तरंगों-समीकरण-साइनसाइडल और तरंगों की गति का परिचय

टॉपर्स के विस्तृत नोट्स से

एक तरंग का समीकरण

तरंग का सामान्य समीकरण

• तरंग माध्यम में किसी भी माला के बिना ऊर्जा को संचारित करती है जो किसी भी माध्यम की भारी गति के बिना होती है।
• तरंग का सामान्य समीकरण इस प्रकार होता है: $$y = A \sin(kx - \omega t + \phi)$$ यहां,
• (y) एक बिन्दु (x) और समय (t) पर तरंग की विस्थापना को प्रतिष्ठा देता है।
• (A) तरंग का आयाम है
• (k ) तरंग का आंकड़ा है
• (\omega) कोणीय आवृत्ति है
• (\phi) चरण स्थिर है

चलती हुई तरंग का समीकरण

• (k=2\pi/\lambda), जहां (\lambda) तरंगदैरी है।
• (\omega =2\pi f), जहां (f) तरंग की आवृत्ति है।
• इसलिए समीकरण इस प्रकार होता है: $$ y(x,t)=A\sin\left(kx-\omega t+\phi\right) =A\sin2\pi\left(\frac{x}{\lambda}-ft+\frac{\phi}{2\pi}\right)$$

कायम तरंग का समीकरण

• कायम तरंग उन दो तरंगों के आपसी संरेखण के कारण बनती है जो एक दिशा में चलती हैं लेकिन उनकी आवृत्ति और प्रमाण एक समान होते हैं।
• कायम तरंग का सामान्य समीकरण: $$y(x,t)=2A\cos(kx)\sin(\omega t+\phi)$$

साइनसॉइडल तरंग

साइनसॉइडल वेव

• साइनसॉइडल वेव एक ऐसी वेव है जिसमें बिन्दुओं की विस्थापना समय की साइन समारूपी होती है।
• साइनसॉइडल वेव का समीकरण इस प्रकार होता है $$y = A\sin(kx-\omega t+\phi)$$

कोसाइन वेव

• कोसाइन वेव एक ऐसी वेव है जिसमें बिन्दुओं की विस्थापना समय की कोसाइन समारूपी होती है।
• कोसाइन वेव का समीकरण इस प्रकार होता है $$y = A\cos(kx-\omega t+\phi)$$

चरण अंतर

• चरण अंतर एक ही आवृत्ति वाली दो तरंगों के चरण में अंतर होता है।
• इसे कोण के अंश में नापा जाता है

आंतर थाप

• आंतर थाप तत्वों की अधिकतम विस्थापना है जो औसत स्थान से होते हैं।

तरंगदैरी

• तरंगदैरी वह दूरी है जो उस तरंग में दो आपसी बिंदुओं के बीच होती हैं जो एक ही चरण में होते हैं।
• इसे मीटर में नापा जाता है।

आवृत्ति

• आवृत्ति प्रति सेकंड एक बिंदु से होने वाली तरंगों की संख्या है।
• इसे हर्ट्ज़ में नापा जाता है।

काल

• काल एक तरंग को पूरा करने के लिए लिया जाने वाला समय है।
• इसे सेकंड में नापा जाता है।

तरंगों की गति

चरण वेग

• तरंग में एक विशेष चरण की वेग, इंटरफ़ियरेंस पैटर्न से होने वाले तरंग पैटर्न की गति की दर के बराबर होता है।
• चरण वेग (V_p) इस प्रकार होती है: $$ V_p=\frac{\omega}{k} =\lambda f $$

समूह वेग

• समूह वेग उन तरंगों या तरंग पैकेटों की गति है जिनका एक समूह किसी माध्यम से सहजता से यात्रा करती है।
• तरंग पैकेट की गति की दर
• समूह वेग इस प्रकार होती है: $$V_g=\frac{d\omega}{dk}$$

ऊर्जा वेग

• ऊर्जा वेग एक तरंग द्वारा यात्रा की गति है।
• गैर-विपार्याष्ट माध्यमों में, ऊर्जा वेग को चरण वेग के समान माना जाता है।
• ऊर्जा वेग इस प्रकार होती है: $$v_{en}\ =\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}$$

तरंगदैरी, आवृत्ति और गति के बीच संबंध

• तरंगदैरी, आवृत्ति और तरंग की गति के बीच संबंध इस प्रकार होता है: $$ v = f\lambda$$
• यहां,

वी लहर की गति है एफ लहर की आवृत्ति है लामबदा लहर की तार है

लहरों की गुणधर्म

• प्रतिबिंबन: प्रतिबिंबन होता है जब लहर किसी सीमा पर टकराती है और पीछे बैटने लगती है।
• विकर्ण: विकर्ण होता है जब एक लहर दो अलग-अलग घनत्व वाले तत्वों के बीच एक सीमा पर टकराती है।
• छिलावट: छिलावट होती है जब एक लहर छोटे खिड़की या बाधा से गुजरती है।
• प्रमिलन: प्रमिलन होता है जब दो लहरें मिलकर एक नई लहर बनाती हैं।
• समक्रमण: समक्रमण दो या उससे अधिक लहरों का संयोजन है जिससे एक नई लहर बनती है।

लहरों के अनुप्रयोग

• लहरों के कई अनुप्रयोग होते हैं। कुछ लहरों के अनुप्रयोग हैं:

ध्वनि लहरें

• बोलना और सुनना ध्वनि लहरों पर आधारित होते हैं जो हवा के माध्यम से यात्रा करती हैं
• ध्वनि लहरें हारमोनियम, बांसुरी आदि इन्स्ट्रुमेंट में प्रयोग होती हैं
• उच्च ध्वनि लहरें सिनेमा साउंडट्रैक्स, समुद्री जहाज और चमगादड़ नेविगेशन और शिकार के लिए उच्च ध्वनि लहरों का प्रयोग करते हैं।
• मेडिकल साइंस ध्वनि लहरों का विभाजन में मज़बूत प्रयोग करती है

प्रकाश लहरें

• प्रकाश लहरें विद्युत चुंबकीय विकिरण का एक हिस्सा हैं।
• प्रकाश लहरों के प्रयोग प्रकाशीय फाइबर, फ़ोटोग्राफ़ी और लेजर में किए जाते हैं।
• दूरसंचार और ऑप्टिकल कम्यूनिकेशन में प्रकाश लहरों का प्रयोग किया जाता है।

जल लहरें

• जल लहरें परिवहन और मनोरंजन के लिए प्रयोग होती हैं।
• जल लहरों में ज़्यादातर उच्च लहर समुद्री तटीय प्रशांत इस्पत होती हैं।
• टाइडल ऊर्जा जल लहरों का उपयोग करने का एक उदाहरण है।

भूकंपीय लहरें

• भूकंपीय लहरें, जिन्हें आमतौर पर भूकंप कहा जाता हैं, पृथ्वी की खांड में अचानक गति से होती हैं।
• सेज्मोमीटर एक यंत्र है जिसका उपयोग भूकंपीय लहरों के मात्रता का मापन करने में किया जाता है।

रेडियो लहरें

• रेडियो लहरें वायरलेस संचार, रिमोट कंट्रोल और टीवी में प्रयोग होती हैं।
• रेडियो लहरें उपग्रहों का उपयोग करके दूरस्थ संचार के लिए किया जाता हैं।
• ये रडार और माइक्रोवेव में प्रयोग होती हैं।

माइक्रोवेव्स

• माइक्रोवेव्स खाना पकाने और गर्म करने के लिए प्रयोग होती हैं।
• रिमोट सेंसिंग सैटेलाइट माइक्रोवेव्स का उपयोग पृथ्वी की सतह और पर्यावरण के बारे में डेटा हासिल करने के लिए करते हैं।

संदर्भ:

• NCERT भौतिकी, कक्षा 11, अध्याय 15, लहरें
• NCERT भौतिकी, कक्षा 12, अध्याय 15, लहरें