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छायांक के विस्तृत नोट: एनसीईआरटी संदर्भ और महत्वपूर्ण अवधारणाएं
1. छायांकों की परिभाषा और गुण
- परिभाषा: किसी संख्या (x) का छायांक (b) आधार पर, जिसे (\log_b(x)) से दर्शाया जाता है, (b) को बढ़ाने के लिए शक्ति होती है जिससे (x) प्राप्त होता है।
संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 12, अध्याय 3: छायांकीय फलने
- छायांकों के गुण:
1. गुणांकगणना नियम: (\log_b(xy) = \log_b(x)+\log_b(y))
2. भागन कनून: (\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x)-\log_b(y))
3. घात नियम: (\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x))
4. 1 का लॉगारिदम: (\log_b(1) = 0)
5. आधार का लॉगारिदम: (\log_b(b) = 1)
6. आधार परिवर्तन सूत्र: (\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}, a,b>0, a\ne1, b\ne1)
7. प्राकृतिक छायांक: (\log_{10}(x)) सामान्य छायांक होता है, जबकि (ln(x) ) प्राकृतिक छायांक होता है जिसका आधार (e) है, जहां (e) का लगभग मान 2.71828 होता है।
संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 12, अध्याय 3: छायांकीय फलने
2. छायांकों के अनुप्रयोग
- छायांकों का उपयोग छायांकीय समीकरणों को सरल और हल करने के लिए किया जाता है, जिन्हें रेखांकीय समीकरणों में बदलकर हल किया जाता है।
संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 12, अध्याय 3: छायांकीय फलने
- कैलकुलस: छायांकीय फलनों और उनकी अवकलन और सांकलन की टिकोनीयां विभिन्न गणितीय फलनों के व्यवहार और गुणों की अध्ययन में उपयोगी होते हैं।
संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 12, अध्याय 9: अवकलन समीकरण
- वैज्ञानिक और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग: छायांकीय फलनें pH गणनाओं, किरणीय अपघटन, ध्वनि डेसीबल स्तर और अन्य कई वैज्ञानिक और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में उपयोग होती हैं।
संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 12, अध्याय 14: गणितीय तर्क
3. परिवर्तनीय फलों
- छायांकीय और घातांकीय फल एक दूसरे के परिवर्तनीय फल हैं। यदि (y = log_b(x)), तो (x = b^y)।
संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 12, अध्याय 3: छायांकीय फलने
4. आधार परिवर्तन सूत्र
- एक नंबर के छायांक को एक आधार से दूसरे में बदलने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें:
$$\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}, where a,b>0, a\ne1, b\ne1$$
संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 11, अध्याय 13: छायांक
5. छायांकीय समीकरण
- छायांकीय समीकरण हल करने में, छायांक को अलग करके रचनात्मक तकनीकों का उपयोग करके सरल करना और चर की मान को खोजना शामिल होता है।
संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 12, अध्याय 3: छायांकीय फलने
6. छायांकीय फलनें: ग्राफण और गुण
- छायांकीय फलनें उनमें होने वाली सभी फलनों द्वारा परिभाषित एक परिवार हैं, जिसकी समीकरण (f(x) = log_b(x)) होता है, जहां (b>0) और (b \ne 1) है।
छायांकीय फलनों की गुणधर्म:
- डोमेन और रेंज: डोमेन है ((0, \infty)) और रेंज है ((-\infty, \infty))।
- बढ़ने और घटने का प्रमाण: छायांकीय फलनें (b > 1 ) के लिए बढ़ती हैं और (0 < b < 1 ) के लिए घटती हैं।
- असंकेश: लघुज्ञानसूत्रों के लिए लवणात्मक असंकेश (x=0) पर होता है।
- अंतर्वली: सर्व लघुज्ञानसूत्रों के लिए ((1,0)) ही (x)-अंतर्वली होती है।
सन्दर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 3: लघुज्ञानसूत्रों
अगर आप इन विस्तृत नोट्स को समझें और NCERT पाठ्यपुस्तकों और पिछले परीक्षा पत्रों सहित विभिन्न स्रोतों से समस्याओं का अभ्यास करें, तो आप लघुज्ञान के अवधारणा को मजबूती से समझेंगे और जेईई परीक्षा की तैयारी में अपनी क्षमता को बढ़ाएंगे।
