परिमेय समीकरणों पर संपूर्ण नोट्स

1. जड़ों की प्रकृति:

• भेदक ($D = b^2 - 4ac$):
  • भेदक एक पैरावर्ती समीकरण के नदी और प्रकृति की संख्या का निर्धारण करता है।
  • यदि (D > 0) है, तो समीकरण के दो विभिन्न वास्तविक जड़ होंगे।
  • यदि (D = 0) है, तो समीकरण के एक बार अवरुद्ध वास्तविक जड़ होंगे (जिसे डबल जड़ भी कहा जाता है)।
  • यदि (D < 0) है, तो समीकरण के कोई वास्तविक जड़ नहीं होंगे (चक्रविय परतीत जड़ें)।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 4, “परिमेय समीकरण”]

• वास्तविक और अलग जड़े, समान जड़े और कोई वास्तविक जड़ रहने के शर्तें:
  • वास्तविक और अलग जड़ों के लिए, (D > 0) होना चाहिए।
  • समान जड़ों के लिए, (D = 0) होना चाहिए।
  • कोई वास्तविक जड़ न होने के लिए, (D < 0) होना चाहिए।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 4, “परिमेय समीकरण”]

2. जड़ों और परिणामकों के बीच संबंध:

• वियेटा के सूत्र:

  • यदि (ax^2 + bx + c = 0) एक परिमेय समीकरण है और (\alpha) और (\beta) इसके जड़ हैं, तो:
    • जड़ों का योग: (\alpha + \beta = -b/a)
    • जड़ों का गुणाक: (\alpha \beta = c/a)

• जड़ों और परिणामकों ((a, b, c)) के बीच संबंध:

  • जड़ों का योग (\alpha + \beta) मानकों के ऊपरी संकेतक ((x)) के नकारात्मक के बराबर होता है, यानी, (-b/a)(\LARGE )
  • जड़ों का गुणाक (\alpha \beta) स्थिराक की स्थानिक पद ((c/a)) के बराबर होता है।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 4, “परिमेय समीकरण”]

3. परिमेय समीकरणों का रेखित रूप में संक्षेपण:

• संक्षेपित परिमेय समीकरण (लघुतम धाराओं में व्यक्तियों के रूप में बखेड़ा जाने वाले समीकरण):

  • एक परिमेय समीकरण को संक्षेप में कहते हैं यदि इसे दो रूपयुक्तीय उपादानों का गुणफल के रूप में व्यक्त किया जा सके।
  • एक परिमेय समीकरण तभी संक्षेपित होता है जब और केवल जब इसका भेदक (D) एक पूर्ण वर्ग हो।

• इन समीकरणों के हल:

  • यदि एक परिमेय समीकरण संक्षेपित है, तो इसे पूर्वग्रहीत उपादानों को धाराओं में संक्षेपित करके और प्रत्येक उपादान को शून्य के बराबर सेट करके हल किया जा सकता है।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 4, “परिमेय समीकरण”]

4. परिमेय समीकरणों के हल:

• परिमेय सूत्र का उपयोग करके जड़ें ढूंढ़ना:

  • परिमेय सूत्र है: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
    • यह सूत्र एक परिमेय समीकरण के दो समाधान या जड़ों को प्रदान करता है।

• वर्गमूल विधि (ऐसे समीकरणों के लिए (x^2 = a) जिनमें):

  • ऐसे समीकरणों के लिए (x^2 = a), हल मिल सकते हैं जब दोनों ओर से वर्गमूल लिया जाता है:
    • यदि (a ≥ 0) है, तो हल हैं (x = ±\sqrt{a})।
    • यदि (a < 0) है, तो कोई वास्तविक हल नहीं होते क्योंकि एक नकारात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक नहीं होता है।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 4, “परिमेय समीकरण”]

5. शब्द समस्याएं:

• शब्द समस्याओं को हल करने के लिए परिमेय समीकरण के अनुप्रयोग:

  • क्षेत्रों की
  • आपात
  • दूरिया
  • अन्य वास्तविक जीवन की स्थितियाँ

• समस्या को ध्यान से पढ़ें ताकि परिमेय संबंध की पहचान की जा सके और उचित परिमेय समीकरण को स्थापित किया जा सके।

• पहले के तरीकों का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

• समस्या के संदर्भ में समाधानों का व्याख्यान करें।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 4, “द्विघात समीकरण”, और कक्षा 12 में संबंधित अध्याय]

6. ग्राफिक प्रतिनिधित्व:

• द्विघात समीकरणों के ग्राफ बनाना:
  • अंतर्वाल (जहां पैराबोला x और y अक्ष का क्रमिकता होता है) को रेखांकित करें।
  • शीर्षक खोजें (जहां पैराबोला दिशा बदलती है)।
  • पैराबोला को आकार देने में सहायता के लिए अक्ष का सममिति उपयोग करें।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 6, “दो संख्याओं के द्विघात समीकरण”]

• पैराबोला के शीर्ष, सममिति अक्ष, अंतर्वाल और अन्य महत्वपूर्ण विशेषताएं पहचानें:
  • शीर्षक पैराबोला पर न्यूनतम या अधिकतम y-समकोण वाले बिंदु है।
  • सममिति अक्ष शीर्ष प्रायिका से गुजरने वाली एक लंबी रेखा है।
  • x-अंतर्वाल पैराबोला द्वारा x-अक्ष का क्रमिकता होने वाले बिंदु हैं।
  • y-अंतर्वाल पैराबोला द्वारा y-अक्ष का क्रमिकता होने वाला बिंदु है।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 6, “दो संख्याओं के द्विघात समीकरण”]

7. क्यूबिकरण में उपयोग:

• पैराबोला के टैंजेंट और नार्मल:
  • टांगेंट और नार्मल वे सीधी रेखाएं हैं जो पैराबोला को एक निश्चित बिंदु पर स्पर्श करती हैं।
  • टैंजेंट की कोणत्व पैराबोला के विकर्णीय कार्यकोष के उस बिंदु पर होने वाले द्विघात से दिया जाता है।
  • नार्मल की कोणत्व उस बिंदु पर होने वाले टैंजेंट की घातांक के नकारात्मक रूप का होता है।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 6, “प्रतिनिधित्व का अनुप्रयोग”]

• द्विघात समीकरण के प्रथम और द्वितीय घातांक का उपयोग करके अधिकता और न्यूनता समस्याएँ हल करें:
  • द्विघाति फ़ंक्शन का पहला घातांक एक रैखिक फ़ंक्शन होता है, और इसका द्वितीय घातांक एक स्थिर होता है।
  • और सम का पता लगाने के लिए पहले के घातांक का उपयोग करें (जहां घातांक शून्य या परिभाषित नहीं होता है)।
  • न्यूनतम या अधिकतम है, जांचें द्वितीय घातांक का उपयोग करके।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 6, “प्रतिनिधित्व का अनुप्रयोग”]

8. द्विघात समीकरणों को शामिल करने वाली असमिक्याएं:

• द्विघात असमिकाओं को ग्राफिक और बीजगणितीय रूप से हल करना:
  • तत्व गुणांक को चित्रित करके विचारशील और नकारात्मक क्षेत्रों को देखने के लिए पैराबोलिक फ़ंक्शन का ग्राफिक उपयोग करें।
  • साधारण तकनीकों जैसे कि फैक्टोरिंग, परीक्षण बिंदुओं, और चिन्ह विश्लेषण का उपयोग करके असमिकाओं की समाधान सेट निर्धारित करें।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 6, “असमिकाएं”]

• अनुक्रमणिका समस्याओं में द्विघात असमिकाओं के अनुप्रयोग:
  • द्विघात असमिकाएं मर्यादित अनुकरण समस्याओं को मॉडल करने के लिए प्रयोग किए जा सकते हैं जो वास्तविक जीवन के संदर्भ में होते हैं।
  • उदाहरण में फ़ंक्शनों के न्यूनतम या अधिकतम मानों की खोज।, निशर्ताएं के अपेक्षित मानों हेतु।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 12, अध्याय 6, “प्रतिनिधित्व का अनुप्रयोग”]

9. संयुक्त संख्याएँ और द्विघात समीकरणों की समझ:

• अद्यावधिक द्विघात के अवधारणा की समझ:

कंप्लेक्स रूट्स तब होते हैं जब एक द्विघात समीकरण का विवेक ((D)) ऋणात्मक होता है ((D < 0))।

• कंप्लेक्स रूट्स सम्मिश्र समूह में होते हैं, जिसका अर्थ होता है कि वे एक ही वास्तविक हिस्सा रखते हैं, लेकिन काल्पनिक हिस्से में इंतरजातीय होते हैं।

• कंप्लेक्स रूट्स को हल करना:

  • कंप्लेक्स सहयोगी रूट्स ढूंढने के लिए द्विघाती सूत्र का प्रयोग करें।
  • कंप्लेक्स रूट्स को प्रारूप (\alpha ± \beta i) में व्यक्त करें, जहां (\alpha) और (\beta) वास्तविक संख्याएँ हैं और (i = \sqrt{-1}) इमाजिनरी इकाई है।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 5, “कंप्लेक्स संख्याएँ और द्विघात समीकरण”]

10. विविध विषय:

• कोनीय कटांगों (पाराबोला) में द्विघात समीकरणों के उपयोग:
  • पाराबोला कोनीय कटांग होती हैं जो द्विघात समीकरणों के द्वारा प्रतिष्ठित की जा सकती हैं।
  • पाराबोला की विभिन्न गुणों का अध्ययन करें, जैसे कि उनका आँकड़ा, फोकस, और सीधी परिमार्जक।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 11, “कोनीय कटांग”]

• द्विघात व्यंजनों को सम्मिश्र करने वाले दूरी और मध्यबिन्दु के सूत्र:
  • द्विघात व्यंजनों का प्रयोग करें ताकि जब निर्देशांक द्विघाती शर्तों को सम्मिश्र करें, तो दो बिंदुओं के बीच की दूरी या अवधारित रेखा का मध्यबिन्दु ढूँढा जा सके।

[संदर्भ: NCERT कक्षा 11, अध्याय 7, “सीधी रेखाएँ”]

जेईई परीक्षा के लिए इस विषय की समझ को मजबूत करने के लिए सिद्धांतिक सवालों, शब्दांश समस्याओं, ग्राफिकल विश्लेषण, और अनुप्रयोगिक परिदृश्यों सहित विभिन्न द्विघात समीकरण समस्याएं हल करने का अभ्यास न करना भूलें।