अनुक्रम और श्रृंखलाएँ

1. अनुक्रम

• अंकगणितीय प्रगति (AP):

  • त्रिभुज के n अंश का योग (NCERT Class 11, Chapter 9, Section 9.1):
    • सूत्र: $$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)d),$$ जहां S_n पहले n अंश का योग है, a पहला अंक है, और d सामान्य अंतर है।
    • NCERT उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.1 (a), (b), (c)
  • AP के n वां अंक (NCERT Class 11, Chapter 9, Section 9.1):
    • सूत्र: $$T_n = a + (n - 1)d,$$ जहां T_n AP का n वां अंक है।
    • NCERT उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.1 (d), (e), (f)

• वृत्तीय प्रगति (GP):

  • त्रिभुज के n अंश का योग (NCERT Class 11, Chapter 9, Section 9.2):
    • सूत्र: $$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1},$$ जहां S_n पहले n अंश का योग है, a पहला अंक है, और r सामान्य अनुपात है।
    • NCERT उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.2 (a), (b), (c)
  • GP के n वां अंक (NCERT Class 11, Chapter 9, Section 9.2):
    • सूत्र: $$T_n = ar^{n-1},$$ जहां T_n GP का n वां अंक है।
    • NCERT उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.2 (d), (e), (f)

• समांतर प्रगति (HP):

  • त्रिभुज के n अंश का योग (NCERT Class 11, Chapter 9, Section 9.3):
    • सूत्र: $$S_n = \frac{n(H_1 + H_n)}{2},$$ जहां S_n पहले n अंश का योग है, H₁ पहला अंक है, और H_n n वां अंक है।
    • NCERT उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.3 (a), (b), (c)
  • HP के n वां अंक (NCERT Class 11, Chapter 9, Section 9.3):
    • सूत्र: $$H_n = \frac{n}{a + (n - 1)d},$$ जहां H_n HP का n वां अंक है, a पहला अंक है, और d सामान्य अंतर है।
    • NCERT उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.3 (d), (e), (f)

2. श्रृंखला का योग

• अंकगणितीय प्रगति से संबंधित श्रृंखलाएँ (NCERT Class 12, Chapter 9, Section 9.2):

  • सूत्र: $$S = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)d),$$ जहां S श्रृंखला का योग है, a पहला अंक है, d सामान्य अंतर है, और n = अनंत (एक असीमित श्रृंखला के लिए)।
  • NCERT उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.2 (a), (b), (c), (d), (e)

• वृत्तीय प्रगति से संबंधित श्रृंखलाएँ (NCERT Class 12, Chapter 9, Section 9.3):

  • सूत्र: $$S = \frac{a}{1 - r},$$ जहां S श्रृंखला का योग है, a पहला अंक है, और r सामान्य अनुपात है जहां |r| < 1 (एक असीमित श्रृंखला के लिए)।
  • NCERT उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.3 (a), (b), (c), (d), (e)

• हारमोनिक प्रगति से संबंधित श्रृंखलाएँ:

  • यथायोग्य संकलन तकनीकों का उपयोग करें, या 1/a, 1/(a + d), 1/(a + 2d), …, 1/[a + (n - 1)d] के आधार पर हारमोनिक प्रगति के लिए श्रृंखला सूत्र का उपयोग करें।

• तारियों वाली श्रृंखलाएँ (NCERT Class 12, Chapter 9, Section 9.5):

  • सूत्र: यदि $$T_n = a_{n+1} - a_n,$$ तब $$S = T_1 + T_2 + T_3 + … + T_n = a_{n+1} - a_1$$
  • NCERT उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.5 (a), (b), (c), (d)

• आंशिक संचय (NCERT Class 12, Chapter 9, Section 9.1):

  • दी गई श्रृंखला के लिए, n वां आंशिक सम किसी श्रृंखला के पहले n आंकों का योग होता है।

3. श्रंखला की संपर्कता और विचरण

• संपर्कता के लिए कोशिका की संक्षिप्ती (NCERT कक्षा 12, अध्याय 9, अनुभाग 9.7):

  • एक श्रंखला संपर्क्त होती है यदि और केवल तब जब इसके nवां आंशिक योगों का सीमा कोई सीमित संख्या होती है।
  • एनसीईआरटी उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.7 (a), (b), (c), (d), (e)

• डैलेम्बेर्ट के अनुपात परीक्षण (NCERT कक्षा 12, अध्याय 9, अनुभाग 9.8):

  • लेट (L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|) होगा।
    • अगर (L < 1) हो, तो श्रंखला संपर्क्त होती है।
    • अगर (L > 1) हो, या अगर (L) मौजूद नहीं होता है या अविनाशी होता है, तो श्रंखला विचरित होती है।
  • एनसीईआरटी उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.8 (a), (b), (c), (d), (e), (f)

• राबे की परीक्षा:

  • लेट (L = \lim_{n \to \infty} n\left|\frac{a_{n+1}}{a_n} - 1\right|) होगा।
    • अगर (L < 1) हो, तो श्रंखला संपर्क्त होती है।
    • अगर (L > 1) हो, तो श्रंखला विचरित होती है।
    • अगर (L = 1) हो, तो परीक्षा अनुपयुक्त होती है।

• तुलना परीक्षण (NCERT कक्षा 12, अध्याय 9, अनुभाग 9.10):

  • यदि श्रंखला (a_n) और (b_n) सकारात्मक हैं और (a_n \le b_n) हर (n) के लिए है, तो
    • अगर (b_n) संपर्क्त होती है, तो (a_n) भी संपर्क्त होती है।
    • अगर (a_n) विचरित होती है, तो (b_n) भी विचरित होती है।
  • एनसीईआरटी उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.10 (a), (b), (c), (d), (e), (f)

• सीमा तुलना परीक्षण (NCERT कक्षा 12, अध्याय 9, अनुभाग 9.11):

  • लेट (L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}) हो। यदि (L) मौजूद है और उसकी मान सीमित होती है और ज़ीरो नहीं है, तो श्रंखला (a_n) और (b_n) या तो दोनों संपर्क्त होती हैं या दोनों विचरित होती हैं।

• अनुपात परीक्षण (NCERT कक्षा 12, अध्याय 9, अनुभाग 9.12):

  • यदि (f(x)) (x \ge a) के लिए सकारात्मक, नियमित और अवक्रमणीय फ़ंक्शन है, तो
    • अगर अव्यवस्थित ऐक्यस्थ अनुक्रम (\int_a^\infinfiy f(x) dx) संपर्क्त होती है, तो श्रंखला (a_n = f(n)) संपर्क्त होती है।
    • अगर अव्यवस्थित ऐक्यस्थ अनुक्रम (\int_a^\infinfiy f(x) dx) विचरित होती है, तो श्रंखला (a_n = f(n)) विचरित होती है।
  • एनसीईआरटी उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.12 (a), (b), (c)

4. आपसे पलटने वाली श्रंखला

• लाइबनिज़ की आपसे पलटने वाली श्रंखला परीक्षण (NCERT कक्षा 12, अध्याय 9, अनुभाग 9.13):

  • लेट (a_n) एक सकारात्मक, घटनेवाली अनुक्रम हो। तो श्रंखला (a_1 - a_2 + a_3 - \cdots + (-1)^{n-1} a_n), या ( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n), संपर्क्त होती है।
  • एनसीईआरटी उदाहरण: हल किए गए उदाहरण 9.13 (a), (b), (c), (d), (e)

• आपसे पलटने वाली श्रंखला के शेषांक का आकलन:

  • आपसे पलटने वाली श्रंखला ( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n ) का त्रुटि या शेषांक ( R_n ) का अनुमान हमेशा ऐसा होता है $$|R_n| \le a_{n+1}.$$

5. घटनेवाली श्रंखला

• घटनेवाली श्रंखला की परिभाषा और संपर्क्ता (NCERT कक्षा 11, अध्याय 9, अनुभाग 9.4):
  • एक घटनेवाली श्रंखला वो अनंत श्रंखला है जिसका आकार (\sum_{n=0}^\infinf