\mathrm{~N}} \sum _{i=1}^{n} f _{i}\left|x _{i}-\mathrm{M}\right| $

उदाहरण 4 निम्नलिखित आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:

$x _{i}$ 2 5 6 8 10 12
$f _{i}$ 2 8 10 7 8 5

हल आइए दिए गए आँकड़ों की सारणी 13.1 बनाकर अन्य स्तंभ परिकलन के बाद लगाएँ

सारणी 13.1

$x _{i}$ $f _{i}$ $f _{i} x _{i}$ $\left|x _{i}-\bar{x}\right|$ $f _{\mathrm{i}}\left|x _{i}-\bar{x}\right|$
2 2 4 5.5 11
5 8 40 2.5 20
6 10 60 1.5 15
8 7 56 0.5 3.5
10 8 80 2.5 20
12 5 60 4.5 22.5
40 300 92

$ N=\sum\limits_{i=1}^{6} f_i=40, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i x_i=300, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=92 $

इसलिए $ \quad \quad \quad\bar{x}=\frac{1}{\mathrm{~N}} \sum _{i=1}^{6} f _{i} x _{i}=\frac{1}{40} \times 300=7.5 $

और $ \quad \quad \quad\text { M.D. }(\bar{x})=\frac{1}{\mathrm{~N}} \sum _{i=1}^{6} f _{i}\left|x _{i}-\bar{x}\right|=\frac{1}{40} \times 92=2.3 $

उदाहरण 5 निम्नलिखित आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:

$x _{i}$ 3 6 9 12 13 15 21 22
$f _{i}$ 3 4 5 2 4 5 4 3

हल दिए गए आँकड़े पहले ही आरोही क्रम में हैं। इन आँकड़ों में संगत संचयी बारंबारता की एक कतार और लगाते हैं (सारणी 13.2)।

सारणी 13.2

$x _{i}$ 3 6 9 12 13 15 21 22
$f _{i}$ 3 4 5 2 4 5 4 3
c.f. 3 7 12 14 18 23 27 30

अब, $\mathrm{N}=30$ है जो सम संख्या है,

इसलिए माध्यिका 15 वीं व 16 वीं प्रेक्षणों का माध्य है। यह दोनों प्रेक्षण संचयी बारंबारता 18 में स्थित हैं जिसका संगत प्रेक्षण 13 है।

इसलिए माध्यिका $\mathrm{M}=\frac{15 \text { वाँ प्रेक्षण }+16 \text { वाँ प्रेक्षण }}{2}=\frac{13+13}{2}=13$

अब माध्यिका से विचलनों का निरपेक्ष मान अर्थात् $\left|x _{i}-\mathrm{M}\right|$ निम्नलिखित सारणी 13.3 में दर्शाए गए हैं।

सारणी 13.3

$\left|x _{i}-\mathrm{M}\right|$ 10 7 4 1 0 2 8 9
$f _{\mathrm{i}}$ 3 4 5 2 4 5 4 3
$f _{\mathrm{i}}\left|x _{i}-\mathrm{M}\right|$ 30 28 20 2 0 10 32 27

$ \quad \quad \quad \sum\limits_{i=1}^{8} f_i=30 \text{ and } \sum\limits_{i=1}^{8} f_i|x_i-M|=149 $

इसलिए

$ \begin{aligned} \text{ M. D. }(M) & =\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{8} f_i|x_i-M| \\ & =\frac{1}{30} \times 149=4.97 \end{aligned} $

(b) सतत बारंबारता बंटन एक सतत बांरबारता बंटन वह भृंखला होती है जिसमें आँकड़ों को विभिन्न बिना अंतर वाले वर्गों में वर्गीकृत किया जाता है और उनकी क्रमशः बारंबारता लिखी जाती है।

उदाहरण के लिए 100 छात्रों द्वारा प्राप्ताकों को सतत बांरबारता बंटन में निम्नलिखित प्रकार से व्यक्त किया गया है:

प्राप्त अंक 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60
छात्रों की संख्या 12 18 27 20 17 6

(i) माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन एक सतत बांरबारता बंटन के माध्य की गणना के समय हमने यह माना था कि प्रत्येक वर्ग (Class ) की बारंबारता उसके मध्य-बिंदु पर केंद्रित होती है। यहाँ भी हम प्रत्येक वर्ग का मध्य-बिंदु लिखते हैं और असतत बारंबारता बंटन की तरह माध्य विचलन ज्ञात करते हैं।

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें

उदाहरण 6 निम्नलिखित आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:

प्राप्तांक $10-20$ $20-30$ $30-40$ $40-50$ $50-60$ $60-70$ $70-80$
छात्रों की संख्या 2 3 8 14 8 3 2

हल दिए गए आँकड़ों से निम्न सारणी 13.4 बनाते हैं।

सारणी 13.4

प्राप्तांक छात्रों की
संख्या
मध्य-बिंदु $f _{i} x _{i}$ $\left|x _{i}-\bar{x}\right|$ $f _{\mathrm{i}}\left|x _{i}-\bar{x}\right|$
$10-20$ 2 15 30 30 60
$20-30$ 3 25 75 20 60
$30-40$ 8 35 280 10 80
$40-50$ 14 45 630 0 0
$50-60$ 8 55 440 10 80
$60-70$ 3 65 195 20 60
$70-80$ 2 75 150 30 60
40 1800 400

यहाँ $ \quad \quad \quad N=\sum\limits_{i=1}^{7} f_i=40, \sum\limits_{i=1}^{7} f_i x_i=1800, \sum\limits_{i=1}^{7} f_i|x_i-\bar{x}|=400 $

इसलिए $\quad \quad \quad\bar{x}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i x_i=\frac{1800}{40}=45$

और $ \quad \quad \quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{1}{40} \times 400=10 $

माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करने की लघु विधि हम पद विचलन विधि

(Stepdeviation method) का प्रयोग करके $\bar{x}$ के कठिन परिकलन से बच सकते हैं। स्मरण कीजिए कि इस विधि में हम आँकड़ों के मध्य या उसके बिल्कुल पास किसी प्रेक्षण को कल्पित माध्य लेते हैं। तब प्रेक्षणों (या विभिन्न वर्गों के मध्य-बिंदुओं) का इस कल्पित माध्य से विचलन ज्ञात करते हैं। यह विचलन संख्या रेखा पर मूल बिंदु (origin) को शून्य से प्रतिस्थापित कर कल्पित माध्य पर ले जाना ही होता है, जैसा कि आकृति 13.3 में दशार्या गया है।

आकृति 13.3

यदि सभी विचलनों में कोई सार्व गुणनखंड (common factor) है तो विचलनों को सरल करने के लिए इन्हें इस सार्व गुणनखंड से भाग देते हैं। इन नए विचलनों को पद विचलन कहते हैं। पद विचलन लेने की प्रक्रिया संख्या रेखा पर पैमाने का परिवर्तन होता है, जैसा कि आकृति 13.4 में दर्शाया गया है।

विचलन और पद विचलन प्रेक्षणों के आकार को छोटा कर देते हैं, जिससे गुणन जैसी गणनाएँ सरल हो जाती हैं। मान लीजिए नया चर $d _{i}=\frac{x _{i}-a}{h}$ हो जाता है, जहाँ ’ $a$ ’ कल्पित माध्य है व $h$ सार्व गुणनखंड है। तब पद विचलन विधि द्वारा $\bar{x}$ निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात किया जाता है:

$ \bar{x}=a+\frac{\sum _{i=1}^{n} f _{i} d _{i}}{\mathrm{~N}} \times h $

आइए उदाहरण 6 के आँकड़ों के लिए पद विचलन विधि लगाएँ।

हम कल्पित माध्य $a=45$ और $h=10$, लेते हैं और निम्नलिखित सारणी 13.5 बनाते हैं।

सारणी 13.5

प्राप्तांक छात्रों की
संख्या
मध्य-बिंदु $d _{i}=\frac{x _{i}-45}{10}$ $f _{i} d _{i}$ $\left|x _{i}-\bar{x}\right|$ $f _{\mathrm{i}}\left|x _{i}-\bar{x}\right|$
$f _{i}$ $x _{i}$
$10-20$ 2 15 -3 -6 30 60
$20-30$ 3 25 -2 -6 20 60
$30-40$ 8 35 -1 -8 10 80
$40-50$ 14 45 0 0 0 0
$50-60$ 8 55 1 8 10 80
$60-70$ 3 65 2 6 20 60
$70-80$ 2 75 3 6 30 60
40 0 400

इसलिए

$ \begin{aligned} & \bar{x}=a+\frac{\sum\limits_{i=1}^{7} f_i d_i}{N} \times h \\ & =45+\frac{0}{40} \times 10=45 \end{aligned} $

and $ \quad \quad \quad \text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{400}{40}=10 $

टिप्पणी पद विचलन विधि का उपयोग $\bar{x}$ ज्ञात करने के लिए किया जाता है। शेष प्रक्रिया वैसी ही है।

(ii) माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन दिए गए आँकड़ों के लिए माध्यिका से माध्य विचलन ज्ञात करने की प्रक्रिया वैसी ही है जैसी कि हमने माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करने के लिए की थी। इसमें विशेष अंतर केवल विचलन लेने के समय माध्य के स्थान पर माध्यिका लेने में होता है।

आइए सतत बारंबारता बटंन के लिए माध्यिका ज्ञात करने की प्रक्रिया का स्मरण करें।

आँकडों को पहले आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं। तब सतत बारंबारता बंटन की माध्यिका ज्ञात करने के लिए पहले उस वर्ग को निर्धारित करते हैं जिसमें माध्यिका स्थित होती है (इस वर्ग को माध्यिका वर्ग कहते हैं) और तब निम्नलिखित सूत्र लगाते हैं:

$ \text{ माध्यिका }=l+\frac{\frac{N}{2}-C}{f} \times h $

जहाँ माध्यिका वर्ग वह वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता $\frac{\mathrm{N}}{2}$ के बराबर या उससे थोड़ी अधिक हो, बांरबारताओं का योग $\mathrm{N}$, माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा $l$, माध्यिका वर्ग की बांरबारता $f$, माध्यिका वर्ग से सटीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $\mathrm{C}$ और माध्यिका वर्ग का विस्तार $h$ है। माध्यिका ज्ञात करने के पश्चात् प्रत्येक वर्ग के मध्य-बिंदुओं $x _{i}$ का माध्यिका से विचलनों का निरपेक्ष मान अर्थात् $\left|x _{i}-\mathrm{M}\right|$ प्राप्त करते हैं।

तब $ \quad \quad \quad \text{ M.D. }(M)=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-M| $

इस प्रक्रिया को निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट किया गया है:

उदाहरण 7 निम्नलिखित आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।

वर्ग $0-10$ $10-20$ $20-30$ $30-40$ $40-50$ $50-60$
बारंबारता 6 7 15 16 4 2

हल दिए गए आँकड़ों से निम्न सारणी 13.6 बनाते हैं:

सारणी 13.6

वर्ग बारंबारता संचयी बारंबारता मध्य-बिंदु $\mid x _{i}$-Med. $\mid$ $f _{i} \mid x _{i}$-Med. $\mid$
$f _{i}$ $(c . f)$. $x _{i}$
$0-10$ 6 6 5 23 138
$10-20$ 7 13 15 13 91
$20-30$ 15 28 25 3 45
$30-40$ 16 44 35 7 112
$40-50$ 4 48 45 17 68
$50-60$ 2 50 55 27 54
50 508

यहाँ $\mathrm{N}=50$, इसलिए $\frac{\mathrm{N}}{2}$ वीं या 25 वीं मद 20-30 वर्ग में हैं। इसलिए 20-30 माध्यिका वर्ग है। हम जानते हैं कि

$ \text { माध्यिका }=l+\frac{\frac{\mathrm{N}}{2}-C}{f} \times h $

यहाँ $l=20, \mathrm{C}=13, f=15, h=10$ और $\mathrm{N}=50$

इसलिए, $\quad$ माध्यिका $=20+\frac{25-13}{15} \times 10=20+8=28$

अतः, माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन

$ \text{ M.D. }(M)=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-M|=\frac{1}{50} \times 508=10.16 $

प्रश्नावली 13.1

प्रश्न 1 व 2 में दिए गए आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।

1. $4,7,8,9,10,12,13,17$

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2. $38,70,48,40,42,55,63,46,54,44$

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प्रश्न 3 व 4 के आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।

3. $13,17,16,14,11,13,10,16,11,18,12,17$

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4. $36,72,46,42,60,45,53,46,51,49$

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प्रश्न 5 व 6 के आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।

5. $\begin{array}{llllll} x_i & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 \\ f_i & 7 & 4 & 6 & 3 & 5 \\ \end{array}$

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6. $\begin{array}{llllll} x_i & 10 & 30 & 50 & 70 & 90 \\ f_i & 4 & 24 & 28 & 16 & 8 \end{array}$

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प्रश्न 7 व 8 के आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।

7. $\begin{array}{llllll} x_i 5 & 7 & 9 & 10 & 12 & 15 \\ f_i 8 & 6 & 2 & 2 & 2 & 6 \end{array}$

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8. $\begin{array}{llllll} x_i 5 & 7 & 9 & 10 & 12 & 15 \\ f_i 8 & 6 & 2 & 2 & 2 & 6 \end{array}$

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प्रश्न 9 व 10 के आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।

9.

आय प्रतिदिन
(₹ में)
$0-100$ $100-200$ $200-300$ $300-400$ $400-500$ $500-600$ $600-700$ $700-800$
व्यक्तियों
की संख्या
4 8 9 10 7 5 4 3
ऊँचाई
(cm में)
$95-105$ $105-115$ $115-125$ $125-135$ $135-145$ $145-155$
लड़कों की
संख्या
9 13 26 30 12 10
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10.

सेमी में ऊंचाई 95-105 105-115 115-12 125 -135 135-145 145-155
लड़कों की संख्या 9 13 26 30 12 10
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11. निम्नलिखित आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:

अंक $0-10$ $10-20$ $20-30$ $30-40$ $40-50$ $50-60$
लड़कियों की
संख्या
6 8 14 16 4 2
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12. नीचे दिए गए 100 व्यक्तियों की आयु के बंटन की माध्यिका आयु के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना कीजिए:

आयु (वर्ष में) $16-20$ $21-25$ $26-30$ $31-35$ $36-40$ $41-45$ $46-50$ $51-55$
संख्या 5 6 12 14 26 12 16 9

[संकेत प्रत्येक वर्ग की निम्न सीमा में से 0.5 घटा कर व उसकी उच्च सीमा में 0.5 जोड़ कर दिए गए आँकड़ों को सतत बारंबारता बंटन में बदलिए]

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13.4.3 माध्य विचलन की परिसीमाएँ (Limitations of mean deviation)

बहुत अधिक विचरण या बिखराव वाली शृंखलाओं में माध्यिका केंद्रीय प्रवृत्ति की उपयुक्त माप नहीं होती है। अतः इस दशा में माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन पर पूरी तरह विश्वास नहीं किया जा सकता है। माध्य से विचलनों का योग (ऋण चिह्न को छोड़कर) माध्यिका से विचलनों के योग से अधिक होता है। इसलिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन अधिक वैज्ञानिक नहीं है। अतः कई दशाओं में माध्य विचलन असंतोषजनक परिणाम दे सकता है। साथ ही माध्य विचलन को विचलनों के निरपेक्ष मान पर ज्ञात किया जाता है। इसलिए यह और बीजगणितीय गणनाओं के योग्य नहीं होता है। इसका अभिप्राय है कि हमें प्रकीर्णन की अन्य माप की आवश्यकता है। मानक विचलन प्रकीर्णन की ऐसी ही एक माप है।

13.5 प्रसरण और मानक विचलन (Variance and Standard Deviation)

याद कीजिए कि केंद्रीय प्रवृत्ति की माप के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करने के लिए हमने विचलनों के निरपेक्ष मानों का योग किया था। ऐसा माध्य विचलन को सार्थक बनाने के लिए किया था, अन्यथा विचलनों का योग शून्य हो जाता है।

विचलनों के चिह्नों के कारण उत्पन्न इस समस्या को विचलनों के वर्ग लेकर भी दूर किया जा सकता है। निसंदेह यह स्पष्ट है कि विचलनों के यह वर्ग ऋणेतर होते हैं।

माना $x _{1}, x _{2}, x _{3}, \ldots, x _{n}, n$ प्रेक्षण हैं तथा $\bar{x}$ उनका माध्य है। तब $ (x _ 1 - \bar {x}) ^ {2} + (x _ 2 - \bar {x} ) ^ {2} + \ldots \ldots . + (x _ {n} - \bar {x} ) ^ {2} = _ {i \neq 1} ^ {n}(x _ {i} - \bar{x})^{2} $

यदि यह योग शून्य हो तो प्रत्येक $\left(x _{i}-\bar{x}\right)$ शून्य हो जाएगा। इसका अर्थ है कि किसी प्रकार का विचरण नहीं है क्योंकि तब सभी प्रेक्षण $\bar{x}$ के बराबर हो जाते हैं।

यदि $\sum _{i=1}^{n}\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2}$ छोटा है तो यह इंगित करता है कि प्रेक्षण $x _{1}, x _{2}, x _{3}, \ldots, x _{n}$, माध्य $\bar{x}$ के निकट हैं तथा प्रेक्षणों का माध्य $\bar{x}$ के सापेक्ष विचरण कम है । इसके विपरीत यदि यह योग बड़ा है तो प्रेक्षणों का माध्य $\bar{x}$ के सापेक्ष विचरण अधिक है। क्या हम कह सकते हैं कि योग $\sum _{i=1}^{n}\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2}$ सभी प्रेक्षणों का माध्य $\bar{x}$ के सापेक्ष प्रकीर्णन या विचरण की माप का एक संतोषजनक प्रतीक है?

आइए इसके लिए छ: प्रेक्षणों $5,15,25,35,45,55$ का एक समुच्चय $\mathrm{A}$ लेते हैं। इन प्रेक्षणों का माध्य 30 है। इस समुच्चय में $\bar{x}$ से विचलनों के वर्ग का योग निम्नलिखित है:

$ \begin{aligned} \sum _{i=1}^{6}\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2} & =(5-30)^{2}+(15-30)^{2}+(25-30)^{2}+(35-30)^{2}+(45-30)^{2}+(55-30)^{2} \\ & =625+225+25+25+225+625=1750 \end{aligned} $

एक अन्य समुच्चय $\mathrm{B}$ लेते हैं जिसके 31 प्रेक्षण निम्नलिखित हैं: $15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37$, $38,39,40,41,42,43,44,45$. इन प्रेक्षणों का माध्य $\bar{y}=30$ है।

दोनों समुच्चयों $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{B}$ के माध्य 30 है।

समुच्चय $\mathrm{B}$ के प्रेक्षणों के विचलनों के वर्गों का योग निम्नलिखित है।

$ \begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^{31}(y_i-\bar{y})^{2} & =(15-30)^{2}+(16-30)^{2}+(17-30)^{2}+\ldots+(44-30)^{2}+(45-30)^{2} \\ & =(-15)^{2}+(-14)^{2}+\ldots+(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+14^{2}+15^{2} \\ & =2[15^{2}+14^{2}+\ldots+1^{2}] \\ & =2 \times \frac{15 \times(15+1)(30+1)}{6}=5 \times 16 \times 31=2480 \end{aligned} $

(क्योंकि प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग $=\frac{n(n-1)(2 n-1)}{6}$ होता है, यहाँ $n=15$ है)

$ \text { यदि } \sum _{i=1}^{n}\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2} \text { ही माध्य के सापेक्ष प्रकीर्णन की माप हो तो हम कहने के लिए प्रेरित होंगे } $ कि 31 प्रेक्षणों के समुच्चय $\mathrm{B}$ का, 6 प्रेक्षणों वाले समुच्चय $\mathrm{A}$ की अपेक्षा माध्य के सापेक्ष अधिक प्रकीर्णन है यद्यपि समुच्चय $\mathrm{A}$ में 6 प्रेक्षणों का माध्य $\bar{x}$ के सापेक्ष बिखराव (विचलनों का परिसर -25 से 25 है) समुच्चय $\mathrm{B}$ की अपेक्षा (विचलनों का परिसर -15 से 15 है) अधिक है।

यह नीचे दिए गए चित्रों से भी स्पष्ट है:

समुच्चय $\mathrm{A}$, के लिए हम आकृति 13.5 पाते हैं।

आकृति 13.5

समुच्चय $\mathrm{B}$, के लिए आकृति 13.6 हम पाते हैं

आकृति 13.6

अतः हम कह सकते हैं कि माध्य से विचलनों के वर्गों का योग प्रकीर्णन की उपयुक्त माप नहीं है। इस कठिनाई को दूर करने के लिए हम विचलनों के वर्गों का माध्य लें अर्थात् हम $\frac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2}$. लें। समुच्चय $\mathrm{A}$, के लिए हम पाते हैं, माध्य $=\frac{1}{6} \times 1750=291.6$ है और समुच्चय $\mathrm{B}$, के लिए यह $\frac{1}{31} \times 2480=80$ है।

यह इंगित करता है कि समुच्चय $\mathrm{A}$ में बिखराव या विचरण समुच्चय $\mathrm{B}$ की अपेक्षा अधिक है जो दोनों समुच्चयों के अपेक्षित परिणाम व ज्यामितिय निरूपण से मेल खाता है।

अतः हम $\frac{1}{n} \sum\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2}$ को प्रकीर्णन की उपयुक्त माप के रूप में ले सकते हैं। यह संख्या अर्थात् माध्य से विचलनों के वर्गों का माध्य प्रसरण (variance) कहलाता है और $\sigma^{2}$ (सिगमा का वर्ग पढ़ा जाता है) से दर्शाते हैं। अतः $n$ प्रेक्षणों $x _{1}, x _{2}, \ldots, x _{n}$ का प्रसरण

$ \sigma^{2}=\frac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2} \text { है। } $

13.5.1 मानक विचलन (Standard Deviation)

प्रसरण की गणना में हम पाते हैं कि व्यक्तिगत प्रेक्षणों $x _{i}$ तथा $\bar{x}$ की इकाई प्रसरण की इकाई से भिन्न है, क्योंकि प्रसरण में $\left(x _{i}-\bar{x}\right)$ के वर्गों का समावेश है, इसी कारण प्रसरण के धनात्मक वर्गमूल को प्रेक्षणों का माध्य के सापेक्ष प्रकीर्णन की यथोचित माप के रूप में व्यक्त किया जाता है और उसे मानक विचलन कहते हैं। मानक विचलन को सामान्यतः $\sigma$, द्वारा प्रदर्शित किया जाता है तथा निम्नलिखित प्रकार से दिया जाता है:

$$ \sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $$

आइए अवर्गीकृत आँकड़ों का प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात करने के लिए कुछ उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 8 निम्नलिखित आँकड़ों के लिए प्रसरण तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए:

$$ 6,8,10,12,14,16,18,20,22,24 $$

हल दिए गए आँकड़ों को निम्नलिखित प्रकार से सारणी 13.7 में लिख सकते हैं। माध्य को पद विचलन विधि द्वारा 14 को कल्पित माध्य लेकर ज्ञात किया गया है। प्रेक्षणों की संख्या $n=10$ है।

सारणी 13.7

$x _{i}$ $d _{i}=\frac{x _{i}-14}{2}$ माध्य से विचलन
$\left(x _{i}-\bar{x}\right)$
$\left(x _{i}-\bar{x}\right)$
6 -4 -9 81
8 -3 -7 49
10 -2 -5 25
12 -1 -3 9
14 0 -1 1
16 1 1 1
18 2 3 9
20 3 5 25
22 4 7 49
24 5 9 81
5 330

इसलिए,

माध्य $\bar{x}=$ कल्पित माध्य $+\frac{\sum _{i=1}^{n} d _{i}}{n} \times h$ $ =14+\frac{5}{10} \times 2=15 $

और

प्रसरण $\sigma^{2}=\frac{1}{n} \sum _{i=1}^{10}\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2}=\frac{1}{10} \times 330=33$

अतः मानक विचलन $\sigma=\sqrt{33}=5.74$

13.5.2 एक असतत बारंबारता बंटन का मानक विचलन (Standard deviation of $a$ discrete frequency distribution)

मान लें दिया गया असतत बंटन निम्नलिखित है:

$ \begin{matrix} x: & x_1, & x_2, \quad x_3, \ldots, x_n \\ \\ & f: & f_1, \quad f_2, \quad f_3, \ldots, f_n \end{matrix} $

इस बंटन के लिए मानक विचलन $(\sigma)=\sqrt{\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i(x_i-\bar{x})^{2}} \quad \quad \quad \quad \ldots(2)$

जहाँ $N=\sum\limits_{i=1}^{n} f_i$.

आइए निम्नलिखित उदाहरण लें।

उदाहरण 9 निम्नलिखित आँकड़ों के लिए प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात कीजिए:

$x _{i}$ 4 8 11 17 20 24 32
$f _{i}$ 3 5 9 5 4 3 1

हल आँकड़ों को सारणी के रूप में लिखने पर हमें निम्नलिखित सारणी 13.8 प्राप्त होती है:

सारणी 13.8

$x _{i}$ $f _{i}$ $f _{i} x _{i}$ $x _{i}-\bar{x}$ $\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2}$ $f _{i}\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2}$
4 3 12 -10 100 300
8 5 40 -6 36 180
11 9 99 -3 9 81
17 5 85 3 9 45
20 4 80 6 36 144
24 3 72 10 100 300
32 1 32 18 324 324
30 420 1374

$ \begin{gathered} N=30, \sum\limits_ {i=1}^{7} f _ {i} x _ {i}=420, \sum\limits_ {i=1}^{7} f _ {i}(x _ {i}-\bar{x})^{2}=1374 \\ \text{अत}\quad \quad \quad \quad \bar{x}=\frac{\sum\limits_ {i=1}^{7} f _ {i} x _ {i}}{N}=\frac{1}{30} \times 420=14 \\ \text{अत }\quad \quad \quad \quad\text{ vपरसरण }(\sigma^{2})=\frac{1}{N} \sum\limits_ {i=1}^{7} f _ {i}(x _ {i}-\bar{x})^{2} \\ =\frac{1}{30} \times 1374=45.8 \end{gathered} $

$ \text{and }\quad \quad \quad \text{ मानक विचलन }(\sigma)=\sqrt{45.8}=6.77 $

13.5.3 एक सतत बारंबारता बंटन का मानक विचलन (Standard deviation of a continuous frequency distribution)

दिए गए सतत बारंबारता बंटन के सभी वर्गों के मध्य मान लेकर उसे असतत बारंबारता बंटन में निरूपित कर सकते हैं। तब असतत बारंबारता बंटन के लिए अपनाई गई विधि द्वारा मानक विचलन ज्ञात किया जाता है।

यदि एक $n$ वर्गों वाला बारंबारता बंटन जिसमें प्रत्येक अंतराल उसके मध्यमान $x _{i}$ तथा बारंबारता $f _{i}$, द्वारा परिभाषित किया गया है, तब मानक विचलन निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाएगा:

$ \sigma=\sqrt{\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i(x_i-\bar{x})^{2}} $

जहाँ $\bar{x}$, बंटन का माध्य है और $\mathrm{N}=\sum _{i=1}^{n} f _{i}$.

मानक विचलन के लिए अन्य सूत्र हमें ज्ञात है कि

प्रसरण $ (\sigma^{2})=\frac{1}{N} \sum\limits_ {i=1}^{n} f _ {i}(x _ {i} \bar{x}) ^ {2} = \frac{1}{N} \sum\limits_{i = 1} ^ {n} f _ {i}(x _ i ^ {2} + \bar x ^{2} 2 \bar {x} x _ {i}) $

$ \begin{aligned} =\frac{1}{N}\begin{bmatrix} \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} x _ i ^ {2} + \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} \bar x ^{2} f_i-\sum\limits_{i=1}^{n} 2 \bar{x} f_i x_i\end{bmatrix}\end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{N}\begin{bmatrix}\sum\limits_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} x _ i ^ {2} + \bar x ^ {2} \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} 2 \bar{x} \sum\limits_ {i=1}^{n} x _{i} f _ {i} \end{bmatrix} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =\frac {1}{N} \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} x _ i ^ {2} + \bar x ^ {2} N 2 \bar{x} . N \bar{x} \quad[\text{ जहाँ } \frac {1}{N} \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} f _ {i} = \bar{x} \text{ या } \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} f _ {i}= N \bar{x}] \\ & =\frac {1}{N} \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} x _ i ^ {2} + \bar x ^ {2} 2 \bar x ^ {2}=\frac {1}{N} \sum\limits_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} x _ i ^ {2} \bar x^{2} \end{aligned} $

या

$ \sigma^{2}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i^{2}-\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i}{N}\right)^{2}=\frac{1}{N^{2}}\left[N \sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i^{2}-(\sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i)^{2}\right] $

अत: मानक विचलन $(\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{N \sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i{ }^{2}-(\sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i)^{2}}$

उदाहरण 10 निम्नलिखित बंटन के लिए माध्य, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए:

वर्ग $30-40$ $40-50$ $50-60$ $60-70$ $70-80$ $80-90$ $90-100$
बारंबारता 3 7 12 15 8 3 2

हल दिए गए आँकड़ों से निम्नलिखित सारणी 13.9 बनाते हैं।

सारणी 13.9

वर्ग बारंबारता
$\left(f _{i}\right)$
मध्य-बिंदु
$\left(x _{i}\right)$
$f _{i} x _{i}$ $\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2}$ $f _{i}\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2}$
$30-40$ 3 35 105 729 2187
$40-50$ 7 45 315 289 2023
$50-60$ 12 55 660 49 588
$60-70$ 15 65 975 9 135
$70-80$ 8 75 600 169 1352
$80-90$ 3 85 255 529 1587
$90-100$ 2 95 190 1089 2178
50 3100 10050

अत: $ \quad \quad \quad \quad \text{ माध्य } \bar{x}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i x_i=\frac{3100}{50}=62 $

प्रसरण $(\sigma^{2})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i(x_i-\bar{x})^{2}$

$ =\frac{1}{50} \times 10050=201 $

और $ \quad \quad \quad \quad \text{ मानक विचलन }(\sigma)=\sqrt{201}=14.18 $

उदाहरण 11 निम्नलिखित आँकड़ों के लिए मानक विचलन ज्ञात कीजिए:

$x _{i}$ 3 8 13 18 23
$f _{i}$ 7 10 15 10 6

हल हम आँकड़ों से निम्नलिखित सारणी 13.10 बनाते हैं:

सारणी 13.10

$x _{i}$ $f _{i}$ $f _{i} x _{i}$ $x _{i}^{2}$ $f _{i} x _{i}^{2}$
3 7 21 9 63
8 10 80 64 640
13 15 195 169 2535
18 10 180 324 3240
23 6 138 529 3174
48 614 9652

अब सूत्र (3) द्वारा

$ \begin{aligned} \sigma & =\frac{1}{N} \sqrt{N \sum{f_i x_i}^{2}-\left(\sum{f_i x_i}\right)^{2}} \\ \\ & =\frac{1}{48} \sqrt{48 \times 9652-(614)^{2}} \\ \\ & =\frac{1}{48} \sqrt{463296-376996} \end{aligned} $

$ =\frac{1}{48} \times 293.77=6.12 $

इसलिए, , $\quad$ मानक विचलन$(\sigma)=6.12$

13.5.4. प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात करने के लिए लघु विधि (Shortcut method to find variance and standard deviation)

कभी-कभी एक बारंबारता बंटन के प्रेक्षणों $x _{i}$ अथवा विभिन्न वर्गों के मध्यमान $x _{i}$ के मान बहुत बड़े होते हैं तो माध्य तथा प्रसरण ज्ञात करना कठिन हो जाता है तथा अधिक समय लेता है। ऐसे बारंबारता बंटन, जिसमें वर्ग-अंतराल समान हों, के लिए पद विचलन विधि द्वारा इस प्रक्रिया को सरल बनाया जा सकता है।

मान लीजिए कि कल्पित माध्य ’ $A$ ’ है और मापक या पैमाने को $\frac{1}{h}$ गुना छोटा किया गया है (यहाँ $h$ वर्ग अंतराल है)। मान लें कि पद विचलन या नया चर $y _{i}$ है।

अर्थात् $\quad y_i=\frac{x_i-A}{h}$ or $x_i=A+h y_i \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1)$

हम जानते हैं कि $ \quad \quad \quad \bar{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i}{N} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(2) $

(1) से $x _{i}$ को (2) में रखने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \bar{x} & =\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i(A+h y_i)}{N} \\ & =\frac{1}{N}(\sum\limits_{i=1}^{n} f_i A+\sum\limits_{i=1}^{n} h f_i y_i)=\frac{1}{N}(A \sum\limits_{i=1}^{n} f_i+h \sum\limits_{i=1}^{n} f_i y_i) \\ & =A \cdot \frac{N}{N}+h \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i y_i}{N} \quad(\text{ क्योंक } \sum\limits_{i=1}^{n} f_i=N) \end{aligned} $

अत: $\quad \bar{x}=A+h \bar{y} \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(3)$

अब, चर $x$ का प्रसरण, $\sigma_x^{2}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i(x_i-\bar{x})^{2}$

$ =\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i(A+h y_i-A-h \bar{y})^{2} \quad \text{((1) और (3) द्वारा) } $

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i h^{2}(y_i-\bar{y})^{2} \\ & =\frac{h^{2}}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i(y_i-\bar{y})^{2}=h^{2} \times \text{ चर का प्रसरण } y_i \end{aligned} $

अर्थात् $\quad \sigma_x^{2}=h^{2} \sigma_y^{2}$

या $\quad \sigma_x=h \sigma_y \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(4)$

(3) और (4), से हमें प्राप्त होता है कि

$ \sigma_x=\frac{h}{N} \sqrt{N \sum\limits_{i=1}^{n} f_i y_i^{2}-(\sum\limits_{i=1}^{n} f_i y_i)^{2}} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(5) $

आइए उदाहरण 11 के आँकड़ों में सूत्र (5) के उपयोग द्वारा लघु विधि से माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात करें।

उदाहरण 12 निम्नलिखित बंटन के लिए माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात कीजिए:

वर्ग $30-40$ $40-50$ $50-60$ $60-70$ $70-80$ $80-90$ $90-100$
बारंबारता 3 7 12 15 8 3 2

हल मान लें कल्पित माध्य $\mathrm{A}=65$ है। यहाँ $h=10$

दिए गए आँकड़ों से निम्नलिखित सारणी 13.11 प्राप्त होती है।

सारणी 13.11

वर्ग बारंबारत मध्य-बिंदु $y _{i}=\frac{x _{i}-65}{10}$ $y _{i}{ }^{2}$ $f _{i} y _{i}$ $f _{i} y _{i}{ }^{2}$
$f _{i}$ $x _{i}$
$30-40$ 3 35 -3 9 -9 27
$40-50$ 7 45 -2 4 -14 28
$50-60$ 12 55 -1 1 -12 12
$60-70$ 15 65 0 0 0 0
$70-80$ 8 75 1 1 8 8
$80-90$ 3 85 2 4 6 12
$90-100$ 2 95 3 9 6 18
$\mathrm{N}=50$ -15 105

इसलिए

$\quad \bar{x}=\mathrm{A}+\frac{\sum f _{i} y _{i}}{50} \times h=65-\frac{15}{50} \times 10=62$ $ \text { प्रसरण } \sigma^{2}=\frac{h^{2}}{\mathrm{~N}^{2}}\left[\mathrm{~N} \sum f _{i} y _{i}^{2}-\left(\sum f _{i} y _{i}\right)^{2}\right] $ $ \begin{aligned} & =\frac{(10)^{2}}{(50)^{2}}\left[50 \times 105-(-15)^{2}\right] \\ & =\frac{1}{25}[5250-225]=201 \end{aligned} $

और मानक विचलन $\sigma=\sqrt{201}=14.18$

प्रश्नावली 13.2

प्रश्न 1 से 5 तक के आँकड़ों के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।

1. $6,7,10,12,13,4,8,12$

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2. प्रथम $n$ प्राकृत संख्याएँ

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3. तीन के प्रथम 10 गुणज

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4.

$x _{i}$ 6 10 14 18 24 28 30
$f _{i}$ 2 4 7 12 8 4 3
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5.

$x _{i}$ 92 93 97 98 102 104 109
$f _{i}$ 3 2 3 2 6 3 3
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6. लघु विधि द्वारा माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

$x _{i}$ 60 61 62 63 64 65 66 67 68
$f _{i}$ 2 1 12 29 25 12 10 4 5
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प्रश्न 7 व 8 में दिए गए बारंबारता बंटन के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।

7.

वर्ग $0-30$ $30-60$ $60-90$ $90-120$ $120-150$ $150-180$ $180-210$
बारंबारता 2 3 5 10 3 5 2
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8.

वर्ग $0-10$ $10-20$ $20-30$ $30-40$ $40-50$
बारंबारता 5 8 15 16 6
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9. लघु विधि द्वारा माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

ऊँचाई
(सेमी में)
$70-75$ $75-80$ $80-85$ $85-90$ $90-95$ $95-100$ $100-105$ $105-110$ $110-115$
बच्चों की
संख्या
3 4 7 7 15 9 6 6 3
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10. एक डिज़ाइन में बनाए गए वृत्तों के व्यास (मिमी में) नीचे दिए गए हैं।

व्यास $33-36$ $37-40$ $41-44$ $45-48$ $49-52$
वृत्तों संख्या 15 17 21 22 25

वृत्तों के व्यासों का मानक विचलन व माध्य व्यास ज्ञात कीजिए।

[संकेत पहले आँकड़ों को सतत बना लें। वर्गों को 32.5-36.5, 36.5-40.5, 40.5-44.5, 44.5-48.5, 48.5 52.5 लें और फिर आगे बढ़ें ]

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विविध उदाहरण

उदाहरण 13 प्रेक्षणों का प्रसरण 5 है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 2 से गुणा किया गया हो तो प्राप्त प्रेक्षणों का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए कि प्रेक्षण $x _{1}, x _{2}, \ldots, x _{20}$ और $\bar{x}$ उनका माध्य है। दिया गया है प्रसरण $=5$ और $n=20$. हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} & \text{ प्रसरण }(\sigma^{2})=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x})^{2}, \text{ अर्थात्, } 5=\frac{1}{20} \sum\limits_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x})^{2} \\ & \text{or}\quad \quad \quad \quad \sum\limits_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x})^{2}=100 \end{aligned} $

यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 2 से गुणा किया जाए, तो परिणामी प्रेक्षण $y _{i}$, हैं। स्पष्टतया

$ y_i=2 x_i \text{ अर्थात्, } x_i=\frac{1}{2} y_i \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $

इसलिए $ \quad \quad \quad \quad\bar{y}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{20} y_i=\frac{1}{20} \sum\limits_{i=1}^{20} 2 x_i=2 \cdot \frac{1}{20} \sum\limits_{i=1}^{20} x_i $

अर्थात् $\quad \quad \quad \quad\bar{y}=2 \bar{x}$ या $\bar{x}=\frac{1}{2} \bar{y}$

$x _{i}$ और $\bar{x}$ के मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।

$ \sum _{i=1}^{20} \frac{1}{2} y _{i}-\frac{1}{2} \bar{y}^{2}=100, \text { अर्थात् } \sum _{i=1}^{20}\left(y _{i}-\bar{y}\right)^{2}=400 $

अतः नए प्रेक्षणों का प्रसरण $=\frac{1}{20} \times 400=20=2^{2} \times 5$

टिप्पणी पाठक ध्यान दें कि यदि प्रत्येक प्रेक्षण को $k$, से गुणा किया जाए, तो नए बने प्रेक्षणों का प्रसरण, पूर्व प्रसरण का $k^{2}$ गुना हो जाता है।

उदाहरण 14 पाँच प्रेक्षणों का माध्य 4.4 है तथा उनका प्रसरण 8.24 है। यदि तीन प्रेक्षण 1,2 तथा 6 हैं, तो अन्य दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।

हल माना शेष दो प्रेक्षण $x$ तथा $y$ हैं।

इसलिए, शृंखला $1,2,6, x, y$ है।

अब, $ \quad \quad \quad \quad\text{माध्य} \bar{x}=4.4=\frac{1+2+6+x+y}{5} $

या $ \quad \quad \quad \quad 22=9+x+y $

इसलिए $\quad x+y=13\quad \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(1)$

साथ ही $\quad$ प्रसरण $=8.24=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^{2}$

अर्थात् $8.24=\frac{1}{5}\left[(3.4)^{2}+(2.4)^{2}+(1.6)^{2}+x^{2}+y^{2}-2 \times 4.4(x+y)+2 \times(4.4)^{2}\right]$

या $\quad 41.20=11.56+5.76+2.56+x^{2}+y^{2}-8.8 \times 13+38.72$

इसलिए $\quad x^{2}+y^{2}=97\quad \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(2)$

लेकिन (1) से, हमें प्राप्त होता है

$ x^{2}+y^{2}+2 x y=169 \quad \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(3) $

(2) और (3), से हमें प्राप्त होता है

$ 2 x y=72 \quad \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(4) $

(2) में से (4), घटाने पर,

$ \begin{aligned} & x^{2}+y^{2}-2 x y=97-72 \quad \text{ अर्थात् } \quad (x-y)^{2}=25 \\ & \text{या} \quad \quad \quad x-y= \pm 5 \quad \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(5) \end{aligned} $

अब (1) और (5) से, हमें प्राप्त होता है

$ x=9, y=4 \text{ जब } x-y=5 $ या $\quad x=4, y=9$ जब $x-y=-5$

अतः शेष दो प्रेक्षण 4 तथा 9 हैं।

उदाहरण 15 यदि प्रत्येक प्रेक्षण $x _{1}, x _{2}, \ldots, x _{n}$ को ’ $a$ ‘, से बढ़ाया जाए जहाँ $a$ एक ऋणात्मक या धनात्मक संख्या है, तो दिखाइए कि प्रसरण अपरिवर्तित रहेगा।

हल मान लें प्रेक्षण $x _{1}, x _{2}, \ldots, x _{n}$ का माध्य $\bar{x}$ है, तो उनका प्रसरण

$ \sigma _{1}^{2}=\frac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2} \text { द्वारा दिया जाता है। } $

यदि प्रत्येक प्रेक्षण में $a$ जोड़ा जाए तो नए प्रेक्षण होंगे

$ \begin{equation*} y _{i}=x _{i}+a \tag{1} \end{equation*} $

मान लीजिए नए प्रेक्षणों का माध्य $\bar{y}$ है तब

$ \begin{aligned} \bar{y} & =\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} y_i=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}(x_i+a) \\ & =\frac{1}{n}[\sum\limits_{i=1}^{n} x_i+\sum\limits_{i=1}^{n} a]=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i+\frac{n a}{n}=\bar{x}+a \end{aligned} $

अर्थात् $ \quad \quad \quad \bar{y}=\bar{x}+a \quad \quad \quad \quad\quad \quad \ldots(1) $

अतः नए प्रेक्षणों का प्रसरण

$ \begin{aligned} \sigma _{2}^{2} & =\frac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}\left(y _{i}-\bar{y}\right)^{2}=\frac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}\left(x _{i}+a-\bar{x}-a\right)^{2} \quad((1) \text { और }(2) \text { के उपयोग से) } \\ & =\frac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}\left(x _{i}-\bar{x}\right)^{2}=\sigma _{1}^{2} \end{aligned} $

अतः नए प्रेक्षणों का प्रसरण वही है जो मूल प्रेक्षणों का था।

टिप्पणी ध्यान दीजिए कि प्रेक्षणों के किसी समूह में प्रत्येक प्रेक्षण में कोई एक संख्या जोड़ने अथवा घटाने पर प्रसरण अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण 16 एक विद्यार्थी ने 100 प्रेक्षणों का माध्य 40 और मानक विचलन 5.1 ज्ञात किया, जबकि उसने गलती से प्रेक्षण 40 के स्थान पर 50 ले लिया था। सही माध्य और मानक विचलन क्या है?

हल दिया है, प्रेक्षणों की संख्या $(n)=100$

गलत माध्य $(\bar{x})=40$,

गलत मानक विचलन $(\sigma)=5.1$

हम जानते हैं कि $\bar{x}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i$

अर्थात् $ \quad \quad \quad 40=\frac{1}{100} \sum\limits_{i=1}^{100} x_i \quad \text{ or } \quad \sum\limits_{i=1}^{100} x_i=4000 $

अर्थात् $\quad$ प्रेक्षणों का गलत योग $=4000$

अत: $\quad \quad \quad$प्रेक्षणों का सही योग $=$ गलत योग $-50+40$

$ =4000-50+40=3990 $

इसलिए $\quad$ $ \text { सही माध्य }=\frac{\text { सही योग }}{100}=\frac{3990}{100}=39.9 $

साथ ही $\quad$ मानक विचलन $\sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} x _{i}{ }^{2}-\frac{1}{n^{2}}\left(\sum _{i=1}^{n} x _{i}\right)^{2}}$

$ =\sqrt{\frac{1}{n} \sum _{i=1}^{n} x _{i}^{2}-(\bar{x})^{2}} $

अर्थात् $ \quad \quad \quad\quad \quad \quad 5.1=\sqrt{\frac{1}{100} \times गलत \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^{2}-(40)^{2}}$

या $ \quad \quad \quad\quad \quad \quad 26.01=\frac{1}{100} \times \text{ गलत } \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^{2}-1600 $

इसलिए $\quad$ $ \text { गलत } \sum _{i=1}^{n} x _{i}^{2}=100(26.01+1600)=162601 $

अब $\quad \quad \quad\quad \quad \quad$ सही $\sum\limits_{i=1}^{n} x_i^{2}=$ गलत $\sum\limits_{i=1}^{n} x_i{ }^{2}-(50)^{2}+(40)^{2}$

$ =162601-2500+1600=161701 $

इसलिए सही मानक विचलन

$ \begin{aligned} & =\sqrt{\frac{\text{ सही } \sum x_i^{2}}{n}-(\text{ सही माध्य })^{2}} \\ & =\sqrt{\frac{161701}{100}-(39.9)^{2}} \\ & =\sqrt{1617.01-1592.01}=\sqrt{25}=5 \\ \end{aligned} $

अध्याय 13 पर विविध प्रश्नावली

1. आठ प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 9 और 9.25 हैं। यदि इनमें से छः प्रेक्षण $6,7,10$, 12,12 और 13 हैं, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।

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2. सात प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमश: 8 तथा 16 हैं। यदि इनमें से पाँच प्रेक्षण $2,4,10$, 12,14 हैं तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।

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3. छः प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 8 तथा 4 हैं। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को तीन से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

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4. यदि $n$ प्रेक्षणों $x _{1}, x _{2}, \ldots, x _{n}$ का माध्य $\bar{x}$ तथा प्रसरण $\sigma^{2}$ हैं तो सिद्ध कीजिए कि प्रेक्षणों $a x _{1}$, $a x _{2}, a x _{3}, \ldots, a x _{n}$ का माध्य और प्रसरण क्रमशः $a \bar{x}$ तथा $a^{2} \sigma^{2}(a \neq 0)$ हैं।

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5. बीस प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 10 तथा 2 हैं। जाँच करने पर यह पाया गया कि प्रेक्षण 8 गलत है। निम्न में से प्रत्येक का सही माध्य तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए यदि

(i) गलत प्रेक्षण हटा दिया जाए।

(ii) उसे 12 से बदल दिया जाए।

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6. 100 प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमशः 20 और 3 हैं। बाद में यह पाया गया कि तीन प्रेक्षण 21,21 तथा 18 गलत थे। यदि गलत प्रेक्षणों को हटा दिया जाए तो माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

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सारांश

प्रकीर्णन की माप आँकड़ों में बिखराव या विचरण की माप। परिसर, चतुर्थक विचलन, माध्य विचलन व मानक विचलन प्रकीर्णन की माप हैं।

परिसर $=$ अधिकतम मूल्य न्यूनतम मूल्य

अवर्गीकृत आँकड़ों का माध्य विचलन

M.D. $(\bar{x})=\frac{\sum|x_i-\bar{x}|}{n}, \quad$ M.D. $(M)=\frac{\sum|x_i-M|}{n}$ जहाँ $\bar{x}=$ माध्य और $\mathrm{M}=$ माध्यिका

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य विचलन

M.D. $(\bar{x})=\frac{\sum f_i|x_i \quad \bar{x}|}{N}, \quad$ M.D. (M) $=\frac{\sum f_i \mid x_i}{N}$ M , जहाँ $N=\sum f_i$

अवर्गीकृत आँकड़ों का प्रसरण और मानक विचलन

$\sigma^{2}=\frac{1}{n} \sum(x_i-\bar{x})^{2}, \quad \sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \sum(x_i-\bar{x})^{2}}$

असतत बारंबारता बंटन का प्रसरण तथा मानक विचलन

$ \sigma^{2}=\frac{1}{N} \sum f_i(x_i-\bar{x})^{2}, \quad \sigma=\sqrt{\frac{1}{N} \sum f_i(x_i-\bar{x})^{2}} $

सतत बारंबारता बंटन का प्रसरण तथा मानक विचलन

$ \sigma^{2}=\frac{1}{N} \sum f_i(x_i-\bar{x})^{2}, \quad \sigma=\frac{1}{N} \sqrt{N \sum f_i x_i^{2}-(\sum f_i x_i)^{2}} $

प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात करने की लघु विधि

$ \begin{aligned} & \sigma^{2}=\frac{h^{2}}{N^{2}}[N \sum f_i y_i^{2}-(\sum f_i y_i)^{2}], \sigma=\frac{h}{N} \sqrt{N \sum f_i y_i^{2}-(\sum f_i y_i)^{2}}, \\ \\ & \text{ जहाँ } y_i=\frac{x_i-A}{h} \end{aligned} $

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

सांख्यिकी का उद्भव लैटिन शब्द ‘status’ से हुआ है जिसका अर्थ एक राजनैतिक राज्य होता है। इससे पता लगता है कि सांख्यिकी मानव सभ्यता जितनी पुरानी है। शायद वर्ष 3050 ई.पू. में यूनान में पहली जनगणना की गई थी। भारत में भी लगभग 2000 वर्ष पहले प्रशासनिक आँकड़े एकत्रित करने की कुशल प्रणाली थी। विशेषतः चंद्रगुप्त मौर्य (324-300 ई.पू.) के राज्य काल में कौटिल्य (लगभग 300 ई.पू.) के अर्थशास्त्र में जन्म और मृत्यु के आँकड़े एकत्रित करने की प्रणाली का उल्लेख मिला है। अकबर के शासनकाल में किए गये प्रशासनिक सर्वेक्षणों का वर्णन अबुलफज़ल द्वारा लिखित पुस्तक आइने-अकबरी मे दिया गया है।

लंदन के केप्टन John Graunt (1620-1675) को उनके द्वारा जन्म और मृत्यु की सांख्यिकी के अध्ययन के कारण उन्हें जन्म और मृत्यु सांख्यिकी का जनक माना जाता है। Jacob Bernoulli (1654-1705) ने 1713 मे प्रकाशित अपनी पुस्तक Ars Conjectandi में बड़ी संख्याओं के नियम को लिखा है।

सांख्यिकी का सैद्धांतिक विकास सत्रहवीं शताब्दी के दौरान खेलों और संयोग घटना के सिद्धांत के परिचय के साथ हुआ तथा इसके आगे भी विकास जारी रहा। एक अंग्रेज़ Francis Galton (1822-1921) ने जीव सांख्यिकी (Biometry) के क्षेत्र में सांख्यिकी विधियों के उपयोग का मार्ग प्रशस्त किया। Karl Pearson (1857-1936) ने काई वर्ग परीक्षण (Chi square test) तथा इंग्लैंड में सांख्यिकी प्रयोगशाला की स्थापना के साथ सांख्यिकीय अध्ययन के विकास में बहुत योगदान दिया है। Sir Ronald a. Fisher (1890-1962) जिन्हें आधुनिक सांख्यिकी का जनक माना जाता है, ने इसे विभिन्न क्षेत्रों जैसे अनुवांशिकी, जीव-सांख्यिकी, शिक्षा, कृषि आदि में लगाया।



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