JEE Toppers के लिए कार्य, ऊर्जा और एण्टर्प्रवर्ती आदि अधिनियमों के बारे में नोट्स - मान मोमेंटम का संरक्षण

1. कार्य

• कार्य एक वस्तु के साथ या से बाहर एक बाह्य बल द्वारा संक्रांत की गई ऊर्जा होता है।

• निरंतर बल द्वारा किसी विस्थान में कार्य, (F), पर दिया जाता है: $$W = Fd \cos\theta$$ यहां (\theta) बल और विस्थान वेक्टर के बीच का कोण है।

• बदलते बल द्वारा किया गया कार्य समकालन का उपयोग करके मूल्यांकित किया जाता है: $$W = \int{F.dr}$$

• कार्य-ऊर्जा सिद्धांत: किसी वस्तु पर समष्टि किया गया नेट कार्य उसकी परिवर्तनशील किनेटिक ऊर्जा के बराबर होता है: $$\Delta K = W_{net}$$

• शक्ति कार्य किए जाने की दर है: $$P = \frac{dW}{dt}$$

2. ऊर्जा

• ऊर्जा कार्य करने की क्षमता है।
• किनेटिक ऊर्जा गति की ऊर्जा है, जिसे दिया जाता है: $$K = \frac{1}{2}mv^2$$

यहां (m) मास और (v) गति है।

• स्थानांतरित कारणों, जैसे गुरुत्वाकर्षणीय ऊर्जा और स्प्रिंग की ऊर्जा के कारण, वस्तु में भण्डारित ऊर्जा होती है।

• ऊर्जा का संरक्षण: एक पृथक तंत्र की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।

• यांत्रिकीय ऊर्जा संरक्षण: यदि कोई गैर-संरक्षक बल जैसे घर्षण नहीं है, तो एक तंत्र की कुल यांत्रिक ऊर्जा (किनेटिक और स्थानांतरित ऊर्जा का योग) स्थिर रहती है।

3. एण्टर्प्रवर्ती

• एण्टर्प्रवर्ती एक वस्तु पर कार्रवाई करने वाले बल और बल क्रियान्वयन के दौरान कार्रवाई के लिए समय अंतर का उत्पाद है: $$I = F\Delta t$$

• एण्टर्प्रवर्ती-मोमेंटम सिद्धांत: किसी वस्तु पर कार्रवाई होने वाली कुल एण्टर्प्रवर्ती उसकी परिवर्तनशीलता के बराबर होती है: $$\Delta p = I$$

4. मोमेंटम

• मोमेंटम किसी वस्तु की मास और वेग का गुणन है: $$p = mv$$

• मोमेंटम का संरक्षण: एक पृथक तंत्र का कुल मोमेंटम स्थिर रहता है।

• मोमेंटम के प्रयोग में संरक्षण सम्मेलन, विस्फोट, रॉकेट प्रोपल्शन और अधिक शामिल हैं।

5. संघर्ष

• संघर्ष सुचारू (जहां किनेटिक ऊर्जा संरक्षित होती है) या असंघर्ष (जहां किनेटिक ऊर्जा संरक्षित नहीं होती है) हो सकते हैं।

• संघर्ष के लिए गतिशिलता के समीकरण:

• एक आयाम में: $$v_{1f}-v_{2f}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(v_{1i}-v_{2i})$$

• दो आयामों में: $$(v_{1xf}-v_{1xi})$$ $${\bf i}+(v_{1yf}-v_{1yi}){\bf j}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left[(v_{2xi}-v_{1xi}){\bf i}+(v_{2yi}-v_{1yi}){\bf j}\right]$$

$$(v_{2xf}-v_{2xi}){\bf i}+(v_{2yf}-v_{2yi}){\bf j}=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left[(v_{1xi}-v_{2xi}){\bf i}+(v_{1yi}-v_{2yi}){\bf j}\right]$$

• क्रश का संक्रमण संख्या, (e), संक्रमण की उच्चता को मापती है: $$e = -\frac{v_{1f}-v_{2f}}{v_{1i}-v_{2i}}$$

यहां (i) और (f) प्रारंभिक और अंतिम वेगों की ओर संकेत करते हैं।

6. केंद्रीय भार

• एक अणु की संख्या के तंत्र का केंद्रीय भार ऐसा बिंदु है जहां कुल भार को माना जा सकता है।
• केंद्रीय भार का चालन: एक तंत्र का केंद्रीय भार कुल मोमेंटम को कुल भार से भाग कर वेग के बराबर गति के साथ चलता है: $$v_{CM}=\frac{P_{tot}}{M}$$

जहां M कुल मास और P_{\text{tot}} कुल प्रावर्तन है।

7. घुमावरी गति

• घुमावरी गति उस स्थिर धारित्रीय के चारों ओर घूमने पर होती है।

• कोणिक विस्थापन, कोणीय वेग, और कोणीय त्वरण रैखिक विस्थापन, वेग, और त्वरण के समानांतर हैं।

• टॉर्क बल का घुमावरी समक के समकांतर है और इसका होता है: $$\tau = \mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

• कोणीय प्रावर्तन रैखिक प्रावर्तन का घुमावरी संरूप है: $$L = I\omega$$

यहां I कोत्रत्मा क्षमता है और (\omega) कोणीय वेग है।

• कोणीय प्रावर्तन का संरक्षण: एक विरामित प्रणाली का कुल कोणीय प्रावर्तन निरंतर रहता है।

8. सरल आरम्भिक गति

• सरल आरम्भिक गति एक धारित्रीय गति है जहां बहाली बल विस्थापन के साथ सीधे प्रतिरोध के हिसाब से होता है।

• गति का समीकरण दिया गया है: $$ x=A\cos{(\omega t+\phi)}$$ यहां A अम्लता है, (\omega) कोणीय आवृत्ति है, और (\phi) द्वित्व अंक है।

• एसएचएम में ऊर्जा: एक कण की सरल आरम्भिक गति का कुल ऊर्जा स्थिर रहती है और यह क्षेत्रीय और साधारण ऊर्जाओं का योग होती है।

संदर्भ:

1. NCERT भौतिकी, कक्षा 11 और कक्षा 12, भाग I और II
2. H.C. वर्मा द्वारा भौतिकी की सिद्धांत
3. फंडामेंटल ऑफ़ भौतिकी द्वारा रेस्निक, हॉलिडे, और क्रेन