अनिश्चित ऐंश्वर्य

1. अनिश्चित ऐंश्वर्य की गुणधर्म

• योग, अंतर और निरंतर गुणधर्म:

किसी भी दो फ़ंक्शन (f(x)) और (g(x)) और एक निरंतर (k) के लिए, निम्न बातें सत्य होती हैं: $$\int (f(x) + g(x)) \ dx = \int f(x) \ dx + \int g(x) \ dx$$ $$\int (f(x) - g(x)) \ dx = \int f(x) \ dx - \int g(x) \ dx$$ $$\int k f(x) \ dx = k \int f(x) \ dx$$

• समतलीय और विषमतलीय फ़ंक्शन का ऐंश्वर्य:

एक समतलीय फ़ंक्शन (f(x)) के लिए, (\int f(x) \ dx) भी एक समतलीय फ़ंक्शन है। एक विषमतलीय फ़ंक्शन (f(x)) के लिए, (\int f(x) \ dx) एक विषमतलीय फ़ंक्शन है।

2. प्रतिस्थापन द्वारा ऐंश्वर्य

(u = g(x)) को एक पायनीय फ़ंक्शन मानें। फिर, $$\int f(g(x)) g’(x) \ dx = \int f(u)\ du$$

मानक फ़ंक्शनें:

• (\int sin(x) \ dx = -\cos(x) + C)
• (\int cos(x) \ dx = \sin(x) + C)
• (\int tan(x) \ dx = \ln|sec(x)| + C)
• (\int sec(x) \ dx = \ln|sec(x) + \tan(x)| + C)
• (\int cosec(x) \ dx = -\ln|cosec(x) - \cot(x)| + C)
• (\int cot(x) \ dx = \ln|sin(x)| + C)

3. भागों के द्वारा ऐंश्वर्य

दो फ़ंक्शनें (u(x)) और (v(x)) के लिए, भागों के द्वारा ऐंश्वर्य के लिए सूत्र है: $$\int u(x) v’(x) \ dx = u(x) v(x) - \int v(x) u’(x) \ dx$$ (u(x)) और (v(x)) की चुनौती ऐंश्वर्य में महत्वपूर्ण है।

4. भिन्न संख्यात्मक फ़ंक्शनों का ऐंश्वर्य

• यथासाधारण संख्यात्मक फ़ंक्शन:

अगर विभाजक का अधिकतम घाती विभाजक के घाती से कम है, तो एक संख्यात्मक फ़ंक्शन यथासाधारण है।

• अयथासाधारण संख्यात्मक फ़ंक्शन:

अगर विभाजक का अधिकतम घाती विभाजक के घाती से अधिक या उसके समान है, तो एक संख्यात्मक फ़ंक्शन अयथासाधारण है।

• भागफलों के द्वारा ऐंश्वर्य:

एक अयथासाधारण संख्यात्मक फ़ंक्शन के लिए, भागफलों की विधि उस फ़ंक्शन को सरल भिन्नों के योग के रूप में व्यक्त करने के लिए है।

5. व्यंजनशून्य फ़ंक्शनों का ऐंश्वर्य

• त्रिकोणमितीय प्रत्यापनें:

(\int \sqrt{a^2 - x^2} \ dx = \frac{1}{2} x \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{1}{2} a^2 \arcsin\left(\frac{x}{a} \right) + C) (\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \ dx = \arcsin\left(\frac{x}{a} \right) + C) (\int \sqrt{x^2 + a^2} \ dx = \frac{1}{2} x \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{1}{2} a^2 \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C) (\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \ dx = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C)

• लघुगणक प्रत्यापनें:

(\int \sqrt[n]{x} \ dx = \frac{2}{n+1} x^{\frac{n+1}{2}} + C) (\int \frac{1}{x \sqrt{x}} \ dx = 2 \sqrt{x} + C)

• तीव्रवत प्रत्यापनें:

(\int \sqrt{x^2 + 1} \ dx) के लिए, (x = \sinh(t)) मानें। तब, (dx = \cosh(t) \ dt) और (x^2 + 1 = \cosh^2(t)), इसलिए $$\int \sqrt{x^2 + 1} \ dx = \int \cosh(t) \cosh(t) \ dt = \int \frac{1}{2} (\cosh(2t) + 1) \ dt$$ $$\frac{1}{2} \sinh(2t) + \frac{1}{2} t + C$$

(t = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})) के रूप में वापस डालने से, हम अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं: $$\frac{1}{2} (x + \sqrt{x^2 + 1}) \sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C$$

6. त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का ऐंश्वर्य

• बुनियादी त्रिकोणमितीय फलनों का संयोजन:

(\int sin(x) \ dx = -cos(x) + C) (\int cos(x) dx = sin(x) + C) (\int tan(x) dx = \ln|sec(x)| + C) (\int sec(x) dx = \ln|sec(x) + tan(x)| + C) (\int cosec(x) dx = -\ln|cosec(x) - cot(x)| + C) (\int cot(x) dx = \ln|sin(x)| + C)

• त्रिकोणमितीय फलनों के उत्पाद और घातों का संयोजन:

त्रिकोणमितीय पहचान और ऊपर दिए गए सूत्रों का उपयोग करके, त्रिकोणमितीय फलनों के उत्पाद और घातों के संयोजन सरलित कर सकते हैं और संयोजित कर सकते हैं।

7. घातीय और लोगारिद्मिक फलनों का संयोजन

• (\int e^x \ dx = e^x + C)
• (\int ln(x) \ dx = x \ln(x) - x + C)
• (\int e^{ax + b} \ dx = \frac{1}{a} e^{ax + b} + C)

8. अयोग्य संयोजन

• सधारणता और असधारणता:

यदि एक अयोग्य संयोजन का एक सीमित मान होता है, तो यह संगत कहलाता है, और यदि इसका एक सीमित मान नहीं होता है, तो यह विचलित कहलाता है।

• तुलना परीक्षण और सीमा की तुलना परीक्षण:

एक अयोग्य संयोजन की संगतता या असंगतता का निर्धारण करने के लिए, इन दो परीक्षणों में दिए गए संयोजन को एक और संयोजन के साथ तुलना की जाती है जिसकी संगतता या असंगतता पहले से ज्ञात होती है।

संदर्भ:

• कक्षा 11 के लिए NCERT पाठ्यपुस्तक: अध्याय 13 - संयोजन
• कक्षा 12 के लिए NCERT पाठ्यपुस्तक: अध्याय 7 - संयोजन