द्विपदांश विस्तार

1. द्विपदांश सिद्धांत

• सूत्र: (a + b)^n = ∑C(n, r) * a^(n-r) * b^r, यहाँ C(n, r) द्विपदांश संख्या है।
• द्विपदांश संख्या: C(n, r) = n!/(r!(n-r)!)
• गुणक:
  • सममिति: C(n, r) = C(n, n-r)
  • पास्कल के त्रिकोणमिति: C(n, r) को पास्कल के त्रिकोणमिति के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

2. संयोग और संभावना में अनुप्रयोग

• संयोग: द्विपदांश विस्तार का उपयोग n अलग-अलग वस्तुओं की संख्या r के वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की गिनती करने के लिए किया जाता है।
• संभावना: द्विपदांश विस्तार का उपयोग विभिन्न परिदृश्य में संभावनाओं की गणना करने के लिए किया जाता है, जैसे द्विपदांश वितरण और साधारित वितरण।

3. शक्ति श्रृंखला विस्तार

• अवधारणा: शक्ति श्रृंखला विस्तार एक अविन्यासी श्रृंखला है जिसमें स्थानिक x के घातों के साथ असीमित संख्या के पदों का समावेश होता है।
• उदाहरण:
  • sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - …
  • cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - …
  • e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …
  • ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - …

4. द्विपदांश अनुमान

• अनुमान: (1+x)^n ≈ 1 + nx जब x 1 के मुकाबले छोटा हो।
• अनुप्रयोग:
  • द्विपदांश वितरण में प्रायिकताओं को अनुमानित करना
  • संकटीकृत अभिव्यक्तियों को सरल करना

5. बहुविपदांश विस्तार और सार्वकलिकरण

• बहुविपदांश सिद्धांत: (a + b + c)^n = ∑C(n, r, s) * a^r * b^s * c^t, यहाँ C(n, r, s, t) बहुविपदांश संख्या है।
• बहुविपदांश वितरण: बहुविपदांश वितरण बहुत सारे श्रेणियों के लिए द्विपदांश वितरण का एक सार्वजनिकरण है।

6. द्विपदांश विस्तार के साथ श्रृंखलाएं

• सीमित पदों का योग: ∑C(n, r) * a^r * b^(n-r) = (a + b)^n
• अनंत श्रृंखला: ∑C(n, r) * x^r |x|>1 के लिए परिसंचरण करती है और |x|<1 के लिए संचरण करती है।

7. कैलकुलस में अनुप्रयोग

• अवकलन: द्विपदांश विस्तार का उपयोग करके कुछ फ़ंक्शनों के उत्पन्नांकों का आवकलन किया जा सकता है।
• सांकलन: द्विपदांश विस्तार का उपयोग करके कुछ फ़ंक्शनों के ऐन्टिग्रेल का पता लगाया जा सकता है।

संदर्भ:

• एनसीईआरटी गणित, कक्षा 11, अध्याय 15: द्विपदांश सिद्धांत
• एनसीईआरटी गणित, कक्षा 12, अध्याय 9: श्रृंखला और श्रेणियाँ