संचयी और कम्बिनेशन - विस्तृत नोट्स

1. मूल सिद्धांत:

• संचयी: एक निश्चित क्रम में वस्तुओं का एक व्यवस्थित आयोजन।
  • सूत्र: $$nPr = n! / (n - r)!$$
• कम्बिनेशन: आदेश के बिना वस्तुओं का चयन।
  • सूत्र: $$nCr = n! / (r!(n - r)!)$$
• फैक्टोरियल: एक दिए गए संख्यारूपी सभी सकारात्मक पूर्णांकों का उत्पाद।
  • सूत्र: $$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$$

2. गणना तकनीक:

• संचयी सूत्र (nPr): यदि न की एक निश्चित क्रम में वस्तुएँ हैं, तो उन वस्तुओं के nPr संभावित संचयी हो सकते हैं।
• कम्बिनेशन सूत्र (nCr): यदि न वस्तुओं की हैं और हम r वस्तुएँ चुनना चाहते हैं, तो उन वस्तुओं के nCr संभावित कम्बिनेशन हो सकते हैं।
• पुनरावृत्ति के साथ संचयी: यदि न वस्तुएँ हैं और प्रत्येक वस्तु को किसी भी संख्या में बार-बार दोहराया जा सकता है, तो उन वस्तुओं के n^r संभावित संचयी हो सकते हैं।
• पुनरावृत्ति के साथ कम्बिनेशन: यदि न वस्तुओं हैं और प्रत्येक वस्तु को किसी भी संख्या में बार-बार दोहराया जा सकता है, तो उन वस्तुओं के (n+r-1)Cr संभावित कम्बिनेशन हो सकते हैं।
• चक्रीय संचयी और कम्बिनेशन: यदि एक वृत्त में n वस्तुएँ हैं, तो उन वस्तुओं के (n-1)! संभावित चक्रीय संचयी हो सकते हैं। इसी तरह, उन वस्तुओं के (n-1)Cr संभावित चक्रीय कम्बिनेशन हो सकते हैं।

3. प्रायिकता में अनुप्रयोग

• संचयी और कम्बिनेशन को एक घटना होने की प्रायिकता की गणना करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।
• एक घटना की प्रायिकता उचित परिणामों की संख्या का अनुपात होती है जो कुल संभावित परिणामों के साथ होती है।

4. अमान्यीकरण

• अमान्यीकरण एक ऐसी संचयी है जिसमें कोई भी तत्व अपने मूल स्थान पर नहीं बने रहता है।
• n वस्तुओं के अमान्यीकरणों की संख्या को इस सूत्र का उपयोग करके गणना किया जा सकता है: $$ D_n = n! - n \cdot (n-1)! $$

5. समावेश-प्रतिसमावेश सिद्धांत

• समावेश-प्रतिसमावेश सिद्धांत एक गणना तकनीक है जो समुच्चय में तत्वों की संख्या की गणना करने की अनुमति देती है, जिसमें कुछ उपसमुच्चयों को समाविष्ट करके और उन्हें फिर निकालकर इन्हें असम्प्रयोजित करते हैं।
• यह सिद्धांत कहता है कि; यदि एक और बी दो निर्दिष्ट समुच्चय हैं, तो $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

6. क्रमबद्ध और अक्रमबद्ध व्यवस्थाएँ

• एक क्रमबद्ध व्यवस्था एक व्यवस्था है जिसमें तत्वों के क्रम का महत्व होता है।
• एक अक्रमबद्ध व्यवस्था एक व्यवस्था है जिसमें तत्वों के क्रम का महत्व नहीं होता है।
• n तत्वों के लिए, n फैक्टोरियल (n!) क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ होती हैं और n-1 फैक्टोरियल (n-1)! अक्रमबद्ध व्यवस्थाएँ होती हैं।

7. ज्यामिति और बीजगणित में अनुप्रयोग

• परिवर्तन और संयोग ज्यामिति और बीजगणित में विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जा सकते हैं।
• उदाहरण के लिए, इन्हें एक समतल में एक सेट के विभिन्न तत्वों को व्यवस्थित करने के आदान-प्रदान करने के विभिन्न तरीकों की संख्या या एक रैखिक समीकरण समूह के समाधानों की संख्या की गणना करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

8. गणितीय तर्क और समस्या हल करने का कौशल

• संचयी और कम्बिनेशन को मजबूत गणितीय तर्क और समस्या हल करने कौशल की आवश्यकता होती है।

*इस विषय में उत्कृष्टता प्राप्त करने के लिए, संख्या की गणना समस्याओं को विश्लेषण करने और हल करने की क्षमता का विकास करना महत्वपूर्ण है।

9. सूत्र और आदि

• सूत्र और आदि संबंधित कुछ महत्वपूर्ण सूत्र और आदि पर्म्युटेशन और कॉम्बिनेशन के बारे में हैं।
• इन सूत्रों को याद रखना महत्वपूर्ण है और इन्हें कुशलतापूर्वक लागू करने की क्षमता होना चाहिए।

10. उन्नत अवधारणाएं

• पर्म्युटेशन और कॉम्बिनेशन में उन्नत अवधारणाओं में जेनरेटिंग फंक्शंस, रिकरेंट रिलेशंस, और पिजनहोल प्रिंसिपल शामिल हैं।
• ये अवधारणाएं और भी चुनौतीपूर्ण गणना समस्याओं को हल करने के लिए इस्तेमाल की जा सकती हैं।

संदर्भ:

• कक्षा 11 और कक्षा 12 के लिए एनसीईआरटी गणित पाठ्यपुस्तक*