अंकगणित, द्युतिक और साम्रैतिक प्रगतियों

1. द्युतिक प्रगतियाँ (द्यु)

• परिभाषा: एक द्युतिक प्रगति (द्यु) एक अनुक्रम है जिसमें किसी भी दो संयुक्त शब्दों के बीच का अंतर स्थायी होता है। इसका स्थायी अंतर प्रगति कहलाता है।

• nवें शब्द के लिए निर्दिष्ट सूत्र: $$T_n = a + (n - 1)d$$ जहाँ,

• $$a $$पहला शब्द है

• $$d$$ सामान्य अंतर है, और

• $$n$$ शब्द की संख्या है

• द्युतिक प्रगतियों की गुणधर्म:

• द्युतिक प्रगति के आदि और अंत से समान दूरी पर दो शब्दों का योग सदैव समान होता है और पहले और अंतिम शब्द के योग जैसा होता है।

• द्युतिक प्रगति के n शब्दों का योग निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: $$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$$

2. साम्प्रदायिक प्रगतियाँ (साम्प्रदायिक)

• परिभाषा: साम्प्रदायिक प्रगति (साम्प्रदायिक) एक अनुक्रम है जिसमें किसी भी दो संयुक्त शब्दों के अनुपात को एक स्थायी मान कहते हैं। यह स्थायी मान साम्प्रदायिक अनुपात कहलाता है।

• nवें शब्द के लिए निर्दिष्ट सूत्र: $$T_n = a r^{n-1}$$ जहाँ,

• $$a$$ पहला शब्द है

• $$r$$ सामान्य अनुपात है, और

• $$n$$ शब्द की संख्या है

• साम्प्रदायिक प्रगतियों की गुणधर्म:

• साम्प्रदायिक प्रगति के आदि और अंत से समान दूरी पर दो शब्दों का गुणनफल सदैव समान होता है और पहले और अंतिम शब्द के गुणनफल जैसा होता है।

• साम्प्रदायिक प्रगति के n शब्दों का योग निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: $$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$ जहाँ r ≠ 1 है, और r साम्प्रदायिक अनुपात है।

• r < 1 वाले अनंत साम्प्रदायिक श्रृंखला के लिए, योग निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: $$S_∞ = \frac{a}{1 - r}$$

3. साम्यांतर प्रगतियों (सुंधि)

• परिभाषा: साम्यांतर प्रगति (सुंधि) एक अनुक्रम है जिसमें शब्दों के प्रतिष्ठानिकों के सादृश्य के सामान्यांतर के उपयोग से एक अनुक्रम बनाया जाता है।

• nवें शब्द के लिए निर्दिष्ट सूत्र: $$T_n = \frac{1}{a + (n - 1)d}$$ जहाँ,

• $$a$$ पहला शब्द है

• $$d$$ शब्दों के प्रतिष्ठानिकों के साम्यांतर का सामान्य अंतर है, और

• $$n$$ शब्द की संख्या है

• साम्यांतर प्रगतियों की गुणधर्म:

• साम्यांतर प्रगति के आदि और अंत से समान दूरी पर दो शब्दों का योग सदैव समान होता है और पहले और अंतिम शब्द के योग जैसा होता है।

• साम्यांतर प्रगति के n शब्दों का योग निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: $$S_n = \frac{n}{2}[a + \frac{1}{n} ]$$

4. प्रगतियों के अनुप्रयोग:

• वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग, जैसे:

• ब्याज गणना

• जनसंख्या वृद्धि

• क्षायाभिक्ष्य अपघटन

• एक सीमित या अनंत श्रृंखला के योग का पता लगाने वाली समस्याएं।

• nवें शब्द की प्राथमिक या सामान्य शब्द का पता लगाने वाली समस्याएं।

• एक श्रृंखला के एक निर्दिष्ट सटीकता तक का योग का पता लगाने वाली समस्याएं।