ncert-class12-day20-chap3-matrices-theory-part-2-

<p style="font-size:40px ; color:red">
<marquee behavior="scroll" direction="left">Acknowledgement and Disclaimer</marquee></p>

$\quad$ $\quad$ **Acknowledgements and Disclaimer !!**

• The images/contents are used for teaching purpose. The copyright remains with the original creator. If you suspect a violation, bring it to my notice and we will remove that part...

</div>

$\quad$ $\qquad$ **अभिस्वीकृति और अस्वीकरण !!**

- चित्रों/सामग्री का उपयोग शिक्षण उद्देश्य के लिए किया जाता है। कॉपीराइट मूल निर्माता के पास रहता है। यदि आपको किसी उल्लंघन का संदेह है, तो इसे हमारे ध्यान में लाएं और हम उस हिस्से को हटा देंगे...

</div>

======

$\quad$

### <Primary style = "float:center; text-align:center;"><B> MATRICES : <br> Operations on Matrices
</B></Primary>

======
<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Outline</B></Primary>

- Operations on Matrices

</div>

- मैट्रिक्स संक्रियाएं

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Matrix Addition</B></Primary>

<hr>

<main>

In general, if ${A}=\left[a_{i j}\right]$ and ${B}=\left[b_{i j}\right]$ are two matrices of the same order, say $m \times n$. Then, the sum of the two matrices A and B is defined as a matrix ${C}=\left[c_{i j}\right]_{m \times n}$,

where $c_{i j}=a_{i j}+b_{i j}$ for all possible values of $i$ and $j$.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

व्यापक रूप से, मान लीजिए कि ${A}=\left[a_{i j}\right]$ तथा ${B}=\left[b_{i j}\right]$ दो समान कोटि, $m \times n$ वाले आव्यूह हैं तो ${A}$ तथा ${B}$ दोनों आव्यूहों का योगफल, आव्यूह ${C}=\left[c_{i j}\right]_{m \times n}$, द्वारा परिभाषित होता है,

जहाँ $c_{i j}=a_{i j}+b_{i j}, i$ तथा $j$ के सभी संभव मानों को व्यक्त करता है।

</div>

</main>

<hr>

<footer> Matrix Addition $\rightarrow$  Multiplication of a matrix by a scalar    $\rightarrow$ Difference of matrices $\rightarrow$   Prop. of matrix addition    $\rightarrow$ Prop. of scalar multiplication  $\rightarrow$  Multiplication     $\rightarrow$ Non-commutativity $\rightarrow$   Zero matrix as the prod. of two non zero matrices   $\rightarrow$  Prop. of multiplication of matrices  </footer>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

Given  $$A=\left[\begin{array}{ccr}
\sqrt{3} & 1 & -1 \\\\
2 & 3 & 0
\end{array}\right]$$

and $$B=\left[\begin{array}{ccc}
2 & \sqrt{5} & 1 \\\\
-2 & 3 & \frac{1}{2}
\end{array}\right]$$ , find  A+B

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

$${A}=\left[\begin{array}{ccr}
\sqrt{3} & 1 & -1 \\\\
2 & 3 & 0
\end{array}\right]$$

तथा $${B}=\left[\begin{array}{ccc}
2 & \sqrt{5} & 1 \\\\
-2 & 3 & \frac{1}{2}
\end{array}\right] , {A}+{B}$$  ज्ञात कीजिए।

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Multiplication of a matrix by a scalar</B></Primary>

<hr>

<main>

In general, we may define multiplication of a matrix by a scalar as follows: if ${A}=\left[a_{i j}\right]_{m \times n}$ is a matrix and $k$ is a scalar, then $k {A}$ is another matrix which is obtained by multiplying each element of A by the scalar $k$.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

व्यापक रूप में हम, किसी आव्यूह के एक अदिश से गुणन को, निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित करते हैं। यदि ${A}=\left[a_{i j}\right]_{m \times n}$ एक आव्यूह है तथा $k$ एक अदिश है तो $k {A}$ एक ऐसा आव्यूह है जिसे ${A}$ के प्रत्येक अवयव को अदिश $k$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

For example, if $A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1.5 \\\\ \sqrt{5} & 7 & -3 \\\\ 2 & 0 & 5\end{array}\right]$, then
$$
3 {A}=3\left[\begin{array}{ccc}
3 & 1 & 1.5 \\\\
\sqrt{5} & 7 & -3 \\\\
2 & 0 & 5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
9 & 3 & 4.5 \\\\
3 \sqrt{5} & 21 & -9 \\\\
6 & 0 & 15
\end{array}\right]
$$

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

उदाहरण के लिए, यदि ${A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1.5\\\\ \sqrt{5} & 7 & -3\\\\ 2 & 0 & 5\end{array}\right]$ है तो
$$
3 {A}=3\left[\begin{array}{ccc}
3 & 1 & 1.5\\\\
\sqrt{5} & 7 & -3\\\\
2 & 0 & 5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
9 & 3 & 4.5\\\\
3 \sqrt{5} & 21 & -9\\\\
6 & 0 & 15
\end{array}\right]
$$

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Difference of matrices</B></Primary>

<hr>

<main>

**Difference of matrices:**

If ${A}=\left[a_{i j}\right], {B}=\left[b_{i j}\right]$ are two matrices of the same order, say $m \times n$, then difference ${A}-{B}$ is defined as a matrix ${D}=\left[d_{i j}\right]$, where $d_{i j}=a_{i j}-b_{i j}$, for all value of $i$ and $j$. In other words, ${D}={A}-{B}={A}+(-1) {B}$, that is sum of the matrix ${A}$ and the matrix $-{B}$.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**आव्यूहों का अंतर :**

यदि ${A}=\left[a_{i j}\right]$, तथा ${B}=\left[b_{i j}\right]$ समान कोटि $m \times n$ वाले दो आव्यूह हैं तो इसका अंतर ${A}-{B}$, एक आव्यूह ${D}=\left[d_{i j}\right]$ जहाँ $i$ तथा $j$ के समस्त मानों के लिए $d_{i j}=a_{i j}-b_{i j}$ है, द्वारा परिभाषित होता है। दूसरे शब्दों में, ${D}={A}-{B}={A}+(-1) {B}$, अर्थात् आव्यूह ${A}$ तथा आव्यूह - ${B}$ का योगफल।

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

**Example:**

If $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 1\end{array}\right]$ and $B=\left[\begin{array}{rrr}3 & -1 & 3 \\\\ -1 & 0 & 2\end{array}\right]$, then find $2 A-B$.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**उदाहरण :**

यदि ${A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 1\end{array}\right]$ तथा ${B}=\left[\begin{array}{rrr}3 & -1 & 3 \\\\ -1 & 0 & 2\end{array}\right]$ हैं तो $2 {A}-{B}$ ज्ञात कीजिए।

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B> Properties of matrix addition</B></Primary>

<hr>

<main>

**(i) Commutative Law** If ${A}=\left[a_{i j}\right], {B}=\left[b_{i j}\right]$ are matrices of the same order, say $m \times n$, then ${A}+{B}={B}+{A}$.

Now

$$
\begin{aligned}
{A}+{B} & =\left[a_{i j}\right]+\left[b_{i j}\right]=\left[a_{i j}+b_{i j}\right] \\\\
& =\left[b_{i j}+a_{i j}\right] \\\\
& =\left(\left[b_{i j}\right]+\left[a_{i j}\right]\right)={B}+{A}
\end{aligned}
$$

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**(i) क्रम-विनिमेय नियम ** (Commutative Law) यदि ${A}=\left[a_{i j}\right], {B}=\left[b_{i j}\right]$ समान कोटि $m \times n$, वाले आव्यूह हैं, तो ${A}+{B}={B}+{A}$ होगा।

अब

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B> Properties of matrix addition</B></Primary>

<hr>

<main>

**(ii) Associative Law:** For any three matrices ${A}=\left[a_{i j}\right], {B}=\left[b_{i j}\right], {C}=\left[c_{i j}\right]$ of the same order, say $m \times n,({A}+{B})+{C}={A}+({B}+{C})$.
Now
$$
\begin{aligned}
({A}+{B})+{C} & =\left(\left[a_{i j}\right]+\left[b_{i j}\right]\right)+\left[c_{i j}\right] \\\\
& =\left[a_{i j}+b_{i j}\right]+\left[c_{i j}\right]=\left[\left(a_{i j}+b_{i j}\right)+c_{i j}\right] \\\\
& =\left[a_{i j}+\left(b_{i j}+c_{i j}\right)\right] \quad(\text { Why ?) } \\\\
& =\left[a_{i j}\right]+\left[\left(b_{i j}+c_{i j}\right)\right]=\left[a_{i j}\right]+\left(\left[b_{i j}\right]+\left[c_{i j}\right]\right)\\\\
& ={A}+({B}+{C})
\end{aligned}
$$

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**(ii) साहचर्य नियम** (Associative Law) समान कोटि $m \times n$ वाले किन्हीं भी तीन आव्यूहों ${A}=\left[a_{i j}\right], {B}=\left[b_{i j}\right], {C}=\left[c_{i j}\right]$ के लिए $({A}+{B})+{C}={A}+({B}+{C})$
अब
$$
\begin{aligned}
({A}+{B})+{C} & =\left(\left[a_{i j}\right]+\left[b_{i j}\right]\right)+\left[c_{i j}\right] \\\\
& =\left[a_{i j}+b_{i j}\right]+\left[c_{i j}\right]=\left[\left(a_{i j}+b_{i j}\right)+c_{i j}\right] \\\\
& =\left[a_{i j}+\left(b_{i j}+c_{i j}\right)\right] \quad(\text { क्यों ?) } \\\\
& =\left[a_{i j}\right]+\left[\left(b_{i j}+c_{i j}\right)\right]=\left[a_{i j}\right]+\left(\left[b_{i j}\right]+\left[c_{i j}\right]\right)\\\\
& ={A}+({B}+{C})
\end{aligned}
$$

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Properties of matrix addition</B></Primary>

<hr>

<main>

**(iii) Existence of additive identity** Let ${A}=\left[a_{i j}\right]$ be an $m \times n$ matrix and ${O}$ be an $m \times n$ zero matrix, then

${A}+{O}={O}+{A}={A}$. In other words, ${O}$ is the additive identity for matrix addition.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**(iii) योग के तत्समक का अस्तित्व (Existence of additive identity):** मान लीजिए कि ${A}=\left[a_{i j}\right]$ एक $m \times n$ आव्यूह है और ${O}$ एक $m \times n$ शून्य आव्यूह है, तो

${A}+{O}={O}+{A}={A}$ होता है। दूसरे शब्दों में, आव्यूहों के योग संक्रिया का तत्समक शून्य आव्यूह $O$ है।

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Properties of matrix addition</B></Primary>

<hr>

<main>

**(iv) The existence of additive inverse:**

Let $A={[a_{ij}]}_{m \times n}$

be any matrix, then we have another matrix as

$-{A}={[-a_{ij}]}_{m \times n}$ such that

${A}+(-{A})=(-{A})+{A}={O}$.

So - ${A}$ is the additive inverse of ${A}$ or negative of ${A}$.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

(iv) योग के प्रतिलोम का अस्तित्व :

मान लीजिए कि

${A}={[a_{i j}]}_{m \times n}$

एक आव्यूह है, तो एक अन्य आव्यूह

$-{A}={[-a_{i j}]}_{m \times n}$ इस प्रकार का है कि

${A}+(-{A})=(-{A})+{A}={O}$

अतएव आव्यूह $-{A}$, आव्यूह ${A}$ का योग के अंतर्गत प्रतिलोम आव्यूह अथवा ऋण आव्यूह है।

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Properties of scalar multiplication of a matrix</B></Primary>

<hr>

<main>

If ${A}=\left[a_{i j}\right]$ and ${B}=\left[b_{i j}\right]$ be two matrices of the same order, say $m \times n$, and $k$ and $l$ are scalars, then

(i) $k({A}+{B})=k {A}+k {B}$,

(ii) $(k+l) {A}=k {A}+l {A}$

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

यदि ${A}=\left[a_{i j}\right]$ तथा ${B}=\left[b_{i j}\right]$ समान कोटि $m \times n$, वाले दो आव्यूह हैं और $k$ तथा $l$ अदिश हैं, तो

(i) $k({A}+{B})=k {A}+k {B}$,

(ii) $(k+l) {A}=k {A}+l {A}$

</div>

</main>

<hr>

</div>

======
<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

**Example:**

If $A=\left[\begin{array}{rr}8 & 0 \\\\ 4 & -2 \\\\ 3 & 6\end{array}\right]$ and $B=\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\\\ 4 & 2 \\\\ -5 & 1\end{array}\right]$, then find the matrix $X$, such that $2 {A}+3 {X}=5 {B}$

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

**उदाहरण :**

यदि ${A}=\left[\begin{array}{rr}8 & 0 \\\\ 4 & -2 \\\\ 3 & 6\end{array}\right], {B}=\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\\\ 4 & 2 \\\\ -5 & 1\end{array}\right]$ तथा $2 {A}+3 {X}=5 {B}$ दिया हो तो आव्यूह ${X}$ ज्ञात कीजिए।

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Matrix multiplication</B></Primary>

<hr>

<main>

The product of two matrices A and B is defined if the number of columns of A is equal to the number of rows of ${B}$.
Let ${A}=\left[a_{i j}\right]$ be an $m \times n$ matrix and ${B}=\left[b_{j k}\right]$ be an $n \times p$ matrix.
Then the product of the matrices ${A}$ and ${B}$ is the matrix ${C}$ of order $m \times p$. To get the $(i, k)^{\text {th }}$ element $c_{i k}$ of the matrix ${C}$, we take the $i^{\text {th }}$ row of ${A}$ and $k^{\text {th }}$ column of B, multiply them elementwise and take the sum of all these products.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

दो आव्यूहों ${A}$ तथा ${B}$ का गुणनफल परिभाषित होता है, यदि ${A}$ में स्तंभों की संख्या, ${B}$ में पंक्तियों की संख्या के समान होती है। मान लीजिए कि ${A}=\left[a_{i j}\right]$ एक $m \times n$ कोटि का आव्यूह है और ${B}=\left[b_{j k}\right]$ एक $n \times p$ कोटि का आव्यूह है। तब आव्यूहों ${A}$ तथा ${B}$ का गुणनफल एक $m \times p$ कोटि का आव्यूह ${C}$ होता है। आव्यूह ${C}$ का $(i, k)$ वाँ अवयव $c_{i k}$ प्राप्त करने के लिए हम ${A}$ की $i$ वीं पंक्ति और ${B}$ के $k$ वें स्तंभ को लेते है और फिर उनके अवयवों का क्रमानुसार गुणन करते हैं। तदोपरान्त इन सभी गुणनफलों का योगफल ज्ञात कर लेते हैं।

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

Find  AB  , if $$ {A}=\left[\begin{array}{ll}
6 & 9 \\\\
2 & 3
\end{array}\right] \text { and } {B}=\left[\begin{array}{lll}
2 & 6 & 0 \\\\
7 & 9 & 8
\end{array}\right] \text {. }
$$

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

यदि
 
$$ {A}=\left[\begin{array}{ll}
6 & 9 \\\\
2 & 3
\end{array}\right] \text { तथा } {B}=\left[\begin{array}{lll}
2 & 6 & 0 \\\\
7 & 9 & 8
\end{array}\right]
$$

है तो ${AB}$ ज्ञात कीजिए।

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Non-commutativity of multiplication of matrices</B></Primary>

<hr>

<main>

Now, we shall see by an example that even if ${AB}$ and ${BA}$ are both defined, it is not necessary that ${AB}={BA}$.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

अब हम एक उदाहरण के द्वारा देखेंगे कि, यदि ${AB}$ तथा ${BA}$ परिभाषित भी हों, तो यह आवश्यक नहीं है कि ${AB}={BA}$ हो।

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

If $A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\\\ -4 & 2 & 5\end{array}\right]$ and $B=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 4 & 5 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]$, then find $A B, B A$. Show that ${AB} \neq {BA}$.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

यदि ${A}=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\\\ -4 & 2 & 5\end{array}\right]$ और ${B}=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 4 & 5 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]$, तो ${AB}$ तथा ${BA}$ ज्ञात कीजिए। दर्शाइए कि ${AB} \neq {BA}$

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Zero matrix as the product of two non zero matrices</B></Primary>

<hr>

<main>

We know that, for real numbers $a, b$ if $a b=0$, then either $a=0$ or $b=0$. This need not be true for matrices, we will observe this through an example.

**Example:**

Find $A B$, if $A=\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right]$ and $B=\left[\begin{array}{ll}3 & 5 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]$.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

हमें ज्ञात है कि दो वास्तविक संख्याओं $a$ तथा $b$ के लिए, यदि $a b=0$ है तो या तो $a=0$ अथवा $b=0$ होता है। किंतु आव्यूहों के लिए यह अनिवार्यतः सत्य नहीं होता है। इस बात को हम एक उदाहरण द्वारा देखेंगे।

उदाहरण :

यदि ${A}=\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right]$ तथा ${B}=\left[\begin{array}{ll}3 & 5 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]$ है तो ${AB}$ का मान ज्ञात कीजिए

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Properties of matrix multiplication</B></Primary>

<hr>

<main>

1. The associative law For any three matrices $A, B$ and $C$. We have $({AB}) {C}={A}({BC})$, whenever both sides of the equality are defined.

2. The distributive law For three matrices $A, B$ and $C$.

(i) ${A}({B}+{C})={AB}+{AC}$

(ii) $({A}+{B}) {C}={AC}+{BC}$, whenever both sides of equality are defined.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

1. साहचर्य नियम: किन्हीं भी तीन आव्यूहों ${A}, {B}$ तथा ${C}$ के लिए
$({AB}) {C}={A}({BC})$, जब कभी समीकरण के दोनों पक्ष परिभाषित होते हैं।

2. वितरण नियम : किन्हीं भी तीन आव्यूहों $A, B$ तथा $C$ के लिए

(i) ${A}({B}+{C})={AB}+{AC}$

(ii) $({A}+{B}) {C}={AC}+{BC}$, जब भी समीकरण के दोनों पक्ष परिभाषित होते हैं।

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Properties of matrix multiplication</B></Primary>

<hr>

<main>

3. The existence of multiplicative identity For every square matrix $A$, there exist an identity matrix of same order such that ${IA}={AI}={A}$.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

3. गुणन के तत्समक का अस्तित्व : प्रत्येक वर्ग आव्यूह ${A}$ के लिए समान कोटि के एक आव्यूह ${I}$ का अस्तित्व इस प्रकार होता है, कि ${IA}={AI}={A}$
अब हम उदाहरणों के द्वारा उपर्युक्त गुणधर्मां का सत्यापन करेंगे।

</div>

</main>

<hr>

</div>

======

<Success style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>MATRICES</B></Success>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Example</B></Primary>

<hr>

<main>

If $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\\\ 2 & 0 & 3 \\\\ 3 & -1 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ 0 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right]$ and $C=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & -4 \\\\ 2 & 0 & -2 & 1\end{array}\right]$, find ${A}({BC}),({AB}) {C}$ and show that $({AB}) {C}={A}({BC})$.

</div>
<div  style='float: right; width:49%; text-align: left;font-size:21px'>

यदि ${A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\\\ 2 & 0 & 3 \\\\ 3 & -1 & 2\end{array}\right], {B}=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ 0 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right]$
 
 तथा ${C}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & -4 \\\\ 2 & 0 & -2 & 1\end{array}\right]$
 
 तो ${A}({BC})$ तथा $({AB}) {C}$ ज्ञात कीजिए और दिखलाइए कि $({AB}) {C}={A}({BC})$ है।

</div>

</main>

<hr>

</div>

#### <Primary style = "float:center; text-align:center; font-size: 22px;"><B>Don't forget to:</B></Primary>

<html>
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👉 Register yourself and give subject-wise mock test.
<p id="blinking-text"><span style="color:blue"><a href="https://jeetest.prutor.ai/">https://jeetest.prutor.ai/</a></span></p>
<p>👉  Register yourself and ask any doubt regarding these video lectures or any subject doubt.</p>
<p id="blinking-text"><span style="color:blue"><a href="https://satheeqrcode.web.app/">https://satheeqrcode.web.app/</a></span></p>
<p>👉 Here you can find “how to videos”</p>
 <p id="blinking-text"><span style="color:blue"><a href="https://www.youtube.com/playlist?list=PL5_E7EoTpHVfPmpOjbs9rKQwdSxyOyBXE">https://www.youtube.com/playlist?list=PL5_E7EoTpHVfPmpOjbs9rKQwdSxyOyBXE</a></span></p>
<p>👉 Also, visit <p id="blinking-text"><span style="color:blue"><a href="https://sathee.prutor.ai/"><a href="https://sathee.prutor.ai/" target="_blank" rel="noopener">https://sathee.prutor.ai/</a></a></span></p></p>
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👉 अपना रजिस्ट्रेशन करें और विषयवार मॉक टेस्ट दें।
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<p>👉   स्वयं को पंजीकृत करें और इन वीडियो व्याख्यानों के संबंध में कोई संदेह या किसी विषय पर संदेह पूछें।</p>
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<p>👉 यहां आप “पंजीकरण कैसे करें” पा सकते हैं -</p>
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<p>👉 इसके अलावा, <p id='blinking-text'><span style='color:blue'><a href='https://sathee.prutor.ai/'><a href="https://sathee.prutor.ai/" target="_blank" rel="noopener">https://sathee.prutor.ai/</a></a></span></p>पर भी जाएं।</p>
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