पराबोला

a. पराबोला का मानक समीकरण:

• पराबोला का सामान्य समीकरण: (y^2=4ax)
• केंद्र: ((0,0))
• ध्यानदाता: ((a,0))
• निर्देशक रेखा: (x = -a)

b. पराबोला की गुणसूत्रें:

• फोकस का केंद्र और पराबोला पर किसी भी बिंदु से समान दूरी होती है।
• पराबोला पर किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा ध्यान धारी और तल के बीच खंडन रेखा के साथ समान कोण बनाती है।
• पराबोला पर किसी भी बिंदु पर सबनॉर्मल स्थिर होती है और लाटस रैकटम से समान होती है।

संदर्भ:

• NCERT गणित कक्षा 11, अध्याय 10: कोणीय खण्ड

c. पराबोला के स्पर्श रेखाओं और सामान्यों का समीकरण:

• पराबोला (y^2=4ax) के बिंदु ((x_1, y_1)) पर एक स्पर्श रेखा का समीकरण: $$y – y_1 = m(x – x_1),$$ यहां (m) स्पर्श रेखा का ढलान है।
• पराबोला (y^2=4ax) के बिंदु ((x_1, y_1)) पर एक समान्य का समीकरण: $$y – y_1 = - \frac{1}{m}(x – x_1),$$ यहां (m) स्पर्श रेखा का ढलान है।

संदर्भ:

• NCERT गणित कक्षा 11, अध्याय 10: कोणीय खण्ड

d. दो पराबोलों की सामान्य स्पर्श रेखाओं का समीकरण:

• दो पराबोलों (y^2=4a_1x) और (y^2=4a_2x) को मान लें।
• दो पराबोलों का सामान्य स्पर्श रेखा का समीकरण: $$yy_2(a_1-a_2) = x(y_1^2-y_2^2)$$

संदर्भ:

• NCERT गणित कक्षा 11, अध्याय 10: कोणीय खण्ड

अंडाकार

a. अंडाकार का मानक समीकरण:

• एक अंडाकार का सामान्य समीकरण: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, (a>b)$$
• केंद्र: ((0,0))
• शीर्षक बिंदु: ((\pm a, 0) )
• सह-शीर्षक बिंदु: ((0, \pm b ))
• फोकस: ((\pm c, 0)), जहां (c^2=a^2-b^2)

संदर्भ:

• NCERT गणित कक्षा 11, अध्याय 10: कोणीय खण्ड

b. अंडाकार की गुणसूत्रें:

• किसी भी बिंदु से दो फोकसों तक की दूरीयों का योग निरंतर होता है और (2a) के बराबर होता है।
• अंडाकार पर किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा फोकल त्रिज्याओं के साथ समान कोण बनाती है।
• सेमी-बृहत तथा सेमी-लघु धनात्मकों की लंबाईयों का गुणांक निरंतर होता है और वह (a^2 - b^2) के बराबर होता है।

संदर्भ:

• NCERT गणित कक्षा 11, अध्याय 10: कोणीय खण्ड

c. अंडाकार की स्पर्श रेखाओं और सामान्यों के समीकरण:

• अंडाकार (\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1) पर एक स्पर्श रेखा का समीकरण बिंदु ((x_1, y_1)) पर होता है: $$ \frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1$$

• अंडाकार (\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1) पर एक सामान्य का समीकरण बिंदु ((x_1, y_1)) पर होता है: $$ \frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1$$ संदर्भ:

• NCERT गणित कक्षा 11, अध्याय 10: कोणीय खण्ड

d. संरक्षक व्यासों का समीकरण:

• यदि अंडाकार (\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1) का तार-वृत्त द्वारा चोट का समीकरण $$lx+my=1$$ है, तो संरक्षक व्यास का समीकरण $$lx-my=1$$ होता है। संदर्भ:

• NCERT गणित कक्षा 12, अध्याय 6: कोणीय खण्ड

हाइपरबोला

a. हाइपरबोला का मानक समीकरण:

• हाइपरबोला का सामान्य समीकरण: $$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

• केंद्र: ((0,0))

• शीर्षक बिंदु: ((\pm a, 0))

• फोकसः ((\pm c, 0)), जहाँ (c^2 = a^2+b^2) है।

• अर्धप्रक्षेपः: (2a)

• संयुग्मनप्रक्षेपः: (2b)

संदर्भः:

• NCERT गणित कक्षा ११, अध्याय १०: कोणीय स्थूलकोणाः

b. क्षेत्रियः गुणाः एकार्धीयः:*

• कोणीय स्थूलकोणायाः कोने से कोणीय स्थानात सभी बिन्दूनां द्विफोकस दोरणों के बीच मात्रसम तथा (2a) के समान होता है।
• कोणीय स्थूलकोणायाः कोणीय स्थानचलनी कोणीय तीव्रता के साथ समान कोण बनाता है।
• अर्धप्रक्षेपः और अर्धसंयुग्मनप्रक्षेपः के आयामों के गुणांक का गुणांक मात्रसम और (a^2 - b^2) होता है।
• कोणीय स्थूलकोणायाः सरनिर्देशः: ( y = \pm \frac{b}{a}x )

संदर्भः:

• NCERT गणित कक्षा ११, अध्याय १