निश्चित ऐंशिकी

1. निश्चित ऐंशिकी की मूल बातें:

• परिभाषा (NCERT Class 12, Chapter 7): एक समीकरण ( f(x) ) की निश्चित ऐंशिकी (x) के लिए एक अवधि ([a, b]) के संबंध में, जब बहुभुजों की संख्या अनंत को पहुंचती है तो, यह परिभाषित होता है कि (f(x)) के बीच (a) और (b) के बीच (f(x)) की क्षेत्रफलों के योग की सीमा है। $$ ∫a^b f(x) \ dx= \lim{n \to ∞} \sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i$$ यहां (c_i) कोई भी बिंदु है जो (i^{th}) उप-अवधि में है, जिसकी लंबाई (\Delta x_i) है, (n) संख्या उप-अवधियों को दर्शाती है, और (c_i) बिंदु (i^{th}) उप-अवधि ([x_{i-1},x_{i}]) का कोई बीच का मूल्य है।

• गुणों की संपत्ति:

• रेखांकन: (∫_a^b (f(x)+g(x)) \ dx=∫_a^bf(x) \ dx +∫_a^bg(x) \ dx).

• संयोज्यता: (∫_a^b f(x) \ dx=∫_a^c f(x) \ dx +∫_c^b f(x) \ dx), जहां (a<c<b) होता है।

• तुलना के सिद्धांत: यदि (f(x) ≤ g(x)) सभी (x) के लिए ([a, b]), तो (∫_a^b f(x) \ dx ≤∫_a^b g(x) \ dx). और, यदि ( f(x) ≥ g(x) ) सभी (x) के लिए ([a, b]), तो ( ∫_a^b f(x) \ dx ≥ ∫_a^b g(x) \ dx ) होता है।

2. ऐंशिकी के तकनीक:

2.1 प्रतिस्थापन द्वारा ऐंशिकी:

• नियम: यदि (u = g(x)) एक ऐसा संदेशय है जो (x) का एक विभेद्य समीकरण है और (f) एक ऐसा सतत समीकरण है जो (u) का एक सतत समीकरण है, तो $$ ∫f(g(x))g′(x) \ dx= ∫f(u) \ du.$$

• उदाहरण:

(∫ sin^2 3x \ dx = - (1/6) cos 3x +C, u = 3x) (∫ e^{5x} \ dx = (1/5)e^{5x}+C, u = 5x)

2.2 भागों के द्वारा ऐंशिकी:

• नियम: यदि (u) और ( v ) एक प्रतिभाग्यता समीकरण हैं, तो $$∫udv = uv - ∫vdu$$

• उदाहरण:

(∫x \sin x dx = x (-\cos x) - ∫(-\cos x) dx= -xcos x +sinx + C) (∫ln x dx = xln x - ∫x \frac{1}{x} dx = x \ln x - x+C)

2.3 त्रिकोणोमीय प्रतिस्थापन:

• त्रिकोणोमीय समीकरणों को ऐंशिकी करने के लिए निम्नलिखित प्रतिस्थापन का उपयोग करें:

  • (sin θ = x , \ θ=arcsin x)

• (cos θ = x , \ θ=arccos x)

• (tan θ = x, \ θ = arctan x)

• उदाहरण:

( ∫\sqrt{1-x^2 } dx = \frac{1}{2} (x \sqrt{1-x^2 } +\arcsin x )+ C ) ( ∫\frac{1}{x^2 + 1} dx = arctan x+ C)

2.4 प्रतिशत फ्रैक्शन की ऐंशिकी:

• प्रतिशत फ्रैक्शन और ऐंशिकी को अलग-अलग करने के लिए भागफल विस्तार का उपयोग करें।

2.5 अबहज फंक्शनों की ऐंशिकी:

• समीकरण को करणीय अंशविन्यास द्वारा एकीकृत करें और वर्गमूल या अधिक वर्गों वाले समीकरणों को अंतर्निहित करने के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग करें।

3. निश्चित ऐंशिकी के अनुप्रयोग:

3.1 कर्व के नीचे क्षेत्रफल:

• सतत और गैर-नकारात्मक समीकरण (f(x)) के लिए, निश्चित ऐंशिकी (\int_a^b f(x) \ dx) सतह के बीच क्षेत्रफल देती है, जो (f(x)) के ग्राफ, (x)-axis और लम्बवत रेखाएं (x = a) और (x = b) के बीच होती हैं।

3.2 एक परिरूपण गोला का आयतन:

• एक सकारात्मक सतत समीकरण (f(x)), (x)-axis और लम्बवत रेखाएं (x = a) और (x = b) के बीच के क्षेत्रफल को (x)-axis के चारों ओर घुमाने से उत्पन्न ग्राफ के द्वारा ज्ञाने वाले खंड का आयतन होता है ( V = \pi ∫_a^b (f(x))^2 \ dx).

3.3 कर्व की लंबाई:

• स्मूद कर्व में निरंतर विभेदक के साथ ऐसा कि (a) और (b) के बीच पर्जन्य का हिस्सा (f(x)) द्वारा दिया जाता है। उस हिस्से पर कर्व की लंबाई निम्न द्वारा दी गई है $$L=∫_a^b \sqrt{1+[f’(x)]^2 } dx$$

3.4 एक बल द्वारा किया गया काम:

• एक स्थिर बल (F) द्वारा दिया गया काम एक वस्तु को एक दूरी (d) के माध्यम से ले जाने में किया जाता है $$W=F.d$$
• जब किसी वस्तु पर एक चर बल (F(x)) लगाया जाता है और एक वस्तु को एक दूरी से ले जाने में अस्थायी बिंदु से अपेक्षाकृत बदल रहा होता है (अर्थात, स्थान (x_a) से स्थान (x_b)) तक), तो चिंत के द्वारा किया जाने वाला काम ( W) बल द्वारा दिया जाता है $$W = ∫_a^b F(x) \ dx $$

3.5 फ़ंक्शन का औसत मान:

• अवकाशकालिक फ़ंक्शन ( f(x) ) का औसत मान अंतराल ([a, b]) पर निम्न द्वारा दिया जाता है $$ f_{avg} =\frac{1}{b-a}∫_a^b f(x) \ dx.$$

4. न्यूनतम अवकाशकालीन

4.1 परिभाषा:

• प्रकार 1: निम्नतम अवकाशकालीन (\int_a^∞ f(x) \ dx) कहा जाता है कि यदि ( \lim_{x \to \infty}∫_a^x f(x) \ dx ) एक सीमित संख्या के रूप में मौजूद होता है।

• प्रकार 2: निम्नतम अवकाशकालीन (\int_a^b f(x) \ dx) कहा जाता है कि यदि ( \lim_{b \to \infty}∫_a^b f(x) \ dx ) एक सीमित संख्या के रूप में मौजूद होता है।

• प्रकार 3: यदि फ़ंक्शन ((a,b)) में (c) पर असीमित असंयोजन होता है और इसे या तो ( [a,c] ) के लिए या तो ( [c,b] ) के लिए संघटन शर्त को पूरा करता है, तो निम्नतम अवकाशकालीन ( \int_a^b f(x) \ dx ) संघटित होती है।

4.2 तुलना परीक्षण:

• निम्नतम अवकाशकालीन (\int_a^∞ f(x) \ dx ) संघटित होती है यदि ऐसी कोई संघटित अवकाशकालीन (\int_a^∞ g(x) \ dx ) होती है जिसके लिए (0≤f(x)≤g(x)) हर (x≥a) के लिए।

4.3 अनुप्रयोग

• निम्नतम अवकाशकालीन असीमित सीमाओं वाले क्षेत्रों के आयतन और क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना के लिए उपयोग होती हैं, असंघटन और प्रासंगिकता की गणना के लिए।

5. 2D और 3D में निश्चित ऐन्टेग्रेल:

• द्विगुणी ऐन्टेग्रेल (आयताकार क्षेत्रों पर): एक आयताकार क्षेत्र ( R= [a,b] \times [c,d] ) पर स्थिर फ़ंक्शन (f(x,y)) के लिए, $$ ∬R f(x,y) \ dA =\lim{m\to ∞} \lim_{n\to ∞} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(c_i, d_j) \Delta x \Delta y$$ $$= \int_a^b \int_c^d f(x,y) \ dy \ dx$$

• सामान्य क्षेत्रों पर द्विगुणी ऐन्टेग्रेल:

• वक्रीय या अनियमित सीमाओं वाले क्षेत्रों पर द्विगुणी ऐन्टेग्रेल की मान्यता की गणना करने के लिए, हम निम्न प्रक्रिया का उपयोग करते हैं:

  • क्षेत्र को छोटे आयताकार या त्रिकोणीय उपक्षेत्रों में विभाजित करें।
  • प्रत्येक उपक्षेत्र के लिए निर्धारित ऐन्टेग्रेल सेट करें।
  • प्रत्येक उपक्षेत्र के लिए निर्धारित ऐन्टेग्रेल जोड़ें।
  • उपक्षेत्रों के आकार के बढ़ने के साथ सीमा की गई घटनाएं लें।

• तिगुणी ऐन्टेग्रेल (आयताकार बॉक्सों पर): द्विगुणी ऐन्टेग्रेल एक ही प्रकार की बॉक्स ( [a,b] \times [c,d] \times [e,f] ) पर $$\iiint_P f(x,y,z) \ dV = \int_a^b \int_c^d \int_e^f f(x,y,z) \ dz \ dy \ dx $$ जहां (P) तीन-आयामी अंतरिक्ष में एक क्षेत्र है।

• सामान्य क्षेत्रों पर तिगुणी ऐन्टेग्रेल:

• समान रूप से आयात करें