जीईई की तैयारी के लिए याथार्थिक असमिकाएं - विस्तृत नोट्स

1. याथार्थिक असमिकाओं के प्रकार:

- एक चर पर आधारित याथार्थिक असमिकाएं:

एक चर को सम्मिलित करनी वाली असमिका, जिसमें या उच्चतर (>) या नीचे दिए गए (<) प्रतीक का प्रयोग किया जाता है।

उदाहरण:

• 2x + 5 > 11
• 3x - 4 < 10

- दो चरों पर आधारित याथार्थिक असमिकाएं:

दो चरों पर आधारित असमिका, जहां असमिका को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र एक ग्राफ पर एक छायांकित क्षेत्र के रूप में प्रदर्शित किया जाता है।

उदाहरण:

• 3x + 4y ≤ 12
• x - 2y ≥ 6

- तीन चरों पर आधारित याथार्थिक असमिकाएं:

तीन चरों पर आधारित असमिका, जहां असमिका को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र त्रिविमान स्थान में एक समाधान संचय के रूप में प्रदर्शित होता है।

उदाहरण:

• 2x + y - 3z ≤ 15

2. याथार्थिक असमिकाओं का ग्राफ बनाना:

- संख्या रेखा पर बिंदुओं को चित्रित करना:

• एक चर पर आधारित याथार्थिक असमिका को चित्रित करने के लिए, असमिका को संतुष्ट करने वाले मानों पर नंबर रेखा पर बिंदुओं को चित्रित करें।

उदाहरण:

• असमिका x > 3 के लिए, नंबर रेखा पर 2, 3 और 4 के बिंदु चित्रित करें। बिंदु 3 खुला हुआ होगा, यह याथार्थिक असमिका को संतुष्ट नहीं करता है, और बिंदु 2 और 4 भरे हुए रहेंगे, जो इसे संतुष्ट करते हैं।

- ग्राफ बनाना:

• दो चरों पर आधारित एक सरल समीकरण को चित्रित करने के लिए, x-और y-अंतर्वालों को ढूंढें, फिर इन बिंदुओं को चित्रित करें और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा बनाएं।

उदाहरण:

• समीकरण y = 2x + 3 ग्राफ करने के लिए, x-अंतर्वाल को y = 0 द्वारा सेट करके x के लिए हल करें, और y-अंतर्वाल को x = 0 द्वारा सेट करके y के लिए हल करें। फिर, इन बिंदुओं को चित्रित करें और उनके माध्यम से रेखा बनाएं।

- असमिका को संतुष्ट करने वाले क्षेत्रों को छायांकित करना:

• दो या तीन चरों पर आधारित याथार्थिक असमिका को संतुष्ट करने वाले क्षेत्रों को छायांकित करने के लिए, यह निर्धारित करें कि सीमा रेखा (लीनियर समीकरण) की कौन सी ओर असमिका को संतुष्ट करती है और उपयुक्त क्षेत्र को अनुरोध के अनुसार छायांकित करें।

उदाहरण:

• असमिका y ≤ 2x + 3 के लिए, y = 2x + 3 रेखा के नीचे क्षेत्र को छायांकित करें।
• असमिका 2x - y + z ≥ 5 के लिए, 2x - y + z = 5 वाले समतल के ऊपर या उसके ऊपरी क्षेत्र को छायांकित करें।

3. याथार्थिक असमिकाएं हल करना:

- एक चर पर आधारित याथार्थिक असमिकाओं का हल करना:

• एक चर पर आधारित याथार्थिक असमिका को हल करने के लिए, बिज्ञानिक संचालन जैसे जोड़ने, घटाने, गुणा करने या भाग करने के द्वारा असमिका की ओर वाले चर को संतुष्ट करें।

उदाहरण:

• याथार्थिक असमिका 2x + 5 > 11 को नये घटाएं 5 जोड़कर संदर्भ के दोनों ओर से, फिर 2 से भाग करके x > 3 प्राप्त करें।

- दो चरों पर आधारित याथार्थिक असमिकाओं का हल करना:

• दो चरों पर आधारित याथार्थिक असमिका को हल करने के लिए, अभिकर्मी या बीजगणितीय विधियों का उपयोग करके असमिका को संतुष्ट वाला क्षेत्र निर्धारित करने के लिए चित्रित या बीजगणितीय विधियों का प्रयोग करें।

चित्रित विधि:

• सीमा रेखा (लीनियर समीकरण) का ग्राफ करें और समाधान दिखाने के लिए उपयुक्त क्षेत्र को छायांकित करें।

• उदाहरण:

• समीकरण 3x + 4y ≤ 12 को हल करने के लिए, समीकरण 3x + 4y = 12 को ग्राफ करें और समीकरण के नीचे क्षेत्र को छादित करें।

  (बीजगणितीय विधि)

  • बीजगणितीय प्रक्रिया का उपयोग करके एक सीमा वेरिएबल को एक दूसरे के मानों में व्यक्त करें, फिर उस वेरिएबल के मानों का रेंज निर्दिष्ट करें जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
  • उदाहरण:
  • 3x + 4y ≤ 12 को हल करने के लिए, y के लिए समीकरण 4y ≤ -3x + 12 को हल करें, या समताषा में y ≤ (-3/4)x + 3 को प्राप्त करें। इससे स्पष्ट होता है कि इस समीकरण को पूरा करने के लिए y (-3/4)x + 3 से कम या इसके बराबर होना चाहिए।

- ग्राफिकल विधि का उपयोग करके तीन चरवींयां साधारित असमेजीयों को हल करना:

• तीन-आयामी अंतर्भूत स्थान में सीमा समतल (रैखिक समीकरण) को ग्राफ करें और समीकरण को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र निर्धारित करें।

उदाहरण:

• 2x + y - 3z ≤ 15 को हल करने के लिए, समतल 2x + y - 3z = 15 को ग्राफ करें और उस समतल के बगल में वह क्षेत्र निर्धारित करें जो समतल पर या उससे नीचे होता है।

- बीजगणितीय विधि का उपयोग करके तीन चरवींयां साधारित असमेजीयों को हल करना:

• दो चरवींय वेरिएबल के मानों में से एक को अन्य दोनों के लिए व्यक्त करें और इसे असमेजी में थपित करने के लिए प्रयुक्त करें।
• परिणामस्वरूप दो-चरवींय असमेजी को ग्राफिकल रूप से या बीजगणितीय रूप से हल करें।

उदाहरण:

• 2x + y - 3z ≤ 15 को हल करने के लिए, x और y के मानों में z के लिए हल करें: 3z ≤ 2x + y - 15 या समताषा में z ≤ (2/3)x + (1/3)y - 5 को प्राप्त करें। फिर, मूल असमेजी में z के लिए इस अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें, जिससे समीकरण 2x + y - 3((2/3)x + (1/3)y - 5) ≤ 15 प्राप्त होता है, जिसे सरल रूप में x ≤ 5 द्वारा साधारित किया जाता है। इस प्रकार, समाधान सेट यथार्थतः अंचल x ≤ 5 में दिया जाता है।

4. रूपांतरणों के अनुप्रयोग:

- रैखिक प्राक्रमण समस्याएं:

• असमेजीयों का प्राकृतिक सूचकों को बचाने के लिए उपयोग किया जा सकता है, जिनमें लैनियर प्रोग्रामिंग समस्याएं शामिल होती हैं, जो निश्चित नियमों को संतुष्ट करना सिखाने में संलग्न होती हैं।

- अधिकतमीकरण समस्याएं:

• सूचकों को उच्चतम या न्यूनतम मानों को ढूंढने के लिए असमेजीयों का उपयोग किया जाता है, जैसे संसाधन सीमाओं या उत्पादन क्षमता के आधार पर किसी कार्य में।

- ब्रेक-इवन विश्लेषण:

• व्यापारिक परिदृश्यों में ब्रेक-इवन बिंदु को निर्धारित करने के लिए असमेजीयों का उपयोग किया जाता है, जो बचत साढ़े, क्योंकि जहां आमदनी लागतों के बराबर होती है, उचित असमेजी सेट अनुप्रयोग किया जाता है।

लाभांश मानकरण और लागत कामीकरण समस्याएं:

• व्यापारिक और आर्थिक संदर्भों में लाभांश की अधिकतमता या लागत की कमता को बचाने और संकेतों का मॉडल और हल करने के लिए लैनियर असमेजीयों का उपयोग किया जा सकता है।

वास्तविक जगत की असमेजीय:

• असमेजीयों को व्यापारिक निर्णयों, बजट, संसाधन आवंटन और अन्य क्षेत्रों में अनुरोधों के तहत निर्णय लेने की जरूरत होने वाले विभिन्न वास्तविक जगत स्थितियों में प्रयोग किया जाता है।

5. गुण और प्रमेय:

- असमेजीयों की गुणधर्म

• असमानताओं की गुणधर्म:

  • यदि a < b और b < c है, तो a < c होगा।

• गुणांकन गुणधर्म:

  • यदि a < b है और c > 0 है, तो ac < bc होगा।
  • यदि a < b है और c < 0 है, तो ac > bc होगा।

• भागफल गुणधर्म:

  • यदि a < b है और c > 0 है, तो a/c < b/c होगा।
  • यदि a < b है और c < 0 है, तो a/c > b/c होगा।

• जोड़ गुणधर्म:

  • यदि a < b है और c < d है, तो a + c < b + d होगा।

• घटाव गुणधर्म:

  • यदि a < b है और c < d है, तो a - c < b - d होगा।