वेक्टर उत्पाद - कोणीय वेग और कोणीय त्वरण

NCERT पुस्तकें संदर्भ

• NCERT ग्रेड 11: भौतिकी, भाग I, अध्याय 6 और 7
• NCERT ग्रेड 12: भौतिकी, भाग I, अध्याय 8

1. वेक्टर उत्पाद

• दो वेक्टरों का क्रॉस उत्पाद:
• दो वेक्टर A और B का क्रॉस उत्पाद, A × B के द्वारा दर्शाया जाता है, वह एक ऐसा वेक्टर है जो A और B दोनों के लिए लंबकालीन होता है।
• सूत्र: A × B = |A||B|sinθn, यहां |A| और |B| वेक्टर A और B की मात्राएँ हैं, θ A और B के बीच का कोण है, और n एक ऐसा इकाई वेक्टर है जो A और B दोनों के लंबकालीन होता है।
• क्रॉस उत्पाद का ज्यामितिकी व्याख्यान:
• दो वेक्टर A और B का क्रॉस उत्पाद A और B के साइडों के साथ एक समानपार चतुर्भुज का क्षेत्रफल दर्शाता है।
• क्रॉस उत्पाद की गुणाधार:
• A × B = -B × A
• A × (B + C) = A × B + A × C
• (A × B) × C = (A · C)B - (B · C)A
• भौतिकी में क्रॉस उत्पाद का उपयोग:
• टॉर्क की गणना करना
• कोणीय प्रवृत्ति ढूंढना
• चुंबकीय बल की दिशा निर्धारित करना
• लोरेंट्ज बल की गणना करना

2. कोणीय वेग

• कोणीय वेग की परिभाषा:
• कोणीय वेग (ω) वह दर है जिसमें एक वस्तु किसी एक्सिस के चारोंतरफ घूमती है।
• सूत्र: ω = dθ/dt, यहां dθ कोणीय स्थानपरिवर्तन का परिवर्तन है और dt समय का परिवर्तन है।
• इकाई: रेडियन/सेकंड (rad/s)
• कोणीय वेग और रेखागत वेग के बीच संबंध:
• एक वक्री पथ में चल रही वस्तु के लिए, कोणीय वेग रेखागत वेग (v) से संबंधित होता है इस सूत्र के द्वारा: v = ωr, यहां r वक्री पथ का त्रिज्या है।
• कोणीय वेग स्थितिगत कोणीय वेग:
• स्थितिगत कोणीय वेग समय के एक विशेष क्षण पर कोणीय वेग होता है।
• इसे समय के साथ कोणीय स्थानपरिवर्तन के अवरोध का अंतरक्षेत्र मानक ग्रदी के साथ गणना करके प्राप्त किया जा सकता है।
• औसत कोणीय वेग:
• औसत कोणीय वेग किसी विशेष समयांतराल पर कोणीय वेग होता है।
• इसे कोणीय स्थानपरिवर्तन में बदलाव समय के बदलाव से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है।

3. कोणीय त्वरण

• कोणीय त्वरण की परिभाषा:
• कोणीय त्वरण (α) वह दर है जिसके द्वारा कोणीय वेग में परिवर्तन होता है।
• सूत्र: α = dω / dt, यहां dω कोणीय वेग का परिवर्तन है और dt समय का परिवर्तन है।
• इकाई: रेडियन/सेकंड के वर्ग (rad/s²)
• कोणीय त्वरण और कोणीय वेग के बीच संबंध:
• कोणीय त्वरण को औसतीय त्वरण के सूत्र के द्वारा जोड़ा जा सकता है: α = a_t / r, यहां a_t कोणीय त्वरणाङ्कण है और r वक्री पथ का त्रिज्या है।
• कोणीय त्वरण स्थितिगत कोणीय त्वरण:
• स्थितिगत कोणीय त्वरण समय के एक विशेष क्षण पर कोणीय त्वरण होता है।
• इसे समय के साथ कोणीय वेग के अवरोध का अंतरक्षेत्र मानक ग्रदी के साथ गणना करके प्राप्त किया जा सकता है।
• औसत कोणीय त्वरण:
• औसत कोणीय त्वरण किसी विशेष समयांतराल पर कोणीय त्वरण होता है।
• इसे कोणीय वेग के परिवर्तन में बदलाव का समय के बदलाव से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है।

4. कोणीय वेग और कोणीय त्वरण के अनुप्रयोग

• घूमने की गति:
• समान वृत्ताकारी गति: स्थिर कोणीय वेग के साथ एक वृत्ताकार पथ में चल रहे एक वस्तु को समान वृत्ताकार गति में होने कहा जाता है।
• असमान वृत्ताकारी गति: एक वृत्ताकार पथ में चल रहे वस्तु को अस्थिर कोणीय वेग के साथ असमान वृत्ताकार गति में होने कहा जाता है।
• घूमने वाली गति:
• सवारी के बिना घूमने वाली गति: जब एक वस्तु सवारी के बिना घूमती है, तो वस्तु का सतह के साथ संपर्क बिंदु स्थिर रहता है।
• सवारी और तिस्तपी करने वाली गति: जब एक वस्तु घूमती है और टिस्तपी करती है, तो वस्तु का सतह के साथ संपर्क बिंदु चलता रहता है।
• टॉर्क और पलटी का भार:
• टॉर्क (τ) एक वस्तु को एक धुरित ध्यान के आसपास घूमने के कारण को ठेस पहुंचाने वाला बल है।
• पलटी का भार (I) एक वस्तु की कोणांक्षी त्वरण के प्रति प्रतिरोध है।
• समानांक और लंबक ध्यान के उल्लंघन का सिद्धांत: एक वस्तु की समानांक ध्यान के प्रति अक्ष के उत्थान के लिए एक अक्ष के समानांक ध्यान उसकी संक्रमण धन के प्रति दो लंबक ध्यानों का योग होता है जो इसकी संवेगीय ऊर्जा से गुजरते हैं।
• घूमने की गति में टॉर्क और पलटी के अनुप्रयोग: टॉर्क और पलटी को एक वस्तु की कोणांक्षी वेग और इसकी घूमने की ऊर्जा की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है।

5. तीन-आयामी गति

• तीन-आयामी में कोणीय वेग और कोणांक्षी त्वरण:
• तीन-आयामी गति में, कोणीय वेग और कोणांक्षी त्वरण दोनों मात्रा और दिशा दोनों होते हैं।
• तीन-आयामी में वेक्टरों का संक्रमण उत्पाद:
• तीन-आयामी में दो वेक्टरों के संक्रमण उत्पाद से एक वेक्टर पैदा होता है जो मूल वेक्टरों के दोनों के लिए लंबक होता है।
• तीन-आयामी गतिशास्त्र और गति में वेक्टर उत्पादों के अनुप्रयोग:
• तीन-आयामी गतिशास्त्र और गति में वेक्टर उत्पादों का उपयोग टॉर्क, कोणीय प्रशमन और कोणीय वेग जैसे मात्राएं का गणना करने के लिए किया जाता है।

6. प्रिसेशन और न्यूटेशन

• एक घूमने वाली चोखट की प्रिसेशन:
• प्रिसेशन एक घूमने वाले वस्तु के घुमाने के ध्यान धुरित के समानांक की आस्थिका में धीरे-धीरे बदलाव है।
• एक घूमने वाली चोखट के मामले में, प्रिसेशन भूमिगतता द्वारा उत्पन्न घुमाने के ध्यान के केंद्र पर टोप के संघटन के द्वारा होता है।
• एक घूमने वाली चोखट की न्यूटेशन:
• न्यूटेशन एक घूमने वाले वस्तु के घुमाने के ध्यान के धीरे-धीरे ऊर्जाविधान के दौरानव के ध्यान पर अनियमित झूलना है।
• एक घूमने वाली चोखट के मामले में, न्यूटेशन शीर्ष की असमान वितरण द्वारा उत्पन्न होता है।

इन विषयों को विस्तार से समझकर और संबंधित समस्या हल करने की तकनीकों का अभ्यास करके, आप वेक्टर उत्पाद - कोणांक्षी गति के लिए अपनी तैयारी को सुधार सकते हैं।