संबंधों और समांतरों पर विस्तृत नोट्स

1. संबंधों के प्रकार NCERT संदर्भ: अध्याय 1, संबंध और समांतर, कक्षा 11

• एक-एक: एक निर्धारित सेट A से सेट B के एक संबंध R को एक-एक माना जाता है अगर B के प्रत्येक तत्व का A में एक अद्वितीय पूर्व-चित्र होता है।
• एक-बहुत: एक निर्धारित सेट A से सेट B के एक संबंध R को एक-बहुत माना जाता है अगर B के प्रत्येक तत्व का A में कम से कम एक पूर्व-चित्र होता है।
• बहुत-एक: एक निर्धारित सेट A से सेट B के एक संबंध R को बहुत-एक माना जाता है अगर B के प्रत्येक तत्व का A में एक से अधिक पूर्व-चित्र होता है।
• बहुत-बहुत: एक निर्धारित सेट A से सेट B के एक संबंध R को बहुत-बहुत माना जाता है अगर B के प्रत्येक तत्व का A में एक से अधिक पूर्व-चित्र होता है।

2. समांतरों का परिभाषा NCERT संदर्भ: अध्याय 1, संबंध और समांतर, कक्षा 11

• फ़ंक्शन की परिभाषा: सेट A से सेट B के एक संबंध R, जो प्रत्येक तत्व x में A का एक अद्वितीय तत्व y सेट B में निर्धारित करता है, को फ़ंक्शन f कहा जाता है, जिसे f(x) द्वारा दर्शाया जाता है।
• व्यापक: एक सेट A से सेट B के एक फ़ंक्शन f को व्यापक (एक-एक) कहा जाता है अगर किसी भी दो अलग-अलग तत्व a1 और a2 में A के लिए, f(a1) ≠ f(a2).
• परिपूर्णंक: एक सेट A से सेट B के एक फ़ंक्शन f को परिपूर्णंक (ऊपर) कहा जाता है अगर हर तत्व b में B के लिए, कम से कम एक तत्व a ऐसा होता है जिसके लिए f(a) = b।
• द्विपक्षीय: जो एकाधिक और व्यापक दोनों है, उसे द्विपक्षीय फ़ंक्शन कहा जाता है।

3. फ़ंक्शनों का बीजगणित NCERT संदर्भ: अध्याय 1, संबंध और समांतर, कक्षा 11

• जोड़: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• घटाव: (f - g)(x) = f(x) - g(x)
• गुणा: (f * g)(x) = f(x) * g(x)
• भाग: (f / g)(x) = f(x) / g(x) (g(x) ≠ 0)

4. फ़ंक्शनों का ग्राफ़िक प्रतिष्ठान NCERT संदर्भ: अध्याय 2, फ़ंक्शन, कक्षा 12

• ग्राफ़ की आवधानिक दिखावट कर रही जगहों के लिए विजुअलाइज़ेशन प्रदान करने हेतु प्लाटिंग ग्राफ़ों का उपयोग किया जाता है।
• ग्राफ़ संबंधी डोमेन, रेंज, और मुख्य विशेषताओं (अधिकतम, न्यूनतम, असंतति) की जानकारी प्रदान कर सकते हैं।

5. सीमाएं और सततता NCERT संदर्भ: अध्याय 2, सीमा और अवकलन, कक्षा 11

• सीमाएं:
  • x के a को पहुंचते समय फ़ंक्शन f(x) की सीमा (lim_(x->a) f(x) द्वारा दर्शाई जाती है) “L” को दर्शाती है, अगर किसी भी सकारात्मक संख्या ε के लिए, एक सकारात्मक संख्या δ ऐसी होती है कि अगर 0 < |x − a| < δ, तो |f(x) − L| < ε होता है।
  • छोड़ने योग्य, उछली हुई, और असीमा छोड़ने आदि विचलन के प्रकार होते हैं।
  • सीमा कानून और सिद्धांत सीमा के हिसाब से मापदंडों को सरलीकृत करते हैं।

6. फ़ंक्शनों के अनुप्रयोग NCERT संदर्भ: अध्याय 2, फ़ंक्शन, कक्षा 12

• अधिकतमीकरण समस्याएं: फ़ंक्शनों का उपयोग मात्रा का अधिकतम, आदि को अधिकतमीकरण करने के लिए किया जा सकता है।
• कर्व आकलन: फ़ंक्शन के ग्राफ़ की आधार पर उनके व्यवहार का विश्लेषण कर संकेतों और गुणों की समझ में सहायता करता है।

7. अनुक्रमणिका और श्रृंगणि NCERT संदर्भ: अध्याय 2, अनुक्रमणिका और श्रृंगणि, कक्षा 11

• अनुक्रमणिका: एक तालिका है जिसमें संख्याओं की क्रमबद्ध सूची होती है {a1, a2, a3, …}।

• सरणियों की सीमाएं: यदि किसी भी दिए गए ε > 0 के लिए, ऐसा एक सकारात्मक पूर्णांक M मौजूद है जिसके लिए |ऐ-एम - एल| < ε होता है जबकि m > M, तो एल सरणी की सीमा है जब m असीमित आकार तक पहुंचता है (lim_(m->∞) ऐ-एम = एल के रूप में इंडेक्ष्ट किया जाता है)।

• संगतियाँ और संप्रेक्षण: एक श्रृंखला संप्रेषित होती है अगर उसके सदस्यों का योग निरंतरता सीमा को पहुंचता है, और इसे असीमता होती है अगर यह असीमित या निरंतरता सीमा नहीं होती है।