$|x|= \begin{cases}x, x \geq 0 \\ -x, x<0, x \in \R \end{cases}$

Some results on inequations involving modulus of the variables

If $a \in(0, \infty)$, then

(I) $|x|

(II) $|x| \leqslant a \Leftrightarrow-a \leqslant x \leqslant a$ is $x \in[-a, a]$

If $a \in(0, \infty)$, then

I. $|x|>a \Leftrightarrow x<-a, \text { or } x>a$

$\text { i.e. } x \in(-\infty,-a) \cup (a, \infty)$

II.

$|x| \geqslant a \Leftrightarrow x \leqslant-a \text { or } x \geqslant a$

$\text { i.e. } x \in(-\infty,-a] \cup [a, \infty)$

Let $r$ be positive real number and $a$ be a fixed real number then

(i) $|x-a|

i. e. $x \in(a-r, a+r)$

(ii) $|x-a| \leqslant r \Leftrightarrow a-r \leqslant x \leqslant a+r$ i.e. $x \in[a-r, a+r]$

(iii) $|x-a|>r \Leftrightarrow xa+r$

(iv) $|x-a| \geqslant r \Leftrightarrow x \leqslant a-r$ or $x \geqslant a+r$

Let $a, b \in(0, \infty)$, then

(i) $a<|x|

(ii) $a \leqslant|x| \leqslant b \Leftrightarrow x \in[-b,-a] \cup[a, b]$

Solve $|3 x-2| \leqslant \frac{1}{2}, x \in \R$

Solution

$\quad$ $|x| \leq a$

$\Rightarrow-a \leq x \leq a$

$\therefore|3 x-2| \leq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow-\frac{1}{2} \leq 3 x-2 \leqslant \frac{1}{2}$

$\Rightarrow -\frac{1}{2}+2 \leqslant 3 x \leqslant \frac{1}{2}+2$

$\Rightarrow \frac{3}{2} \leqslant 3 x \leqslant \frac{5}{2}$

$\Rightarrow \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} \leqslant \frac{3 x}{3} \leqslant \frac{5}{2} \times \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{5}{6}$

$\Rightarrow x \in\left[\frac{1}{2}, \frac{5}{6}\right]$

Solve $|x-2| \geqslant 5, x \in \R$.

Solution

$|x-2| \geqslant 5$

we know that

$|x| \geqslant a$

$\Rightarrow x \leqslant-a$ or $x \geqslant a$

$\therefore |x-2| \geqslant 5$

$\Rightarrow (x-2) \leqslant-5 \text { or }(x-2) \geqslant 5$

$\Rightarrow (x-2) \leqslant-5 \text { or }(x-2) \geqslant 5$

$\Rightarrow x-2+2 \leqslant-5+2 \text { or } x-2+2 \geqslant 5+2$

$\Rightarrow x \leqslant-3 \text { or } x \geqslant 7$

$\Rightarrow x \in(-\infty,-3] \text { or } x \in[7, \infty)$

$\Rightarrow x \in(-\infty,-3] \cup[7, \infty)$

Solve the system of inequations

$|x-1| \leqslant 5, |x| \geqslant 2$

Solution

Given: $|x-1| \leqslant 5$ $\longrightarrow (i)$ &

$|x| \geqslant 2$ $\longrightarrow (ii)$

from (i), $\ |x-1| \leqslant 5$

$\Rightarrow-5 \leqslant(x-1) \leqslant 5$

$|x| \leqslant a\Leftrightarrow-a \leqslant x \leqslant 0$
$\Rightarrow -5+1 \leqslant x \leqslant 5+1$ $\Rightarrow -4 \leqslant x \leqslant 6 \longrightarrow (i)$

$\text { from } (ii) x \in[-4,6]$

$|x| \geqslant 2$

$|x| \geqslant a\Leftrightarrow x \leqslant a$ $\text{or}$ $x \geqslant a$

$\Rightarrow x\leqslant - 2$ or $x\geqslant 2$

$\Rightarrow x \in(-\infty,-2] \cup[2, \infty)$

from (i) $|x-1| \leqslant 5 \Rightarrow x \in[-4,6]$

from (ii) $|x| \geqslant 2 \Rightarrow x \in(-\infty,-2] \cup[2, \infty)$

Combining solution (i) & (ii), we get

Solution set =$[-4,-2] \cup[2,6]$

Solve $1 \leqslant|x-2| \leqslant 3$

Solution

We know that

$a \leqslant|x-c| \leqslant b$

$\Leftrightarrow x \in[-b+c,-a+c] \cup[a+c, b+c]$

Given inequation

$1 \leq|x-2| \leqslant 3$

$\Rightarrow \quad x \in[-3+2,-1+2] \cup[1+2,3+2]$

$\Rightarrow x \in[-1,1] \cup[3,5]$

$\therefore$ solution set for the given inequation

$1 \leqslant|x-2| \leqslant 3 \text { is }$

$x \in[-1,1] \cup[3,5]$

Solve $\frac{|x|-1}{|x|-2} \geqslant 0, \quad x \in \R, \ \ x \neq \pm 2$

Solution Given : $\frac{|x|-1}{|x|-2} \geqslant 0$ Let $|x| = z$

$\Rightarrow \frac{z-1}{z-2} \geqslant 0$

$\Rightarrow z \leqslant 1 \text { or } z>2$

(i) $ \frac{x-a}{x-b} \geqslant 0, a

$\Rightarrow x \leqslant a \text { a } x \geqslant b$

$\Rightarrow|x| \leqslant 1 \text { or }|x|>2$

$\Rightarrow(-1 \leqslant x \leqslant 1) \text { or }(x \leqslant-2 \text { or } x>2)$

$\Rightarrow x \in[-1,1] \text { or } x \in(-\infty,-2) \cup(2, \infty)$

On the basis of solution represented on number line

Solution set $=[-1,1] \cup(-\infty,-2) \cup(2, \infty)$

$\text { Solve: } \frac{-1}{|x|-2} \geqslant 1, \quad \begin{array}{l}x \in \R, \ x \neq \pm 2\end{array}$

Solution Given: $\frac{-1}{|x|-2} \geqslant 1$

$\quad \text { Let }|x|=z$

$\Rightarrow \quad \frac{-1}{z-2} \geqslant 1$

$\Rightarrow \quad-1 \geqslant z-2$
$\Rightarrow -1(-1) \leqslant-1(z-2)$

$\Rightarrow 1 \leqslant 2-z$

$\Rightarrow 2-z \geq 1$

$\Rightarrow z-2 \leqslant-1$

$\Rightarrow z-2+2 \leqslant-1+2$

$\Rightarrow \quad z \leqslant 1$

$\Rightarrow |x| \leqslant 1$

$\Rightarrow-1 \leqslant x \leqslant 1$

$\therefore$ Solution for the given inequalities

$x \in[-1,1]$

Solve the inequation:

$\left|\frac{2}{x-4}\right|>1, x \neq 4$

Solution
Given inequation

$\mid\frac{2}{ x-4} \mid>1$

$\Rightarrow \frac{2}{|x-4|}>1$

$\Rightarrow \quad 2>|x-4|$

$\Rightarrow \quad|x-4|<2$

$ \Rightarrow 4-2

$\quad|x-a|

$ \Rightarrow 2

$\Rightarrow \quad x \in(2,6) \text {, but } x \neq 4$

$\Rightarrow \quad x \in(2,4) \cup(4,6)$

Solution Set : $(2,4) \cup (4,6)$

Solve: $|x-1|+|x-2| \geqslant 4$

Solution

Given inequation, $|x-1|+|x-2| \geqslant 4$

$\text { put } x-1=0$ & $x-2=0$

$\Rightarrow x=1,2$

We will discuss in three intervals

i.e. $(-\infty, 1),[1,2),[2, \infty)$

Case I: When $x \in(-\infty, 1)$

$|x-1|=-(x-1)$

$|x-2|=-(x-2)$

$\therefore|x-1|+|x-2| \geqslant 4$

$\Rightarrow-(x-1)-(x-2) \geqslant 4$

$|x| =x, x \geqslant 0$

$=-x, x<0$

$\Rightarrow \quad-2 x+3 \geqslant 4$

$\Rightarrow \quad-2 x \geqslant 4-3$

$\Rightarrow \quad-2 x \geqslant 1$

$\Rightarrow \quad 2 x \leqslant-1$

$\Rightarrow \quad x \leqslant-\frac{1}{2} \Rightarrow x \in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right]$

$\Rightarrow \quad \text { but } x \in(-\infty, 1)$

$\Rightarrow x \in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right]$ -(i)

Case II: when $x \in[1,2)$

$|x-1|=(x-1)$

$|x-2|=-(x-2)$

$\therefore |x-1|+|x-2| \geqslant 4$

$\Rightarrow (x-1)-(x-2) \geqslant 4$

$\Rightarrow 1 \geqslant 4,$

Which is absurd result

$\therefore$ No solution exist for the given inequation in [1,2).

Case-III: When $x \in[2, \infty)$

$\therefore |x-1|=(x-1)$

$|x-2|=(x-2)$

$\therefore |x-1|+|x-2| \geqslant 4$

$\Rightarrow (x-1)+(x-2) \geqslant 4$

$\Rightarrow 2 x-3 \geqslant 4$
$\Rightarrow 2 x \geqslant 7$

$\Rightarrow \quad x \geqslant \frac{7}{2}$

$\Rightarrow \quad x \in\left[\frac{7}{2}, \infty\right)$

Case I: $\quad x \in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right]$

Case-II: No Solution-

Case-III: $\quad x \in\left[\frac{7}{2}, \infty\right)$

Combining cases I, II & III we get

$x \in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right] \cup\left[\frac{7}{2}, \infty\right)$

$\therefore \text { Solution set }=\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right] \cup\left[\frac{7}{2}, \infty\right)$