ncert-class12-day5-chap1-relations-and-functions--theory-part-3-

<p style="font-size:40px ; color:red">
<marquee behavior="scroll" direction="left">Acknowledgement and Disclaimer</marquee></p>

$\quad$ $\quad$ **Acknowledgements and Disclaimer !!**

• The images/contents are used for teaching purpose. The copyright remains with the original creator. If you suspect a violation, bring it to my notice and we will remove that part...

</div>

$\quad$ $\qquad$ **अभिस्वीकृति और अस्वीकरण !!**

- चित्रों/सामग्री का उपयोग शिक्षण उद्देश्य के लिए किया जाता है। कॉपीराइट मूल निर्माता के पास रहता है। यदि आपको किसी उल्लंघन का संदेह है, तो इसे हमारे ध्यान में लाएं और हम उस हिस्से को हटा देंगे...

</div>

======

$\quad$

#### <Primary style = "float:center; text-align:center;"><B>Relations and Functions: <br> Functions </B></Primary>

======
<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Outline</B></Primary>

- Composition of Functions

- Invertible function

- Equality of functions

- Questions

</div>

- फलनों की संक्रिया

- प्रतिलोम फलन

- फलनों की तुल्यता

- प्रश्न

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Composition of functions</B></Primary>

<hr>

<main>

Let f : A → B and g : B → C be two functions. Then the composition of
f and g, denoted by gof, is defined as the function gof : A → C given by

gof (x) = g(f (x)), ∀ x ∈ A.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

मान लीजिए कि f: AB तथा g: BC दो फलन हैं। तब और g का संयोजन, gof द्वारा निरूपित होता है, तथा फलन gof: AC, gof (x) = g(f(x)), xe A द्वारा परिभाषित होता है।

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;font-size:18px'>

<hr>

<footer> <span style="color:blue">Composition of Functions</span> $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  Questions   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

Let f : {2, 3, 4, 5} → {3, 4, 5, 9} and g : {3, 4, 5, 9} → {7, 11, 15} be
functions defined as

f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = f(5) = 5 and g (3) = g (4) = 7 and
g (5) = g (9) = 11.

Find gof.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

मान लीजिए कि f: (2,3,4,5) (3,4,5,9) और g: (3,4,5,9) (7,11,15) दो फलन इस प्रकार हैं कि
 
 f(2)= 3,f(3) = 4, f(4) = f(5) = 5 और g (3) = g (4) = 7 तथा g (5) = g (9) = 11, 
 
 तो gof ज्ञात कीजिए।

</div>

</main>

<hr>

<footer> <span style="color:blue">Composition of Functions</span> $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  Questions   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

Find gof and fog, if f : R → R and g : R → R are given by f(x) = cos x
and g (x) = $3x^2$.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

यदि f: RR तथा g: RR फलन क्रमशः f(x) = cos x तथा g(x) = 3x² द्वारा परिभाषित है तो gof और fog ज्ञात कीजिए।
</div>

</main>

<hr>

<footer> <span style="color:blue">Composition of Functions</span> $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  Questions   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Invertible function </B></Primary>

<hr>

<main>

A function f : X → Y is defined to be invertible, if there exists a function
g : Y → X such that gof = $I_ x$ and fog = $I_y$. The function g is called the inverse of f andis denoted by $f^{–1}$

Thus, if f is invertible, then f must be one-one and onto and conversely, if f is
one-one and onto, then f must be invertible.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

फलन f: X → Y व्युत्क्रमणीय (Invertible) कहलाता है, यदि एक फलन
g: Y→X का अस्तित्व इस प्रकार है कि gof = I तथा fog = I है। फलन 8 को फलन f का प्रतिलोम (Inverse) कहते हैं और इसे प्रतीक f द्वारा प्रकट करते हैं।

अतः, यदि ƒ व्युत्क्रमणीय है, तो f अनिवार्यतः एकैकी तथा आच्छादक होता है और विलोमतः,
यदि f एकैकी तथा आच्छादक है, तो f अनिवार्यतः व्युत्क्रमणीय होता है। 
</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;font-size:18px'>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ <span style="color:blue">Invertible function</span>  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  Questions   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

Let f : N → Y be a function defined as f(x) = 4x + 3, where,

Y = {y ∈ N: y = 4x + 3 for some x ∈ N}. Show that f is invertible. Find the inverse.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

मान लीजिए कि f: NY, f(x) = 4x + 3, द्वारा परिभाषित एक फलन है, जहाँ

Y = {y ∈ N: y = 4x + 3 किसी x∈ N के लिए।। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। प्रतिलोम फलन भी ज्ञात कीजिए।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ <span style="color:blue">Invertible function</span>  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  Questions   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Equal functions</B></Primary>

<hr>

<main>

Two functions, f and g, are considered equal, denoted as f = g, if and only if both of the following conditions are met:

1. Equality of Relations: The relation corresponding to f (denoted as Rf) is equal to the relation corresponding to g (denoted as Rg).

This means that for every pair (x, y) in Rf, there is an identical pair in Rg, and vice versa. In other words, f(x) = g(x) for all x in the domain of f and g.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

दो फंक्शन, f और g, केवल तब समान माने जाते हैं, जब निम्नलिखित दोनों शर्तें पूरी होती हैं:

1. संबंधों की समानता: f के लिए संबंधित संबंध (जिसे R; के रूप में दर्शाया गया है) g के लिए संबंधित संबंध (जिसे R के रूप में दर्शाया गया है) के समान होना चाहिए।

इसका मतलब है कि R में हर जोड़ी (x, y) के लिए, R, में एक समान जोड़ी होती है, और इसके विपरीत। अन्य शब्दों में, f(x) = g(x) f और 9 के डोमेन में सभी के लिए होता है।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  <span style="color:blue">Equality of functions</span> $\rightarrow$  Questions   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Equal functions</B></Primary>

<hr>

<main>

2. Equality of Codomains: The codomain of f (denoted as Yf) is equal to the codomain of g (denoted as Yg).

This condition requires that the set of all possible outputs or the "target set" for both functions must be the same, even if the actual outputs (based on the domain elements) of the functions are a subset of these codomains.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

2. कोडोमेन्स की समानताः f का कोडोमेन (जिसे Y; के रूप में दर्शाया गया है) g के कोडोमेन (जिसे Y के रूप में दर्शाया गया है) के समान होना चाहिए।

यह शर्त आवश्यक है कि दोनों फंक्शन्स के लिए सभी संभावित आउटपुट्स या "लक्ष्य सेट" समान होने चाहिए, भले ही इन फंक्शन्स के वास्तविक आउटपुट्स (डोमेन तत्वों के आधार पर) इन कोडोमेन्स के एक उपसमूह हों।
यह महत्वपूर्ण है कि फंक्शन्स की समानता केवल उनके संबंधित संबंधों (अर्थात्, समान इनपुट- आउटपुट जोड़ियों का होना) की समानता के बारे में नहीं है, बल्कि उनके पास समान कोडोमेन होने के बारे में भी है। यह विशिष्टता महत्वपूर्ण है क्योंकि फंक्शन्स की परिभाषा न केवल उनके असाइनमेंट के नियम द्वारा, बल्कि उनके अनुप्रयोग के संदर्भ से भी निर्धारित होती है, जिसमें कोडोमेन शामिल है।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  <span style="color:blue">Equality of functions</span> $\rightarrow$  Questions   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Equal functions</B></Primary>

<hr>

<main>

Consider the function from the set of real numbers to itself given by the formula f(x) = x².

The range of this function is the set of real numbers ≥ 0 (i.e. the non-negative real numbers).

Now, consider the function from the set of real numbers to the set of non-negative real numbers given by the formula g(x) = x².

Is f equal to g? Well, as sets they are the same, so by the common definition above that are indeed equal! 
</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

समझिए कि समीकरण f(x) = x² के द्वारा दिए गए वास्तविक संख्याओं के सेट से उसी में एक फंक्शन।

इस फंक्शन की रेंज वास्तविक संख्याएँ ≥ 0 हैं (अर्थात् नकारात्मक नहीं वास्तविक संख्याएँ)।

अब, समीकरण g(x) = x² के द्वारा दिए गए वास्तविक संख्याओं के सेट से नकारात्मक नहीं वास्तविक संख्याओं के सेट में एक फंक्शन पर विचार करें।

क्या f और g समान हैं? खैर, सेटों के रूप में वे समान हैं, इसलिए ऊपर दी गई सामान्य परिभाषा के अनुसार वे वास्तव में समान हैं!   
</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  <span style="color:blue">Equality of functions</span> $\rightarrow$  Questions   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Equal functions</B></Primary>

<hr>

<main>

However, there are contexts in which one might want to distinguish between the two. 
 
 Basically, if you start with a set X and a set Y and you say f is a function from X to Y, then we said that X is called the domain, but there's also a name for Y: the codomain of f. 
 
 In this way of thinking, a function is not merely a set of pairs, it is a set of pairs together with the information of its codomain. Two functions are then defined to be equal if they are equal as sets and their codomains are equal. 
 
 So, under this definition, the functions f and g above are not considered equal.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

हालांकि, कुछ संदर्भ हो सकते हैं जिनमें किसी को इन दोनों के बीच अंतर करना चाहिए। 
 
 मूल रूप से, यदि आप एक सेट X और एक सेट Y के साथ शुरू करते हैं और कहते हैं कि f X से Y में एक फंक्शन है, तो हमने कहा कि X को डोमेन कहा जाता है, लेकिन Y के लिए भी एक नाम है: f का कोडोमेन। 
 
 श्रेणीबद्ध सोच के तरीके में, एक फंक्शन केवल एक जोड़ियों का सेट नहीं है, यह एक जोड़ियों का सेट है जिसके साथ इसके कोडोमेन की जानकारी भी है। फिर दो फंक्शनों को समान माना जाता है यदि वे सेटों के रूप में समान हैं और उनके कोडोमेन्स समान हैं। 
 
 इसलिए, इस परिभाषा के तहत, ऊपर दिए गए f और g फंक्शन समान नहीं माने जाते हैं।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  <span style="color:blue">Equality of functions</span> $\rightarrow$  Questions   </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

$\quad$

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>

<hr>

<main>

Given two functions

f: R $\rightarrow$ R defined by f (x) = 2x+3 and

g: R → R defined by g(x) = x²,

find the composition go f(x) and fo g(x).

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

दो फ़ंक्शन्स दिए गए हैं

f: R → R जिसे f(x) = 2x+3 द्वारा परिभाषित किया गया है

और g: R → R जिसे g(x) = x² द्वारा परिभाषित किया गया है, go f(x) और fo g(x) की रचना खोजें।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>

<hr>

<main>

If h(x)=3x-7, prove that h is invertible and find its inverse.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

यदि h(x) = 3x - 7 है, तो साबित करें कि h पलटने योग्य है और इसका प्रतिलोम , h⁻¹(x) खोजें।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>
<hr>

<main>

Consider the functions f(x) = x² from R+ to R and g(x) = x² from R to R.

Are f and g equal?

Justify your answer based on the definition of equality of functions.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

फ़ंक्शन्स पर विचार करें f(x) = x² जो R से R में है और g(x) = x² जो R से R≥0 में है।

क्या f और g समान हैं?

फ़ंक्शन्स की समानता की परिभाषा के आधार पर अपना उत्तर औचित्य सिद्ध करें।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>
<hr>

<main>

Given f(x) = √x and g(x) = x + 1,

Evaluate fo g(x) and go f(x) at x = 4.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

दिए गए हैं f(x) = √x और g(x) = x + 1,

fo g(x) और go f(x) को x = 4 पर मूल्यांकन करें।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>
<hr>

<main>

Given f(x) = 5x + 2, find the inverse function $f^{-1} (x)$.

Is the inverse function also linear?

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

दिया गया है f(x) = 5x + 2, इसका प्रतिलोम फ़ंक्शन $f^{-1} (x)$ खोजें।

क्या प्रतिलोम फ़ंक्शन भी रेखीय है?

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;font-size:18px'>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>
<hr>

<main>

1. **Find the Inverse of $f(x) = 2x - 1$:**

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

1. **$f(x) = 2x - 1$ का प्रतिलोम  खोजें:**

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B></B></Primary>

<hr>

<main>

2. **Inverse of $g(x) = \frac{1}{x}$:**

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

2. **$g(x) = \frac{1}{x}$ का प्रतिलोम :**

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>

<hr>

<main>

3. **Determine the Inverse of $h(x) = x^3$:**

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

3. **$h(x) = x^3$ का प्रतिलोम  निर्धारित करें:**

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>

<hr>

<main>

4. **Are $f(x) = x^2$ and $g(x) = x^2 + 0$ Equal?**

- <p class="fragment">Yes, because $R_f = R_g$ and their codomains are the same if both are considered over $\mathbb{R}$.</p>

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

4. **क्या $f(x) = x^2$ और $g(x) = x^2 + 0$ समान हैं?**

- <p class="fragment">हाँ, क्योंकि $R_f = R_g$ है और अगर दोनों को $\mathbb{R}$ पर विचार किया जाए तो उनके कोडोमेन समान हैं।</p>

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>

<hr>

<main>

5. **Compare $f(x) = 2x$ from $\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ and $g(x) = 2x$ from $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$:**

- <p class="fragment">Not equal, as their codomains differ.</p>

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

5. **$f(x) = 2x$ की तुलना $\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ से और $g(x) = 2x$ की $\mathbb{R} \rightarrow से करें \mathbb{R}$:**

- <p class="fragment">समान नहीं हैं, क्योंकि उनके कोडोमेन अलग हैं।</p>

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>

<hr>

<main>

6. **Examine $f(x) = x + 3$ and $g(x) = 3 + x$:**

- <p class="fragment">Equal, since $R_f = R_g$ and if both have the same codomain.</p>

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

6. **$f(x) = x + 3$ और $g(x) = 3 + x$ की जांच करें:**

- <p class="fragment">समान हैं, चूँकि $R_f = R_g$ है और अगर दोनों के पास समान कोडोमेन है।</p>

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>

<hr>

<main>

7. **Given $f(x) = x + 1$ and $g(x) = 2x$, Find $f \circ g(x)$:**

- <p class="fragment">$f \circ g(x) = 2x + 1$</p>

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

7. **दिया गया $f(x) = x + 1$ और $g(x) = 2x$, $f \circ g(x)$ खोजें:**
 
- <p class="fragment">$f \circ g(x) = 2x + 1$</p>

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>
======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>

<hr>

<main>

8. **If $f(x) = x^2$ and $g(x) = \sqrt{x}$, Calculate $g \circ f(x)$:**

- <p class="fragment">$g \circ f(x) = \sqrt{x^2} = |x|$ ( This result takes into account the principal square root function, which yields non-negative output.)</p>

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

8. **अगर $f(x) = x^2$ और $g(x) = \sqrt{x}$, तो $g \circ f(x)$ की गणना करें:**
 
- <p class="fragment">$g \circ f(x) = \sqrt{x^2} = |x|$ (नोट: यह परिणाम मुख्य वर्गमूल फ़ंक्शन को ध्यान में रखता है, जो गैर-नकारात्मक आउटपुट प्रदान करता है।)</p>

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>
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<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>

<hr>

<main>

9. **For $f(x) = 3x - 4$ and $g(x) = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$, Determine $f \circ g(x)$ and $g \circ f(x)$:**

- <p class="fragment">$f \circ g(x) = x$</p>

- <p class="fragment">$g \circ f(x) = x$ (This shows that $f$ and $g$ are inverses of each other.)</p>

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

9. **$f(x) = 3x - 4$ और $g(x) = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$ के लिए, $f \circ g(x)$ और $g \circ f(x)$ निर्धारित करें:**

- <p class="fragment">$f \circ g(x) = x$</p>

- <p class="fragment">$g \circ f(x) = x$ (यह दिखाता है कि $f$ और $g$ एक दूसरे के उलटे हैं।)</p>

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;font-size:18px'>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>
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<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Question</B></Primary>

<hr>

<main>

10. **Given $f(x) = \ln(x)$ and $g(x) = e^x$, Evaluate $f \circ g(x)$:**

- <p class="fragment">$f \circ g(x) = \ln(e^x) = x$</p>

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

10. **दिया गया $f(x) = \ln(x)$ और $g(x) = e^x$, $f \circ g(x)$ मूल्यांकन करें:**
 
- <p class="fragment">$f \circ g(x) = \ln(e^x) = x$</p>

</div>

</main>

<hr>

<footer> Composition of Functions $\rightarrow$ Invertible function  $\rightarrow$  Equality of functions $\rightarrow$  <span style="color:blue">Questions</span>   </footer>

</div>

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#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Don't forget to:</B></Primary>

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### <Primary>Thank you</Primary>