Chapter-02 Structure of Atom

“The rich diversity of chemical behaviour of different elements can be traced to the differences in the internal structure of atoms of these elements.”

The existence of atoms has been proposed since the time of early Indian and Greek philosophers (400 B.C.) who were of the view that atoms are the fundamental building blocks of matter. According to them, the continued subdivisions of matter would ultimately yield atoms which would not be further divisible. The word ‘atom’ has been derived from the Greek word ‘a-tomio’ which means ‘uncut-able’ or ’non-divisible’. These earlier ideas were mere speculations and there was no way to test them experimentally. These ideas remained dormant for a very long time and were revived again by scientists in the nineteenth century.

The atomic theory of matter was first proposed on a firm scientific basis by John Dalton, a British school teacher in 1808. His theory, called Dalton’s atomic theory, regarded the atom as the ultimate particle of matter (Unit 1). Dalton’s atomic theory was able to explain the law of conservation of mass, law of constant composition and law of multiple proportion very successfully. However, it failed to explain the results of many experiments, for example, it was known that substances like glass or ebonite when rubbed with silk or fur get electrically charged.

In this unit we start with the experimental observations made by scientists towards the end of nineteenth and beginning of twentieth century. These established that atoms are made of sub-atomic particles, i.e., electrons, protons and neutrons - a concept very different from that of Dalton.

2.1 DISCOVERY OF SUB-ATOMIC PARTICLES

An insight into the structure of atom was obtained from the experiments on electrical discharge through gases. Before we discuss these results we need to keep in mind a basic rule regarding the behaviour of charged particles: “Like charges repel each other and unlike charges attract each other”.

2.1.1 Discovery of Electron

In 1830, Michael Faraday showed that if electricity is passed through a solution of an electrolyte, chemical reactions occurred at the electrodes, which resulted in the liberation and deposition of matter at the electrodes. He formulated certain laws which you will study in Class XII. These results suggested the particulate nature of electricity.

In mid 1850s many scientists mainly Faraday began to study electrical discharge in partially evacuated tubes, known as cathode ray discharge tubes. It is depicted in Fig. 2.1. A cathode ray tube is made of glass containing two thin pieces of metal, called electrodes, sealed in it. The electrical discharge through the gases could be observed only at very low pressures and at very high voltages. The pressure of different gases could be adjusted by evacuation of the glass tubes. When sufficiently high voltage is applied across the electrodes, current starts flowing through a stream of particles moving in the tube from the negative electrode (cathode) to the positive electrode (anode). These were called cathode rays or cathode ray particles. The flow of current from cathode to anode was further checked by making a hole in the anode and coating the tube behind anode with phosphorescent material zinc sulphide. When these rays, after passing through anode, strike the zinc sulphide coating, a bright spot is developed on the coating [Fig. 2.1(b)].

Fig. 2.1(b) A cathode ray discharge tube with perforated anode

The results of these experiments are summarised below.

(i) The cathode rays start from cathode and move towards the anode.

(ii) These rays themselves are not visible but their behaviour can be observed with the help of certain kind of materials (fluorescent or phosphorescent) which glow when hit by them. Television picture tubes are cathode ray tubes and television pictures result due to fluorescence on the television screen coated with certain fluorescent or phosphorescent materials.

(iii) In the absence of electrical or magnetic field, these rays travel in straight lines (Fig. 2.2).

(iv) In the presence of electrical or magnetic field, the behaviour of cathode rays are similar to that expected from negatively charged particles, suggesting that the cathode rays consist of negatively charged particles, called electrons.

(v) The characteristics of cathode rays (electrons) do not depend upon the material of electrodes and the nature of the gas present in the cathode ray tube.

Thus, we can conclude that electrons are basic constituent of all the atoms.

2.1.2 Charge to Mass Ratio of Electron

In 1897, British physicist J.J. Thomson measured the ratio of electrical charge $(e)$ to the mass of electron $\left(m_{e}\right)$ by using cathode ray tube and applying electrical and magnetic field perpendicular to each other as well as to the path of electrons (Fig. 2.2). When only electric field is applied, the electrons deviate from their path and hit the cathode ray tube at point A (Fig. 2.2). Similarly when only magnetic field is applied, electron strikes the cathode ray tube at point $\mathrm{C}$. By carefully balancing the electrical and magnetic field strength, it is possible to bring back the electron to the path which is followed in the absence of electric or magnetic field and they hit the screen at point B. Thomson argued that the amount of deviation of the particles from their path in the presence of electrical or magnetic field depends upon:

(i) the magnitude of the negative charge on the particle, greater the magnitude of the charge on the particle, greater is the interaction with the electric or magnetic field and thus greater is the deflection.

(ii) the mass of the particle - lighter the particle, greater the deflection.

(iii) the strength of the electrical or magnetic field - the deflection of electrons from its original path increases with the increase in the voltage across the electrodes, or the strength of the magnetic field.

By carrying out accurate measurements on the amount of deflections observed by the electrons on the electric field strength or magnetic field strength, Thomson was able to determine the value of $e / m_{\mathrm{e}}$ as:

$\frac{e}{m_{e}}=1.758820 \times 10^{11} \mathrm{C} \mathrm{kg}^{-1}$

Where $m_{\mathrm{e}}$ is the mass of the electron in $\mathrm{kg}$ and $e$ is the magnitude of the charge on the electron in coulomb (C). Since electrons are negatively charged, the charge on electron is $-e$.

2.1.3 Charge on the Electron

R.A. Millikan (1868-1953) devised a method known as oil drop experiment (1906-14), to determine the charge on the electrons. He found the charge on the electron to be $-1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$. The present accepted value of electrical charge is $-1.602176 \times 10^{-19} \mathrm{C}$. The mass of the electron $\left(m_{\mathrm{e}}\right)$ was determined by combining these results with Thomson’s value of $e / m_{e}$ ratio.

$$ \begin{aligned} \mathrm{m}_e & =\frac{e}{e / \mathrm{m}_e}=\frac{1.602176 \times 10^{-19} \mathrm{C}}{1.758820 \times 10^{11} \mathrm{C} \mathrm{~kg}^{-1}} \\ \end{aligned} $$

$$ \begin{align*} & =9.1094 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \tag{2.2} \end{align*} $$

Fig. 2.2 The apparatus to determine the charge to the mass ratio of electron

2.1.4 Discovery of Protons and Neutrons

Electrical discharge carried out in the modified cathode ray tube led to the discovery of canal rays carrying positively charged particles. The characteristics of these positively charged particles are listed below.

(i) Unlike cathode rays, mass of positively charged particles depends upon the nature of gas present in the cathode ray tube. These are simply the positively charged gaseous ions.

(ii) The charge to mass ratio of the particles depends on the gas from which these originate.

(iii) Some of the positively charged particles carry a multiple of the fundamental unit of electrical charge.

(iv) The behaviour of these particles in the magnetic or electrical field is opposite to that observed for electron or cathode rays.

The smallest and lightest positive ion was obtained from hydrogen and was called proton. This positively charged particle was characterised in 1919. Later, a need was felt for the presence of electrically neutral particle as one of the constituent of atom. These particles were discovered by Chadwick (1932) by bombarding a thin sheet of beryllium by $\alpha$-particles. When electrically neutral particles having a mass slightly greater than that of protons were emitted. He named these particles as neutrons. The important properties of all these fundamental particles are given in Table 2.1.

Millikan’s Oil Drop Method

In this method, oil droplets in the form of mist, produced by the atomiser, were allowed to enter through a tiny hole in the upper plate of electrical condenser. The downward motion of these droplets was viewed through the telescope, equipped with a micrometer eye piece. By measuring the rate of fall of these droplets, Millikan was able to measure the mass of oil droplets. The air inside the chamber was ionized by passing a beam of $\mathrm{X}$-rays through it. The electrical charge on these oil droplets was acquired by collisions with gaseous ions. The fall of these charged oil droplets can be retarded, accelerated or made stationary depending upon the charge on the droplets and the polarity and strength of the voltage applied to the plate. By carefully measuring the effects of electrical field strength on the motion of oil droplets, Millikan concluded that the magnitude of electrical charge, $q$, on the droplets is always an integral multiple of the electrical charge, $\mathrm{e}$, that is, $q=n \mathrm{e}$, where $\mathrm{n}=1,2,3 \ldots$.

Fig. 2.3 The Millikan oil drop apparatus formeasuring charge ‘e’. In chamber,the forces acting on oil drop are:gravitational, electrostatic due toelectrical field and a viscous dragforce when the oil drop is moving.

2.2 ATOMIC MODELS

Observations obtained from the experiments mentioned in the previous sections have suggested that Dalton’s indivisible atom is composed of sub-atomic particles carrying positive and negative charges. The major problems before the scientists after the discovery of sub-atomic particles were:

  • to account for the stability of atom,

  • to compare the behaviour of elements in terms of both physical and chemical properties,

  • to explain the formation of different kinds of molecules by the combination of different atoms and,

  • to understand the origin and nature of the characteristics of electromagnetic radiation absorbed or emitted by atoms.

Table 2.1 Properties of Fundamental Particles

Name Symbol Absolute
charge/C
Relative
charge
Mass/kg Mass/u Approx.
mass/u
Electron $\mathrm{e}$ $-1.602176 \times 10^{-19}$ -1 $9.109382 \times 10^{-31}$ 0.00054 0
Proton $\mathrm{p}$ $+1.602176 \times 10^{-19}$ +1 $1.6726216 \times 10^{-27}$ 1.00727 1
Neutron $\mathrm{n}$ 0 0 $1.674927 \times 10^{-27}$ 1.00867 1

Different atomic models were proposed to explain the distributions of these charged particles in an atom. Although some of these models were not able to explain the stability of atoms, two of these models, one proposed by J.J. Thomson and the other proposed by Ernest Rutherford are discussed below.

2.2.1 Thomson Model of Atom

J. J. Thomson, in 1898, proposed that an atom possesses a spherical shape (radius approximately $10^{-10} \mathrm{~m}$ ) in which the positive charge is uniformly distributed. The electrons are embedded into it in such a manner as to give the most stable electrostatic arrangement (Fig. 2.4). Many different names are given to this model, for example, plum pudding, raisin pudding or watermelon.

Fig.2.4 Thomson model of atom

This model can be visualised as a pudding or watermelon of positive charge with plums or seeds (electrons) embedded into it. An important feature of this model is that the mass of the atom is assumed to be uniformly distributed over the atom. Although this model was able to explain the overall neutrality of the atom, but was not consistent with the results of later experiments. Thomson was awarded Nobel Prize for physics in 1906, for his theoretical and experimental investigations on the conduction of electricity by gases.

In the later half of the nineteenth century different kinds of rays were discovered, besides those mentioned earlier. Wilhalm Röentgen (1845-1923) in 1895 showed that when electrons strike a material in the cathode ray tubes, produce rays which can cause fluorescence in the fluorescent materials placed outside the cathode ray tubes. Since Röentgen did not know the nature of the radiation, he named them $\mathrm{X}$-rays and the name is still carried on. It was noticed that X-rays are produced effectively when electrons strike the dense metal anode, called targets. These are not deflected by the electric and magnetic fields and have a very high penetrating power through the matter and that is the reason that these rays are used to study the interior of the objects. These rays are of very short wavelengths $(\sim 0.1 \mathrm{~nm})$ and possess electro-magnetic character (Section 2.3.1).

Henri Becqueral (1852-1908) observed that there are certain elements which emit radiation on their own and named this phenomenon as radioactivity and the elements known as radioactive elements. This field was developed by Marie Curie, Piere Curie, Rutherford and Fredrick Soddy. It was observed that three kinds of rays i.e., $\alpha, \beta-$ and $\gamma$-rays are emitted. Rutherford found that $\alpha$-rays consists of high energy particles carrying two units of positive charge and four unit of atomic mass. He concluded that $\alpha$ - particles are helium nuclei as when $\alpha$ particles combined with two electrons yielded helium gas. $\beta$-rays are negatively charged particles similar to electrons. The $\gamma$-rays are high energy radiations like X-rays, are neutral in nature and do not consist of particles. As regards penetrating power, $\alpha$-particles are the least, followed by $\beta$-rays (100 times that of $\alpha$-particles) and $\gamma$-rays (1000 times of that $\alpha$-particles).

2.2.2 Rutherford’s Nuclear Model of Atom

Rutherford and his students (Hans Geiger and Ernest Marsden) bombarded very thin gold foil with $\alpha$-particles. Rutherford’s famous $\alpha$-particle scattering experiment is represented in Fig. 2.5. A stream of high energy $\alpha$-particles from a radioactive source was directed at a thin foil (thickness $~ 100 \mathrm{~nm}$ ) of gold metal. The thin gold foil had a circular fluorescent zinc sulphide screen around it. Whenever $\alpha$-particles struck the screen, a tiny flash of light was produced at that point.

Fig. 2.5 Schematic view of Rutherford’sscattering experiment. When a beamof alpha () particles is “shot” at a thingold foil, most of them pass throughwithout much effect. Some, however,are deflected.

The results of scattering experiment were quite unexpected. According to Thomson model of atom, the mass of each gold atom in the foil should have been spread evenly over the entire atom, and $\alpha$-particles had enough energy to pass directly through such a uniform distribution of mass. It was expected that the particles would slow down and change directions only by a small angles as they passed through the foil. It was observed that:

(i) most of the $\alpha$-particles passed through the gold foil undeflected.

(ii) a small fraction of the $\alpha$-particles was deflected by small angles.

(iii) a very few $\alpha$-particles $(\sim 1$ in 20,000$)$ bounced back, that is, were deflected by nearly $180^{\circ}$.

On the basis of the observations, Rutherford drew the following conclusions regarding the structure of atom:

(i) Most of the space in the atom is empty as most of the $\alpha$-particles passed through the foil undeflected.

(ii) A few positively charged $\alpha$-particles were deflected. The deflection must be due to enormous repulsive force showing that the positive charge of the atom is not spread throughout the atom as Thomson had presumed. The positive charge has to be concentrated in a very small volume that repelled and deflected the positively charged $\alpha$-particles.

(iii) Calculations by Rutherford showed that the volume occupied by the nucleus is negligibly small as compared to the total volume of the atom. The radius of the atom is about $10^{-10} \mathrm{~m}$, while that of nucleus is $10^{-15} \mathrm{~m}$. One can appreciate this difference in size by realising that if a cricket ball represents a nucleus, then the radius of atom would be about $5 \mathrm{~km}$.

On the basis of above observations and conclusions, Rutherford proposed the nuclear model of atom. According to this model:

(i) The positive charge and most of the mass of the atom was densely concentrated in extremely small region. This very small portion of the atom was called nucleus by Rutherford.

(ii) The nucleus is surrounded by electrons that move around the nucleus with a very high speed in circular paths called orbits. Thus, Rutherford’s model of atom resembles the solar system in which the nucleus plays the role of sun and the electrons that of revolving planets.

(iii) Electrons and the nucleus are held together by electrostatic forces of attraction.

2.2.3 Atomic Number and Mass Number

The presence of positive charge on the nucleus is due to the protons in the nucleus. As established earlier, the charge on the proton is equal but opposite to that of electron. The number of protons present in the nucleus is equal to atomic number $(Z)$. For example, the number of protons in the hydrogen nucleus is 1 , in sodium atom it is 11 , therefore their atomic numbers are 1 and 11 respectively. In order to keep the electrical neutrality, the number of electrons in an atom is equal to the number of protons (atomic number, $Z)$. For example, number of electrons in hydrogen atom and sodium atom are 1 and 11 respectively.

$$ \begin{array}{ccc} \text{Atomic number } (Z) & = & \text{number of protons in} \\ & & \text{the nucleus of an atom }\\ & =& \text{ number of electrons} \\ & & \text{in a nuetral atom} \quad \quad (2.3) \\ \end{array} $$

While the positive charge of the nucleus is due to protons, the mass of the nucleus, due to protons and neutrons. As discussed earlier protons and neutrons present in the nucleus are collectively known as nucleons.

The total number of nucleons is termed as mass number (A) of the atom.

mass number (A) = number of protons (Z) + number of neutrons (n)

2.2.4 Isobars and Isotopes

The composition of any atom can be represented by using the normal element symbol $(\mathrm{X})$ with super-script on the left hand side as the atomic mass number (A) and subscript $(Z)$ on the left hand side as the atomic number (i.e., ${ }_{Z}^{A} X$ ).

Isobars are the atoms with same mass number but different atomic number for example, $_6^{14} C$ and $_7^{14} ~N$. On the other hand, atoms with identical atomic number but different atomic mass number are known as Isotopes. In other words (according to equation 2.4), it is evident that difference between the isotopes is due to the presence of different number of neutrons present in the nucleus. For example, considering of hydrogen atom again, $99.985 %$ of hydrogen atoms contain only one proton. This isotope is called protium $\left( _1^1 H\right)$. Rest of the percentage of hydrogen atom contains two other isotopes, the one containing 1 proton and 1 neutron is called deuterium $\left( _1^2 D, 0.015 \%\right)$ and the other one possessing 1 proton and 2 neutrons is called tritium $\left( _1^3 T\right)$. The latter isotope is found in trace amounts on the earth. Other examples of commonly occuring isotopes are: carbon atoms containing 6,7 and 8 neutrons besides 6 protons $\left( _6^{12} C, _6^{13} C, _6^{14} C\right)$; chlorine atoms containing 18 and 20 neutrons besides 17 protons $\left( _{17}^{35} \mathrm{Cl}, _{17}^{37} Cl\right)$.

Lastly an important point to mention regarding isotopes is that chemical properties of atoms are controlled by the number of electrons, which are determined by the number of protons in the nucleus. Number of neutrons present in the nucleus have very little effect on the chemical properties of an element. Therefore, all the isotopes of a given element show same chemical behaviour.

Problem 2.1

Calculate the number of protons, neutrons and electrons in ${ }_{35}^{80} \mathrm{Br}$.

Solution

In this case, ${ }_{35}^{80} \mathrm{Br}, \mathrm{Z}=35, \mathrm{~A}=80$, species is neutral

Number of protons $=$ number of electrons $=Z=35$

Number of neutrons $=80-35=45$, (equation 2.4)

Problem 2.2

The number of electrons, protons and neutrons in a species are equal to 18,16 and 16 respectively. Assign the proper symbol to the species.

Solution

The atomic number is equal to number of protons $=16$. The element is sulphur (S).

Atomic mass number $=$ number of protons + number of neutrons

$=16+16=32$

Species is not neutral as the number of protons is not equal to electrons. It is anion (negatively charged) with charge equal to excess electrons $=18-16=2$. Symbol is ${ }_{16}^{32} \mathrm{~S}^{2-}$.

Note : Before using the notation ${ }_{\mathrm{Z}}^{\mathrm{A}} \mathrm{X}$, find out whether the species is a neutral atom, a cation or an anion. If it is a neutral atom, equation (2.3) is valid, i.e., number of protons $=$ number of electrons $=$ atomic number. If the species is an ion, determine whether the number of protons are larger (cation, positive ion) or smaller (anion, negative ion) than the number of electrons. Number of neutrons is always given by $A-Z$, whether the species is neutral or ion.

2.2.5 Drawbacks of Rutherford Model

As you have learnt above, Rutherford nuclear model of an atom is like a small scale solar system with the nucleus playing the role of the massive sun and the electrons being similar to the lighter planets. When classical mechanics is applied to the solar system, it shows that the planets describe well-defined orbits around the sun. The gravitational force between the planets is given by the expression $\left(G .\frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}\right)$ where $m_{1}$ and $m_{2}$ are the masses, $r$ is the distance of separation of the masses and $\mathrm{G}$ is the gravitational constant. The theory can also calculate precisely the planetary orbits and these are in agreement with the experimental measurements.

The similarity between the solar system and nuclear model suggests that electrons should move around the nucleus in well defined orbits. Further, the coulomb force $\left(\mathrm{k} q_{1} q_{2} / r^{2}\right.$ where $q_{1}$ and $q_{2}$ are the charges, $r$ is the distance of separation of the charges and $\mathrm{k}$ is the proportionality constant) between electron and the nucleus is mathematically similar to the gravitational force. However, when a body is moving in an orbit, it undergoes acceleration even if it is moving with a constant speed in an orbit because of changing direction. So an electron in the nuclear model describing planet like orbits is under acceleration. According to the electromagnetic theory of Maxwell, charged particles when accelerated should emit electromagnetic radiation (This feature does not exist for planets since they are uncharged). Therefore, an electron in an orbit will emit radiation, the energy carried by radiation comes from electronic motion. The orbit will thus continue to shrink. Calculations show that it should take an electron only $10^{-8} \mathrm{~s}$ to spiral into the nucleus. But this does not happen. Thus, the Rutherford model cannot explain the stability of an atom. If the motion of an electron is described on the basis of the classical mechanics and electromagnetic theory, you may ask that since the motion of electrons in orbits is leading to the instability of the atom, then why not consider electrons as stationary[^0]around the nucleus. If the electrons were stationary, electrostatic attraction between the dense nucleus and the electrons would pull the electrons toward the nucleus to form a miniature version of Thomson’s model of atom.

Another serious drawback of the Rutherford model is that it says nothing about distribution of the electrons around the nucleus and the energies of these electrons.

2.3 DEVELOPMENTS LEADING TO THE BOHR’S MODEL OF ATOM

Historically, results observed from the studies of interactions of radiations with matter have provided immense information regarding the structure of atoms and molecules. Neils Bohr utilised these results to improve upon the model proposed by Rutherford. Two developments played a major role in the formulation of Bohr’s model of atom. These were:

(i) Dual character of the electromagnetic radiation which means that radiations possess both wave like and particle like properties, and

(ii) Experimental results regarding atomic spectra.

First, we will discuss about the duel nature of electromagnetic radiations. Experimental results regarding atomic spectra will be discussed in Section 2.4.

2.3.1 Wave Nature of Electromagnetic Radiation

In the mid-nineteenth century, physicists actively studied absorption and emission of radiation by heated objects. These are called thermal radiations. They tried to find out of what the thermal radiation is made. It is now a well-known fact that thermal radiations consist of electromagnetic waves of various frequencies or wavelengths. It is based on a number of modern concepts, which were unknown in the mid-nineteenth century. First active study of thermal radiation laws occured in the 1850’s and the theory of electromagnetic waves and the emission of such waves by accelerating charged particles was developed in the early 1870’s by James Clerk Maxwell, which was experimentally confirmed later by Heinrich Hertz. Here, we will learn some facts about electromagnetic radiations.

James Maxwell (1870) was the first to give a comprehensive explanation about the interaction between the charged bodies and the behaviour of electrical and magnetic fields on macroscopic level. He suggested that when electrically charged particle moves under accelaration, alternating electrical and magnetic fields are produced and transmitted. These fields are transmitted in the forms of waves called electromagnetic waves or electromagnetic radiation.

Light is the form of radiation known from early days and speculation about its nature dates back to remote ancient times. In earlier days (Newton) light was supposed to be made of particles (corpuscules). It was only in the 19 th century when wave nature of light was established.

Maxwell was again the first to reveal that light waves are associated with oscillating electric and magnetic character (Fig. 2.6).

Fig.2.6 The electric and magnetic fieldcomponents of an electromagneticwave. These components have the same wavelength, frequency, speedand amplitude, but they vibrate in two mutually perpendicular planes.

Although electromagnetic wave motion is complex in nature, we will consider here only a few simple properties.

(i) The oscillating electric and magnetic fields produced by oscillating charged particles are perpendicular to each other and both are perpendicular to the direction of propagation of the wave. Simplified picture of electromagnetic wave is shown in Fig. 2.6.

(ii) Unlike sound waves or waves produced not require medium and can move in vacuum.

(iii) It is now well established that there are many types of electromagnetic radiations, which differ from one another in wavelength (or frequency). These constitute what is called electromagnetic spectrum (Fig. 2.7). Different regions of the spectrum are identified by different names. Some examples are: radio frequency region around $10^{6} \mathrm{~Hz}$, used for broadcasting; microwave region around $10^{10} \mathrm{~Hz}$ used for radar; infrared region around $10^{13}$ $\mathrm{Hz}$ used for heating; ultraviolet region around $10^{16} \mathrm{~Hz}$ a component of sun’s radiation. The small portion around $10^{15}$ $\mathrm{Hz}$, is what is ordinarily called visible light. It is only this part which our eyes can see (or detect). Special instruments are required to detect non-visible radiation. in water, electromagnetic waves do

(iv) Different kinds of units are used to represent electromagnetic radiation.

These radiations are characterised by the properties, namely, frequency $(v)$ and wavelength $(\lambda)$.

The SI unit for frequency (v) is hertz $\left(\mathrm{Hz}, \mathrm{s}^{-1}\right)$, after Heinrich Hertz. It is defined as the number of waves that pass a given point in one second.

Wavelength should have the units of length and as you know that the SI units of length is meter (m). Since electromagnetic radiation consists of different kinds of waves of much smaller wavelengths, smaller units are used. Fig. 2.7 shows various types of electro-magnetic radiations which differ from one another in wavelengths and frequencies.

In vaccum all types of electromagnetic radiations, regardless of wavelength, travel at the same speed, i.e., $3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}(2.997925$ $\times 10^{8} \mathrm{~ms}^{-1}$, to be precise). This is called speed of light and is given the symbol ’ $c$ ‘. The frequency $(v)$, wavelength $(\lambda)$ and velocity of light (c) are related by the equation (2.5).

$$ \begin{equation*} c=\nu \lambda \tag{2.5} \end{equation*} $$

Fig. 2.7 (a) The spectrum of electromagnetic radiation. (b) Visible spectrum. The visible region is only a small part of the entire spectrum.

The other commonly used quantity specially in spectroscopy, is the wavenumber $(\bar{v})$. It is defined as the number of wavelengths per unit length. Its units are reciprocal of wavelength unit, i.e., $\mathrm{m}^{-1}$. However commonly used unit is $\mathrm{cm}^{-1}$ (not SI unit).

Problem 2.3

The Vividh Bharati station of All India Radio, Delhi, broadcasts on a frequency of $1,368 \mathrm{kHz}$ (kilo hertz). Calculate the wavelength of the electromagnetic radiation emitted by transmitter. Which part of the electromagnetic spectrum does it belong to?

Solution

$$ \text { wavelength } \lambda=\frac{c}{v} $$

where $\mathrm{c}$ is the speed of electromagnetic radiation in vacuum and $v$ is the frequency. Substituting the given values, we have

$\lambda=\frac{c}{v}$

$=\frac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{1368 \mathrm{kHz}}$

$=\frac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{1368 \times 10^{3} \mathrm{~s}^{-1}}$

$=219.3 \mathrm{~m}$

This is a characteristic radiowave wavelength.

Problem 2.4

The wavelength range of the visible spectrum extends from violet $(400 \mathrm{~nm})$ to red $(750 \mathrm{~nm})$. Express these wavelengths in frequencies $(\mathrm{Hz}) .\left(1 \mathrm{~nm}=10^{-9} \mathrm{~m}\right)$

Solution

Using equation 2.5, frequency of violet light

$$ \begin{aligned} & v=\frac{\mathrm{c}}{\lambda}=\frac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{400 \times 10^{-9} \mathrm{~m}} \\ & =7.50 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

Frequency of red light

$v=\frac{\mathrm{c}}{\lambda}=\frac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{750 \times 10^{-9} \mathrm{~m}}=4.00 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

The range of visible spectrum is from $4.0 \times 10^{14}$ to $7.5 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ in terms of frequency units.

Problem 2.5

Calculate (a) wavenumber and (b) frequency of yellow radiation having wavelength $5800 \mathring{A}$.

Solution

(a) Calculation of wavenumber $(\bar{v})$

$\lambda=5800 \mathring{A}=5800 \times 10^{-8} \mathrm{~cm}$

$$ =5800 \times 10^{-10} \mathrm{~m} $$

$\bar{v}=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{5800 \times 10^{-10} \mathrm{~m}}$

$$ =1.724 \times 10^{6} \mathrm{~m}^{-1} $$

$$ =1.724 \times 10^{4} \mathrm{~cm}^{-1} $$

(b) Calculation of the frequency $(v)$

$$ \bar{v}=\frac{\mathrm{c}}{\lambda}=\frac{3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{5800 \times 10^{-10} \mathrm{~m}}=5.172 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1} $$

2.3.2 Particle Nature of Electromagnetic Radiation: Planck’s Quantum Theory

Some of the experimental phenomenon such as diffraction and interference can be explained by the wave nature of the electromagnetic radiation. However, following are some of the observations which could not be explained with the help of even the electromagentic theory of 19th century physics (known as classical physics):

(i) the nature of emission of radiation from hot bodies (black-body radiation)

(ii) ejection of electrons from metal surface when radiation strikes it (photoelectric effect)

(iii) variation of heat capacity of solids as a function of temperature[^1]

(iv) Line spectra of atoms with special reference to hydrogen.

These phenomena indicate that the system can take energy only in discrete amounts. All possible energies cannot be taken up or radiated.

It is noteworthy that the first concrete explanation for the phenomenon of the black body radiation mentioned above was given by Max Planck in 1900. Let us first try to understand this phenomenon, which is given below:

Hot objects emit electromagnetic radiations over a wide range of wavelengths. At high temperatures, an appreciable proportion of radiation is in the visible region of the spectrum. As the temperature is raised, a higher proportion of short wavelength (blue light) is generated. For example, when an iron rod is heated in a furnace, it first turns to dull red and then progressively becomes more and more red as the temperature increases. As this is heated further, the radiation emitted becomes white and then becomes blue as the temperature becomes very high. This means that red radiation is most intense at a particular temperature and the blue radiation is more intense at another temperature. This means intensities of radiations of different wavelengths emitted by hot body depend upon its temperature. By late 1850’s it was known that objects made of different material and kept at different temperatures emit different amount of radiation. Also, when the surface of an object is irradiated with light (electromagnetic radiation), a part of radiant energy is generally reflected as such, a part is absorbed and a part of it is transmitted. The reason for incomplete absorption is that ordinary objects are as a rule imperfect absorbers of radiation. An ideal body, which emits and absorbs radiations of all frequencies uniformly, is called a black body and the radiation emitted by such a body is called black body radiation. In practice, no such body exists. Carbon black approximates fairly closely to black body. A good physical approximation to a black body is a cavity with a tiny hole, which has no other opening. Any ray entering the hole will be reflected by the cavity walls and will be eventually absorbed by the walls. A black body is also a perfect radiator of radiant energy. Furthermore, a black body is in thermal equilibrium with its surroundings. It radiates same amount of energy per unit area as it absorbs from its surrounding in any given time. The amount of light emitted (intensity of radiation) from a black body and its spectral distribution depends only on its temperature. At a given temperature, intensity of radiation emitted increases with the increase of wavelength, reaches a maximum value at a given wavelength and then starts decreasing with further increase of wavelength, as shown in Fig. 2.8. Also, as the temperature increases, maxima of the curve shifts to short wavelength. Several attempts were made to predict the intensity of radiation as a function of wavelength.

Fig. 2.8 Wavelength-intensity relationship

Fig. 2.8 (a) Black body

But the results of the above experiment could not be explained satisfactorily on the basis of the wave theory of light. Max Planck arrived at a satisfactory relationship by making an assumption that absorption and emmission of radiation arises from oscillator i.e., atoms in the wall of black body. Their frequency of oscillation is changed by interaction with oscilators of electromagnetic radiation. Planck assumed that radiation could be sub-divided into discrete chunks of energy. He suggested that atoms and molecules could emit or absorb energy only in discrete quantities and not in a continuous manner. He gave the name quantum to the smallest quantity of energy that can be emitted or absorbed in the form of electromagnetic radiation. The energy $(E)$ of a quantum of radiation is proportional to its frequency $(v)$ and is expressed by equation (2.6).

$$ \begin{equation*} E=h v \tag{2.6} \end{equation*} $$

The proportionality constant, ’ $h$ ’ is known as Planck’s constant and has the value $6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}$.

With this theory, Planck was able to explain the distribution of intensity in the radiation from black body as a function of frequency or wavelength at different temperatures.

Quantisation has been compared to standing on a staircase. A person can stand on any step of a staircase, but it is not possible for him/her to stand in between the two steps. The energy can take any one of the values from the following set, but cannot take on any values between them.

$E = 0, hv, 2hv, 3hv….nhv…..$

Fig.2.9 Equipment for studying the photoelectriceffect. Light of a particular frequency strikes a clean metal surface inside a vacuum chamber. Electrons are ejected from the metal and are counted by a detector that measures their kinetic energy.

Max Planck (1858-1947)

Max Planck, a German physicist, received his Ph.D in theoretical physics from the University of Munich in 1879. In 1888, he was appointed Director of the Institute of Theoretical Physics at the University of Berlin. Planck was awarded the Nobel Prize in Physics in 1918 for his quantum theory. Planck also made significant contributions in thermodynamics and other areas of physics.

Photoelectric Effect

In $1887, \mathrm{H}$. Hertz performed a very interesting experiment in which electrons (or electric current) were ejected when certain metals (for example potassium, rubidium, caesium etc.) were exposed to a beam of light as shown in Fig. 2.9. The phenomenon is called Photoelectric effect. The results observed in this experiment were:

(i) The electrons are ejected from the metal surface as soon as the beam of light strikes the surface, i.e., there is no time lag between the striking of light beam and the ejection of electrons from the metal surface.

(ii) The number of electrons ejected is proportional to the intensity or brightness of light.

(iii) For each metal, there is a characteristic minimum frequency, $v_{0}$ (also known as threshold frequency) below which photoelectric effect is not observed. At a frequency $v>v_{0}$, the ejected electrons come out with certain kinetic energy. The kinetic energies of these electrons increase with the increase of frequency of the light used.

All the above results could not be explained on the basis of laws of classical physics. According to latter, the energy content of the beam of light depends upon the brightness of the light. In other words, number of electrons ejected and kinetic energy associated with them should depend on the brightness of light. It has been observed that though the number of electrons ejected does depend upon the brightness of light, the kinetic energy of the ejected electrons does not. For example, red light $\left[v=(4.3\right.$ to 4.6$\left.) \times 10^{14} \mathrm{~Hz}\right]$ of any brightness (intensity) may shine on a piece of potassium metal for hours but no photoelectrons are ejected. But, as soon as even a very weak yellow light $\left(v=5.1-5.2 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}\right)$ shines on the potassium metal, the photoelectric effect is observed. The threshold frequency $\left(v_{0}\right)$ for potassium metal is $5.0 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$.

Table 2.2 Values of Work Function $\left(W_{0}\right)$ for a Few Metals

Metal $\mathrm{Li}$ $\mathrm{Na}$ $\mathrm{K}$ $\mathrm{Mg}$ $\mathrm{Cu}$ $\mathrm{Ag}$
$\mathbf{w}_{\mathbf{0}} / \mathbf{e V}$ 2.42 2.3 2.25 3.7 4.8 4.3

Einstein (1905) was able to explain the photoelectric effect using Planck’s quantum theory of electromagnetic radiation as a starting point.

Albert Einstein (1879–1955)

Albert Einstein, a German born American physicist, is regarded by many as one of the two great physicists the world has known (the other is Isaac Newton). His three research papers (on special relativity, Brownian motion and the photoelectric effect) which he published in 1905, while he was employed as a technical assistant in a Swiss patent office in Berne have profoundly influenced the development of physics. He received the Nobel Prize in Physics in 1921 for his explanation of the photoelectric effect.

Shining a beam of light on to a metal surface can, therefore, be viewed as shooting a beam of particles, the photons. When a photon of sufficient energy strikes an electron in the atom of the metal, it transfers its energy instantaneously to the electron during the collision and the electron is ejected without any time lag or delay. Greater the energy possessed by the photon, greater will be transfer of energy to the electron and greater the kinetic energy of the ejected electron. In other words, kinetic energy of the ejected electron is proportional to the frequency of the electromagnetic radiation. Since the striking photon has energy equal to $h v$ and the minimum energy required to eject the electron is $h v_0$ (also called work function, $\mathrm{W}_0$; Table 2.2), then the difference in energy $\left(h v-h v_0\right)$ is transferred as the kinetic energy of the photoelectron. Following the conservation of energy principle, the kinetic energy of the ejected electron is given by the equation 2.7.

$$h v=h v_{0}+\frac{1}{2} m_{\mathrm{e}} \mathrm{v}^{2} \tag{2.7}$$

where $m_{\mathrm{e}}$ is the mass of the electron and $v$ is the velocity associated with the ejected electron. Lastly, a more intense beam of light consists of larger number of photons, consequently the number of electrons ejected is also larger as compared to that in an experiment in which a beam of weaker intensity of light is employed.

Dual Behaviour of Electromagnetic Radiation

The particle nature of light posed a dilemma for scientists. On the one hand, it could explain the black body radiation and photoelectric effect satisfactorily but on the other hand, it was not consistent with the known wave behaviour of light which could account for the phenomena of interference and diffraction. The only way to resolve the dilemma was to accept the idea that light possesses both particle and wave-like properties, i.e., light has dual behaviour. Depending on the experiment, we find that light behaves either as a wave or as a stream of particles. Whenever radiation interacts with matter, it displays particle like properties in contrast to the wavelike properties (interference and diffraction), which it exhibits when it propagates. This concept was totally alien to the way the scientists thought about matter and radiation and it took them a long time to become convinced of its validity. It turns out, as you shall see later, that some microscopic particles like electrons also exhibit this waveparticle duality.

Problem 2.6

Calculate energy of one mole of photons of radiation whose frequency is $5 \times 10^{14}$ $\mathrm{Hz}$.

Solution

Energy $(E)$ of one photon is given by the expression

$E=h v$

$h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}$

$v=5 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}$ (given)

$E=\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right) \times\left(5 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\right)$

$=3.313 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

Energy of one mole of photons

$=\left(3.313 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right) \times\left(6.022 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}\right)$

$=199.51 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}$

Problem 2.7

A 100 watt bulb emits monochromatic light of wavelength $400 \mathrm{~nm}$. Calculate the number of photons emitted per second by the bulb.

Solution

Power of the bulb $=100$ watt

$$ =100 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1} $$

Energy of one photon $E=h \nu=h c / \lambda$

$$ \begin{aligned} & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \times 3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{400 \times 10^{-9} \mathrm{~m}} \\ & =4.969 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

Number of photons emitted

$$ \frac{100 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1}}{4.969 \times 10^{-19} \mathrm{~J}}=2.012 \times 10^{20} \mathrm{~s}^{-1} $$

Problem 2.8

When electromagnetic radiation of wavelength $300 \mathrm{~nm}$ falls on the surface of sodium, electrons are emitted with a kinetic energy of $1.68 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$. What is the minimum energy needed to remove an electron from sodium? What is the maximum wavelength that will cause a photoelectron to be emitted?

Solution

The energy $(E)$ of a $300 \mathrm{~nm}$ photon is given by

$$ \begin{aligned} h n & =h \mathrm{c} / \lambda \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \times 3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{300 \times 10^{-9} \mathrm{~m}} \\ & =6.626 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

The energy of one mole of photons

$=6.626 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \times 6.022 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}$

$=3.99 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$

The minimum energy needed to remove one mole of electrons from sodium

$=(3.99-1.68) 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$

$=2.31 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$

The minimum energy for one electron

$=\frac{2.31 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}}{6.022 \times 10^{23} \text { electrons } \mathrm{mol}^{-1}}$

$=3.84 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

This corresponds to the wavelength

$\therefore \lambda=\frac{h c}{E}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \times 3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{3.84 \times 10^{-19} \mathrm{~J}} \\ & =517 \mathrm{~nm} \end{aligned} $

(This corresponds to green light)

Problem 2.9

The threshold frequency $v_{0}$ for a metal is $7.0 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}$. Calculate the kinetic energy of an electron emitted when radiation of frequency $v=1.0 \times 10^{15} \mathrm{~s}^{-1}$ hits the metal.

Solution

According to Einstein’s equation

Kinetic energy $=1 / 2 m_{\mathrm{e}} \mathrm{v}^{2}=h\left(v-v_{0}\right)$

$$ \begin{aligned} & =\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right)\left(1.0 \times 10^{15} \mathrm{~s}^{-1}-7.0\times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right)\left(10.0 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}-7.0\times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right) \times\left(3.0 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =1.988 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

2.3.3 Evidence for the quantized Electronic Energy Levels: Atomic spectra

The speed of light depends upon the nature of the medium through which it passes. As a result, the beam of light is deviated or refracted from its original path as it passes from one medium to another. It is observed that when a ray of white light is passed through a prism, the wave with shorter wavelength bends more than the one with a longer wavelength. Since ordinary white light consists of waves with all the wavelengths in the visible range, a ray of white light is spread out into a series of coloured bands called spectrum. The light of red colour which has longest wavelength is deviated the least while the violet light, which has shortest wavelength is deviated the most. The spectrum of white light, that we can see, ranges from violet at $7.50 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ to red at $4 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$. Such a spectrum is called continuous spectrum. Continuous because violet merges into blue, blue into green and so on. A similar spectrum is produced when a rainbow forms in the sky. Remember that visible light is just a small portion of the electromagnetic radiation (Fig.2.7). When electromagnetic radiation interacts with matter, atoms and molecules may absorb energy and reach to a higher energy state. With higher energy, these are in an unstable state. For returning to their normal (more stable, lower energy states) energy state, the atoms and molecules emit radiations in various regions of the electromagnetic spectrum.

Emission and Absorption Spectra

The spectrum of radiation emitted by a substance that has absorbed energy is called an emission spectrum. Atoms, molecules or ions that have absorbed radiation are said to be “excited”. To produce an emission spectrum, energy is supplied to a sample by heating it or irradiating it and the wavelength (or frequency) of the radiation emitted, as the sample gives up the absorbed energy, is recorded.

An absorption spectrum is like the photographic negative of an emission spectrum. A continuum of radiation is passed through a sample which absorbs radiation of certain wavelengths. The missing wavelength which corresponds to the radiation absorbed by the matter, leave dark spaces in the bright continuous spectrum.

The study of emission or absorption spectra is referred to as spectroscopy. The spectrum of the visible light, as discussed above, was continuous as all wavelengths (red to violet) of the visible light are represented in the spectra. The emission spectra of atoms in the gas phase, on the other hand, do not show a continuous spread of wavelength from red to violet, rather they emit light only at specific wavelengths with dark spaces between them. Such spectra are called line spectra or atomic spectra because the emitted radiation is identified by the appearance of bright lines in the spectra (Fig. 2.10 page 45 ).

Line emission spectra are of great interest in the study of electronic structure. Each element has a unique line emission spectrum. The characteristic lines in atomic spectra can be used in chemical analysis to identify unknown atoms in the same way as fingerprints are used to identify people. The exact matching of lines of the emission spectrum of the atoms of a known element with the lines from an unknown sample quickly establishes the identity of the latter, German chemist, Robert Bunsen (1811-1899) was one of the first investigators to use line spectra to identify elements.

Elements like rubidium $(\mathrm{Rb})$, caesium ($\mathrm{Cs}$ ) thallium (Tl), indium (In), gallium (Ga) and scandium (Sc) were discovered when their minerals were analysed by spectroscopic methods. The element helium $(\mathrm{He})$ was discovered in the sun by spectroscopic method.

Fig. 2.10 (a) Atomic emission. The light emitted by a sample of excited hydrogen atoms (or any other element) can be passed through a prism and separated into certain discrete wavelengths. Thus an emission spectrum, which is a photographic recording of the separated wavelengths is called as line spectrum. Any sample of reasonable size contains an enormous number of atoms. Although a single atom can be in only one excited state at a time, the collection of atoms contains all possible excited states. The light emitted as these atoms fall to lower energy states is responsible for the spectrum.

(b) Atomic absorption. When whitelight is passed through unexcited atomic hydrogen and then througha slit and prism, the transmitted lightis lacking in intensity at the same wavelengths as areemitted in (a) The recorded absorption spectrum isalso a line spectrum and the photographic negative of the emission spectrum.

Line Spectrum of Hydrogen

When an electric discharge is passed through gaseous hydrogen, the $\mathrm{H}_{2}$ molecules dissociate and the energetically excited hydrogen atoms produced emit electromagnetic radiation of discrete frequencies. The hydrogen spectrum consists of several series of lines named after their discoverers. Balmer showed in 1885 on the basis of experimental observations that if spectral lines are expressed in terms of wavenumber $(\bar{v})$, then the visible lines of the hydrogen spectrum obey the following formula:

$$ \begin{equation*} \bar{v}=109,677\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right) \mathrm{cm}^{-1} \tag{2.8} \end{equation*} $$

where $n$ is an integer equal to or greater than 3 (i.e., $n=3,4,5, \ldots$.)

The series of lines described by this formula are called the Balmer series. The Balmer series of lines are the only lines in the hydrogen spectrum which appear in the visible region of the electromagnetic spectrum. The Swedish spectroscopist, Johannes Rydberg, noted that all series of lines in the hydrogen spectrum could be described by the following expression :

$$\bar{v}=109,677\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right) \mathrm{cm}^{-1} \tag{2.9}$$

where $n_{1}=1,2 \ldots \ldots$.

$n_{2}=n_{1}+1, n_{1}+2 \ldots \ldots$

The value $109,677 \mathrm{~cm}^{-1}$ is called the Rydberg constant for hydrogen. The first five series of lines that correspond to $n_{1}=1,2,3$, 4, 5 are known as Lyman, Balmer, Paschen, Bracket and Pfund series, respectively, Table 2.3 shows these series of transitions in the hydrogen spectrum. Fig. 2.11 (page, 46) shows the Lyman, Balmer and Paschen series of transitions for hydrogen atom.

Table 2.3 The Spectral Lines for Atomic Hydrogen

Series $\boldsymbol{n}_{\mathbf{1}}$ $\boldsymbol{n}_{\mathbf{2}}$ Spectral Region
Lyman 1 $2,3 \ldots$ Ultraviolet
Balmer 2 $3,4 \ldots$ Visible
Paschen 3 $4,5 \ldots$ Infrared
Brackett 4 $5,6 \ldots$ Infrared
Pfund 5 $6,7 \ldots$ Infrared

Fig. 2.11 Transitions of the electron in the hydrogen atom (The diagram shows the Lyman, Balmer and Paschen series of transitions)

Of all the elements, hydrogen atom has the simplest line spectrum. Line spectrum becomes more and more complex for heavier atom. There are, however, certain features which are common to all line spectra, i.e., (i) line spectrum of element is unique and (ii) there is regularity in the line spectrum of each element. The questions which arise are: What are the reasons for these similarities? Is it something to do with the electronic structure of atoms? These are the questions need to be answered. We shall find later that the answers to these questions provide the key in understanding electronic structure of these elements.

2.4 BOHR’S MODEL FOR HYDROGEN ATOM

Neils Bohr (1913) was the first to explain quantitatively the general features of the structure of hydrogen atom and its spectrum. He used Planck’s concept of quantisation of energy. Though the theory is not the modern quantum mechanics, it can still be used to rationalize many points in the atomic structure and spectra. Bohr’s model for hydrogen atom is based on the following postulates:

i) The electron in the hydrogen atom can move around the nucleus in a circular path of fixed radius and energy. These paths are called orbits, stationary states or allowed energy states. These orbits are arranged concentrically around the nucleus.

ii) The energy of an electron in the orbit does not change with time. However, the electron will move from a lower stationary state to a higher stationary state when required amount of energy is absorbed by the electron or energy is emitted when electron moves from higher stationary state to lower stationary state (equation 2.16). The energy change does not take place in a continuous manner.

Angular Momentum

Just as linear momentum is the product of mass $(m)$ and linear velocity (v), angular momentum is the product of moment of inertia $(I)$ and angular velocity $(\omega)$. For an electron of mass $m_{\mathrm{e}}$, moving in a circular path of radius $r$ around the nucleus,

$$ \text { angular momentum }=I \times \omega $$

Since $I=m_{\mathrm{e}} \mathrm{r}^{2}$, and $\omega=\mathrm{v} / r$ where $\mathrm{v}$ is the linear velocity,

$\therefore$ angular momentum $=m_{\mathrm{e}} r^{2} \times \mathrm{v} / r=m_{\mathrm{e}} \mathrm{v} r$

iii) The frequency of radiation absorbed or emitted when transition occurs between two stationary states that differ in energy by $\Delta E$, is given by:

$$ \begin{equation*} n=\frac{\Delta E}{h}=\frac{E_{2}-E_{1}}{h} \tag{2.10} \end{equation*} $$

Where $E_{1}$ and $E_{2}$ are the energies of the lower and higher allowed energy states respectively. This expression is commonly known as Bohr’s frequency rule.

iv) The angular momentum of an electron is quantised. In a given stationary state it can be expressed as in equation (2.11)

$$ \begin{equation*} m_{e} \mathrm{v} r=n \cdot \frac{h}{2 \pi} \quad n=1,2,3 \ldots \ldots \tag{2.11} \end{equation*} $$

Where $m_{\mathrm{e}}$ is the mass of electron, $v$ is the velocity and $r$ is the radius of the orbit in which electron is moving.

Thus an electron can move only in those orbits for which its angular momentum is integral multiple of $h / 2 \pi$. That means angular momentum is quantised. Radiation is emitted or obsorbed only when transition of electron takes place from one quantised value of angular momentum to another. Therefore, Maxwell’s electromagnetic theory does not apply here that is why only certain fixed orbits are allowed.

The details regarding the derivation of energies of the stationary states used by Bohr, are quite complicated and will be discussed in higher classes. However, according to Bohr’s theory for hydrogen atom:

a) The stationary states for electron are numbered $n=1,2,3 \ldots \ldots .$. . These integral numbers (Section 2.6.2) are known as Principal quantum numbers.

b) The radii of the stationary states are expressed as:

$$ \begin{equation*} r_{\mathrm{n}}=n^{2} a_{0} \tag{2.12} \end{equation*} $$

where $a_{0}=52.9 \mathrm{pm}$. Thus the radius of the first stationary state, called the Bohr orbit, is 52.9 pm. Normally the electron in the hydrogen atom is found in this orbit (that is $n=1$ ). As $n$ increases the value of $r$ will increase. In other words the electron will be present away from the nucleus.

c) The most important property associated with the electron, is the energy of its stationary state. It is given by the expression.

$E_{n}=-\mathrm{R}_{H}\left(\frac{1}{n^{2}}\right) \quad n=1,2,3 \ldots$

where $R_{H}$ is called Rydberg constant and its value is $2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$. The energy of the lowest state, also called as the ground state, is $E_{1}=-2.18 \times 10^{-18}\left(\frac{1}{1^{2}}\right)=-2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$. The energy of the stationary state for $\mathrm{n}=2$, will be : $E_{2}=-2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\left(\frac{1}{2^{2}}\right)=-0.545 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$.

Niels Bohr(1885–1962)

Niels Bohr, a Danish physicist received his Ph.D. from the University of Copenhagen in 1911. He then spent a year with J.J. Thomson and Ernest Rutherford in England. In 1913, he returned to Copenhagen where he remained for the rest of his life. In 1920 he was named Director of the Institute of theoretical Physics. After first World War, Bohr worked energetically for peaceful uses of atomic energy. He received the first Atoms for Peace award in 1957. Bohr was awarded the Nobel Prize in Physics in 1922.

Fig. 2.11 depicts the energies of different stationary states or energy levels of hydrogen atom. This representation is called an energy level diagram.

When the electron is free from the influence of nucleus, the energy is taken as zero. The electron in this situation is associated with the stationary state of Principal Quantum number $=n=\infty$ and is called as ionized hydrogen atom. When the electron is attracted by the nucleus and is present in orbit $\mathrm{n}$, the energy is emitted and its energy is lowered. That is the reason for the presence of negative sign in equation (2.13) and depicts its stability relative to the reference state of zero energy and $n=\infty$.

d) Bohr’s theory can also be applied to the ions containing only one electron, similar to that present in hydrogen atom. For example, $\mathrm{He}^{+} \mathrm{Li}^{2+}, \mathrm{Be}^{3+}$ and so on. The energies of the stationary states associated with these kinds of ions (also known as hydrogen like species) are given by the expression.

$$ \begin{equation*} E_{\mathrm{n}}=-2.18 \times 10^{-18}\left(\frac{Z^{2}}{n^{2}}\right) \mathrm{J} \tag{2.14} \end{equation*} $$

and radii by the expression

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}_{\mathrm{n}}=\frac{52.9\left(n^{2}\right)}{Z} \mathrm{pm} \tag{2.15} \end{equation*} $$

where $Z$ is the atomic number and has values 2,3 for the helium and lithium atoms respectively. From the above equations, it is evident that the value of energy becomes more negative and that of radius becomes smaller with increase of $Z$. This means that electron will be tightly bound to the nucleus.

e) It is also possible to calculate the velocities of electrons moving in these orbits. Although the precise equation is not given here, qualitatively the magnitude of velocity of electron increases with increase of positive charge on the nucleus and decreases with increase of principal quantum number.

What does the negative electronic energy $\left(E_{n}\right)$ for hydrogen atom mean?

The energy of the electron in a hydrogen atom has a negative sign for all possible orbits (eq. 2.13). What does this negative sign convey? This negative sign means that the energy of the electron in the atom is lower than the energy of a free electron at rest. A free electron at rest is an electron that is infinitely far away from the nucleus and is assigned the energy value of zero. Mathematically, this corresponds to setting $\mathrm{n}$ equal to infinity in the equation (2.13) so that $E_{\infty}=0$. As the electron gets closer to the nucleus (as $n$ decreases), $E_{n}$ becomes larger in absolute value and more and more negative. The most negative energy value is given by $n=1$ which corresponds to the most stable orbit. We call this the ground state.

2.4.1 Explanation of Line Spectrum of Hydrogen

Line spectrum observed in case of hydrogen atom, as mentioned in section 2.3.3, can be explained quantitatively using Bohr’s model. According to assumption 2, radiation (energy) is absorbed if the electron moves from the orbit of smaller Principal quantum number to the orbit of higher Principal quantum number, whereas the radiation (energy) is emitted if the electron moves from higher orbit to lower orbit. The energy gap between the two orbits is given by equation (2.16)

$$\Delta E=E_{\mathrm{f}}-E_{\mathrm{i}} \tag{2.16} $$

Combining equations (2.13) and (2.16)

$$ \Delta E=\left (-\frac{R_H}{n_f^2}\right)-\left(-\frac{R_H}{n_i^2}\right) (\text { where } n_{\mathrm{i}} \text { and } n_f \text{stand for initial orbit and final orbits}) $$

$$\Delta E=R_H\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)=2.18 \times 10^{-18} ~J\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right) \tag{2.17}$$

The frequency (v) associated with the absorption and emission of the photon can be evaluated by using equation

$$ \begin{align*} & v=\frac{\Delta E}{h}=\frac{\mathrm{R}_H}{h}\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right) \tag{2.18} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =\frac{2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}}{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}}\left(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \tag{2.18} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =3.29 \times 10^{15}\left(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \mathrm{Hz} \tag{2.19} \end{align*} $$

and in terms of wavenumbers $(\bar{V})$

$$ \begin{align*} & \bar{v}=\frac{v}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{R}_H}{h \mathrm{c}}\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right) \tag{2.20} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =\frac{3.29 \times 10^{15} \mathrm{~s}^{-1}}{3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-\mathrm{s}}}\left(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \\ & =1.09677 \times 10^{7}\left(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \mathrm{m}^{-1} \tag{2.21} \end{align*} $$

In case of absorption spectrum, $n_{\mathrm{f}}>n_{\mathrm{i}}$ and the term in the parenthesis is positive and energy is absorbed. On the other hand in case of emission spectrum $n_{\mathrm{i}}>n_{\mathrm{f}}, \Delta E$ is negative and energy is released.

The expression (2.17) is similar to that used by Rydberg (2.9) derived empirically using the experimental data available at that time. Further, each spectral line, whether in absorption or emission spectrum, can be associated to the particular transition in hydrogen atom. In case of large number of hydrogen atoms, different possible transitions can be observed and thus leading to large number of spectral lines. The brightness or intensity of spectral lines depends upon the number of photons of same wavelength or frequency absorbed or emitted.

Problem 2.10

What are the frequency and wavelength of a photon emitted during a transition from $n=5$ state to the $n=2$ state in the hydrogen atom?

Solution

Since $n_{\mathrm{i}}=5$ and $n_{\mathrm{f}}=2$, this transition gives rise to a spectral line in the visible region of the Balmer series. From equation (2.17)

$$ \begin{aligned} \Delta E & =2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\left[\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right] \\ & =-4.58 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

It is an emission energy

The frequency of the photon (taking energy in terms of magnitude) is given by

$v=\frac{\Delta E}{h}$

$=\frac{4.58 \times 10^{-19} \mathrm{~J}}{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}}$

$=6.91 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

$\lambda=\frac{\mathrm{c}}{v}=\frac{3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{6.91 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}}=434 \mathrm{~nm}$

Problem 2.11

Calculate the energy associated with the first orbit of $\mathrm{He}^{+}$. What is the radius of this orbit?

Solution

$E_{\mathrm{n}}=-\frac{\left(2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\right) Z^{2}}{n^{2}}$ atom $^{-1}$

For $\mathrm{He}^{+}, n=1, \mathrm{Z}=2$

$$ E_{1}=-\frac{\left(2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\right)\left(2^{2}\right)}{1^{2}}=-8.72 \times 10^{-18} \mathrm{~J} $$

The radius of the orbit is given by equation $(2.15)$

$$ \mathrm{r}_{n}=\frac{(0.0529 \mathrm{~nm}) n^{2}}{Z} $$

Since $n=1$, and $Z=2$

$$ \mathrm{r}_{n}=\frac{(0.0529 \mathrm{~nm}) 1^{2}}{2}=0.02645 \mathrm{~nm} $$

2.4.2 Limitations of Bohr’s Model

Bohr’s model of the hydrogen atom was no doubt an improvement over Rutherford’s nuclear model, as it could account for the stability and line spectra of hydrogen atom and hydrogen like ions (for example, $\mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+}$, $\mathrm{Be}^{3+}$, and so on). However, Bohr’s model was too simple to account for the following points.

i) It fails to account for the finer details (doublet, that is two closely spaced lines) of the hydrogen atom spectrum observed by using sophisticated spectroscopic techniques. This model is also unable to explain the spectrum of atoms other than hydrogen, for example, helium atom which possesses only two electrons. Further, Bohr’s theory was also unable to explain the splitting of spectral lines in the presence of magnetic field (Zeeman effect) or an electric field (Stark effect).

ii) It could not explain the ability of atoms to form molecules by chemical bonds.

In other words, taking into account the points mentioned above, one needs a better theory which can explain the salient features of the structure of complex atoms.

2.5 TOWARDS QUANTUM MECHANICAL MODEL OF THE ATOM

In view of the shortcoming of the Bohr’s model, attempts were made to develop a more suitable and general model for atoms. Two important developments which contributed significantly in the formulation of such a model were:

1. Dual behaviour of matter,

2. Heisenberg uncertainty principle.

2.5.1 Dual Behaviour of Matter

Louis de Broglie(1892–1987)

Louis de Broglie, a French physicist, studied history as an undergraduate in the early 1910’s. His interest turned to science as a result of his assignment to radio communications in World WarI. He received his Dr. Sc. from the University of Paris in 1924. He was professor of theoretical physics at the University of Paris from 1932 untill his retirement in 1962. He was awarded the Nobel Prize in Physics in 1929.

The French physicist, de Broglie, in 1924 proposed that matter, like radiation, should also exhibit dual behaviour i.e., both particle and wavelike properties. This means that just as the photon has momentum as well as wavelength, electrons should also have momentum as well as wavelength, de Broglie, from this analogy, gave the following relation between wavelength $(\lambda)$ and momentum (p) of a material particle.

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{h}{m v}=\frac{h}{p} \tag{2.22} \end{equation*} $$

where $m$ is the mass of the particle, $v$ its velocity and $p$ its momentum. de Broglie’s prediction was confirmed experimentally when it was found that an electron beam undergoes diffraction, a phenomenon characteristic of waves. This fact has been put to use in making an electron microscope, which is based on the wavelike behaviour of electrons just as an ordinary microscope utilises the wave nature of light. An electron microscope is a powerful tool in modern scientific research because it achieves a magnification of about 15 million times.

It needs to be noted that according to de Broglie, every object in motion has a wave character. The wavelengths associated with ordinary objects are so short (because of their large masses) that their wave properties cannot be detected. The wavelengths associated with electrons and other subatomic particles (with very small mass) can however be detected experimentally. Results obtained from the following problems prove these points qualitatively.

Problem 2.12

What will be the wavelength of a ball of mass $0.1 \mathrm{~kg}$ moving with a velocity of $10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ?

Solution

According to de Brogile equation (2.22)

$\lambda=\frac{h}{m v}=\frac{\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}\right)}{(0.1 \mathrm{~kg})\left(10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}$

$=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~m}\left(\mathrm{~J}=\mathrm{kg} \mathrm{m}{ }^{2} \mathrm{~s}^{-2}\right)$

Problem 2.13

The mass of an electron is $9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$. If its K.E. is $3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~J}$, calculate its wavelength.

Solution

Since K.E. $=1 / 2 m v^{2}$

$\mathrm{v}=\left(\frac{2 \times \text { गतिज ऊर्जा }}{m}\right)^{1 / 2}$

$=\left(\frac{2 \times 3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-2}}{9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}}\right)^{1 / 2}$

$=812 \mathrm{~ms}^{-1}$

$\lambda=\frac{h}{m v}$

$=\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{\left(9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}\right)\left(812 \mathrm{~ms}^{-1}\right)}$

$=8967 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$

$=896.7 \mathrm{~nm}$

Problem 2.14

Calculate the mass of a photon with wavelength $3.6 \mathring{A}$.

Solution

$\lambda=3.6 \mathring{A}=3.6 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$

Velocity of photon $=$ velocity of light

$$ \begin{aligned} & m=\frac{h}{\lambda v}=\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{\left(3.6 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\right)\left(3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)} \\ = & 6.135 \times 10^{-29} \mathrm{~kg} \end{aligned} $$

2.5.2 Heisenberg’s Uncertainty Principle

Werner Heisenberg a German physicist in 1927, stated uncertainty principle which is the consequence of dual behaviour of matter and radiation. It states that it is impossible to determine simultaneously, the exact position and exact momentum (or velocity) of an electron.

Mathematically, it can be given as in equation (2.23).

$$ \begin{align*} & \Delta \mathrm{x} \times \Delta p_{\mathrm{x}} \geq \frac{h}{4 \pi} \tag{2.23} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & \text { or } \Delta \mathrm{x} \times \Delta\left(m \mathrm{v}_{\mathrm{x}}\right) \geq \frac{h}{4 \pi} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & \text { or } \Delta \mathrm{x} \times \Delta \mathrm{v}_{\mathrm{x}} \geq \frac{h}{4 \pi m} \end{align*} $$

where $\Delta x$ is the uncertainty in position and $\Delta p_x\left(\right.$ or $\left.\Delta \mathrm{v}_x\right)$ is the uncertainty in momentum (or velocity) of the particle. If the position of the electron is known with high degree of accuracy ( $\Delta x$ is small), then the velocity of the electron will be uncertain $\left[\Delta\left(\mathrm{v}_x\right)\right.$ is large $]$. On the other hand, if the velocity of the electron is known precisely $\left(\Delta\left(\mathrm{v}_x\right)\right.$ is small), then the position of the electron will be uncertain ( $\Delta x$ will be large). Thus, if we carry out some physical measurements on the electron’s position or velocity, the outcome will always depict a fuzzy or blur picture.

The uncertainty principle can be best understood with the help of an example. Suppose you are asked to measure the thickness of a sheet of paper with an unmarked metrestick. Obviously, the results obtained would be extremely inaccurate and meaningless. In order to obtain any accuracy, you should use an instrument graduated in units smaller than the thickness of a sheet of the paper. Analogously, in order to determine the position of an electron, we must use a meterstick calibrated in units of smaller than the dimensions of electron (keep in mind that an electron is considered as a point charge and is therefore, dimensionless). To observe an electron, we can illuminate it with “light” or electromagnetic radiation. The “light” used must have a wavelength smaller than the dimensions of an electron. The high momentum photons of such light $\left(p=\frac{h}{\lambda}\right)$ would change the energy of electrons by collisions. In this process we, no doubt, would be able to calculate the position of the electron, but we would know very little about the velocity of the electron after the collision.

Significance of Uncertainty Principle

One of the important implications of the Heisenberg Uncertainty Principle is that it rules out existence of definite paths or trajectories of electrons and other similar particles. The trajectory of an object is determined by its location and velocity at various moments. If we know where a body is at a particular instant and if we also know its velocity and the forces acting on it at that instant, we can tell where the body would be sometime later. We, therefore, conclude that the position of an object and its velocity fix its trajectory. Since for a sub-atomic object such as an electron, it is not possible simultaneously to determine the position and velocity at any given instant to an arbitrary degree of precision, it is not possible to talk of the trajectory of an electron.

Werner Heisenberg (1901 - 1976)

Werner Heisenberg (1901-1976) received his Ph.D. in physics from the University of Munich in 1923. He then spent a year working with Max Born at Gottingen and three years with Niels Bohr in Copenhagen. He was professor of physics at the University of Leipzig from 1927 to 1941. During World War II, Heisenberg was in charge of German research on the atomic bomb. After the war he was named director of Max Planck Institute for physics in Gottingen. He was also accomplished mountain climber. Heisenberg was awarded the Nobel Prize in Physics in 1932.

The effect of Heisenberg Uncertainty Principle is significant only for motion of microscopic objects and is negligible for that of macroscopic objects. This can be seen from the following examples.

If uncertainty principle is applied to an object of mass, say about a milligram $\left(10^{-6} \mathrm{~kg}\right)$, then

$$ \begin{aligned} \Delta \mathrm{v} \cdot \Delta \mathrm{x} & =\frac{h}{4 \pi \cdot \mathrm{m}} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}}{4 \times 3.1416 \times 10^{-6} \mathrm{~kg}} \approx 10^{-28} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

The value of $\Delta \mathrm{v} \Delta \mathrm{x}$ obtained is extremely small and is insignificant. Therefore, one may say that in dealing with milligramsized or heavier objects, the associated uncertainties are hardly of any real consequence.

In the case of a microscopic object like an electron on the other hand. $\Delta \mathrm{v} . \Delta \mathrm{x}$ obtained is much larger and such uncertainties are of real consequence. For example, for an electron whose mass is $9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$., according to Heisenberg uncertainty principle

$$ \begin{aligned} \Delta \mathrm{v} \cdot \Delta \mathrm{x} & =\frac{h}{4 \pi \mathrm{m}} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{4 \times 3.1416 \times 9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}} \\ & =10^{-4} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

It, therefore, means that if one tries to find the exact location of the electron, say to an uncertainty of only $10^{-8} \mathrm{~m}$, then the uncertainty $\Delta \mathrm{v}$ in velocity would be

$$ \frac{10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}}{10^{-8} \mathrm{~m}} \approx 10^{4} \mathrm{~ms}^{-1} $$

which is so large that the classical picture of electrons moving in Bohr’s orbits (fixed) cannot hold good. It, therefore, means that the precise statements of the position and momentum of electrons have to be replaced by the statements of probability, that the electron has at a given position and momentum. This is what happens in the quantum mechanical model of atom.

Problem 2.15

A microscope using suitable photons is employed to locate an electron in an atom within a distance of $0.1 \mathring{A}$. What is the uncertainty involved in the measurement of its velocity?

Solution

$\Delta x \Delta p=\frac{h}{4 \pi}$ or $\Delta x m \Delta v \frac{h}{4 \pi}$

$$ \begin{aligned} & \Delta \mathrm{v}=\frac{h}{4 \pi \Delta \mathrm{xm}} \\ & \Delta \mathrm{v}=\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{4 \times 3.14 \times 0.1 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \times 9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}} \\ & =0.579 \times 10^{7} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\left(1 \mathrm{~J}=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right) \\ & =5.79 \times 10^{6} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

Problem 2.16

A golf ball has a mass of $40 \mathrm{~g}$, and a speed of $45 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$. If the speed can be measured within accuracy of $2 %$, calculate the uncertainty in the position.

Solution

The uncertainty in the speed is $2 %$, i.e.,

$$ 45 \quad \frac{2}{100}=0.9 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

Using the equation (2.22)

$\Delta \mathrm{x}=\frac{h}{4 \pi m \Delta \mathrm{v}}$

$=\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{4 \times 3.14 \times 40 \mathrm{~g} \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~g}^{-1}\left(0.9 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}$

$=1.46 \times 10^{-33} \mathrm{~m}$

This is nearly $\sim 10^{18}$ times smaller than the diameter of a typical atomic nucleus. As mentioned earlier for large particles, the uncertainty principle sets no meaningful limit to the precision of measurements.

Reasons for the Failure of the Bohr Model

One can now understand the reasons for the failure of the Bohr model. In Bohr model, an electron is regarded as a charged particle moving in well defined circular orbits about the nucleus. The wave character of the electron is not considered in Bohr model. Further, an orbit is a clearly defined path and this path can completely be defined only if both the position and the velocity of the electron are known exactly at the same time. This is not possible according to the Heisenberg uncertainty principle. Bohr model of the hydrogen atom, therefore, not only ignores dual behaviour of matter but also contradicts Heisenberg uncertainty principle.

Erwin Schrödinger (1887–1961)

Erwin Schrödinger, an Austrian physicist received his Ph.D. in theoretical physics from the University of Vienna in 1910. In 1927 Schrödinger succeeded Max Planck at the University of Berlin at Planck’s request. In 1933, Schrödinger left Berlin because of his opposition to Hitler and Nazi policies and returned Erwin Schrödinger (1887-1961) to Austria in 1936. After the invasion of Austria by Germany, Schrödinger was forcibly removed from his professorship. He then moved to Dublin, Ireland where he remained for seventeen years. Schrödinger shared the Nobel Prize for Physics with P.A.M. Dirac in 1933.

In view of these inherent weaknesses in the Bohr model, there was no point in extending Bohr model to other atoms. In fact an insight into the structure of the atom was needed which could account for wave-particle duality of matter and be consistent with Heisenberg uncertainty principle. This came with the advent of quantum mechanics.

2.6 QUANTUM MECHANICAL MODEL OF ATOM

Classical mechanics, based on Newton’s laws of motion, successfully describes the motion of all macroscopic objects such as a falling stone, orbiting planets etc., which have essentially a particle-like behaviour as shown in the previous section. However it fails when applied to microscopic objects like electrons, atoms, molecules etc. This is mainly because of the fact that classical mechanics ignores the concept of dual behaviour of matter especially for sub-atomic particles and the uncertainty principle. The branch of science that takes into account this dual behaviour of matter is called quantum mechanics.

Quantum mechanics is a theoretical science that deals with the study of the motions of the microscopic objects that have both observable wave like and particle like properties. It specifies the laws of motion that these objects obey. When quantum mechanics is applied to macroscopic objects (for which wave like properties are insignificant) the results are the same as those from the classical mechanics.

Quantum mechanics was developed independently in 1926 by Werner Heisenberg and Erwin Schrödinger. Here, however, we shall be discussing the quantum mechanics which is based on the ideas of wave motion. The fundamental equation of quantum mechanics was developed by Schrödinger and it won him the Nobel Prize in Physics in 1933. This equation which incorporates waveparticle duality of matter as proposed by de Broglie is quite complex and knowledge of higher mathematics is needed to solve it. You will learn its solutions for different systems in higher classes.

For a system (such as an atom or a molecule whose energy does not change with time) the Schrödinger equation is written as $\hat{H} \Psi=E \Psi$ where $\hat{H}$ is a mathematical operator called Hamiltonian. Schrödinger gave a recipe of constructing this operator from the expression for the total energy of the system. The total energy of the system takes into account the kinetic energies of all the sub-atomic particles (electrons, nuclei), attractive potential between the electrons and nuclei and repulsive potential among the electrons and nuclei individually. Solution of this equation gives $E$ and $\psi$.

Hydrogen Atom and the Schrödinger Equation

When Schrödinger equation is solved for hydrogen atom, the solution gives the possible energy levels the electron can occupy and the corresponding wave function(s) $(\psi)$ of the electron associated with each energy level. These quantized energy states and corresponding wave functions which are characterized by a set of three quantum numbers (principal quantum number $n$, azimuthal quantum number $l$ and magnetic quantum number $m_{l}$ ) arise as a natural consequence in the solution of the Schrödinger equation. When an electron is in any energy state, the wave function corresponding to that energy state contains all information about the electron. The wave function is a mathematical function whose value depends upon the coordinates of the electron in the atom and does not carry any physical meaning. Such wave functions of hydrogen or hydrogen like species with one electron are called atomic orbitals. Such wave functions pertaining to one-electron species are called one-electron systems. The probability of finding an electron at a point within an atom is proportional to the $|\psi|^{2}$ at that point. The quantum mechanical results of the hydrogen atom successfully predict all aspects of the hydrogen atom spectrum including some phenomena that could not be explained by the Bohr model.

Application of Schrödinger equation to multi-electron atoms presents a difficulty: the Schrödinger equation cannot be solved exactly for a multi-electron atom. This difficulty can be overcome by using approximate methods. Such calculations with the aid of modern computers show that orbitals in atoms other than hydrogen do not differ in any radical way from the hydrogen orbitals discussed above. The principal difference lies in the consequence of increased nuclear charge. Because of this all the orbitals are somewhat contracted. Further, as you shall see later (in subsections 2.6.3 and 2.6.4), unlike orbitals of hydrogen or hydrogen like species, whose energies depend only on the quantum number $n$, the energies of the orbitals in multi-electron atoms depend on quantum numbers $n$ and $l$.

Important Features of the Quantum Mechanical Model of Atom

Quantum mechanical model of atom is the picture of the structure of the atom, which emerges from the application of the Schrödinger equation to atoms. The following are the important features of the quantum-mechanical model of atom:

1. The energy of electrons in atoms is quantized (i.e., can only have certain specific values), for example when electrons are bound to the nucleus in atoms.

2. The existence of quantised electronic energy levels is a direct result of the wave like properties of electrons and are allowed solutions of Schrödinger wave equation.

3. Both the exact position and exact velocity of an electron in an atom cannot be determined simultaneously (Heisenberg uncertainty principle). The path of an electron in an atom therefore, can never be determined or known accurately. That is why, as you shall see later on, one talks of only probability of finding the electron at different points in an atom.

4. An atomic orbital is the wave function $\psi$ for an electron in an atom. Whenever an electron is described by a wave function, we say that the electron occupies that orbital. Since many such wave functions are possible for an electron, there are many atomic orbitals in an atom. These “one electron orbital wave functions” or orbitals form the basis of the electronic structure of atoms. In each orbital, the electron has a definite energy. An orbital cannot contain more than two electrons. In a multi-electron atom, the electrons are filled in various orbitals in the order of increasing energy. For each electron of a multi-electron atom, there shall, therefore, be an orbital wave function characteristic of the orbital it occupies. All the information about the electron in an atom is stored in its orbital wave function $\psi$ and quantum mechanics makes it possible to extract this information out of $\psi$.

5. The probability of finding an electron at a point within an atom is proportional to the square of the orbital wave function i.e., $|\psi|^{2}$ at that point. $|\psi|^{2}$ is known as probability density and is always positive. From the value of $|\psi|^{2}$ at different points within an atom, it is possible to predict the region around the nucleus where electron will most probably be found.

2.6.1 Orbitals and Quantum Numbers

A large number of orbitals are possible in an atom. Qualitatively these orbitals can be distinguished by their size, shape and orientation. An orbital of smaller size means there is more chance of finding the electron near the nucleus. Similarly shape and orientation mean that there is more probability of finding the electron along certain directions than along others. Atomic orbitals are precisely distinguished by what are known as quantum numbers. Each orbital is designated by three quantum numbers labelled as $n, l$ and $m_{l}$.

The principal quantum number ’ $n$ ’ is a positive integer with value of $n=1,2,3$ The principal quantum number determines the size and to large extent the energy of the orbital. For hydrogen atom and hydrogen like species $\left(\mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+}, \ldots\right.$. etc.) energy and size of the orbital depends only on ’ $n$ ‘.

The principal quantum number also identifies the shell. With the increase in the value of ’ $n$ ‘, the number of allowed orbital increases and are given by ’ $n$ ’ All the orbitals of a given value of ’ $n$ ’ constitute a single shell of atom and are represented by the following letters

$$ \begin{array}{rlrlll} n & =1 & 2 & 3 & 4 \\ \text { Shell } & =\mathrm{K} & \mathrm{L} & \mathrm{M} & \mathrm{N} \end{array} $$

Size of an orbital increases with increase of principal quantum number ’ $n$ ‘. In other words the electron will be located away from the nucleus. Since energy is required in shifting away the negatively charged electron from the positively charged nucleus, the energy of the orbital will increase with increase of $n$.

Azimuthal quantum number. ’ $l$ ’ is also known as orbital angular momentum or subsidiary quantum number. It defines the three-dimensional shape of the orbital. For a given value of $n, l$ can have $n$ values ranging from 0 to $n-1$, that is, for a given value of $n$, the possible value of $l$ are : $l=0,1,2$, $(n-1)$

For example, when $n=1$, value of $l$ is only 0 . For $n=2$, the possible value of $l$ can be 0 and 1 . For $n=3$, the possible $l$ values are 0 , 1 and 2.

Each shell consists of one or more sub-shells or sub-levels. The number of sub-shells in a principal shell is equal to the value of $n$. For example in the first shell $(n=1)$, there is only one sub-shell which corresponds to $l=0$. There are two sub-shells $(l=0,1)$ in the second shell $(n=2)$, three $(l=0,1,2)$ in third shell $(n=3)$ and so on. Each sub-shell is assigned an azimuthal quantum number ( $l$ ). Sub-shells corresponding to different values of $l$ are represented by the following symbols.

$ \begin{array}{lcccccccccc} \text{Value of l} :& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & ….. \\ \text{notation for sub shell} &s & p & d & f & g & h & ….. \end{array} $

Table 2.4 shows the permissible values of ’ $l$ ’ for a given principal quantum number and the corresponding sub-shell notation.

Table 2.4 Subshell Notations

$\mathbf{n}$ $\boldsymbol{l}$ Subshell notation
1 0 $1 s$
2 0 $2 s$
2 1 $2 p$
3 0 $3 s$
3 1 $3 p$
3 2 $3 d$
4 0 $4 s$
4 1 $4 p$
4 2 $4 d$
4 3 $4 f$

Magnetic orbital quantum number. ’ $m_{l}$ ’ gives information about the spatial orientation of the orbital with respect to standard set of co-ordinate axis. For any sub-shell (defined by ’ $l$ ’ value) $2 l+1$ values of $\mathrm{m}_l$ are possible and these values are given by: $m_l=-l,-(l-1),-(l-2) \ldots 0,1 \ldots(l-2),(l-1), l$

Thus for $l=0$, the only permitted value of $m_{l}=0,[2(0)+1=1$, one $\mathrm{s}$ orbital]. For $l=$ $1, m_{l}$ can be $-1,0$ and $+1[2(1)+1=3$, three $p$ orbitals]. For $l=2, m_{l}=-2,-1,0,+1$ and +2 , [2(2)+1 $=5$, five $d$ orbitals]. It should be noted that the values of $m_{l}$ are derived from $l$ and that the value of $l$ are derived from $n$.

Each orbital in an atom, therefore, is defined by a set of values for $n, l$ and $m_{l}$. An orbital described by the quantum numbers $n=2, l=1, m_{l}=0$ is an orbital in the $p$ subshell of the second shell. The following chart gives the relation between the subshell and the number of orbitals associated with it.

Value of $l$ 0 1 2 3 4 5
Subshell notation $s$ $p$ $d$ $f$ $g$ $h$
number of orbitals 1 3 5 7 9 11

Electron spin ’ $s$ ’ : The three quantum numbers labelling an atomic orbital can be used equally well to define its energy, shape and orientation. But all these quantum numbers are not enough to explain the line spectra observed in the case of multi-electron atoms, that is, some of the lines actually occur in doublets (two lines closely spaced), triplets (three lines, closely spaced) etc. This suggests the presence of a few more energy levels than predicted by the three quantum numbers.

In 1925, George Uhlenbeck and Samuel Goudsmit proposed the presence of the fourth quantum number known as the electron spin quantum number $\left(\boldsymbol{m}_s\right)$. An electron spins around its own axis, much in a similar way as earth spins around its own axis while revolving around the sun. In other words, an electron has, besides charge and mass, intrinsic spin angular quantum number. Spin angular momentum of the electron - a vector quantity, can have two orientations relative to the chosen axis. These two orientations are distinguished by the spin quantum numbers $m_s$ which can take the values of $+1 / 2$ or $-1 / 2$. These are called the two spin states of the electron and are normally represented by two arrows, $\uparrow$ (spin up) and $\downarrow$ (spin down). Two electrons that have different $m_s$ values (one $+1 / 2$ and the other $-1 / 2$ ) are said to have opposite spins. An orbital cannot hold more than two electrons and these two electrons should have opposite spins.

To sum up, the four quantum numbers provide the following information :

i) $\quad \boldsymbol{n}$ defines the shell, determines the size of the orbital and also to a large extent the energy of the orbital.

ii) There are $n$ subshells in the $n^{\text {th }}$ shell. $l$ identifies the subshell and determines the shape of the orbital (see section 2.6.2). There are $(2 l+1)$ orbitals of each type in a subshell, that is, one $s$ orbital $(l=0)$, three $p$ orbitals $(l=1)$ and five $d$ orbitals $(l=2)$ per subshell. To some extent $l$ also determines the energy of the orbital in a multi-electron atom.

iii) $\boldsymbol{m}_l$ designates the orientation of the orbital. For a given value of $l, m_l$ has $(2 l+1)$ values, the same as the number of orbitals per subshell. It means that the number of orbitals is equal to the number of ways in which they are oriented.

iv) $\boldsymbol{m}_{\mathrm{s}}$ refers to orientation of the spin of the electron.

Orbit, orbital and its importance

Orbit and orbital are not synonymous. An orbit, as proposed by Bohr, is a circular path around the nucleus in which an electron moves. A precise description of this path of the electron is impossible according to Heisenberg uncertainty principle. Bohr orbits, therefore, have no real meaning and their existence can never be demonstrated experimentally. An atomic orbital, on the other hand, is a quantum mechanical concept and refers to the one electron wave function $\psi$ in an atom. It is characterized by three quantum numbers ( $n, l$ and $m_{l}$ ) and its value depends upon the coordinates of the electron. $\psi$ has, by itself, no physical meaning. It is the square of the wave function i.e., $|\psi|^{2}$ which has a physical meaning. $|\psi|^{2}$ at any point in an atom gives the value of probability density at that point. Probability density $\left(|\psi|^{2}\right)$ is the probability per unit volume and the product of $|\psi|^{2}$ and a small volume (called a volume element) yields the probability of finding the electron in that volume (the reason for specifying a small volume element is that $|\psi|^{2}$ varies from one region to another in space but its value can be assumed to be constant within a small volume element). The total probability of finding the electron in a given volume can then be calculated by the sum of all the products of $|\psi|^{2}$ and the corresponding volume elements. It is thus possible to get the probable distribution of an electron in an orbital.

Problem 2.17

What is the total number of orbitals associated with the principal quantum number $n=3$ ?

Solution

For $n=3$, the possible values of $l$ are 0,1 and 2. Thus there is one $3 s$ orbital $\left(n=3, l=0\right.$ and $\left.\mathrm{m}_1=0\right)$; there are three $3 p$ orbitals $\left(n=3, l=1\right.$ and $m_l=-1,0$, $+1)$; there are five $3 d$ orbitals $(n=3, l=$ 2 and $\left.m_l=-2,-1,0,+1+,+2\right)$.

Therefore, the total number of orbitals is $1+3+5=9$

The same value can also be obtained by using the relation; number of orbitals $=n^{2}$, i.e. $3^{2}=9$.

Problem 2.18

Using $s, p, d$, $\mathrm{f}$ notations, describe the orbital with the following quantum numbers

(a) $n=2, l=1$, (b) $n=4, l=0$, (c) $n=5$, $l=3$, (d) $n=3, l=2$

Solution

$n$ $l$ orbital
(a) 2 1 $2 p$
(b) 4 0 $4 s$
(c) 5 3 $5 f$
(d) 3 2 $3 d$

2.6.2 Shapes of Atomic Orbitals

The orbital wave function or $\psi$ for an electron in an atom has no physical meaning. It is simply a mathematical function of the coordinates of the electron. However, for different orbitals the plots of corresponding wave functions as a function of $r$ (the distance from the nucleus) are different. Fig. 2.12(a), gives such plots for $1 s(n=1, l=0)$ and $2 s$ $(n=2, l=0)$ orbitals.

Fig. 2.12 The plots of (a) the orbital wavefunction ψ(r); (b) the variation of probability density ψ (r) as a function of distance r of the electron from the nucleus for 1s and 2s orbitals.

According to the German physicist, Max Born, the square of the wave function (i.e., $\psi^{2}$ ) at a point gives the probability density of the electron at that point. The variation of $\psi^{2}$ as a function of $r$ for $1 s$ and $2 s$ orbitals is given in Fig. 2.12(b). Here again, you may note that the curves for $1 s$ and $2 s$ orbitals are different.

It may be noted that for $1 \mathrm{~s}$ orbital the probability density is maximum at the nucleus and it decreases sharply as we move away from it. On the other hand, for $2 s$ orbital the probability density first decreases sharply to zero and again starts increasing. After reaching a small maxima it decreases again and approaches zero as the value of $r$ increases further. The region where this probability density function reduces to zero is called nodal surfaces or simply nodes. In general, it has been found that $n s$-orbital has $(n-1)$ nodes, that is, number of nodes increases with increase of principal quantum number $n$. In other words, number of nodes for $2 s$ orbital is one, two for $3 s$ and so on.

These probability density variation can be visualised in terms of charge cloud diagrams [Fig. 2.13(a)]. In these diagrams, the density of the dots in a region represents electron probability density in that region.

Boundary surface diagrams of constant probability density for different orbitals give a fairly good representation of the shapes of the orbitals. In this representation, a boundary surface or contour surface is drawn in space for an orbital on which the value of probability density $|\psi|^{2}$ is constant. In principle many such boundary surfaces may be possible. However, for a given orbital, only that boundary surface diagram of constant probability density is taken to be good representation of the shape of the orbital which encloses a region or volume in which the probability of finding the electron is very high, say, $90 %$. The boundary surface diagram for $1 s$ and $2 s$ orbitals are given in Fig. 2.13(b). One may ask a question : Why do we not draw a boundary surface diagram, which bounds a region in which the probability of finding the electron is, $100 %$ ? The answer to this question is that the probability density $|\psi|^{2}$ has always some value, howsoever small it may be, at any finite distance from the nucleus. It is therefore, not possible to draw a boundary surface diagram of a rigid size in which the probability of finding the electron is $100 %$. Boundary surface diagram for a $s$ orbital is actually a sphere centred on the nucleus. In two dimensions, this sphere looks like a circle. It encloses a region in which probability of finding the electron is about $90 %$.

Thus, we see that $1 s$ and $2 s$ orbitals are spherical in shape. In reality all the s-orbitals are spherically symmetric, that is, the probability of finding the electron at a given distance is equal in all the directions. It is also observed that the size of the $s$ orbital increases with increase in $n$, that is, $4 s>3 s>2 s>1 s$ and the electron is located further away from the nucleus as the principal quantum number increases.

Fig. 2.13 (a) Probability density plots of 1s and 2s atomic orbitals. The density of the dots represents the probability density of finding the electron in that region. (b) Boundary surface diagram for 1s and 2s orbitals.

Fig. 2.14 Boundary surface diagrams of the three 2p orbitals

Boundary surface diagrams for three $2 p$ orbitals $(l=1)$ are shown in Fig. 2.14. In (a) these diagrams, the nucleus is at the origin. Here, unlike s-orbitals, the boundary surface diagrams are not spherical. Instead each $p$ orbital consists of two sections called lobes that are on either side of the plane that passes through the nucleus. The probability density[^3]function is zero on the plane where the two lobes touch each other. The size, shape and energy of the three orbitals are identical. They differ however, in the way the lobes are oriented. Since the lobes may be considered to lie along the $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ or $\mathrm{z}$ axis, they are given the designations $2 p_{x}, 2 p_{y}$, and $2 p_{z}$. It should be understood, however, that there is no simple relation between the values of $m_{l}(-1,0$ and +1$)$ and the $x, y$ and $z$ directions.

Fig. 2.15 Boundary surface diagrams of the five 3d orbitals.

For our purpose, it is sufficient to remember that, because there are three possible values of $m_{l}$, there are, therefore, three $p$ orbitals whose axes are mutually perpendicular. Like $s$ orbitals, $p$ orbitals increase in size and energy with increase in the principal quantum number and hence the order of the energy and size of various $p$ orbitals is $4 p>3 p>2 p$. Further, like $\mathrm{s}$ orbitals, the probability density functions for $p$-orbital also pass through value zero, besides at zero and infinite distance, as the distance from the nucleus increases. The number of nodes are given by the $n-2$, that is number of radial node is 1 for $3 p$ orbital, two for $4 p$ orbital and so on.

For $l=2$, the orbital is known as $d$-orbital and the minimum value of principal quantum number $(n)$ has to be 3 . as the value of $l$ cannot be greater than $n-1$. There are five $m_{l}$ values $(-2,-1,0,+1$ and +2$)$ for $l=2$ and thus there are five $d$ orbitals. The boundary surface diagram of $d$ orbitals are shown in Fig. 2.15.

The five $d$-orbitals are designated as $d_{\mathrm{xy}}$, $d_{\mathrm{yz}}, d_{\mathrm{xz}}, d_{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}}$ and $d_{\mathrm{z}^{2}}$. The shapes of the first four $d$-orbitals are similar to each other, where as that of the fifth one, $d_{z^{2}}$, is different from others, but all five $3 d$ orbitals are equivalent in energy. The $d$ orbitals for which $n$ is greater than $3(4 d, 5 d \ldots)$ also have shapes similar to $3 d$ orbital, but differ in energy and size.

Besides the radial nodes (i.e., probability density function is zero), the probability density functions for the $\mathrm{n} p$ and $\mathrm{nd}$ orbitals are zero at the plane (s), passing through the nucleus (origin). For example, in case of $p_{z}$ orbital, xy-plane is a nodal plane, in case of $d_{\mathrm{xy}}$ orbital, there are two nodal planes passing through the origin and bisecting the xy plane containing $z$-axis. These are called angular nodes and number of angular nodes are given by ’ $l$ ‘, i.e., one angular node for $p$ orbitals, two angular nodes for ’ $d$ ’ orbitals and so on. The total number of nodes are given by ( $n-1$ ), i.e., sum of $l$ angular nodes and $(n-l-1)$ radial nodes.

2.6.3 Energies of Orbitals

The energy of an electron in a hydrogen atom is determined solely by the principal quantum number. Thus the energy of the orbitals in hydrogen atom increases as follows:

$1 s<2 s=2 p<3 s=3 p=3 d<4 s=4 p=4 d$ $=4 f<$ and is depicted in Fig. 2.16. Although the shapes of $2 s$ and $2 p$ orbitals are different, an electron has the same energy when it is in the $2 s$ orbital as when it is present in $2 p$ orbital. The orbitals having the same energy are called degenerate. The $1 s$ orbital in a hydrogen atom, as said earlier, corresponds to the most stable condition and is called the ground state and an electron residing in this orbital is most strongly held by the nucleus. An electron in the $2 s, 2 p$ or higher orbitals in a hydrogen atom is in excited state.

Fig. 2.16 Energy level diagrams for the few electronic shells of (a) hydrogen atom and (b) multi-electronic atoms. Note that orbitals for the same value of principal quantum number, have the same energies even for different azimuthal quantum number for hydrogen atom. In case of multi-electron atoms, orbitals with same principal quantum number possess different energies for different azimuthal quantum numbers

The energy of an electron in a multielectron atom, unlike that of the hydrogen atom, depends not only on its principal quantum number (shell), but also on its azimuthal quantum number (subshell). That is, for a given principal quantum number, $s$, $p, d, f \ldots$ all have different energies. Within a given principal quantum number, the energy of orbitals increases in the order $s<p<d<f$. For higher energy levels, these differences are sufficiently pronounced and straggering of orbital energy may result, e.g., $4 s<3 d$ and $6 s<5 d ; 4 f<6 p$. The main reason for having different energies of the subshells is the mutual repulsion among the electrons in multi-electron atoms. The only electrical interaction present in hydrogen atom is the attraction between the negatively charged electron and the positively charged nucleus. In multi-electron atoms, besides the presence of attraction between the electron and nucleus, there are repulsion terms between every electron and other electrons present in the atom. Thus the stability of an electron in a multi-electron atom is because total attractive interactions are more than the repulsive interactions. In general, the repulsive interaction of the electrons in the outer shell with the electrons in the inner shell are more important. On the other hand, the attractive interactions of an electron increases with increase of positive charge $(Z e)$ on the nucleus. Due to the presence of electrons in the inner shells, the electron in the outer shell will not experience the full positive charge of the nucleus $(Z e)$. The effect will be lowered due to the partial screening of positive charge on the nucleus by the inner shell electrons. This is known as the shielding of the outer shell electrons from the nucleus by the inner shell electrons, and the net positive charge experienced by the outer electrons is known as effective nuclear charge $\left(Z_{\text {eff }} e\right.)$ . Despite the shielding of the outer electrons from the nucleus by the inner shell electrons, the attractive force experienced by the outer shell electrons increases with increase of nuclear charge. In other words, the energy of interaction between, the nucleus and electron (that is orbital energy) decreases (that is more negative) with the increase of atomic number $(\boldsymbol{Z})$.

Both the attractive and repulsive interactions depend upon the shell and shape of the orbital in which the electron is present. For example electrons present in spherical shaped, $s$ orbital shields the outer electrons from the nucleus more effectively as compared to electrons present in $p$ orbital. Similarly electrons present in $p$ orbitals shield the outer electrons from the nucleus more than the electrons present in $d$ orbitals, even though all these orbitals are present in the same shell. Further within a shell, due to spherical shape of $s$ orbital, the $s$ orbital electron spends more time close to the nucleus in comparison to $p$ orbital electron which spends more time in the vicinity of nucleus in comparison to $d$ orbital electron. In other words, for a given shell (principal quantum number), the $Z_{\text {eff }}$ experienced by the electron decreases with increase of azimuthal quantum number $( l)$, that is, the $s$ orbital electron will be more tightly bound to the nucleus than $p$ orbital electron which in turn will be better tightly bound than the $d$ orbital electron. The energy of electrons in $s$ orbital will be lower (more negative) than that of $p$ orbital electron which will have less energy than that of $d$ orbital electron and so on. Since the extent of shielding from the nucleus is different for electrons in different orbitals, it leads to the splitting of energy levels within the same shell (or same principal quantum number), that is, energy of electron in an orbital, as mentioned earlier, depends upon the values of $n$ and $l$. Mathematically, the dependence of energies of the orbitals on $n$ and $l$ are quite complicated but one simple rule is that, the lower the value of $(n+l)$ for an orbital, the lower is its energy. If two orbitals have the same value of $(n+l)$, the orbital with lower value of $\boldsymbol{n}$ will have the lower energy. The Table 2.5 illustrates the $(n+l)$ rule and Fig. 2.16 depicts the energy levels of multielectrons atoms. It may be noted that different subshells of a particular shell have different energies in case of multi-electrons atoms. However, in hydrogen atom, these have the same energy. Lastly it may be mentioned here that energies of the orbitals in the same subshell decrease with increase in the atomic number $\left(\boldsymbol{Z}_{\text {eff }}\right)$.

Table 2.5 Arrangement of Orbitals with Increasing Energy on the Basis of (n+l) Rule

For example, energy of $2 s$ orbital of hydrogen atom is greater than that of $2 s$ orbital of lithium and that of lithium is greater than that of sodium and so on, that is, $E_{2 s}(\mathrm{H})>E_{2 s}(\mathrm{Li})>E_{2 s}(\mathrm{Na})>E_{2 s}(\mathrm{~K})$.

2.6.4 Filling of Orbitals in Atom

The filling of electrons into the orbitals of different atoms takes place according to the aufbau principle which is based on the Pauli’s exclusion principle, the Hund’s rule of maximum multiplicity and the relative energies of the orbitals.

Aufbau Principle

The word ‘aufbau’ in German means ‘building up’. The building up of orbitals means the filling up of orbitals with electrons. The principle states : In the ground state of the atoms, the orbitals are filled in order of their increasing energies. In other words, electrons first occupy the lowest energy orbital available to them and enter into higher energy orbitals only after the lower energy orbitals are filled. As you have learnt above, energy of a given orbital depends upon effective nuclear charge and different type of orbitals are affected to different extent. Thus, there is no single ordering of energies of orbitals which will be universally correct for all atoms.

However, following order of energies of the orbitals is extremely useful:

$1 s, 2 s, 2 p, 3 s, 3 p, 4 s, 3 d, 4 p, 5 s, 4 d, 5 p, 4 f$, $5 d, 6 p, 7 s \ldots$

The order may be remembered by using the method given in Fig. 2.17.

Fig.2.17 Order of filling of orbitals

Starting from the top, the direction of the arrows gives the order of filling of orbitals, that is starting from right top to bottom left. With respect to placement of outermost valence electrons, it is remarkably accurate for all atoms. For example, valence electron in potassium must choose between $3 d$ and $4 s$ orbitals and as predicted by this sequence, it is found in $4 s$ orbital. The above order should be assumed to be a rough guide to the filling of energy levels. In many cases, the orbitals are similar in energy and small changes in atomic structure may bring about a change in the order of filling. Even then, the above series is a useful guide to the building of the electronic structure of an atom provided that it is remembered that exceptions may occur.

Pauli Exclusion Principle

The number of electrons to be filled in various orbitals is restricted by the exclusion principle, given by the Austrian scientist Wolfgang Pauli (1926). According to this principle : No two electrons in an atom can have the same set of four quantum numbers. Pauli exclusion principle can also be stated as : “Only two electrons may exist in the same orbital and these electrons must have opposite spin.” This means that the two electrons can have the same value of three quantum numbers $n, l$ and $m_{l}$, but must have the opposite spin quantum number. The restriction imposed by Pauli’s exclusion principle on the number of electrons in an orbital helps in calculating the capacity of electrons to be present in any subshell. For example, subshell 1 s comprises one orbital and thus the maximum number of electrons present in $1 s$ subshell can be two, in $p$ and $d$ subshells, the maximum number of electrons can be 6 and 10 and so on. This can be summed up as : the maximum number of electrons in the shell with principal quantum number $\boldsymbol{n}$ is equal to $2 \boldsymbol{n}^{2}$.

Hund’s Rule of Maximum Multiplicity

This rule deals with the filling of electrons into the orbitals belonging to the same subshell (that is, orbitals of equal energy, called degenerate orbitals). It states : pairing of electrons in the orbitals belonging to the same subshell ( $p, d$ or $f$ ) does not take place until each orbital belonging to that subshell has got one electron each i.e., it is singly occupied.

Since there are three $p$, five $d$ and seven $f$ orbitals, therefore, the pairing of electrons will start in the $p, d$ and $f$ orbitals with the entry of 4th, 6th and 8th electron, respectively. It has been observed that half filled and fully filled degenerate set of orbitals acquire extra stability due to their symmetry (see Section, 2.6.7).

2.6.5 Electronic Configuration of Atoms

The distribution of electrons into orbitals of an atom is called its electronic configuration. If one keeps in mind the basic rules which govern the filling of different atomic orbitals, the electronic configurations of different atoms can be written very easily.

The electronic configuration of different atoms can be represented in two ways. For example :

(i) $s^{\mathrm{a}} p^{\mathrm{b}} d^{\mathrm{c}} \ldots .$. notation

(ii) Orbital diagram

In the first notation, the subshell is represented by the respective letter symbol and the number of electrons present in the subshell is depicted, as the super script, like a, b, c, … etc. The similar subshell represented for different shells is differentiated by writing the principal quantum number before the respective subshell. In the second notation each orbital of the subshell is represented by a box and the electron is represented by an arrow $(\uparrow$ ) a positive spin or an arrow $(\downarrow)$ a negative spin. The advantage of second notation over the first is that it represents all the four quantum numbers.

The hydrogen atom has only one electron which goes in the orbital with the lowest energy, namely $1 \mathrm{~s}$. The electronic configuration of the hydrogen atom is $1 \mathrm{~s}^{1}$ meaning that it has one electron in the $1 \mathrm{~s}$ orbital. The second electron in helium (He) can also occupy the $1 s$ orbital. Its configuration is, therefore, $1 s^{2}$. As mentioned above, the two electrons differ from each other with opposite spin, as can be seen from the orbital diagram.

The third electron of lithium (Li) is not allowed in the $1 \mathrm{~s}$ orbital because of Pauli exclusion principle. It, therefore, takes the next available choice, namely the $2 s$ orbital. The electronic configuration of $\mathrm{Li}$ is $1 s^{2} 2 s^{1}$. The $2 s$ orbital can accommodate one more electron. The configuration of beryllium (Be) atom is, therefore, $1 s^{2} 2 s^{2}$ (see Table 2.6, page 66 for the electronic configurations of elements).

In the next six elements-boron $\left(\mathrm{B}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{1}\right)$, carbon (C, $\left.1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{2}\right)$, nitrogen $\left(\mathrm{N}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{3}\right)$, oxygen $\left(\mathrm{O}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{4}\right)$, fluorine $\left(\mathrm{F}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{5}\right.$ ) and neon (Ne, $\left.1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6}\right)$, the $2 p$ orbitals get progressively filled. This process is completed with the neon atom. The orbital picture of these elements can be represented as follows :

The electronic configuration of the elements sodium ( $\mathrm{Na}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{1}$ ) to argon ( $\left.\mathrm{Ar}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6}\right)$, follow exactly the same pattern as the elements from lithium to neon with the difference that the $3 s$ and $3 p$ orbitals are getting filled now. This process can be simplified if we represent the total number of electrons in the first two shells by the name of element neon (Ne). The electronic configuration of the elements from sodium to argon can be written as $\left(\mathrm{Na},[\mathrm{Ne}] 3 s^{1}\right)$ to (Ar, $\left.[\mathrm{Ne}] 3 s^{2} 3 p^{6}\right)$. The electrons in the completely filled shells are known as core electrons and the electrons that are added to the electronic shell with the highest principal quantum number are called valence electrons. For example, the electrons in $\mathrm{Ne}$ are the core electrons and the electrons from $\mathrm{Na}$ to $\mathrm{Ar}$ are the valence electrons. In potassium $(\mathrm{K})$ and calcium (Ca), the $4 s$ orbital, being lower in energy than the $3 d$ orbitals, is occupied by one and two electrons respectively.

A new pattern is followed beginning with scandium (Sc). The $3 d$ orbital, being lower in energy than the $4 p$ orbital, is filled first. Consequently, in the next ten elements, scandium (Sc), titanium (Ti), vanadium (V), chromium $(\mathrm{Cr})$, manganese $(\mathrm{Mn})$, iron $(\mathrm{Fe})$, cobalt (Co), nickel (Ni), copper $(\mathrm{Cu})$ and zinc $(\mathrm{Zn})$, the five $3 d$ orbitals are progressively occupied. We may be puzzled by the fact that chromium and copper have five and ten electrons in $3 d$ orbitals rather than four and nine as their position would have indicated with two-electrons in the $4 \mathrm{~s}$ orbital. The reason is that fully filled orbitals and halffilled orbitals have extra stability (that is, lower energy). Thus $p^{3}, p^{6}, d^{5}, d^{10}, f^{7}, f^{14}$ etc. configurations, which are either half-filled or fully filled, are more stable. Chromium and copper therefore adopt the $d^{5}$ and $d^{10}$ configuration (Section 2.6.7)[caution: exceptions do exist]

With the saturation of the $3 d$ orbitals, the filling of the $4 p$ orbital starts at gallium (Ga) and is complete at krypton ( $\mathrm{Kr}$ ). In the next eighteen elements from rubidium $(R b)$ to xenon $(\mathrm{Xe})$, the pattern of filling the $5 \mathrm{~s}$, $4 d$ and $5 p$ orbitals are similar to that of $4 s$, $3 d$ and $4 p$ orbitals as discussed above. Then comes the turn of the $6 \mathrm{~s}$ orbital. In caesium $(\mathrm{Cs})$ and the barium $(\mathrm{Ba})$, this orbital contains one and two electrons, respectively. Then from lanthanum $(\mathrm{La})$ to mercury $(\mathrm{Hg})$, the filling up of electrons takes place in $4 f$ and $5 d$ orbitals. After this, filling of $6 p$, then $7 s$ and finally $5 f$ and $6 d$ orbitals takes place. The elements after uranium (U) are all short-lived and all of them are produced artificially. The electronic configurations of the known elements (as determined by spectroscopic methods) are tabulated in Table 2.6 (page 66).

One may ask what is the utility of knowing the electron configuration? The modern approach to the chemistry, infact, depends almost entirely on electronic distribution to understand and explain chemical behaviour. For example, questions like why two or more atoms combine to form molecules, why some elements are metals while others are nonmetals, why elements like helium and argon are not reactive but elements like the halogens are reactive, find simple explanation from the electronic configuration. These questions have no answer in the Daltonian model of atom. A detailed understanding of the electronic structure of atom is, therefore, very essential for getting an insight into the various aspects of modern chemical knowledge.

2.6.6 Stability of Completely Filled and Half Filled Subshells

The ground state electronic configuration of the atom of an element always corresponds to the state of the lowest total electronic energy. The electronic configurations of most of the atoms follow the basic rules given in Section 2.6.5. However, in certain elements such as $\mathrm{Cu}$, or $\mathrm{Cr}$, where the two subshells $4 \mathrm{~s}$ and $3 d$ ) differ slightly in their energies, an electron shifts from a subshell of lower energy (4s) to a subshell of higher energy (3d), provided such a shift results in all orbitals of the subshell of higher energy getting either completely filled or half filled. The valence electronic configurations of $\mathrm{Cr}$ and $\mathrm{Cu}$, therefore, are $3 d^{5} 4 s^{1}$ and $3 d^{10} 4 s^{1}$ respectively and not $3 d^{4}$ $4 s^{2}$ and $3 d^{9} 4 s^{2}$. It has been found that there is extra stability associated with these electronic configurations.

Causes of Stability of Completely Filled and Half-filled Subshells

The completely filled and completely half-filled subshells are stable due to the following reasons:

1. Symmetrical distribution of electrons: It is well known that symmetry leads to stability. The completely filled or half filled subshells have symmetrical distribution of electrons in them and are therefore more stable. Electrons in the same subshell (here $3 d$ ) have equal energy but different spatial distribution. Consequently, their shielding of oneanother is relatively small and the electrons are more strongly attracted by the nucleus.

2. Exchange Energy : The stabilizing effect arises whenever two or more electrons with the same spin are present in the degenerate orbitals of a subshell. These electrons tend to exchange their positions and the energy released due to this exchange is called exchange energy. The number of exchanges that can take place is maximum when the subshell is either half filled or completely filled (Fig. 2.18). As a result the exchange energy is maximum and so is the stability.

You may note that the exchange energy is at the basis of Hund’s rule that electrons which enter orbitals of equal energy have parallel spins as far as possible. In other words, the extra stability of half-filled and completely filled subshell is due to: (i) relatively small shielding, (ii) smaller coulombic repulsion energy, and (iii) larger exchange energy. Details about the exchange energy will be dealt with in higher classes.

Fig 2.18 Possible exchange for a $d^{5}$ configuration

Table 2.6 Electronic Configurations of the Elements

  • Elements with atomic number 112 and above have been reported but not yet fully authenticated and named.

Summary

Atoms are the building blocks of elements. They are the smallest parts of an element that chemically react. The first atomic theory, proposed by John Dalton in 1808, regarded atom as the ultimate indivisible particle of matter. Towards the end of the nineteenth century, it was proved experimentally that atoms are divisible and consist of three fundamental particles: electrons, protons and neutrons. The discovery of sub-atomic particles led to the proposal of various atomic models to explain the structure of atom.

Thomson in 1898 proposed that an atom consists of uniform sphere of positive electricity with electrons embedded into it. This model in which mass of the atom is considered to be evenly spread over the atom was proved wrong by Rutherford’s famous alpha-particle scattering experiment in 1909. Rutherford concluded that atom is made of a tiny positively charged nucleus, at its centre with electrons revolving around it in circular orbits. Rutherford model, which resembles the solar system, was no doubt an improvement over Thomson model but it could not account for the stability of the atom i.e., why the electron does not fall into the nucleus. Further, it was also silent about the electronic structure of atoms i.e., about the distribution and relative energies of electrons around the nucleus. The difficulties of the Rutherford model were overcome by Niels Bohr in 1913 in his model of the hydrogen atom. Bohr postulated that electron moves around the nucleus in circular orbits. Only certain orbits can exist and each orbit corresponds to a specific energy. Bohr calculated the energy of electron in various orbits and for each orbit predicted the distance between the electron and nucleus. Bohr model, though offering a satisfactory model for explaining the spectra of the hydrogen atom, could not explain the spectra of multi-electron atoms. The reason for this was soon discovered. In Bohr model, an electron is regarded as a charged particle moving in a well defined circular orbit about the nucleus. The wave character of the electron is ignored in Bohr’s theory. An orbit is a clearly defined path and this path can completely be defined only if both the exact position and the exact velocity of the electron at the same time are known. This is not possible according to the Heisenberg uncertainty principle. Bohr model of the hydrogen atom, therefore, not only ignores the dual behaviour of electron but also contradicts Heisenberg uncertainty principle.

Erwin Schrödinger, in 1926, proposed an equation called Schrödinger equation to describe the electron distributions in space and the allowed energy levels in atoms. This equation incorporates de Broglie’s concept of wave-particle duality and is consistent with Heisenberg uncertainty principle. When Schrödinger equation is solved for the electron in a hydrogen atom, the solution gives the possible energy states the electron can occupy [and the corresponding wave function(s) ( $\psi$ ) (which in fact are the mathematical functions) of the electron associated with each energy state]. These quantized energy states and corresponding wave functions which are characterized by a set of three quantum numbers (principal quantum number $n$, azimuthal quantum number $l$ and magnetic quantum number $m_{l}$ ) arise as a natural consequence in the solution of the Schrödinger equation. The restrictions on the values of these three quantum numbers also come naturally from this solution. The quantum mechanical model of the hydrogen atom successfully predicts all aspects of the hydrogen atom spectrum including some phenomena that could not be explained by the Bohr model.

According to the quantum mechanical model of the atom, the electron distribution of an atom containing a number of electrons is divided into shells. The shells, in turn, are thought to consist of one or more subshells and subshells are assumed to be composed of one or more orbitals, which the electrons occupy. While for hydrogen and hydrogen like systems (such as $\mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+}$ etc.) all the orbitals within a given shell have same energy, the energy of the orbitals in a multi-electron atom depends upon the values of $n$ and $l$ : The lower the value of $(n+l)$ for an orbital, the lower is its energy. If two orbitals have the same $(n+l)$ value, the orbital with lower value of $n$ has the lower energy. In an atom many such orbitals are possible and electrons are filled in those orbitals in order of increasing energy in accordance with Pauli exclusion principle (no two electrons in an atom can have the same set of four quantum numbers) and Hund’s rule of maximum multiplicity (pairing of electrons in the orbitals belonging to the same subshell does not take place until each orbital belonging to that subshell has got one electron each, i.e., is singly occupied). This forms the basis of the electronic structure of atoms.

Exercise

2.1 (i) Calculate the number of electrons which will together weigh one gram.

(ii) Calculate the mass and charge of one mole of electrons.

Show Answer

Answer

(i) Mass of one electron $=9.10939 \times 10^{- 31} kg$

$\therefore$ Number of electrons that weigh $9.10939 \times 10^{-31} kg=1$

Number of electrons that will weigh $1 g=(1 \times 10^{- 3} kg)$

$=\frac{1}{9.10939 \times 10^{-31} kg} \times(1 \times 10^{-3} kg)$

$=0.1098 \times 10^{-3+31}$

$=0.1098 \times 10^{28}$

$=1.098 \times 10^{27}$

(ii) Mass of one electron $=9.10939 \times 10^{-31} kg$

Mass of one mole of electron $=(6.022 \times 10^{23}) \times(9.10939 \times 10^{- 3} kg)$

$=5.48 \times 10^{-7} kg$

Charge on one electron $=1.6022 \times 10^{- 19}$ coulomb

Charge on one mole of electron $=(1.6022 \times 10^{-19} C)(6.022 \times 10^{23})$

$=9.65 \times 10^{4} C$

2.2 (i) Calculate the total number of electrons present in one mole of methane.

(ii) Find (a) the total number and (b) the total mass of neutrons in $7 \mathrm{mg}$ of $14 \mathrm{C}$. (Assume that mass of a neutron $=1.675 \times 10-27 \mathrm{~kg}$ ).

(iii) Find (a) the total number and (b) the total mass of protons in $34 \mathrm{mg}$ of $\mathrm{NH}_{3}$ at STP.

Will the answer change if the temperature and pressure are changed?

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(i) Total number of electrons present in 1 methane molecule $=6+4=10$.

Total number of electrons resent in 1 mole of methane

$$ =10 \times 6.023 \times 10^{23}=6.023 \times 10^{24} \text { electrons. } $$

The number of neutrons is equal to the difference in the mass number and atomic number.

It is equal to $\ \backslash \mathrm{d}$ is playstyle $14-6=8$.

(ii)(a) The number of neutrons present in $7 \mathrm{mg}$ of $\mathrm{C}-14$ is

$$ \frac{6.023 \times 10^{23} \times 8}{14} \times 7 \times 10^{10-3}=2.4088 \times 10^{21} \text { neutrons. } $$

(b) Total mass of neutrons in $7 \mathrm{mg}$ of $\mathrm{C}-14$ is

$$ 2.4088 \times 10^{21} \times 1.675 \times 10^{-27} 4.035 \times 10^{-6} \mathrm{~kg} \text {. } $$

(iii)(a)Number of protons present in 1 molecule of ammonia $=7+3=10$.

Number of molecules present in $34 \mathrm{mg}$ of ammonia is

$$ \frac{6.023 \times 10^{23} \times 34 \times 10^{-3}}{17}=1.2044 \times 10^{21} \text {. } $$

Total number of protons present in $34 \mathrm{mg}$ of ammonia

$$ =10 \times 1.2044 \times 10^{21}=1.2044 \times 10^{22} $$

(b) Total mass of protons present in $34 \mathrm{mg}$ of ammonia at STP is

$$ 1.6726 \times 10^{-27} \times 1.204 \times 10^{22}=2.0138 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} \text {. } $$

When temperature and pressure are changed, there is no difference in the answer.

2.3 How many neutrons and protons are there in the following nuclei?

$ _{6}^{13} C, _{8}^{16} O, _{12}^{24} Mg, _{26}^{56}Fe,{ } _{38}^{88} Sr $

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Answer

${ }_6^{13} \mathrm{C}:$

Atomic mass $=13$

Atomic number $=$ Number of protons $=6$

Number of neutrons $=$ (Atomic mass) $-($ Atomic number $)$ $=13-6=7$

${ }_{\mathrm{O}}^{16} \mathrm{O}:$

Atomic mass $=16$

Atomic number $=8$

Number of protons $=8$

Number of neutrons $=($ Atomic mass $)-($ Atomic number $)$ $=16-8=8$

${ }_{12}^{24} \mathrm{Mg}$ :

Atomic mass $=24$

Atomic number $=$ Number of protons $=12$

Number of neutrons $=($ Atomic mass $)-($ Atomic number $)$

$$ =24-12=12 $$

${ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}:$

Atomic mass $=56$

Atomic number $=$ Number of protons $=26$

Number of neutrons $=$ (Atomic mass) - (Atomic number)

$$ =56-26=30 $$

$\frac{18}{38} \mathrm{Sr}:$

Atomic mass $=88$

Atomic number $=$ Number of protons $=38$

Number of neutrons $=($ Atomic mass $)-($ Atomic number $)$

$$ =88-38=50 $$

2.4 Write the complete symbol for the atom with the given atomic number $(Z)$ and atomic mass (A)

(i) $\mathrm{Z}=17, \mathrm{~A}=35$.

(ii) $\mathrm{Z}=92, \mathrm{~A}=233$.

(iii) $Z=4, \quad A=9$.

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(i) $ _{17}^{35} C$ (ii) $ _{92}^{233} U$ (iii) $ _{4}^{9} B$

2.5 Yellow light emitted from a sodium lamp has a wavelength $(\lambda)$ of $580 \mathrm{~nm}$. Calculate the frequency $(v)$ and wavenumber $(\bar{v})$ of the yellow light.

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From the expression,

$\lambda=\frac{c}{v}$

We get,

$v=\frac{c}{\lambda}$

Where,

$v$ = frequency of yellow light

$c=$ velocity of light in vacuum $=3 \times 10^{8} m / s$

$ \lambda$ = wavelength of yellow light $=580 nm=580 \times 10^{-9} m$

Substituting the values in expression (i):

$v=\frac{3 \times 10^{8}}{580 \times 10^{-9}}=5.17 \times 10^{14} s^{-1}$

Thus, frequency of yellow light emitted from the sodium lamp

$=5.17 \times 10^{14} s^{af-1}$

Wave number of yellow light,

$ \bar{{}v}=\frac{1}{\lambda} $

$ =\frac{1}{580 \times 10^{-9}}=1.72 \times 10^{6} m^{-1} $

2.6 Find energy of each of the photons which

(i) correspond to light of frequency $3 \times 1015 \mathrm{~Hz}$.

(ii) have wavelength of $0.50 \mathring{A}$.

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(i) Energy (E) of a photon is given by the expression,

$ \mathrm{E}=\mathrm{hv} $

Where, $\mathrm{h}=$ Planck’s constant $=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$v=$ frequency of light $=3 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$

Substituting the values in the given expression of $\mathrm{E}$ :

$ \mathrm{E}=\left(6.626 \times 10^{-34}\right)\left(3 \times 10^{15}\right) \mathrm{E}=1.988 \times 10^{-18} \mathrm{~J} $

(ii) Energy (E) of a photon having wavelength $(\lambda)$ is given by the expr

$ \begin{aligned} & E=\frac{h c}{\lambda} \\ & h=\text { Planck’s constant }=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & c=\text { velocity of light in vacuum }=3 \times 10^8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $

Substituting the values in the given expression of $\mathrm{E}$ :

$ \begin{aligned} & E=\frac{\left(6.626 \times 10^{-34}\right)\left(3 \times 10^8\right)}{0.50 \times 10^{-10}} 3.976 \times 10^{-15} \mathrm{~J} \\ & \therefore E=3.98 \times 10^{-15} \mathrm{~J} \end{aligned} $

2.7 Calculate the wavelength, frequency and wavenumber of a light wave whose period is $2.0 \times 10^{-10} \mathrm{~s}$.

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Answer

(i) The frequency of the light wave is $ \frac{1}{\text { period }}=\frac{1}{2.0 \times 10^{-10} \mathrm{~s}}=5 \times 10^9 / \mathrm{s} \text {. } $

(ii) The wavelength of light wave is $ \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{v}}=\frac{3 \times 10^8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}}{5 \times 10^9 / \mathrm{s}}=6.0 \times 10^{-2} \mathrm{~m} \text {. } $

(iii) The wave number of light wave is $ \bar{v}=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{6.0 \times 10^{-2}}=16.66 / \mathrm{m} $

2.8 What is the number of photons of light with a wavelength of $4000 \mathrm{pm}$ that provide $1 \mathrm{~J}$ of energy?

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Answer

Energy $(E)$ of a photon $=h - 112 $

Energy $(E_n)$ of ’ $n$ ’ photons $=n hv $

$\Rightarrow n=\frac{E_n \lambda}{\text{ hc }}$

Where,

$ \lambda = \text{ wavelength of light } - 4000pm = 4000 \times 10^{-12}m $

$c=$ velocity of light in vacuum $=3 \times 10^{8} m / s$

Substituting the values in the given expression of $n$ :

$n=\frac{(1) \times(4000 \times 10^{-12})}{(6.626 \times 10^{-34})(3 \times 10^{8})}=2.012 \times 10^{16}$

Hence, the number of photons with a wavelength of $4000 pm$ and energy of $1 J$ are $2.012 \times 10^{16}$.

2.9 A photon of wavelength $4 \times 10^{-7} \mathrm{~m}$ strikes on metal surface, the work function of the metal being $2.13 \mathrm{eV}$. Calculate (i) the energy of the photon $(\mathrm{eV})$, (ii) the kinetic energy of the emission, and (iii) the velocity of the photoelectron $\left(1 \mathrm{eV}=1.6020 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right)$.

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(i) Energy (E) of a photon $= hv =\frac{h c}{\lambda}$

Where,

$h=$ Planck’s constant $=6.626 \times 10^{-34} Js$

$c=$ velocity of light in vacuum $=3 \times 10^{8} m / s$

$\lambda=$ wavelength of photon $=4 \times 10^{- 7} m$

Substituting the values in the given expression of $E$ :

$E=\frac{(6.626 \times 10^{-34})(3 \times 10^{8})}{4 \times 10^{-7}}=4.9695 \times 10^{-19} J$

Hence, the energy of the photon is $4.97 \times 10^{-19}J$.

(ii) The kinetic energy of emission $E_k$ is given by

$ \begin{aligned} & =h v-h v_0 \\ & =(E-W) eV \\ & =(\frac{4.9695 \times 10^{-19}}{1.6020 \times 10^{-19}}) eV-2.13 eV \\ & =(3.1020 - 2.13) eV \\ & =0.9720 eV \end{aligned} $

Hence, the kinetic energy of emission is $0.97 eV$.

(iii) The velocity of a photoelectron ( $\frac{1}{2}$ ) can be calculated by the expression,

$\frac{1}{2} m v^{2}=h v-h v_0$

$\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2(h v-h v_0)}{m}}$

Where, $(h v-h v_0)$ is the kinetic energy of emission in Joules and ’ $m$ ’ is the mass of the photoelectron. Substituting the values in the given expression of $v$ :

$ \begin{aligned} & v=\sqrt{\frac{2 \times(0.9720 \times 1.6020 \times 10^{-19}) J}{9.10939 \times 10^{-31} kg}} \\ & =\sqrt{0.3418 \times 10^{12} m^{2} s^{-2}} \\ & v=5.84 \times 10^{5} ms^{-1} \end{aligned} $

Hence, the velocity of the photoelectron is $5.84 \times 10^{5} ms^{- 1}$.

2.10 Electromagnetic radiation of wavelength $242 \mathrm{~nm}$ is just sufficient to ionise the sodium atom. Calculate the ionisation energy of sodium in $\mathrm{kJ} \mathrm{mol}^{-1}$.

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Energy of sodium (E) $=\frac{N_A hc}{\lambda}$

$=\frac{(6.023 \times 10^{23} mol^{-1})(6.626 \times 10^{-34} Js)(3 \times 10^{8} ms^{-1})}{242 \times 10^{-9} m}$

$=4.947 \times 10^{5} J mol^{-1}$

$=494.7 \times 10^{3} J mol^{-1}$

$=494 kJ mol ^{-1}$

2.11 A 25 watt bulb emits monochromatic yellow light of wavelength of $0.57 \mu \mathrm{m}$. Calculate the rate of emission of quanta per second.

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Answer

Power of bulb, $P=25 Watt=25 Js^{sec-1}$

Energy of one photon, $ E= hv = \frac{hc}{\lambda} $

Substituting the values in the given expression of $E$ :

$E=\frac{(6.626 \times 10^{-34})(3 \times 10^{8})}{(0.57 \times 10^{-6})}=34.87 \times 10^{-20} J$

$E=34.87 \times 10^{3 eF 20} J$

Rate of emission of quanta per second

$ =\frac{25}{34.87 \times 10^{-20}}=7.169 \times 10^{19} s^{-1} $

2.12 Electrons are emitted with zero velocity from a metal surface when it is exposed to radiation of wavelength $6800 \mathring{A}$. Calculate threshold frequency $\left(v_{0}\right)$ and work function $\left(\mathrm{W}_{0}\right)$ of the metal.

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Answer

Threshold wavelength of radian $(\lambda_0)=6800 \mathring{A}=6800 \times 10^{-10} m$

Threshold frequency $(v_0)$ of the metal

$=\frac{c}{\lambda_0}=\frac{3 \times 10^{8} ms^{-1}}{6.8 \times 10^{-7} m}=4.41 \times 10^{14} s^{- 1}$

Thus, the threshold frequency $(v_0)$ of the metal is $4.41 \times 10^{14} s^{-1}$.

Hence, work function $(W_0)$ of the metal $=h v_0$

$=(6.626 \times 10^{-34} Js)(4.41 \times 10^{14} s^{-1})$

$=2.922 \times 10^{-19} J$

2.13 What is the wavelength of light emitted when the electron in a hydrogen atom undergoes transition from an energy level with $n=4$ to an energy level with $n=2$ ?

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Answer

The $n_i=4$ to $n_i=2$ transition will give rise to a spectral line of the Balmer series. The energy involved in the transition is given by the relation,

$E=2.18 \times 10^{-18}[\frac{1}{n_i^{2}}-\frac{1}{n_f^{2}}]$

Substituting the values in the given expression of $E$ :

$ \begin{aligned} E & =2.18 \times 10^{-18}[\frac{1}{4^{2}}-\frac{1}{2^{2}}] \\ & =2.18 \times 10^{-18}[\frac{1-4}{16}] \\ & =2.18 \times 10^{-18} \times(-\frac{3}{16}) \end{aligned} $

$E=-(4.0875 \times 10^{- 19} J)$

The negative sign indicates the energy of emission.

Wavelength of light emitted

$ (\lambda)=\frac{hc}{E} $

$ (\text{ since } E=\frac{hc}{\lambda}) $

$ \text{Substituting the values in the given expression of } of \lambda$

$ \begin{aligned} \lambda & =\frac{(6.626 \times 10^{-34})(3 \times 10^{8})}{4.0875 \times 10^{-19}} \\ \lambda & =4.8631 \times 10^{-7} m \\ & =486.3 \times 10^{-9} m \\ & =486 nm \end{aligned} $

2.14 How much energy is required to ionise a $\mathrm{H}$ atom if the electron occupies $n=5$ orbit? Compare your answer with the ionization enthalpy of $\mathrm{H}$ atom (energy required to remove the electron from $n=1$ orbit).

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Answer

The expression of energy is given by,

$ E_n=\frac{-(2.18 \times 10^{-18}) Z^{2}}{n^{2}} $

Where,

$Z=$ atomic number of the atom

$n=$ principal quantum number

For ionization from $n_1=5$ to $n_2=\infty$,

$ \begin{aligned} \Delta E & =E _{\infty}-E_5 \\ & =[{\frac{-(2.18 \times 10^{-18} J)(1)^{2}}{(\infty)^{2}}}-{\frac{-(2.18 \times 10^{-18} J)(1)^{2}}{(5)^{2}}}] \\ & =(2.18 \times 10^{-18} J)(\frac{1}{(5)^{2}}) \quad(\text{ Since } \frac{1}{\infty}=0) \\ & =0.0872 \times 10^{-18} J \\ \Delta E & =8.72 \times 10^{-20} J \end{aligned} $

Hence, the energy required for ionization from $n=5$ to $n=\infty$ is $8.72 \times 10^{-20} J$.

Energy required for $n_1=1$ to $n=\infty$,

$ \begin{aligned} & \Delta E^{\prime}=E _{\infty}-E_1 \\ & =[{\frac{-(2.18 \times 10^{-18})(1)^{2}}{(\infty)^{2}}}-{\frac{-(2.18 \times 10^{-18})(1)^{2}}{(1)^{2}}}] \\ & =(2.18 \times 10^{-18})[1-0] \\ & =2.18 \times 10^{-18} J \end{aligned} $

Hence, less energy is required to ionize an electron in the $5^{\text{th }}$ orbital of hydrogen atom as compared to that in the ground state.

2.15 What is the maximum number of emission lines when the excited electron of a $\mathrm{H}$ atom in $n=6$ drops to the ground state?

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Answer

When the excited electron of an $H$ atom in $n=6$ drops to the ground state, the following transitions are possible:

Hence, a total number of $(5+4+3+2+1) 15$ lines will be obtained in the emission spectrum.

The number of spectral lines produced when an electron in the $n^{\text{th }}$ level drops down to the ground state is given by $\frac{n(n-1)}{2}$

Given,

$n=6$

Number of spectral lines $=\frac{6(6-1)}{2}=15$

2.16 (i) The energy associated with the first orbit in the hydrogen atom is $-2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J} \mathrm{atom}^{-1}$. What is the energy associated with the fifth orbit?

(ii) Calculate the radius of Bohr’s fifth orbit for hydrogen atom.

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(i) Energy associated with the fifth orbit of hydrogen atom is calculated as:

$E_5=\frac{-(2.18 \times 10^{-18})}{(5)^{2}}=\frac{-2.18 \times 10^{-18}}{25}$

$E_5=- 8.72 \times 10^{- 20} J$

(ii) Radius of Bohr’s $n^{\text{th }}$ orbit for hydrogen atom is given by,

$r_n=(0.0529 nm) n^{2}$

For,

$n=5$

$r_5=(0.0529 nm)(5)^{2}$

$r_5=1.3225 nm$

2.17 Calculate the wavenumber for the longest wavelength transition in the Balmer series of atomic hydrogen.

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Answer

For the Balmer series, $n_i=2$. Thus, the expression of wavenumber $(\bar{{}v})$ is given by,

$\bar{{}v}=[\frac{1}{(2)^{2}}-\frac{1}{n_f^{2}}](1.097 \times 10^{7} m^{-1})$

Wave number $(\bar{{}v})$ is inversely proportional to wavelength of transition. Hence, for the longest wavelength transition, $\bar{{}v}$ has to be the smallest.

For $\bar{{}v}$ to be minimum, $n_f$ should be minimum. For the Balmer series, a transition from $n_i=2$ to $n_f=3$ is allowed. Hence, taking $n_f=3$, we get:

$ \begin{aligned} \bar{{}v} & =(1.097 \times 10^{7})[\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}] \\ \bar{{}v} & =(1.097 \times 10^{7})[\frac{1}{4}-\frac{1}{9}] \\ & =(1.097 \times 10^{7})(\frac{9-4}{36}) \\ & =(1.097 \times 10^{7})(\frac{5}{36}) \\ \bar{{}v} & =1.5236 \times 10^{6} m^{\hat{\epsilon}{ }^{*-1}} \end{aligned} $

2.18 What is the energy in joules, required to shift the electron of the hydrogen atom from the first Bohr orbit to the fifth Bohr orbit and what is the wavelength of the light emitted when the electron returns to the ground state? The ground state electron energy is $-2.18 \times 10^{-11}$ ergs.

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Answer

Energy $(E)$ of the $n^{\text{th }}$ Bohr orbit of an atom is given by,

$E_n=\frac{-(2.18 \times 10^{-18}) Z^{2}}{n^{2}}$

Where,

$Z=$ atomic number of the atom

Ground state energy $=- 2.18 \times 10^{-11}$ ergs

$=- 2.18 \times 10^{{-11}} \times 10^{{7} 7 J}$

$=- 2.18 \times 10^{{-18} J}$

Energy required to shift the electron from $n=1$ to $n=5$ is given as:

$\Delta E=E_5 - E_1$

$=\frac{-(2.18 \times 10^{-18})(1)^{2}}{(5)^{2}}-(-2.18 \times 10^{-18})$

$ \begin{aligned} & =(2.18 \times 10^{-18})[1-\frac{1}{25}] \\ & =(2.18 \times 10^{-18})(\frac{24}{25})=2.0928 \times 10^{-18} J \end{aligned} $

Wavelength of emitted light $=\frac{\text{ hc }}{E}$

$ \begin{aligned} & =\frac{(6.626 \times 10^{-34})(3 \times 10^{8})}{(2.0928 \times 10^{-18})} \\ & =9.498 \times 10^{-8} m \end{aligned} $

2.19 The electron energy in hydrogen atom is given by $E_{n}=\left(-2.18 \times 10^{-18}\right) / n^{2} \mathrm{~J}$. Calculate the energy required to remove an electron completely from the $n=2$ orbit. What is the longest wavelength of light in $\mathrm{cm}$ that can be used to cause this transition?

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Answer

Given,

$E_n=-\frac{2.18 \times 10^{-18}}{n^{2}} J$

Energy required for ionization from $n=2$ is given by,

$ \begin{aligned} & \Delta E=E _{\infty}-E_2 \\ &=[(\frac{-2.18 \times 10^{-18}}{(\infty)^{2}})-(\frac{-2.18 \times 10^{-18}}{(2)^{2}})] J \\ &=[\frac{2.18 \times 10^{-18}}{4}-0] J \\ &=0.545 \times 10^{{-18} J} \\ & \Delta E=5.45 \times 10^{-19} J \\ & \lambda=\frac{hc}{\Delta E} \end{aligned} $

Here, $\lambda$ is the longest wavelength causing the transition

$ \lambda=\frac{(6.626 \times 10^{-34})(3 \times 10^{8})}{5.45 \times 10^{-19}}=3.647 \times 10^{-7} m $

$=3647 \times 10^{- 10} m$

2.20 Calculate the wavelength of an electron moving with a velocity of $2.05 \times 10^{7} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$.

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Answer

According to de Broglie’s equation,

$\lambda=\frac{h}{m v}$

Where,

$\lambda$ = wavelength of moving particle

$m=$ mass of particle

$v=$ velocity of particle

$h=$ Planck’s constant

Substituting the values in the expression of $\lambda$

$\lambda=\frac{6.626 \times 10^{-34} Js}{(9.10939 \times 10^{-31} kg)(2.05 \times 10^{7} ms^{-1})}$

$\lambda=3.548 \times 10^{-11} m$

Hence, the wavelength of the electron moving with a velocity of $2.05 \times 10^{7} ms^{-1}$ is $3.548 \times 10^{-11} m$.

2.21 The mass of an electron is $9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$. If its K.E. is $3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~J}$, calculate its wavelength.

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Answer

From de Broglie’s equation,

$\lambda=\frac{h}{m v}$

Given,

Kinetic energy (K.E) of the electron $=3.0 \times 10^{-25} J$

Since K.E $=\frac{1}{2} m v^{2}$

$\therefore$ Velocity $(v)=\sqrt{\frac{2 K . E}{m}}$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{\frac{2(3.0 \times 10^{-25} J)}{9.10939 \times 10^{-31} kg}} \\ & =\sqrt{6.5866 \times 10^{4}} \\ & v=811.579 ms^{-1} \end{aligned} $

Substituting the value in the expression of $\lambda :$

$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{6.626 \times 10^{-34} Js}{(9.10939 \times 10^{-31} kg)(811.579 ms^{-1})} \\ & \lambda=8.9625 \times 10^{-7} m \end{aligned} $

Hence, wavelength of the electron is $ 8.9625 \times 10^{-7} $

2.22 Which of the following are isoelectronic species i.e., those having the same number of electrons?

$$ \mathrm{Na}^{+}, \mathrm{K}^{+}, \mathrm{Mg}^{2+}, \mathrm{Ca}^{2+}, \mathrm{S}^{2-}, \mathrm{Ar} $$

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Answer

Isoelectronic species have the same number of electrons.

Number of electrons in sodium $(Na)=11$

Number of electrons in $(Na^{+})=10$

A positive charge denotes the loss of an electron.

Similarly,

Number of electrons in $K^{+}=18$

Number of electrons in $Mg^{2+}=10$

Number of electrons in $Ca^{2+}=18$

A negative charge denotes the gain of an electron by a species.

Number of electrons in sulphur $(S)=16$

$\therefore$ Number of electrons in $S^{2-}=18$

Number of electrons in argon (Ar) $=18$

Hence, the following are isoelectronic species:

(1) $Na^{+}$and $Mg^{2+}$ (10 electrons each) (2) $K^{+}, Ca^{2+}, S^{2-}$ and $Ar$ (18 electrons each)

2.23 (i) Write the electronic configurations of the following ions: (a) $\mathrm{H}-$ (b) $\mathrm{Na}+$ (c) $\mathrm{O} 2-$ (d) $\mathrm{F}-$

(ii) What are the atomic numbers of elements whose outermost electrons are represented by (a) 3s1 (b) $2 \mathrm{p} 3$ and (c) 3p5 ?

(iii) Which atoms are indicated by the following configurations ? (a) $[\mathrm{He}] 2 s^{1}$ (b) $[\mathrm{Ne}] 3 s^{2} 3 p^{3}$ (c) $[\mathrm{Ar}] 4 s^{2} 3 d^{1}$.

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Answer

(i) (a) Hion

The electronic configuration of $H$ atom is $1 s^{1}$.

A negative charge on the species indicates the gain of an electron by it.

$\therefore$ Electronic configuration of $H^{-}=1 s^{2}$

(b) $Na^{+}$ion

The electronic configuration of $Na$ atom is $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{1}$.

A positive charge on the species indicates the loss of an electron by it.

$\therefore$ Electronic configuration of $Na^{+}=1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{0}$ or $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6}$

(c) $O^{2}$ ion

The electronic configuration of 0 atom is $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{4}$.

A dinegative charge on the species indicates that two electrons are gained by it.

$\therefore$ Electronic configuration of $O^{2}$ ion $=1 s^{2} 2 s^{2} p^{6}$

(d) Fion

The electronic configuration of $F$ atom is $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{5}$.

A negative charge on the species indicates the gain of an electron by it.

$\therefore$ Electron configuration of $F^{-}$ion $=1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6}$

(ii) (a) $3 s^{1}$

Completing the electron configuration of the element as

$1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{1}$.

$\therefore$ Number of electrons present in the atom of the element

$=2+2+6+1=11$

$\therefore$ Atomic number of the element $=11$

(b) $2 p^{3}$

Completing the electron configuration of the element as $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{3}$.

$\therefore$ Number of electrons present in the atom of the element $=2+2+3=7$

$\therefore$ Atomic number of the element $=7$

(c) $3 p^{5}$

Completing the electron configuration of the element as

$1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{5}$.

$\therefore$ Number of electrons present in the atom of the element $=2+2+5=9$

$\therefore$ Atomic number of the element $=9$

(iii) (a) $[He] 2 s^{1}$

The electronic configuration of the element is $[He] 2 s^{1}=1 s^{2} 2 s^{1}$.

$\therefore$ Atomic number of the element $=3$

Hence, the element with the electronic configuration $[He] 2 s^{1}$ is lithium ( $Li$ ).

(b) $[Ne] 3 s^{2} 3 p^{3}$

The electronic configuration of the element is $[Ne] 3 s^{2} 3 p^{3}=1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{3}$.

$\therefore$ Atomic number of the element $=15$

Hence, the element with the electronic configuration $[Ne] 3 s^{2} 3 p^{3}$ is phosphorus $(P)$.

(c) $[Ar] 4 s^{2} 3 d^{2}$

The electronic configuration of the element is $[Ar] 4 s^{2} 3 d^{1}=1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6} 4 s^{2} 3 d^{1}$.

$\therefore$ Atomic number of the element $=21$

Hence, the element with the electronic configuration $[Ar] 4 s^{2} 3 d^{1}$ is scandium (Sc).

2.24 What is the lowest value of $n$ that allows $g$ orbitals to exist?

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Answer

For g-orbitals, $I=4$.

As for any value ’ $n$ ’ of principal quantum number, the Azimuthal quantum number $(I)$ can have a value from zero to $(n-1)$.

$\therefore$ For $I=4$, minimum value of $n=5$

2.25 An electron is in one of the $3 d$ orbitals. Give the possible values of $n, l$ and $m_{l}$ for this electron.

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Answer

For the $3 d$ orbital:

Principal quantum number $(n)=3$

Azimuthal quantum number $(I)=2$

Magnetic quantum number $(m_l)=-2,-1,0,1,2$

2.26 An atom of an element contains 29 electrons and 35 neutrons. Deduce (i) the number of protons and (ii) the electronic configuration of the element.

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(i) For an atom to be neutral, the number of protons is equal to the number of electrons.

$\therefore$ Number of protons in the atom of the given element $=29$

(ii) The electronic configuration of the atom is

$1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6} 4 s^{2} 3 d^{10}$.

2.27 Give the number of electrons in the species $\mathrm{H}_2^+, \mathrm{H}_2$ and $\mathrm{O}_2^+$

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Answer

$H_2^{+}$:

Number of electrons present in hydrogen molecule $(H_2)=1+1=2$

$\therefore$ Number of electrons in $H_2^{+}=2-1=1$

$H_2$ :

Number of electrons in $H_2=1+1=2$

$O_2^{+}$:

Number of electrons present in oxygen molecule $(O_2)=8+8=16$

$\therefore$ Number of electrons in $O_2^{+}=16$ âe" $1=15$

2.28 (i) An atomic orbital has $\mathrm{n}=3$. What are the possible values of 1 and $\mathrm{ml}$ ?

(ii) List the quantum numbers ( $m l$ and $l$ ) of electrons for $3 d$ orbital.

(iii) Which of the following orbitals are possible?

$$ 1 p, 2 s, 2 p \text { and } 3 f $$

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Answer

(i) $n=3$ (Given)

For a given value of $n, I$ can have values from 0 to $(n-1)$.

$\therefore$ For $n=3$

$I=0,1,2$

For a given value of $I, m$, can have $(2 l+1)$ values.

For $I=0, m=0$

$I=1, m=-1,0,1$

$I=2, m=-2,-1,0,1,2$

$\therefore$ For $n=3$

$I=0,1,2$

$m_0=0$

$m_1=-1,0,1$

$m_2=-2,-1,0,1,2$

(ii) For $3 d$ orbital, $l=2$.

For a given value of $l$, $m$ can have $(2 l+1)$ values i.e., 5 values.

$\therefore$ For $l=2$

$m_2=-2,-1,0,1,2$

(iii) Among the given orbitals only $2 s$ and $2 p$ are possible. $1 p$ and $3 f$ cannot exist.

For $p$-orbital, $l=1$.

For a given value of $n, I$ can have values from zero to $(n-1)$.

$\therefore$ For $l$ is equal to 1 , the minimum value of $n$ is 2 .

Similarly,

For $f$-orbital, $I=4$.

For $I=4$, the minimum value of $n$ is 5 .

Hence, $1 p$ and $3 f$ do not exist.

2.29 Using $s, p, d$ notations, describe the orbital with the following quantum numbers. (a) $n=1, l=0$; (b) $n=3 ; l=1$ (c) $n=4 ; l=2$; (d) $n=4 ; l=3$.

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Answer

(a) $n=1, I=0$ (Given)

The orbital is $1 s$.

(b) For $n=3$ and $I=1$

The orbital is $3 p$.

(c) For $n=4$ and $I=2$

The orbital is $4 d$.

(d) For $n=4$ and $I=3$

The orbital is $4 f$.

2.30 Explain, giving reasons, which of the following sets of quantum numbers are not possible.

(a) $n=0$, $l=0$, $m_{l}=0$, $m_{s}=+1 / 2$

(b) $\mathrm{n}=1$, $\mathrm{ml}=0$, $\mathrm{ms}=-1 / 2$

(c) $\mathrm{n}=1$, $m_{l}=0$, $m_{s}=+1 / 2$

(d) $n=2$, $l=1$, $m_{l}=0$, $m_{s}=-1 / 2$

(e) $\mathrm{n}=3$, $1=3$, $\mathrm{ml}=-3$, $\mathrm{ms}=+1 / 2$

(f) $\mathrm{n}=3$, $l=1$, $m_{l}=0$, $m_{s}=+1 / 2$

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Answer

(a) The given set of quantum numbers is not possible because the value of the principal quantum number $(n)$ cannot be zero.

(b) The given set of quantum numbers is possible.

(c) The given set of quantum numbers is not possible.

For a given value of $n$, ’l’ can have values from zero to $(n-1)$.

For $n=1, I=0$ and not 1 .

(d) The given set of quantum numbers is possible.

(e) The given set of quantum numbers is not possible.

For $n=3$,

$I=0$ to $(3-1)$ $I=0$ to 2 i.e., $0,1,2$

(f) The given set of quantum numbers is possible.

2.31 How many electrons in an atom may have the following quantum numbers? (a) $n=4, m_{s}=-1 / 2$ (b) $n=3, l=0$

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(a) Total number of electrons in an atom for a value of $n=2 n^{2}$

$\therefore$ For $n=4$,

Total number of electrons $=2(4)^{2}$

$=32$

The given element has a fully filled orbital as

$1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6} 4 s^{2} 3 d^{10}$.

Hence, all the electrons are paired.

$\therefore$ Number of electrons (having $n=4$ and $m_s=-\frac{1}{2}$ ) $=16$

(b) $n=3, I=0$ indicates that the electrons are present in the $3 s$ orbital. Therefore, the number of electrons having $n=$ 3 and $I=0$ is 2 .

2.32 Show that the circumference of the Bohr orbit for the hydrogen atom is an integral multiple of the de Broglie wavelength associated with the electron revolving around the orbit.

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Answer

Since a hydrogen atom has only one electron, according to Bohr’s postulate, the angular momentum of that electron is given by:

$m v r=n \frac{h}{2 \pi}$

Where,

$n=1,2,3, \ldots$

According to de Broglie’s equation: $\lambda=\frac{h}{m v}$

or $m v=\frac{h}{\lambda} \ldots \ldots \ldots$

Substituting the value of ’ $m v$ ’ from expression (2) in expression (1):

$\frac{h r}{\lambda}=n \frac{h}{2 \pi}$

or $2 \pi r=n \lambda$

Since ‘2 $2 \pi r$ ’ represents the circumference of the Bohr orbit $(r)$, it is proved by equation (3) that the circumference of the Bohr orbit of the hydrogen atom is an integral multiple of de Broglie’s wavelength associated with the electron revolving around the orbit.

2.33 What transition in the hydrogen spectrum would have the same wavelength as the Balmer transition $n=4$ to $n=2$ of $\mathrm{He}^{+}$spectrum ?

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Answer

For $He^{+}$ion, the wave number $(\bar{{}v})$ associated with the Balmer transition, $n=4$ to $n=2$ is given by:

$\bar{{}v}=\frac{1}{\lambda}=R Z^{2}(\frac{1}{n_1^{2}}-\frac{1}{n_2^{2}})$

Where,

$n_1=2$

$n_2=4$

$Z=$ atomic number of helium

$\bar{{}v}=\frac{1}{\lambda}=R(2)^{2}(\frac{1}{4}-\frac{1}{16})$

$=4 R(\frac{4-1}{16})$

$\bar{{}v}=\frac{1}{\lambda}=\frac{3 R}{4}$

$\Rightarrow \lambda=\frac{4}{3 R}$

According to the question, the desired transition for hydrogen will have the same wavelength as that of $He^{+}$.

$\Rightarrow R(1)^{2}[\frac{1}{n_1^{2}}-\frac{1}{n_2^{2}}]=\frac{3 R}{4}$

$ [\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}] = \frac{3}{4} $

By hit and trail method, the equality given by equation (1) is true only when

$n_1=1$ and $n_2=2$.

$\therefore$ The transition for $n_2=2$ to $n=1$ in hydrogen spectrum would have the same wavelength as Balmer transition $n=4$ to $n=2$ of $He^{+}$spectrum.

2.34 Calculate the energy required for the process $\mathrm{He}^{+}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{He}^{2+}(\mathrm{g})+\mathrm{e}^{-}$ The ionization energy for the $\mathrm{H}$ atom in the ground state is $2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}^{-1}$ atom $^{-1}$

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Answer

Energy associated with hydrogen-like species is given by,

$E_n=-2.18 \times 10^{-18}(\frac{Z^{2}}{n^{2}}) J$

For ground state of hydrogen atom,

$ \begin{aligned} \Delta E & =E _{\infty}-E_1 \\ & =0-[-2.18 \times 10^{-18}{\frac{(1)^{2}}{(1)^{2}}}] J \end{aligned} $

$\Delta E=2.18 \times 10^{-18} J$

For the given process,

$He _{(g)}^{+} \to He _{(g)}^{2+}+e^{-}$

An electron is removed from $n=1$ to $n=\infty$.

$\Delta E=E _{\infty}-E_1$

$=0-[-2.18 \times 10^{-18}{\frac{(2)^{2}}{(1)^{2}}}]$

$\Delta E=8.72 \times 10^{-18} J$

$\therefore$ The energy required for the process is $8.72 \times 10^{-18} J$.

2.35 If the diameter of a carbon atom is $0.15 \mathrm{~nm}$, calculate the number of carbon atoms which can be placed side by side in a straight line across length of scale of length $20 \mathrm{~cm}$ long.

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Answer

$1 m=100 cm$

$1 cm=10^{\hat{a} \epsilon " 2} m$

Length of the scale $=20 cm$

$=20 \times 10^{-2} m$

Diameter of a carbon atom $=0.15 nm$

$=0.15 \times 10^{{-9}} m$

One carbon atom occupies $0.15 \times 10^{- 9} m $.

$\therefore$ Number of carbon atoms that can be placed in a straight line

$=\frac{20 \times 10^{-2} m}{0.15 \times 10^{-9} m}$

$=133.33 \times 10^{7}$

$=1.33 \times 10^{9}$

2.36 $2 \times 10^{8}$ atoms of carbon are arranged side by side. Calculate the radius of carbon atom if the length of this arrangement is $2.4 \mathrm{~cm}$.

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Answer

Length of the given arrangement $=2.4 cm$

Number of carbon atoms present $=2 \times 10^{8}$

$\therefore$ Diameter of carbon atom $=\frac{2.4 \times 10^{-2} m}{2 \times 10^{8}}$

$=1.2 \times 10^{-10} m$

$\therefore$ Radius of carbon atom $=\frac{\text{ Diameter }}{2}$

$ \begin{aligned} & =\frac{1.2 \times 10^{-10} m}{2} \\ & =6.0 \times 10^{-11} m \end{aligned} $

2.37 The diameter of zinc atom is $2.6 \mathring{A}$. Calculate (a) radius of zinc atom in pm and (b) number of atoms present in a length of $1.6 \mathrm{~cm}$ if the zinc atoms are arranged side by side lengthwise.

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Answer

(a) Radius of zinc atom

$ =\frac{\text{ Diameter }}{2} $

$ \begin{aligned} & =\frac{2.6 \mathring{A}}{2} \\ & =1.3 \times 10^{-10} m \\ & =130 \times 10^{-12} m=130 pm \end{aligned} $

(b) Length of the arrangement $=1.6 cm$

$=1.6 \times 10^{-{2}} m$

Diameter of zinc atom $=2.6 \times 10^{- 10} m$

$\therefore$ Number of zinc atoms present in the arrangement

$=\frac{1.6 \times 10^{-2} m}{2.6 \times 10^{-10} m}$

$=0.6153 \times 10^{8} m$

$=6.153 \times 10^{7}$

2.38 A certain particle carries $2.5 \times 10^{-16} \mathrm{C}$ of static electric charge. Calculate the number of electrons present in it.

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Answer

Charge on one electron = $1.6022 \times 10^{-19} C$

$\Rightarrow 1.6022 \times 10^{-{19} C} C$ charge is carried by 1 electron.

$\therefore$ Number of electrons carrying a charge of $2.5 \times 10^{-16} C$

$=\frac{1}{1.6022 \times 10^{-19} C}(2.5 \times 10^{-16} C)$

$=1.560 \times 10^{3} C$

$=1560 C$

2.39 In Milikan’s experiment, static electric charge on the oil drops has been obtained by shining X-rays. If the static electric charge on the oil drop is $-1.282 \times 10^{-18} \mathrm{C}$, calculate the number of electrons present on it.

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Answer

Charge on the oil drop $=1.282 \times 10^{-{18}} C$

Charge on one electron $=1.6022 \times 10^{{-19}} C$

$\therefore$ Number of electrons present on the oil drop

$ \begin{aligned} & =\frac{1.282 \times 10^{-18} C}{1.6022 \times 10^{-19} C} \\ & =0.8001 \times 10^{1} \\ & =8.0 \end{aligned} $

2.40 In Rutherford’s experiment, generally the thin foil of heavy atoms, like gold, platinum etc. have been used to be bombarded by the $\alpha$-particles. If the thin foil of light atoms like aluminium etc. is used, what difference would be observed from the above results?

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Answer

A thin foil of lighter atoms will not give the same results as given with the foil of heavier atoms.

Lighter atoms would be able to carry very little positive charge. Hence, they will not cause enough deflection of $\alpha$ particles (positively charged).

2.41 Symbols $ _{35}^{79} \mathrm{Br}$ and $ _{}^{79} \mathrm{Br}$ can be written, whereas symbols $ _{79}^{35} \mathrm{Br}$ and $ _{ }^{35} \mathrm{Br}$ are not acceptable. Answer briefly.

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Answer

The general convention of representing an element along with its atomic mass $(A)$ and atomic number $(Z)$ is $ _Z^{A} X$.

Hence, ${ }^{79} Br$ is acceptable but ${ }^{35} Br$ is not acceptable.

${ }^{79} Br$ can be written but ${ }^{35} Br$ cannot be written because the atomic number of an element is constant, but the atomic mass of an element depends upon the relative abundance of its isotopes. Hence, it is necessary to mention the atomic mass of an element

2.42 An element with mass number 81 contains $31.7 %$ more neutrons as compared to protons. Assign the atomic symbol.

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Answer

Let the number of protons in the element be $x$.

$\therefore$ Number of neutrons in the element

$=x+31.7 %$ of $x$

$=x+0.317 x$

$=1.317 x$

According to the question,

Mass number of the element $=81$

$\therefore$ (Number of protons + number of neutrons) $=81$

$\Rightarrow x+1.317 x=81$

$2.317 x=81$

$x=\frac{81}{2.317}$

$=34.95$

$\therefore x=35$

Hence, the number of protons in the element i.e., $x$ is 35 .

Since the atomic number of an atom is defined as the number of protons present in its nucleus, the atomic number of the given element is 35 .

$\therefore$ The atomic symbol of the element is ${ }^{81} Br$.

2.43 An ion with mass number 37 possesses one unit of negative charge. If the ion conatins $11.1 %$ more neutrons than the electrons, find the symbol of the ion.

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Answer

Let x be the number of electrons.

The number of neutrons is $ x+ 0.111 x= 1.111 x $

The number of protons is $x−1$.

The mass number is 37.

It is equal to the sum of the number of protons and the number of neutrons.

$ x−1+1.111x= 37$

$2.111x=38$

$x=18$

The number of electrons is 18.

The number of protons is 17.

Hence, the symbol of the ion is $ _{37}^{17} {Cl}^−$

2.44 An ion with mass number 56 contains 3 units of positive charge and $30.4 %$ more neutrons than electrons. Assign the symbol to this ion.

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Answer

Let the number of electrons present in ion $A^{3+}$ be $x$.

$\therefore$ Number of neutrons in it $=x+30.4 %$ of $x=1.304 x$

Since the ion is tripositive,

$\Rightarrow$ Number of electrons in neutral atom $=x+3$

$\therefore$ Number of protons in neutral atom $=x+3$

Given,

Mass number of the ion $=56$

$ \begin{aligned} \therefore(x+3)+(1.304 x) & =56 \\ 2.304 x & =53 \\ x & =\frac{53}{2.304} \\ x & =23 \end{aligned} $

$\therefore$ Number of protons $=x+3=23+3=26$

$\therefore$ The symbol of the ion ${ }^{56} Fe^{3+}$.

2.45 Arrange the following type of radiations in increasing order of frequency: (a) radiation from microwave oven (b) amber light from traffic signal (c) radiation from FM radio (d) cosmic rays from outer space and (e) X-rays.

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Answer

The increasing order of frequency is as follows:

Radiation from FM radio < amber light $<$ radiation from microwave oven $<X$ - rays $<$ cosmic rays

The increasing order of wavelength is as follows:

Cosmic rays $<X$-rays $<$ radiation from microwave ovens $<$ amber light $<$ radiation of $FM$ radio

2.46 Nitrogen laser produces a radiation at a wavelength of $337.1 \mathrm{~nm}$. If the number of photons emitted is $5.6 \times 10^{24}$, calculate the power of this laser.

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Answer

Power of laser = Energy with which it emits photons

Power $=E \frac{N h c}{\lambda}$

Where,

$N=$ number of photons emitted

$h=$ Planck’s constant

$c=$ velocity of radiation

$ \lambda =$ Wavelength of Radiation

Substituting the values in the given expression of Energy $(E)$ :

$ =\frac{(5.6 \times 10^{24})(6.626 \times 10^{-34} Js)(3 \times 10^{8} ms^{-1})}{(337.1 \times 10^{-9} m)} $

E

$ = 0.3302 \times 10^7 J$

$ = 3.33 \times 10^6 J $

Hence, the power of the laser is $3.33 \times 10^{6} J$.

2.47 Neon gas is generally used in the sign boards. If it emits strongly at $616 \mathrm{~nm}$, calculate (a) the frequency of emission, (b) distance traveled by this radiation in $30 \mathrm{~s}$ (c) energy of quantum and (d) number of quanta present if it produces $2 \mathrm{~J}$ of energy.

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Wavelength of radition emitted $ 616 nm=616 \times 10^{-9} $ (Given)

(a) Frequency of emission

(v)

$ v=\frac{c}{\lambda} $

Where,

$c=$ velocity of radiation

Wavelength of radition emitted $ =616nm = 616 \times 10^{-9} m $(Given)

Substituting the values in the given expression of $(v)$ :

$v=\frac{3.0 \times 10^{8} m / s}{616 \times 10^{-9} m}$

$=4.87 \times 10^{8} \times 10^{9} \times 10^{{-3}} s^{-1}$

$= 4.87 \times 10^{14}s^{- 1} $

Frequency of emission $(v)= 4.87 \times 10^{14}s^{- 1}$

(b) Velocity of radiation, $(c)=3.0 \times 10^{8} ms^{a E^{-1}}$

Distance travelled by this radiation in $30 s$

$=(3.0 \times 10^{8} ms^{{-1}})(30 s)$

$=9.0 \times 10^{9} m$

(c) Energy of quantum ( $E$ ) $=hv$

$(6.626 \times 10^{-3 4} Js)(4.87 \times 10^{14} s^{-1})$

Energy of quantum $(E)=32.27 \times 10^{-{20}} J$

(d) Energy of one photon (quantum) $=32.27 \times 10^{-20} J$

Therefore, $32.27 \times 10^{-20} J$ of energy is present in 1 quantum.

Number of quanta in $2 J$ of energy

$=\frac{2 J}{32.27 \times 10^{-20} J}$

$=6.19 \times 10^{18}$

$=6.2 \times 10^{18}$

2.48 In astronomical observations, signals observed from the distant stars are generally weak. If the photon detector receives a total of $3.15 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$ from the radiations of $600 \mathrm{~nm}$, calculate the number of photons received by the detector.

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Answer

From the expression of energy of one photon $(E)$,

$E=\frac{hc}{\lambda}$

Where,

$\lambda = $ Wavelength of radiation

$h=$ Planck’s constant

$c=$ velocity of radiation

Substituting the values in the given expression of $E$ :

E

$ =\frac{(6.626 \times 10^{-34} Js)(3 \times 10^{8} ms^{-1})}{(600 \times 10^{-9} m)} $

$E=3.313 \times 10^{0^{3 E} 19} J$

Energy of one photon $=3.313 \times 10^{-19} J$

Number of photons received with $3.15 \times 10^{{-18}} J$ energy

$=\frac{3.15 \times 10^{-18} J}{3.313 \times 10^{-19} J}$

$=9.5$

2.49 Lifetimes of the molecules in the excited states are often measured by using pulsed radiation source of duration nearly in the nano second range. If the radiation source has the duration of $2 \mathrm{~ns}$ and the number of photons emitted during the pulse source is $2.5 \times 10^{15}$, calculate the energy of the source.

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Frequency of radiation ( $ v $ ),

$v=\frac{1}{2.0 \times 10^{-9} s}$

$ v=5.0 \times 10^8 s^{-1} $

Energy (E) of source $=N h v$

Where,

$N=$ number of photons emitted

$h=$ Planck’s constant

$v$ frequency of radiation

Substituting the values in the given expression of $(E)$ :

$E=8.282 \times 10^{- 10} J$

Hence, the energy of the source $(E)$ is $8.282 \times 10^{{-10}} J$.

2.50 The longest wavelength doublet absorption transition is observed at 589 and 589.6 $\mathrm{nm}$. Calcualte the frequency of each transition and energy difference between two excited states.

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For $\lambda =589 nm$

Frequency of transition

$ (v_1)=\frac{c}{\lambda_1} $

$=\frac{3.0 \times 10^{8} ms^{-1}}{589 \times 10^{-9} m}$

Frequency of transition $(v)=5.093 \times 10^{14} s^{{-1}}$

Similarly, for $v=589.6 nm$

Frequency of transition

$ (v_2)=\frac{c}{\lambda_2} $

$=\frac{3.0 \times 10^{8} ms^{-1}}{589.6 \times 10^{-9} m}$

Frequency of transition $(v)=5.088 \times 10^{14} s^{-1}$

Energy difference $(\Delta E)$ between excited states $=E_1-E_2$

Where,

$E_2=$ energy associated with $v_1$

$E_1=$ energy associated with $v_2$

$ \Delta E = h(v_2-v_1)$

$ (6.626 \times 10^{34}Js)(5.093 \times 10^{14} - 5.088 \times 10 ^{14})s^{-1} $

$ (6.626 \times 10^{-34} J)(5.093 - 5.088)(10^{14}) $

$\Delta E=3.31 \times 10^{-22 }J$

2.51 The work function for caesium atom is $1.9 \mathrm{eV}$. Calculate (a) the threshold wavelength and (b) the threshold frequency of the radiation. If the caesium element is irradiated with a wavelength $500 \mathrm{~nm}$, calculate the kinetic energy and the velocity of the ejected photoelectron.

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It is given that the work function $(W_0)$ for caesium atom is $1.9 eV$.

(a) From the expression,

$ W_0=\frac{hc}{\lambda_0} \text{, we get: } $

$ \lambda_ 0=\frac{h c}{W_0}$

Where,

$\lambda=$ threshold wavelength

$h=$ Planck’s constant

$c=$ velocity of radiation

Substituting the values in thr given expression of $ (\lambda)$

$ \begin{aligned} & \lambda_0=\frac{(6.626 \times 10^{-34} Js)(3.0 \times 10^{8} ms^{-1})}{1.9 \times 1.602 \times 10^{-19} J} \\ & \lambda_0=6.53 \times 10^{-7} m \end{aligned} $

Hence, the threshold wavelength $\lambda_0$ is $653 nm$. (b) From the expression, $W_0=h v_0$, we get:

$v_0=\frac{W_0}{h}$

Where,

$v_0=$ threshold frequency

$h=$ Planck’s constant

Substituting the values in the given expression of $v_0$ :

$v_0=\frac{1.9 \times 1.602 \times 10^{-19} J}{6.626 \times 10^{-34} Js}$

$(1 eV=1.602 \times 10^{-19} J)$

$=4.593 \times 10^{14} s^{{-1}}$

Hence, the threshold frequency of the radiation $v_0$ is $ 4.593 \times 10^{14}s^{-1} $

(c) According to the question:

Wavelength used in irradiation $ (\lambda)=500 n m$

Kinenetic energy = $h(v- v_0)$

$=hc(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda_0})$

$=(6.626 \times 10^{-34} Js)(3.0 \times 10^{8} ms^{-1})(\frac{\lambda_0-\lambda}{\lambda \lambda_0})$

$=(1.9878 \times \times^{-26} Jm)[\frac{(653-500) 10^{-9} m}{(653)(500) 10^{-18} m^{2}}]$

$=\frac{(1.9878 \times 10^{-26})(153 \times 10^{9})}{(653)(500)} J$

$=9.3149 \times 10^{9 E-20} J$

Kinetic energy of the ejected photoelectron $=9.3149 \times 10^{-20} J$

Since K.E

$ =\frac{1}{2} m v^{2}=9.3149 \times 10^{-20} J $

$v=\sqrt{\frac{2(9.3149 \times 10^{-20} J)}{9.10939 \times 10^{-31} kg}}$

$=\sqrt{2.0451 \times 10^{11} m^{2} s^{-2}}$

$v=4.52 \times 10^{5} ms^{-1}$

Hence, the velocity of the ejected photoelectron $(v)$ is $4.52 \times 10^{5} ms^{{-1}}$.

2.52 Following results are observed when sodium metal is irradiated with different wavelengths. Calculate (a) threshold wavelength and, (b) Planck’s constant.

$$ \begin{array}{llll} \lambda(\mathrm{nm}) & 500 & 450 & 400 \\ \mathrm{v} \times 10^{-5}\left(\mathrm{~cm} \mathrm{~s}^{-1}\right) & 2.55 & 4.35 & 5.35 \end{array} $$

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(a) Assuming the threshold wavelength to be $\lambda_0 nm(=\lambda_0 \times 10^{-9} m)$, the kinetic energy of the radiation is given as:

$h(v-v_0)=\frac{1}{2} m v^{2}$

Three different equalities can be formed by the given value as:

$h c(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda_0})=\frac{1}{2} m v^{2}$

$h c(\frac{1}{500 \times 10^{9}}-\frac{1}{\lambda_0 \times 10^{-9} m})=\frac{1}{2} m(2.55 \times 10^{+5} \times 10^{-2} ms^{-1})$

$\frac{h c}{10^{-9} m}[\frac{1}{500}-\frac{1}{\lambda_0}]=\frac{1}{2} m(2.55 \times 10^{+3} ms^{-1})^{2}$

Similarly,

$\frac{hc}{10^{-9} m}[\frac{1}{450}-\frac{1}{\lambda_0}]=\frac{1}{2} m(3.45 \times 10^{+3} ms^{-1})^{2}$

$\frac{h c}{10^{-9} m}[\frac{1}{400}-\frac{1}{\lambda_0}]=\frac{1}{2} m(5.35 \times 10^{+3} ms^{-1})^{2}$

Dividing equation (3) by equation (1):

$ \frac{[\frac{\lambda_0-400}{400 \lambda_0}]}{[\frac{\lambda_0-500}{500 \lambda_0}]}=\frac{(5.35 \times 10^{+3} ms^{-1})^{2}}{(2.55 \times 10^{+3} ms^{-1})^{2}} $

$\frac{5 \lambda_0-2000}{4 \lambda_0-2000}=(\frac{5.35}{2.55})^{2}=\frac{28.6225}{6.5025}$

$\frac{5 \lambda_0-2000}{4 \lambda_0-2000}=4.40177$

$17.6070 \lambda_0-5 \lambda_0=8803.537-2000$

$\lambda_0=\frac{6805.537}{12.607}$

$\lambda_0=539.8 nm$

$\lambda_0 \simeq 540 nm$

$\therefore$ Threshold wavelength $(\lambda_0)=540 nm$

Note:part (b) of the question is not done due to the incorrect values of velocity given in the question.

$\frac{5 \lambda_0-2000}{4 \lambda_0-2000}=(\frac{5.35}{2.55})^{2}=\frac{28.6225}{6.5025}$

$\frac{5 \lambda_0-2000}{4 \lambda_0-2000}=4.40177$

$17.6070 \lambda_0-5 \lambda_0=8803.537-2000$

$\lambda_0=\frac{6805.537}{12.607}$

$\lambda_0=539.8 nm$

$\lambda_0 \simeq 540 nm$

2.53 The ejection of the photoelectron from the silver metal in the photoelectric effect experiment can be stopped by applying the voltage of $0.35 \mathrm{~V}$ when the radiation $256.7 \mathrm{~nm}$ is used. Calculate the work function for silver metal.

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From the principle of conservation of energy, the energy of an incident photon $(E)$ is equal to the sum of the work function $(W_0.$ ) of radiation and its kinetic energy (K.E) i.e.,

$E=W_0+K . E$

$\Rightarrow W_0=E-K . E$

Energy of incident photon $(E)$

$ =\frac{hc}{\lambda} $

Where, $c=$ velocity of radiation

$h=$ Planck’s constant

$\lambda = $ Wavelength of radiation

Substituting the values in the given expression of $E$ :

$ \begin{aligned} E & =\frac{(6.626 \times 10^{-34} Js)(3.0 \times 10^{8} ms^{-1})}{256.7 \times 10^{-9} m} \\ & =7.744 \times 10^{-19} J \\ & =\frac{7.744 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} eV \end{aligned} $

$E=4.83 eV$

The potential applied to silver metal changes to kinetic energy (K.E) of the photoelectron. Hence,

$K . E=0.35 V$

$K . E=0.35 eV$

$\therefore$ Work function, $W_0=E$ - K.E

$=4.83 eV-0.35 eV$

$=4.48 eV$

$\frac{5 \lambda_0-2000}{4 \lambda_0-2000}=(\frac{5.35}{2.55})^{2}=\frac{28.6225}{6.5025}$

$\frac{5 \lambda_0-2000}{4 \lambda_0-2000}=4.40177$

$17.6070 \lambda_0-5 \lambda_0=8803.537-2000$

$\lambda_0=\frac{6805.537}{12.607}$

$\lambda_0=539.8 nm$

$\lambda_0 \simeq 540 nm$

2.54 If the photon of the wavelength $150 \mathrm{pm}$ strikes an atom and one of tis inner bound electrons is ejected out with a velocity of $1.5 \times 10^{7} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$, calculate the energy with which it is bound to the nucleus.

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Energy of incident photon $(E)$ is given by,

$E=\frac{h c}{\lambda}$

$ \begin{aligned} & =\frac{(6.626 \times 10^{-34} Js)(3.0 \times 10^{8} ms^{-1})}{(150 \times 10^{-12} m)} \\ & =1.3252 \times 10^{-15} J \\ & \simeq 13.252 \times 10^{-16} J \end{aligned} $

Energy of the electron ejected (K.E)

$=\frac{1}{2} m_e v^{2}$

$=\frac{1}{2}(9.10939 \times 10^{-31} kg)(1.5 \times 10^{7} ms^{-1})^{2}$

$=10.2480 \times 10^{- 17} J$

$=1.025 \times 10^{{-11} J}$

Hence, the energy with which the electron is bound to the nucleus can be obtained as:

$=E$ -K.E

$ 13.252 \times 10 ^{-16} J - 1.025 \times 10^{-16} J $

$=12.227 \times 10^{- 16} J$

$=\frac{12.227 \times 10^{-16}}{1.602 \times 10^{-19}} eV$

$=7.6 \times 10^{3} eV$

$\frac{5 \lambda_0-2000}{4 \lambda_0-2000}=(\frac{5.35}{2.55})^{2}=\frac{28.6225}{6.5025}$

$\frac{5 \lambda_0-2000}{4 \lambda_0-2000}=4.40177$

$17.6070 \lambda_0-5 \lambda_0=8803.537-2000$

$\lambda_0=\frac{6805.537}{12.607}$

$\lambda_0=539.8 nm$

$\lambda_0 \simeq 540 nm$

2.55 Emission transitions in the Paschen series end at orbit $\mathrm{n}=3$ and start from orbit $\mathrm{n}$ and can be represeted as $v=3.29 \times 10^{15}(\mathrm{~Hz})\left[1 / 3^{2}-1 / \mathrm{n}^{2}\right]$

Calculate the value of $\mathrm{n}$ if the transition is observed at $1285 \mathrm{~nm}$. Find the region of the spectrum.

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Wavelength of transition $=1285 nm$

$=1285 \times 10^{-9 } m$ (Given)

$v=3.29 \times 10^{15}(\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{n^{2}}) _{\text{(Given) }}$

Since $v=\frac{c}{\lambda}$

$=\frac{3.0 \times 10^{8} ms^{-1}}{1285 \times 10^{-9} m}$

$v =2.33 \times 10^{14} s^{-1} $

Substituting the value of $v$ in the given expression,

$3.29 \times 10^{15}(\frac{1}{9}-\frac{1}{n^{2}})=2.33 \times 10^{14}$

$\frac{1}{9}-\frac{1}{n^{2}}=\frac{2.33 \times 10^{14}}{3.29 \times 10^{15}}$

$\frac{1}{9}-0.7082 \times 10^{-1}=\frac{1}{n^{2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{n^{2}}=1.1 \times 10^{-1}-0.7082 \times 10^{-1}$

$\frac{1}{n^{2}}=4.029 \times 10^{-2}$

$n=\sqrt{\frac{1}{4.029 \times 10^{-2}}}$

$n=4.98$

Hence, for the transition to be observed at $1285 nm, n=5$.

The spectrum lies in the infra-red region.

2.56 Calculate the wavelength for the emission transition if it starts from the orbit having radius $1.3225 \mathrm{~nm}$ and ends at $211.6 \mathrm{pm}$. Name the series to which this transition belongs and the region of the spectrum.

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The radius of the $n^{\text{th }}$ orbit of hydrogen-like particles is given by,

$ \begin{aligned} & r=\frac{0.529 n^{2}}{Z} \mathring{A} \\ & r=\frac{52.9 n^{2}}{Z} pm \end{aligned} $

For radius $(r_1)=1.3225 nm$

$=1.32225 \times 10^{- 9} m$

$=1322.25 \times 10^{-12} m$

$=1322.25 pm$

$n_1^{2}=\frac{r_1 Z}{52.9}$

$n_1^{2}=\frac{1322.25 Z}{52.9}$

Similarly,

$n_2^{2}=\frac{211.6 Z}{52.9}$

$\frac{n_1^{2}}{n_2^{2}}=\frac{1322.5}{211.6}$

$\frac{n_1^{2}}{n_2^{2}}=6.25$

$\frac{n_1}{n_2}=2.5$

$\frac{n_1}{n_2}=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow n_1=5$ and $n_2=2$

Thus, the transition is from the $5^{\text{th }}$ orbit to the $2^{\text{nd }}$ orbit. It belongs to the Balmer series.

Wave number $(\bar{{}v})$ for the transition is given by,

$1.097 \times 10^{7} (\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{5^{2}})$

$=1.097 \times 10^{7} m^{-1}(\frac{21}{100})$

$=2.303 \times 10^{6} m^{-1}$

$\therefore$ Wavelength $\lambda$ associated with the emission transition is given by,

$\lambda=\frac{1}{\bar{{}v}}$

$ =\frac{1}{2.303 \times 10^{6} m^{-1}} $

$ =0.434 \times 10 ^{-6}m$

$\lambda=434 nm$

This transition belongs to Balmer series and comes in the visible region of the spectrum.

2.57 Dual behaviour of matter proposed by de Broglie led to the discovery of electron microscope often used for the highly magnified images of biological molecules and other type of material. If the velocity of the electron in this microscope is $1.6 \times 10^{6}$ $\mathrm{ms}^{-1}$, calculate de Broglie wavelength associated with this electron.

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From de Broglie’s equation,

$ \lambda=\frac{h}{m v} $

$\lambda=\frac{6.626 \times 10^{-34} Js}{(9.10939 \times 10^{-31} kg)(1.6 \times 10^{6} ms^{-1})}$

$=4.55 \times 10^{3 E^{140}} m$

$\lambda=455 pm$

$\therefore$ de Broglie’s wavelength associated with the electron is $455 pm$.

2.58 Similar to electron diffraction, neutron diffraction microscope is also used for the determination of the structure of molecules. If the wavelength used here is $800 \mathrm{pm}$, calculate the characteristic velocity associated with the neutron.

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From de Broglie’s equation,

$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & v=\frac{h}{m \lambda} \end{aligned} $

Where,

$v=$ velocity of particle (neutron)

$h=$ Planck’s constant $m=$ mass of particle (neutron)

$\lambda$ = wavelength

Substituting the values in the expression of velocity $(v)$,

$ v=\frac{6.626 \times 10^{-34} Js}{(1.67493 \times 10^{-27} kg)(800 \times 10^{-12} m)} $

$=4.94 \times 10^{2} ms^{\mathrm{at \epsilon}}$

$v=494 ms^{ac \cdot 1}$

$\therefore$ Velocity associated with the neutron $=494 ms^{{-1}}$

2.59 If the velocity of the electron in Bohr’s first orbit is $2.19 \times 10^{6} \mathrm{~ms}^{-1}$, calculate the de Broglie wavelength associated with it.

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According to de Broglie’s equation,

$ \lambda=\frac{h}{m v} $

Where,

$ \lambda$ =Wavelength associated with the electron

$h=$ Planck’s constant

$m=$ mass of electron

$v=$ velocity of electron

$ \begin{aligned} \lambda & =\frac{6.626 \times 10^{-34} Js}{(9.10939 \times 10^{-31} kg)(2.19 \times 10^{6} ms^{-1})} \\ & =3.32 \times 10^{-10} m=3.32 \times 10^{-10} m \times \frac{100}{100} \\ & =332 \times 10^{-12} m \end{aligned} $

$\lambda=332 pm$

$\therefore$ Wavelength associated with the electron $=332 pm$

2.60 The velocity associated with a proton moving in a potential difference of $1000 \mathrm{~V}$ is $4.37 \times 10^{5} \mathrm{~ms}^{-1}$. If the hockey ball of mass $0.1 \mathrm{~kg}$ is moving with this velocity, calcualte the wavelength associated with this velocity.

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According to de Broglie’s expression,

$\lambda=\frac{h}{m v}$

Substituting the values in the expression,

$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{6.626 \times 10^{-34} Js}{(0.1 kg)(4.37 \times 10^{5} ms^{-1})} \\ & \lambda=1.516 \times 10^{-38} m \end{aligned} $

2.61 If the position of the electron is measured within an accuracy of $\pm 0.002 \mathrm{~nm}$, calculate the uncertainty in the momentum of the electron. Suppose the momentum of the electron is $h / 4 \pi_{m} \times 0.05 \mathrm{~nm}$, is there any problem in defining this value.

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From Heisenberg’s uncertainty principle,

$ \Delta x \times \Delta p=\frac{h}{4 \pi} \Rightarrow \Delta p=\frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{h}{4 \pi} $

Where,

$\Delta x=$ uncertainty in position of the electron

$\Delta p=$ uncertainty in momentum of the electron

Substituting the values in the expression of $\Delta p$ :

$ \begin{aligned} & \Delta p=\frac{1}{0.002 nm} \times \frac{6.626 \times 10^{-34} Js}{4 \times(3.14)} \\ & =\frac{1}{2 \times 10^{-12} m} \times \frac{6.626 \times 10^{-34} Js}{4 \times 3.14} \\ & =2.637 \times 10^{- 2} Jsm^{- 1} \\ & \Delta p=2.637 \times 10^{-23} kgms^{-1}(1 J=1 kgms^{2} s^{-1}) \end{aligned} $

$\therefore$ Uncertainty in the momentum of the electron $=2.637 \times 10^{-23} kgms^{- 1}$.

Actual momentum

$ =\frac{h}{4 \pi_m \times 0.05 nm} $

$ \begin{aligned} & =\frac{6.626 \times 10^{-34} Js}{4 \times 3.14 \times 5.0 \times 10^{-11} m} \\ & =1.055 \times 10^{\hat{A}} E^{-24} kgms^{{-1}} \end{aligned} $

Since the magnitude of the actual momentum is smaller than the uncertainty, the value cannot be defined.

2.62 The quantum numbers of six electrons are given below. Arrange them in order of increasing energies. If any of these combination(s) has/have the same energy lists:

  1. $n=4, l=2, m_{l}=-2, m_{\mathrm{s}}=-1 / 2$
  2. $n=3, l=2, m_{l}=1, m_{\mathrm{s}}=+1 / 2$
  3. $n=4, l=1, m_{l}=0, m_{\mathrm{s}}=+1 / 2$
  4. $n=3, l=2, m_{l}=-2, m_{\mathrm{s}}=-1 / 2$
  5. $n=3, l=1, m_{l}=-1, m_{\mathrm{s}}=+1 / 2$
  6. $n=4, l=1, m_{l}=0, m_{\mathrm{s}}=+1 / 2$
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For $n=4$ and $I=2$, the orbital occupied is $4 d$.

For $n=3$ and $l=2$, the orbital occupied is $3 d$.

For $n=4$ and $l=1$, the orbital occupied is $4 p$.

Hence, the six electrons i.e., $1,2,3,4,5$, and 6 are present in the $4 d, 3 d, 4 p, 3 d, 3 p$, and $4 p$ orbitals respectively.

Therefore, the increasing order of energies is $5(3 p)<2(3 d)=4(3 d)<3(4 p)=6(4 p)<1(4 d)$.

2.63 The bromine atom possesses 35 electrons. It contains 6 electrons in $2 p$ orbital, 6 electrons in $3 p$ orbital and 5 electron in $4 p$ orbital. Which of these electron experiences the lowest effective nuclear charge ?

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Nuclear charge experienced by an electron (present in a multi-electron atom) is dependant upon the distance between the nucleus and the orbital, in which the electron is present. As the distance increases, the effective nuclear charge also decreases.

Among $p$-orbitals, $4 p$ orbitals are farthest from the nucleus of bromine atom with (+35) charge. Hence, the electrons in the $4 p$ orbital will experience the lowest effective nuclear charge. These electrons are shielded by electrons present in the 2 pand $3 p$ orbitals along with the s-orbitals. Therefore, they will experience the lowest nuclear charge.

2.64 Among the following pairs of orbitals which orbital will experience the larger effective nuclear charge? (i) $2 s$ and $3 s$, (ii) $4 d$ and $4 f$, (iii) $3 d$ and $3 p$.

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Nuclear charge is defined as the net positive charge experienced by an electron in the orbital of a multi-electron atom. The closer the orbital, the greater is the nuclear charge experienced by the electron (s) in it.

(i) The electron(s) present in the $2 s$ orbital will experience greater nuclear charge (being closer to the nucleus) than the electron(s) in the $3 s$ orbital.

(ii) $4 d$ will experience greater nuclear charge than $4 f$ since $4 d$ is closer to the nucleus.

(iii) $3 p$ will experience greater nuclear charge since it is closer to the nucleus than $3 f$.

2.65 The unpaired electrons in $\mathrm{Al}$ and $\mathrm{Si}$ are present in $3 p$ orbital. Which electrons will experience more effective nuclear charge from the nucleus?

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Nuclear charge is defined as the net positive charge experienced by an electron in a multi-electron atom.

The higher the atomic number, the higher is the nuclear charge. Silicon has 14 protons while aluminium has 13 protons. Hence, silicon has a larger nuclear charge of (+14) than aluminium, which has a nuclear charge of (+13). Thus, the electrons in the $3 p$ orbital of silicon will experience a more effective nuclear charge than aluminium.

2.66 Indicate the number of unpaired electrons in : (a) $\mathrm{P}$, (b) $\mathrm{Si}$, (c) $\mathrm{Cr}$, (d) $\mathrm{Fe}$ and (e) $\mathrm{Kr}$.

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(a) Phosphorus (P):

Atomic number $=15$

The electronic configuration of $P$ is:

$1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{3}$

The orbital picture of $P$ can be represented as:

From the orbital picture, phosphorus has three unpaired electrons.

(b) Silicon (Si):

Atomic number $=14$

The electronic configuration of $Si$ is:

$1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{2}$

The orbital picture of $Si$ can be represented as:

From the orbital picture, silicon has two unpaired electrons.

(c) Chromium (Cr):

Atomic number $=24$

The electronic configuration of $Cr$ is:

$1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6} 4 s^{1} 3 d^{5}$

The orbital picture of chromium is:

From the orbital picture, chromium has six unpaired electrons.

(d) Iron (Fe):

Atomic number $=26$

The electronic configuration is:

$1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6} 4 s^{2} 3 d^{6}$

The orbital picture of chromium is:

From the orbital picture, iron has four unpaired electrons.

(e) Krypton (Kr):

Atomic number $=36$

The electronic configuration is:

$1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6} 4 s^{2} 3 d^{10} 4 p^{6}$

The orbital picture of krypton is:

Since all orbitals are fully occupied, there are no unpaired electrons in krypton.

2.67 (a) How many subshells are associated with $n=4$ ? (b) How many electrons will be present in the subshells having $\mathrm{m}_{\mathrm{s}}$ value of $-1 / 2$ for $n=4$ ?

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(a) $n=4$ (Given)

For a given value of ’ $n$ ‘, ’l’ can have values from zero to ( $n$ â€" 1 ).

$\therefore I=0,1,2,3$

Thus, four sub-shells are associated with $n=4$, which are $s, p, d$ and $f$.

(b) Number of orbitals in the $n^{\text{th }}$ shell $=n^{2}$

For $n=4$

Number of orbitals $=16$

If each orbital is taken fully, then it will have 1 electron with $m_s$ value of $-\frac{1}{2}$.

$\therefore$ Number of electrons with $m_s$ value of $(-\frac{1}{2})$ is 16 .

विभिन्न तत्त्वों के रासायनिक व्यवहार में प्रचुर विविधता, उनके परमाणुओं की आंतरिक संरचना में निहित विविधता से पथरेखित होती है।

भारतीय एवं यूनानी दार्शनिकों द्वारा बहुत पहले से ही ( 400 ई.पू.) परमाणुओं के अस्तित्व को प्रस्तावित किया गया था। उनका विचार था कि परमाणु द्रव्य के मूल संरचनात्मक भाग होते हैं। उनके अनुसार पदार्थ के लगातार विभाजन से अंततः परमाणु प्राप्त होते हैं, जिसे और विभाजित नहीं किया जा सकता। ‘परमाणु’ (atom) शब्द ग्रीक भाषा से उत्पन्न हुआ है, जिसमें atomio का अर्थ ‘न काटे जाने वाला (uncutable) या ‘अविभाज्य’ (non-divisible) होता है। पहले ये विचार केवल कल्पना पर आधारित थे और इनका प्रायोगिक परीक्षण कर पाना संभव नहीं था। बहुत समय तक ये विचार किसी प्रमाण के बिना ऐसे ही चलते रहे, परंतु 18 वीं शताब्दी में वैज्ञानिकों ने इन पर फिर से बल देना शुरू कर दिया।

सन् 1808 में जॉन डाल्टन नामक एक ब्रिटिश स्कूल अध्यापक ने पहली बार वैज्ञानिक आधार पर द्रव्य का परमाणु सिद्धांत प्रस्तुत किया। उनका सिद्धांत, जिसे ‘डाल्टन का परमाणु सिद्धांत’ कहा जाता है, परमाणु को पदार्थ का मूल कण (एकक-1) माना। डाल्टन के परमाणु सिद्धांत से द्रव्यमान के संरक्षण के नियम, स्थिर संघटन के नियम तथा गुणित-अनुपात के नियम की सफलतापूर्वक व्याख्या की जा सकी। लेकिन यह कई प्रयोगों के परिणामों को वर्णित करने में विफल रहा। उदाहरण के लिए- काँच अथवा एबोनाइट (ebonite) को रेशम अथवा फर (fur) के साथ घिसने पर विद्युत् आवेश की उत्पत्ति होती है।

इस एकक को हमने उन प्रायोगिक प्रेक्षणों से आरंभ किया है, जो 19 वीं शताब्दी के अंत तथा 20 वीं शताब्दी के आरंभ में वैज्ञानिकों द्वारा किए गए थे। इससे यह स्थापित हुआ कि परमाणु छोटे कणों (अवपरमाण्विक कणों) से यानी इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन तथा न्यूट्रॉन से बने होते हैं। यह धारणा डाल्टन की धारणा से बिल्कुल अलग थी।

2.1 अवपरमाण्विक कणों की खोज

गैसों में विद्युत्-विसर्जन आदि प्रयोगों के परिणामों से परमाणु की संरचना के बारे में और जानकारी प्राप्त हुई। इन परिणामों की चर्चा करने से पहले आवेशित कणों के व्यवहार के बारे में हमें यह मूल नियम ध्यान में रखना होगा कि समान आवेश एक-दूसरे को प्रतिकर्षित तथा विपरीत आवेश एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं।

2.1.1 इलेक्ट्रॉन की खोज

सन् 1830 में माइकेल फैराडे ने दर्शाया कि यदि किसी विलयन में विद्युत् प्रवाहित की जाती है, तो इलेक्ट्रोडों पर रासायनिक अभिक्रियाएँ होती हैं, जिनके परिणामस्वरूप इलेक्ट्रोडों पर पदार्थ का विसर्जन और निक्षेपण (deposition) होता है। उसने कुछ नियम बताए, जिनके विषय में आप 12 वीं कक्षा में पढ़ेंगे। इन परिणामों से विद्युत् की कणीय प्रकृति के बारे में पता चलता है।

1850 के मध्य में अनेक वैज्ञानिक, विशेषकर फैराडे ने आंशिक रूप से निर्वातित नलिकाओं, जिन्हें कैथोड किरण नलिकाएँ कहा जाता है, में विद्युत्-विसर्जन का अध्ययन आरंभ किया। इसे चित्र 2.1 (क) में दर्शाया गया है। कैथोड किरण नलिका काँच की बनी होती है, जिसमें धातु के दो पतले टुकड़े, जिन्हें इलेक्ट्रोड कहते हैं, सील किए हुए होते हैं। गैसों में विद्युत्-विसर्जन को सिर्फ निम्न दाब एवं उच्च विभव पर प्रेक्षित किया जा सकता है। काँच की नलिकाओं में विभिन्न गैसों के दाब को निर्वातन द्वारा नियंत्रित किया गया। इस प्रकार जब इलेक्ट्रोडों पर उच्च वोल्टता लागू की गई, तो नलिका में कणों की धारा के द्वारा ऋणात्मक इलेक्ट्रोड (कैथोड) से धनात्मक इलेक्ट्रोड (ऐनोड) की तरफ विद्युत् का प्रवाह आरंभ हो गया। इनको कैथोड किरणें अथवा कैथोड किरण कण कहते हैं। चित्र 2.1 (क) एक कैथोड किरण विसर्जन नलिका कैथोड से ऐनोड तक विद्युत्धारा के प्रवाह की अतिरिक्त जाँच के लिए ऐनोड में छिद्र तथा ऐनोड के पीछे नली पर स्फुरदीप्त पदार्थ (जिंक सल्फाइड) का लेप किया जाता है। जब ये किरणें ऐनोड के छिद्र में से गुजरकर जिंक सल्फाइड की परत पर टकराती हैं तथा वहाँ एक चमकीला चिह्न बन जाता है [चित्र 2.1 (ख)]।

चित्र 2.1 ( ख) सछिद्र एनोडयुक्त एक कैथोड-किरण विसर्जन नलिका

इस प्रयोग के परिणाम का सारांश निम्नलिखित हैं-

(i) कैथोड किरणें (cathode rays) कैथोड से आरंभ होकर ऐनोड की ओर गमन करती हैं।

(ii) ये किरणें स्वयं दिखाई नहीं देतीं, परंतु इनके व्यवहार को गैसों तथा कुछ निश्चित प्रकार के पदार्थों (स्फुरदीप्त तथा प्रतिदीप्त) की उपस्थिति में देखा जा सकता है। ये पदार्थ इन किरणों के टकराने से चमकते हैं। टेलीवीजन चित्र नलिका कैथोड किरण नलिका होती है। टी.वी. पर्दा स्फुरदीप्त एवं प्रतिदीप्त पदार्थों से लेपित होता है जिस पर चित्र प्रतिदीप्त होते हैं।

(iii) विद्युत् और चुंबकीय क्षेत्रों की अनुपस्थिति में ये किरणें सीधी दिशा में गमन करती हैं।

(iv) विद्युत् और चुंबकीय क्षेत्रों की उपस्थिति में कैथोड किरणों का व्यवहार ॠणावेशित कणों के अपेक्षित व्यवहार के समान होता है, जो यह सिद्ध करता है कि कैथोड किरणों में ऋणावेषित कण होते हैं, जिन्हें इलेक्ट्रॉन कहते हैं।

(v) कैथोड-किरणों (इलेक्ट्रॉन) के लक्षण कैथोड किरण नलिका के इलेक्ट्रोडों के पदार्थ एवं उसमें उपस्थित गैस की प्रकृति पर निर्भर नहीं करते।

उपरोक्त परिणामों से यह निष्कर्ष निकलता है कि इलेक्ट्रॉन सभी परमाणुओं के मूल घटक होते हैं।

2.1.2 इलेक्ट्रॉन का आवेश द्रव्यमान अनुपात

ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी जे.जे. थॉमसन ने सन् 1897 में कैथोड किरण नलिका का उपयोग करके और इलेक्ट्रॉनों के पथ पर विद्युत् और चुंबकीय क्षेत्र, जो एक दूसरे के लंबवत थे, लागू करके इलेक्ट्रॉन के विद्युत् आवेश (e) और द्रव्यमान $\left(m_{e}\right)$ के बीच अनुपात को मापा (चित्र 2.2)। केवल विद्युत् क्षेत्र की उपस्थिति में इलेक्ट्रॉन अपने पथ से विचलित होकर बिंदु $A$ (चित्र 2.2) पर कैथोड किरण नलिका से टकराते हैं। इसी प्रकार केवल चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में इलेक्ट्रॉन बिंदु $\mathrm{C}$ पर कैथोड किरण-नलिका से टकराते हैं। विद्युत् और चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता के सावधानीपूर्वक संतुलन से इलेक्ट्रॉनों को अनुपालित पथ पर उसी पथ पर वापस लाया जा सकता है। जिस पर वह इन क्षेत्रों की अनुपस्थिति में था। अब यह पर्दे पर बिंदु $\mathrm{B}$ से टकराते हैं। थॉमसन ने यह तर्क दिया कि केवल विद्युत् और केवल चुंबकीय क्षेत्रों की उपस्थिति में इलेक्ट्रॉनों के अपने पथ से विचलन की मात्रा निम्नलिखित बातों पर निर्भर करती है-

(i) कण पर ॠणावेश का मान अधिक होने पर विद्युत् तथा चुंबकीय क्षेत्रों के साथ अन्योन्य क्रिया बढ़ जाती है इस प्रकार विचलन अधिक होता है।

(ii) कण का द्रव्यमान-कण के हल्का होने से विचलन अधिक होता है।

(iii) विद्युत् अथवा चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता इलेक्ट्रोडों पर वोल्टता अथवा चुम्बकीय क्षेत्र की प्रबलता बढ़ाने से इलेक्ट्रॉनों का मूल पथ से विचलन बढ़ जाता है।

विद्युत् क्षेत्र की प्रबलता या चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता में से किसी एक की उपस्थिति में इलेक्ट्रॉनों के विचलन की मात्रा का सही-सही माप करके और उसके प्रेक्षण से थॉमसन, $e / m_{e}$ के मान का निर्धारण कर सके-

$\frac{e}{m_{e}}=1.758820 \times 10^{11} \mathrm{C} \mathrm{kg}^{-1}$

जहाँ $\mathrm{m} _{\mathrm{e}}$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $\mathrm{kg}$ में और उस पर आवेश कूलॉम $(\mathrm{C})$ में है। चूँकि इलेक्ट्रॉन ऋणावेशित होते हैं, अतः इलेक्ट्रॉन पर वास्तविक (ऋण) आवेश $-e$ है।

2.1.3 इलेक्ट्रॉनों पर आवेश

आर.ए. मिलिकन (1868-1953) ने इलेक्ट्रॉन पर आवेश के निर्धारण के लिए एक विधि तैयार की, जो तेल बूँद प्रयोग (1906-14) कहलाता है। उन्होंने पाया कि इलेक्ट्रॉन पर आवेश $-1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$, विद्युत् आवेश का नवीनतम मान $1.602176 \times 10^{-19} \mathrm{C}$ है। थॉमसन के $e / m_{\mathrm{e}}$ अनुपात के मान से इन परिणामों को संयुक्त करके इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $\left(m_{e}\right)$ निर्धारित किया।

$$ \begin{aligned} \mathrm{m}_e & =\frac{e}{e / \mathrm{m}_e}=\frac{1.602176 \times 10^{-19} \mathrm{C}}{1.758820 \times 10^{11} \mathrm{C} \mathrm{~kg}^{-1}} \\ \end{aligned} $$

$$ \begin{align*} & =9.1094 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \tag{2.2} \end{align*} $$

चित्र 2.2 इलेक्ट्रॉन के आवेश और द्रव्यमान के बीच अनुपात का निर्धरण करने का उपकरण

2.1.4 प्रोटॉन तथा न्यूट्रॉन की खोज

परिवर्तित कैथोड किरण नलिका में किए गए विद्युत् विसर्जन से धनावेशित कणों की खोज हुई, जिन्हें कैनाल किरणें भी कहा जाता है। इन धनावेशित कणों के अभिलक्षण अग्रलिखित हैं-

(i) कैथोड किरणों के विपरीत, धनावेशित कण का द्रव्यमान कैथोड किरण नलिका में उपस्थित गैस की प्रकृति पर निर्भर करता है। ये साधारण धनावेशित गैसीय आयन होते हैं।

(ii) कणों के आवेश और द्रव्यमान का अनुपात उस गैस पर निर्भर करता है, जिससे ये उत्पन्न होते हैं।

(iii) कुछ धनावेशित कण विद्युत् आवेश की मूल इकाई के गुणक होते हैं।

(iv) चुंबकीय तथा विद्युत् क्षेत्रों में इन कणों का व्यवहार इलेक्ट्रॉन अथवा कैथोड किरण द्वारा प्रेक्षित व्यवहार के विपरीत है।

सबसे छोटा और हल्का धन आयन हाइड्रोजन से प्राप्त हुआ था इसे प्रोटॉन कहते हैं। इस धनावेशित कण का पृथक्करण और इसके लक्षण की पुष्टि सन् 1919 में हुई थी। बाद में परमाणु में एक वैद्युत उदासीन कण की आवश्यक्ता महसूस की गई। इस कण की खोज सन् 1932 में चैडविक ने बेरीलियम पर $\propto$ कणों के प्रहार से की। जब प्रोटॉन के भार से कुछ अधिक भार वाले विद्युत् उदासीन कण निर्गमित हुए। उन्होंने इन कणों को न्यूट्रॉन कहा। इन मूल कणों के महत्त्वपूर्ण गुण सारणी 2.1 में दिए गए हैं।

मिलिकन की तेल की बूँद विधि

इस विधि में कणित्र (atomizer) द्वारा उत्पन्न कुहासे के रूप में तेल की बूँदों को विद्युत् संघनित्र (condenser) के ऊपर की प्लेट में उपस्थित छोटे से छिद्र से गुजारा जाता है। इन बूँदों के नीचे की ओर गति को माइक्रोमीटरयुक्त दूरबीन के द्वारा देखा गया। इन बूँदों के गिरने की दर को मापकर मिलिकन तेल की बूँदों के द्रव्यमान को मापा सके। कक्षक के अंदर की वायु को $\mathrm{X}$-किरणपुंज प्रवाहित करके आयनित किया गया। गैसीय आयनों तथा तेल बूँदों के संघट्ट से तेल बूँदों पर विद्युत् आवेश उत्पन्न हुआ। तेल की इन बूँदों पर विद्युत् आवेश $\mathrm{X}$-किरणों द्वारा उत्पन्न अधिशोषण वाले आयनों द्वारा अपनाया गया। इन आवेशित तेल की बूँदों का गिरना रोका जा सकता है, त्वरित किया जा सकता है अथवा स्थिर किया जा सकता है। ये बूँदों पर आवेश और प्लेट पर लागू वोल्टता की धुव्रणता तथा प्रबलता पर निर्भर करता है। तेल की बूँदों की गति पर विद्युत् क्षेत्र प्रबलता के प्रभाव को ध्यानपूर्वक माप कर मिलिकन ने यह निष्कर्ष निकाला कि बूँदों पर विद्युत् आवेश (q) का परिमाण हमेशा विद्युत् आवेश, (e) का गुणांक होता है, अर्थात् $\mathrm{q}=\mathrm{ne}$, जहाँ $\mathrm{n}=1,2,3 \ldots$

चित्र 2.3 आवेश ’ $e$ ’ मापन के लिए मिलिकन का तेल की बूँद उपकरण। कक्षक में गतिमान तेल की बूँद पर कार्यकारी बल: गुरुत्वाकर्षण, विद्युत् क्षेत्र के कारण वैद्युत्स्थैतिक तथा श्यानता तलकर्षण बल

2.2 परमाणु मॉडल

पूर्व भागों में बताए गए प्रयोगों से प्राप्त प्रेक्षणों से यह ज्ञात हुआ कि डाल्टन के अविभाज्य परमाणु में धनात्मक तथा ऋणात्मक आवेशों वाले अव-परमाणु (sub-atomic) कण होते हैं। अवपरमाण्विक कणों की खोज के बाद वैज्ञानिकों के सामने निम्नलिखित मुख्य समस्याएँ थीं-

  • परमाणु के स्थायित्व का स्पष्टीकरण;

  • तत्वों के गुणों यानी भौतिक व रसायनिक व्यवहार की तुलना;

  • विभिन्न परमाणुओं के संयोजन से विभिन्न प्रकार के अणुओं के बनने की व्याख्या तथा,

  • परमाणुओं द्वारा अवशोषित अथवा उत्सर्जित विशिष्ट विद्युत् चुंबकीय विकिरण की उत्पत्ति तथा प्रकृति को समझना।

सारणी 2.1 मूल कणों के गुण

नाम चिह्न परम आवेश/C सापेक्ष आवेश द्रव्यमान $/ \mathbf{k g}$ द्रव्यमान $/ \mathbf{u}$ लगभग द्रव्यमान $/ \mathbf{u}$
इलेक्ट्रॉन $\mathrm{e}$ $-1.602176 \times 10^{-19}$ -1 $9.109382 \times 10^{-31}$ 0.00054 0
प्रोटॉन $\mathrm{p}$ $+1.602176 \times 10^{-19}$ +1 $1.6726216 \times 10^{-27}$ 1.00727 1
न्यूट्रॉन $\mathrm{n}$ 0 0 $1.674927 \times 10^{-27}$ 1.00867 1

इन आवेशित कणों के परमाणुओं में वितरण की व्याख्या करने के लिए विभिन्न परमाणु मॉडल प्रस्तावित किए गए। यद्यपि इनमें से हर मॉडल द्वारा कणों के स्थायित्व की व्याख्या नहीं की जा सकी। इनमें से एक मॉडल जे.जे. थॉमसन द्वारा और दूसरा अर्नेस्ट रदरफोर्ड द्वारा प्रस्तावित किया गया इनका विवरण आगे दिया गया है-

2.2.1 परमाणु का थॉमसन मॉडल

सन् 1898 में जे.जे. थॉमसन ने प्रस्तावित किया कि परमाणु एक समान आवेशित गोला (त्रिज्या लगभग $10^{-10} \mathrm{~m}$ ) होता है, जिसमें धनावेश समान रूप से वितरित रहता है। इसके ऊपर इलेक्ट्रॉन इस प्रकार स्थित होते हैं कि उससे स्थायी स्थिर वैद्युत् व्यवस्था प्राप्त हो जाती है (चित्र 2.4)। इस मॉडल को विभिन्न प्रकार के नाम दिए गए हैं। उदाहरणार्थ- प्लम पुडिंग (plum pudding) रेज़िन पुडिंग (raisin pudding) अथवा तरबूज (watermelon) मॉडल।

चित्र 2.4 परमाणु का थॉमसन मॉडल

इस मॉडल में परमाणु के धनावेश को पुडिंग अथवा तरबूज के समान माना गया है, जिसमें इलेक्ट्रॉन क्रमशः प्लम अथवा बीज की तरह उपस्थित हैं। इस मॉडल का एक महत्त्वपूर्ण लक्षण यह है कि इसमें परमाणु का द्रव्यमान पूरे परमाणु पर समान रूप से बँटा हुआ माना गया है। यद्यपि यह मॉडल परमाणु की विद्युत् उदासीनता को स्पष्ट करता था, किंतु यह भविष्य के प्रयोगों के परिणामों के संगत नहीं पाया गया। थॉमसन को सन् 1906 में भौतिकी में गैसों की विद्युत् चालकता पर सैद्धांतिक एवं प्रायोगिक जाँच के लिए नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया।

19 वीं सदी के दूसरे अर्धांश में विभिन्न प्रकार की किरणों की खोज हुई। विल्हेम रॉन्टजेन (Wilhem Roentgen, 1845-1923) ने सन् 1895 में दर्शाया कि कैथोड किरण नली में उपस्थित पदार्थ से टकराने पर इलेक्ट्रॉन ऐसी किरणें उत्पन्न करते हैं, जो कैथोड किरण नली के बाहर रखे प्रतिदीप्त (fluorescent) पदार्थ में प्रतिदीप्ति उत्पन्न कर सकते हैं। चूँकि रॉन्टजेन को इन किरणों की प्रकृति का पता नहीं था, अतः उन्होंने इन्हें $\mathrm{X}$ - किरणों का नाम दिया, जो आज भी प्रचलित है। ऐसा देखा गया कि इलेक्ट्रॉनों के अधिक घनत्व वाले धातु ऐनोड लक्ष्य से टकराने के कारण प्रभावी $\mathrm{X}$-किरणें उत्पन्न होती हैं। $\mathrm{X}$ किरणें विद्युत् तथा चुंबकीय क्षेत्रों से विक्षेपित (deflect) नहीं होती हैं। इन किरणों के पदार्थ में अति उच्च भेदनशक्ति (penetrating power) होती है। यही कारण है कि वस्तुओं के आंतरिक अध्ययन में इन किरणों का उपयोग होता है। इन किरणों की तरंग-दैर्ध्य (wavelength) बहुत कम होती है $(0.1 \mathrm{~nm})$ और वैद्युत-चुंबकीय व्यवहार दर्शाती हैं (खंड 2.3.1)।

हेनरी बैकुरल (Henri Becqueral 1852 -1908) ने देखा कि कुछ तत्त्व विकिरण का उत्सर्जन स्वयं करते हैं। उन्होंने इस परिघटना को रेडियोऐक्टिवता (radioactivity) कहा तथा बताया कि ऐसे तत्त्व रेडियोऐक्टिव तत्त्व कहलाते हैं। इस क्षेत्र को मेरी क्यूरी, पियरे क्यूरी रदरफोर्ड तथा फ्रेडरिक सोडी ने विकसित किया। इसमें तीन प्रकार की किरणों, $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ का उत्सर्जन देखा गया। रदरफोर्ड ने पाया कि $\alpha$ किरणों में दो इकाई धनात्मक आवेश और चार इकाई परमाणु द्रव्यमान वाले उच्च ऊर्जा कण होते हैं। उन्होंने यह निष्कर्ष निकाला कि $\alpha$ कण हीलियम नाभिक होते हैं, क्योंकि दो इलेक्ट्रॉनों के साथ मिलकर $\alpha$ कण हीलियम गैस प्रदान करते हैं। $\beta$ किरणें इलेक्ट्रॉनों के समान ऋणात्मक आवेश वाले कण होते हैं। $\gamma$ किरणें $\mathrm{X}$-किरणों के समान उच्च ऊर्जा विकिरण होती हैं, जिनकी प्रकृति उदासीन होती है और जिनका कोई कण नहीं होता। भेदन क्षमता सबसे कम $\alpha$ किरणों की, उसके बाद $\beta$ किरणों ( $\alpha$ कणों से 100 गुना अधिक) तथा सबसे अधिक $\gamma$ किरणों की ( $\alpha$ कणों से 1000 गुना अधिक) होती है।

2.2.2 रदरफोर्ड का नाभिकीय परमाणु मॉडल

रदरफोर्ड और उसके विद्यार्थियों ने (हेंस गीगर और अर्नेस्ट मार्सडेन) ने बहुत पतली सोने की पन्नी (gold foil) पर $\alpha$-कणों की बौछार की। रदरफोर्ड के प्रसिद्ध $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग को चित्र 2.5 में दिखाया गया है। सोने की पतली पन्नी ( $100 \mathrm{~nm}$ मोटाई) की ओर लक्ष्य करके एक रेडियोऐक्टिव स्रोत से उच्च ऊर्जा वाले अल्फा कणों को भेजा गया। इस पतली पन्नी को घेरते हुए वृत्ताकर प्रतिदीप्तिशील (fluorescent) जिंक सल्फाइड से बना स्क्रीन रखा गया। जब कोई अल्फा कण इस स्क्रीन से टकराता है, तो प्रकाश की स्फुरक्षणीदीप्ति (flash) उत्पन्न होती है।

चित्र 2.5 रदरफोर्ड के प्रकीर्णन प्रयोग का रेखांकित चित्र। जब सोने की एक पतली पत्री पर अल्फा $(\alpha)$ कणों की बौछार (shot) की जाती है, तो उसमें से अधिकांश कण प्रभावित हुए बिना पत्ती को पार कर जाते हैं, जबकि कुछ का विक्षेपण हो जाता है।

प्रकीर्णन अनुप्रयोग के परिणाम काफी अनपेक्षित थे। थॉमसन के परमाणु मॉडल के अनुसार पत्ती में उपस्थित सोने के प्रत्येक परमाणु का द्रव्यमान पूरे परमाणु पर एक समान रूप से बँटा हुआ होना चाहिए। अल्फा कणों में ऊर्जा इतनी अधिक होती है कि वे द्रव्यमान के ऐसे समान वितरण को भी सीधे पार कर जाएँगे। उन्हें अपेक्षा थी कि पत्ती से टकराने के बाद कणों की गति धीमी हो जाएगी और उनकी दिशा बहुत कम कोण से बदल जाएगी। उन्होंने देखा कि-

(i) अधिकांश अल्फा कण सोने की पत्ती से विक्षेपित हुए बिना निकल गए।

(ii) बहुत कम अल्फा कण छोटे कोण से विक्षेपित हुए।

(iii) बहुत ही थोड़े कण (20000 में से 1) पीछे की ओर लौटे अर्थात् लगभग $180^{\circ}$ के कोण से उनका विक्षेपण हुआ।

इन प्रेक्षणों के आधार पर रदरफोर्ड ने परमाणु की संरचना के बारे में निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले-

(i) परमाणु के अंदर अधिकांश स्थान रिक्त होता है, क्योंकि अधिकांश अल्फा कण सोने की पत्री को पार कर जाते हैं।

(ii) कुछ ही धनावेशित $\alpha$ कण विक्षेपित होते हैं। यह विक्षेपण अवश्य ही अत्यधिक प्रतिकर्षण बल (repulsive force) के कारण होगा। इससे यह पता चलता है कि थॉमसन के विचार के विपरीत परमाणु के अंदर धनावेश समान रूप से बँटा हुआ नहीं है। धनावेश बहुत कम आयतन के अंदर संकेंद्रित होना चाहिए, जिससे धनावेशित अल्फा कणों का प्रतिकर्षण और विक्षेपण हुआ हो।

(iii) रदरफोर्ड ने गणना करके दिखाया कि नाभिक का आयतन, परमाणु के कुल आयतन की तुलना में अत्यंत कम (नगण्य) होता है। परमाणु की त्रिज्या लगभग $10^{-10} \mathrm{~m}$ होती है, जबकि नाभिक की त्रिज्या लगभग $10^{-15} \mathrm{~m}$ होती है। आकार के इस अंतर का अंदाज इस बात से लगाया जा सकता है कि यदि नाभिक को क्रिकेट की गेंद जितना माना जाए, तो परमाणु की त्रिज्या लगभग $5 \mathrm{~km}$ होगी।

उपरोक्त प्रेक्षणों और परिणामों के आधार पर रदरफोर्ड ने परमाणु का नाभिकीय मॉडल प्रस्तुत किया। इस मॉडल के अनुसार-

(i) परमाणु का धनावेश तथा अधिकांश द्रव्यमान एक अति अल्प क्षेत्र में केंद्रित होता है। परमाणु के इस अति अल्प भाग को रदरफोर्ड ने ‘नाभिक’ कहा।

(ii) नाभिक के चारों ओर इलेक्ट्रॉन वृत्ताकार पथों, जिन्हें कक्षा (orbit) कहा जाता है, में बहुत तेजी से घूमते हैं। अतः रदरफोर्ड का परमाणु मॉडल सौरमंडल से मिलता-जुलता है, जिसमें सूर्य नाभिक के समान होता है और ग्रह गतिमान इलेक्ट्रॉन के समान होते हैं।

(iii) इलेक्ट्रॉन और नाभिक आपस में आकर्षण के स्थिर वैद्युत् बलों के द्वारा बँधे रहते हैं।

2.2.3 परमाणु संख्या तथा द्रव्यमान संख्या

नाभिक का धनावेश उसके प्रोटॉनों के कारण होता है। जैसा पहले स्थापित हो चुका है, प्रोटॉन पर आवेश इलेक्ट्रॉन के आवेश के बराबर, लेकिन विपरीत चिह्न का होता है। इसका अर्थ यह है कि नाभिक में उपस्थित प्रोटॉनों की संख्या परमाणु संख्या $(Z)$ के बराबर होती है अर्थात् प्रोटॉनों की संख्या हाइड्रोजन नाभिक में 1 और सोडियम में 11 होती है, अत: इनका परमाणु क्रमांक क्रमशः 1 तथा 11 होगा। परमाणु को उदासीन बनाए रखने के लिए उसमें इलेक्ट्रॉनों की संख्या, प्रोटॉनों की संख्या (परमाणु संख्या $Z$ ) के बराबर होगी। उदाहरणार्थ- हाइड्रोजन तथा सोडियम परमाणु में इलेक्ट्रॉनों की संख्या क्रमशः 1 तथा 11 होती है।

$$ \begin{array}{ccc} \text{परमाणु संख्या } (Z) & = & \text{परमाणु के नाभिक मे} \\ & & \text{प्रोटॉनों की संख्या }\\ & =& \text{ उदासीन परमाणु में} \\ & & \text{इलेक्ट्रॉनों की संख्या} \quad \quad (2.3) \\ \end{array} $$

नाभिक का धनावेश उसके प्रोटॉनों के कारण होता है, परंतु नाभिक का द्रव्यमान प्रोटॉनों तथा कुछ अन्य उदासीन कणों (जिसमें प्रत्येक का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान के लगभग बराबर होता है) के कारण होता है। इस उदासीन कण को न्यूट्रॉन (n) कहते हैं। नाभिक में उपस्थित प्रोटॉनों और न्यूट्रॉनों को न्यूक्लिऑन्स (nucleons) कहते हैं।

न्यूक्लिऑनों की कुल संख्या को परमाणु की द्रव्यमान संख्या (A) कहते हैं।

द्रव्यमान संख्या (A) = प्रोटॉन की संख्या (Z) + न्यूट्रॉन की संख्या (n)

2.2.4 समस्थानिक एवं समभारिक

किसी भी परमाणु के संघटन को तत्त्व के प्रतीक $(\mathrm{X})$ द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसमें बाईं ओर एक पूर्व-लग्न लिखा जाता है, जो परमाणु द्रव्यमान संख्या $(\mathrm{A})$ होती है। बाईं ओर ही अनुलग्नक के रूप में परमाणु संख्या (Z) लिखी जाती है, अर्थात् (${ } _{\mathrm{Z}}^{\mathrm{A}} \mathrm{X}$)

समभारिक समान द्रव्यमान संख्या, परंतु भिन्न परमाणु संख्या के परमाणु होंगे; उदाहरणार्थ- ${ } _{6}^{14} \mathrm{C}$ तथा ${ } _{7}^{14} \mathrm{~N}$ । समस्थानिक वह परमाणु होते हैं, जिनकी परमाणु संख्या (Z) समान एवं द्रव्यमान संख्या (A) भिन्न होती है। दूसरे शब्दों में, समीकरण 2.4 के अनुसार, यह स्पष्ट है कि समस्थानिकों में अंतर का कारण नाभिक में उपस्थित भिन्न-भिन्न न्यूट्रॉनों की संख्या है। उदाहरण के लिए फिर से हाइड्रोजन परमाणु को लें। $99.985 %$ हाइड्रोजन परमाणुओं में केवल एक प्रोटॉन होता है, जिसे प्रोटियम $\left({ } _{1}^{1} \mathrm{H}\right)$ कहते हैं। शेष हाइड्रोजन परमाणु में दो समस्थानिक होते हैं- ड्यूटीरियम $\left( _1^2 D, 0.015 \%\right)$, जिसमें 1 प्रोटॉन तथा 1 न्यूट्रॉन होता है और ट्राइटियम (Tritium, ${ } _{1}^{3}$ T), जिसमें 1 प्रोटॉन तथा 2 न्यूट्रॉन होते हैं। ट्राइटियम पृथ्वी में लेश मात्रा में पाया जाता है। समस्थानिकों के कुछ अन्य उदाहरण भी हैं; जैसे- कार्बन, जिसमें 6 प्रोटॉनों के अलावा 6,7 तथा 8 न्यूट्रॉन $\left({ } _{6}^{12} \mathrm{C},{ } _{6}^{13} \mathrm{C},{ } _{6}^{14} \mathrm{C}\right)$ होते हैं; क्लोरीन परमाणु, जिसमें 17 प्रोटॉनों के अलावा 18 तथा 20 न्यूट्रॉन $\left({ } _{17}^{35} \mathrm{Cl},{ } _{17}^{37} \mathrm{Cl}\right)$ होते हैं।

समस्थानिकों के विषय में अंतिम महत्त्वपूर्ण बात यह है कि परमाणुओं के रासायनिक गुण इलेक्ट्रॉनों की संख्या द्वारा नियंत्रित होते हैं, जो नाभिक में प्रोटॉनों की संख्या द्वारा निर्धारित होती है। नाभिक में रासायनिक गुणों पर न्यूट्रॉनों की संख्या का प्रभाव बहुत कम होता है। अतः रासायनिक अभिक्रियाओं में सभी समस्थानिक एक सा व्यवहार दर्शाते हैं।

उदाहरण 2.1

${ } _{35}^{80} \mathrm{Br}$ में प्रोटॉनों, न्यूट्रॉनों तथा इलेक्ट्रॉनों की संख्या का परिकलन कीजिए।

हल

यहाँ ${ } _{35}^{80} \mathrm{Br}, \mathrm{Z}=35, \mathrm{~A}=80$, स्पीशीज़ उदासीन हैं।

प्रोटॉनों की संख्या $=$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या $=Z=35$

न्यूट्रॉनों की संख्या $=80-35=45$ (समीकरण 2.4)

उदाहरण 2.2

किसी स्पीशीज़ में इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन तथा न्यूट्रॉनों की संख्या क्रमशः 18,16 तथा 16 है। इसका प्रयुक्त प्रतीक लिखिए।

हल

परमाणु संख्या-प्रोटॉनों की संख्या $=16$ यह तत्त्व सल्फर $(\mathrm{S})$ है।

परमाणु द्रव्यमान संख्या $=$ प्रोटॉनों की संख्या + न्यूट्रॉनों की संख्या

$=16+16=32$

यह स्पीशीज़ उदासीन नहीं है, क्योंकि प्रोटॉनों की संख्या इलेक्ट्रॉनों की संख्या के बराबर नहीं है। यह एक ॠणायन (ऋणावेशित) है, जिसका आवेश इलेक्ट्रॉनों के आधिक्य के बराबर है $=(18-16=2)$ इसका प्रतीक ${ } _{16}^{32} \mathrm{~S}^{2-}$ है।

नोट : ${ } _{\mathrm{Z}}^{\mathrm{A}} \mathrm{X}$ संकेत का प्रयोग करने से पहले यह पता कर लें कि ये स्पीशीज़ उदासीन परमाणु हैं अथवा धनायन या ऋणायन हैं। यदि यह उदासीन परमाणु है, तो समीकरण (2.3) मान्य है, जिसमें प्रोटॉनों की संख्या $=$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या $=$ परमाणु संख्या होती है। यदि स्पीशीज़ एक आयन है, तो यह निर्धारित कीजिए कि प्रोटॉनों की संख्या इलेक्ट्रॉनों की संख्या से अधिक है या कम यदि अधिक है तो केटायन (धनायन) और कम है, तो ऐनायन (ऋणायन) होगा। न्यूट्रॉनों की संख्या हमेशा $\mathrm{A}-\mathrm{Z}$ से दी जाती है, चाहे स्पीशीज़ उदासीन हो अथवा आयन हो।

2.2.5 रदरफोर्ड मॉडल के दोष

जैसा कि आप जान चुके हैं रदरफोर्ड का नाभिकीय मॉडल सौरमंडल का एक छोटा रूप था, जिसमें नाभिक को भारी सूर्य की तरह और इलेक्ट्रॉनों को हल्के ग्रहों की तरह सोचा गया था। जब सौरमंडल पर चिरसम्मत यांत्रिकी को लागू किया जाता है तो पता चलता है कि ग्रह सूर्य के चारों ओर निश्चित कक्षाओं में घूमते हैं। ग्रहों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल को (G. $\left.\frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}\right)$ के द्वारा दिया जा सकता है। जहाँ $m_{1}$ और $m_{2}$ द्रव्यमान, $r$ उन द्रव्यमानों के बीच की दूरी और $G$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक होता है। इस सिद्धांत से ग्रहों की कक्षाओं के बारे में सही-सही गणना की जा सकती है, जो प्रायोगिक मापन से मेल खाती है।

सौरमंडल और नाभिकीय मॉडल में समानता से यह सुझाव मिलता है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर निश्चित कक्षाओं में गति करते हैं, इसके अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच कूलॉम बल $\left(\mathrm{k} q_{1} q_{2} / r^{2}\right)$ होता है, जहाँ $q_{1}$ और $q_{2}$ आवेश, $r$ उन आवेशों के मध्य की दूरी और $\mathrm{k}$ आनुपातिकता स्थिरांक है। कूलॉम बल गणितीय रूप में गुरुत्वाकर्षण बल के समान होता है। परंतु जब कोई पिंड किसी कक्षा में गति करता है, तो इसमें त्वरण (acceleration) होना चाहिए। यदि पिंड किसी कक्षा में स्थिर वेग से गति कर रहा हो, तो भी दिशा परिवर्तन के कारण उसमें त्वरण होना चाहिए। अतः नाभिकीय मॉडल में कक्षाओं में घूमते ग्रहों की तरह इलेक्ट्रॉन का भी त्वरण होना चाहिए। मैक्सवेल के विद्युत् चुंबकीय सिद्धांत के अनुसार, त्वरित आवेशित कणों को विद्युत्-चुंबकीय विकिरण का उत्सर्जन करना चाहिए (ग्रहों के साथ ऐसा इसलिए नहीं होता, क्योंकि वे आवेशित नहीं होते)। इसलिए किसी कक्षा में उपस्थित इलेक्ट्रॉन से विकिरण उत्सर्जित होगा। इस विकिरण के लिए ऊर्जा इलेक्ट्रॉनिक गति से प्राप्त होगी। इस प्रकार कक्षा (orbit) छोटी होती जाएगी। गणनाओं से यह पता चलता है कि इलेक्ट्रॉन को सर्पिल पथ (spiral) से नाभिक में पहुँचने में $10^{-8} s$ लगेंगे, किंतु वास्तव में ऐसा नहीं होता है। इस प्रकार यदि इलेक्ट्रॉन की गति का चिरसम्मत यांत्रिकी तथा विद्युत्-चुंबकीय सिद्धांत के अनुसार वर्णन किया जाए, तो रदरफोर्ड का परमाणु मॉडल किसी परमाणु के स्थायित्व की व्याख्या नहीं कर पाता है। आप यह पूछ सकते हैं कि यदि कक्षाओं में इलेक्ट्रॉनों की गति से परमाणु अस्थायी हो जाता है, तो क्यों नहीं हम इलेक्ट्रॉनों को नाभिक के चारों ओर स्थिर मान लेते हैं? कारण यह है कि यदि इलेक्ट्रॉनों को स्थिर माना जाता है, तो अत्यधिक घनत्व वाले नाभिक और इलेक्ट्रॉनों के बीच स्थिर वैद्युत् आकर्षण बल इन इलेक्ट्रॉनों को नाभिक की ओर खींच लेगा, जिससे थॉमसन परमाणु मॉडल का एक लघु रूप प्राप्त होगा।

रदरफोर्ड के परमाणु मॉडल का एक दूसरा गंभीर दोष यह है कि यह परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक संरचना के बारे में कुछ भी वर्णन नहीं करता, अर्थात् इससे यह पता नहीं चलता कि इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर किस प्रकार विद्यमान हैं और इनकी ऊर्जा क्या है?

2.3 बोर के परमाणु मॉडल के विकास की पृष्ठभूमि

ऐतिहासिक रूप में द्रव्य के साथ विकिरण की अन्योन्य क्रियाओं के अध्ययन से प्राप्त परिणामों से परमाणुओं एवं अणुओं की संरचना के संबंध में अत्यधिक सूचना प्राप्त हुई। नील बोर ने इन परिणामों का उपयोग करके रदरफोर्ड द्वारा प्रतिपादित मॉडल में सुधार किया। बोर के परमाणु मॉडल के विकास में दो बिंदुओं की अहम भूमिका रही है।

(i) विद्युत्-चुंबकीय विकिरण का द्वैत व्यवहार होना, जिसका अर्थ यह है कि विकिरण तरंग तथा कण दोनों के गुण प्रदर्शित करते हैं।

(ii) परमाणु स्पेक्ट्रम से संबंधित प्रायोगिक परिणाम।

पहले हम विद्युत चुंबकीय विकिरण के द्वैत व्यवहार की चर्चा करेंगे। परमाणु स्पेक्ट्रम के प्रायोगिक परिणामों की चर्चा खण्ड 2.4 में की जाएगी।

2.3.1 विद्युत्-चुंबकीय विकिरण की तरंग प्रकृति

उन्नीसवीं सदी के मध्य में भौतिकीविदों ने गरम वस्तुओं से अवशोषित एवं उत्सर्जित होने वाले विकिरणों का सक्रियता से अध्ययन किया। इन विकिरणों को ऊष्मीय विकिरण कहा जाता है। उन्होंने यह जानने की कोशिश की कि ऊष्मीय विकिरण किससे बने होते हैं। अब यह भली- भाँति ज्ञात है कि ऊष्मीय विकिरण विभिन्न आवृतियों अथवा तरंगदैर्घ्यों वाली विद्युत चुंबकीय तरगों से बने होते हैं यह अनेकों आधुनिक अवधारणाओं पर आधारित है जो कि उन्नीसवीं सदी के मध्य तक ज्ञात नहीं थीं। ऊष्मीय विकिरण के नियमों का सर्वप्रथम सक्रियता से अध्ययन 1850 में हुआ। 1870 के आरंभ में जेम्स क्लार्क मैक्सवेल ने यह सिद्धांत विकसित किया कि विद्युत् चुंबकीय तरंगें आवेशित कणों द्वारा उत्पन्न होती हैं। इस सिद्धांत का प्रायोगिक सत्यापन बाद में हेनरी हर्टस् ने किया। यहाँ हम विद्युत् चुंबकीय विकिरणों के विषय में कुछ तथ्यों को जानेंगे।

जेम्स मैक्सवेल (सन् 1870) ने सबसे पहले आवेशित पिंडों के बीच अन्योन्य क्रियाओं और स्थूल स्तर पर विद्युत् तथा चुंबकीय क्षेत्रों के व्यवहार की व्याख्या की। उसने यह सुझाव दिया कि विद्युत् आवेशित कणों को जब त्वरित किया जाता है, तो एकांतर विद्युत् एवं चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होते हैं, यह क्षेत्र विद्युत् एवं चुंबकीय तरंगों (waves) के रूप में संचरित होते हैं, जिन्हें विद्युत्-चुंबकीय तरंग अथवा विद्युत्-चुंबकीय विकिरण कहते हैं।

प्रकाश भी विकिरण का एक रूप है, जिसकी जानकारी वर्षों पूर्व से है और पुरातन काल से इसकी प्रकृति के बारे में समझने की कोशिश की गई। पूर्व में (न्यूटन) प्रकाश को कणों (कणिकाएँ, corpuscles) का बना हुआ माना जाता था। 19 वीं शताब्दी में प्रकाश की तरंग-प्रकृति प्रतिपादित हुई।

पहली बार मैक्सवेल ने बताया कि प्रकाश तरंगें दोलायमान विद्युत् तथा चुंबकीय व्यवहार से संबंधित होती हैं (चित्र 2.6),

चित्र 2.6 विद्युत्-चुंबकीय तरंग के विद्युत् तथा चुंबकीय क्षेत्र घटक। ये घटक समान तरंग-दैर्घ्य, आवृत्ति, गति तथा आयाम वाले होते हैं, किंतु वे एक दूसरे के लंबवत तलों में कंपन करते हैं।

यद्यपि वैद्युत्-चुंबकीय तरंग की गति की प्रकृति जटिल होती है, लेकिन हम यहाँ कुछ सामान्य गुणों पर विचार करेंगे।

(i) दोलायमान आवेशित कणों द्वारा उत्पन्न विद्युत् तथा चुंबकीय क्षेत्र एक दूसरे के लंबवत होते हैं। ये दोनों तरंग के संचरण की दिशा के भी लंबवत् होते हैं। विद्युत्-चुंबकीय तरंग का एक सरल रूप चित्र 2.6 में दिखाया गया।

(ii) ध्वनि अथवा जल-तरंगों के विपरीत विद्युत्-चुंबकीय तरंगों को किसी माध्यम की आवश्यकता नहीं होती और ये निर्वात में गति कर सकती हैं।

(iii) अब यह तथ्य अच्छी तरह स्थापित हो चुका है कि विद्युत्चुंबकीय विकिरण कई प्रकार के होते हैं, जिनकी तरंग-दैर्घ्य या आवृत्ति एक दूसरे से भिन्न होती है। ये एक साथ मिलकर विद्युत्-चुंबकीय स्पेक्ट्रम बनाते हैं (चित्र 2.7)। स्पेक्ट्रम के भिन्न-भिन्न क्षेत्रों के भिन्न-भिन्न नाम हैं। कुछ उदाहरण हैं: रेडियो-आवृत्ति (radiofrequency) क्षेत्र, $\left(10^{6} \mathrm{~Hz}\right.$ के लगभग), जिसका उपयोग प्रसारण में किया जाता है; सूक्ष्म तरंग (microwave) क्षेत्र, $10^{2} \mathrm{~Hz}$ के लगभग), जिसका उपयोग रडार में किया जाता है; अवरक्त (infrared) क्षेत्र, $\left(10^{13} \mathrm{~Hz}\right.$ के लगभग), जिसका उपयोग गरम करने में होता है तथा पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र, $10^{16} \mathrm{~Hz}$ के लगभग, जो सूर्य की विकिरण का एक भाग होता है। लगभग $10^{15} \mathrm{~Hz}$ के थोडे से क्षेत्र को साधारणतया दृश्य (visible) प्रकाश कहते हैं। केवल यही वह क्षेत्र है, जिसे हमारी आँखें देख (संसूचित कर) सकती हैं, अदृश्य क्षेत्रों को पहचानने के लिए विशेष प्रकार के यंत्रों की आवश्यकता होती है।

(iv) विद्युत्-चुंबकीय विकिरण को दर्शाने के लिए विभिन्न प्रकार के मात्रकों का उपयोग किया जाता है।

इन विकिरणों को आवृत्ति $(v)$ तथा तरंग-दैर्घ्य $(\lambda)$ द्वारा चारित्रित किया जाता है।

आवृत्ति $(v)$ का SI मात्रक हेनरिक हर्ट्स के नाम पर हर्ट्स है $\left(\mathrm{Hz}, \mathrm{s}^{-1}\right)$ । इसको तरंगों की उस संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो किसी बिंदु से प्रति सेकंड गुजरती है।

तरंग-दैर्घ्य के मात्रक लंबाई के मात्रक होने चाहिए। सामान्यतः इसकी माप मीटर $(\mathrm{m})$ में होती है। चूँकि विद्युत्-चुंबकीय विकिरण में छोटी तरंग-दैर्घ्य की तरंगें होती हैं। इसके लिए छोटे मात्रकों की आवश्यकता होती है अतः चित्र 2.7 में विभिन्न तरंग-दैर्घ्यों अथवा आवृत्तियों वाली भिन्न-भिन्न प्रकार की विद्युत्-चुंबकीय विकिरणों को दिखाया गया है।

निर्वात में सभी प्रकार के विद्युत्-चुंबकीय विकिरण, चाहे उनकी तरंग-दैर्घ्य कुछ भी हो, एक समान गति, अर्थात् $3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\left(2.997925 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)$ से चलते हैं। इस गति को प्रकाश की गति (speed of light) कहते हैं और $\mathrm{c}$ चिह्न से दर्शाते हैं। आवृत्ति $(v)$ तरंग-दैर्घ्य $(\lambda)$ तथा प्रकाश के वेग (c) को निम्नलिखित समीकरण (2.5) द्वारा संबंधित करते हैं-

$$ \begin{equation*} \mathrm{c}=\nu \lambda \tag{2.5} \end{equation*} $$

चित्र 2.7 (क) विद्युत्-चुंबकीय विकिरण का स्पेक्ट्रम (ख) दृश्य स्पेक्ट्मम। पूरे स्पेक्ट्रम का एक छोटा सा भाग दृश्यक्षेत्र होता है

तरंगों को बताने के लिए एक दूसरी राशि, तरंग-संख्या $(\bar{v})$ का उपयोग किया जाता है। प्रति इकाई लंबाई में, तरंग-दैर्घ्य की संख्या को तरंग-संख्या (wave number) कहते हैं। इसका मात्रक तरंग-दैर्घ्य के मात्रक का व्युत्क्रम अर्थात् $\mathrm{m}^{-1}$ होता है, लेकिन सामान्यतः प्रयोग होने वाला मात्रक $\mathrm{cm}^{-1}$ (SI मात्रक नहीं) है।

उदाहरण 2.3

ऑल इंडिया रेडियो (दिल्ली) का विविध भारती स्टेशन $1,368 \mathrm{KHz}$ (किलो हट्र्ज) की आवृत्ति पर प्रसारण करता है। संचारक (transmitter) द्वारा उत्सर्जित विद्युत्-चुंबकीय विकिरण की तरंग-दैर्घ्य ज्ञात कीजिए। यह विद्युत्-चुंबकीय स्पेक्ट्रम के किस क्षेत्र से संबंधित है?

हल

$$ \text { तरंग-दैर्घ्य, } \lambda=\frac{c}{v} $$

जहाँ $\mathrm{c}$ निर्वात् में विद्युत्-चुंबकीय विकिरण का वेग और $v$ आवृत्ति है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर

$\lambda=\frac{c}{v}$

$=\frac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{1368 \mathrm{kHz}}$

$=\frac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{1368 \times 10^{3} \mathrm{~s}^{-1}}$

$=219.3 \mathrm{~m}$

यह रेडियो तरंग की अभिलाक्षणिक तरंग-दैर्घ्य है।

उदाहरण 2.4

दृश्य स्पेक्ट्रम के तरंग-दैर्घ्य का परास बैगनी ( $400 \mathrm{~nm}$ ) से लाल $(750 \mathrm{~nm})$ तक है। इन तरंग-दैर्घ्यों को आवृत्तियों $(\mathrm{Hz})$ में प्रकट कीजिए $\left(1 \mathrm{~nm}=10^{-9} \mathrm{~m}\right)$ ।

हल

समीकरण 2.5 के अनुसार, बैगनी प्रकाश की आवृत्ति

$$ \begin{aligned} & v=\frac{\mathrm{c}}{\lambda}=\frac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{400 \times 10^{-9} \mathrm{~m}} \\ & =7.50 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

लाल प्रकाश की आवृत्ति

$ \nu=\frac{\mathrm{c}}{\lambda}=\frac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~ms}^{-1}}{750 \times 10^{-9} \mathrm{~m}}=4.00 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} $

दृश्य स्पेक्ट्रम का परास आवृत्ति के रूप में $4.0 \times 10^{14}$ से $7.0 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ तक है।

उदाहरण 2.5

$5800 \mathrm{~A}^{\circ}$ तरंग-दैर्घ्य वाले पीले विकिरण की (क) तरंग-संख्या और (ख) आवृत्ति की गणना कीजिए।

हल

(क) तरंग-संख्या $(\bar{v})$ की गणना

$\lambda=5800 \mathring{A}=5800 \times 10^{-8} \mathrm{~cm}$

$$ =5800 \times 10^{-10} \mathrm{~m} $$

$\bar{v}=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{5800 \times 10^{-10} \mathrm{~m}}$

$$ =1.724 \times 10^{6} \mathrm{~m}^{-1} $$

$$ =1.724 \times 10^{4} \mathrm{~cm}^{-1} $$

(ख) आवृत्ति $(v)$ की गणना

$$ v=\frac{\mathrm{c}}{\lambda}=\frac{3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{5800 \times 10^{-10} \mathrm{~m}}=5.172 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1} $$

2.3.2 विद्युत्-चुंबकीय विकिरण की कणीय प्रकृति : प्लांक का क्वांटम सिद्धांत

विवर्तन (diffraction) तथा व्यतिकरण (interference) जैसी कुछ प्रायोगिक परिघटनाओं को विद्युत्-चुंबकीय विकिरण की तरंग प्रकृति द्वारा समझाया जा सकता है, लेकिन कुछ प्रेक्षणों को 19 वीं शताब्दी के भौतिक विज्ञान (जो ‘पारंपरिक भौतिकी’ कहलाती है) के विद्युत्-चुंबकीय सिद्धांत की सहायता से भी वर्णित नहीं किया जा सकता। ये प्रेक्षण निम्नलिखित हैं-

(i) गरम पिंड से विकिरण का उत्सर्जन (कृष्णिका विकिरण black body radiation);

(ii) धातु की सतह से विकिरण के टकराने पर इलेक्ट्रॉनों का निष्कासन ( प्रकाश-विद्युत् प्रभाव);

(iii) ठोसों में तापमान के फलन के रूप में ऊष्माधारिता का परिवर्तन;

(iv) विशेषकर हाइड्रोजन के संदर्भ में परमाणुओं में देखे गए रेखा स्पेक्ट्रम।

ये परिघटनाएँ इंगित करती हैं कि निकाय केवल किसी विशेष मात्रा में ही ऊर्जा ले सकता है। सभी संभावित ऊर्जाएँ ग्रहण अथवा उत्सर्जित नहीं की जा सकतीं।

यह ध्यान देने वाली बात है कि सन् 1900 में मैक्स प्लांक द्वारा सबसे पहले उपरोक्त उल्लेखित कृष्णिका विकरण की कोई ठोस व्याख्या की गई। आइए हम पहले इस परिघटना को समझने का प्रयत्न करें जिसे आगे दिया गया है।

गरम वस्तुएँ विस्तृत परास में विद्युत् चुंबकीय तरंग-दैर्घ्यों के विकिरण उत्सर्जित करती हैं। उच्च ताप पर विकिरण का बड़ा भाग स्पेक्ट्रम के दृश्य भाग में होता है जब ताप बढ़ाया जाता है तो लघु तरंग दैर्घ्य (नीला प्रकाश) अधिक मात्रा में उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए जब किसी लोहे की छड़ को भट्ठी में गरम करते हैं, तब इसका रंग पहले हल्का लाल होता है। जैसे-जैसे ताप बढ़ता जाता है, वैसे-वैसे वह अधिक लाल होता जाता है। जब इसे और गरम किया जाता है, तब इससे निकलने वाली विकिरण का रंग सफेद हो जाता है और जब ताप बहुत अधिक होता है, तब यह नीला हो जाता है। इसका अर्थ यह है कि लाल विकिरण किसी विशेष ताप पर अधिक तीव्र होते हैं तथा दूसरे किसी ताप पर नीले विकिरण अधिक तीव्र होते हैं। अर्थात् गर्म वस्तुओं द्वारा उत्सर्जित विभिन्न तरंग दैर्घ्यों के विकिरणों की तीव्रता वस्तुओं के ताप पर निर्भर करती है। 1850 के अंत तक यह ज्ञात हो चुका था कि विभिन्न द्रव्यों से निर्मित वस्तुएँ यदि विभिन्न तापों पर रखी हों तो वो विभिन्न मात्रा में विकिरण उत्सर्जित करती हैं। इसके अतिरिक्त यह भी कि जब किसी वस्तु की सतह पर प्रकाश (विद्युत् चुंबकीय विकिरण) विकिरित किया जाता है तो विकिरित ऊर्जा का कुछ भाग ऐसे ही परावर्तित होता है, कुछ भाग अवशोषित होता है तथा कुछ भाग प्रेषित हो जाता है। अपूर्ण अवशोषण का कारण यह है कि नियमानुसार साधारण वस्तुएँ विकिरण की अपूर्ण अवशोषक होती हैं। एक ऐसा आदर्श पिंड जो हर प्रकार की आवृत्ति के विकिरणों को एक समान उत्सर्जित तथा अवशोषित करता है, कृष्णिका (black body) कहलाता है तथा इस पिंड से उत्सर्जित विकिरण को कृष्णिका विकिरण कहते हैं। वास्तव में ऐसा कोई पिंड नहीं होता। कार्बन ब्लैक लगभग कृष्णिका के बहुत समान होता है। कृष्णिका का एक अच्छा भौतिक सन्निकटन सूक्ष्म छिद्र युक्त एक गुहा होती है [चित्र 2.8 (क)] जिसमें एक छिद्र के अलावा अन्य कोई द्वार नहीं होता। गुहा में छिद्र से प्रवेश करने वाली कोई भी किरण गुहा की भीतरी दीवारों से परावर्तित होती रहती है और अन्त में गुहा की दीवार द्वारा अवशोषित हो जाती चित्र 2.8 (क) कृष्णिका है। कृष्णिका, विकिरणी ऊर्जा की आदर्श रेडिएटर भी होती है। इसके अतिरिक्त कृष्णिका अपने परिवेश के साथ तापीय साम्य में होती है। यह दिए गए समय में प्रति इकाई क्षेत्रफल में उतनी ऊर्जा विसरित करती है जितनी उसने परिवेश से अवशोषित की थी। कृष्णिका से उत्सर्जित प्रकाश की मात्रा ( विकिरण की तीव्रता) तथा उसका स्पेक्ट्रम में वितरण केवल उसके ताप पर निर्भर करता है। दिए गए तापमान पर, उत्सर्जित विकिरण की तीव्रता तरंग-दैर्घ्य के बढ़ने के साथ बढ़ती है। किसी एक तरंग-दैर्घ्य पर यह अधिकतम होती है, उसके बाद तरंग-दैर्घ्य के और बढ़ाने पर वह घटनी शुरू होती है, जैसा चित्र 2.8 (ख) में दिखाया गया है। इसके अतिरिक्त जैसे-जैसे ताप बढ़ता है वक्र का उच्चिष्ठ (maxima) लघु तरंग-दैर्घ्य की ओर स्थानांतरित हो जाता है। विकिरण की तीव्रता का पूर्वानुमान लगाने के लिए विकिरण की तीव्रता को तरंग-दैर्घ्य के फलन के रूप में प्रस्तुत करने के अनेक प्रयास हुए।

चित्र 2.8 (क) तरंग-दैर्घ्य तीव्रता संबंध

चित्र 2.8 (ख) कृष्णिका

प्रकाश के तरंग सिद्धांत के आधार पर उपरोक्त परिणामों की संतोषजनक व्याख्या नहीं की जा सकी। मैक्स प्लांक ने इस मान्यता के आधार पर संतोषजनक परिणाम प्राप्त किया कि विकिरण का अवशोषण और उत्सर्जन दोलित्रों (कृष्णिका की दीवारों के परमाणु) से उत्पन्न होता है। यह लगातार विद्युत् चुंबकीय विकिरणों के दोलित्रों के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान करते रहते हैं। प्लांक ने यह माना कि विकिरण को ऊर्जा के विविक्त (discrete) भागों में बाँटा जा सकता है। मैक्स प्लांक ने मान्यता दी कि परमाणु और अणु केवल विविक्त (discrete) मात्राओं में ऊर्जा उत्सर्जित (या अवशोषित) करते हैं, न कि अनवरत रूप में। विद्युत्-चुंबकीय विकिण के रूप में ऊर्जा की जिस न्यूनतम मात्रा का उत्सर्जन (या अवशोषण) होता है, उसे प्लांक द्वारा क्वांटम (quantum) नाम दिया गया। विकिरण के एक क्वांटम की ऊर्जा $(\mathrm{E})$ उसकी आवृत्ति $(v)$ के समानुपाती होती है। इसे समीकरण (2.6) द्वारा व्यक्त किया जाता है-

$$ \begin{equation*} E=h v \tag{2.6} \end{equation*} $$

आनुपातिकता स्थिरांक, $h$, को प्लांक स्थिरांक कहा जाता है और उसका मान $6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$ होता है।

इस सिद्धांत के अनुसार, प्लांक कृष्णिका से विभिन्न तापों पर उत्सर्जित विकिरण के तीव्रता-वितरण की आवृत्ति अथवा तरंग-दैर्घ्य के फलन के रूप में व्याख्या कर सके।

क्वान्टीकरण की तुलना सीढ़ियों पर खड़े होने से की गई है। कोई भी व्यक्ति सीढ़ियों के किसी भी पायदान पर खड़ा हो सकता है परन्तु उसके लिए सीढ़ी के दो पायदानों के बीच में खड़ा होना संभव नहीं है। ऊर्जा का मान निम्नलिखित समुच्चय में से कोई भी हो सकता है परन्तु इन मानों के बीच में कोई मान नहीं हो सकता।

$E=0, h v, 2 h v, 3 h v, \ldots n h v \ldots$

चित्र 2.9 प्रकाश विद्युत्-प्रभाव के अध्ययन के लिए उपकरण। एक निर्वात् कक्ष में एक धातु की साफ सतह पर एक निश्चित आवृत्ति वाली प्रकाश की किरण टकराती है। धातु से इलेक्ट्रॉन निष्कासित होते हैं। ये एक संसूचक द्वारा गिने जाते हैं, जो उनकी गतिज ऊर्जा का मापन करता है

मैक्स प्लांक (1858-1947)

मैक्स प्लांक एक जर्मन भौतिकी वैज्ञानिक थे। उन्होंने सन् 1879 में म्युनिख विश्वविद्यालय से सैद्धांतिक भौतिकी में पी.एच.डी. की उपाधि ग्रहण की। वे सन् 1888 में बर्लिन विश्वविद्यालय के इंस्टिच्यूट ऑफ थियोरेटिकल फिजिक्स (Institute of theoretical Physics) में निदेशक नियुक्त किए गए। उनके द्वारा दिए गए क्वांटम सिद्धांत के लिए उन्हें सन् 1918 में भौतिकी में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया। उन्होंने ऊष्मा-गतिकी और भौतिकी के अन्य क्षेत्रों में भी महत्त्वपूर्ण योगदान दिया।

प्रकाश-विद्युत् प्रभाव

सन् 1887 में एच. हर्ट्स ने एक बहुत ही दिलचस्प प्रयोग किया, जिसमें कुछ धातुओं (जैसे- पोटैशियम, रूबीडियम, सीजियम, इत्यादि) की सतह पर उपयुक्त आवृत्ति वाला प्रकाश डालने पर जैसा चित्र 2.9 में दिखाया गया है, इलेक्ट्रॉन निकलते हैं। इस परिघटना को प्रकाश विद्युत् प्रभाव कहते हैं। इस प्रयोग से प्राप्त परिणाम इस प्रकार हैं-

(i) धातु की सतह से प्रकाशपुंज के टकराते ही उस सतह से इलेक्ट्रॉन निकलते हैं, अर्थात् धातु की सतह से इलेक्ट्रॉन निष्कासन तथा सतह पर प्रकाशपुंज के टकराने के बीच कोई समय-अंतराल (time lag) नहीं होता।

(ii) निष्कासित इलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रकाश की तीव्रता के समानुपाती होती है।

(iii) प्रत्येक धातु के लिए एक अभिलाक्षणिक न्यूनतम आवृत्ति होती है, जिसे देहली आवृत्ति (threshold frequency) कहते हैं और जिससे कम आवृत्ति पर प्रकाश-विद्युत् प्रभाव प्रदर्शित नहीं होता है। $v>v_{0}$ आवृत्ति पर निष्कासित इलेक्ट्रॉनों की कुछ गतिज ऊर्जा होती है। गतिज ऊर्जा प्रयुक्त प्रकाश की आवृत्ति के बढ़ने के साथ बढ़ती है।

उपरोक्त सारे परिणामों की व्याख्या पारंपरिक भौतिकी के नियमों के आधार पर नहीं की जा सकी। उन नियमों के अनुसार, प्रकाश की किरण की ऊर्जा की मात्रा प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करती है। दूसरे शब्दों में, निष्कासित इलेक्ट्रॉनों की संख्या और उनसे संबंधित गतिज ऊर्जा की व्याख्या प्रकाश की तीव्रता से की जा सकती है। यद्यपि ऐसा देखा गया है कि निष्कासित इलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करती है, लेकिन इन इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा तीव्रता पर निर्भर नहीं करती है। उदाहरण के लिए, पोटैशियम के टुकड़े पर यदि किसी भी तीव्रता का लाल रंग का प्रकाश $\left[v=(4.3\right.$ से 4.6$\left.) \times 10^{14} \mathrm{~Hz}\right]$ कई घंटों तक डाला जाए, तो भी कोई प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों का निष्कासन नहीं होता है, परंतु जैसे ही पीले रंग का कम तीव्रता का प्रकाश $v=5.1$ से $5.2 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ पोटैशियम पर डाला जाता है, तो प्रकाश-विद्युत् प्रभाव दिखाई देता है। पोटैशियम धातु के लिए देहली आवृत्ति $\left(v_{0}\right) 5.0 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ है।

सारणी 2.2 कुछ धातुओं के लिए कार्यफलन के मान

धातु $\mathrm{Li}$ $\mathrm{Na}$ $\mathrm{K}$ $\mathrm{Mg}$ $\mathrm{Cu}$ $\mathrm{Ag}$
$\mathbf{w} _{\mathbf{0}} / \mathbf{e V}$ 2.42 2.3 2.25 3.7 4.8 4.3

विद्युत्-चुंबकीय विकिरण के प्लांक के क्वांटम सिद्धांत का उपयोग करते हुए आइंस्टीन (1905) प्रकाश-विद्युत् प्रभाव को समझने में सफल हुए।

अल्बर्ट आइंस्टीन (1879-1955)

जर्मनी में पैदा हुए अमेरिकी भौतिकी वैज्ञानिक अल्बर्ट आइंस्टीन विश्व के दो महान भौतिकी वैज्ञानिकों में से एक माने जाते हैं। (दूसरे वैज्ञानिक ईज़ाक न्यूटन थे)। सन् 1905 में, जब वे बर्ने में एक स्विस पेटेंट आफिस में तकनीकी सहायक थे, तब विशेष आपेक्षकीयता, ब्राउनी गति और प्रकाश-विद्युत् प्रभाव पर छपे उनके तीन शोध-पत्रों ने भौतिकी के विकास को बहुत प्रभावित किया। उन्हें सन् 1921 में प्रकाश-विद्युत् प्रभाव की व्याख्या के लिए भौतिकी में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया।

धातु की सतह पर प्रकाश पुंज के टकराने को कणों ( फोटॉनों) के पुंज का टकराना समझा जा सकता है। जब कोई पर्याप्त ऊर्जा वाला फोटॉन धातु के परमाणु के इलेक्ट्रॉन से टकराता है, तो वह इलेक्ट्रॉन को परमाणु से तुरंत बाहर निकाल देता है। फोटॉन की ऊर्जा जितनी अधिक होगी, उतनी ही ऊर्जा वह इलेक्ट्रॉन को देगा और निष्कासित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा उतनी ही अधिक होगी। दूसरे शब्दों में, निष्कासित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा विद्युत्-चुंबकीय विकिरण की आवृत्ति के समानुपाती होगी। चूँकि टकराने वाले फोटॉन की ऊर्जा $h v$ है और इलेक्ट्रॉन को निष्कासित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा $h v_{0}$ (जिसे कार्यफलन, $W_{0}$ भी कहते हैं) ऊर्जा में अंतर $\left(h v-h v_{0}\right)$ फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में स्थानांतरित हो जाती है। ऊर्जा के संरक्षण (conservation of energy) के नियम का अनुसरण करते हुए निष्कासित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा समीकरण 2.7 द्वारा दी जाती है।

$$h v=h v_{0}+\frac{1}{2} m_{\mathrm{e}} \mathrm{v}^{2} \tag{2.7}$$

जहाँ $m_{\mathrm{e}}$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $v$ इसका वेग है। अंत में, अधिक तीव्रता वाले प्रकाश में फोटॉनों की संख्या अधिक होगी और परिणामस्वरूप निष्कासित इलेक्ट्रॉनों की संख्या भी उस प्रयोग की तुलना में अधिक होगी, जिसमें कम तीव्रता के प्रकाश का उपयोग किया गया है।

विद्युत्-चुंबकीय विकिरण का द्वैत व्यवहार

प्रकाश की कण समान प्रकृति ने वैज्ञानिकों के सामने असमंजस की स्थिति पैदा कर दी। एक तरफ तो इसने कृष्णिका विकिरण और प्रकाश-विद्युत् प्रभाव की संतोषजनक व्याख्या की, परंतु दूसरी तरफ यह प्रकाश की तरंग जैसे व्यवहार, जिससे विवर्तन, व्यतिकरण आदि परिघटनाओं की व्याख्या की जा सकती थी, के साथ युक्तिसंगत नहीं था। इस दुविधा को हल करने का एक ही उपाय था कि यह मान लिया जाए कि प्रकाश के कण और तरंग दोनों जैसे गुण होते हैं- अर्थात् प्रकाश का द्वैत व्यवहार होता है। प्रयोगों के आधार पर हम पाते हैं कि प्रकाश तरंग या कण के समान व्यवहार करता है। जब द्रव्य के साथ विकिरणकी अन्योन्य क्रिया होती है, तब यह कण जैसे गुण प्रदर्शित करता है। जब विकिरण का संचरण होता है, तब यह तरंग जैसे गुण (व्यतिकरण और विवर्तन) दर्शाता है। द्रव्य और विकिरण की प्रचलित धाराओं को देखते हुए यह संकल्पना एकदम नई थी। लोगों को इसे स्वीकार करने में काफी समय लगा। जैसा आप आगे देखेंगे, कुछ सूक्ष्म कण (जैसे-इलेक्ट्रॉन) भी तरंगकण वाला द्वैत व्यवहार प्रदर्शित करते हैं

उदाहरण 2.6

$5 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ आवृत्ति वाले विकिरण के एक मोल फोटॉन की ऊर्जा की गणना कीजिए।

हल

एक फोटॉन की ऊर्जा (E) निम्नलिखित समीकरण द्वारा दी जाती है-

$\mathrm{E}=h v$

$h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}$

$v=5 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}$ (दिया गया)

$E=\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right) \times\left(5 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\right)$

$=3.313 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

एक मोल फोटॉनों की ऊर्जा

$=\left(3.313 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right) \times\left(6.022 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}\right)$

$=199.51 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}$

उदाहरण 2.7

100 वॉट का एक बल्ब $400 \mathrm{~nm}$ वाली तरंग-दैर्घ्य का एकवर्णी प्रकाश उत्सर्जित करता है। बल्ब द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या की गणना कीजिए।

हल

बल्ब की विद्युत्-शक्ति $=100$ वॉट

$$ =100 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1} $$

एक फोटॉन की ऊर्जा $=E=h v=h \mathrm{c} / \lambda$

$$ \begin{aligned} & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \times 3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{400 \times 10^{-9} \mathrm{~m}} \\ & =4.969 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या

$$ \frac{100 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1}}{4.969 \times 10^{-19} \mathrm{~J}}=2.012 \times 10^{20} \mathrm{~s}^{-1} $$

उदाहरण 2.8

जब $300 \mathrm{~nm}$ तरंग-दैर्घ्य का विकिरण सोडियम धातु की सतह पर टकराता है, तो $1.68 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं। सोडियम के इलेक्ट्रॉन के निष्कासन के लिए कम से कम कितनी ऊर्जा आवश्यक होगी? किसी प्रकाशिक इलेक्ट्रॉन के उत्सर्जन के लिए अधिकतम तरंग-दैर्घ्य क्या होगी?

हल

$300 \mathrm{~nm}$ फोटॉन की ऊर्जा (E) इस प्रकार दी जाती है-

$$ \begin{aligned} \mathrm{h} v & =\mathrm{hc} / \lambda \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \times 3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{300 \times 10^{-9} \mathrm{~m}} \\ = & 6.626 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

एक मोल फोटॉनों की ऊर्जा

$=6.626 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \times 6.022 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}$

$=3.99 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$

सोडियम से एक मोल इलेक्ट्रॉनों के निष्कासन के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा

$=(3.99-1.68) 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$

$=2.31 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$

एक इलेक्ट्रॉन के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा

$=\frac{2.31 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}}{6.022 \times 10^{23} \text { electrons } \mathrm{mol}^{-1}}$

$=3.84 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

इसकी संगत तरंग-दैर्घ्य इस प्रकार होगी-

$\therefore \lambda=\frac{h c}{E}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \times 3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{3.84 \times 10^{-19} \mathrm{~J}} \\ & =517 \mathrm{~nm} \end{aligned} $

(यह हरे रंग के प्रकाश से संबंधित है।)

उदाहरण 2.9

किसी धातु की देहली आवृत्ति $v_{0}, 7.0 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}$ है। यदि $v=1.0 \times 10^{15} \mathrm{~s}^{-1}$ आवृत्ति वाला विकिरण धातु की सतह से टकराता है, तो उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा की गणना कीजिए।

हल

आइन्स्टीन के समीकरण के अनुसार

गतिज ऊर्जा $=1 / 2 m_{\mathrm{e}} \mathrm{v}^{2}=h\left(v-v_{0}\right)$

$$ \begin{aligned} & =\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right)\left(1.0 \times 10^{15} \mathrm{~s}^{-1}-7.0\times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right)\left(10.0 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}-7.0\times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right) \times\left(3.0 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =1.988 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

2.3.3 क्वांटित इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा स्तरों के लिए प्रमाण : परमाणिक स्पेक्ट्रा

प्रकाश की गति उस माध्यम की प्रकृति पर निर्भर करती है जिससे यह गुजरती है। एक माध्यम से दूसरे तक जाने पर प्रकाश की किरण अपने मूल पथ से मुड़ जाती है अथवा अपवर्तित (refract) हो जाती है। प्रिज्म में से सफेद प्रकाश की किरण को गुजारने से यह देखा गया कि कम तरंग-दैर्घ्य की तरंग लंबी तरंग-दैर्घ्य की तरंग की तुलना में अधिक झुक जाती है, क्योंकि साधारण सफेद प्रकाश में दृश्य परास में सभी तरंग-दैर्घ्यों वाली तरंगें होती हैं। सफेद प्रकाश की किरण रंगीन पट्टियों की एक श्रृंखला में फैल जाती है, जिसे स्पेक्ट्रम (spectrum) कहते हैं। लाल रंग, जिसकी तरंग-दैर्घ्य सबसे अधिक होती है, का विचलन सबसे कम और सबसे कम तरंग-दैर्घ्य वाले बैगनी रंग का विचलन सबसे अधिक होता है। सफेद रंग का प्रकाश, जो हमें दिखाई देता है, के स्पेक्ट्रम का परास $7.50 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ के बैगनी रंग से लेकर $4 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ के लाल रंग तक होता है। इस स्पेक्ट्रम को सतत स्पेक्ट्रम (continuous spectrum) कहते हैं- सतत इसलिए, क्योंकि बैगनी रंग नीले रंग में और नीला रंग हरे रंग में मिलता है। अन्य रंगों के साथ भी ऐसा ही होता है। जब आकाश में इंद्रधनुष बनता है, तब भी ऐसा ही स्पेक्ट्रम दिखाई देता है। याद रखिए कि दृश्य प्रकाश विद्युत्-चुंबकीय विकिण का एक बहुत[^0] छोटा भाग होता है (चित्र 2.7)। जब विद्युत्-चुंबकीय विकिरण द्रव्य के साथ अन्योन्य क्रिया करता है, तो परमाणु और अणु इस ऊर्जा का अवशोषण कर सकते हैं एवं उच्च ऊर्जा स्तर पर पहुँच जाते हैं। उच्च ऊर्जा स्तर पर ये अस्थायी अवस्था में होते हैं। ये जब कम ऊर्जा वाली अधिक स्थायी तलस्थ अवस्था में लौटते हैं, तो वे विद्युत्-चुंबकीय स्पेक्ट्रम के विभिन्न क्षेत्रों में विकिरण उत्सर्जित करते हैं।

उत्सर्जन तथा अवशोषण स्पेक्ट्रा

किसी पदार्थ से ऊर्जा अवशोषण के बाद उत्सर्जित विकिरण का स्पेक्ट्रम ‘उत्सर्जन स्पेक्ट्रा’ कहलाता है। परमाणु अणु या आयन विकिरण के अवशोषण पर उत्तेजित हो जाते हैं। उत्सर्जन स्पेक्ट्रम प्राप्त करने के लिए किसी प्रतिदर्श को गरम करके अथवा विकिरणित करके ऊर्जा दी जाती है और जब प्रतिदर्श अवशोषित ऊर्जा को निष्कासित करता है, तो उत्सर्जित विकिरण की तरंग-दैर्घ्य (या आवृत्ति) को रिकॉर्ड कर लिया जाता है।

अवशोषण स्पेक्ट्रम उत्सर्जन स्पेक्ट्रम के फोटोग्राफीय निगेटिव की तरह होता है। जब एक सतत विकिरण को प्रतिदर्श पर डाला जाता है, तो वह विकिरण की कुछ तरंग-दैर्घ्य का अवशोषण कर लेता है। द्रव्य द्वारा अवशोषित विकिरण की संगत लुप्त तरंग-दैर्घ्य चमकीले सतत स्पेक्ट्रम में गहरे रंग की रेखाओं के रूप में प्रदर्शित होती है।

उत्सर्जन या अवशोषण स्पेक्ट्रम के अध्ययन को स्पेक्ट्रोमिती (spectroscopy) कहते हैं। जैसा ऊपर बताया गया है, दृश्य प्रकाश का स्पेक्ट्रम सतत होता है, क्योंकि उसमें दृश्य प्रकाश की लाल से बैगनी तक सभी तरंग-दैर्घ्य उपस्थित होती हैं। इसके विपरीत गैस अवस्था में परमाणुओं का उत्सर्जन स्पेक्ट्रम लाल से बैगनी तरंग-दैर्घ्यों में सतत् रूप से प्रदर्शित नहीं करता है, परंतु उनसे केवल विशेष तरंग-दैर्घ्यों वाला प्रकाश उत्सर्जित होता है, जिनके बीच में काले स्थान रहते हैं। ऐसे स्पेक्ट्रम को रेखा स्पेक्ट्रम अथवा परमाण्वीय स्पेक्ट्रम कहते हैं, क्योंकि उत्सर्जित विकिरण स्पेक्ट्रम में चमकीली रेखाओं के रूप में प्रदर्शित होता है (चित्र 2.10)।

रेखा-उत्सर्जन स्पेक्ट्रम होता है। रासायनिक विश्लेषणों में परमाणु स्पेक्ट्रम की अभिलाक्षणिक रेखाएँ अज्ञात परमाणुओं को पहचानने के लिए उसी प्रकार उपयोग में लाई जाती हैं, जिस प्रकार अंगुलियों के निशान मनुष्यों को पहचानने के लिए उपयोग में लाए जाते हैं। ज्ञात तत्त्व के परमाणुओं के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम की रेखाओं का यथार्थ मिलान अज्ञात प्रतिदर्श की रेखाओं से तत्त्वों को पहचानने के लिए रॉबर्ट बुन्सेन (1811-1899) ने सर्वप्रथम किया।

रूबीडियम $(\mathrm{Rb})$, सीज़ियम $(\mathrm{Cs})$, थैलियम $(\mathrm{Tl})$, इंडियम (In), गैलियम (Ga), और स्केंडियम (Sc) आदि तत्त्वों की खोज तब हुई थी, जब उनके खनिजों का स्पेक्ट्रमी विश्लेषण किया गया था। सूर्य में हीलियम $(\mathrm{He})$ तत्त्व की उपस्थिति भी स्पेक्ट्रमी विधि द्वारा ज्ञात की गई थी।

चित्र 2.10 (क) परमाण्वीय उत्सर्जन : हाइड्रोजन परमाणुओं (या किसी और तत्त्व) के उत्तेजित प्रतिदर्श द्वारा उत्सर्जित प्रकाश को एक प्रिज्म से गुज़ारकर विविक्त तरंग-दैर्घ्यों की रेखाओं में पृथक किया जाता है। अतः उत्सर्जन स्पेक्ट्रम, जो पृथक तरंग-दैर्घ्यों का फोटोग्राफीय संसूचन होता है, को ‘रेखा स्पेक्ट्रम’ कहा जाता है। किसी निश्चित आकार के प्रतिदर्श में बहुत अधिक संख्या में परमाणु होते हैं। हालाँकि कोई एक परमाणु किसी एक समय पर एक ही उत्तेजित अवस्था में हो सकता है, किंतु परमाणुओं के समूह में सभी संभव उत्तेजित अवस्थाएं होती हैं, जब ये परमाणु निम्न ऊर्जा-स्तर पर जाते हैं, तो उत्सर्जित प्रकाश से स्पेक्ट्रम प्राप्त होता है।

(ख) परमाण्वीय अवशोषण: जब सफेद प्रकाश को अनुत्तेजित हाइड्रोजन परमाणु से किसी रेखाछिद्र (slit) और फिर प्रिज्म से गुजारा जाता है, तो प्राप्त प्रकाश में कुछ तरंग-दैर्घ्यों (जो चित्र 2.10 क में उत्सर्जित हुई थीं) की तीव्रता का अभाव हो जाता है। यह संसूचित स्पेक्ट्रम भी एक रेखा स्पेक्ट्रम होता है और उत्सर्जन स्पेक्ट्रम का फोटोग्राफीय निगेटिव होता है

हाइड्रोजन का रेखीय स्पेक्ट्रम

जब हाइड्रोजन गैस में विद्युत् विसर्जन प्रवाहित किया जाता है, तब $\mathrm{H} _{2}$ अणु वियोजित होकर उच्च ऊर्जा वाले हाइड्रोजन परमाणु देते हैं, जो विविक्त आवृत्तियों वाला विद्युत्-चुंबकीय विकिरण उत्सर्जित करते हैं। हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में रेखाओं की कई श्रेणियाँ होती हैं, जिन्हें उनके आविष्कारकों के नाम से जाना जाता है। बामर ने सन् 1885 में प्रायोगिक प्रेक्षणों के आधार पर बताया कि यदि स्पेक्ट्रमी रेखाओं को तरंग-संख्या ( $\bar{v})$ के रूप में में व्यक्त किया जाए, तो हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की दृश्य-क्षेत्र की रेखाओं को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है-

$$ \begin{equation*} \bar{v}=109,677\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right) \mathrm{cm}^{-1} \tag{2.8} \end{equation*} $$

जहाँ $n$ एक पूर्णांक है, जिसका मान 3 या 3 से अधिक होता है, अर्थात् $n=3,4,5 \ldots$ होता है।

इस सूत्र द्वारा वर्णित रेखाओं को ‘बामर श्रेणी’ (Balmer series) कहा जाता है। हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में केवल इसी श्रेणी की रेखाएँ विद्युत्-चुंबकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में प्राप्त होती है। स्वीडन के एक स्पेक्ट्रमी वैज्ञानिक जोहान्स रिड्बर्ग ने बताया कि हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की सभी श्रेणियों की रेखाए निम्नलिखित सूत्र द्वारा दर्शाई जा सकती है-

$$ \begin{equation*} \bar{v}=109,677 \quad \frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}} \quad \mathrm{~cm}^{-1} \tag{2.9} \end{equation*} $$

जहाँ $n_{1}=1,2 \ldots \ldots$. है

और $n_{2}=n_{1}+1, n_{1}+2 \ldots \ldots$

$109,677 \mathrm{~cm}^{-1}$ के नाम को हाइड्रोजन का रिड्बर्ग स्थिरांक (Rydberg constant) कहते हैं $n_{1}=1,2,3,4$ और 5 वाली रेखाओं की पाँच श्रेणियाँ क्रमशः लाइमैन (Lyman), बामर (Balmer), पाशन (Pashen), ब्रेकेट (Bracket) तथा फंड (Fund) श्रेणियाँ कहलाती हैं। सारणी 2.3 में हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की ये श्रेणियाँ दिखाई गईं हैं। चित्र 2.11 में हाइड्रोजन परमाणु की लाइमैन, बामर और पाशन श्रेणियों के संक्रमणों को दिखाया गया है।

सारणी 2.3 परमाणु हाइड्रोजन की स्पेक्ट्रमी रेखाएँ

श्रेणी $\boldsymbol{n} _{\mathbf{1}}$ $\boldsymbol{n} _{\mathbf{2}}$ स्पेक्ट्रमी क्षेत्र
लाइमैन 1 $2,3 \ldots$ पराबैगनी
बामर 2 $3,4 \ldots$ दृश्य
पाशन 3 $4,5 \ldots$ अवरक्त
ब्रेकेट 4 $5,6 \ldots$ अवरक्त
फंड 5 $6,7 \ldots$ अवरक्त

चित्र 2.11 (हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के संक्रमण। (यहाँ संक्रमण की लाइमैन, बामर और पाशन श्रेणियाँ दिखाई गई हैं।)

हाइड्रोजन का रेखा स्पेक्ट्रम सभी तत्त्वों के रेखा स्पेक्ट्रम की तुलना में सबसे सरल होता है। भारी परमाणुओं का रेखा स्पेक्ट्रम अधिक जटिल होता है, परंतु सभी रेखा स्पेक्ट्रमों के कुछ लक्षण समान होते हैं। जैसे- (i) प्रत्येक तत्त्व का रेखा स्पेक्ट्रम विशेष प्रकार का होता है। (ii) प्रत्येक तत्त्व के रेखा स्पेक्ट्रम में नियमितता होती है। अब यह प्रश्न उठता है कि एक जैसे इन लक्षणों का क्या कारण हो सकता है? क्या इनका संबंध इन तत्त्वों के परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक संरचना से होता है? इस प्रकार के प्रश्नों के उत्तर जानना ज़रूरी है। हम आगे देखेंगे कि इन प्रश्नों के उत्तरों से हमें इन तत्त्वों के परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक संरचना को समझने में सुविधा हुई।

2.4 हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोर मॉडल

हाइड्रोजन परमाणु की संरचना तथा इसके स्पेक्ट्रम के सामान्य लक्षणों की पहली मात्रात्मक व्याख्या नील्स बोर ने सन् 1913 में की। उन्होंने प्लांक के ऊर्जा के क्वांटीकरण की अवधारणा का उपयोग किया। यद्यपि बोर सिद्धांत आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी नहीं था, तथापि परमाणु संरचना तथा स्पेक्ट्रा में कई बातों को तर्कसंगत रूप से समझाने में इसका उपयोग किया जा सकता है। बोर का मॉडल निम्नलिखित अभिगृहीतों पर आधारित है-

(i) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन, नाभिक के चारों तरफ निश्चित त्रिज्या और ऊर्जा वाले वृत्ताकार पथों में घूम सकता है। इन वृत्ताकार पथों को हम कक्षा या स्थायी अवस्था या अनुमत ऊर्जा स्तर कहते हैं। ये कक्षाएँ नाभिक के चारों ओर संकेंद्रीय रूप में व्यवस्थित होती हैं।

(ii) कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा समय के साथ नहीं परिवर्तित होती है, तथापि कोई इलेक्ट्रॉन निम्न स्थायी स्तर से उच्च स्थायी स्तर पर तब जाएगा, जब वह आवश्यक ऊर्जा का अवशोषण करेगा अथवा इलेक्ट्रॉन के उच्च स्थायी स्तर से निम्न स्तर पर आने के बाद ऊर्जा का उत्सर्जन होगा (समीकरण 2.16)। ऊर्जा-परिवर्तन सतत् तरीके से नहीं होता है।

कोणीय संवेग

जिस प्रकार द्रव्यमान $(\mathrm{m})$ और रैखिक वेग $(\mathrm{v})$ का गुणनफल रैखिक संवेग होता है, उसी प्रकार कोणीय संवेग (angular momentum) जड़त्व आघूर्ण (I) ओर कोणीय वेग ( $\omega$ ) का गुणनफल होता है। $\mathrm{m} _{\mathrm{e}}$ द्रव्यमान वाले इलेक्ट्रॉन के लिए, जो नाभिक के चारों ओर $(\mathrm{r})$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है।

$$ \text { कोणीय संवेग }=I \times \omega $$

क्योंकि $I=m_{\mathrm{e}} \mathrm{r}^{2}$ और $\omega=\mathrm{v} / r$ जहाँ $v$ रैखिक वेग है

अत: कोणीय संवेग $=m_{\mathrm{e}} r^{2} \times \mathrm{v} / r=m_{\mathrm{e}} \mathrm{v} r$

(iii) $\Delta E$ के अंतर वाली दो स्थायी अवस्थाओं के संक्रमण के समय अवशोषित अथवा उत्सर्जित विकिरण को निम्नलिखित रूप में दिया जा सकता है-

$$ \begin{equation*} \nu=\frac{\Delta E}{h}=\frac{E_{2}-E_{1}}{h} \tag{2.10} \end{equation*} $$

जहाँ $E_{1}$ तथा $E_{2}$ क्रमशः निम्न और उच्च अनुमत ऊर्जा अवस्थाएँ हैं। इस समीकरण को बोर का आवृत्ति का नियम कहा जाता है।

(iv) इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग क्वांटित होता है, दी हुई स्थायी अवस्था में इसे निम्नलिखित समीकरण के द्वारा दर्शाया जा सकता है-

$m_{e} \mathrm{vr}=\frac{n h}{2 \pi} \quad n=1,2,3 \ldots$.

जहाँ ’ $m_{e}$ ’ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, ’ $\mathrm{v}$ ’ वेग तथा ’ $r$ ’ उस कक्षा की त्रिज्या है जिसमें इलेक्ट्रॉन घूमता है।

अतः एक इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षों में घूम सकता है, जिनमें कोणीय संवेग का मान $h / 2 \pi$ का पूर्णांक गुणक होगा। इसका अर्थ है कोणीय संवेग क्वांटित होता है। जब इलेक्ट्रॉन कोणीय संवेग के किसी एक क्वांटित मान को छोड़कर दूसरा मान प्राप्त करता है तो विकिरण का अवशोषण अथवा उत्सर्जन होता है। अत: मैक्सवेल का विद्युत चुंम्बकीय सिद्धांत यहां लागू नहीं होता। यही कारण है कि कुछ निश्चित कक्ष ही अनुमत होते हैं।

बोर की स्थायी अवस्थाओं की ऊर्जाओं के विचलन के विषय में दी गई विस्तृत जानकारी काफी जटिल है। अतः उसे आगे की कक्षाओं में समझाया जाएगा। बोर सिद्धांत के अनुसार हाइड्रोजन परमाणु के लिए-

(क) इलेक्ट्रॉन के लिए स्थायी अवस्थाओं को $n=1,2,3 \ldots$ के द्वारा व्यक्त किया गया है। इन पूर्णांकों को मुख्य क्वांटम संख्या (principal quantum number) कहा जाता है (खंड 2.6.2)।

(ख) स्थायी अवस्थाओं की त्रिज्याओं को निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित किया जाता है-

$$r_{\mathrm{n}}=n^{2} a_{0}$$

जहाँ $a_{0}=52.9 \mathrm{pm}$ इस प्रकार पहली स्थायी अवस्था, जिसे ‘बोर कक्षा’ कहा जाता है, की त्रिज्या $52.9 \mathrm{pm}$ होती है। साधारणतया हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन इसी कक्षा $(n=1)$ में पाया जाता है। $n$ के बढ़ने के साथ $r$ का मान बढ़ता है। दूसरे शब्दों में, इलेक्ट्रॉन नाभिक से दूर उपस्थित होता है।

(ग) इलेक्ट्रॉन से संबंधित सबसे महत्त्वपूर्ण गुण स्थायी अवस्था की ऊर्जा है। इसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है-

$E_{n}=-\mathrm{R} _{H}\left(\frac{1}{n^{2}}\right) \quad$ जहाँ $n=1,2,3 \ldots$

जहाँ $R_{H}$ को रिड़बर्ग स्थिरांक, (Rydberg constant) कहते हैं। इसका मान $2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$ होता है। निम्नतम अवस्था, जिसे ‘तलस्थ अवस्था’ (ground state) भी कहते हैं, की ऊर्जा $E_{1}=-2.18 \times 10^{-18}\left(\frac{1}{1^{2}}\right)=-2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$ है। $n=2$ वाली स्थायी अवस्था के लिए ऊर्जा $E_{2}=-2.18 \times$ $10^{-18} \mathrm{~J}\left(\frac{1}{2^{2}}\right)=-0.545 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$. होगी।

नील बोर( 1885-1962)

डेनिश भौतिकी वैज्ञानिक नील बोर ने सन् 1911 में कोपेनहेगेन विश्वविद्यालय से पीएच.डी. की उपाधि ग्रहण की। उसके बाद उन्होंने जे.जे टॉमसन और अर्नेस्ट रदरफोर्ड के साथ एक वर्ष बिताया। सन् 1913 में वे कोपेनहेगेन लौटे, जहाँ वे जीवनपर्यंतं रहे। यहाँ 1920 में इंस्टिच्यूट ऑफ थियोरेटिकल फिज़िक्स के निदेशक बने। प्रथम विश्वयुद्ध के बाद बोर ने परमाणु ऊर्जा के शांतिपूर्ण उपयोगों के लिए उत्साहपूर्वक कार्य किया। उन्हें सन् 1957 में ‘Atoms for Peace’ सम्मान प्राप्त हुआ। सन् 1922 में बोर को भौतिकी में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया।

चित्र 2.11 में हाइड्रोजन परमाणु की विभिन्न स्थायी अवस्थाओं में ऊर्जा-स्तरों की ऊर्जाओं को दिखाया गया है। इसको ‘ऊर्जा स्तर आरेख’ कहा जाता है।

जब इलेक्ट्रॉन नाभिक के प्रभाव से मुक्त होता है, तब ऊर्जा का मान शून्य लिया जाता है। ऐसी स्थिति में इलेक्ट्रॉन मुख्य संख्या $n=\infty$ की स्थायी अवस्था से संबंधित होता है तथा आयनित हाइड्रोजन परमाणु कहलाता है। जब इलेक्ट्रॉन नाभिक द्वारा आकर्षित होता है तथा $n$ कक्षा में उपस्थित होता है, तब ऊर्जा का उत्सर्जन होता है और इसकी ऊर्जा निम्न हो जाती है। समीकरण (2.13) में ऋण चिह्न इसी कारण होता है और इसकी शून्य ऊर्जा की संदर्भ अवस्था तथा $n=\infty$ के संबंध में इसके स्थायित्व को दर्शाता है।

(घ) हाइड्रोजन परमाणु में उपस्थित एक इलेक्ट्रॉन के समान, उन आयनों, जिनमें केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है, पर भी बोर के सिद्धांत को लागू किया जा सकता है। उदाहरणार्थ$\mathrm{He}^{+} \mathrm{Li}^{2+}, \mathrm{Be}^{3+}$ इत्यादि। इस प्रकार के आयनों (हाइड्रोजन के समान स्पीशीज़ कहलाते हैं) से संबंधित स्थानीय अवस्थाओं की ऊर्जाएँ निम्नलिखित समीकरण द्वारा दी जा सकती हैं :

$$ \begin{equation*} E_{\mathrm{n}}=-2.18 \times 10^{-18}\left(\frac{Z^{2}}{n^{2}}\right) \mathrm{J} \tag{2.14} \end{equation*} $$

त्रिज्या को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है-

$$ \begin{equation*} \mathrm{r} _{\mathrm{n}}=\frac{52.9\left(n^{2}\right)}{Z} \mathrm{pm} \tag{2.15} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathrm{Z}$ परमाणु संख्या है। हीलियम और लीथियम परमाणुओं के लिए इसका मान क्रमशः 2 और 3 है। उपरोक्त समीकरणों से यह विदित है कि $Z$ के बढ़ने के साथ ऊर्जा का मान अधिक ऋणात्मक हो जाता है तथा त्रिज्या कम हो जाती है। इसका अर्थ यह है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक से दृढ़तापूर्वक बँधा होता है।

(ङ) इन कक्षाओं में गति करते हुए इलेक्ट्रॉनों के वेगों की गणना करना भी संभव है, यद्यपि इसके लिए एक सटीक समीकरण यहाँ नहीं दिया गया है। गुणात्मक रूप से नाभिक पर धनावेश के बढ़ने के साथ इलेक्ट्रॉन का वेग बढ़ता है तथा मुख्य क्वांटम संख्या के बढ़ने के साथ यह घटता है।

हाइड्रोजन परमाणु के लिए ऋणात्मक इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा $\left(\mathrm{E} _{\mathrm{n}}\right)$ का क्या अर्थ है?

हाइड्रोजन परमाणु में हर संभव कक्षा में इलेक्ट्रॉन के मान में ऋण चिह्न होता है (समीकरण 2.13)। यह ऋण चिह्न क्या दर्शाता है? इस ऋण चिह्न का अर्थ यह है कि परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा स्थिर अवस्था में स्वतंत्र इलेक्ट्रॉन से कम है। स्थिर (rest) अवस्था में स्वतंत्र इलेक्ट्रॉन वह इलेक्ट्रॉन होता है, जो नाभिक से अनंत दूरी पर हो। इसकी ऊर्जा को शून्य मान लिया जाता है। गणित में इसका अर्थ यह है कि समीकरण (2.13) में $n=\infty$ रखा जाए, जिससे $E_{\infty}=0$ प्राप्त होता है। जैसे ही इलेक्ट्रॉन नाभिक के पास आता है (जैसे- $\mathrm{n}$ घटता है), वैसे ही $E_{n}$ का निरपेक्ष मान बढ़ता जाता है और यह अधिक ऋणात्मक होता जाता है। जब $n$ $=1$ हो, तब ऊर्जा का मान सबसे अधिक ॠणात्मक होता है और यह कक्षा सबसे अधिक स्थायी होती है। हम इसे ‘तलस्थ अवस्था’ कहते हैं।

2.4.1 हाइड्रोजन के रेखा स्पेक्ट्रम की व्याख्या

बोर के मॉडल का उपयोग करके खंड 2.3.3 में बताए गए हाइड्रोजन परमाणु के रेखा स्पेक्ट्रम की व्याख्या मात्रात्मक रूप में की जा सकती है। बोर के अभीगृहीत (ii) के अनुसार, निम्न से उच्च मुख्य क्वांटम संख्या की कक्षा में गमन करने पर विकिरण (ऊर्जा) का अवशोषण होता है, जबकि विकिरण (ऊर्जा) का उत्सर्जन इलेक्ट्रॉन के उच्च से निम्न कक्षा की ओर इलेक्ट्रॉन का गमन करने पर होता है। दो कक्षाओं के बीच के ऊर्जा के अंतर को इस समीकरण द्वारा दिया जा सकता है।

$\Delta E=E_{\mathrm{f}}-E_{\mathrm{i}}$

समीकरण 2.13 और 2.16 को जोड़े पर

$\Delta E=\left(-\frac{\mathrm{R} _{\mathrm{H}}}{n _{\mathrm{f}}^{2}}\right)-\left(-\frac{\mathrm{R} _{\mathrm{H}}}{n _{\mathrm{i}}^{2}}\right)$ (जहाँ $n _{i}$ तथा $\mathrm{n} _{\mathrm{f}}$ क्रमश: आरंभिक और अंतिम कक्षा को प्रदर्शित करते हैं)

$$\Delta E=\mathrm{R} _{\mathrm{H}}\left(\frac{1}{n _{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n _{\mathrm{f}}^{2}}\right)=2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\left(\frac{1}{n _{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n _{\mathrm{f}}^{2}}\right)$$

समीकरण (2.18) का उपयोग करके फोटॉन के अवशोषण तथा उत्सर्जन से संबंधित आवृत्ति $(v)$ का मूल्यांकन किया जा सकता है।

$$ \begin{align*} & v=\frac{\Delta E}{h}=\frac{\mathrm{R}_H}{h}\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right) \tag{2.18} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =\frac{2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}}{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}}\left(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \tag{2.18} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =3.29 \times 10^{15}\left(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \mathrm{Hz} \tag{2.19} \end{align*} $$

संगत तरंग-संख्या $(\bar{v})$ यह

$$ \begin{align*} & \bar{v}=\frac{v}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{R}_H}{h \mathrm{c}}\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right) \tag{2.20} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =\frac{3.29 \times 10^{15} \mathrm{~s}^{-1}}{3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-\mathrm{s}}}\left(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \\ & =1.09677 \times 10^{7}\left(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \mathrm{m}^{-1} \tag{2.21} \end{align*} $$

अवशोषण स्पेक्ट्रम में $n_{\mathrm{f}}>n_{\mathrm{i}}$ और कोष्ठक में दी गईं मात्राएँ धनात्मक होती हैं तथा ऊर्जा का अवशोषण होता है। दूसरी ओर उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में $n_1>n_r$ होता है, $\Delta E$ ॠणात्मक होता है तथा ऊर्जा मुक्त होती है।

समीकरण 2.17 रिड़बर्ग समीकरण 2.9 के जैसा है, जिसे उस समय पर उपलब्ध प्रायोगिक आँकड़ों द्वारा प्राप्त किया गया था। इसके अलावा हाइड्रोजन परमाणु के अवशोषण तथा उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में प्रत्येक स्पेक्ट्रमी रेखा एक विशेष संक्रमण के संगत होती है। कई हाइड्रोजन परमाणुओं के स्पेक्ट्रमी अध्ययन में कई संभव संक्रमण देखे जा सकते हैं और उनसे कई स्पेक्ट्रमी रेखाएँ प्राप्त होती हैं। किसी स्पेक्ट्रमी रेखा की तीव्रता इस बात पर निर्भर करती है कि एक समान तरंग-दैर्घ्य या आवृत्ति वाले कितने फोटॉन अवशोषित या उत्सर्जित होते हैं।

उदाहरण 2.10

हाइड्रोजन परमाणु में $n=5$ अवस्था से $n=2$ अवस्था वाले संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति और तरंग-दैर्घ्य क्या होगी?

हल

क्योंकि $n_i=5$ और $n_{\mathrm{f}}=2$, अतः इस संक्रमण से बामर श्रेणी में एक स्पेक्ट्रमी रेखा प्राप्त होती है। समीकरण (2.17) से

$$ \begin{aligned} \Delta E & =2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\left[\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right] \\ & =-4.58 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

यह उत्सर्जन ऊर्जा है।

फोटॉन की आवृत्ति (ऊर्जा को परिमाण के रूप से लेते हुए) इस प्रकार दी जा सकती है-

$v=\frac{\Delta E}{h}$

$=\frac{4.58 \times 10^{-19} \mathrm{~J}}{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}}$

$=6.91 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

$\lambda=\frac{\mathrm{c}}{v}=\frac{3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{6.91 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}}=434 \mathrm{~nm}$

उदाहरण 2.11

$\mathrm{He}^{+}$की प्रथम कक्षा से संबंधित ऊर्जा की गणना। कीजिए। और बताइए कि इस कक्षा की त्रिज्या क्या होगी?

हल

$$ \mathrm{E} _{\mathrm{n}}=-\frac{\left(2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\right) Z^{2}}{\mathrm{n}^{2}} \text { atom }^{-1} $$

$\mathrm{He}^{+}$के लिए, $\mathrm{n}=1, \mathrm{Z}=2$

$$ E _{1}=-\frac{\left(2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\right)\left(2^{2}\right)}{1^{2}}=-8.72 \times 10^{-18} \mathrm{~J} $$

समीकरण 2.15 से कक्षा की त्रिज्या दी जाती है।

$$ \mathrm{r} _{\mathrm{n}}=\frac{(0.0529 \mathrm{~nm}) \mathrm{n}^{2}}{Z} $$

चूँकि $n=1$ और $Z=2$

$$ r_{n}=\frac{(0.0529 \mathrm{~nm}) 1^{2}}{2}=0.02645 \mathrm{~nm} $$

2.4.2 बोर मॉडल की सीमाएँ

इसमें कोई संदेह नहीं कि हाइड्रोजन परमाणु का बोर मॉडल रदरफोर्ड के नाभिकीय मॉडल से बेहतर था। हाइड्रोजन परमाणु तथा इसके जैसे अन्य आयनों (जैसे- $\mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+}, \mathrm{Be}^{3+}$ इत्यादि) के रेखा स्पेक्ट्रम और स्थायित्व की व्याख्या कर सकता था, लेकिन बोर का मॉडल निम्नलिखित बिंदुओं की व्याख्या नहीं कर सका।

(i) परिष्कृत स्पेक्ट्रमी तकनीकों द्वारा प्राप्त हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में सूक्ष्म संरचना [द्विक (doublet), अर्थात् पास-पास स्थित दो रेखाएँ] की व्याख्या करने में विफल रहा। यह मॉडल हाइड्रोजन के अलावा अन्य परमाणुओं के स्पेक्ट्रम की व्याख्या करने में असमर्थ रहा। उदाहरण के लिए, हीलियम परमाणु, जिसमें केवल दो इलेक्ट्रॉन होते हैं, बोर का सिद्धांत चुंबकीय क्षेत्र में स्पेक्ट्रमी रेखाओं के विपाटन (जीमन प्रभाव) या विद्युत् क्षेत्र की उपस्थिति में स्पेक्ट्रमी रेखाओं के विपाटन (स्टार्क-प्रभाव) को स्पष्ट करने में भी विफल रहा।

(ii) अंत में, यह परमाणुओं के रासायनिक आबंधों द्वारा अणु बनाने की योग्यता की व्याख्या नहीं कर सका।

दूसरे शब्दों में, उपरोक्त सारी सीमाओं को ध्यान में रखते हुए एक ऐसे सिद्धांत की आवश्यकता है, जो जटिल परमाणुओं की संरचना के मुख्य लक्षणों की व्याख्या कर सके।

2.5 परमाणु के क्वांटम यांत्रिकीय मॉडल की ओर

बोर मॉडल की कमियों को ध्यान में रखते हुए परमाणुओं के लिए अधिक उपयुक्त और साधारण मॉडल के विकास के प्रयास किए गए। इस प्रकार के मॉडल के निर्माण में जिन दो महत्त्वपूर्ण तथ्यों का अधिक योगदान रहा, वे निम्नलिखित हैं

(क) द्रव्य का द्वैत व्यवहार

(ख) हाइजैनबर्ग का अनिश्चितता का सिद्धांत

2.5.1 द्रव्य का द्वैत व्यवहार

लुई दे ब्रॉग्ली (1892-1987)

फ्रांसीसी भौतिक वैज्ञानिक लुई दे ब्रॉग्ली ने सन् 1910 के शुरू में स्नातक स्तर पर इतिहास पढ़ा। प्रथम विश्वयद्ध के दौरान रेडियो-प्रसारण के लिए उनकी नियुक्ति हुई। उसके बाद विज्ञान के प्रति उनकी रुचि जागृत हो गई। सन् 1924 में उन्होंने पेरिस विश्वविद्यालय से डी.एस-सी. की उपाधि प्राप्त की। सन् 1932 से अपनी अवकाश प्राप्ति से सन् 1962 तक वे पेरिस विश्वविद्यालय में आचार्य रहे। सन् 1929 में उन्हें भौतिकी में नोबेल पुरस्कार प्रदान कर के सम्मानित किया गया।

फ्रांसीसी भौतिक वैज्ञानिक दे ब्रॉग्ली ने सन् 1924 में प्रतिपादित किया कि विकिण की तरह द्रव्य को भी द्वैत व्यवहार प्रदर्शित करना चाहिए, अर्थात् द्रव्य में कण तथा तरंग- दोनों तरह के गुण होने चाहिए। इसका अर्थ यह है कि जिस तरह फोटॉन का संवेग एवं तरंग-दैर्ध्य होते हैं, उसी तरह इलेक्ट्रॉन का भी संवेग और तरंग-दैर्ध्य होना चाहिए। ब्रॉग्ली ने इस तर्क के आधार पर किसी पदार्थ के कण के लिए तरंग-दैर्ध्य ( $\lambda$ ) तथा संवेग (p) के बीच निम्नलिखित संबंध बताया-

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{h}{m v}=\frac{h}{p} \tag{2.22} \end{equation*} $$

जहाँ $m$ कण का द्रव्यमान, $v$ उसका वेग और $p$ उसका संवेग है। दे ब्रॉग्ली के इन विचारों की पुष्टि प्रयोगों द्वारा तब हुई, जब यह देखा गया कि इलेक्ट्रॉनों के पुंज का विवर्तन होता है, जो तरंगों का लक्षण है। इस सिद्धांत के आधार पर इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की रचना की गई, जो इलेक्ट्रॉनों के तरंग जैसे व्यवहार पर उसी प्रकार आधारित है, जिस प्रकार साधारण सूक्ष्मदर्शी की रचना प्रकाश की तरंग प्रकृति पर आधारित है। आधुनिक वैज्ञानिक शोध-कार्यों में इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी एक महत्त्वपूर्ण उपकरण है, क्योंकि इससे किसी अतिसूक्ष्म वस्तु को 150 लाख गुना बड़ा करके देखा जा सकता है।

यह ध्यान देने योग्य बात है कि दे ब्रॉग्ली के अनुसार प्रत्येक गतिशील वस्तु में तरंग के लक्षण होते हैं। साधारण वस्तुओं का अधिक द्रव्यमान होने के कारण उनसे संबंधित तरंग-दैर्ध्य इतनी कम होती है कि उनके तरंग जैसे गुणों का पता नहीं चल पाता, परंतु इलेक्ट्रॉनों और अन्य अवपरमाणुक कणों, जिनका द्रव्यमान बहुत कम होता है, से संबंधित तरंग-दैर्ध्यों को प्रयोगों द्वारा पहचाना जाता है। प्रश्नों में दिए गए परिणाम इसे गुणात्मक रूप से सिद्ध करते हैं।

उदाहरण 2.12

$0.1 \mathrm{~kg}$ द्रव्यमान और $10 \mathrm{~ms}^{-1}$ वेग से गति कर रही एक गेंद की तरंग-दैर्घ्य क्या होगी?

हल

दे ब्रॉग्ली समीकरण (2.22) के अनुसार

$\lambda=\frac{h}{m v}=\frac{\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}\right)}{(0.1 \mathrm{~kg})\left(10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}$

$=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~m}\left(\mathrm{~J}=\mathrm{kg} \mathrm{m}{ }^{2} \mathrm{~s}^{-2}\right)$

उदाहरण 2.13

एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $9.1 \times 10^{-25} \mathrm{~kg}$ है। यदि इसकी गतिज ऊर्जा $3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~J}$ है, तो इसका तरंग-दैर्घ्य क्या होगा?

हल

चूँकि गतिज ऊर्जा $=\frac{1}{2} m v^{2}$

$\mathrm{v}=\left(\frac{2 \times \text { गतिज ऊर्जा }}{m}\right)^{1 / 2}$

$=\left(\frac{2 \times 3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-2}}{9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}}\right)^{1 / 2}$

$=812 \mathrm{~ms}^{-1}$

$\lambda=\frac{h}{m v}$

$=\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{\left(9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}\right)\left(812 \mathrm{~ms}^{-1}\right)}$

$=8967 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$

$=896.7 \mathrm{~nm}$

उदाहरण 2.14

$3.6 \mathrm{~A}^{\circ}$ तरंग-दैर्घ्य लंबाई वाले एक फोटॉन के द्रव्यमान की गणना कीजिए।

हल

$\lambda=3.6 \mathring{A}=3.6 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$

फोटॉन का वेग $=$ प्रकाश का वेग

$$ \begin{aligned} & m=\frac{h}{\lambda v}=\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{\left(3.6 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\right)\left(3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)} \\ & =6.135 \times 10^{-29} \mathrm{~kg} \end{aligned} $$

2.5.2 हाइज़ेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत

द्रव्य और विकिरण के दोहरे व्यवहार के फलस्वरूप एक जर्मन भौतिक वैज्ञानिक वर्नर हाइज़ेनबर्ग ने सन् 1927 में अनिश्चितता का सिद्धांत दिया। इसके अनुसार, किसी इलेक्ट्रॉन की सही स्थिति और सही वेग का निर्धारण एक साथ करना असंभव है।

#missing

$$ \begin{align*} & \Delta \mathrm{x} \times \Delta p_{\mathrm{x}} \geq \frac{h}{4 \pi} \tag{2.23} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & \text { अथवा } \Delta \mathrm{x} \times \Delta\left(m \mathrm{v}_{\mathrm{x}}\right) \geq \frac{h}{4 \pi} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & \text { और } \Delta \mathrm{x} \times \Delta \mathrm{v}_{\mathrm{x}} \geq \frac{h}{4 \pi m} \end{align*} $$

जहाँ $\Delta \mathrm{x}$ कण की स्थिति में अनिश्चितता और $\Delta p_{x}$ $\left(\Delta p_{x}\right)$ संवेग (अथवा वेग) में अनिश्चिता है। इसके अनुसार, किसी इलेक्ट्रॉन की यथार्थ स्थिति और यथार्थ वेग का निर्धारण एक साथ करना असंभव है। दूसरे शब्दों में, यदि इलेक्ट्रॉन की बिल्कुल सही स्थिति ज्ञात है ( $\Delta \mathrm{x}$ कम है), तब इलेक्ट्रॉन के वेग में अनिश्चिता $\left(\Delta \mathrm{v} _{x}\right)$ अधिक होगी। दूसरी तरफ, यदि इलेक्ट्रॉन का वेग बिलकुल सही ज्ञात है $\left(\Delta \mathrm{v} _{x}\right.$ कम है) तो इलेक्ट्रॉन की स्थिति ( $\Delta \mathrm{x}$ अधिक) ज्ञात नहीं होगी। इस प्रकार यदि इलेक्ट्रॉन की स्थिति अथवा वेग पर कुछ भौतिक माप लिए जाएँ, तो इसके परिणाम हमेशा कुछ अस्पष्ट ही प्राप्त होंगे।

अनिश्चितता सिद्धांत को एक उदाहरण के द्वारा बहुत अच्छी तरह समझा जा सकता है। मान लीजिए कि मीटर के किसी अचिह्नित पैमाने से किसी कागज की मोटाई मापने के लिए आपसे कहा जाता है। तब प्राप्त परिणाम सही नहीं होगा कागज की मोटाई को सही-सही मापने के लिए आपको कागज की मोटाई से कम इकाई वाले चिह्नित उपकरण का उपयोग करना होगा। इसी प्रकार इलेक्ट्रॉन की स्थिति को निर्धारित करने के लिए आपको एक ऐसे पैमाने की आवश्यकता होगी, जिसका अंशाकन इलेक्ट्रॉन की विमाओं से छोटे मात्रकों में हो। इलेक्ट्रॉन की स्थिति ज्ञात करने के लिए हमें इसे प्रकाश या विद्युत्-चुंबकीय विकिरण द्वारा प्रदीप्त करना होगा। प्रयुक्त प्रकाश की तरंग-दैर्घ्य, इलेक्ट्रॉन की विमाओं से कम होनी चाहिए, परंतु ऐसे प्रकाश के फोटॉन की ऊर्जा बहुत अधिक होगी। ऐसे प्रकाश का उच्च संवेग $\left(p=\frac{h}{\lambda}\right)$ वाला फोटॉन इलेक्ट्रॉन से टकराने पर उसकी ऊर्जा में परिवर्तन कर देगा। निस्संदेह इस प्रक्रिया से हम इलेक्ट्रॉन की स्थिति तो ठीक-ठीक निर्धारित कर लेंगे, परंतु टकराने की प्रक्रिया के पश्चात् हमें उसके वेग के बारे में बहुत कम जानकारी होगी।

अनिश्चितता सिद्धांत का महत्त्व

हाइज़ेनबर्ग के अनिश्चितता नियम का एक महत्त्वपूर्ण निहितार्थ यह है कि यह नियम निश्चित मार्ग या प्रक्षेप पथ (trajectories) के अस्तितव का खंडन करता है। किसी पिंड का प्रक्षेप पथ भिन्न-भिन्न कोणों पर उसकी स्थिति एवं वेग से निर्धारित किया जाता है। यदि हमें किसी विशेष क्षण पर एक पिंड की स्थिति एवं वेग तथा उस पर उस क्षण कार्य कर रहे बलों की जानकारी हो, तो यह बता सकते हैं कि बाद के किसी समय में पिंड कहाँ पर होगा। अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी पिंड की स्थिति एवं वेग से उसका प्रक्षेप-पथ निश्चित हो जाता है। चूँकि इलेक्ट्रॉन जैसे किसी अव-परमाणवीय पिंड के लिए एक साथ उसकी स्थिति एवं वेग का निर्धारण किसी क्षण यथार्थता के किसी वांछित हद तक संभव नहीं है। इसलिए इलेक्ट्रॉन के प्रक्षेप-पथ के बारे में बात करना संभव नहीं है।

वर्नर हाइज़ेनबर्ग ( 1901-1976)

वर्नर हाइज़ेनबर्ग ने म्यूनिख विश्वविद्यालय से सन् 1923 में भौतिकी में पीएच.डी. की उपाधि प्राप्त की। उन्होंने तब एक वर्ष मैक्स बार्न के साथ म्यूनिख में तथा तीन वर्ष को पेन हेगन में नील बोर के साथ कार्य किया। वे सन् 1927 से 1941 तक लीप सिफ में भौतिकी के प्रोफेसर रहे। द्वितीय विश्वयुद्ध के दौरान वे परमाणु बम पर जर्मन अनुसंधान के प्रभारी थे। युद्ध के बाद उन्हें ग्वेटिंगजन में भौतिकी के मैक्स प्लांक संस्थान का निदेशक नामित किया गया। वे एक जाने-माने पर्वतारोही थे। सन् 1932 में उन्हें भौतिकी में नोबेल पुरस्कार प्रदान किया गया।

हाइज़ेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का प्रभाव केवल सूक्ष्म पिंडों की गति के लिए है; स्थूल पिंडों के लिए यह प्रभाव अतिन्यून होता है। इस उदाहरण से यह समझा जा सकता है-

यदि एक मिलीग्राम $\left(10^{-6} \mathrm{~kg}\right)$ द्रव्यमान वाले पिंड पर अनिश्चितता सिद्धांत लागू किया जाए, तो

$$ \begin{aligned} \Delta \mathrm{v} \cdot \Delta \mathrm{x} & =\frac{h}{4 \pi \cdot \mathrm{m}} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}}{4 \times 3.1416 \times 10^{-6} \mathrm{~kg}} \approx 10^{-28} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

प्राप्त $\Delta v . \Delta x$ का मान अत्यधिक कम एवं नगण्य है। इसलिए यह कहा जा सकता है कि मिलीग्राम आकार के पिंडों (या उससे बड़े पिंडों) के लिए विचार करते समय संबद्ध अनिश्चितताएँ किसी वास्तविक परिणाम की नहीं होती।

दूसरी तरफ इलेक्ट्रॉन के समान सूक्ष्म पिंड के लिए प्राप्त मान काफी अधिक होता है। ऐसी अनिश्चितताएँ वास्तविक परिणाम की होती हैं। उदाहरणार्थ- एक $9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$ द्रव्यमान वाले इलेक्ट्रॉन के लिए हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार-

$$ \begin{aligned} & \Delta \mathrm{v} \cdot \Delta \mathrm{x}=\frac{h}{4 \pi \cdot \mathrm{m}} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{4 \times 3.1416 \times 9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}} \\ & =10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

इसका अभिप्राय यह है कि यदि इलेक्ट्रॉन की सही स्थिति $10^{-8} \mathrm{~m}$ की अनिश्चितता तक जानने का प्रयास कोई करता है, तो वेग में अनिश्चितता $\Delta v$ का मान होगा।

$$ \frac{10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}}{10^{-8} \mathrm{~m}} \approx 10^{4} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

यह अनिश्चितता इतनी अधिक है कि इलेक्ट्रॉन को बोर कक्षाओं में गति करता हुआ मानने की चिरसम्मत अवधारणा को अप्रामाणिक साबित कर सके। अतः इसका अर्थ यह है कि इलेक्ट्रॉन की स्थिति एवं संवेग के परिशुद्ध कथन को प्रायिकता कथन से प्रतिस्थापित करना होगा, जो एक इलेक्ट्रॉन दिए गए स्थान एवं संवेग पर रखता है। ऐसा ही परमाणु के क्वांटम यांत्रिकी मॉडल में होता है।

उदाहरण 2.15

एक सूक्ष्मदर्शी उपयुक्त फोटॉनों का उपयोग करके किसी परमाणु में इलेक्ट्रॉन को $0.1 \mathring{A}$ दूरी के अंतर्गत उसकी स्थिति जानने के लिए प्रयुक्त होता है। इसके वेग मापन में अंतर्निहित अनिश्चितता क्या है?

हल

$\Delta x \Delta p=\frac{h}{4 \pi}$ or $\Delta x m \Delta v \frac{h}{4 \pi}$

$$ \begin{aligned} & \Delta \mathrm{v}=\frac{h}{4 \pi \Delta \mathrm{xm}} \\ & \Delta \mathrm{v}=\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{4 \times 3.14 \times 0.1 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \times 9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}} \\ & =0.579 \times 10^{7} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\left(1 \mathrm{~J}=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right) \\ & =5.79 \times 10^{6} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

उदाहरण 2.16

एक गोल्फ की गेंद का द्रव्यमान $40 \mathrm{~g}$ तथा गति $45 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ है। यदि गति को $2 %$ यथार्थता के अंदर मापा जा सकता हो, तो स्थिति में अनिश्चितता की गणना कीजिए।

हल

गति में $2 %$ की अनिश्चितता है, अर्थात्

$$ 45 \times \frac{2}{100}=0.9 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

समीकरण 2.23 का उपयोग करके

$\Delta \mathrm{x}=\frac{h}{4 \pi m \Delta \mathrm{v}}$

$=\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{4 \times 3.14 \times 40 \mathrm{~g} \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~g}^{-1}\left(0.9 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}$

$=1.46 \times 10^{-33} \mathrm{~m}$

जो प्ररूपी परमाणु नाभिक के व्यास का लगभग $10^{18}$ वाँ भाग है। जैसा पहले बताया जा चुका है बड़े कणों के लिए अनिश्चितता सिद्धांत परिशुद्ध मापन की कोई अर्थपूर्ण सीमा निर्धारित नहीं करता है।

बोर मॉडल की विफलता के कारण

अब बोर मॉडल की विफलता के कारण को आप समझ सकते हैं। बोर मॉडल में एक इलेक्ट्रॉन को एक आवेशित कण के रूप में नाभिक के चारों ओर निश्चित वृत्ताकार कक्षाओं में घूमता हुआ माना जाता है। इस मॉडल में इलेक्ट्रॉन के तरंग-लक्षण पर कोई विचार नहीं किया गया है। इस पथ को पूरी तरह तभी परिभाषित किया जा सकता है, जब इलेक्ट्रॉन की सही स्थिति और सही वेग- दोनों एक साथ ज्ञात हों। हाइज़ेनबर्ग के सिद्धांत के अनुसार, ऐसा संभव नहीं है। इस प्रकार हाइड्रोजन परमाणु का बोर मॉडल न केवल द्रव्य के दोहरे व्यवहार की अनदेखी करता है, बल्कि ‘हाइज़ेनबर्ग’ अनिश्चितता सिद्धांत के विपरीत भी है।

इर्विन श्रोडिंजर (1887–1961)

इर्विन श्रोडिंजर ऑस्ट्रिया के भौतिकी के वैज्ञानिक थे। उन्होंने सन् 1910 में सैद्धांतिक भौतिकी में वियना विश्वविद्यालय से पी एच.डी. की उपाधि प्राप्त की। प्लांक के कहने पर सन् 1927 में उन्होंने बर्लिन विश्वविद्यालय में प्लांक के बाद कार्यभार सँभाला। सन् 1933 में हिटलर और नाजी की नीतियों के विरोध करने के कारण बर्लिन छोड़कर सन् 1936 में वापस ऑस्ट्रिया लौट गए। ऑस्ट्रिया पर जर्मनी के आक्रमण के बाद जब उन्हें आचार्य के पद से हटा दिया गया तब, वे आयरलैंड (डबलिन) चले गए, जहाँ वे सत्रह साल तक रहे। सन् 1933 में उन्हें पी.ए.एम. डिराक के साथ संयुक्त रूप से भौतिकी में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया।

इस प्रकार की सहज कमजोरियों के कारण बोर मॉडल को अन्य परमाणुओं पर लागू नहीं किया जा सका। अतः परमाणु संरचना के बारे में ऐसे विचारों की आवश्यकता थी, जिनसे प्राप्त परमाणु मॉडल द्रव्य के तरंग-कण वाले दोहरे व्यवहार और ‘हाइज़ेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत’ के अनुरूप हों। ऐसा क्वांटम यांत्रिकी के उद्गम द्वारा संभव हुआ।

2.6 परमाणु का क्वांटम यांत्रिकीय मॉडल

जैसा पूर्व खंड में बतलाया गया है, न्यूटन के ‘गति के नियमों’ के आधार पर विकसित चिरसम्मत यांत्रिकी द्वारा स्थूल पदार्थों (जैसे- गिरते हुए पत्थर, चक्कर लगाते हुए ग्रहों आदि), जिनका व्यवहार कण जैसा होता है, की गति का सफलतापूर्वक वर्णन किया जा सकता है, किंतु जब इसे अति सूक्ष्म कणों (जैसे- इलेक्ट्रॉनों, अणुओं और परमाणुओं) पर लागू किया जाता है, तो यह विफल हो जाता है। ऐसा होने का कारण यह है कि चिरसम्मत यांत्रिकी द्रव्य रूप से अवपरमाणुक कणों के दोहरे व्यवहार की संकल्पना तथा अनिश्चितता नियम की उपेक्षा करती है। द्रव्य के दोहरे व्यवहार को ध्यान में रखकर विकसित विज्ञान को क्वांटम यांत्रिकी (quantum machanics) कहते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी एक सैद्धांतिक विज्ञान है, जिसमें उन अति सूक्ष्म वस्तुओं की गतियों का अध्ययन किया जाता है, जो तरंग और कण दोनों के गुण दर्शाती हैं। यह ऐसी वस्तुओं की गति के नियमों को निश्चित करती है। जब क्वांटम यांत्रिकी को स्थूल वस्तुओं (जिनके लिए तरंगीय गुण अतिन्यून होते हैं) पर लागू किया जाता हैं, तब चिरसम्मत यांत्रिकी के परिणामों जैसे ही परिणाम प्राप्त होते हैं।

सन् 1926 में वर्नर हाइज़ेनबर्ग और इर्विन श्रोडिंजर द्वारा अलग-अलग क्वांटम यांत्रिकी का विकास किया गया। यहाँ पर हम श्रोडिंजर द्वारा विकसित ‘क्वांटम यांत्रिकी’ पर ही चर्चा करेंगे, जो तरंगों की गति के विचारों पर आधारित है। क्वांटम यांत्रिकी का मूल समीकरण श्रोडिंजर द्वारा प्रतिपादित किया गया। इसके लिए उन्हें सन् 1933 में भौतिकी का नोबेल पुरस्कार प्रदान किया गया। यह समीकरण, जो दे ब्राग्ली द्वारा बताए गए पदार्थ के कण और तरंग वाले दोहरे व्यवहार को ध्यान में रखता है, काफी जटिल है। इसका हल करने के लिए उच्च गणित का परिपक्व ज्ञान होना आवश्यक है। इस समीकरण को विभिन्न निकायों पर लागू करने के बाद प्राप्त हलों के बारे में आप आगे की कक्षाओं में पढ़ेंगे।

ऐसे निकाय (जैसे- एक परमाणु या अणु, जिसकी ऊर्जा समय के साथ परिवर्तित नहीं होती है) के लिए श्रोडिंजर समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है- $\mathrm{H} \psi=\mathrm{E} \psi$ जहाँ $\mathrm{H}$ एक गणितीय संकारक (operator) है, जिसे ‘हेमिल्टोनियन’ कहते हैं। श्रोडिंजर ने बताया कि निकाय की कुल ऊर्जा के व्यंजक से इस संकारक को कैसे लिखा जा सकता है। किसी निकाय की कुल ऊर्जा, उसके अवपरमाणविक कणों (इलेक्ट्रॉन और नाभिक) की गतिज ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों तथा नाभिकों के बीच आकर्षण एवं प्रतिकर्षण विभव से संबंधित है। इस समीकरण के हल से $E$ तथा $\psi$ के मान प्राप्त होते हैं।

हाइड्रोजन परमाणु तथा श्रोडिंजर समीकरण

जब श्रोडिंजर समीकरण को हाइड्रोजन परमाणु के लिए हल किया जाता है, तब उससे इलेक्ट्रॉन के संभव ऊर्जा-स्तर और उनके संगत तरंग-फलन $(\psi)$ प्राप्त होते हैं। ये क्वांटित ऊर्जास्तर तथा उनके संगत तरंग-फलन श्रोडिंजर-समीकरण के हल के फलस्वरूप प्राप्त होते हैं। इन्हें तीन क्वांटम-संख्याओं[मुख्य क्वांटम-संख्या $n$ (principal quantum number) बिगंशी क्वांटम संख्या $l$ (azimuthal quantum number) तथा चुंबकीय क्वांटम संख्या, $m_{l}$ (magnetic quantum number)] द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, जो श्रोडिंजर समीकरण के प्राकृतिक हल से प्राप्त होती हैं। जब इलेक्ट्रॉन किसी ऊर्जा स्तर में रहता है, तो उसके संगत तरंग-फलन में इलेक्ट्रॉन के बारे में सही जानकारी विद्यमान होती है। तरंग-फलन एक गणितीय फलन है, जिसका मान परमाणु में इलेक्ट्रॉन के निर्देशांकों पर निर्भर करता है। इसका कोई भौतिक अर्थ नहीं होता है। हाइड्रोजन और उसके समान स्पीशीज़ के ऐसे एक इलेक्ट्रॉन तरंग-फलन को ‘परमाणु कक्षक’ (atomic orbitals) कहते हैं। इस प्रकार के एक इलेक्ट्रॉन स्पीशीज़ के तरंग-फलन एक इलेक्ट्रॉनी निकाय कहलाते हैं। एक परमाणु में किसी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता उस बिंदु पर $|\psi|^{2}$ के समानुपाती होती है। हाइड्रोजन परमाणु के लिए क्वांटम यांत्रिकी द्वारा प्राप्त परिणाम हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम के सभी पहलुओं की सफलतापूर्वक प्रागुक्ति (predict) करते हैं। इसके अतिरिक्त यह उन कुछ परिघटनाओं की भी व्याख्या करता है, जो बोर मॉडल द्वारा स्पष्ट नहीं की जा सकीं।

श्रोडिंजर समीकरण को बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं पर लागू करने पर प्रायः कुछ कठिनाइयाँ सामने आती हैं। बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के लिए श्रोडिंजर समीकरण का यथार्थ (exact) हल नहीं दिया जा सकता था। इस कठिनाई को सन्निकटन विधि के उपयोग द्वारा दूर किया गया। कंप्यूटर से गणना करने पर पता चलता है कि हाइड्रोजन के अतिरिक्त अन्य परमाणुओं के कक्षक हाइड्रोजन परमाणु के कक्षकों से बहुत अधिक भिन्न नहीं हैं। इनमें मुख्य भिन्नता नाभिक में आवेश बढ़ने के कारण होती है। फलतः कक्षक कुछ छोटे हो जाते हैं। आप आगे के उपखंडों 2.6 .4 तथा 2.6 .5 में पढ़ेंगे कि बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के कक्षकों की ऊर्जाएँ $n$ और $l$ क्वांटम संख्याओं पर निर्भर करती है, जबकि हाइड्रोजन परमाणु के कक्षकों की ऊर्जा केवल $n$ क्वांटम संख्या पर निर्भर करती है।

परमाणु के क्वांटम यांत्रिकीय मॉडल के प्रमुख लक्षण

परमाणु का क्वांटम यांत्रिकीय मॉडल परमाणु-संरचना का वह चित्र है जो परमाणुओं पर श्रोडिंजर समीकरण लागू करने से प्राप्त होता है, परमाणु के क्वांटम यांत्रिकीय मॉडल के महत्त्वपूर्ण लक्षण निम्नलिखित हैं

1. परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा क्वांटित होती है (अर्थात् इसके केवल कुछ विशेष मान ही हो सकते हैं)। उदाहरण के लिए-जब परमाणुओं में इलेक्ट्रॉन नाभिक से बंधे होते हैं।

2. इलेक्ट्रॉनों के तरंग जैसे गुणों के कारण क्वांटित इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा-स्तरों का अस्तित्व होता है और श्रोडिंजर तरंग समीकरण के अनुमत हल होते हैं।

3. किसी परमाणु में इलेक्ट्रॉन की सही स्थिति तथा सही वेग को एक साथ ज्ञात नहीं किया जा सकता है (हाइज़ेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत) अतः किसी परमाणु में इलेक्ट्रॉन के पथ को सुनिश्चित ज्ञात नहीं किया जा सकता है। इसीलिए हम परमाणु के विभिन्न बिंदुओं पर इलेक्ट्रॉन के होने की प्रायिकता (probability) की संकल्पना के बारे में बात करते हैं। इसके बारे में आप आगे पढ़ेंगे।

4. किसी परमाणु में इलेक्ट्रॉन के तरंग-फलन $\psi$ को ‘परमाणु कक्षक’ कहते हैं। जब एक तरंग-फलन द्वारा किसी इलेक्ट्रॉन की व्याख्या की जाती है, तो हम यह कहते हैं कि इलेक्ट्रॉन उस कक्षक में उपस्थित है। चूँकि किसी इलेक्ट्रॉन के लिए बहुत से तरंग-फलन हो सकते हैं, अतः परमाणु में कई परमाणु कक्षक होते हैं। परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक संरचना, इन ‘एक इलेक्ट्रॉन कक्षक तरंगफलनों’ या कक्षकों पर ही आधारित है। प्रत्येक कक्षक में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा निश्चित होती है। किसी भी कक्षक में दो से अधिक इलेक्ट्रॉन नहीं रह सकते हैं। किसी बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में ऊर्जा के बढ़ते हुए क्रम में विभिन्न कक्षकों में इलेक्ट्रॉन भरे जाते हैं। अतः बहु इलेक्ट्रॉन परमाणु में प्रत्येक इलेक्ट्रॉन के लिए एक कक्षक तरंग-फलन होता है, जो उस कक्षक का अभिलाक्षणिक होता है, जिसमें इलेक्ट्रॉन उपस्थित होता है। परमाणु में इलेक्ट्रॉन के बारे में सारी जानकारियाँ उसके कक्षक तरंग-फलन $\psi$ में उपस्थित होती है तथा क्वांटम यांत्रिकी के द्वारा $\psi$ से इस जानकारी को प्राप्त करना संभव हो पाता है।

5. किसी परमाणु में किसी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के उपस्थित होने की प्रायिकता उस बिंदु पर कक्षक तरंग-फलन के वर्ग के समानुपाती होती है, अर्थात् उस बिंदु पर $\left|\psi^{2}\right|$ को प्रायिकता घनत्व (probability density) कहा जाता है। यह हमेशा धनात्मक होता है। किसी परमाणु के विभिन्न बिंदुओं पर $\left|\psi^{2}\right|$ के मान से नाभिक के चारों ओर उस क्षेत्र का पता लगाना संभव है, जहाँ पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की संभावना अधिक होगी।

2.6.1 कक्षक और क्वांटम संख्या

किसी परमाणु में कई कक्षक संभव होते हैं। गुणात्मक रूप में इन कक्षकों में उनके आकार, आकृति और अभिविन्यास के आधार पर अंतर किया जा सकता है। छोटे आकार के कक्षक का अर्थ यह है कि नाभिक के पास इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता अधिक है। इसी प्रकार, आकृति और अभिविन्यास यह बताते हैं कि इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता किसी दूसरी दिशा की अपेक्षा एक दिशा में अधिक है। क्वांटम संख्याओं द्वारा परमाणु कक्षकों में अंतर किया जा सकता है। प्रत्येक कक्षक को तीन क्वांटम संख्याओं $n, l$ और $m_{l}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

मुख्य क्वांटम संख्या ’ $n$ ‘, एक धनात्मक पूर्णांक होती है। इसका मान $1,2,3 \ldots .$. आदि हो सकता है। मुख्य क्वांटम संख्या से कक्षक के आकार और काफी हद तक उसकी ऊर्जा के बारे में पता चलता है। हाइड्रोजन और उस जैसे निकायों $\left(\mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+}\right.$

आदि ) के लिए यह अकेले ही कक्षक के आकार तथा ऊर्जा को निर्धारित करता है। मुख्य क्वांटम संख्या से कोश (shell) का भी पता चलता है। $n$ का मान बढ़ने के साथ अनुमत कक्षकों की संख्या भी बढ़ती है। इसे ’ $n$ ’ द्वारा दिया जाता है। $n$ के निश्चित दिए गए मान के लिए सभी कक्षक परमाणु का एक कोश बनाते हैं। उन्हें निम्नलिखित अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है-

$$ \begin{array}{rlrlll} n & =1 & 2 & 3 & 4 \\ \text { कोश } & =\mathrm{K} & \mathrm{L} & \mathrm{M} & \mathrm{N} \end{array} $$

मुख्य क्वांटम संख्या भी बढ़ने के साथ कक्षा का आकार बढ़ता है। दूसरे शब्दों में, इलेक्ट्रॉन नाभिक से दूर स्थित होते हैं। चूँकि एक ॠणावेशित इलेक्ट्रॉन को धनावेशित नाभिक से दूर होने के लिए ऊर्जा की आवश्यकता होती है, अतः $n$ के बढ़ने से कक्षक की ऊर्जा बढ़ेगी।

दिगंशीय क्वांटम संख्या ’ $l$ ’ को कक्षक क्वांटम संख्या, कक्षक कोणीय संवेग (orbital angular momentum) या भौम क्वांटम संख्या (subsidiary quantum number) भी कहते हैं। यह कक्षक के त्रिविमीय आकार को परिभाषित करती है। $n$ के दिए गए मान के लिए $l$ के 0 से $n-1$ तक $n$ मान हो सकते हैं। अर्थात् $n$ के दिए गए मान के लिए $l$ के मान $0,1,2, \ldots(n-1)$ हो सकते हैं।

उदाहरणार्थ- जब $n=1$ होता है, तो $l$ का केवल एक मान 0 होता है, $n=2$ के लिए $l$ के संभव मान 0 तथा 1 हो सकते हैं $n=2$ के लिए $l$ के संभव मान 0,1 और 2 होंगे।

प्रत्येक कोश में एक या अधिक उपकोश (subshells) या उप-स्तर (sub-levels) होते हैं। किसी मुख्य कोश में उपकोशों की संख्या $n$ के बराबर होती है। उदाहरणार्थपहले कोश $(n=1)$ में केवल एक उप-कोश होता है, जो 1 $=0$ के संगत होता है। इसी प्रकार $(n=2)$ कोश में दो उप-कोश $(1=0,1) \mathrm{n}=3$ में तीन उप-कोश $(1=0,1,2)$ होते हैं। $n$ के अन्य मानों के लिए भी ऐसा लिखा जा सकता है। किसी कोश के उप-कोशों को दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$ द्वारा प्रदर्शित करते हैं। $l$ के विभिन्न मानों के संगत उप-कोशों को निम्नलिखित चिह्नों द्वारा दर्शाया जाता है-

$ \begin{array}{lcccccccccc} \text{l के मान} :& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & ….. \\ \text{उप-कोश के लिए} &s & p & d & f & g & h & ….. \end{array} $

सारणी 2.4 में दी गई मुख्य क्वांटम संख्या के लिए $l$ के संभव मान और संगत उप-कोशों के संकेतन दिए गए हैं।

सारणी 2.4 उप-कोश संकेतन

$\boldsymbol{n}$ $\boldsymbol{l}$ उपकोश संकेतन
1 0 $1 s$
2 0 $2 s$
2 1 $2 p$
3 0 $3 s$
3 1 $3 p$
3 2 $3 d$
4 0 $4 s$
4 1 $4 p$
4 2 $4 d$
4 3 $4 f$

चुंबकीय कक्षक क्वांटम संख्या (magnetic orbital quantum number) ’ $m_{l}$ ’ समन्वय अक्ष के संगत कक्षकों के त्रिविम अभिविन्यास के बारे में जानकारी देती है। किसी उप-कोश के लिए $m_{l}$ के $2 l+1$ मान संभव हैं। इन मानों को इस प्रकार दिया जाता है- $m_{l}=-l,-(l-1),-(l-2) \ldots . .0,1 \ldots(l-2),(l-1), l$

अतः $l=0$ के लिए $\mathrm{m} _{l}$ का एक ही स्वीकृत मान 0 होता है, अर्थात् $2(0)+1=1$, एक $s$ कक्षक होता है। $l=1$ के लिए $m _{l}=-1,0,+1$ हो सकता है $[2[1]+1=3 p$ कक्षक]। $l=2$ के लिए $m _{l}=-2,-1,0,+1$ एवं +2 (पाँच $d$ कक्षक) हो सकता है। स्मरणीय है कि $m _{l}$ के मान $l$ से और $l$ के मान $n$ से प्राप्त होते हैं।

किसी परमाणु में प्रत्येक कक्षक $n, l$ और $\mathrm{m} _{1}$ मानों के समुच्चय द्वारा परिभाषित किया जाता है। अतः क्वांटम संख्याओं $n _{l}=2, l=1, m _{l}=0$ द्वारा वर्णित कक्षक ऐसा कक्षक होता है, जो दूसरे कोश के $p$ उपकोश में होता है। यहाँ दी जा रही तालिका में उप-कोश और उससे संबंधित कक्षकों की संख्या का संबंध दिया गया है-

$l$ का मान 0 1 2 3 4 5
उप-कोश संकेतन $s$ $p$ $d$ $f$ $g$ $h$
कक्षकों की संख्या 1 3 5 7 9 11

इलेक्ट्रॉन प्रचक्रण ’ $s$ ‘: किसी परमाणु कक्षक के लिए चिह्नित तीनों क्वांटम संख्याओं को उसकी ऊर्जा, आकार और अभिविन्यास को परिभाषित करने में प्रयुक्त किया जा सकता है, लेकिन बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में देखे गए रेखा-स्पेक्ट्रा की व्याख्या करने में ये क्वांटम संख्याएँ पर्याप्त नहीं हैं। इनमें कुछ रेखाएँ द्विक (दो रेखाएँ पास-पास) तथा कुछ रेखाएँ त्रिक (तीन रेखाएँ पास-पास) होती हैं। तीनों क्वांटम संख्याओं द्वारा अनुमानित ऊर्जा के अलावा यह कुछ और ऊर्जा-स्तरों की उपस्थिति का संकेत करता है।

सन् 1925 में जॉर्ज उहलेनबैक (George Uhlenback) और सैमुअल गाउटस्मिट (Samuel Goudsmit) ने एक चौथी क्वांटम संख्या की उपस्थिति प्रतिपादित की, जो ‘इलेक्ट्रॉन-प्रचक्रण क्वांटम संख्या’ $\left(m_{s}\right)$ कहलाती है। एक इलेक्ट्रॉन अपने अक्ष पर ठीक वैसे ही प्रचक्रण करता है, जैसे सूर्य के चारों ओर चक्कर काटते समय पृथ्वी अपने अक्ष पर प्रचक्रण करती है। दूसरे शब्दों में- इलेक्ट्रॉन में आवेश और द्रव्यमान के अतिरिक्त नैज (intrinsic) प्रचक्रण कोणीय संवेग होता है। इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग एक सदिश (vector) राशि है। इसके किसी चुने हुए अक्ष के सापेक्ष दो अभिविन्यास हो सकते हैं, जिन में प्रचक्रण क्वांटम संख्या $m_{s}$ के द्वारा भेद किया जा सकता है। $m_{\mathrm{s}}$ का मान $+1 / 2$ या $-1 / 2$ हो सकता है। इन्हें इलेक्ट्रॉन की दो प्रचक्रण अवस्थाएं (spin states) भी कहते हैं। आम तौर पर वे तीरों $\uparrow$ (ऊपरी प्रचक्रण, spin up) और $\downarrow$ (निचला प्रचक्रण, spin down) द्वारा दर्शाए जाते हैं। विभिन्न $m_{\mathrm{s}}$ मान वाले दो इलेक्ट्रॉन (एक $+1 / 2$ और दूसरा $-1 / 2$ ) विपरीत प्रचक्रण वाले कहलाते हैं। किसी कक्षक में दो से अधिक इलेक्ट्रॉन नहीं हो सकते हैं; इन दोनों इलेक्ट्रॉनों का विपरीत प्रचक्रण होना चाहिए।

संक्षेप में हम यह कह सकते हैं कि चारों क्वांटम संख्याए निम्नलिखित जानकारियाँ देती हैं-

(i) $n$ से कोश का बोध होता है। यह कक्षक का आकार और काफी हद तक ऊर्जा निर्धारित करता है।

(ii) $n^{\text {th }}$ कोश में $n$ उप-कोश होते हैं। $l$, कक्षक की आकृति बताता है। प्रत्येक प्रकार के उप-कोश में $(2 l+1)$ कक्षक होते हैं, अर्थात् प्रत्येक उप-कोश में एक $s$ कक्षक $(l=$ $0)$, तीन $p$ कक्षक $(l=1)$ और $5 d$ कक्षक $(l=2)$ हो सकते हैं। $l$ कुछ हद तक बहु- इलेक्ट्रॉन परमाणु के कक्षक की ऊर्जा का भी निर्धारण करता है।

(iii) $m_{l}$ कक्षक के अभिविन्यास को प्रदर्शित करता है। $l$ के दिए गए किसी मान के लिए $m_{l}$ के $(2 l+1)$ मान होते हैं। इतनी ही संख्या प्रत्येक उप-कोश में कक्षकों की होती है। इसका अर्थ यह है कि कक्षकों की संख्या उनके अभिविन्यासों के तरीकों के बराबर होती है।

(iv) इलेक्ट्रॉन के प्रचक्रण के अभिविन्यास को $m_{s}$ बताता है।

कक्षा, कक्षक एवं इनका महत्त्व

‘कक्षा’ तथा ‘कक्षक’ का अर्थ समान नहीं है। कक्षा (जिसे बोर ने प्रतिपादित किया) नाभिक के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ होता है, जिसमें इलेक्ट्रॉन गति करता है। ‘हाइज़ेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत’ के अनुसार, इलेक्ट्रॉन के इस पथ का सही निर्धारण करना असंभव है। अतः बोर की कक्षाओं का कोई वास्तविक अर्थ नहीं है। इनके अस्तित्व को कभी भी प्रयोगों द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता। इसके विपरीत कक्षक एक क्वांटम यांत्रिकीय धारणा है। यह परमाणु में किसी एक इलेक्ट्रॉन के तरंग-फलन $\psi$ का वर्णन करता है। इसे तीन क्वांटम संख्याओं $\left(n, l, m_{l}\right)$ द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। इसका मान इलेक्ट्रॉन के निर्देशांकों पर निर्भर करता है। वैसे तो $\psi$ का कोई भौतिक अर्थ नहीं होता है, परंतु तरंग-फलन के वर्ग, अर्थात् $|\psi|^{2}$ का भौतिक अर्थ होता है, किसी परमाणु के किसी बिंदु पर $|\psi|^{2}$ उस बिंदु पर प्रायिकता घनत्व का मान देता है, प्रायिकता घनत्व $|\psi|^{2}$ प्रति इकाई आयतन प्रायिकता का मान होता है। $|\psi|^{2}$ और एक छोटे आयतन (जिसे आयतन अवयव कहा जाता है) का गुणनफल इलेक्ट्रॉन के उस आयतन के पाए जाने की प्रायिकता को व्यक्त करता है। (यहाँ कम आयतन लेने का एक कारण यह है कि $|\psi|^{2}$ का मान त्रिविम में एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में बदला रहता है, परंतु एक छोटे आयन अवयव में इसके मान को स्थिर माना जा सकता है)। किसी दिए गए निश्चित आयतन में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की कुल प्रायिकता $|\psi|^{2}$ और संगत आयतन अवयवों के समस्त गुणनफलों को जोड़कर प्राप्त की जा सकती है। इस प्रकार किसी कक्षक में संभावित इलेक्ट्रॉन वितरण का पता लगाना संभव है।

उदाहरण 2.17

मुख्य क्वांटम संख्या $(n=3)$ से संबंधित कक्षकों की कुल संख्या क्या होती है?

हल

$n=3$ के लिए, $l$ के 0,1 तथा 2 मान संभव है। इसलिए एक $3 \mathrm{~s}$ कक्षक होता है, जिसके लिए, $n=3$, $l=0$ और $\left.\mathrm{m} _{l}=0\right)$ होते हैं; तीन $3 p$ कक्षक होते हैं, जिनके लिए $\left(\mathrm{n}=3, l=1\right.$ और $\left.m _{l}=-1,0,+1\right)$ होते हैं। इसी प्रकार पाँच $3 d$ कक्षक होते हैं, जिनके लिए $n=3, l=2$ और $m _{l}=-2,-1,0,+1,+2$ हो सकता है।

इसलिए कक्षकों की कुल संख्या $=1+3+5=9$ कक्षकों की संख्या $=n^{2}$,

अर्थात् $3^{2}$ $=9$ संबंध का उपयोग करके भी समान मान प्राप्त किए जा सकते हैं।

उदाहरण 2.18

$s, p, d, f$ संकेतन का प्रयोग करके निम्नलिखित क्वांटम संख्याओं वाले कक्षक के बारे में बताइए-

(क) $n=2, l=1$ (ख) $n=4, l=0$, ( ग) $n=5, l=3$, (घ) $n=3, l=2$

हल

$n$ $l$ कक्षक
(क) 2 1 $2 p$
(ख) 4 0 $4 s$
(ग) 5 3 $5 f$
(घ) 3 2 $3 d$

2.6.2 परमाणु कक्षकों की आकृतियाँ

किसी परमाणु में इलेक्ट्रॉन के कक्षक तरंग-फलन अथवा $\psi$ का अपने आपमें कोई भौतिक अर्थ नहीं होता है। यह केवल इलेक्ट्रॉन के निर्देशांकों (coordinates) का गणितीय फलन होता है। यद्यपि विभिन्न कक्षकों के लिए $r$ (नाभिक से दूरी) के फलन के रूप में संगत तरंग-फलन आरेख भिन्न होते हैं। चित्र 2.12 (क) $1 \mathrm{~s}(\mathrm{n}=1,1=0)$ तथा $2 \mathrm{~s}(\mathrm{n}=2,1=0)$ कक्षकों के इस प्रकार के आरेख को व्यक्त करता है।

चित्र 2.12 (क) कक्षकीय तरंग-फलन $\psi(r)$ के आरेख (ख) $1 s$ एवं $2 s$ कक्षकों के लिए $r$ के फलन के रूप में प्रायिकता घनत्व $\psi^{2}(r)$ में परिवर्तन के आरेख।

जर्मन भौतिक विज्ञानी मेक्स बोर्न ने बताया कि किसी बिंदु पर तरंग-फलन का वर्ग (अर्थात् $\psi^{2}$ ) उस बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के घनत्व की प्रायिकता को दर्शाता है। [चित्र 2.12 (ख)] में $1 s$ तथा $2 s$ कक्षक के लिए $\psi^{2}$ के परिवर्तन को $r$ के फलन के रूप में दर्शाया गया है। यहाँ आप देख सकते हैं कि $1 s$ तथा $2 s$ के वक्र भिन्न हैं।

यह देखा जा सकता है कि $1 \mathrm{~s}$ कक्षक के लिए प्रायिकता घनत्व नाभिक पर अधिकतम है, जो नाभिक से दूर जाने पर घटता जाता है। दूसरी ओर, $2 \mathrm{~s}$ कक्षक के लिए प्रायिकता घनत्व पहले तेजी से शून्य तक घटता है, फिर बढ़ना प्रारंभ होता है। जैसे-जैसे $r$ का मान बढ़ता है, वैसे-वैसे एक लघु अधिकतम (small maxima) के पश्चात् यह पुनः शून्य के निकट तक घटता है। वह क्षेत्र, जहाँ यह प्रायिकता घनत्व शून्य हो जाता है, ‘नोडल सतह’ या ’ नोड’ कहलाता है। सामान्यतः $n s$ कक्षक के $(n-1)$ नोड होते हैं, अर्थात् मुख्य क्वांटम संख्या $\mathrm{n}$ के साथ नोडों की संख्या बढ़ जाती है। दूसरे शब्दों में, $2 \mathrm{~s}$ कक्षक के लिए नोडों की संख्या एक तथा $3 \mathrm{~s}$ के लिए दो होती है। आगे के कक्षकों के लिए भी यह इसी प्रकार बढ़ती है।

ये प्रायिकता घनत्व परिवर्तन आवेश - अभ्र के पदों में समझे जा सकते हैं (चित्र 2.13 क)। इन चित्रों में बिंदुओं (dots) का घनत्व उस क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन प्रायिकता घनत्व दर्शाता है।

कक्षकों की आकृति को विभिन्न कक्षकों के लिए स्थिर प्रायिकता घनत्व वाले सीमा-सतह आरेखों (boundary surface diagrams) द्वारा काफी सही ढंग से प्रदर्शित किया जा सकता है। इस निरूपण में किसी कक्षक के लिए एक ऐसी परिसीमा-सतह या परिपृष्ठ (contour surface) को आरेखित किया जाता है, जिसपर प्रयिकता घनत्व $|\psi|^{2}$ का मान स्थिर है। सैद्धांतिक रूप में, किसी कक्षक के लिए ऐसे कई परिसीमा-सतह आरेख संभव होते हैं, परंतु किसी दिए गए कक्षक के लिए स्थिर प्रायिकता घनत्व वाले केवल वे परिसीमा-सतह आरेख ही कक्षक की आकृति के अच्छे निरूपण माने जाते हैं, जिनके द्वारा निर्धारित क्षेत्र या आयतन में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता काफी अधिक (जैसे $90 %)$ होती है। $1 s$ एवं $2 s$ कक्षकों के लिए परिसीमा-सतह आरेखों को चित्र 2.13(ख) में दर्शाया गया है। आप पूछ सकते हैं कि हम ऐसा परिपृष्ठ आरेख क्यों नहीं बनाते हैं, जिसमें इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता $100 %$ हो? इसका उत्तर यह है कि नाभिक से किसी निश्चित दूरी पर भी इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की कुछ प्रायिकता अवश्य होती है, भले ही उसका मान बहुत कम क्यों न हो। इसलिए निश्चित आकार के ऐसे परिसीमा-सतह आरेखों को बनाना संभव नहीं है, जिनके अंदर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता $100 %$ हो। $s$ कक्षक के लिए परिसीमा सतह का आरेख गोलीय होता है, जिसके केंद्र में नाभिक है। दो विमाओं में यह गोला एक वृत्त की तरह दिखाई देता है। इस गोले की परिसीमा के अंदर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता $90 %$ होती है।

इस प्रकार $1 s$ तथा $2 s$ कक्षक गोलीय आकृति के हैं। वास्तव में सभी $s$-कक्षक गोलीय सममिति के होते हैं। ऐसा भी देखा गया है कि $n$ बढ़ने के साथ $s$ कक्षक का आकार भी बढ़ जाता है, अर्थात् $4 s>3 s>2 s>1 s$ और मुख्य क्वांटम संख्या के बढ़ने के साथ इलेक्ट्रॉन नाभिक से दूर हो जाता है।

चित्र 2.13 (क) $1 \mathrm{~s}$ एवं $2 \mathrm{~s}$ परमाणु कक्षकों के लिए प्रायिकता घनत्त्व आरेख बिंदुओं का घनत्व उस क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन पाए जाने के प्रायिकता-घनत्व को दर्शाता है। (ख) $1 \mathrm{~s}$ एवं $2 \mathrm{~s}$ कक्षकों के लिए परिसीमा-सतह आरेख

चित्र 2.14 तीन $2 p$ कक्षकों के परिसीमा-सतह आरेख

चित्र 2.14 में तीन $2 p$ कक्षकों $(l=1)$ के परिसीमासतह आरेख दिखाए गए हैं। इन आरेखों में नाभिक मूल बिंदु पर होता है यहाँ $\mathrm{s}$ कक्षकों के विपरीत, परिसीमा- सतह आरेख गोलाकार नहीं होते हैं। इसकी अपेक्षा प्रत्येक $p$ - के दो भाग होते हैं, जिन्हें ‘पालियाँ’ (lobes) कहा जाता है। ये नाभिक से गुज़रने वाले तल के दोनों ओर स्थित हैं। जहाँ दोनों पालियाँ एक दूसरे को स्पर्श करती हैं, उस तल पर प्रायिकता घनत्व फलन शून्य होता है। तीनों $p$ कक्षकों की आकृति और ऊर्जा एक समान होती है। ये कक्षक केवल पालियों के अभिविन्यासों में आपस में भिन्न होते हैं, क्योंकि ये पालियाँ $x, y$ या $z$ अक्षों की ओर निर्दिष्ट मानी जा सकती हैं, इसलिए उन्हें $2 p_{x} 2 p_{y}$ तथा $2 p_{z}$ द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ यह उल्लेखनीय है कि $m_{l}$ को मानों $(-1,0$ और +1$)$ तथा $x, y$ और $z$ अक्षों के बीच कोई संबंध नहीं है।

चित्र 2.15 पाँच $3 d$ कक्षकों के परिसीमा-सतह आरेख

हमारे लिए यह याद रखना पर्याप्त है कि चूँकि $m_{l}$ के तीन संभव मान होते हैं, अतः तीन $p$ कक्षक होंगे, जिनके अक्ष आपस में एक दूसरे के लंबवत होते हैं। $s$ कक्षकों की तरह, $p$ कक्षकों के लिए भी मुख्य क्वांटम संख्या के बढ़ने के साथ कक्षकों का आकार और ऊर्जा बढ़ते हैं। अतः विभिन्न $p$ कक्षकों का आकार और ऊर्जा $4 p>3 p>2 p$ क्रम में होते हैं। इसके अतिरिक्त $s$ कक्षकों के समान, $p$ कक्षकों के प्रायिकता- घनत्व फलन भी शून्य से गुजरते हैं। नोडों की संख्या $n-2$ द्वारा दी जाती है, अर्थात् $3 p$ कक्षक के लिए त्रिज्य नोड एक, $4 p$ के लिए दो और इससे आगे भी इसी क्रम में होते हैं।

$l=2$ के लिए कक्षक, $d$ कक्षक कहलाता है और मुख्य क्वांटम संख्या (n) का मान 3 होता है, क्योंकि $l$ का मान $n$ -1 से अधिक नहीं हो सकता है। इसमें $m_{l}$ के पाँच मान होते हैं $(-2,-1,0+1$ और +2$)$ और इस प्रकार पाँच $d$ कक्षक होते हैं। $d$ कक्षकों के परिसीमा-सतह आरेख चित्र 2.15 में दिखाए गए हैं।

पाँच $d$ कक्षकों को $d_{x y}, d_{y z}, d_{x z}, d_{\mathrm{x}^{2}-y^{2}}$ तथा $d_{z^{2}}$ कहा जाता है। पहले चार $d$ कक्षकों की आकृति एक जैसी होती है और पाँचवें $\mathrm{d} _{\mathrm{z}}{ }^{2}$ की भिन्न होती है, लेकिन पाँचों कक्षकों की ऊर्जा बराबर होती है। $n>3$ वाले $d$ कक्षकों $(4 d, 5 d,—)$ की समान आकृतियाँ होती हैं, लेकिन ऊर्जा तथा आकार भिन्न होते हैं।

त्रिज्य नोडों (अर्थात् जब प्रायिकता-घनत्व फलन शून्य हो) के अलावा $n p$ और $n d$ कक्षकों के लिए प्रायिकता-घनत्व फलन तल पर शून्य होते हैं। यह नाभिक से गुजरते हुए तल पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, $p_{z}$ कक्षक में $\mathrm{xy}$ तल नोडल तल है। $d_{x y}$ कक्षक में नाभिक से गुजरते हुए और $z$ - अक्ष पर $x y$ तल को भेदते हुए दो नोडल तल होते हैं। इन्हें ‘कोणीय नोड’ कहा जाता है और कोणीय नोडों की संख्या $l$ से दी जाती है, अर्थात् $p$ कक्षकों के लिए एक, $d$ कक्षकों के लिए दो तथा अन्य के लिए इसी प्रकार कोणीय नोड होते हैं। नोडों की कुल संख्या ( $n-1$ ), अर्थात् कोणीय नोड $l$ और त्रिज्य नोड (n-l-1) का योग होगी।

2.6.3 कक्षकों की ऊर्जाएँ

हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या द्वारा निर्धारित होती है। अतः हाइड्रोजन परमाणु में कक्षकों की ऊर्जा निम्नलिखित क्रम में बढ़ती है:-

$1 s<2 s=2 p<3 s=3 p=3 d<4 s=4 p$ $=4 d=4 f<$ और इन्हें चित्र 2.16 में दर्शाया गया है। हालाँकि $2 s$ और $2 p$ कक्षकों की आकृतियाँ भिन्न होती हैं, फिर भी इन दोनों कक्षकों $2 s$ या $2 p$ में उपस्थिति इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा बराबर होगी। समान ऊर्जा वाले कक्षकों को समभ्रंश (degenerate) कहा जाता है। जैसा पहले बताया गया है, हाइड्रोजन परमाणु में $1 \mathrm{~s}$ कक्षक सबसे स्थायी स्थिति के संगत होता है। यह तलस्थ अवस्था (ground state) कहलाती है। इस कक्षक में उपस्थित इलेक्ट्रॉन नाभिक द्वारा सर्वाधिक प्रबलता से आकर्षित रहता है हाइड्रोजन परमाणु में $2 s, 2 p$ या उच्च कक्षकों में उपस्थित इलेक्ट्रॉन को उत्तेजित अवस्था (excited state) में कहा जाता है।

चित्र 2.16 (क) हाइड्रोजन परमाणु और (ख) बहु-इलेक्ट्रॉनी परमाणुओं के कुछ इलेक्ट्रॉन कोशों के ऊर्जा-स्तर आरेख। ध्यान दीजिए कि हाइड्रोजन परमाणु के लिए समान मुख्य क्वांटम-संख्या हेतु भिन्न-भिन्न द्विगंशी क्वांटम संख्या होने पर भी उनकी ऊर्जा समान होती है। बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में समान मुख्य क्वांटम संख्या वाले कक्षकों की ऊर्जा भिन्न द्विगंशी क्वांटम संख्या वाले कक्षकों के लिए भिन्न होती है।

हाइड्रोजन परमाणु के विपरीत एक बहु इलेक्ट्रॉन परमाणु के इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा केवल अपनी मुख्य क्वांटम संख्या (कोश) पर ही नहीं, बल्कि कक्षक क्वांटम संख्या (उप-कोश) पर भी निर्भर करती है। अर्थात् दी गई मुख्य क्वांटम संख्या के लिए $s, p, d, f \ldots$ की ऊर्जाएं भिन्न होती हैं। किसी भी एक मुख्य क्वांटम संख्या में कक्षकों की ऊर्जा का क्रम $s>p>d>f$ होता है। उच्च ऊर्जा स्तरों में यह अंतर अधिक होता है। कक्षकों की ऊर्जा का यह क्रम लड़खड़ा सकता है उदाहरण हैं $4 s<3 d$ और $6 s<5 d \simeq 4 f<6 p$ इत्यादि। उप-कोशों में भिन्न ऊर्जाओं का कारण बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों के आपस में प्रतिकर्षण की उपस्थिति है। हाइड्रोजन परमाणु में ॠणावेशित इलेक्ट्रॉन और धनावेशित नाभिक के बीच आकर्षण एकमात्र विद्युत् अन्योन्य क्रिया है। बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में इलेक्ट्रॉन तथा नाभिक के बीच आकर्षण के अलावा परमाणु में उपस्थित एक इलेक्ट्रॉन का दूसरे से प्रतिकर्षण भी होता है। इस प्रकार एक बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में इलेक्ट्रॉन का स्थायित्व प्रतिकर्षण की तुलना में अधिक आकर्षण अन्योन्य क्रियाएं हैं। सामान्यतः बाहरी कोश में उपस्थित इलेक्ट्रॉन के अंदर के इलेक्ट्रॉनों से प्रतिकर्षण अन्योन्य क्रिया अधिक महत्त्वपूर्ण है। दूसरी ओर नाभिक में धनावेश $(Z e)$ बढ़ने के कारण इलेक्ट्रॉनों में आकर्षण अन्योन्य क्रियाएँ बढ़ती हैं। अंदर कोशों में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों के कारण बाहरी कोश का इलेक्ट्रॉन नाभिक के आवेश $(Z e)$ को पूरी तरह महसूस नहीं कर पाता है, अर्थात् आंतरिक इलेक्ट्रॉनों द्वारा नाभिक के धनावेश पर आंशिक आवरण के कारण इस आवेश का प्रभाव पूरा नहीं पड़ता। इसे आंतरिक इलेक्ट्रॉनों द्वारा बाह्य इलेक्ट्रॉनों का नाभिक से परिरक्षण (shielding) कहा जाता है और नाभिक का कुल धनावेश, जो इलेक्ट्रॉन पर प्रभावी होता है। प्रभावी नाभिकीय आवेश $Z_{\mathrm{eff}} e$ (effective nuclear charge) कहलाता है। आंतरिक इलेक्ट्रॉनों द्वारा परिरक्षण के बावज़ूद नाभिकीय आवेश में वृद्धि के साथ बाह्य इलेक्ट्रॉन द्वारा महसूस किया आकर्षण-बल बढ़ जाता है। दूसरे शब्दों में, नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच अन्योन्य क्रिया की ऊर्जा (अर्थात् कक्षक ऊर्जा) परमाणु संख्या $(Z)$ के बढ़ने के साथ घट (अर्थात् अधिक ॠणात्मक हो) जाती है।

आकर्षण एवं प्रतिकर्षण, दोनों अन्योन्य क्रियाएं कोश के आकार तथा उसमें उपस्थित कक्षक की आकृति (जिसमें इलेक्ट्रॉन उपस्थित है) पर निर्भर करती हैं। उदाहरण के लिए- गोलाकार आकृति के कारण, $\mathrm{s}$ कक्षक में उपस्थित इलेक्ट्रान $p$ कक्षक में उपस्थित इलेक्ट्रान की तुलना में बाहरी इलेक्ट्रानों का नाभिक से परिरक्षण अधिक प्रभावी तरीके से करता है। इसी प्रकार, $p$ कक्षक में उपस्थित इलेक्ट्रान $d$ कक्षकों की तुलना में अधिक परिक्षण करते हैं, चाहे ये सभी कक्षक एक ही कोश में हैं। इसके अलावा एक ही कोश में गोलाकार आकृति के कारण $s$ कक्षक इलेक्ट्रॉन $p$ कक्षक इलेक्ट्रॉन की तुलना में और $p$ कक्षक इलेक्ट्रॉन $d$ कक्षक इलेक्ट्रॉन की तुलना में नाभिक के पास अधिक समय व्यतीत करता है। दूसरे शब्दों में- किसी एक कोश (मुख्य क्वांटम संख्या) के लिए दिगंशी क्वांटम संख्या $(l)$ बढ़ने के साथ इलेक्ट्रान द्वारा महसूस किया $Z_{\text {eff }}$ घट जाता है, अर्थात् $p$ कक्षक की तुलना में $s$ कक्षक और $d$ की तुलना में $p$ कक्षक नाभिक से अधिक ढृढ़ता से बंधा रहता है। $p$ कक्षक के इलेक्ट्रान की तुलना में $s$ कक्षक के इलेक्ट्रान की और $d$ कक्षक के इलेक्ट्रान की तुलना में $p$ कक्षक के इलेक्ट्रान की ऊर्जा कम होती है, इत्यादि। चूँकि नाभिक के प्रति परिरक्षण की मात्रा भिन्न-भिन्न कक्षकों के लिए भिन्न होती है। अतः एक ही कोश (मुख्य क्वांटम संख्या) के ऊर्जा स्तरों का विपाटन (splitting) हो जाता है, अर्थात् जैसा पहले बताया जा चुका है, कक्षक में उपस्थित इलेक्ट्रानों की ऊर्जा $n$ तथा $l$ के मानों पर निर्भर करती है। गणितीय रूप से $n$ और $l$ पर कक्षकों की ऊर्जाओं की निर्भरता काफी जटिल होती है, लेकिन $n$ तथा $l$ के संयुक्त मान के लिए एक सरल नियम है। $(n+l)$ का मान जितना निम्न होगा कक्षक की ऊर्जा भी उतनी ही कम होगी। यदि दो कक्षकों के लिए $(n+l)$ का मान समान हो, तो निम्न $n$ के मान वाले कक्षक की ऊर्जा निम्न होगी। सारणी 2.5 में $(n+l)$ नियम दिया गया है और चित्र 2.16 में बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के ऊर्जा दर्शाई गई है। ध्यान देने योग्य बात यह भी है कि किसी विशेष कोश के विभिन्न उप कोशों (बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में) की ऊर्जाएं भिन्न-भिन्न होती हैं। हालाँकि हाइड्रोजन परमाणु में इनकी ऊर्जाएं समान होती हैं। अंत में यह बताना उचित होगा कि परमाणु संख्या $\left(Z_{\text {eff }}\right)$ बढ़ने के साथ समान उप-कोशों वाले कक्षकों की ऊर्जाएं कम होती जाती हैं।

सारणी $2.5(\mathrm{n}+\boldsymbol{n})$ नियम के आधार पर बढ़ती ऊर्जा के साथ कक्षकों की व्यवस्था

उदाहरण के लिए- हाइड्रोजन परमाणु के $2 s$ कक्षक की ऊर्जा, लीथियम के $2 s$ कक्षक की तुलना में अधिक होगी और सोडियम की तुलना में लीथियम की ऊर्जा अधिक होगी। यही क्रम आगे भी जारी रहेगा। जैसे- $E_{2 s}(\mathrm{H})>E_{2 s}(\mathrm{Li})>E_{2 s}(\mathrm{Na})>E_{2 s}(\mathrm{~K}) .$

2.6.4 परमाणु में कक्षकों का भरा जाना

विभिन्न परमाणुओं के कक्षकों में इलेक्ट्रॉन ऑफबाऊ नियम के अनुसार भरे जाते हैं। ‘ऑफबाऊ नियम’, पाउली अपवर्जन सिद्धांत (Pauli’s exclusion principle), हुंड के अधिकतम बहुकता नियम (Hund’s maximum multiplicity rule) और कक्षकों की आपेक्षिक ऊर्जाओं पर आधारित है।

ऑफबाऊ नियम

ज़र्मन भाषा में ‘ऑफबाऊ’ शब्द का अर्थ है- ‘निर्माण होना’ ‘कक्षकों का निर्माण’ होने का अर्थ है- कक्षकों का इलेक्ट्रॉनों द्वारा भरा जाना। इस नियम के अनुसार- ‘परमाणुओं की तलस्थ अवस्था में, कक्षकों को उनकी ऊर्जा के बढ़ते क्रम में भरा जाता है। सारणी $2.5(\mathbf{n}+l)$ नियम के आधार पर बढ़ती ऊर्जा के साथ कक्षकों की व्यवस्था दूसरे शब्दों में- इलेक्ट्रॉन पहले सबसे कम ऊर्जा वाले उपलब्ध कक्षक में जाते हैं और उनको भरने के बाद उच्च ऊर्जा वाले कक्षकों को भरते हैं। आप यह जान चुके हैं कि किसी कक्षक की ऊर्जा प्रभावी नाभिक आवेश पर निर्भर करती है और विभिन्न प्रकार के कक्षकों पर इसका परिमाण भिन्न होता है। इसलिए ऐसा कोई भी एक क्रम नहीं है जो सभी परमाणुओं के लिए सही हो।

तथापि कक्षकों की ऊर्जा का निम्नलिखित बढ़ता क्रम, अर्थात् उनको भरे जाने का क्रम अत्यंत उपयोगी है-

$1 s, 2 s, 2 p, 3 s, 3 p, 4 s, 3 d, 4 p, 5 s, 4 d, 5 p, 4 f, 5 d$, $6 p, 7 s \ldots$

इस क्रम को चित्र 2.17 में दिखाई गई विधि द्वारा याद किया जा सकता है।

चित्र 2.17 कक्षकों को भरने का क्रम

सबसे ऊपर से शुरू करते हुए तीर की दिशा कक्षकों के भरने का क्रम दर्शाती है। बाहय संयोजकता इलेक्ट्रॉनों के लिए यह क्रम सभी परमाणुओं के लिए असाधारण रूप से सही है। उदाहरण के लिए पोटेशियम में संयोजकता इलेक्ट्रॉन के लिए $3 d$ और $4 s$ कक्षकों का विकल्प है और जैसा कि इस क्रम से पूर्वानुमानित किया जा सकता है, यह इलेक्ट्रॉन $4 s$ कक्षक में पाया जाता है उपरोक्त क्रम को ऊर्जा स्तरों को भरने के लिए कामचलाऊ मार्गदर्शक मानना चाहिए। बहुत बार कक्षकों का ऊर्जा स्तर मिलता-जुलता होता है और परमाणु की संरचना में हल्का-सा परिवर्तन कक्षकों के भरने के क्रम में परिवर्तन ला सकता है। यह होते हुए भी उपरोक्त क्रम परमाणु की इलेक्ट्रॉनी संरचना लिखने के लिए एक उपयोगी मार्गदर्शक है यदि यह याद रखा जाए कि इसमें अपवाद हो सकते हैं।

पाउली अपवर्जन सिद्धांत

विभिन्न कक्षकों में भरे जाने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या अपवर्जन सिद्धांत द्वारा नियंत्रित होती है, जिसे ऑस्ट्रिया के वॉल्फगंग पाउली नामक एक वैज्ञानिक ने दिया था। इस सिद्धांत के अनुसार- किसी परमाणु में उपस्थित दो इलेक्ट्रॉनों की चारों क्वांटम संख्याएँ एक समान नहीं हो सकतीं। पाउली अपवर्जन सिद्धांत को इस प्रकार भी कहा जा सकता है- “केवल दो इलेक्ट्रॉन एक कक्षक में रह सकते हैं। इन इलेक्ट्रॉनों के प्रचक्रण विपरीत होने चाहिए।” इसका अर्थ है कि दो इलेक्ट्रॉनों की तीन क्वांटम संख्याएँ, $n, 1$ तथा $\mathrm{m} _{l}$ एक समान हो सकती हैं, लेकिन उनकी प्रचक्रण क्वांटम संख्या भिन्न होनी चाहिए। किसी कक्षक के इलेक्ट्रॉनों में पाउली अपवर्जन सिद्धांत द्वारा लगाया गया नियंत्रण किसी उप-कोश में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की क्षमता की गणना करने में सहायक होता है। उदाहरण के लिए, $1 \mathrm{~s}$ में एक कक्षक होता है। इस प्रकार $1 s$ उप-कोश में इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या दो हो सकती है। $p$ तथा $d$ उप-कोशों में अधिकतम संख्या क्रमशः 6 तथा 10 हो सकती है, इत्यादि। इसे संक्षेप इस प्रकार कहा जा सकता है- मुख्य क्वांटम संख्या $n$ वाले कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2 n^{2}$ के बराबर होती है।

हुंड का अधिकतम बहुकता का नियम

यह नियम एक ही उप-कोश से संबंधित कक्षकों को भरने के लिए लागू किया जाता है। इन कक्षकों की ऊर्जा बराबर होती है। उन्हें ‘समभ्रंश कक्षक’ (degenerate orbitals) कहते हैं। यह नियम इस प्रकार है: एक ही उप-कोश के कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों का युग्मन तब तक नहीं होता है, जब तक उस उप-कोश के सभी कक्षकों में एक-एक इलेक्ट्रॉन न आ जाए।

क्योंकि तीन $p$, पाँच $d$ तथा सात $f$ कक्षक होते हैं, अतः $p, d$ और $f$ कक्षकों में युग्मन क्रमशः चौथे, छठवें और आठवें इलेक्ट्रॉन के भरने पर प्रारंभ होगा। यह देखा गया है कि आधे भरे और पूरे भरे समभ्रंश कक्षकों का स्थायित्व उनकी सममिति के कारण अधिक होता है देखें (खंड 2.6.6)।

2.6.5 परमाणुओं का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास

परमाणुओं के कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों के वितरण को उनका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास (electronic configuration) कहा जाता है। यदि विभिन्न परमाणु कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों के भरे जाने से संबंधित मूल नियमों को ध्यान में रखा जाए, तो विभिन्न परमाणुओं के इलेक्ट्रॉनिक विन्यासों को आसानी से लिखा जा सकता है।

परमाणुओं के इलेक्ट्रॉनिक विन्यास को दो तरीके से निरूपित किया जा सकता है। वे हैं-

(i) $s^{\mathrm{a}} p^{\mathrm{b}} d^{\mathrm{c}}$ संकेतन

(ii) कक्षक-आरेख

पहले संकेतन में उप-कोश को संगत अक्षर चिह्न से निरूपित किया जाता है और उप-कोश में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की संख्या को मूर्धांक $a, b, c$ इत्यादि के रूप में दर्शाते हैं। विभिन्न कोशों के लिए निरूपित समान उप-कोश का विभेदन उसके संगत उप-कोश के सामने मुख्य क्वांटम संख्या को लिखकर किया जाता है। दूसरे संकेतन में उप-कोश के प्रत्येक कक्षक को एक बॉक्स द्वारा दर्शाया जाता है और इलेक्ट्रॉन के धन-प्रचक्रण को $\uparrow$ जैसे तीर और ऋण-प्रचक्रण को $\downarrow$ जैसे तीर से दर्शाया जा सकता है। पहले संकेतन की तुलना में दूसरे संकेतन का लाभ यह है कि इससे चारों क्वांटम संख्याओं को दर्शाया जा सकता है।

हाइड्रोजन परमाणु में केवल एक ही इलेक्ट्रॉन होता है, जो सबसे कम ऊर्जा वाले कक्षक में जाता है, जिसे $1 \mathrm{~s}$ कक्षक कहते हैं। अतः हाइड्रोजन परमाणु का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 \mathrm{~s}^{1}$ होता है। इसका अर्थ यह है कि इसके $1 \mathrm{~s}$ कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन होता है। हीलियम $(\mathrm{He})$ का दूसरा इलेक्ट्रॉन भी $1 \mathrm{~s}$ कक्षक में जा सकता है। अतः हीलियम का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 \mathrm{~s}^{2}$ होता है। जैसा ऊपर बताया गया है- दो इलेक्ट्रॉन एक-दूसरे से विपरीत प्रचक्रण में होते हैं। उसे कक्षक आरेख से देखा जा सकता है।

लीथियम (Li) का तीसरा इलेक्ट्रॉन पाउली अपवर्जन सिद्धांत के कारण $1 s$ कक्षक में नहीं जा सकता। अतः वह अगले कक्षक $2 s$ में जाता है। इस प्रकार लीथियम का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 s^{2} 2 s^{1}$ होगा। $2 \mathrm{~s}$ कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन और आ सकता है। अतः बेरिलियम परमाणु का विन्यास $1 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{~s}^{2}$ होता है (सारणी 2.6 में तत्त्वों के परमाणुओं के इलेक्ट्रॉनिक विन्यासों को देखें)।

अगले छः तत्त्वों में $2 p$ कक्षक एक-एक करके भरे जाते हैं। अतः इन तत्त्वों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार होता है- बोरॉन (B, $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{1}$ ), कार्बन (C, $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{2}$ ), नाइट्रोजन ( $\mathrm{N}, 1 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{~s}^{2} 2 p^{3}$ ), ऑक्सीजन ( $\left.\mathrm{O}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{4}\right)$, फ्लुओरीन ( $\mathrm{F}, 1 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{~s}^{2} 2 p^{5}$ ), निऑन $\left(\mathrm{Ne}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6}\right)$. $2 p$ कक्षकों को भरने की प्रक्रिया निऑन पर जाकर समाप्त होती है। इन तत्त्वों के कक्षा-चित्र आगे दर्शाए गए हैं।

सोडियम $\left(\mathrm{Na}, 1 \mathrm{~s}^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{1}\right)$ से ऑर्गन $\left(\mathrm{Ar}, 1 \mathrm{~s}^{2}\right.$ $2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6}$ ) तक के सभी तत्त्वों के परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनिक विन्यास की पद्धति $L i$ से $\mathrm{Ne}$ तक के तत्त्वों के समान होती है। यहाँ अंतर केवल यह होता है कि अब $3 \mathrm{~s}$ तथा $3 p$ कक्षक भरे जाते हैं। इस प्रक्रिया को सरल किया जा सकता है, बशर्ते पहले दो कोशों के कुल इलेक्ट्रॉनों को निऑन $(\mathrm{Ne})$ तत्त्व के नाम से निरूपित किया जाए। सोडियम से ऑर्गन तक के इलेक्ट्रॉनिक विन्यास को ऐसे लिखा जा सकता है$\left(\mathrm{Na},[\mathrm{Ne}] 3 s^{1}\right),\left(\mathrm{Ar},[\mathrm{Ne}] 3 s^{2} 3 p^{6}\right)$ । पूर्ण रूप से भरे कोशों के इलेक्ट्रॉनों को ‘क्रोड इलेक्ट्रॉन’ कहते हैं, और वे इलेक्ट्रॉन, जो उच्चतम मुख्य क्वांटम संख्या के इलेक्ट्रॉनिक कोश में भरे जाते हैं, संयोजकता इलेक्ट्रॉन कहलाते हैं। उदाहरण के लिए- $\mathrm{Ne}$ में इलेक्ट्रॉन, क्रोड इलेक्ट्रॉन हैं और $\mathrm{Na}$ से $\mathrm{Ar}$ तक इलेक्ट्रॉन संयोजी इलेक्ट्रॉन हैं। पोटैशियम (K) तथा कैल्सियम (Ca) में $3 \mathrm{~d}$ कक्षक की तुलना में $4 \mathrm{~s}$ कक्षक की ऊर्जा कम होने के कारण प्रथम और द्वितीय इलेक्ट्रॉन क्रमशः $4 s$ कक्षक में जाते हैं।

स्केंडियम से प्रारंभ करने पर एक नया लक्षण दिखाई देता है। $3 d$ कक्षक की ऊर्जा $4 p$ कक्षक की तुलना में कम होने के कारण इसमें इलेक्ट्रॉन पहले भरते हैं। परिणामस्वरूप अगले दस तत्त्वों- स्केंडियम (Sc), टाइटेनियम (Ti), वैनेडियम (V), क्रोमियम $(\mathrm{Cr})$, मैंगनीज $(\mathrm{Mn})$, आयरन $(\mathrm{Fe})$, कोबाल्ट $(\mathrm{Co})$, निकैल $(\mathrm{Ni})$, कॉपर $(\mathrm{Cu})$ तथा जिंक $(\mathrm{Zn})$ में पाँचों $3 d$ कक्षकों में इलेक्ट्रॉन उत्तरोत्तर भरे जाते हैं। हम यह देखकर चकित हो सकते हैं कि क्रोमियम तथा कॉपर में $3 d$ कक्षक में चार तथा नौ इलेक्ट्रॉनों की जगह क्रमशः पाँच और दस इलेक्ट्रॉन होते हैं। इसका कारण यह है कि आधे एवं पूरे भरे कक्षक अधिक स्थायी होते हैं, अर्थात् उनकी ऊर्जा कम होती है। $p^{3} p^{6}, d^{5}$, $d^{10}, f^{7}, f^{44}$ इत्यादि विन्यास, जिनमें कक्षक या तो आधे या पूरे भरे हैं, अधिक स्थायी होते हैं। अतः क्रोमियम तथा कॉपर में $d^{5}$ और $d^{10}$ विन्यासों को प्राथमिकता मिलती है (खण्ड 2.6.6)। ध्यान दें कि अपवाद भी मिलते हैं।

$3 d$ कक्षकों के भरने के बाद गैलियम $(\mathrm{Ga})$ से $4 p$ कक्षकों का भरना शुरू होता है और क्रिप्टन $(\mathrm{Kr})$ पर पूरा होता है। अगले 18 तत्त्वों- रूबीडियम $(\mathrm{Rb})$ से जीनॉन $(\mathrm{Xe})$ तक $5 s, 4 d$ तथा $5 p$ कक्षकों के भरने की वही पद्धति होती है, जो $4 s, 3 d$ और $4 p$ कक्षकों की थी। इसके बाद $6 \mathrm{~s}$ कक्षकों का भरना प्रारंभ होता है। सीजियम $(\mathrm{Cs})$ तथा बेरियम $(\mathrm{Ba})$ में इस कक्षक में क्रमशः एक और दो इलेक्ट्रॉन होते हैं। उसके बाद लैंथेनम $(\mathrm{La})$ से मर्करी $(\mathrm{Hg})$ तक $4 f$ और $5 d$ कक्षकों में इलेक्ट्रॉन भरे जाते हैं। इसके बाद $6 p, 7 s$ और अंततः $5 f$ एवं $6 d$ कक्षकों को भरा जाता है। यूरेनियम (U) के बाद के तत्त्व कम स्थायी होते हैं और उन्हें कृत्रिम रूप से प्राप्त किया जाता है। सारणी 2.6 में ज्ञात तत्त्वों के इलेक्ट्रॉनिक विन्यास (स्पेक्ट्रमी विधियों द्वारा निर्धारित) दिए गए हैं।

आप यह पूछ सकते हैं कि आखिर इन विन्यासों को जानने से क्या लाभ होगा? आधुनिक रसायन विज्ञान के अध्ययन में रासायनिक व्यवहार को समझने और उसकी व्याख्या करने में इलेक्ट्रॉनिक विन्यास को ही आधार माना जाता है। उदाहरण के लिए कुछ प्रश्नों, जैसे- दो या दो से अधिक परमाणु मिलकर अणु क्यों बनाते हैं,? कोई तत्त्व धातु अथवा अधातु क्यों होता है? $\mathrm{He}$ तथा $\mathrm{Ar}$ जैसे तत्त्व क्रियाशील क्यों नहीं होते हैं, जबकि हैलोजेन जैसे तत्त्व क्रियाशील होते हैं- इन सब के उत्तर इलेक्ट्रॉनिक विन्यास के आधार पर दिए जा सकते हैं। डाल्टन के परमाणु मॉडल से इनका स्पष्टीकरण नहीं किया जा सकता। अतः आधुनिक रसायन विज्ञान के कई पहलुओं को भली प्रकार समझने के लिए इलेक्ट्रॉनिक संरचना की पूरी जानकारी होना अति आवश्यक है।

2.6.6 पूर्णरूपेण पूरित एवं अर्धपूरित उप-कोशों का स्थायित्व

किसी तत्त्व का तलस्थ अवस्था इलेक्ट्रॉनिक विन्यास उसकी न्यूनतम ऊर्जा से संबंधित अवस्था होती है। अधिकांश परमाणुओं के इलेक्ट्रॉनिक विन्यास भाग 2.6 .5 में दिए मूलभूत नियमों का अनुसरण करते हैं। परंतु कुछ तत्त्वों (जैसे- $\mathrm{Cu}$ तथा $\mathrm{Cr}$ में, जहाँ दो उप-कोशों ( $4 s$ तथा $3 d$ ) की ऊर्जाओं में कम अंतर होता है) एक इलेक्ट्रॉन कम ऊर्जा वाले उपकोश $s$ से अधिक ऊर्जा वाले उपकोश में स्थानांतरित हो जाता है, बशर्ते इस स्थानांतरण से उपकोश के सभी उच्च ऊर्जा वाले कक्षक प्राप्त हों, जो पूर्णपूरित या अर्धपूरित हों। अतः $\mathrm{Cr}$ तथा $\mathrm{Cu}$ के संयोजी इलेक्ट्रॉनिक विन्यास क्रमशः $3 d^{5}, 4 s^{1}$ तथा $3 d^{10}, 4 s^{1}$ होंगे, न कि $3 d^{4}, 4 s^{2}$ तथा $3 d^{9}, 4 s^{2}$ । ऐसा पाया गया है कि इन इलेक्ट्रॉनिक विन्यासों में अतिरिक्त स्थायित्व होता है।

अर्धपूरित तथा पूर्णपूरित उप-कोशों के स्थायित्व के कारण

पूर्णपूरित तथा अर्धपूरित उपकोशों के स्थायित्व के कारण निम्नलिखित हैं-

1. इलेक्ट्रॉनों का सममित वितरण : यह भली-भाँति विदित है कि सममिति स्थायित्व प्रदान करती है। पूर्णतः भरे हुए या अर्धपूरित उपकोशों में इलेक्ट्रॉनों का वितरण सममित होता है। अतः ये अधिक स्थायी होते हैं। एक ही उपकोश में (यहाँ 3d) इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा समान होती है, परंतु उसके त्रिविम वितरण भिन्न होते हैं। फलस्वरूप ये एक-दूसरे को आपेक्षिक रूप से कम परिरक्षित करते हैं तथा इलेक्ट्रॉन नाभिक द्वारा अधिक प्रबलता से आकर्षित हो जाते हैं।

2. विनिमय ऊर्जा : यह स्थायीकरण प्रभाव तब उत्पन्न होता है, जब दो या दो से अधिक इलेक्ट्रॉन (जिनके प्रचक्रण समान होते हैं) एक उपकोश के समभ्रंश कक्षकों में उपस्थित होते हैं। ये इलेक्ट्रॉन अपना स्थान विनिमय करने की प्रवृत्ति रखते हैं। इस विनिमय के कारण मुक्त ऊर्जा, ‘विनिमय ऊर्जा’ (exchange energy) कहलाती है। संभावित विनिमयों की संख्या तब अधिकतम होती है, जब उप-कोश पूर्णत: भरे या अर्धपूरित (half filled) होते हैं (चित्र 2.18)। इसके फलस्वरूप विनिमय ऊर्जा अधिकतम होती है तथा इसी प्रकार स्थायित्व भी अधिकतम होता है।

आप देखेंगे कि यह ऊर्जा हुंड के नियम का आधार है, जिसके अनुसार- समान ऊर्जा के कक्षकों में जानेवाले इलेक्ट्रॉनों के यथासंभव समानांतर प्रचक्रण होते हैं। अन्य शब्दों में, अर्धपूरित तथा पूर्णपूरित उपकोशों का स्थायित्व (i) आपेक्षिक रूप से कम परिरक्षित, (ii) कम कूलंबिक प्रतिकर्षण ऊर्जा तथा (iii) उच्च विनियम ऊर्जा के कारण होता है। विनिमय ऊर्जा के विषय में विस्तार से आप अगली कक्षाओं में पढ़ेंगे।

चित्र 2.18 $d^{5}$ विन्यास हेतु संभावित विनिमय

सारणी 2.6 तत्वों के इलेक्ट्रॉनिक विन्यास

  • 112 तथा उससे अधिक परमाणु-संख्या वाले तत्त्व ज्ञात हैं, परंतु इनका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास यहां नहीं दिया गया है।

सारांश

परमाणु तत्त्वों के रचनात्मक भाग होते हैं। ये तत्त्व के ऐसे छोटे भाग हैं, जो रासायनिक क्रिया में भाग लेते हैं। प्रथम परमाणु सिद्धांत, जिसे जॉन डॉल्टन ने सन् 1808 में प्रतिपादित किया, के अनुसार परमाणु पदार्थ के ऐसे सबसे छोटे कण होते हैं, जिन्हें और विभाजित नहीं किया जा सकता है। उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में प्रयोगों द्वारा यह प्रमाणित हो गया कि परमाणु विभाज्य है तथा वह तीन मूल कणों (इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन तथा न्यूट्रॉन) द्वारा बना होता है। इन अव-परमाणविक कणों की खोज के बाद परमाणु की संरचना को स्पष्ट करने के लिए बहुत से परमाणु मॉडल प्रस्तुत किए गए।

सन् 1898 में थॉमसन ने कहा कि परमाणु एक समान धनात्मक विद्युत् आवेश वाला एक गोला होता है, जिस पर इलेक्ट्रॉन उपस्थित होते हैं। वह मॉडल, जिसमें परमाणु का द्रव्यमान पूरे परमाणु पर एक समान वितरित माना गया था, सन् 1909 में रदरफोर्ड के महत्त्वपूर्ण $\alpha$-कण के प्रकीर्णन प्रयोग द्वारा गलत सिद्ध हुआ। रदरफोर्ड ने यह निष्कर्ष निकाला कि परमाणु के केंद्र में बहुत छोटे आकार का धनावेशित नाभिक होता है और इलेक्ट्रॉन इसके चारों ओर वृत्ताकार कक्षों में गति करते हैं। रदरफोर्ड मॉडल, जो सौरमंडल से मिलता-जुलता था, निश्चित रूप से डाल्टन मॉडल से बेहतर था, परंतु यह परमाणु की स्थिरता की, अर्थात् यह इस बात की व्याख्या नहीं कर पाया कि इलेक्ट्रॉन नाभिक में क्यों नहीं गिर जाते हैं? इसके अलावा यह परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक संरचना, अर्थात् नाभिक के चारों ओर इलेक्ट्रॉनों के वितरण और उनकी ऊर्जा के बारे में कुछ नहीं बता सका। रदरफोर्ड मॉडल की इन कठिनाइयों को सन् 1913 में नील बोर ने हाइड्रोजन परमाणु के अपने मॉडल में दूर किया तथा यह प्रस्तावित किया कि नाभिक के चारों ओर वृत्ताकार कक्षों में इलेक्ट्रॉन गति करता है। केवल कुछ कक्षों का ही अस्तित्व हो सकता है तथा प्रत्येक कक्षा की निश्चित ऊर्जा होती है। बोर ने विभिन्न कक्षों में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा की गणना की और प्रत्येक कक्षा के लिए नाभिक और इलेक्ट्रॉन की दूरी का आकलन किया। हालाँकि बोर मॉडल हाइड्रोजन के स्पेक्ट्रम को संतोषपूर्वक स्पष्ट करता था, लेकिन यह बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के स्पेक्ट्रमों की व्याख्या नहीं कर पाया। इसका कारण बहुत जल्द ही ज्ञात हो गया। बोर मॉडल में इलेक्ट्रॉन को नाभिक के चारों ओर एक निश्चित वृत्ताकार कक्षा में गति करते हुए आवेशित कण के रूप में माना गया था। इसमें उसके तरंग जैसे लक्षणों के बारे में नहीं सोचा गया था। एक कक्षा एक निश्चित पथ होता है और इस पथ को पूरी तरह तभी परिभाषित माना जा सकता है, जब एक ही समय पर इलेक्ट्रॉन की सही स्थिति और सही वेग ज्ञात हो। हाइज़ेनबर्ग के ‘अनिश्चितता सिद्धांत’ के अनुसार ऐसा संभव नहीं है। इस प्रकार हाइड्रोजन परमाणु का बोर मॉडल न केवल इलेक्ट्रॉन के दोहरे व्यवहार की उपेक्षा करता है, बल्कि हाइज़ेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का भी विरोध करता है।

सन् 1926 में इरविन श्रोडिंजर ने एक समीकरण दिया, जिसे ‘श्रोडिंजर समीकरण’ कहा जाता है। इसके द्वारा त्रिविम में इलेक्ट्रॉन के वितरण और परमाणुओं में अनुमत ऊर्जा स्तरों का वर्णन किया जा सकता है। यह समीकरण न केवल दे ब्रॉग्ली के तरंग-कण वाले दोहरे लक्षण की संकल्पना को ध्यान में रखता है, बल्कि हाइज़ेनबर्ग के ‘अनिश्चितता सिद्धांत’ के भी संगत है। जब इस समीकरण को हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए हल किया गया, तो इलेक्ट्रॉन के संभव ऊर्जा-स्तरों और संगत तरंग फलनों (जो गणितीय फलन होते हैं) के बारे में जानकारी प्राप्त हुई। ये क्वांटित ऊर्जा-स्तर और उनके संगत तरंग-फलन जो तीन क्वांटम संख्याओं- मुख्य क्वांटम संख्या $\mathrm{n}$, दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$, और चुंबकीय क्वांटम संख्या $\mathrm{m} _{1}$ के द्वारा पहचाने जाते हैं, श्रोडिंजर समीकरण के हल के परिणामस्वरूप प्राप्त होते हैं। इन तीन क्वांटम संख्याओं के मानों पर प्रतिबंध भी श्रोडिंजर-समीकरण के हल से स्वतः प्राप्त होते हैं। हाइड्रोजन परमाणु का क्वांटम यांत्रिकीय मॉडल उसके स्पेक्ट्रम के सभी पहलुओं की व्याख्या करता है और उसके अतिरिक्त कुछ ऐसी परिघटनाओं को भी समझाता है, जो बोर मॉडल द्वारा स्पष्ट नहीं हो सकीं।

परमाणु के क्वांटम यांत्रिकीय मॉडल के अनुसार बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के इलेक्ट्रॉन-वितरण को कई कोशों में बाँटा गया है। ये कोश एक या अधिक उप-कोशों के बने हुए हो सकते हैं तथा इन उप-कोशों में एक या अधिक कक्षक हो सकते हैं, जिनमें इलेक्ट्रॉन उपस्थित होता है। हाइड्रोजन और हाइड्रोजन जैसे निकायों (उदाहरणार्थ- $\mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+}$ आदि) में किसी दिए गए कोश के सभी कक्षकों की समान ऊर्जा होती है, परंतु बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में कक्षकों की ऊर्जा $\mathrm{n}$ और $l$ के मानों पर निर्भर है। किसी कक्षक के लिए $(\mathrm{n}+l)$ का मान जितना कम होगा उसकी ऊर्जा भी उतनी ही कम होगी। यदि कोई दो कक्षकों का $(\mathrm{n}+l)$ मान समान है, तो उस कक्षक की ऊर्जा कम होगी, जिसके लिए $\mathrm{n}$ का मान कम है। किसी परमाणु में ऐसे कई कक्षक संभव होते हैं, तथा उनमें ऊर्जा के बढ़ते क्रम में इलेक्ट्रॉन पाउली के अपवर्जन सिद्धांत (किसी परमाणु में किन्हीं दो इलेक्ट्रॉनों की चारों क्वांटम-संख्या का मान समान नहीं हो सकता है) और हुंड के अधिकतम बहुकता नियम (एक उपकोश के कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों का युग्मन तब तक प्रारंभ नहीं होता, जब तक प्रत्येक कक्षक में एक-एक इलेक्ट्रॉन न आ आए) के आधार पर भरे जाते हैं। परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक संरचना इन्हीं विचारों पर आधारित है।

अभ्यास

2.1 (i) एक ग्राम भार में इलेक्ट्रॉनों की संख्या का परिकलन कीजिए।

(ii) एक मोल इलेक्ट्रॉनों के द्रव्यमान और आवेश का परिकलन कीजिए।

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2.2 (i) मेथेन के एक मोल में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की संख्या का परिकलन कीजिए।

(ii) $7 \mathrm{mg}{ }^{14} \mathrm{C}$ में न्यूट्रॉनों की (क) कुल संख्या तथा (ख) कुल द्रव्यमान ज्ञात कीजिए। (न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $=1.675 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$ मान लीजिए)

(iii) मानक ताप और दाब (STP) पर $34 \mathrm{mg} \mathrm{NH}$ में $_{3}$ प्रोटॉनों की (क) कुल संख्या और (ख) कुल द्रव्यमान बताइए।

दाब और ताप में परिवर्तन से क्या उत्तर परिवर्तित हो जाएगा?

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2.3 निम्नलिखित नाभिकों में उपस्थित न्यूट्रॉनों और प्रोटॉनों की संख्या बताइए-

${ } _{6}^{13} \mathrm{C},{ } _{8}^{16} \mathrm{O},{ } _{12}^{24} \mathrm{Mg},{ } _{26}^{56} \mathrm{Fe},{ } _{38}^{88} \mathrm{Sr}$

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2.4 नीचे दिए गए परमाणु द्रव्यमान $(\mathrm{A})$ और परमाणु संख्या $(\mathrm{Z})$ वाले परमाणुओं का पूर्ण प्रतीक लिखिए-

(i) $\mathrm{Z}=17, \mathrm{~A}=35$.

(ii) $Z=92, \mathrm{~A}=233$.

(iii) $\mathrm{Z}=4, \mathrm{~A}=9$.

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2.5 सोडियम लैम्प द्वारा उत्सर्जित पीले प्रकाश की तरंग-दैर्घ्य $(\lambda) 580 \mathrm{~nm}$ है। इसकी आवृत्ति $(v)$ और तरंग-संख्या $(\bar{v})$ का परिकलन कीजिए।

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2.6 प्रत्येक ऐसे फोटॉन की ऊर्जा ज्ञात कीजिए-

(i) जो $3 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$ आवृत्ति वाले प्रकाश के संगत हो।

(ii) जिसकी तरंग-दैर्घ्य $0.50 \mathring{A}$ हो।

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2.7 $2 .0 \times 10^{-10} \mathrm{~s}$ काल वाली प्रकाश तरंग की तरंग-दैर्घ्य, आवृत्ति और तरंग-संख्या की गणना कीजिए।

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2.8 ऐसा प्रकाश, जिसकी तरंग-दैर्घ्य $4000 \mathrm{pm}$ हो और जो $1 \mathrm{~J}$ ऊर्जा दे, के फोटॉनों की संख्या बताइए।

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2.9 यदि $4 \times 10^{-7} \mathrm{~m}$ तरंग-दैर्घ्य वाला एक फोटॉन $2.13 \mathrm{eV}$ कार्यफलन वाली धातु की सतह से टकराता है, तोn (i) फोटॉन की ऊर्जा ( $\mathrm{eV}$ में) (ii) उत्सर्जन की गतिज ऊर्जा और (iii) प्रकाशीय इलेक्ट्रॉन के वेग का परिकलन कीजिए $\left(1 \mathrm{eV}=1.6020 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right)$ ।

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2.10 सोडियम परमाणु के आयनन के लिए $242 \mathrm{~nm}$ तरंग-दैर्घ्य की विद्युत्-चुंबकीय विकिरण पर्याप्त होती है। सोडियम की आयनन ऊर्जा $\mathrm{kJ} \mathrm{mol}^{-1}$ में ज्ञात कीजिए।

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2.11 25 वॉट का एक बल्ब $0.57 \mu \mathrm{m}$ तरंग-दैर्घ्य वाले पीले रंग का एकवर्णी प्रकाश उत्पन्न करता है। प्रति सेकंड क्वांटा के उत्सर्जन की दर ज्ञात कीजिए।

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2.12 किसी धातु की सतह पर $6800 \mathring{A}$ तरंग-दैर्घ्य वाली विकिरण डालने से शून्य वेग वाले इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं। धातु की देहली आवृत्ति $\left(v_{0}\right)$ और कार्यफलन $\left(\mathrm{W} _{0}\right)$ ज्ञात कीजिए।

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2.13 जब हाइड्रोजन परमाणु के $\mathrm{n}=4$ ऊर्जा स्तर से $\mathrm{n}=2$ ऊर्जा स्तर में इलेक्ट्रॉन जाता है, तो किस तरंग-दैर्घ्य का प्रकाश उत्सर्जित होगा?

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2.14 यदि इलेक्ट्रॉन $\mathrm{n}=5$ कक्षक में उपस्थित हो, तो $\mathrm{H}$ परमाणु के आयनन के लिए कितनी ऊर्जा की आवश्यकता होगी? अपने उत्तर की तुलना हाइड्रोजन परमाणु के आयनन एन्थैल्पी से कीजिए। (आयनन एन्थैल्पी $n=1$ कक्षक से इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा होती है।)

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2.15 जब हाइड्रोजन परमाणु में उत्तेजित इलेक्ट्रॉन $\mathrm{n}=6$ से मूल अवस्था में जाता है, तो प्राप्त उत्सर्जित रेखाओं की अधिकतम संख्या क्या होगी?

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2.16 (i) हाइड्रोजन के प्रथम कक्षक से संबंधित ऊर्जा $-2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J} \mathrm{atom}^{-1}$ है। पाँचवें कक्षक से संबंधित ऊर्जा बताइए।

(ii) हाइड्रोजन परमाणु के पाँचवें बोर कक्षक की त्रिज्या की गणना कीजिए।

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2.17 हाइड्रोजन परमाणु की बामर श्रेणी में अधिकतम तरंग-दैर्घ्य वाले संक्रमण की तरंग-संख्या की गणना कीजिए।

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2.18 हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन को पहली कक्ष से पाँचवीं कक्ष तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा की जूल में गणना कीजिए। जब यह इलेक्ट्रॉन तलस्थ अवस्था में लौटता है, तो किस तरंग-दैर्घ्य का प्रकाश उत्सर्जित होगा? (इलेक्ट्रॉन की तलस्थ अवस्था ऊर्जा $-2.18 \times 10^{-11} \mathrm{ergs}$ है)।

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2.19 हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_{n}=\left(-2.18 \times 10^{-18}\right) / \mathrm{n}^{2} \mathrm{~J}$ द्वारा दी जाती है। $\mathrm{n}=2$ कक्षा से इलेक्ट्रॉन को पूरी तरह निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा की गणना कीजिए। प्रकाश की सबसे लंबी तरंग-दैर्घ्य ( $\mathrm{cm}$ में) क्या होगी, जिसका उपयोग इस संक्रमण में किया जा सके।

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2.20 $2 .05 \times 10^{7} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ वेग से गति कर रहे किसी इलेक्ट्रॉन का तरंग-दैर्घ्य क्या होगा?

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2.21 इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$ हैं। यदि इसकी गतिज ऊर्जा $3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~J}$ हो, तो इसकी तरंग-दैर्घ्य की गणना कीजिए।

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2.22 निम्नलिखित में से कौन सम-आयनी स्पीशीज़ हैं, अर्थात् किनमें इलेक्ट्रॉनों की समान संख्या है?

$\mathrm{Na}^{+}, \mathrm{K}^{+}, \mathrm{Mg}^{2+}, \mathrm{Ca}^{2+}, \mathrm{S}^{2-}, \mathrm{Ar}$

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2.23 (i) निम्नलिखित आयनों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास लिखिए - (क) $\mathrm{H}^{-}$ (ख) $\mathrm{Na}^{+}$ (ग) $\mathrm{O}^{2-}$ (घ) $\mathrm{F}^{-}$

(ii) उन तत्त्वों की परमाणु-संख्या बताइए, जिनके सबसे बाहरी इलेक्ट्रॉनों को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जाता है - (क) $3 \mathrm{~s}^{1}$ (ख) $2 p^{3}$ तथा (ग) $3 p^{5}$ ?

(iii) निम्नलिखित विन्यासों वाले परमाणुओं के नाम बताइए - (क) $[\mathrm{He}] 2 s^{1}$ (ख) $[\mathrm{Ne}] 3 \mathrm{~s}^{2} 3 p^{3}$ (ग) [Ar] $4 s^{2} 3 d^{1}$.

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2.24 किस निम्नतम $n$ मान द्वारा $\mathrm{g}$ कक्षक का अस्तित्व अनुमत होगा?

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2.25 एक इलेक्ट्रॉन किसी $3 d$ कक्षक में है। इसके लिए $n, l$ और $m_{l}$ के संभव मान दीजिए।

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2.26 किसी तत्त्व के परमाणु में 29 इलेक्ट्रॉन और 35 न्यूट्रॉन हैं। (i) इसमें प्रोटॉनों की संख्या बताइए। (ii) तत्त्व का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास बताइए।

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2.27 $\mathrm{H} _{2}^{+}, \mathrm{H} _{2}$ और $\mathrm{O} _{2}^{+}$स्पीशीज़ में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की संख्या बताइए।

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2.28 (i) किसी परमाणु कक्षक का $n=3$ है। उसके लिए $l$ और $2 m_{l}$ के संभव मान क्या होंगे?

(ii) $3 d$ कक्षक के इलेक्ट्रॉनों के लिए $m_{l}$ और $l$ क्वांटम संख्याओं के मान बताइए।

(iii) निम्नलिखित में से कौन से कक्षक संभव हैं -

$1 p, 2 s, 2 p$ और $3 f$

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2.29 $\mathrm{~s}, \mathrm{p}, \mathrm{d}$ संकेतन द्वारा निम्नलिखित क्वांटम संख्याओं वाले कक्षकों को बताइए - (क) $n=1, l=0$ (ख) $n=3 ; l=1$ (ग) $n=4 ; l=2$ (घ) $n=4 ; l=3$

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2.30 कारण देते हुए बताइए कि निम्नलिखित क्वांटम संख्या के कौन से मान संभव नहीं हैं -

(क) $n=0$, $l=0$, $m_{l}=0$, $m_{s}=+1 / 2$

(ख) $\mathrm{n}=1$, $\mathrm{ml}=0$, $\mathrm{ms}=-1 / 2$

(ग) $\mathrm{n}=1$, $m_{l}=0$, $m_{s}=+1 / 2$

(घ) $n=2$, $l=1$, $m_{l}=0$, $m_{s}=-1 / 2$

(ङ) $\mathrm{n}=3$, $1=3$, $\mathrm{ml}=-3$, $\mathrm{ms}=+1 / 2$

(च) $\mathrm{n}=3$, $l=1$, $m_{l}=0$, $m_{s}=+1 / 2$

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2.31 किसी परमाणु में निम्नलिखित क्वांटम संख्याओं वाले कितने इलेक्ट्रॉन होंगे? (क) $n=4, m_{s}=-1 / 2$ (ख) $n=3, l=0$

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2.32 यह दर्शाइए कि हाइड्रोजन परमाणु की बोर कक्षा की परिधि उस कक्षा में गतिमान इलेक्ट्रॉन की दे-ब्राग्ली तरंग-दैर्घ्य का पूर्ण गुणक होती है।

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2.33 $\mathrm{He}^{+}$स्पेक्ट्रम के $n=4$ से $n=2$ बामर संक्रमण से प्राप्त तंरग-दैर्ध्य के बराबर वाला संक्रमण हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में क्या होगा?

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2.34 $\mathrm{He}^{+}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{He}^{2+}(\mathrm{g})+\mathrm{e}^{-}$प्रक्रिया के लिए आवश्यक ऊर्जा की गणना कीजिए। हाइड्रोजन परमाणु की तलस्थ अवस्था में आयनन ऊर्जा $2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J} \mathrm{atom}^{-1}$ है।

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2.35 यदि कार्बन परमाणु का व्यास $0.15 \mathrm{~nm}$ है, तो उन कार्बन परमाणुओं की संख्या की गणना कीजिए, जिन्हें $20 \mathrm{~cm}$ स्केल की लंबाई में एक-एक करके व्यवस्थित किया जा सकता है।

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2.36 कार्बन के $2 \times 10^{8}$ परमाणु एक कतार में व्यवस्थित हैं। यदि इस व्यवस्था की लंबाई $2.4 \mathrm{~cm}$ है, तो कार्बन परमाणु के व्यास की गणना कीजिए।

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2.37 ज़िंक परमाणु का व्यास $2.6 \mathring{A}$ है - (क) ज़िंक परमाणु की त्रिज्या $\mathrm{pm}$ में तथा (ख) $1.6 \mathrm{~cm}$ की लंबाई में कतार में लगातार उपस्थित परमाणुओं की संख्या की गणना कीजिए।

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2.38 किसी कण का स्थिर विद्युत् आवेश $2.5 \times 10^{-16} \mathrm{C}$ है। इसमें उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की संख्या की गणना कीजिए।

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2.39 मिलिकन के प्रयोग में तेल की बूँद पर चमकती $\mathrm{X}$-किरणों द्वारा प्राप्त स्थैतिक विद्युत्-आवेश प्राप्त किया जाता है। तेल की बूँद पर यदि स्थैतिक विद्युत् आवेश $-1.282 \times 10^{-18} \mathrm{C}$ है, तो इसमें उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की संख्या की गणना कीजिए।

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2.40 रदरफ़ोर्ड के प्रयोग में सोने, प्लैटिनम आदि भारी परमाणुओं की पतली पत्ती को $\alpha$ कणों द्वारा बमबारी की जाती है। यदि ऐलुमिनियम आदि जैसे हल्के परमाणु की पतली पन्नी ली जाए, तो उपरोक्त परिणामों में क्या अंतर होगा?

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2.41 ${ } _{35}^{79} \mathrm{Br}$ तथा ${ }^{79} \mathrm{Br}$ प्रतीक मान्य है, जबकि ${ } _{79}^{35} \mathrm{Br}$ तथा ${ }^{35} \mathrm{Br}$ मान्य नहीं है। संक्षेप में कारण बताइए।

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2.42 एक 81 द्रव्यमान संख्या वाले तत्त्व में प्रोटॉनों की तुलना में $31.7 %$ न्यूट्रॉन अधिक है। इसका परमाणु प्रतीक लिखिए।

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2.43 37 द्रव्यमान संख्या वाले एक आयन पर ॠणावेश की एक इकाई है। यदि आयन में इलेक्ट्रॉन की तुलना में न्यूट्रॉन $11.1 %$ अधिक है, तो आयन का प्रतीक लिखिए।

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2.44 56 द्रव्यमान संख्या वाले एक आयन पर धनावेश की 3 इकाई हैं, और इसमें इलेक्ट्रॉन की तुलना में $30.4 %$ न्यूट्रॉन अधिक हैं। इस आयन का प्रतीक लिखिए।

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2.45 निम्नलिखित विकिरणों के प्रकारों को आवृत्ति के बढ़ते हुए क्रम में व्यवस्थित कीजिए - (क) माइक्रोवेव ओवन (oven) से विकिरण (ख) यातायात-संकेत से त्रणमणि (amber) प्रकाश (ग) एफ.एम. रेडियो से प्राप्त विकिरण (ध) बाहरी दिक् से कौसमिक किरणें (च) $\mathrm{X}$-किरणें

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2.46 नाइट्रोजन लेज़र $337.1 \mathrm{~nm}$ की तरंग-दैर्घ्य पर एक विकिरण उत्पन्न करती है। यदि उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $5.6 \times 10^{24}$ हो, तो इस लेज़र की क्षमता की गणना कीजिए।

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2.47 निऑन गैस को सामान्यतः संकेत बोर्डों में प्रयुक्त किया जाता है। यदि यह $616 \mathrm{~nm}$ पर प्रबलता से विकिरण-उत्सर्जन करती है, तो (क) उत्सर्जन की आवृत्ति (ख) 30 सेकंड में इस विकिरण द्वारा तय की गई दूरी (ग) क्वांटम की ऊर्जा तथा (घ) उपस्थित क्वांटम की संख्या की गणना कीजिए (यदि यह $2 \mathrm{~J}$ की ऊर्जा उत्पन्न करती है)।

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2.48 खगोलीय प्रेक्षणों में दूरस्थ तारों से मिलने वाले संकेत बहुत कमज़ोर होते हैं। यदि फोटॉन संसूचक $600 \mathrm{~nm}$ के विकरण से कुल $3.15 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$ प्राप्त करता है, तो संसूचक द्वारा प्राप्त फोटॉनों की संख्या की गणना कीजिए।

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2.49 उत्तेजित अवस्थाओं में अणुओं के जीवनकाल का माप प्रायः लगभग नेनो सेकंड परास वाले विकिरण स्रोत का उपयोग करके किया जाता है। यदि विकिरण स्रोत का काल $2 \mathrm{~ns}$ और स्पंदित विकिरण स्रोत के दौरान उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $2.5 \times 10^{15}$ है, तो स्रोत की ऊर्जा की गणना कीजिए।

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2.50 सबसे लंबी द्विगुणित तरंग-दैर्घ्य जिंक अवशोषण संक्रमण 589 और $589.6 \mathrm{~nm}$ पर देखा जाता है। प्रत्येक संक्रमण की आवृत्ति और दो उत्तेजित अवस्थाओं के बीच ऊर्जा के अंतर की गणना कीजिए।

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2.51 सीज़ियम परमाणु का कार्यफलन $1.9 \mathrm{eV}$ है, तो (क) उत्सर्जित विकिरण की देहली तरंग-दैर्घ्य (ख) देहली आवृत्ति की गणना कीजिए। यदि सीज़ियम तत्त्व को $500 \mathrm{~nm}$ की तरंग-दैर्घ्य के साथ विकीर्णित किया जाए, तो निकले हुए फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा और वेग की गणना कीजिए।

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2.52 जब सोडियम धातु को विभिन्न तरंग-दैर्घ्यों के साथ विकीर्णित किया जाता है, तो निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं -

$$ \begin{array}{llll} \lambda(\mathrm{nm}) & 500 & 450 & 400 \\ \mathrm{v} \times 10^{-5}\left(\mathrm{~cm} \mathrm{~s}^{-1}\right) & 2.55 & 4.35 & 5.35 \end{array} $$ देहली तरंग-दैर्घ्य प्लांक स्थिरांक की गणना कीजिए।

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2.53 प्रकाश विद्युत् प्रभाव प्रयोग में सिल्वर धातु से फोटोइलेक्ट्रॉन का उत्सर्जन $0.35 \mathrm{~V}$ की वोल्टता द्वारा रोका जा सकता है। जब $256.7 \mathrm{~nm}$ के विकिरण का उपयोग किया जाता है, तो सिल्वर धातु के लिए कार्यफलन की गणना कीजिए।

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2.54 यदि $150 \mathrm{pm}$ तरंग-दैर्घ्य का फोटॉन एक परमाणु से टकराता है और इसके अंदर बँधा हुआ इलेक्ट्रॉन $1.5 \times 10^{7} \mathrm{~ms}^{-1}$ वेग से बाहर निकलता है तो उस ऊर्जा की गणना कीजिए, जिससे यह नाभिक से बँधा हुआ है।

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2.55 पाशन श्रेणी का उत्सर्जन संक्रमण $n$ कक्ष से आरंभ होता है। कक्ष $n=3$ में खत्म होता है तथा इसे $v=3.29$ $\times 10^{15}(\mathrm{~Hz})\left[1 / 3^{2}-1 / \mathrm{n}^{2}\right]$ से दर्शाया जा सकता है।

यदि संक्रमण $1285 \mathrm{~nm}$ पर प्रेक्षित होता है, तो $n$ के मान की गणना कीजिए तथा स्पेक्ट्रम का क्षेत्र बताइए।

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2.56 उस उत्सर्जन संक्रमण के तरंग-दैर्घ्य की गणना कीजिए, जो $1.3225 \mathrm{~nm}$ त्रिज्या वाले कक्ष से आरंभ और 211.6 $\mathrm{pm}$ पर समाप्त होता है। इस संक्रमण की श्रेणी का नाम और स्पेक्ट्रम का क्षेत्र भी बताइए।

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2.57 दे ब्राग्ली द्वारा प्रतिपादित द्रव्य के दोहरे व्यवहार से इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की खोज हुई, जिसे जैव अणुओं और अन्य प्रकार के पदार्थों की अति आवर्धित प्रतिबिंब के लिए उपयोग में लाया जाता है। इस सूक्ष्मदर्शी में यदि इलेक्ट्रॉन का वेग $1.6 \times 10^{6} \mathrm{~ms}^{-1}$ है, तो इस इलेक्ट्रॉन से संबंधित दे ब्राग्ली तरंग-दैर्घ्य की गणना कीजिए।

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2.58 इलेक्ट्रॉन विवर्तन के समान न्यूट्रॉन विवर्तन सूक्ष्मदर्शी को अणुओं की संरचना के निर्धरण में प्रयुक्त किया जाता है। यदि यहाँ $800 \mathrm{pm}$ की तरंग-दैर्घ्य ली जाए, तो न्यूट्रॉन से संबंधित अभिलाक्षणिक वेग की गणना कीजिए।

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2.59यदि बोर के प्रथम कक्ष में इलेक्ट्रॉन का वेग $2.9 \times 10^{6} \mathrm{~ms}^{-1}$ है, तो इससे संबंधित दे ब्रॉग्ली तरंग-दैर्घ्य की गणना कीजिए।

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2.60 एक प्रोटॉन, जो $1000 \mathrm{~V}$ के विभवांतर में गति कर रहा है, से संबंधित वेग $4.37 \times 10^{5} \mathrm{~ms}^{-1}$ है। यदि $0.1 \mathrm{~kg}$ द्रव्यमान की हॉकी की गेंद इस वेग से गतिमान है, तो इससे संबंधित तरंग-दैर्घ्य की गणना कीजिए।

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2.61 यदि एक इलेक्ट्रॉन की स्थिति को $\pm 0.002 \mathrm{~nm}$ की शुद्धता से मापी जाती है, तो इलेक्ट्रॉन के संवेग में अनिश्चितता की गणना कीजिए। यदि इलेक्ट्रॉन का संवेग $\mathrm{h} / 4 \pi_{\mathrm{m}} \times 0.05 \mathrm{~nm}$ है, तो क्या इस मान को निकालने में कोई कठिनाई होगी?

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2.62 छः इलेक्ट्रॉन की क्वांटम संख्या नीचे दी गई है। इन्हें ऊर्जा के बढ़ते क्रम में व्यवस्थित कीजिए। क्या इनमें से किसी की ऊर्जा समान है?

  1. $n=4, l=2, m_{l}=-2, m_{\mathrm{s}}=-1 / 2$
  2. $n=3, l=2, m_{l}=1, m_{\mathrm{s}}=+1 / 2$
  3. $n=4, l=1, m_{l}=0, m_{\mathrm{s}}=+1 / 2$
  4. $n=3, l=2, m_{l}=-2, m_{\mathrm{s}}=-1 / 2$
  5. $n=3, l=1, m_{l}=-1, m_{\mathrm{s}}=+1 / 2$
  6. $n=4, l=1, m_{l}=0, m_{\mathrm{s}}=+1 / 2$
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2.63 ब्रोमीन परमाणु में 35 इलेक्ट्रॉन होते हैं। इसके $2 p$ कक्षक में छः इलेक्ट्रॉन, $3 p$ कक्षक में छः इलेक्ट्रॉन तथा $4 p$ कक्षक में पाँच इलेक्ट्रॉन होते हैं। इनमें से कौन सा इलेक्ट्रॉन न्यूनतम प्रभावी नाभिकीय आवेश अनुभव करता है?

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2.64 निम्नलिखित में से कौन सा कक्षक उच्चप्रभावी नाभिकीय आवेश अनुभव करेगा? (i) $2 s$ और $3 s$, (ii) $4 d$ और $4 f$ तथा (iii) $3 d$ और $3 p$.

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2.65 $\mathrm{A} l$ तथा $\mathrm{S} i$ में $3 p$ कक्षक में अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं। कौन सा इलेक्ट्रॉन नाभिक से अधिक प्रभावी नाभिकीय आवेश अनुभव करेगा?

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2.66 इन अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या बताइए (क) $P$ (ख) $\mathrm{Si}$ (ग) $\mathrm{Cr}$ (घ) $\mathrm{Fe}$ (ङ) $\mathrm{Kr}$

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2.67 (क) $n=4$ से संबंधित कितने उपकोश हैं? (ख) उस उपकोश में कितने इलेक्ट्रॉन उपस्थित होंगे, जिसके लिए $m_{S}=-\frac{1}{2}$ एवं $n=4$ हैं।

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