टॉपर्स से नोट्स
वेक्टर उत्पाद, कोणीय वेग, और कोणीय त्वरण
1. वेक्टर उत्पाद:
संकेत
- (a) क्रॉस उत्पाद: स्केलर ट्रिपल उत्पाद (संदर्भ: NCERT, कक्षा 12, अध्याय - वेक्टर, उदाहरण समस्या 20)
- (b) दो वेक्टर A और B का वेक्टर उत्पाद: (\overrightarrow A \times \overrightarrow B)
(संदर्भ: NCERT, कक्षा 12, चैप्टर-4 वेक्टर, पृष्ठ संख्या 94)
- (c) क्रॉस उत्पाद के सारणीयरूप में:
$$\overrightarrow A \times \overrightarrow B = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_1 & A_2 & A_3 \\ B_1 & B_2 & B_3 \end{vmatrix}$$ (संदर्भ: NCERT, कक्षा 12, चैप्टर-4 वेक्टर, पृष्ठ संख्या 96)
- (d) गुणत्व
- $$|\overrightarrow A \times \overrightarrow B|=AB \text{ sin }\theta$$
- (\overrightarrow A \times \overrightarrow B= -\overrightarrow B \times \overrightarrow A)
- (\overrightarrow A \times (\overrightarrow B + \overrightarrow C) = \overrightarrow A \times \overrightarrow B + \overrightarrow A\times\overrightarrow C)
- (e) अनुप्रयोग:
- घुमाव के द्वारा कार्य किया जाता है:
$$\overrightarrow \tau = \overrightarrow r\times \overrightarrow F$$
- एक बल द्वारा उत्पन्न घुमाव:
$$\overrightarrow N=q(\overrightarrow v\times \overrightarrow B)$$
- कोणीय संवेदनशीलता:
$$\overrightarrow L=m\overrightarrow r \times \overrightarrow v$$
2. कोणीय वेग:
संकेत
-
(a) संकल्प: कोणीय वेग एक वेक्टर मात्रा है जो किसी धारणके चारों ओर घूमने के कोणीय विस्थापन की बदलती दर को निर्दिष्ट करती है।
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(b) इकाइयाँ: रेडियन प्रति सेकंड (रैडियन/सेकंड)।
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(c) रैडियनीय वेग के साथ संबंध: $$v=r\omega$$
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(d) घूर्णनीय गति में कोणीय वेग: ( \omega = \frac{d\theta}{dt})
(संदर्भ: NCERT, कक्षा 11, चैप्टर-7, भौतिकी के पदार्थ एवं घूर्णनीय चलन, पृष्ठ संख्या 161)
3. कोणीय त्वरण:
संकेत
-
(a) संकल्प: यह एक वेक्टर मात्रा है जो कोणीय वेग की परिवर्तन दर का वर्णन करती है।
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(b) इकाइयाँ: रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (रैडियन/सेकंड²)।
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(c) हिसाब:
$$\alpha = \frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}$$ (संदर्भ: NCERT, कक्षा 11, चैप्टर-7, भौतिकी के पदार्थ एवं घूर्णनीय चलन, पृष्ठ संख्या 161)
4. संयोजन:
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कोणीय त्वरण और कोणीय वेग संबंधित होते हैं इस समीकरण के माध्यम से: $$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$$
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एक कठिन शरीर पर काम करने वाली घुमावदार बल:
$$\overrightarrow \tau=I\overrightarrow \alpha$$
- संज्ञान मान (I): एक वस्त्र का कोणीय त्वरण प्रतिरोध।
5. अनुप्रयोग:
- घूर्णनीय गतिकी समस्याओं का हल करना
- कठिन शरीर गतिकी
- जीरोस्कोप और गतिकी