Continuity and Differentiability - Continuity at a point

• Definition of Continuity at a point
• Symbolic representation of continuity at a point: $$f(a)$$
• If a function is continuous at a point, then $$\lim_{{x \to a}} f(x)$$ exists
• Graphical representation of continuity at a point
• Example: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ at $$x = 2$$

निरंतरता और भिन्नता - एक बिंदु पर निरंतरता

• एक बिंदु पर निरंतरता की परिभाषा
• एक बिंदु पर निरंतरता का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व: $$f(a)$$
• यदि कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु पर निरंतर है, तो $$\lim_{{x \to a}} f(x)$$ मौजूद है
• एक बिंदु पर निरंतरता का चित्रमय प्रतिनिधित्व
• उदाहरण: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ पर $$x = 2$$

Continuity and Differentiability - Continuity in an interval

• Definition of Continuity in an interval
• Symbolic representation of continuity in an interval: $$f(x)$$
• If a function is continuous in an interval, then it is continuous at every point in that interval
• Graphical representation of continuity in an interval
• Example: $$f(x) = \sin(x)$$ in the interval $$[-\pi, \pi]$$

निरंतरता और भिन्नता - एक अंतराल में निरंतरता

• एक अंतराल में निरंतरता की परिभाषा
• एक अंतराल में निरंतरता का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व: $$f(x)$$
• यदि कोई फ़ंक्शन किसी अंतराल में निरंतर है, तो वह उस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है
• एक अंतराल में निरंतरता का चित्रमय प्रतिनिधित्व
• उदाहरण: $$f(x) = \sin(x)$$ अंतराल में $$[-\pi, \pi]$$

Continuity and Differentiability - Discontinuity

• Definition of Discontinuity
• Types of Discontinuity: Removable Discontinuity, Jump Discontinuity, and Infinite Discontinuity
• Symbolic representation of discontinuity
• Graphical representation of discontinuity
• Example: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ at $$x = 2$$

निरंतरता एवं भिन्नता - असंततता

• असंततता की परिभाषा
• असंततता के प्रकार: हटाने योग्य असंततता, कूद असंततता, और अनंत असंततता
• असंततता का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व
• असंततता का चित्रमय प्रतिनिधित्व
• उदाहरण: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ पर $$x = 2$$

Continuity and Differentiability - Types of Discontinuity

• Removable Discontinuity: when there is a hole in the graph of a function at a certain point but can be filled
• Jump Discontinuity: when there exist two one-sided limits at a certain point but they are not equal
• Infinite Discontinuity: when the function approaches infinity or negative infinity at a certain point
• Graphical representation of each type of discontinuity
• Example: $$f(x) = \frac{{\sin(x)}}{{x}}$$ at $$x = 0$$

निरंतरता एवं भिन्नता - असंततता के प्रकार

• हटाने योग्य असंततता: जब किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक निश्चित बिंदु पर एक छेद होता है लेकिन उसे भरा जा सकता है
• जंप असंततता: जब एक निश्चित बिंदु पर दो एकतरफ़ा सीमाएँ मौजूद होती हैं लेकिन वे समान नहीं होती हैं
• अनंत असंततता: जब फ़ंक्शन एक निश्चित बिंदु पर अनंत या नकारात्मक अनंत तक पहुंचता है
• प्रत्येक प्रकार की असंततता का चित्रमय प्रतिनिधित्व
• उदाहरण: $$f(x) = \frac{{\sin(x)}}{{x}}$$ पर $$x = 0$$

Continuity and Differentiability - Differentiability

• Definition of Differentiability
• Symbolic representation of differentiability: $$f’(x)$$
• Differentiability implies continuity
• Differentiability at a point vs Differentiability in an interval
• Example: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ at $$x = 2$$

निरंतरता और भिन्नता - भिन्नता

• विभेदीकरण की परिभाषा
• भिन्नता का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व: $$f'(x)$$
• भिन्नता का तात्पर्य निरंतरता से है
• एक बिंदु पर भिन्नता बनाम एक अंतराल में भिन्नता
• उदाहरण: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ पर $$x = 2$$

Continuity and Differentiability - Differentiation Rules

• Power Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1}$$
• Constant Multiple Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}(cf(x)) = c \cdot \frac{{d}}{{dx}}(f(x))$$
• Sum and Difference Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}(f(x) \pm g(x)) = \frac{{d}}{{dx}}(f(x)) \pm \frac{{d}}{{dx}}(g(x))$$
• Product Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}(f(x) \cdot g(x)) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)$$
• Quotient Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\right) = \frac{{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}}{{g^2(x)}}$$

निरंतरता और भिन्नता - विभेदीकरण नियम

• पावर नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1}$$
• लगातार एकाधिक नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}(cf(x)) = c \cdot \frac{{d}}{{dx}}(f(x))$$
• योग और अंतर नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}(f(x) \pm g(x)) = \frac{{d}}{{dx}}(f(x) ) \pm \frac{{d}}{{dx}}(g(x))$$
• उत्पाद नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$
• भागफल नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\right) = \frac{{f'( x)g(x) - f(x)g'(x)}}{{g^2(x)}}$$

Continuity and Differentiability - Examples of Differentiation

• Example: Differentiate $$y = x^3 - 2x^2 + 5x + 1$$
• Example: Differentiate $$y = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$$
• Example: Differentiate $$y = \sin(x) + \cos(x)$$
• Example: Differentiate $$y = e^x \ln(x)$$
• Example: Differentiate $$y = \frac{{x^3 - 4}}{{x - 2}}$$

निरंतरता और भिन्नता - भिन्नता के उदाहरण

• उदाहरण: $$y = x^3 - 2x^2 + 5x + 1$$ में अंतर करें
• उदाहरण: $$y = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$$ में अंतर करें
• उदाहरण: $$y = \sin(x) + \cos(x)$$ में अंतर करें
• उदाहरण: $$y = e^x \ln(x)$$ में अंतर करें
• उदाहरण: $$y = \frac{{x^3 - 4}}{{x - 2}}$$ में अंतर करें

Continuity and Differentiability - Rolle’s Theorem

• Statement of Rolle’s Theorem
• Hypotheses of Rolle’s Theorem: Continuity and Differentiability in closed interval, and equality of function values at the endpoints
• Conclusion of Rolle’s Theorem: There exists at least one point in the interval where the derivative is zero
• Geometrical interpretation of Rolle’s Theorem
• Example: Verify that the function $$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 7$$ satisfies Rolle’s Theorem in the interval $$[1, 3]$$

निरंतरता और भिन्नता - रोले का प्रमेय

• रोले के प्रमेय का कथन
• रोले के प्रमेय की परिकल्पनाएँ: बंद अंतराल में निरंतरता और भिन्नता, और अंतिम बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की समानता
• रोले के प्रमेय का निष्कर्ष: अंतराल में कम से कम एक बिंदु मौजूद है जहां व्युत्पन्न शून्य है
• रोले के प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या
• उदाहरण: सत्यापित करें कि फ़ंक्शन $$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 7$$ अंतराल में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है $$[1, 3]$$

Continuity and Differentiability - Continuity at a point

• Definition of Continuity at a point
• Symbolic representation of continuity at a point: $$f(a)$$
• If a function is continuous at a point, then $$\lim_{{x \to a}} f(x)$$ exists
• Graphical representation of continuity at a point
• Example: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ at $$x = 2$$
• Substitute $$x = 2$$ in the function: $$f(2) = \frac{{2^2 - 4}}{{2 - 2}} = \frac{0}{0}$$
• Simplify the equation: $$f(2) = \frac{0}{0}$$ does not produce a valid solution. Therefore, the function is not continuous at $$x = 2$$
• Explain the concept with a graphical representation of the function and the vertical asymptote at $$x = 2$$

निरंतरता और भिन्नता - एक बिंदु पर निरंतरता

• एक बिंदु पर निरंतरता की परिभाषा
• एक बिंदु पर निरंतरता का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व: $$f(a)$$
• यदि कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु पर निरंतर है, तो $$\lim_{{x \to a}} f(x)$$ मौजूद है
• एक बिंदु पर निरंतरता का चित्रमय प्रतिनिधित्व
• उदाहरण: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ पर $$x = 2$$
• फ़ंक्शन में $$x = 2$$ रखें: $$f(2) = \frac{{2^2 - 4}}{{2 - 2}} = \frac{0}{0}$$
• समीकरण को सरल बनाएं: $$f(2) = \frac{0}{0}$$ कोई वैध समाधान नहीं देता है। इसलिए, फ़ंक्शन $$x = 2$$ पर निरंतर नहीं है
• फ़ंक्शन के चित्रमय प्रतिनिधित्व और $$x = 2$$ पर लंबवत अनंतस्पर्शी के साथ अवधारणा को समझाएं

Continuity and Differentiability - Continuity in an interval

• Definition of Continuity in an interval
• Symbolic representation of continuity in an interval: $$f(x)$$
• If a function is continuous in an interval, then it is continuous at every point in that interval
• Graphical representation of continuity in an interval
• Example: $$f(x) = \sin(x)$$ in the interval $$[-\pi, \pi]$$
• Explain that the function is continuous at every point in the interval
• Show the graphical representation of the sine function and explain that it is smooth and continuous in the given interval

निरंतरता और भिन्नता - एक अंतराल में निरंतरता

• एक अंतराल में निरंतरता की परिभाषा
• एक अंतराल में निरंतरता का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व: $$f(x)$$
• यदि कोई फ़ंक्शन किसी अंतराल में निरंतर है, तो वह उस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है
• एक अंतराल में निरंतरता का चित्रमय प्रतिनिधित्व
• उदाहरण: $$f(x) = \sin(x)$$ अंतराल में $$[-\pi, \pi]$$
• स्पष्ट करें कि फलन अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर सतत है
• साइन फ़ंक्शन का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व दिखाएं और समझाएं कि यह दिए गए अंतराल में सुचारू और निरंतर है

Continuity and Differentiability - Discontinuity

• Definition of Discontinuity
• Types of Discontinuity: Removable Discontinuity, Jump Discontinuity, and Infinite Discontinuity
• Symbolic representation of discontinuity
• Graphical representation of discontinuity
• Example: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ at $$x = 2$$
• Substitute $$x = 2$$ in the function: $$f(2) = \frac{{2^2 - 4}}{{2 - 2}} = \frac{0}{0}$$
• Simplify the equation: $$f(2) = \frac{0}{0}$$ does not produce a valid solution. Therefore, the function has a removable discontinuity at $$x = 2$$
• Explain the concept with a graphical representation of the function and the hole in the graph at $$x = 2$$

निरंतरता एवं भिन्नता - असंततता

• असंततता की परिभाषा
• असंततता के प्रकार: हटाने योग्य असंततता, कूद असंततता, और अनंत असंततता
• असंततता का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व
• असंततता का चित्रमय प्रतिनिधित्व
• उदाहरण: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ पर $$x = 2$$
• फ़ंक्शन में $$x = 2$$ रखें: $$f(2) = \frac{{2^2 - 4}}{{2 - 2}} = \frac{0}{0}$$
• समीकरण को सरल बनाएं: $$f(2) = \frac{0}{0}$$ कोई वैध समाधान नहीं देता है। इसलिए, फ़ंक्शन में $$x = 2$$ पर हटाने योग्य असंततता है
• $$x = 2$$ पर फ़ंक्शन और ग्राफ़ में छेद के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व के साथ अवधारणा को समझाएं

Continuity and Differentiability - Types of Discontinuity

• Removable Discontinuity: when there is a hole in the graph of a function at a certain point but can be filled
• Jump Discontinuity: when there exist two one-sided limits at a certain point but they are not equal
• Infinite Discontinuity: when the function approaches infinity or negative infinity at a certain point
• Graphical representation of each type of discontinuity
• Example: $$f(x) = \frac{{\sin(x)}}{{x}}$$ at $$x = 0$$
• Substitute $$x = 0$$ in the function: $$f(0) = \frac{{\sin(0)}}{{0}} = \frac{0}{0}$$
• Simplify the equation: $$f(0) = \frac{0}{0}$$ does not produce a valid solution. Therefore, the function has an infinite discontinuity at $$x = 0$$
• Explain the concept with a graphical representation of the function and the vertical asymptote at $$x = 0$$

निरंतरता एवं भिन्नता - असंततता के प्रकार

• हटाने योग्य असंततता: जब किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक निश्चित बिंदु पर एक छेद होता है लेकिन उसे भरा जा सकता है
• जंप असंततता: जब एक निश्चित बिंदु पर दो एकतरफ़ा सीमाएँ मौजूद होती हैं लेकिन वे समान नहीं होती हैं
• अनंत असंततता: जब फ़ंक्शन एक निश्चित बिंदु पर अनंत या नकारात्मक अनंत तक पहुंचता है
• प्रत्येक प्रकार की असंततता का चित्रमय प्रतिनिधित्व
• उदाहरण: $$f(x) = \frac{{\sin(x)}}{{x}}$$ पर $$x = 0$$
• फ़ंक्शन में $$x = 0$$ रखें: $$f(0) = \frac{{\sin(0)}}{{0}} = \frac{0}{0}$$
• समीकरण को सरल बनाएं: $$f(0) = \frac{0}{0}$$ कोई वैध समाधान नहीं देता है। इसलिए, फ़ंक्शन में $$x = 0$$ पर अनंत असंततता है
• फ़ंक्शन के चित्रमय प्रतिनिधित्व और $$x = 0$$ पर लंबवत अनंतस्पर्शी के साथ अवधारणा को समझाएं

Continuity and Differentiability - Differentiability

• Definition of Differentiability
• Symbolic representation of differentiability: $$f’(x)$$
• Differentiability implies continuity
• Differentiability at a point vs Differentiability in an interval
• Example: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ at $$x = 2$$
• Differentiate the function with respect to $$x$$ using the quotient rule: $$f’(x) = \frac{{(x - 2)(2x) - (x^2 - 4)(1)}}{{(x - 2)^2}}$$
• Simplify the expression: $$f’(x) = \frac{{2x^2 - 4x - 2x^2 + 4}}{{(x - 2)^2}}$$
• Further simplify the expression: $$f’(x) = \frac{{8 - 4x}}{{(x - 2)^2}}$$
• Substitute $$x = 2$$ in the derivative: $$f’(2) = \frac{{8 - 4(2)}}{{(2 - 2)^2}} = \frac{0}{0}$$
• Simplify the equation: $$f’(2) = \frac{0}{0}$$ does not produce a valid solution. Therefore, the function is not differentiable at $$x = 2$$

निरंतरता और भिन्नता - भिन्नता

• विभेदीकरण की परिभाषा
• भिन्नता का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व: $$f'(x)$$
• भिन्नता का तात्पर्य निरंतरता से है
• एक बिंदु पर भिन्नता बनाम एक अंतराल में भिन्नता
• उदाहरण: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ पर $$x = 2$$
• भागफल नियम का उपयोग करके $$x$$ के संबंध में फ़ंक्शन को अलग करें: $$f'(x) = \frac{{(x - 2)(2x) - (x^2 - 4)(1)}} {{(x - 2)^2}}$$
• अभिव्यक्ति को सरल बनाएं: $$f'(x) = \frac{{2x^2 - 4x - 2x^2 + 4}}{{(x - 2)^2}}$$
• अभिव्यक्ति को और सरल बनाएं: $$f'(x) = \frac{{8 - 4x}}{{(x - 2)^2}}$$
• व्युत्पन्न में $$x = 2$$ रखें: $$f'(2) = \frac{{8 - 4(2)}}{{(2 - 2)^2}} = \frac{0} {0}$$
• समीकरण को सरल बनाएं: $$f'(2) = \frac{0}{0}$$ कोई वैध समाधान नहीं देता है। इसलिए, फ़ंक्शन $$x = 2$$ पर भिन्न नहीं है

Continuity and Differentiability - Differentiation Rules

• Power Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1}$$
• Constant Multiple Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}(cf(x)) = c \cdot \frac{{d}}{{dx}}(f(x))$$
• Sum and Difference Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}(f(x) \pm g(x)) = \frac{{d}}{{dx}}(f(x)) \pm \frac{{d}}{{dx}}(g(x))$$
• Product Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}(f(x) \cdot g(x)) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)$$
• Quotient Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\right) = \frac{{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}}{{g^2(x)}}$$
• Example: Differentiate $$y = x^3 - 2x^2 + 5x + 1$$
• Example: Differentiate $$y = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$$
• Example: Differentiate $$y = \sin(x) + \cos(x)$$
• Example: Differentiate $$y = e^x \ln(x)$$
• Example: Differentiate $$y = \frac{{x^3 - 4}}{{x - 2}}$$

निरंतरता और भिन्नता - विभेदीकरण नियम

• पावर नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1}$$
• लगातार एकाधिक नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}(cf(x)) = c \cdot \frac{{d}}{{dx}}(f(x))$$
• योग और अंतर नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}(f(x) \pm g(x)) = \frac{{d}}{{dx}}(f(x) ) \pm \frac{{d}}{{dx}}(g(x))$$
• उत्पाद नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$
• भागफल नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\right) = \frac{{f'( x)g(x) - f(x)g'(x)}}{{g^2(x)}}$$
• उदाहरण: $$y = x^3 - 2x^2 + 5x + 1$$ में अंतर करें
• उदाहरण: $$y = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$$ में अंतर करें
• उदाहरण: $$y = \sin(x) + \cos(x)$$ में अंतर करें
• उदाहरण: $$y = e^x \ln(x)$$ में अंतर करें
• उदाहरण: $$y = \frac{{x^3 - 4}}{{x - 2}}$$ में अंतर करें

Continuity and Differentiability - Examples of Differentiation

• Example: Differentiate $$y = x^3 - 2x^2 + 5x + 1$$
  • Apply the power rule: $$\frac{{dy}}{{dx}} = 3x^2 - 4x + 5$$
• Example: Differentiate $$y = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$$
  • Apply the sum rule and the quotient rule: $$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$$
• Example: Differentiate $$y = \sin(x) + \cos(x)$$
  • Apply the sum rule and the derivative of sine and cosine: $$\frac{{dy}}{{dx}} = \cos(x) - \sin(x)$$
• Example: Differentiate $$y = e^x \ln(x)$$
  • Apply the product rule and the derivative of exponential and logarithmic functions: $$\frac{{dy}}{{dx}} = e^x \ln(x) + \frac{e^x}{x}$$
• Example: Differentiate $$y = \frac{{x^3 - 4}}{{x - 2}}$$
  • Simplify the function and apply the quotient rule: $$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{2x^3 - 8}}{{(x - 2)^2}}$$

निरंतरता और भिन्नता - भिन्नता के उदाहरण

• उदाहरण: $$y = x^3 - 2x^2 + 5x + 1$$ में अंतर करें
  • शक्ति नियम लागू करें: $$\frac{{dy}}{{dx}} = 3x^2 - 4x + 5$$
• उदाहरण: $$y = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$$ में अंतर करें
  • योग नियम और भागफल नियम लागू करें: $$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$ $
• उदाहरण: $$y = \sin(x) + \cos(x)$$ में अंतर करें
  • साइन और कोसाइन का योग नियम और व्युत्पन्न लागू करें: $$\frac{{dy}}{{dx}} = \cos(x) - \sin(x)$$
• उदाहरण: $$y = e^x \ln(x)$$ में अंतर करें
  • उत्पाद नियम और घातीय और लघुगणकीय कार्यों के व्युत्पन्न को लागू करें: $$\frac{{dy}}{{dx}} = e^x \ln(x) + \frac{e^x}{x}$$
• उदाहरण: $$y = \frac{{x^3 - 4}}{{x - 2}}$$ में अंतर करें
  • फ़ंक्शन को सरल बनाएं और भागफल नियम लागू करें: $$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{2x^3 - 8}}{{(x - 2)^2}}$$

Continuity and Differentiability - Rolle’s Theorem

• Statement of Rolle’s Theorem
• Hypotheses of Rolle’s Theorem: Continuity and Differentiability in closed interval, and equality of function values at the endpoints
• Conclusion of Rolle’s Theorem: There exists at least one point in the interval where the derivative is zero
• Geometrical interpretation of Rolle’s Theorem
• Example: Verify that the function $$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 7$$ satisfies Rolle’s Theorem in the interval $$[1, 3]$$
  • Check the conditions of Rolle’s Theorem:
    • Continuity: The function is a polynomial, so it is continuous in the interval $$[1, 3]$$
    • Differentiability: The function is a polynomial, so it is differentiable in the interval $$[1, 3]$$
    • Equality of function values at the endpoints: $$f(1) = -2$$ and $$f(3) = 34$$
  • Since all the conditions are satisfied, we can conclude that there exists at least one point in the interval $$[1, 3]$$ where the derivative is zero

निरंतरता और भिन्नता - रोले का प्रमेय

• रोले के प्रमेय का कथन
• रोले के प्रमेय की परिकल्पनाएँ: बंद अंतराल में निरंतरता और भिन्नता, और अंतिम बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की समानता
• रोले के प्रमेय का निष्कर्ष: अंतराल में कम से कम एक बिंदु मौजूद है जहां व्युत्पन्न शून्य है
• रोले के प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या
• उदाहरण: सत्यापित करें कि फ़ंक्शन $$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 7$$ अंतराल में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है $$[1, 3]$$
  • रोले के प्रमेय की शर्तों की जाँच करें:
    • निरंतरता: फ़ंक्शन एक बहुपद है, इसलिए यह अंतराल में निरंतर है $$[1, 3]$$
    • अवकलनीयता: फ़ंक्शन एक बहुपद है, इसलिए यह अंतराल $$[1, 3]$$ में अवकलनीय है
    • अंतिम बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की समानता: $$f(1) = -2$$ और $$f(3) = 34$$
  • चूंकि सभी शर्तें पूरी हो गई हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अंतराल $$[1, 3]$$ में कम से कम एक बिंदु मौजूद है जहां व्युत्पन्न शून्य है

Continuity and Differentiability - Continuity at a point

• Definition of Continuity at a point
• Symbolic representation of continuity at a point: $$f(a)$$
• If a function is continuous at a point, then $$\lim_{{x \to a}} f(x)$$ exists
• Graphical representation of continuity at a point
• Example: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ at $$x = 2$$

निरंतरता और भिन्नता - एक बिंदु पर निरंतरता

• एक बिंदु पर निरंतरता की परिभाषा
• एक बिंदु पर निरंतरता का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व: $$f(a)$$
• यदि कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु पर निरंतर है, तो $$\lim_{{x \to a}} f(x)$$ मौजूद है
• एक बिंदु पर निरंतरता का चित्रमय प्रतिनिधित्व
• उदाहरण: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ पर $$x = 2$$

Continuity and Differentiability - Continuity in an interval

• Definition of Continuity in an interval
• Symbolic representation of continuity in an interval: $$f(x)$$
• If a function is continuous in an interval, then it is continuous at every point in that interval
• Graphical representation of continuity in an interval
• Example: $$f(x) = \sin(x)$$ in the interval $$[-\pi, \pi]$$

निरंतरता और भिन्नता - एक अंतराल में निरंतरता

• एक अंतराल में निरंतरता की परिभाषा
• एक अंतराल में निरंतरता का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व: $$f(x)$$
• यदि कोई फ़ंक्शन किसी अंतराल में निरंतर है, तो वह उस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है
• एक अंतराल में निरंतरता का चित्रमय प्रतिनिधित्व
• उदाहरण: $$f(x) = \sin(x)$$ अंतराल में $$[-\pi, \pi]$$

Continuity and Differentiability - Discontinuity

• Definition of Discontinuity
• Types of Discontinuity: Removable Discontinuity, Jump Discontinuity, and Infinite Discontinuity
• Symbolic representation of discontinuity
• Graphical representation of discontinuity
• Example: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ at $$x = 2$$

निरंतरता एवं भिन्नता - असंततता

• असंततता की परिभाषा
• असंततता के प्रकार: हटाने योग्य असंततता, कूद असंततता, और अनंत असंततता
• असंततता का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व
• असंततता का चित्रमय प्रतिनिधित्व
• उदाहरण: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ पर $$x = 2$$

Continuity and Differentiability - Types of Discontinuity

• Removable Discontinuity: when there is a hole in the graph of a function at a certain point but can be filled
• Jump Discontinuity: when there exist two one-sided limits at a certain point but they are not equal
• Infinite Discontinuity: when the function approaches infinity or negative infinity at a certain point
• Graphical representation of each type of discontinuity
• Example: $$f(x) = \frac{{\sin(x)}}{{x}}$$ at $$x = 0$$

निरंतरता एवं भिन्नता - असंततता के प्रकार

• हटाने योग्य असंततता: जब किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक निश्चित बिंदु पर एक छेद होता है लेकिन उसे भरा जा सकता है
• जंप असंततता: जब एक निश्चित बिंदु पर दो एकतरफ़ा सीमाएँ मौजूद होती हैं लेकिन वे समान नहीं होती हैं
• अनंत असंततता: जब फ़ंक्शन एक निश्चित बिंदु पर अनंत या नकारात्मक अनंत तक पहुंचता है
• प्रत्येक प्रकार की असंततता का चित्रमय प्रतिनिधित्व
• उदाहरण: $$f(x) = \frac{{\sin(x)}}{{x}}$$ पर $$x = 0$$

Continuity and Differentiability - Differentiability

• Definition of Differentiability
• Symbolic representation of differentiability: $$f’(x)$$
• Differentiability implies continuity
• Differentiability at a point vs Differentiability in an interval
• Example: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ at $$x = 2$$

निरंतरता और भिन्नता - भिन्नता

• विभेदीकरण की परिभाषा
• भिन्नता का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व: $$f'(x)$$
• भिन्नता का तात्पर्य निरंतरता से है
• एक बिंदु पर भिन्नता बनाम एक अंतराल में भिन्नता
• उदाहरण: $$f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}}$$ पर $$x = 2$$

Continuity and Differentiability - Differentiation Rules

• Power Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1}$$
• Constant Multiple Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}(cf(x)) = c \cdot \frac{{d}}{{dx}}(f(x))$$
• Sum and Difference Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}(f(x) \pm g(x)) = \frac{{d}}{{dx}}(f(x)) \pm \frac{{d}}{{dx}}(g(x))$$
• Product Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}(f(x) \cdot g(x)) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)$$
• Quotient Rule: $$\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\right) = \frac{{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}}{{g^2(x)}}$$

निरंतरता और भिन्नता - विभेदीकरण नियम

• पावर नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1}$$
• लगातार एकाधिक नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}(cf(x)) = c \cdot \frac{{d}}{{dx}}(f(x))$$
• योग और अंतर नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}(f(x) \pm g(x)) = \frac{{d}}{{dx}}(f(x) ) \pm \frac{{d}}{{dx}}(g(x))$$
• उत्पाद नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$
• भागफल नियम: $$\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\right) = \frac{{f'( x)g(x) - f(x)g'(x)}}{{g^2(x)}}$$

Continuity and Differentiability - Examples of Differentiation

निरंतरता और भिन्नता - भिन्नता के उदाहरण