ncert-class12-day3-chap1-relations-and-functions--theory-part-2-

<p style="font-size:40px ; color:red">
<marquee behavior="scroll" direction="left">Acknowledgement and Disclaimer</marquee></p>

$\quad$ $\quad$ **Acknowledgements and Disclaimer !!**

• The images/contents are used for teaching purpose. The copyright remains with the original creator. If you suspect a violation, bring it to my notice and we will remove that part...

</div>

$\quad$ $\qquad$ **अभिस्वीकृति और अस्वीकरण !!**

- चित्रों/सामग्री का उपयोग शिक्षण उद्देश्य के लिए किया जाता है। कॉपीराइट मूल निर्माता के पास रहता है। यदि आपको किसी उल्लंघन का संदेह है, तो इसे हमारे ध्यान में लाएं और हम उस हिस्से को हटा देंगे...

</div>

======

$\quad$

### <Primary style = "float:center; text-align:center;"><B>Relations and Functions: <br>Functions</B></Primary>

======
<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Outline</B></Primary>

- Function

- Real valued function

- Identity function

- Constant function

- Polynomial function

- Rational functions

</div>

- The Modulus function and Signum function

- Greatest integer function

- Types of functions

- One-one function

- Onto function

- Bijective function

</div>

- फलन

- तत्समक फलन

- अचर फलन

- बहुपद फलन या बहुपदीय फलन

- परिमेय फलन

- मापांक फलन

</div>

- चिह्न फलन

- महत्तम पूर्णांक फलन

- फलन के प्रकार

- एक-एक फलन

- आच्छाद फलन

- द्विअभिज्ञ फलन

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Function</B></Primary>

<hr>

<main>

A relation f from a set A to a set B is said to be a function if every element of set A has one and only one image in set B.

In other words, a function f is a relation from a non-empty set A to a non-empty set B such that the domain of f is A and no two distinct ordered pairs in f have the same first element.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

एक समुच्चय A से समुच्चय B का संबंध, f एक फलन कहलाता है, यदि समुच्चय A के प्रत्येक अवयव का समुच्चय B में, एक और केवल एक प्रतिबिंब होता है।

दूसरे शब्दों में, फलन, किसी अरिक्त समुच्चय A से एक अरिक्त समुच्चय B का है, इस प्रकार का संबंध कि f का प्रांत A है तथा f के किसी भी दो भिन्न क्रमित युग्मों के प्रथम घटक समान नहीं हैं।

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;'>

<hr>

<footer> <span style="color:blue">Function</span> $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Function</B></Primary>

<hr>

<main>

If f is a function from A to B and (a, b) ∈ f, then f (a) = b, where b is called the **image** of a under f and a is called the **preimage** of b under f.

The function f from A to B is denoted by f: A $\rightarrow$ B.
</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

यदि f, A से B का एक फलन है तथा (a, b) ∈ f, तो f (a) = b, जहाँ b को f के अंतर्गत a का प्रतिबम्ब तथा a को b का 'पूर्व प्रतिबिंब' कहते हैं।

A से B के फलन ƒ को प्रतीकात्मक रूप में    f: A $\rightarrow$B से निरूपित करते हैं।
</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B> Example </B></Primary>

<hr>

<main>

Let N be the set of natural numbers and the relation R be defined on N such that

R = {(x, y) : y = 2x, x, y ∈ N}.

What is the domain, codomain and range of R? Is this relation a function?

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

मान लीजिए कि N प्राकृत संख्याओं का समुच्चय हे और N पर परिभाषित एक संबंध R इस प्रकार है कि

R = {(x, y): y = 2x, x, y ∈ N}.

R के प्रांत, सहप्रांत तथा परिसर क्या हैं? क्या यह संबंध, एक फलन है?

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;'>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ <span style="color:blue">Example</span>  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B> Example </B></Primary>

<hr>

<main>

**Solution:**

The domain of R is the set of natural numbers N. The codomain is also N.
The range is the set of even natural numbers.
Since every natural number n has one and only one image, this relation is a
function

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**हल**

R का प्रांत, प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N है। इसका सहप्रांत भी N है। इसका परिसर सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।
क्योंकि प्रत्येक प्राकृत संख्या n का एक और केवल एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह संबंध एक फलन है।

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;'>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B> Example </B></Primary>

<hr>

<main>

Examine each of the following relations given below and state in each
case, giving reasons whether it is a function or not?

(i) R = {(2,1),(3,1), (4,2)},

(ii) R = {(2,2),(2,4),(3,3), (4,4)}

(iii) R = {(1,2),(2,3),(3,4), (4,5), (5,6), (6,7)}

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

नीचे दिए संबंधों में से प्रत्येक का निरीक्षण कीजिए और प्रत्येक दशा में कारण सहित बतलाइए कि क्या यह फलन है अथवा नहीं?

(i) R = {(2,1),(3,1), (4,2)},

(ii) R = {(2,2),(2,4),(3,3), (4,4)}

(iii) R={(1,2),(2,3),(3,4), (4,5), (5,6), (6,7)}

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;'>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B> Example </B></Primary>

<hr>

<main>

**Solution**

(i) Since 2, 3, 4 are the elements of domain of R having their unique images,
this relation R is a function.

(ii) Since the same first element 2 corresponds to two different images 2
and 4, this relation is not a function.

(iii) Since every element has one and only one image, this relation is a
function.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**हल**

(i) क्योंकि R के प्रांत के प्रत्येक अवयव 2, 3, 4 के प्रतिबिंब अद्वितीय हैं, इसलिए यह संबंध एक फलन है।

(ii) क्यांकि एक ही प्रथम अवयव 2, दो भिन्न-भिन्न प्रतिबिंबों 2 और 4 से संबंधित है, इसलिए यह संबंध एक फलन नहीं हैं।

(iii) क्योंकि प्रत्येक अवयव का एक और केवल एक प्रतिबिंब है, इसलिए यह संबंध एक फलन है।

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;'>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Real valued function</B></Primary>

<hr>

<main>

A function which has either R or one of its subsets as its range is called a real valued function.

Further, if its domain is also either R or a subset of R, it is called a real function.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

एक ऐसे फलन को जिसका परिसर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय या उसका कोई उपसमुच्चय हो, वास्तविक मान फलन कहते हैं।

यदि वास्तविक चर वाले किसी वास्तविक मान फलन का प्रांत भी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अथवा उसका कोई उपसमुच्चय हो तो वास्तविक फलन भी कहते हैं।

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;'>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ <span style="color:blue">Real valued function</span>  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Identity function</B></Primary>

<hr>

<main>

**Identity function:**

Let R be the set of real numbers. Define the real valued function f : R → R by

y = f(x) = x for each x ∈ R.

Such a function is called the identity function.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**तत्समक फलन (Identity function)**

मान लीजिए R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

y = f(x) = x, प्रत्येक x ∈ R द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन f: R → R है।

इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं।

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;'>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  <span style="color:blue">Identity function</span>  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Constant function</B></Primary>

<hr>

<main>

**Constant function**

Define the function f: R → R by

y = f (x) = c, x ∈ R where c is a constant and each x ∈ R.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**अचर फलन (Constant function)**

y= f(x) = c जहाँ  c एक अचर है और प्रत्येक x∈ R द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन f: R→R है।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ <span style="color:blue">Constant function</span>  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Polynomial function</B></Primary>

<hr>

<main>

**Polynomial function**

A function f : R → R is said to be polynomial function if for each x in R,

$y = f (x) = a_ 0  + a_ 1 x + a_ 2 x ^2  + ...+ a_n x^ n$ ,

where n is a non-negative integer and $a_ 0 , a_ 1, a_ 2,...,a_n ∈ R $.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**बहुपद फलन या बहुपदीय फलन (Polynomial function)**

फलन f: R→ R, एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि R के प्रत्येक x के लिए,

$y = f (x) = a_ 0  + a_ 1 x + a_ 2 x ^2  + ...+ a_ n x^ n$ ,, जहाँ n एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा $a_ 0 , a_ 1, a_ 2,...,a_n ∈ R $.

</div>

</main>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  <span style="color:blue">Polynomial function</span>   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Rational functions</B></Primary>

<hr>

<main>

**Rational functions**

Functions of the type $ ~ \frac{f(x)}{g(x)} ~ $,

where f(x) and g(x) are
polynomial functions of x defined in a domain, where g(x) ≠ 0

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**परिमेय फलन (Rational functions)**

$ ~ \frac{f(x)}{g(x)} ~ $ के प्रकार के फलन जहाँ f(x) तथा g(x) 
एक प्रांत में, x के परिभाषित बहुपदीय फलन हैं, जिसमें g(x) ≠ 0 परिमेय फलन कहलाते हैं।

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;'>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ <span style="color:blue">Rational functions</span>  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Modulus function and Signum function</B></Primary>

<hr>

<main>

**The Modulus function**

The function f: R→R defined by f(x) = |x| for each x ∈R is called modulus function.

$f(x) = \left\\{\begin{matrix}
0,  & x = 0 \\\\
x,  & x > 0 \\\\
-x,  & x < 0 
\end{matrix}\right.$

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**मापांक फलन (Modulus functions)**

f(x) = |x| प्रत्येक x ∈ R द्वारा परिभाषित फलन f: R→R, मापांक फलन कहलाता है। x के प्रत्येक ऋणेत्तर मान के लिए f(x), x के बराबर होता है। परंतु x के ऋण मानों के लिए, f(x) का मान X, के मान के ऋण के बराबर होता है,

$f(x) = \left\\{\begin{matrix}
0,  & x = 0 \\\\
x,  & x > 0 \\\\
-x,  & x < 0 
\end{matrix}\right.$

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;'>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ <span style="color:blue">The Modulus function and Signum function</span> $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Modulus function and Signum function</B></Primary>

<hr>

<main>

**Signum function**

The function f:R→R defined by

$f(x) = \left\\{\begin{matrix}
0,  & x = 0 \\\\
1,  & x > 0 \\\\
-1,  & x < 0 
\end{matrix}\right.$

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**चिह्न फलन (Signum functions)**

फलन f: R → R, जो निम्न प्रकार से परिभाषित है

$f(x) = \left\\{\begin{matrix}
0,  & x = 0 \\\\
1,  & x > 0 \\\\
-1,  & x < 0 
\end{matrix}\right.$

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;'>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ <span style="color:blue">The Modulus function and Signum function</span> $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Greatest integer function</B></Primary>

<hr>

<main>

**Greatest integer function**

The function f: R → R defined by f(x) = [x], x ∈R assumes the value of the greatest integer, less than or equal to x. Such a function
is called the greatest integer function.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**महत्तम पूर्णांक फलन**

f(x) = [x], x ∈R द्वारा परिभाषित फलन f.R→ R, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक का मान ग्रहण (धारण) करता है ऐसा फलन महत्तम पूर्णांक फलन कहलाता है।

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;'>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ <span style="color:blue">Greatest integer function</span>  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Types of functions</B></Primary>

<hr>

<main>

- one one function

- onto function

- bijective function

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

- एक-एक फलन

- आच्छाद फलन

- द्विअभिज्ञ फलन

</div>

</main>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  <span style="color:blue">Types of functions</span>  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>One-one function</B></Primary>

<hr>

<main>

A function f : X → Y is defined to be one-one (or **injective**), if the images of distinct elements of X under f are distinct, i.e.,

For every   x₁, x₂ ∈X, f(x₁) = f(x₂) implies x₁ = x₂.

Otherwise, f is called **many-one**.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

एक फलन f: X → Y एकैकी (one-one) अथवा एकैक (injective) फलन कहलाता है, यदि f के अंतर्गत X के भिन्न अवयवों के प्रतिबिंब भी भिन्न होते हैं, अर्थात्

प्रत्येक x₁, x₂ ∈ X, के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है कि x₁ = x₂,

अन्यथा f एक बहुएक (many-one) फलन कहलाता है।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$<span style="color:blue"> One-one function</span>    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Onto function</B></Primary>

<hr>

<main>

A function f : X → Y is said to be onto (or **surjective**), if every element
of Y is the image of some element of X under f, i.e.,

For every y ∈ Y, there exists an element x in X such that

f(x) = y.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

फलन f: X → Y आच्छादक (onto) अथवा आच्छादी (surjective) कहलाता है, यदि f के अंतर्गत Y का प्रत्येक अवयव, X के किसी न किसी अवयव का प्रतिबिंब होता है, अर्थात्

प्रत्येक y in  Y, के लिए, X में एक ऐसे अवयव x का अस्तित्व है कि f(x) = y.

</div>

</main>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  <span style="color:blue">Onto function</span>  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

Show that the function f : N → N, given by f(x) = 2x, is one-one but not onto.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

सिद्ध कीजिए कि f(x) = 2x द्वारा प्रदत्त फलन f: N → N, एकैकी है किंतु आच्छादक नहीं है।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

Prove that the function f : R → R, given by f(x) = 2x, is one-one and onto.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

सिद्ध कीजिए कि f(x) = 2x द्वारा प्रदत्त फलन f: R → R, एकैकी तथा आच्छादक है।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

Show that the function f : N→ N, given by f (1) = f(2) = 1 and f(x) = x – 1,
for every x > 2, is onto but not one-one.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

सिद्ध किजिए कि f(1)=f(2) = 1 तथा x > 2 के लिए f(x) = x-1 द्वारा प्रदत्त फलन f: N → N, आच्छादक तो है किंतु एकैकी नहीं है।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

Show that the function f : R → R,defined as f(x) = $x^2$, is neither one-one nor onto.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

सिद्ध कीजिए कि f(x) = x² द्वारा परिभाषित फलन f: R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

Show that an onto function f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3} is always one-one.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

सिद्ध कीजिए कि आच्छादक फलन f: {1, 2, 3} → {1, 2, 3} सदैव एकैकी फलन होता है

</div>

</main>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

Show that a one-one function f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3} must be onto.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

सिद्ध कीजिए कि एक एकैकी फलन f: {1, 2, 3} → {1, 2, 3} अनिवार्य रूप से आच्छादक भी है।

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;'>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Remark</B></Primary>

<hr>

<main>

The results mentioned in Examples are also true for an arbitrary finite set X, i.e., a one-one function f : X → X is necessarily onto and an onto map f : X → X is necessarily one-one, for every finite set X. 
 
 In contrast to this, for an infinite set, this may not be true. In fact, this is a characteristic
difference between a finite and an infinite set.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

उदाहरण में प्राप्त परिणाम किसी भी स्वेच्छ परिमित (finite) समुच्चय X, के लिए सत्य है, अर्थात् एक एकैकी फलन f: X → X अनिवार्यतः आच्छादक होता है तथा प्रत्येक परिमित समुच्चय X के लिए एक आच्छादक फलन f: X → X अनिवार्यतः एकैकी होता है।

इसके किसी अपरिमित (Infinite) समुच्चय के लिए यह सही नहीं भी हो सकता है। वास्तव में यह परिमित तथा अपरिमित समुच्चयों के बीच एक अभिलक्षणिक (characteristic) अंतर है।

</div>

</main>
<div  style='float: left; width:100%;'>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ Bijective function  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Bijective functions</B></Primary>

<hr>

<main>

A function f : X → Y is said to be  bijective, if f is both one-one and onto.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

एक फलन f: X → Y एक एकैकी तथा आच्छादक (one-one and onto) अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) फलन कहलाता है, यदि f एकैकी तथा आच्छादक दोनों ही होता है।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ <span style="color:blue">Bijective function</span>  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Important Formulas</B></Primary>

- Number of possible functions

If a set A has m elements and set B has n elements, then the number of functions possible from A to B is <span style="color:blue">$n^m$</span>.

For example, if set A has 2 elements and set B has 2 elements, then there are $2^2 = 4$ possible functions from A to B.

- Number of Injective Functions (One to One)

If set A has m elements and set B has n elements, n≥m, then the number of injective functions or one to one function is given by <span style="color:blue">$\frac{n!}{(n-m)!}$</span>.

</div>

- संभावित फलन की संख्या

यदि सेट A में m तत्व हैं और सेट B में n तत्व हैं, तो A से B तक संभावित फलन की संख्या $n^m$ है।

उदाहरण के लिए, यदि सेट ए में 2 तत्व हैं और सेट बी में 2 तत्व हैं, तो ए से बी तक $2^2 = 4$ संभावित फ़ंक्शन हैं।

- इंजेक्शन फलन की संख्या (एक से एक)

यदि सेट A में m तत्व हैं और सेट B में n तत्व, n≥m हैं, तो इंजेक्टिव फ़ंक्शंस या एक से एक फ़ंक्शन की संख्या $\frac{n!}{(n-m)!}$ द्वारा दी जाती है।

</div>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ <span style="color:blue">Bijective function</span>  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Important Formulas</B></Primary>

- Number of Surjective Functions (Onto Functions)

If $A$ and $B$ are two sets having $m$ and $n$ elements such that $1 \leq n \leq m$ Then, no. of surjection <span style="color:blue">$=\sum_ {r=1}^{\mathrm{n}}(-1)^{\mathrm{n}-\mathrm{r} n} \mathrm{C}_{\mathrm{r}} \mathrm{r}^{\mathrm{m}}$</span>

- Number of Bijective functions

If there is a bijection between two sets, A and B, then both sets will have the same number of elements.

If n(A) = n(B) = m, then the number of bijective functions = <span style="color:blue">m!</span>.

</div>

- विशेषण फलन की संख्या (फलन पर)

यदि $A$ और $B$ दो सेट हैं जिनमें $m$ और $n$ तत्व इस प्रकार हैं कि $1 \leq n \leq m$ तो, आच्छाद फलनों की संख्या$ =\sum_{r=1}^{\mathrm{n}}(-1)^{\mathrm{n}-\mathrm{r}n} \mathrm{C}_{\mathrm{r} } \mathrm{r}^{\mathrm{m}}$

- विशेषण फलन की संख्या

यदि दो सेटों, ए और बी के बीच कोई आपत्ति है, तो दोनों सेटों में  की संख्या समान होगी।

यदि n(A) = n(B) = m, तो विशेषण फलनों की संख्या = m!

</div>

<hr>

<footer> Function $\rightarrow$ Example  $\rightarrow$ Real valued function  $\rightarrow$  Identity function  $\rightarrow$ Constant function  $\rightarrow$  Polynomial function   $\rightarrow$ Rational functions  $\rightarrow$ The Modulus function and Signum function $\rightarrow$ Greatest integer function  $\rightarrow$  Types of functions  $\rightarrow$ One-one function    $\rightarrow$  Onto function  $\rightarrow$ <span style="color:blue">Bijective function</span>  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

$\quad$

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>DPP's</B></Primary>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Questions</B></Primary>

<hr>

<main>

**Questions**

Q1. Let $f: \R \rightarrow \R$ be a function defined by $f(x)=ax+b; a,b \in \R$, then $f$ is:

(A) one $-$ one but not onto

(B) on to but not one $-$ one

(D) neither on to nor one $-$ one

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**प्रश्न**

Q1. मान लीजिए $f: \R \rightarrow \R$ $f(x)=ax+b$ द्वारा परिभाषित एक फ़ंक्शन है; $a,b \in \R$, तो $f$ है:

(A) एक-एक (one-one) लेकिन आच्छादित (onto) नहीं

(B) आच्छादित (onto) लेकिन एक-एक (one-one) नहीं

(D) न तो आच्छादित (onto) और न ही एक-एक (one-one)

</div>

</main>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Questions</B></Primary>

<hr>

<main>

**Questions**

Q2. The function $f: \R \rightarrow \R$ defined by $f(x)=4+3 \cos x$ is

(A) bijective

(B) one $-$ one but not onto

(D) neither one $-$ one nor onto

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**प्रश्न**

Q2. फ़ंक्शन $f: \R \rightarrow \R$ को $f(x)=4+3 \cos x$ द्वारा परिभाषित किया गया है

(A) द्विआदिशात्मक (bijective)

(B) एक-एक (one-one) लेकिन आच्छादित (onto) नहीं

(D) न तो आच्छादित (onto) और न ही एक-एक (one-one)

</div>

</main>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Questions</B></Primary>

<hr>

<main>

**Questions**

Q3. If a function $f:[2, \infty) \rightarrow B$ defined by $f(x)=x^2-4 x+5$ is a bijection, then $\mathrm{B}$ is:

(A) $\R$

(B) $[1, \infty)$

(D) $[5, \infty)$

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**प्रश्न**

Q3. यदि $f(x)=x^2-4 x+5$ द्वारा परिभाषित एक फ़ंक्शन $f:[2, \infty) \rightarrow B$ एक आक्षेप है, तो $\mathrm{B}$ है:

(ए) $\R$

(बी) $[1, \infty)$

(सी) $[4, \infty)$

(डी) $[5, \infty)$

</div>

</main>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Questions</B></Primary>

<hr>

<main>

**Questions**

Q4. If $A = \R-\\{3\\}$ and $B = \R-\\{1\\}$. Consider the function $f: A \rightarrow B$ defined by $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$ for all $x∈A$. Then which of the following is/are correct?

(A) $f$ is one $-$ one function.

(B) $f$ on to function.

(D) All of the above

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**प्रश्न**

Q4. यदि $A = \R-\\{3\\}$ और $B = \R-\\{1\\}$. सभी $x∈A$ के लिए $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$ द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन $f: A \rightarrow B$ पर विचार करें। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से सही है/हैं?

(A) f एक-एक (one-one) फलन है।

(B) f आच्छादित (onto) फलन है।

(D) उपरोक्त सभी (All of the above)

</div>

</main>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Questions</B></Primary>

<hr>

<main>

**Questions**

Q5. If $f : \R \rightarrow S$, define by $f(x) = \sin x – \sqrt{3} \cos x + 1$, is onto, then the interval of $S$ is

(A) $[0,1]$

(B) $[-1, 1]$

(D) $[-1,3]$

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**प्रश्न**

Q5. यदि $f : \R \rightarrow S$, $f(x) = \sin x – \sqrt{3} \cos x + 1$ द्वारा परिभाषित, चालू है, तो $S$ का अंतराल है

(ए) $[0,1]$

(बी) $[-1,1]$

(सी) $[0,3]$

(डी) $[-1,3]$

</div>

</main>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Questions</B></Primary>

<hr>

<main>

**Questions**

Give an example of a function

(i) Which is one-one but not onto.

(ii) Which is neither one-one nor onto.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**प्रश्न**

किसी फ़ंक्शन का उदाहरण दीजिए

(i) जो एक-एक है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(ii) जो न तो एक-एक है और न ही आच्छादक है।

</div>

</main>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Questions</B></Primary>

<hr>

<main>

**Questions**

Q7. Show that the function $f: \R \rightarrow \R : f(x) = x^5$ is one $-$ one and onto.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**प्रश्न**

Q7. दिखाएँ कि फ़ंक्शन $f: \R \rightarrow \R : f(x) = x^5$ एक $-$ एक और आच्छादक है।

</div>

</main>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Questions</B></Primary>

<hr>

<main>

**Questions**

Q8. If $f=\\{(1,2),(2,4),(3,1),(4, k)\\}$ is a one-one function from set $A$ to $A$, where $A=\\{1,2,3,4\\}$, then find the value of $k$.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**प्रश्न**

Q8. यदि $f=\\{(1,2),(2,4),(3,1),(4, k)\\}$ सेट $A$ से $A$ तक एक-एक फ़ंक्शन है, जहां $A=\\{1,2,3,4\\}$, तो $k$ का मान ज्ञात करें।

</div>

</main>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Questions</B></Primary>

<hr>

<main>

**Questions**

Q9. If $A=\\{1,2,3\\}$, $B = \\{4, 5, 6, 7\\}$ and $f = \\{(1, 4), (2, 5), (3, 6)\\}$ is a function from $A$ to $B$.

State whether $f$ is one-one or not.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**प्रश्न**

Q9. यदि $A=\\{1,2,3\\}$, $B = \\{4, 5, 6, 7\\}$ और $f = \\{(1, 4), (2, 5), (3, 6)\\}$ $A$ से $B$ तक का एक फ़ंक्शन है।

बताएं कि $f$ एक-एक है या नहीं।

</div>

</main>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Questions</B></Primary>

<hr>

<main>

**Questions**

Q10. Are the following set of ordered pair of a function? If so, examine whether the mapping is injective or surjective:

**$\\{(x, y): x$ is a person, $y$ is the mother of $x\\}$**

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**प्रश्न**

Q10. क्या किसी फ़ंक्शन के क्रमित युग्म का निम्नलिखित सेट है? यदि हां, तो जांच करें कि मैपिंग इंजेक्टिव है या विशेषण:

**$\\{ (x, y): x$ एक व्यक्ति है, $y$, $x की ~ माँ ~ है \\}$**

</div>

</main>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Relations and Functions</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Questions</B></Primary>

<hr>

<main>

**Questions**

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**प्रश्न**

</div>

</main>

======
#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Don't forget to:</B></Primary>

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