उचितताअ ईकाघटन विषयक नोट्स

1. मूलों का स्वरूप:

• निर्धारक:

  • निर्धारक, $D$ के रूप में चिह्नित किया जाता है, एक ऐसी मात्रा है जो क्वाड्रेटिक समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का स्वरूप निर्धारित करती है।
  • इसकी गणना $D = b^2 - 4ac$ के रूप में की जाती है।

• मूलों के लिए वास्तविक और अलगत्व शर्तें:

  • यदि $D > 0$ हो, तो क्वाड्रेटिक समीकरण दो अलग स्वरूपी वास्तविक मूलों का उपयोग करता है।
  • यदि $D = 0$ हो, तो क्वाड्रेटिक समीकरण दो बराबर वास्तविक मूलों का उपयोग करता है (एक बार फिर मूल)।
  • यदि $D < 0$ हो, तो क्वाड्रेटिक समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते हैं (जटिल मूल)।

• महत्वपूर्ण बिंदु:

  • [संदर्भ:] NCERT कक्षा 11, अध्याय 4: क्वाड्रेटिक समीकरण, अनुभाग 4.1
  • शर्त $D > 0$ का विवेचन करना इसा दर्शाता है कि मूल बहुसंख्याक होते हैं और वास्तविक संख्याओं को संलग्न करने की आवश्यकता नहीं होती है।

2. मूलों और समीकरण के बीच संबंध:

• वियेटा के सूत्र:

  • यदि $\alpha$ और $\beta$ क्वाड्रेटिक समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं, तो:
    • मूलों का योग: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
    • मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = \frac{c}{a}$

• महत्वपूर्ण बिंदु:

  • [संदर्भ:] NCERT कक्षा 11, अध्याय 4: क्वाड्रेटिक समीकरण, अनुभाग 4.2
  • वियेटा के सूत्र समीकरण के संख्याबीज और मूलों के बीच एक संबंध प्रदान करते हैं।
  • ये सूत्र संख्याबीज को साधरता से हल करने में उपयोगी होते हैं।

3. क्वाड्रेटिक समीकरण में घटावधिकारी समीकरण:

• गुणांकीदरण विधि:

  • क्वाड्रेटिक अभिव्यक्ति को गुणांकीदरण करें और प्रत्येक गुणांक को शून्य के बराबर सेट करें मूलों को खोजने के लिए।

• आदर्श वर्ग पूर्ण करने की विधि:

  • समीकरण को एक संपूर्ण वर्ग बनाने के लिए व्यवस्था करें और फिर दोनों ओर संकेत का वर्ग लें मूलों को खोजने के लिए।

• क्वाड्रेटिक सूत्र:

  • मूलों को खोजने के लिए क्वाड्रेटिक सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करें।

• महत्वपूर्ण बिंदु:

  • [संदर्भ:] NCERT कक्षा 11, अध्याय 4: क्वाड्रेटिक समीकरण, अनुभाग 4.3, 4.4 और 4.5
  • ये विधियां क्वाड्रेटिक रूप में परिवर्तित किए जा सकने वाले समीकरणों को हल करने के लिए लागू की जा सकती हैं, जैसे कि वर्ग और वर्गमूलों से संबंधित समीकरण।

4. शब्द समस्याएं:

• महत्वपूर्ण अवधारणाएं:

  • भूतल, आयतन, दूरी और अन्य व्यावहारिक परिदृश्यों में शामिल होने वाली वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए क्वाड्रेटिक समीकरण के अवधारणाओं का अनुप्रयोग करें।

• महत्वपूर्ण बिंदु:

  • [संदर्भ:] NCERT कक्षा 11, अध्याय 4: क्वाड्रेटिक समीकरण, अनुभाग 4.6
  • समस्या को सावधानीपूर्वक पढ़ें ताकि मुख्य प्रारूप के पहचान करें और एक उपयुक्त क्वाड्रेटिक समीकरण निर्मित करें।

5. क्वाड्रेटिक असमिक्याएं:

• ग्राफिक विधि:

  • क्वाड्रेटिक समीकरण के आरेख बनाएं और यह अंतराल निर्धारित करें जहां यह सकारात्मक या नकारात्मक होता है।

• बीजबद्ध विधि:

  • असंख्याता समीकरण को बीजबद्ध रूप से हल करके अर्थात पॉजिटिव या नेगेटिव होने वाले $x$ के मान खोजें।

• महत्वपूर्ण बिंदु:

  • [संदर्भ:] NCERT कक्षा 12, अध्याय 4: क्वाड्रेटिक समीकरण, अनुभाग 4.8
  • क्वाड्रेटिक असमिक्याएं विभिन्न अनुकूलन और निर्णय लेने वाली समस्याओं में उपयोगी हैं।

6. द्विघातीय समीकरणों के अनुप्रयोग:

• प्रक्षेपगति:

  • प्रक्षेपगति के लिए द्विघातीय समीकरणों का उपयोग करें, जैसे कि उनके अधिकतम ऊँचाई और रेंज का पता लगाना।

• किनमेटिक्स:

  • स्थिर त्वरण के साथ गति का अध्ययन करने के लिए द्विघातीय समीकरणों का उपयोग करें, जहाँ विस्थापन, वेग, और समय की गणना की जाती है।

• ज्यामिति:

  • वृत्तों, पराबोलों, और अन्य कोनिक खंडों की समीकाओं की खोज करने के लिए द्विघातीय समीकरणों का उपयोग करें।

• महत्वपूर्ण बिंदुएँ:

  • [संदर्भ:] NCERT कक्षा 11, अध्याय 5: सादे रेखाएँ, अनुभाग 5.4; NCERT कक्षा 12, अध्याय 4: द्विघातीय समीकरण, अनुभाग 4.9
  • ये अनुप्रयोग द्विघातीय समीकरणों के प्रयोगशीलता और व्यावहारिक महत्व को दिखाते हैं।

7. ग्राफिक प्रतिनिधित्व:

• चित्रण और रेखांकन:

  • द्विघातीय फलन $y = ax^2 + bx + c$ के ग्राफ को बनाकर रेखांकन करें, ताकि जड़ों की प्रकृति और फलन के व्यवहार को दृष्टिगत बनाया जा सके।

• महत्वपूर्ण बिंदुएँ:

  • [संदर्भ:] NCERT कक्षा 12, अध्याय 4: द्विघातीय समीकरण, अनुभाग 4.7
  • द्विघातीय फलन का ग्राफ एक पराबोला होता है, जो फलन की गुणों को समझने में मदद करता है।

8. जटिल जड़ें:

• कल्पनिक संख्याओं का परिचय:

  • काल्पनिक संख्याओं और जटिल संख्याओं की अवधारणा को समझें।

• जटिल जड़ें वाले द्विघातीय समीकरण:

  • यदि $D < 0$ हो, तो द्विघातीय समीकरण के जटिल जड़ों का आकार $\alpha = \frac{-b \pm i\sqrt{-D}}{2a}$ होता है, जहाँ $i = \sqrt{-1}$ होता है।

• महत्वपूर्ण बिंदुएँ:

  • [संदर्भ:] NCERT कक्षा 11, अध्याय 5: जटिल संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण, अनुभाग 5.3
  • जटिल जड़ें वही होती हैं जब वैकल्पिक बीजक कम होती है।

9. अन्य विषय:

• पैरामीटरों के साथ द्विघातीय समीकरणों का समाधान:

  • मान बदलकर पैरामीटरों को शामिल करके द्विघातीय समीकरणों का समाधान करें।

• संबरधित द्विघातीय समीकरणों का समाधान:

  • दो या उससे अधिक द्विघातीय समीकरणों को समाधान करके समीकरणों के प्रणाली का समाधान करें।

• महत्वपूर्ण बिंदुएँ:

  • [संदर्भ:] NCERT कक्षा 12, अध्याय 5: रेखीय असमिकाएँ, अनुभाग 5.3; NCERT कक्षा 12, अध्याय 6: अवकलन के अनुप्रयोग, अनुभाग 6.3
  • ये विषय द्विघातीय समीकरणों के अधिक प्रगतिशील समस्याओं तक की अवधारणाओं को बढ़ाते हैं।

नोट: इस आवलोकन से जिए मामलों की उपविषयों की व्यापक जानकारी दी गई है जो आमतौर पर JEE परीक्षा के Problem On Quadratic Equations विषय के तहत शामिल होती हैं। विषय और उनके कवरेज की पूर्ण समझ के लिए अपनी विशेष JEE पाठ्यक्रम और अध्ययन सामग्री का संदर्भ लेना महत्वपूर्ण है।