वेक्टर उत्पाद, कोणीय वेग, और कोणीय त्वरण

1. वेक्टर उत्पाद:

संकेत

• (a) क्रॉस उत्पाद: स्केलर ट्रिपल उत्पाद (संदर्भ: NCERT, कक्षा 12, अध्याय - वेक्टर, उदाहरण समस्या 20)
• (b) दो वेक्टर A और B का वेक्टर उत्पाद: (\overrightarrow A \times \overrightarrow B)

(संदर्भ: NCERT, कक्षा 12, चैप्टर-4 वेक्टर, पृष्ठ संख्या 94)

• (c) क्रॉस उत्पाद के सारणीयरूप में:

$$\overrightarrow A \times \overrightarrow B = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_1 & A_2 & A_3 \\ B_1 & B_2 & B_3 \end{vmatrix}$$ (संदर्भ: NCERT, कक्षा 12, चैप्टर-4 वेक्टर, पृष्ठ संख्या 96)

• (d) गुणत्व
• $$|\overrightarrow A \times \overrightarrow B|=AB \text{ sin }\theta$$
• (\overrightarrow A \times \overrightarrow B= -\overrightarrow B \times \overrightarrow A)
• (\overrightarrow A \times (\overrightarrow B + \overrightarrow C) = \overrightarrow A \times \overrightarrow B + \overrightarrow A\times\overrightarrow C)
• (e) अनुप्रयोग:
• घुमाव के द्वारा कार्य किया जाता है:

$$\overrightarrow \tau = \overrightarrow r\times \overrightarrow F$$

• एक बल द्वारा उत्पन्न घुमाव:

$$\overrightarrow N=q(\overrightarrow v\times \overrightarrow B)$$

• कोणीय संवेदनशीलता:

$$\overrightarrow L=m\overrightarrow r \times \overrightarrow v$$

2. कोणीय वेग:

संकेत

• (a) संकल्प: कोणीय वेग एक वेक्टर मात्रा है जो किसी धारणके चारों ओर घूमने के कोणीय विस्थापन की बदलती दर को निर्दिष्ट करती है।

• (b) इकाइयाँ: रेडियन प्रति सेकंड (रैडियन/सेकंड)।

• (c) रैडियनीय वेग के साथ संबंध: $$v=r\omega$$

• (d) घूर्णनीय गति में कोणीय वेग: ( \omega = \frac{d\theta}{dt})

(संदर्भ: NCERT, कक्षा 11, चैप्टर-7, भौतिकी के पदार्थ एवं घूर्णनीय चलन, पृष्ठ संख्या 161)

3. कोणीय त्वरण:

संकेत

• (a) संकल्प: यह एक वेक्टर मात्रा है जो कोणीय वेग की परिवर्तन दर का वर्णन करती है।

• (b) इकाइयाँ: रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (रैडियन/सेकंड²)।

• (c) हिसाब:

$$\alpha = \frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}$$ (संदर्भ: NCERT, कक्षा 11, चैप्टर-7, भौतिकी के पदार्थ एवं घूर्णनीय चलन, पृष्ठ संख्या 161)

4. संयोजन:

• कोणीय त्वरण और कोणीय वेग संबंधित होते हैं इस समीकरण के माध्यम से: $$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$$

• एक कठिन शरीर पर काम करने वाली घुमावदार बल:

$$\overrightarrow \tau=I\overrightarrow \alpha$$

• संज्ञान मान (I): एक वस्त्र का कोणीय त्वरण प्रतिरोध।

5. अनुप्रयोग:

• घूर्णनीय गतिकी समस्याओं का हल करना
• कठिन शरीर गतिकी
• जीरोस्कोप और गतिकी