फील्ड द्वारा छूटने वाली लड़ाई और निरंतर चार्ज वितरण पर टॉपर्स के नोट्स

1. एक द्विध्रुव से होने वाली विद्युत क्षेत्र:

• द्विध्रुव की परिभाषा और संकेत:

  • एक द्विध्रुव दो बराबर और उलट चार्जों से मिलकर बनता है जो एक छोटी दूरी से अलग होते हैं।
  • द्विध्रुव का पलमांगल एक शक्ति की माप होती है और यह एक चार्ज की मात्रा और चार्जों के बीच की दूरी का गुणज होता है।

• विभिन्न बिंदुओं पर एक द्विध्रुव के कारण विद्युत क्षेत्र की गणना:

  • द्विध्रुव पर एक बिंदु पर क्षेत्र की विद्युत क्षेत्र निम्नलिखित है:

$$|\overrightarrow{E}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2qs}{r^3}$$

• द्विध्रुव पर एक बिंदु के लंबवत से सीधे अलग बिंदु पर होने वाले विद्युत क्षेत्र को दिया गया है:

$$|\overrightarrow{E}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qs}{r^3}$$

• द्विध्रुव के कारण विद्युत संभावना:
  • एक बिंदु पर द्विध्रुव के कारण विद्युत संभावना निम्नलिखित होती है

$$\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2qs}{r}\cos\theta$$

2. एक सतत चार्ज वितरण के कारण फ़ील्ड:

• रेखीय चार्ज वितरण:
  • लंबी, समान चार्ज वाली रेखा के कारण एक तंग, साधारित चार्ज के कारण विद्युत क्षेत्र निम्नलिखित होता है:

$$|\overrightarrow{E}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2Q}{L}\ln\left(\frac{x+L}{x}\right)$$

• एक तंग, साधारित चार्ज के कारण विद्युत संभावना निम्नलिखित होती है:

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2Q}{L}\ln\left(\frac{x+L}{x}\right)$$

• सतही चार्ज वितरण:
  • एक समान रेखा चार्ज के कारण विद्युत क्षेत्र निम्नलिखित होता है:

$$|\overrightarrow{E}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{2}\left(1+\frac{z^2}{R^2}\right)$$

• एक समान रेखा चार्ज के कारण विद्युत संभावना निम्नलिखित होती है:

$$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sigma\left(z+\sqrt{z^2 + R^2}\right)$$

• आयताकार चार्ज वितरण:
  • एक समान चार्ज से भरी हुई गोलाकार विद्युत क्षेत्र के कारण विद्युत क्षेत्र निम्नलिखित होता है:

$$|\overrightarrow{E}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\text{ जब }r>R$$

$$|\overrightarrow{E}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qr}{R^3}\text{ जब }r<R$$

• एक समान चार्ज से भरी हुई गोलाकार विद्युत संभावना निम्नलिखित होती है:

$$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}\text{ जब }r>R$$

$$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{2}\frac{Qr}{R^2}\text{ जब }r<R$$

3. गॉस का अध्याय:

• गॉस के अध्याय का वाक्य और गणितीय रूप:
  • गॉस का अध्याय कहता है कि एक बंद सतह के माध्यम से कुल विद्युत प्रवाह कुल चार्ज के अनुसार होता है।
  • गेमेटिकी रूप में, गॉस का अध्याय निम्नलिखित रूप में व्यक्त होता है:

$$\oint \overrightarrow{E}\cdot\hat{n}dA = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$$

• जहां $\overrightarrow{E}$ विद्युत क्षेत्र है, $\hat{n}$ मौखिक नॉर्मल वेक्टर सतह के लिए लंबवत, dA एक विभाजन का क्षेत्र है, $Q_{enc}$ सतह द्वारा सम्मिलित कुल चार्ज है, और $\epsilon_0$ मुक्त जगह की परमिटिविटी है।

• वैद्युतिक बिजली के माध्यम से वैद्युतिक क्षेत्र की गणना के लिए गौस का नियम का अनुप्रयोग:

  • गौस का नियम लगातार चार्ज किए गए गोलक, चालक गोलक और चार्ज बद्ध अनंत सतह के वैद्युतिक क्षेत्र की गणना करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है।

• परिधि द्वारा घेरे गए चार्ज की गिनती करने के लिए गौस का नियम का उपयोग:

  • गौस का नियम पुनर्गण के माध्यम से परिधि द्वारा घेरे गए चार्ज की गिनती करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है, परिधि के माध्यम से पूर्ण वैद्युतिक फ्लक्स की गणना करके।

4. वैद्युतिक लच्‍छनों का अनुप्रयोग:

• वैद्युतिक संभावनायी ऊर्जा
  • राशि चार्ज के सिस्‍टम की वैद्युतिक संभावनायी ऊर्जा निम्नलिखित में दी गई है

$$U_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=i+1}^N\frac{q_iq_j}{r_{ij}}$$

• कैपेसिटेंस और कैपेसिटर

  • कैपेसिटेंस संकेत रखता है कि एक सिस्‍टम क्षेत्र को वैद्युतिक चार्ज संग्रह करने की क्षमता है।
  • कैपेसिटर की कैपेसिटेंस निम्नलिखित में दी गई है $$C=\frac{Q}{V}$$

• आपवेशिक और परावेशिकरण

  • आपवेशिक वस्त्रपदार्थ वैद्युतिक क्षेत्र में रखाने पर धनात्मक हो सकते हैं।
  • परावेशिकरण एक प्रक्रिया है जिसमें एक आपवेशिक वस्त्रपदार्थ के भीतर के चार्ज विभाजित होते हैं जब उन्हें एक वैद्युतिक क्षेत्र के अधीन रखा जाता है।

• कैपेसिटर में भरी ऊर्जा

• कैपेसिटर में भरी ऊर्जा निम्नलिखित में दी गई है $$U_e=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}CV^2=\frac{Q^2}{2C}$$

• वैद्युतिक मशीनें

• वैद्युतिक मशीनें उच्च वोल्टेज उत्पन्न करने के लिए वैद्युतिक सिद्धांतों का उपयोग करने वाले यंत्र होते हैं।

• वैद्युतिक मशीनों के उदाहरण में वैन दे ग्राफ जेनरेटर और विमशर्ष्ट मशीन शामिल होते हैं।

5. वैद्युतिक संभावित:

• वैद्युतिक संभावित की परिभाषा और अवधारणा:

  • एक बिंदु पर वैद्युतिक संभावित विचार, विद्युत्‍ संभावनायी ऊर्जा की मात्रा होती है जिसे चार्जों की उपस्थिति के कारण उस बिंदु पर इकाई चार्ज के योग्यता के रूप में प्रतिपालित किया जाता है।

• बिंदु चार्जों, डिपोल और नियमित चार्ज वितरण के कारण वैद्युतिक संभावित की गणना:

  • दूरी r पर एक बिंदु चार्ज Q के कारण वैद्युतिक संभावित $\phi$ निम्नलिखित में दी गई है

$$\phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}$$

• एक डिपोल के दूरी r और एक कोण $\theta$ के साथ डिपोल के क्षण में वैद्युतिक संभावित $\phi$ निम्नलिखित में दी गई है

$$\phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^2}(\vec{p}\cdot\hat{r})$$

• नियमित चार्ज वितरण के कारण वैद्युतिक संभावित की गणना की जा सकती है समान्तरण का उपयोग करके।

• वैद्युतिक समतल और उनकी गुणधर्म:

  • वैद्युतिक समतल सतहें ऐसी सतहें हैं जहां वैद्युतिक संभावित स्थिर होती है।
  • वैद्युतिक समतल सतहें हमेशा वैद्युतिक क्षेत्र रेखाओं के लगभग लंबी होती हैं।
  • एक वैद्युतिक समतल पर एक चार्ज को लाने में कोई कार्य नहीं किया जाता है।

• वैद्युतिक क्षेत्र और वैद्युतिक संभावित के बीच संबंध:

  • वैद्युतिक क्षेत्र वैद्युतिक संभावित का ऋणात्मक घाटा होता है, अर्थात्,

$$\vec{E}=-\nabla\phi$$

6. सीमांत स्थिति:

• माध्यम पर वैद्युतिक क्षेत्र और वैद्युतिक संभावित के सीमा-स्थिति:

• तांगेंटियल घटक क्षेत्र सीमा पर दो डाइइलेक्ट्रिक के बीच निरंतर है।

  • नॉर्मल घटक विद्युत विस्थापन क्षेत्र सीमा पर दो डाइइलेक्ट्रिक के बीच निरंतर है।
  • विद्युत संभावना दो डाइइलेक्ट्रिक के बीच सीमा पर निरंतर है।

7. प्रतिमाओं का विधि:

• प्रतिमाओं की अस्थायी स्थानों में सिद्धांत और अनुप्रयोग:
  • प्रतिमाओं की विधि एक तकनीक है जो चार्जमुक्त सतहों के समाधान करने के लिए उपयोग की जाती है।
  • प्रतिमाओं की विधि में आभासी चार्जों को ऐसे स्थान पर रखना शामिल होता है जिससे सीमा की स्थिति को पूरा किया जाता है।

8. लैपलेस की समीकरण:

• लैपलेस की समीकरण की परिभाषा और गुणधर्म:
  • लैपलेस की समीकरण एक द्वितीय-क्रमीय आंशिक अवकलन समीकरण है जिसे चार्ज से मुक्त क्षेत्र में विद्युत संभावना द्वारा पूरा किया जाता है।

$$\nabla^2\phi=0$$

• विभिन्न समन्वयी प्रणालियों में लैपलेस की समीकरण के समाधान:
  • लैपलेस की समीकरण को विभिन्न समन्वयी प्रणालियों में अलगाव के द्वारा हल किया जा सकता है।

9. मल्टीपोल विस्तार:

• मल्टीपोल विस्तार की अवधारणा:

  • मल्टीपोल विस्तार एक तकनीक है जो चार्ज वितरण की विद्युत संभावना को एक संदर्भ बिंदु से दूरी के आधार पर सम के तरह दर्शाने के लिए उपयोग की जाती है।

• मल्टीपोल अंश (ड्यूपोल अंश, क्वाड्रुपोल अंश, आदि):

  • मल्टीपोल अंश विद्युत संभावना के मल्टीपोल विस्तार में संकेतक हैं।
  • ड्यूपोल अंश पहला मल्टीपोल अंश है और चार्ज वितरण की समग्र प्रवृत्ति को दर्शाता है।
  • क्वाड्रुपोल अंश द्वितीय मल्टीपोल अंश है और चार्ज वितरण की पूर्ण गोलाकार से विचलन को दर्शाता है।

10. विद्युतीय ऊर्जा:

• बिंदु चार्जों के एक सिस्टम की ऊर्जा $$U_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=i+1}^N\frac{q_iq_j}{r_{ij}}$$
• विद्युतीय संभावना ऊर्जा $$U=q_0V(\overrightarrow{r}_0)$$
• विद्युतीय क्षेत्र में एक चार्ज को ले जाने में किया गया काम $$W=q_0[\phi$$