डिटर्मिनेंट्स: JEE टॉपर्स के विस्तृत नोट्स

1. डिटर्मिनेंट की अवधारणा

• एक डिटर्मिनेंट एक वर्गमात्रिका से संबंधित एक स्केलर मान होता है।
• इसे लापलेस विस्तार का उपयोग करके या पंक्ति या स्तंभ के संचालन का उपयोग करके गणित किया जा सकता है।
• मात्रिका का डिटर्मिनेंट det(A) या |A| से दर्शाया जाता है।

(संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 4, डिटर्मिनेंट्स)

2. डिटर्मिनेंट्स की गुणधर्मों का विवरण

• एक त्रिकोणीय मात्रिका का डिटर्मिनेंट उसके विपरीतकोण तत्वों का गुणाकार होता है।
• एक व्यासांकीय मात्रिका का डिटर्मिनेंट उसके व्यासांकों का गुणाकार होता है।
• एक सममान्य मात्रिका का डिटर्मिनेंट हमेशा अकार्य होता है।
• यदि मात्रिका के दो पंक्तियाँ या स्तंभ एक-दूसरे के साथ प्रतिस्थापित की जाती हैं, तो डिटर्मिनेंट की चिन्हांकन प्रतीति होती है।
• यदि मात्रिका की एक पंक्ति या स्तंभ में कोई संख्या द्वारा गुणित की जाती है, तो डिटर्मिनेंट उस संख्या से गुणित होता है।

(संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 4, डिटर्मिनेंट्स)

3. माइनर और कोफेक्टर

• माइनर एक मात्रिका का उपमात्रिका होता है, जिसे मूल मात्रिका की एक पंक्ति और एक स्तंभ को हटा कर प्राप्त किया जाता है।
• कोफेक्टर मात्रिका का माइनर होता है, जिसे हटा दिए गए तत्व की पंक्ति और स्तंभ सूचकांकों के सम की शक्ति के -1 गुणित किया जाता है।

(संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 4, डिटर्मिनेंट्स)

4. क्रेमर के नियम

• क्रेमर के नियम एक विधि है जो सत्यापित निर्देशिका के बराबर संख्या के समीकरणों को हल करने के लिए प्रयोग की जाती है।
• इसमें संकेतांक मात्रिका के डिटर्मिनेंट और संकेतांक मात्रिका के प्रत्येक स्तंभ को स्थानांतरित करके प्राप्त मात्रिकाओं के डिटर्मिनेंटों का गणना शामिल होती है।

(संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 4, डिटर्मिनेंट्स)

5. डिटर्मिनेंट्स के अनुप्रयोग

• डिटर्मिनेंट्स का उपयोग बहुभुजों के क्षेत्र की ज्ञाति के लिए किया जाता है।
• डिटर्मिनेंट्स का उपयोग पैरालेलपाइपेड की आयतन मात्रा की ज्ञाति के लिए किया जाता है।
• डिटर्मिनेंट्स का उपयोग मात्रिका की दोहरापातित्व की जांच करने के लिए किया जाता है।
• डिटर्मिनेंट्स का उपयोग रैखिक बीजगणित में रैखिक समीकरणों के समीकरणों को हल करने, मात्रिका के उल्ट, और इजनमूल्यों और इजनवेक्टर्स की गणना करने में किया जाता है।

(संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 4, डिटर्मिनेंट्स)

6. विशेष मात्रिकाओं के डिटर्मिनेंट्स

• त्रिकोणीय मात्रिका का डिटर्मिनेंट उसके विपरीतकोण तत्वों का गुणाकार होता है।
• व्यासांकीय मात्रिका का डिटर्मिनेंट उसके व्यासांकों का गुणाकार होता है।
• एक सममान्य मात्रिका का डिटर्मिनेंट हमेशा अकार्य होता है।

(संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 4, डिटर्मिनेंट्स)

7. इजनमूल्य और इजनवेक्टर्स

• एक मात्रिका का इजनमूल्य वह स्केलर है जो अपने संबंधित इजनवेक्टर से गुणित होने पर उस इजनवेक्टर के समानांक और प्रायिक वेक्टर को उत्पन्न करता है।
• मात्रिका का डिटर्मिनेंट अपने इजनमूल्यों के गुणाकार के बराबर होता है।

(संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 4, डिटर्मिनेंट्स)

8. ज्यामिति में डिटर्मिनेंट्स के अनुप्रयोग

• डिटर्मिनेंट्स का उपयोग समानपांडु क्षेत्र के क्षेत्रफल की ज्ञाति के लिए किया जाता है।
• डिटर्मिनेंट्स का उपयोग त्रिकोणाकारी परिपट्टि के आयतन की ज्ञाति के लिए किया जाता है।
• डिटर्मिनेंट्स का उपयोग त्रिआयात मे प्लेन के समीकरण की ज्ञाति के लिए किया जाता है।

(संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 4, निर्धारक)

9. रैखिक बीजगणित में अनुप्रयोग

• निर्धारक से रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए प्रयोग किया जाता है।
• निर्धारक से मैट्रिक्स के रिवर्स को खोजने के लिए प्रयोग किया जाता है।
• निर्धारक से आइगेनवैल्यूज और आइगेनवेक्टर्स की गणना की जाती है।

(संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 4, निर्धारक)

10. JEE-स्तर की समस्याओं का हल करना

• निर्धारक पर जेईई-स्तर की समस्याओं को ऊपर बहस किए गए सिद्धांतों और गुणधर्मों का प्रयोग करके हल किया जा सकता है।
• सिद्धांतों की समझ को मजबूत करने के लिए विभिन्न जेईई-स्तर की समस्याओं का हल करने का अभ्यास करना महत्वपूर्ण है।

(संदर्भ: JEE Main और Advanced पिछले वर्षों के प्रश्न पत्र)