एक निर्दिष्ट धुरी पर घुमावनीय गति, कोणीय पल्लव, तत्वों का संचय, और घुमावनीय गति

विस्तृत टॉपर्स के नोट्स

एक निर्दिष्ट धुरी पर घुमावनीय गति:

• कोणीय स्थानांतरण: ऑब्जेक्ट के कोणीय स्थान की बदलाव को रेडियन (रैडियन) में मापा जाता है।

  • लीनियर स्थानांतरण के संबंध: $$s=r\theta$$, यहां s लीनियर स्थानांतरण है, r त्रिज्या है, और θ कोणीय स्थानांतरण है।

• कोणीय वेग: कोणीय स्थानांतरण के परिवर्तन की दर, रेडियन प्रति सेकंड (रैडियन/सेकंड) में मापा जाता है।

  • लीनियर वेग के संबंध: $$\omega = v/r$$, यहां ω कोणीय वेग है, v लीनियर वेग है, और r त्रिज्या है।

• कोणीय त्वरण: कोणीय वेग के परिवर्तन की दर, रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (रैडियन/सेकंड²) में मापा जाता है।

  • लीनियर त्वरण के संबंध: $$\alpha = a_{tan}/r$$, यहां α कोणीय त्वरण है, a_tan टैंजेंशियल लीनियर त्वरण है, और r त्रिज्या है।

• घुमावनी गति के समीकरण:

  • स्थान (कोणीय स्थानांतरण): $$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$$, यहां θ_0 प्रारंभिक कोणीय स्थान है, ω_0 प्रारंभिक कोणीय वेग है, t समय है, और α कोणीय त्वरण है।
  • वेग (कोणीय वेग): $$\omega = \omega_0 + \alpha t$$
  • त्वरण (कोणीय त्वरण): $$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$$

टॉकशिल और घुमावनी अक्ष:

• टॉकशिल: घुमावन का कारण बनने वाला बल। $$ \tau = rFsinθ$$, यहां τ टॉकशिल है, F बल है, r धुरी से घुमावन अक्ष तक एक बिंदु पर बल लगाया जाता है, और θ r और F के बीच का कोण है।
• घुमावनी असंतुलन: कोणीय त्वरण के प्रति ऑब्जेक्ट की प्रतिरोध को मापता है, यह मास वितरण पर निर्भर करता है। (I=\sum mr^2), यहां I घुमावन असंतुलन है, m मास है, और r घुमावनी अक्ष से दूरी है।
  • समांतर अक्ष के सिद्धांत: $$I_c = I_{CM} + Md^2$$, यहां I_c समांतर अक्ष के प्रति घुमावन असंतुलन है, I_CM केंद्रीय भौतिकी संकेंद्र के प्रति घुमावन असंतुलन है, d दो समांतर अक्षों के बीच की दूरी है, और M कुल मास है।
  • लंबकोणीय अक्ष सिद्धांत: $$I_x=I_y + I_z$$, यहां I_x, I_y, और I_z तीन आपस में लंबकोणीय अक्षों के प्रति असंतुलन हैं जो एक बिंदु पर काटते हैं।

घुमावन की किनेटिक ऊर्जा:

• $$ K_R=\frac{1}{2} I \omega^2 $$

कोणीय पल्लव:

• कोणीय पल्लव: लीनियर पल्लव का घुमावनी अनुसार होने वाला मापन, ऑब्जेक्ट के घुमावनी गति को मापता है। $$L = I \omega$$, यहां L कोणीय पल्लव है, I घुमावन असंतुलन है, और ω कोणीय वेग है।
• कोणीय पल्लव की संरक्षण: एक बंद सिस्टम के लिए, कुल कोणीय पल्लव संबंधित होता है। $$L_{initial} = L_{final}$$

तत्वों का संचय और घुमावनी गति:

• भौतिकी संकेंद्र (सीएम): जहां सिस्टम की कुल मास को संकलित माना जाता है, जिसे $$\bar{x} = \frac{\Sigma mx_i}{M}$$ $$\\bar{y} = \frac{\Sigma my_i}{M}$$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, यहां (M=\Sigma m)

• घुमाने का केंद्र: जिस वस्तु या प्रणाली के चारोंओर घुमाने का एक बिंदु

• **कणों की प्रणाली की प्रथम प्रांगण का पल}: $$I = \Sigma mr^2$$

• समानांत्र केंद्र उपदान और लंबक अक्ष उपदान भी कण समूह के लिए लागू होते हैं।

घुमावती गति:

• शुद्ध घुमावती गति: एक शरीर जो बिना टिरटियाने या स्लिप किये अपने कण्ठधान के चारोंओर घुमता है।
• टिरटियाने के बिना घुमाना: संपर्क बिंदु और सतह के बीच कोई स्लाइडिंग नहीं होनी चाहिए। संपर्क बिंदु पर रैलीयी वेग (v) शून्य होना चाहिए। $$ v = \omega r$$
• कणुसंख्या: $$I_{CM}+MR^2$$

घूमते वस्तु का किनेटिक ऊर्जा: $$ K = K_{CM} + K_R = \frac{1}{2}Mv_{CM}^2 + \frac{1}{2}I_{CM}\omega^2$$

उदाहरण और अनुप्रयोग:

• दैनिक जीवन में घूमावी गति: पंखे, कपड़े धोने की मशीनें, व्हील आदि।
• इंजीनियरिंग और प्रौद्योगिकी में अनुप्रयोग: टरबाइन, गियर प्रणाली, मोटर आदि।
• खेल और खेलों में घूमावी गति: बेसबॉल कर्वबॉल, टेनिस सर्व आदि।

समस्या-समाधान तकनीकें:

• मुक्त शरीर आरेख और निर्वात् नियम: प्रणाली पर कार्य करने वाले बल और टॉर्क को पहचानें और संतुलन शर्तों का उपयोग करें (∑τ = 0 घूमावी संतुलन के लिए)।
• घूमावी गति में ऊर्जा विधियाँ: समस्तीपण की संरक्षण नीति (K_i + U_i = K_f + U_f) का उपयोग करें समस्याओं को हल करने के लिए।

संदर्भ: कक्षा 11 और कक्षा 12 - भौतिकी के लिए NCERT पाठ्यपुस्तक, भाग 1 और 2