लीनियर प्रोग्रामिंग

परिचय

• लीनियर प्रोग्रामिंग का परिचय:

• लीनियर प्रोग्रामिंग एक ऐसा तरीका है जिसका उपयोग लीनियर समीकरणों की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।

• यह अर्थशास्त्र, व्यापार प्रबंधन और इंजीनियरिंग जैसे विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोग होता है।

• लीनियर प्रोग्रामिंग समस्याओं का ग्राफिकल तरीके से हल करना:

• ग्राफिकल तरीका वे लीनियर प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए एक सरल तरीका है जिसमें दो चरों के बारे में लीनियर सीमाएँ और उद्देश्य समीकरण को चित्रण किया जाता है और वह अंतिम समाधान देने वाले समांतर स्थान का पता लगाते हैं।

लीनियर प्रोग्रामिंग

• कैनोनिकल रूप में मानक सरूप:

• एक लीनियर प्रोग्रामिंग समस्या का मानक सरूप एक समस्या के गणितीय प्रतिस्थापन की प्रतिष्ठा होता है जो सरल रूप से हल करने के लिए उपयोग होता है। यह वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों को गणितीय प्रतिस्थापनों में परिवर्तित करने के लिए उपयोग होता है जो आसानी से हल किए जा सकते हैं।

• सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करके लीनियर प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करना:

• सिंप्लेक्स विधि एक ऐटरेटिव विधि है जिसका उपयोग लीनियर प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।

• यह संभव समाधान पर शुरू होता है और उत्तरदायी समाधान तक जाता है जब तक समात्तर समाधान को प्राप्त नहीं कर लेता है।

• लीनियर प्रोग्रामिंग में द्वित्व:

• लीनियर प्रोग्रामिंग में द्वित्व लीनियर प्रोग्रामिंग समस्या और उसकी द्वितीय समस्या के बीच संबंध को संदर्भित करता है।

• मूल समस्या में चरों और सीमाओं के भूमिकाओं को अन्यायित करके उत्पन्न किया जाता है।

लीनियर प्रोग्रामिंग समस्याओं के विशेष मामले

• परिवहन समस्याएं:

• परिवहन समस्याएं ऐसी लीनियर प्रोग्रामिंग समस्याएं हैं जो सामान का एक स्थान से दूसरे स्थान पर परिवहन करने के लिए शामिल होती हैं।

• उद्देश्य होता है कि हर गंतव्य पर मांग को पूरा करते हुए परिवहन लागत को कम से कम करें।

• असाइनमेंट समस्याएं:

• असाइनमेंट समस्याएं ऐसी लीनियर प्रोग्रामिंग समस्याएं होती हैं जो लोगों या संसाधनों को कार्यों का असाइन करने के लिए संबंधित होती हैं।

• उद्देश्य होता है कि कार्यों को पूरा करने के लिए कुल लागत या समय कम से कम करें।

• यात्री विक्रेता समस्या:

• यात्री विक्रेता समस्या एक ऐसी लीनियर प्रोग्रामिंग समस्या होती है जिसमें एक विक्रेता द्वारा एक सेट शहरों का छोटा सा मार्ग ढूंढने की समस्या होती है और प्रारंभिक शहर में वापसी करती है।

• उद्देश्य होता है कि विक्रेता द्वारा यात्रा की कुल दूरी कम से कम करें।

लीनियर प्रोग्रामिंग के अनुप्रयोग

• अर्थशास्त्र और व्यापार प्रबंधन में:

• अर्थशास्त्र में लीनियर प्रोग्रामिंग का उपयोग संसाधन आवंटन, उत्पादन योजना और पूंजी बजटनिकरण जैसी समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

• इसका उपयोग व्यापार प्रबंधन में इन्वेंटरी नियंत्रण, अनुसूचीबद्ध, और सुविधा स्थाननियंत्रण जैसी समस्याओं को हल करने में भी किया जाता है।

• उत्पादन और वितरण के अनुकूलन में:

• लीनियर प्रोग्रामिंग को उत्पादन और वितरण प्रणालियों के अनुकूलन में उपयोग होता है।

• यह उत्पादन स्तर, वितरण मार्गों और इन्वेंटरी स्तर का आदर्श निर्धारण करने के लिए उपयोग होता है।

• परिवहन प्रणाली डिजाइन में:

क्या हालत है * संचालन प्रोग्रामिंग परियोजनाओं के डिज़ाइन में उपयोग होता है।

• इसका उपयोग परिवहन वाहनों के लिए सर्वोत्तम मार्ग, सर्वोत्तम समय-सारणी और सर्वोत्तम वाहनों की संख्या का निर्धारण करने के लिए किया जाता है।

• संसाधन आवंटन की योजना में:

• संचालन प्रोग्रामिंग संसाधन आवंटन की योजना में उपयोग होता है।

• यह विभिन्न परियोजनाओं या गतिविधियों के लिए संसाधनों का सर्वोत्तम आवंटन निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

संचालन प्रोग्रामिंग में भाग्यशाली निर्धारण के लिए गणितीय संकल्प

• रैखिक असमिकाएँ:

• रैखिक असमिका गणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं जो रैखिक समांक शामिल करती हैं।

• रैखिक संचालन प्रोग्रामिंग समस्याओं में प्रतिबंधों का प्रतिष्ठान करने के लिए उपयोग होते हैं।

• ध्वनिक सेट:

• ध्वनिक सेट ऐसे सेट हैं जिनमें किसी दो बिंदु को सेट के अंदर ही रहते हुए सीधी रेखा से जोड़ा जा सकता है।

• ध्वनिक सेट संचालन प्रोग्रामिंग के लिए महत्वपूर्ण होते हैं क्योंकि रैखिक संचालन प्रोग्रामिंग समस्या का संभाव्य क्षेत्र एक ध्वनिक सेट होता है।

• हाइपरप्लेन्स:

• हाइपरप्लेन्स समतल, बहु-आयामी सतहें हैं जो स्थान को दो हाफ-स्थानों में विभाजित करती हैं।

• हाइपरप्लेन्स संचालन प्रोग्रामिंग में प्रतिबंधों का प्रतिष्ठान करने के लिए उपयोग होते हैं।

• सिम्प्लेक्स:

• सिम्प्लेक्स पॉलिटोप होते हैं जिनमें n आयामों में n + 1 संकेत होते हैं।

• सिम्प्लेक्स संचालन प्रोग्रामिंग के लिए महत्वपूर्ण होते हैं क्योंकि रैखिक संचालन प्रोग्रामिंग समस्या का संभाव्य क्षेत्र एक सिम्प्लेक्स होता है।

रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए समाधान तकनीकें

• ग्राफिकल विधि:

• ग्राफिकल विधि रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के हल के लिए एक सरल विधि है जो दो चर युक्तियों को संबंधित करती है।

• इसमें प्रतिबंधों और उद्देश्य कार्य को ग्राफण करके सर्वोत्तम समाधान देने वाले बिंदु का पता लगाना शामिल होता है।

• सिम्प्लेक्स विधि:

• सिम्प्लेक्स विधि रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के हल के लिए एक पुनरावृत्ति विधि है।

• यह संभावनात्मक समाधान में पहुंचने तक संभावित समाधान में से आगंतुक समाधानों तक पहुंचती है।

• संशोधित सिम्प्लेक्स विधि:

• संशोधित सिम्प्लेक्स विधि बड़े माप के रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के हल के लिए एक वैकल्पिक सिम्प्लेक्स विधि है।

• यह आगंतुक में प्रवेश करने और छोड़ने के लिए चयनित प्रतियोगी मानकों का उपयोग करना शामिल होता है।

• द्वित्वयता सिद्धांत:

• द्वित्वयता सिद्धांत एक गणितीय सिद्धांत है जो एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को उसके द्वित्वीय समस्या के साथ संबंधित करता है।

• द्वित्वयता सिद्धांत रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को उनकी द्वित्वीय समस्याओं को हल करके संभावित करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है।

रैखिक प्रोग्रामिंग का विस्तार और सामान्यीकरण

• अरैखिक प्रोग्रामिंग:

• अरैखिक प्रोग्रामिंग एक रैखिक प्रोग्रामिंग के साथ-साथ उद्देश्य कार्य और/या प्रतिबंधों में गैर-रैखिक फ़ंक्शनों को भी समावेश करने की अनुमति देता है।

• अरैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं से अधिक कठिनता के साथ हल करना होता है, लेकिन इसमें वास्तविक दुनिया के विभिन्न उदाहरणों का मॉडलिंग किया जा सकता है।

• पूर्णांक प्रोग्रामिंग:

• पूर्णांक प्रोग्रामिंग एक रैखिक प्रोग्रामिंग का विस्तार है जो प्रतिस्थानों को पूर्णांक होने की आवश्यकता रखता है।

• इंटीजर प्रोग्रामिंग समस्याओं को तंत्रिका प्रोग्रामिंग समस्याओं से ज्यादा मुश्किल सुलझाना होता है, लेकिन इसे व्यापक प्रकार के वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों को मॉडल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

• गतिशील प्रोग्रामिंग:

• गतिशील प्रोग्रामिंग एक विकल्प समाधान समस्याओं को सुलझाने के लिए एक तकनीक है जो कई चरणों को शामिल करती है।

• गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग तंत्रिका प्रोग्रामिंग समस्याओं को सुलझाने के लिए किया जा सकता है, जो उन्हें एक धीरे-धीरे छोटी समस्याओं के एक दूसरे के क्रम में विभाजित कर सकते हैं जो आसानी से हल किए जा सकते हैं।

• खेल सिद्धांत:

• खेल सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो निर्णय लेने वालों के बीच संवाद का अध्ययन करती है।

• खेल सिद्धांत तंत्रिका प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जा सकता है, जहां निर्णय लेने वालों के बीच संवाद को एक खेल के रूप में मॉडल किया जाता है।