गतिशील एवं यांत्रिक निकाय की गति (विस्तृत नोट्स)

भार-केन्द्र:

• परिभाषा: भार-केन्द्र वह बिंदु है जहां किसी वस्तु का पूरा भार केंद्रीकृत माना जा सकता है।
• भार-केन्द्र निर्धारण के तरीके:
  • सममितीय वस्तुओं के लिए, भार-केन्द्र ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
  • अनियमित आकार की वस्तुओं के लिए, भार-केन्द्र का निर्धारण किसी भी धुरी के चारोंओं के बारे में करके किया जा सकता है।
  • कणों के एक प्रणाली के लिए, भार-केन्द्र प्रारूप इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$ \bar{r} = \frac{\sum m_i \overrightarrow{r}_i}{M} $$

जहां ( \bar{r} ) भार-केन्द्र का स्थान वेक्टर है, (m_i) ( i)-वें कण का भार है, (\overrightarrow{r_i}) ( i)-वें कण का स्थान वेक्टर है, और (M) प्रणाली का कुल भार है।

• संदर्भ: NCERT Physics Class 11, अध्याय 7 - कण एवं घूर्णनात्मक गति

लघुवार्ता और संरक्षण:

• परिभाषा: लघुवार्ता एक वेगमान राशि है जो किसी वस्तु के भार और उसकी वेग के गुणन के रूप में परिभाषित है।

• लघुवार्ता का संरक्षण: अलगवादी प्रणाली का कुल लघुवार्ता समान रहता है।

• लघुवार्ता संरक्षण के अनुप्रयोग:

• प्रक्षेपण की समस्याओं को हल करना

• अंतरिक्षयानों की गति का विश्लेषण

• अस्त्रों की रिकॉइल का अध्ययन करना

• संदर्भ: NCERT Physics Class 11, अध्याय 7 - कण एवं घूर्णनात्मक गति

आक्षिक तथा निराक्षिक प्रक्षेपण:

• आक्षिक प्रक्षेपण: आक्षिक प्रक्षेपण में, लघुवार्ता और गतिकीय ऊर्जा दोनों संरक्षित होती हैं।

• निराक्षिक प्रक्षेपण: निराक्षिक प्रक्षेपण में, लघुवार्ता संरक्षित होती है, लेकिन गतिकीय ऊर्जा संरक्षित नहीं होती है।

• प्रत्येकता की संख्या: प्रक्षेपण की एकता का माप। $$ e = \frac{\text{बाधात्मक वेग प्रक्षेपण के बाद}}{\text{बाधात्मक वेग प्रक्षेपण के पहले}} = \frac{v_{21} - v_{12}}{v_{1i} - v_{2i}} $$

• संदर्भ: NCERT Physics Class 11, अध्याय 7 - कण एवं घूर्णनात्मक गति

घूर्णन और परिवर्तन:

• कोणिक विस्थापन: एक बिंदु के चारोंओं के चारोंओं के चारों के माध्यम से कितना कोण वक्र होता है।

• कोणीय वेग: एक वस्तु के चारों के चारों के माध्यम से कितनी रेट वक्र होती है। $$ \omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} $$

• कोणीय त्वरण: एक वस्तु के कोणीय वेग के परिवर्तन की दर। $$ \alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} $$

• टॉर्क: क्षैतिज बल के संरूपी है। इसे बल और बल के पुनर्व्यवस्थापन के अवलम्ब में बल के प्रयोग के बिना अवलम्ब के स्थान वेक्टर के क्रॉस प्रोडक्ट के रूप में परिभाषित किया जाता है। $$\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$$

• संदर्भ: NCERT भौतिकी कक्क्षा 11, अध्याय 7 - अभिकलन और घूर्णनात्मक चाल

रोई का क्षणिक तन्त्र:

• परिभाषा: रोई क्षणिक तन्त्र एक वस्तु के घूर्णनीय चाल के प्रतिरोध का माप है। यह वस्तु के भार वितरण और आकार पर निर्भर करता है।

• समांतर अक्ष सिद्धांत: एक वस्तु के बारे में वित्तीय अक्ष के समान अक्ष के संदर्भ में रोई का क्षणिक तन्त्र वस्तु के यथार्थ अक्ष के प्रति रोई का क्षणिक तन्त्र और वस्तु के भार और दो अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग के उत्पाद के बराबर होता है।

• लगाभग अक्ष सिद्धांत: एक अक्ष के समान एक वस्तु के बारे में रोई क्षणिक तन्त्र एक वस्तु के दो ऐसे मुख्य अक्षों की गणना के अलावा दूसरे मुख्य अक्ष के बारे में एक अक्ष की गणना होती है जो उसके गुणों के स्थान परोक्ष को निकटता के अनुसार जोड़ी गई होती है।

• संदर्भ: NCERT भौतिकी कक्क्षा 11, अध्याय 7 - अभिकलन और घूर्णनात्मक चाल

घूर्णीय गतिशास्त्र:

• टॉर्क-कुदरती त्वरण संबंध: एक वस्तु पर कुदरती त्वरण का प्रभावित कुदरती टॉर्क क्रमश: वस्तु के त्वरण के प्रयोग के बराबर होता है। $$\overrightarrow{\tau} = I \overrightarrow{\alpha}$$

• घूर्णीय क्षैतिज ऊर्जा: एक घूर्णीय वस्तु की गतिशील ऊर्जा उसके क्षणिक तन्त्र के आधे गुणा उसकी क्षैतिज वेग के वर्ग के बराबर होती है। $$ K_r = \frac{1}{2} I\omega^2 $$

• चक्का उपयोग की गई कार्य: एक वस्तु को किसी कोण (\theta) के माध्यम से चक्काकार बनाने में किया गया कार्य चयनित चौकोरश का उत्पाद होता है। $$ W = \overrightarrow{\tau} \cdot \overrightarrow{\theta} $$

• संदर्भ: NCERT भौतिकी कक्क्षा 11, अध्याय 7 - अभिकलन और घूर्णनात्मक चाल

कोणीय संवेग और संरक्षण:

• परिभाषा: कोणीय संवेग वस्तु के क्षणिक तन्त्र और उसके कोणीय वेग के उत्पाद के रूप में एक वैभवीक राशि है।
• कोणीय संरक्षण: कोणीय संरक्षण का कुल कोणीय संवेग जमा होता है।