विस्तृत नोट्स टॉपर्स से: जेईई मेन और एडवांस - वेक्टर

1. बेसिक वेक्टर कॉन्सेप्ट्स:

• वेक्टर की परिभाषा: एक वेक्टर एक गणितीय वस्तु है जिसमें स्थान (मात्रा) और दिशा दोनों होती है। यह ज्यामितिय रूप से एक निर्देशित रेखा सेगमेंट के रूप में प्रतिष्ठित होता है। (संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 11, अध्याय 12, वेक्टर बीजगणित)

• वेक्टर की मात्रा और दिशा: एक वेक्टर की मात्रा उसकी लंबाई या आकार होती है, जबकि इसकी दिशा उसकी एक संदर्भ दिशा के साथ विन्यासित करती है। (संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 11, अध्याय 12, वेक्टर बीजगणित)

• वेक्टर जोड़ने और घटाने: वेक्टर जोड़ने के लिए, एक वेक्टर की पूंछ को दूसरे वेक्टर की सिर पर रखकर, परिणामी वेक्टर पहले वेक्टर की पूंछ से दूसरे वेक्टर की सिर तक होता है। वेक्टर घटाने को व्याख्या किया जाता है जैसे वेक्टर को घटाने के लिए जो कारण जोड़ने का है, उसे नेगेट किया जाता है। (संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 11, अध्याय 12, वेक्टर बीजगणित)

• स्केलर द्वारा वेक्टर का गुणना: जब एक वेक्टर को एक स्केलर (एक वास्तविक संख्या) से गुणा किया जाता है, तो वेक्टर की मात्रा स्केलर से गुणा हो जाती है और दिशा यदि स्केलर ऋणात्मक है तो इसे विपरीत हो जाती है। (संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 11, अध्याय 12, वेक्टर बीजगणित)

• वेक्टरों के जोड़ और गुणना की गुणधर्म: वेक्टर जोड़ और स्केलर द्वारा गुणना वास्तविक संख्याओं की तरह संघात्मक, संयुक्त और वितरणात्मक विधियों का पालन करती हैं। (संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 11, अध्याय 12, वेक्टर बीजगणित)

• यूनिट वेक्टर्स: एक यूनिट वेक्टर एक वेक्टर है जिसकी मात्रा 1 है। इसे अक्षरण की माप को ध्यान में नहीं रखते हुए दिशाओं को प्रतिष्ठान के रूप में दर्शाने के लिए अक्सर प्रयोग करते हैं। (संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 11, अध्याय 12, वेक्टर बीजगणित)

2. डॉट प्रोडक्ट:

• डॉट प्रोडक्ट की परिभाषा: दो वेक्टरों का डॉट प्रोडक्ट एक स्केलर मात्रा है जो एक वेक्टर के अन्य वेक्टर पर प्रक्षेपण की मात्रा को प्रतिष्ठित करती है। इसे दो वेक्टरों की मात्राओं, उनके बीच के कोण के साइन की गुणा करके गणित किया जाता है। (संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 12, अध्याय 10, वेक्टर बीजगणित)

• डॉट प्रोडक्ट की गुणधर्म: डॉट प्रोडक्ट सहसंयोजी होता है (अर्थात्, A.B = B.A), वेक्टर जोड़ के समवेत का वितरणीय होता है, और स्केलर गुणन का कानून पालन करता है। दो लंबाक्षीय वेक्टरों का डॉट प्रोडक्ट शून्य होता है। (संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 12, अध्याय 10, वेक्टर बीजगणित)

• डॉट प्रोडक्ट के अनुप्रयोग: डॉट प्रोडक्ट दो वेक्टरों के बीच के कोण का पता लगाने, एक बल द्वारा किया गया काम की गणना करने, वेक्टर सामंजस्यपूर्ण होने की जांच करने, और विभिन्न भौतिकी और ज्यामिति समस्याओं का हल करने में प्रयोग होता है। (संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 12, अध्याय 10, वेक्टर बीजगणित)

3. क्रॉस प्रोडक्ट:

• क्रॉस प्रोडक्ट की परिभाषा: दो वेक्टरों का क्रॉस प्रोडक्ट एक वेक्टर होता है जो तय करने में संलग्न दो वेक्टरों के अस्थायी होता है। इसे दो वेक्टरों की मात्राओं, उनके बीच के कोण के साइन की गुणा करके, तथा उनके अस्थायी के लिए एक यूनिट वेक्टर के साथ गणित किया जाता है। (संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 12, अध्याय 10, वेक्टर बीजगणित)

• व्यापारिकता के गुण: क्रॉस उत्पाद विरोधी-संयोजनी है (यानी, ए × बी = -बी × ए), वेक्टर संजोग पर वितरक, और यह स्केलर गुणांकन नियम का पालन करता है। दो समांतर वेक्टरों का क्रॉस उत्पाद शून्य होता है। (संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 10, वेक्टर बीजगणित)

• क्रॉस उत्पाद के अनुप्रयोग: क्रॉस उत्पाद का उपयोग पैरेललोग्राम का क्षेत्रफल ढूंढने, वस्तु पर उपलब्ध टॉर्क की गणना करने, एक बल की दिशा निर्धारित करने और विभिन्न भौतिकी और रेखागणित समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। (संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 10, वेक्टर बीजगणित)

4. स्केलर त्रिपथी उत्पाद:

• स्केलर त्रिपथी उत्पाद की परिभाषा: तीन वेक्टरों का स्केलर त्रिपथी उत्पाद एक स्केलर मात्रा है जो तीन वेक्टरों द्वारा बनाए गए पैरलीपिपिड के आयताकार को प्रतिष्ठित करता है। इसे एक वेक्टर के बिंदु के डॉट उत्पाद के बाकी दो वेक्टरों के साथ लेकर गणित किया जाता है। (संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 10, वेक्टर बीजगणित)

• स्केलर त्रिपथी उत्पाद की गुणें: स्केलर त्रिपथी उत्पाद चक्रीय है, यानी यदि वेक्टरों का क्रम बदल दिया जाता है तो इसका चिन्ह परिवर्तित होता है। यह वितरणीय और स्केलर गुणांकन नियमों का भी पालन करता है। (संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 10, वेक्टर बीजगणित)

• स्केलर त्रिपथी उत्पाद के अनुप्रयोग: स्केलर त्रिपथी उत्पाद का उपयोग एक पैरलेलोपाइपाइपेड के आयताकार की आयतन ढूंढने, तीन वेक्टर एकल तस्वीर के हैं या नहीं का निर्धारण करने, और विभिन्न रेखागणित समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। (संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 10, वेक्टर बीजगणित)

**5. वेक्टर समीकरण **:

• वेक्टर रूप में एक रेखा का समीकरण: एक एक बिंदु (एक्स 1, वाई 1, जेड 1) से होकर एक समांतर वेक्टर a = ⟨a1, a2, a3⟩ के साथ समांतर एक रेखा का वेक्टर समीकरण दिया जाता है r = (एक्स 1, वाई 1, जेड 1) + (टी) ⟨a1, a2, a3⟩, यहां टी एक स्केलर पैरामीटर है। (संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 11, त्रिआयातीय ज्यामिति)

• वेक्टर रूप में एक त्रिभुज का समीकरण: एक एक बिंदु (एक्स0, वाई0, जेड0) से होकर और एक साधारण वेक्टर n = ⟨a, b, c⟩ रखने वाले एक त्रिभुज का वेक्टर समीकरण दिया जाता है a(एक्स-एक्स0) + b(वाई-वाई0) + c(जेड-जेड0) = 0। (संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 11, त्रिआयातीय ज्यामिति)

6. भौतिकी में अनुप्रयोग:

एक सीधी रेखा में चलना: वेक्टरों का उपयोग सीधी रेखा में वस्तु के स्थानांतरण, वेग और त्वरण का वर्णन करने के लिए किया जाता है। गति के समीकरण और गति के आँकड़ेगणितीय विश्लेषण को वेक्टर के अवधारणाओं का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। (संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 3, सीधी रेखा में चलना)

कुदर्शनी गति: वेक्टर उपयोगी हैं विभिन्न वस्तुओं की गति का विश्लेषण करने में, सिर्फ वेग और स्थानांतरण के अंशों को ध्यान में रखते हुए। (संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 4, कुदर्शनी गति)

परिक्षित गति: वेक्टरों का उपयोग सीधी पथ में चलने वाली वस्तु के स्थान, वेग और त्वरण का वर्णन करने के लिए किया जाता है। कक्षीय स्थानांतरण, वेग, और त्वरण महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं परिक्षित गति में। (संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 5, परिक्षित गति)

परिवर्तनीय गति: वेक्टर दूषित प्रवर्तनीय गति, सहायक बल, कोणीय प्रणिकी और उनके लग्न से संबंधित होने के लिए महत्वपूर्ण होते हैं। (संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 11, अध्याय 7, परिवर्तनीय गति)

काम, ऊर्जा और शक्ति: वेक्टर बलों द्वारा किया गया काम, संभावित ऊर्जा, गतिशील ऊर्जा और शक्ति की परिभाषा और गणना करने में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। (संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 11, अध्याय 6, काम, ऊर्जा और शक्ति)

रेखीय गति और संक्षेपण: वेक्टर ऑब्जेक्ट्स के बीच संक्षेपण का विश्लेषण करने के लिए व्यवहारिक रीति और इम्पल्स-मोमेंटम सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए ही लिनियर प्रणिकी राशि की संरक्षणा को विचार में लिया जाता है। (संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 11, अध्याय 8, रेखीय गति और संक्षेपण)